C´ alculo II

Tijani Pakhrou

´Indice general 1. Nociones topol´ ogicas en Rn 1.1. Distancia y norma eucl´ıdea en Rn . . . . . 1.2. Bolas abiertas y cerradas en Rn . . . . . . 1.3. Clasificaci´on de los puntos de un conjunto 1.4. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . 1.5. Conjuntos acotados y compactos . . . . . .

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1 1 3 3 5 7

2. Funciones de Rn en Rm 2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.2. Algebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. L´ımite de una funci´on vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. L´ımite de una funci´on vectorial en un punto . . . . . . . . . . 2.3.2. Condici´on necesaria y suficiente de existencia del l´ımite . . . . 2.3.3. Propiedades de los l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. L´ımite de funciones f : Rn −→ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. L´ımite finito en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. L´ımite infinito en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. L´ımite finito en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. L´ımite infinito en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. Propiedades de ordenaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. M´etodos operativos para el c´alculo de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Sustituci´on directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. C´alculo del l´ımite de una funci´on a trav´es del de otra funci´on . 2.5.3. Cambio a coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. T´ecnicas de acotaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5. Uso de L´ımites iterados, reiterados o sucesivos . . . . . . . . . 2.5.6. Uso de l´ımites direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.7. Uso de curvas continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.8. Uso de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9 11 12 12 13 14 14 14 15 15 15 16 16 16 16 17 18 19 22 23 25

iii

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3. Continuidad 3.1. Definici´on de funci´on continua . . . . . 3.2. Propiedades de las funciones continuas 3.3. Continuidad en conjuntos . . . . . . . 3.4. Continuidad uniforme . . . . . . . . . .

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27 27 30 34 35

4. Derivadas direccionales y parciales 4.1. Derivadas direccionales de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Derivadas parciales de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. ¿Existe alguna relaci´on entre derivadas parciales, direccionales y continuidad en un punto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Funci´on continua en un punto y existiendo las derivadas parciales 4.3.2. Funci´on continua en un punto sin derivadas parciales en dicho punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Funci´on discontinua en un punto y con derivadas parciales en el punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4. Funci´on discontinua en un punto sin derivadas en el mismo punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Derivadas parciales y direccionales de funciones vectoriales . . . . . . 4.4.1. Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Matriz hessiana y determinante hessiano . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 42

5. Funciones diferenciables 5.1. Funci´on diferenciable en un punto . . . . . . . . . 5.2. Diferencial en un punto . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Interpretaci´on geom´etrica de la diferencial . . . . 5.4. Propiedades de las funciones diferenciables . . . . 5.5. Reglas de diferenciaci´on . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Diferenciales sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1. Diferencial segunda . . . . . . . . . . . . . 5.6.2. Diferencial segunda de una funci´on escalar 5.6.3. Diferencial k-´esima . . . . . . . . . . . . .

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55 55 56 59 60 65 69 69 70 72

6. Integral de Riemann en Rn 6.1. Intervalo n-dimensional . . . . . . . . 6.2. Suma superior e inferior . . . . . . . 6.3. Integral de Riemann sobre intervalos 6.4. Propiedades de la integral . . . . . . 6.5. Teorema de Fubini . . . . . . . . . .

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73 73 74 75 76 78

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44 44 45 46 46 48 48 49 50 53

6.6. Integral sobre un recinto acotado de Rn . . . . 6.6.1. Teorema de Fubini en recintos est´andar 6.6.2. Teorema de Fubini en recintos est´andar 6.7. Teorema del cambio de variable . . . . . . . . 6.7.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . 6.7.2. Coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . 6.7.3. Coordenadas cil´ındricas . . . . . . . .

. . . . de R2 de R3 . . . . . . . . . . . . . . . .

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81 81 83 85 85 86 87

Cap´ıtulo 1 Nociones topol´ ogicas en Rn Consideremos el espacio vectorial (Rn , +, ·) sobre el cuerpo de los n´ umeros reales R, que es de dimensi´on n, (n ≥ 1) finita.

1.1.

Distancia y norma eucl´ıdea en Rn

Definici´ on 1.1.1. Sean ~x = (x1 , x2 , . . . , xn ) e ~y = (y1 , y2 , . . . , yn ) puntos de Rn . La aplicaci´on definida de la forma d : Rn × Rn −→ R+ ∪ {0}  n  12 P 2 (~x, ~y ) −→ (xi − yi ) i=1

es una distancia, denominada distancia eucl´ıdea, al verificar: 1) d(~x, y~ ) = 0 ⇐⇒ ~x = ~y 2) d(~x, y~ ) = d(~y , x ~ ) para todo ~x, ~y ∈ Rn . (Propiedad sim´etrica). 3) Dados ~x, ~y , ~z ∈ Rn , d(~x, z~ ) ≤ d(~x, y~ ) + d(~y , z~ ). (Desigualdad triangular). Definici´ on 1.1.2. Sea ~x = (x1 , x2 , . . . , xn ) un punto en Rn . La aplicaci´on definida de la forma k · k : Rn −→ R+  n  21 P 2 ~x −→ xi i=1

1

2 es una norma, denominada norma eucl´ıdea, al verificar: 1) k~xk = 0 ⇐⇒ ~x = 0 2) kλ~xk = |λ| · k~xk para todo ~x ∈ Rn y para todo λ ∈ R. 3) Dados ~x, ~y ∈ Rn , k~x + y~ k ≤ k~xk + k~ y k (Desigualdad triangular). Observaci´ on 1.1.3. Dados ~x, ~y ∈ Rn , se verifica d(~x, y~ ) = k~x − ~y k Terminolog´ıa 1. • El par (Rn , d) se llama espacio m´ etrico eucl´ıdeo. • El par (Rn , k · k) se llama espacio normado eucl´ıdeo. Definici´ on 1.1.4. En el espacio vectorial Rn se define el producto escalar eucl´ıdeo de dos vectores ~x = (x1 , . . . , xn ) e ~y = (y1 , . . . , yn ) en Rn como < ~x, ~y >=

n X

xi y i

i=1

Geom´etricamente, este n´ umero corresponde al coseno del ´angulo α que forman los vectores ~x e ~y multiplicado por el producto de las longitudes de dichos vectores, es decir: < ~x, ~y >= cos(α) · k~xkk~y k. Observaci´ on 1.1.5. Para cada ~x ∈ Rn , se tiene que k~xk =

p

< ~x, ~x > =

X n

x2i

 21

= d(~x, ~0)

i=1

Proposici´ on 1.1.6. Para cada ~x, ~y , ~z ∈ Rn , λ ∈ R tenemos que 1) < ~x, ~x >≥ 0, y adem´as < ~x, ~x >= 0 si y s´olo si ~x = 0 2) < ~x, ~y >=< ~y , ~x > 3) < λ~x, ~y >= λ < ~x, ~y > 4) < ~x + ~y , ~z >=< ~x, ~z > + < ~y , ~z >

3

1.2.

Bolas abiertas y cerradas en Rn

Definici´ on 1.2.1 (Bola abierta). Sea ~a ∈ Rn y r > 0. La bola abierta de centro ~a y radio r, que se denota B(~a, r), es el conjunto  B(~a, r) = ~x ∈ Rn : k~x − ~ak < r . Ejemplo 1.2.2. Si n = 2 y ~a = (0, 0), B(~a, 1) es el interior del c´ırculo centrado en el origen de coordenadas y radio 1. Definici´ on 1.2.3 (Entorno de un punto). Sea ~a ∈ Rn . Un subconjunto A ⊂ Rn es un entorno de ~a si existe una bola B abierta de centro ~a tal que B ⊆ A. Nota 1.2.4. En la pr´actica se suele trabajar con bolas abiertas ya que todo entorno contiene alguna bola abierta. Definici´ on 1.2.5 (Bola cerrada). Sea ~a ∈ Rn y r > 0. La bola cerrada de centro ~a y radio r, que se denota B(~a, r), es el conjunto  B(~a, r) = ~x ∈ Rn : k~x − ~ak ≤ r . Ejemplo 1.2.6. Si n = 2 y ~a = (0, 0), B(~a, 1) es el interior del c´ırculo de centro (0, 0) y radio 1 junto con la circunferencia contorno.

1.3.

Clasificaci´ on de los puntos de un conjunto

Definici´ on 1.3.1 (Punto interior. Interior de un conjunto). Sea A ⊂ Rn , n ~a ∈ R , se dice que el punto ~a es interior al conjunto A si existe r > 0 tal que B(~a, r) ⊂ A. (Un punto interior de A est´a “completamente rodeado” de puntos de A). El conjunto de todos los puntos interiores a A se llama interior de A y se ◦ representa por Int(A) o por A Definici´ on 1.3.2 (Punto exterior. Exterior de conjunto). Un punto ~a ∈ Rn es exterior al conjunto A ⊂ Rn si existe r > 0 tal que B(~a, r) ⊂ Ac , o lo que es lo mismo, B(~a, r) ∩ A = ∅. Un punto exterior de A est´a “completamente rodeado” de puntos de Ac , donde
Ac = {~x ∈ Rn : ~x ∈ / A} = Rn − A (conjunto complementario de A) . El conjunto de todos los puntos exteriores a A se llama exterior de A y se representa por Ext(A).

4 Definici´ on 1.3.3 (Punto frontera. Frontera de un conjunto). El punto ~a ∈ Rn es un punto frontera del conjunto A ⊂ Rn si para todo r > 0, B(~a, r) ∩ A 6= ∅

y

B(~a, r) ∩ Ac 6= ∅.

Es decir, un punto es frontera de A si no es ni interior ni exterior a A. Un punto punto frontera est´a rodeado de puntos de A y de Ac . Se llama frontera de un conjunto al conjunto de todos sus puntos frontera, denot´andose Fr(A). Proposici´ on 1.3.4. Sea A ⊂ Rn un conjunto, se verifica que • Rn = Int(A) ∪ Ext(A) ∪ Fr(A), • Los conjuntos Int(A), Ext(A), Fr(A), son disjuntos dos a dos, es decir sin puntos comunes. • Ext(A) = Int(Rn − A). Ejemplo 1.3.5. El subconjunto de R2 , A = [1, 2] × (1, 2) es un cuadrado, dos de cuyos lados pertenecen al conjunto A. Su interior es Int(A) = (1, 2) × (1, 2), su exterior es
Ext(A) = Int R2 − [1, 2] × (1, 2) = R2 − [1, 2] × [1, 2] y su frontera Fr(A) est´a formada por los cuatro lados del cuadrado. Definici´ on 1.3.6 (Punto adherente. Adherencia de un conjunto). Un punto n ~a ∈ R es adherente (o infinitamente pr´oximo) a un conjunto A ⊂ Rn si para todo r > 0 se tiene B(~a, r) ∩ A 6= ∅. El conjunto de todos los puntos adherentes a un conjunto A se llama adherencia, (cierre o clausura), de A y se designa por A o Cl(A) Observaci´ on 1.3.7. Sea A ⊂ Rn , se tiene que ◦

A⊂ A ⊂ A. Definici´ on 1.3.8 (Punto de acumulaci´ on. Conjunto derivado). Un punto ~a ∈ Rn es de acumulaci´ on de A ⊂ Rn si para todo r > 0 se tiene   B(~a, r) − {~a} ∩ A 6= ∅. El conjunto de todos los puntos de acumulaci´on de A se llama conjunto derivado de A y se designa por A0 o por Ac(A).

5 Nota 1.3.9. • Un punto ~a ∈ Rn es de acumulaci´on de A ⊂ Rn si hay infinitos puntos de A, distintos del propio ~a, tan pr´oximos como se quiera a dicho punto. • Un punto de acumulaci´on de A no tiene por qu´e pertenecer al conjunto A. • Un conjunto finito, A, no puede tener puntos de acumulaci´on, mientras que los conjuntos infinitos pueden tenerlos o no. Proposici´ on 1.3.10. Para cada conjunto B ⊂ Rn se verifica que ◦

B = B ∪ Ac(B) y B =B ∪ Fr(B) Definici´ on 1.3.11 (Punto aislado). Un punto ~a ∈ Rn es punto aislado de A ⊂ n R si existe r > 0 tal que B(~a, r) ∩ A = {~a}. Ejemplo 1.3.12. Sea A = (1, 5) ∪ {6, 7, 8}, tenemos • • •

A = [1, 5] ∪ {6, 7, 8} Ac(A) = [1, 5] Los puntos 6, 7, 8 son aislados.

Ejemplo 1.3.13. Sea A = (1, 2) × (1, 2) ∪ {(3, 3)}, tenemos • • •

1.4.

A = [1, 2] × [1, 2] ∪ {(3, 3)} Ac(A) = [1, 2] × [1, 2] El punto (3, 3) se aislado de A.

Conjuntos abiertos y cerrados

Definici´ on 1.4.1 (conjunto abierto). Se dice que un conjunto A ⊂ Rn es abierta, si para cada ~a ∈ A existe δ > 0 tal que B(~a, δ) ⊂ A. Ejemplo 1.4.2. Las bolas abiertas son conjuntos abiertos pero no todo conjunto abierta es una bola. El conjunto (1, 2) × (1, 2) es abierto en R2 pero no es una bola. Proposici´ on 1.4.3. Los conjuntos abiertos verifican las siguientes propiedades:

6 1) ∅ y Rn son conjuntos abiertos. 2) La uni´on de cualquier colecci´on de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. 3) La intersecci´on de cualquier colecci´on finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Observaci´ on 1.4.4. La intersecci´on de una colecci´on infinita de abiertos no tiene por qu´e ser un conjunto abierto, como puede verse en el siguiente ejemplo: \ 1 1 = [1, 3] 1 − ,3 + n n n∈N Definici´ on 1.4.5 (Conjuntos cerrado). Un conjunto A ⊂ Rn es cerrado si su complementario Ac = Rn − A es abierto. Ejemplo 1.4.6. Las bolas cerradas son conjuntos cerrados pero hay conjuntos cerrados que no son bolas cerradas. El conjunto [3, 4] × [1, 2] es cerrado en R2 pero no es una bola. Proposici´ on 1.4.7. Los conjuntos cerrados verifican las siguientes propiedades: 1) ∅ y Rn son conjuntos cerrados. 2) La intersecci´on de cualquier colecci´on de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. 3) La uni´on de cualquier colecci´on finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Observaci´ on 1.4.8. La uni´on infinita de conjuntos cerrados no tiene por qu´e ser un conjunto cerrado, como puede verse en el siguiente ejemplo: [h 1i 1 = (1, 5) 1 + ,5 − n n n∈N Proposici´ on 1.4.9. Para cada A ⊂ Rn . 1) Los conjuntos Int(A) y Ext(A) son abiertos y el conjunto Fr(A) es cerrado. 2) El conjunto A es el menor cerrado que contiene a A. 3) A es cerrado si y s´olo si A = A ◦

4) A es abierto si y s´olo si A= A 5) A es cerrado si y s´olo si Ac(A) ⊂ A

7

1.5.

Conjuntos acotados y compactos

Definici´ on 1.5.1 (Conjunto acotado). Un conjunto A ⊂ Rn es acotado si y s´olo si existe M > 0 tal que k~xk ≤ M para todo ~x ∈ A. Definici´ on 1.5.2 (Conjunto compacto). Un subconjunto A de Rn es compacto si es cerrado y acotado. Teorema 1.5.3 (Bolzano-Weierstrass). Todo conjunto acotado A ⊂ Rn con infinitos puntos posee al menos un punto de acumulaci´on.
 Ejemplo 1.5.4. Sea A = n1 , n1 : n ∈ N ⊂ R2 (acotado con infinitos puntos). El punto (0, 0) es punto de acumulaci´on de A. Teorema 1.5.5. Cualquier subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto.

8

Cap´ıtulo 2 Funciones de Rn en Rm 2.1.

Definiciones

Definici´ on 2.1.1. Una correspondencia de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto arbitrario del conjunto producto cartesiano A × B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}. Definici´ on 2.1.2. Llamaremos funci´ on de un subconjunto X ⊂ Rn en Rm (n, m ≥ 1) a cualquier correspondencia f ⊂ X × Rm , tal que ∀ x~1 , x~2 ∈ X, x~1 = x~2

=⇒

f (x~1 ) = f (x~2 ).

(A cada punto de X una funci´on le asocia como imagen un u ´nico punto perteneciente a Rm ). Ejemplo 2.1.3. f : R −→ R x −→ sin(x) Ejemplo 2.1.4. g:

R2 −→ R 2 (x, y) −→ x2x+y2

Ejemplo 2.1.5. h:

R2 −→ R3
(x, y) −→ x + y, x2 + 1, cos(xy) 9

10 Ejemplo 2.1.6. k:

R3

2 −→ R   1+x √ z , (x, y, z) −→ y

Definici´ on 2.1.7. Sea f : X ⊂ Rn −→ Rm una funci´on. 1) El dominio de definici´ on de f est´a formado por todos aquellos puntos ~x ∈ X para los cuales la expresi´on f (~x) tiene sentido y lo denotaremos por:  D(f ) = ~x ∈ X tal que, existe f (~x) . 2) El recorrido, rango o imagen de f est´a formado por todos todos aquellos puntos de Rm que poseen alg´ un antecedente mediante la funci´on f y lo denotaremos por:  Im(f ) = f (X) = f (~x) ∈ Rm : ~x ∈ X . Ejemplo 2.1.8. Sea f:

R3

2 −→ R   1+x √ , z (x, y, z) −→ y

tenemos que
D(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 : y 6= 0, z ≥ 0} = R × R − {0} × [0, +∞) Im(f ) = {(x0 , y 0 ) ∈ R2 : x0 ∈ R, y 0 ≥ 0} = R × [0, +∞) Definici´ on 2.1.9. Sea f : X ⊂ Rn −→ Rm una funci´on con n, m ≥ 1. 1) Si m = 1, la funci´on f se llama funci´ on real 1.1) Si m = n = 1, la funci´on f se llama funci´ on real de una variable real f : X ⊂ R −→ R x −→ y = f (x) 1.2) Si m = 1 y n > 1, la funci´on f se llama funci´ on real de varias variables reales f:

X ⊂ Rn −→ R ~x = (x1 , x2 , . . . , xn ) −→ y = f (~x) = f (x1 , x2 , . . . , xn )

11 2) Si m > 1, la funci´on f se llama funci´ on vectorial f:

X ⊂ Rn −→ Rm
~x = (x1 , x2 , . . . , xn ) −→ ~y = f (~x) = f1 (~x), . . . , fm (~x)

Las funciones reales f1 (~x), . . . , fm (~x) representan las coordenadas respecto de la base can´onica de Rm de la imagen del punto ~x y se denominan componentes de la funci´ on vectorial f . Ejemplo 2.1.10. Algunos ejemplos de funciones reales de una variable real son los siguientes: 1) 2) 3) 4) 5)

f (x) = 3x + 1 f (x) = 2x2 + 3 f (x) = sin(x) 1 f (x) = x √ f (x) = x + 1

Ejemplo 2.1.11. Algunos ejemplos de funciones reales de varias variables reales son los siguientes: 1) 2) 3) 4)

f (x, y) = x + y x3 f (x, y) = 2 x + y2 yz f (x, y, z) = 2 x + y2 + z2  2 x + y 2 si x ≥ 0 f (x, y, z) = x2 + z 2 si x < 0

Ejemplo 2.1.12. Algunos ejemplos de funciones vectoriales son los siguientes:
1) f (x, y) = x + ey , cos(x) + y
2) f (x, y, z) = sin(xy + z), yz + x2
3) f (x, y) = ex+y , sin(x − y), x2  1 4) f (x, y, z) = cos(yz), xyz, z

2.2.

´ Algebra de funciones

Notaci´ on 1. Al conjunto de todas las funciones de un subconjunto n X ⊂ R en Rm lo denotaremos F(X, Rm ).

12 Definici´ on 2.2.1. Sean f, g ∈ F(X, Rm ), entonces f = g ⇐⇒ ∀ ~x ∈ X : f (~x) = g(~x). Definici´ on 2.2.2. En el conjunto F(X, Rm ) podemos definir una ley de composici´ on interna (“+”suma de funciones) y una ley de composici´ on externa (“·”producto por escalares) de la siguiente manera: ∀ f, g ∈ F(X, Rm ), ∀ α ∈ R :

(f + g)(~x) = f (~x) + g(~x), (αf )(~x) = α · f (~x),

∀ ~x ∈ X

∀ ~x ∈ X.

El conjunto F(X, Rm ) dotado de estas dos leyes de composici´on tiene una estructura de espacio vectorial real. Definici´ on 2.2.3. Sean f : X ⊂ Rn −→ Rm , g : Y ⊂ Rm −→ Rp dos funciones. Se define la composici´ on de estas funciones, g ◦ f , de la siguiente forma:   ∀ ~x ∈ X con f (~x) ∈ Y, (g ◦ f )(~x) = g f (~x) .

2.3. 2.3.1.

L´ımite de una funci´ on vectorial L´ımite de una funci´ on vectorial en un punto

Definici´ on 2.3.1. Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm y ~a un punto de acumulaci´on de A, decimos que el l´ımite de f (~x), al tender ~x hacia ~a es ~b, y escribimos l´ım f (~x) = ~b

~ x→~a

si l´ım

k~ x−~ak→0

kf (~x) − ~bk = 0

es decir, si

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si ~x ∈ A y 0 < k~x − ~ak < δ, entonces f (~x) − ~b < ε Ejemplo 2.3.2. Dada la funci´on f:

R2 −→ R3 (x, y) −→ (x + y, x2 + 1, y 3 − 3)

se tiene que l´ım (x,y)→(1,1)

f (x, y) = (2, 2, −2)

13 Observaci´ on 2.3.3. En la definici´on de l´ımite no se necesita que f est´e definida en el punto ~a, sin embargo, se exige que ~a sea punto de acumulaci´on de A, para garantizar que existan puntos ~x ∈ A tan pr´oximos al punto ~a como sea necesario. Proposici´ on 2.3.4 (Unicidad del l´ımite). Si existe l´ım f (~x), ´este es u ´nico. ~ x→~a

n

m

Proposici´ on 2.3.5. Sea f : A ⊂ R −→ R una funci´on , ~a un punto de acumulaci´on de A. Entonces existe l´ım f (~x) = ~b ~ x→~a

si y s´olo si, para cada sucesi´on (~xk )k≥1 ⊂ A convergente al punto ~a en
A (es decir, ∀ε > 0, ∃k0 > 0 : si k ≥ k0 entonces k~xk − ~ak ≤ ε), la sucesi´on f (~xk ) k≥1 converge a ~b en Rm . Observaci´ on 2.3.6. Esta Proposici´on resulta especialmente u ´til a la hora de probar que un l´ımite no existe: bastar´a encontrar dos sucesiones convergentes al mismo punto de modo que la funci´on, a lo largo de estas sucesiones, converge a puntos diferentes (o no converge). Por ejemplo, el l´ımite 1 l´ım sin x→0 x no existe, ya que si tomamos f (x) = sin 1 xk = kπ yk =

π 2

1 x −−−−−−−→ 0 k−→+∞

1 + 2kπ

−−−−−−−→ 0 k−→+∞

pero f (xk ) converge a 0 mientras que f (yk ) converge a 1.

2.3.2.

Condici´ on necesaria y suficiente de existencia del l´ımite

n Proposici´ on 2.3.7. Sea f : A ⊂ R Rm , ~a un punto de acumulaci´on de A, y
−→ sea f (~x) = f1 (~x), f2 (~x), . . . , fm (~x) ∈ Rm para cada ~x ∈ A.

Entonces, existe l´ım f (~x) si y s´olo si existen los l´ımites l´ım fi (~x) para cada fun~ x→~a

~ x→~a

ci´on coordenada fi , donde i = 1, 2, . . . , m. Adem´as en este caso, l´ım f (~x) =

~ x→~a



 l´ım f1 (~x), l´ım f2 (~x), . . . , l´ım fm (~x) .

~ x→~a

~ x→~a

~ x→~a

14

2.3.3.

Propiedades de los l´ımites

Proposici´ on 2.3.8. Sean f, g : A ⊂ Rn −→ Rm , ~a punto de acumulaci´on de A, y sean l´ım f (~x) = ~b y l´ım g(~x) = ~b0 ~ x→~a

~ x→~a

entonces se verifican las siguientes propiedades:   1) l´ım f (~x) + g(~x) = ~b + ~b0 ~ x→~a

  2) l´ım λf (~x) = λ~b ~ x→~a

  3) Si m = 1, entonces l´ım f (~x) · g(~x) = b · b0 ~ x→~a

f (~ x) g(~ x ) ~ x→~a

4) Si m = 1 y b0 6= 0, entonces l´ım

=

b b0

Proposici´ on 2.3.9. Sean f : A ⊂ Rn −→ Rm , g : Rm −→ Rp dos funciones y ~a punto de acumulaci´on de A. Supongamos que existe l´ım f (~x) = ~b y que existe l´ım g(~y ) = ~c. Entonces existe ~ x→~a

~ y →~b


l´ım g f (~x) = ~c.

~ x→~a

2.4. 2.4.1.

L´ımite de funciones f : Rn −→ R L´ımite finito en un punto

Definici´ on 2.4.1. Sea f : A ⊂ Rn −→ R y ~a punto de acumulaci´on de A. Decimos que, l´ım f (~x) = l ~ x→~a

si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si ~x ∈ A y 0 < k~x − ~ak < δ, entonces f (~x) − l < ε. Ejemplo 2.4.2. l´ım (x,y,z)→(0,0,0)

x2 + y 4 + z 3 = 0.

15

2.4.2.

L´ımite infinito en un punto

Definici´ on 2.4.3. Sea f : A ⊂ Rn −→ R y ~a punto de acumulaci´on de A. Decimos que, l´ım f (~x) = +∞ ~ x→~a

si ∀ M > 0, ∃ δ > 0 : si ~x ∈ A y 0 < k~x − ~ak < δ, entonces f (~x) > M. An´alogo para

l´ım f (~x) = −∞.

~ x→~a

Ejemplo 2.4.4. l´ım

x2

(x,y)→(0,0)

2.4.3.

1 = +∞. + y2

L´ımite finito en el infinito

Definici´ on 2.4.5. Sea f : A ⊂ Rn −→ R. Decimos que, l´ım f (~x) = l

k~ xk→∞

si ∀ ε > 0, ∃ N > 0 : si ~x ∈ A y k~xk > N, entonces f (~x) − l < ε. Ejemplo 2.4.6. l´ım

k(x,y)k→∞

2.4.4.

x2

1 = 0. + |y|

L´ımite infinito en el infinito

Definici´ on 2.4.7. Sea f : A ⊂ Rn −→ R. Decimos que, l´ım f (~x) = +∞

k~ xk→∞

si ∀ M > 0, ∃ N > 0 : si ~x ∈ A y k~xk > N, entonces f (~x) > M. An´alogo para

l´ım f (~x) = −∞.

k~ xk→∞

Ejemplo 2.4.8. l´ım

k(x,y,z)k→∞

x2 + y 2 + z 2 = +∞.

16

2.4.5.

Propiedades de ordenaci´ on

Proposici´ on 2.4.9. Sean f1 , f2 , f3 : A ⊂ Rn −→ R y sea B ⊂ A un entorno de ~a ∈ R se tiene que: 1) Si f1 (~x) ≤ f2 (~x) en B − {~a}, entonces

l´ım f1 (~x) ≤ l´ım f2 (~x)

~ x→~a

~ x→~a

(suponiendo que existan). 2) Si f1 (~x) ≥ 0 en B − {~a} y l´ım f1 (~x) = l, entonces l ≥ 0. ~ x→~a

3) Si f1 (~x) ≤ f2 (~x) ≤ f3 (~x) en B − {~a} y l´ım f1 (~x) = l´ım f3 (~x) = l, entonces ~ x→~a

~ x→~a

l´ım f2 (~x) = l (regla de Sandwich).

~ x→~a

Observaci´ on 2.4.10. ~a y l pueden ser finitos o infinitos.

2.5. 2.5.1.

M´ etodos operativos para el c´ alculo de l´ımites Sustituci´ on directa

Ejemplo 2.5.1. Calcular l´ım (x,y,z)→(1,2,0)

1 + exy+2z x2 + y 2 + z 2

basta sustituir x por 1, y por 2 y z por 0, y se tiene el valor del l´ımite: l´ım (x,y,z)→(1,2,0)

2.5.2.

1 + e1·2+2·0 1 + e2 1 + exy+2z = = . x2 + y 2 + z 2 12 + 22 + 02 5

C´ alculo del l´ımite de una funci´ on a trav´ es del de otra funci´ on

Ejemplo 2.5.2. Calcular l´ım (x,y)→(1,1)

x3 y − xy 3 . x4 − y 4

Se trata de un cociente de funciones, ambas con l´ımite cero en el punto (1, 1), con lo cual el l´ımite se presenta en la forma indeterminada 00 . Se deshace la indeterminaci´on f´acilmente considerando que en puntos pr´oximos a (1, 1), pero distintos a ´el, se tiene que x3 y − xy 3 xy(x2 − y 2 ) xy = = 2 , 4 4 2 2 2 2 x −y (x − y )(x + y ) x + y2

17 es decir, las funciones f (x, y) =

x3 y − xy 3 xy y g(x, y) = x4 − y 4 x2 + y 2

toman los mismos valores en un entorno reducido del punto (1, 1). Como xy 1 l´ım g(x, y) = l´ım = , 2 2 (x,y)→(1,1) (x,y)→(1,1) x + y 2 se tiene que x3 y − xy 3 xy 1 . l´ım = l´ ım = (x,y)→(1,1) (x,y)→(1,1) x2 + y 2 x4 − y 4 2

2.5.3.

Cambio a coordenadas polares

Suele ser u ´til cuando aparecen en el l´ımite expresiones de la forma x2 + y 2 , ya que en este caso se tiene:  x = r cos(θ) =⇒ x2 + y 2 = r2 cos2 (θ) + r2 sin2 (θ) y = r sin(θ)
= r2 cos2 (θ) + sin2 (θ) = r2 , y la tendencia de (x, y) a (0, 0) est´a determinada por la tendencia de r a cero. Proposici´ on 2.5.3. Sea f :⊂ R2 −→ R, se tiene que: l´ım

f (x, y) = l,

(x,y)→(0,0)

si y s´olo si
l´ım f r cos(θ), r sin(θ) = l uniformemente en θ ∈ [0, 2π],

r→0

es decir, si y s´olo si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si r ∈ (0, δ), entonces
f r cos(θ), r sin(θ) − l ≤ ε ∀θ ∈ [0, 2π]. Corolario 2.5.4. Si
f r cos(θ), r sin(θ) ≤ g(r)h(θ), donde l´ım g(r) = 0 y h es una funci´on acotada en [0, 2π], entonces r→0

l´ım (x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0.

18 Ejemplo 2.5.5. x2 y + xy 2 r2 cos2 (θ) · r sin(θ) + r cos(θ) · r2 sin2 (θ) l´ım = l´ım r→0 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 r2
r3 cos2 (θ) · sin(θ) + cos(θ) · sin2 (θ) = l´ım r→0 r2
= l´ım r cos2 (θ) · sin(θ) + cos(θ) · sin2 (θ) = 0 r→0

Ejemplo 2.5.6. 1 − cos(x2 + y 2 ) 1 − cos(r2 ) 0 = l´ ım = 2 2 2 r→0 (x,y)→(0,0) x +y r 0 2 2r sin(r ) = l´ım (regla de L’Hˆopital) r→0 2r = l´ım sin(r2 ) = 0 l´ım

r→0

Ejemplo 2.5.7. Sea |x| + |y| f (x, y) = p x2 + y 2 Tenemos que
f r cos(θ), r sin(θ) = cos(θ) + sin(θ) , que depende claramente de θ, por tanto

l´ım

f (x, y) no existe.

(x,y)→(0,0)

2.5.4.

T´ ecnicas de acotaci´ on

Ejemplo 2.5.8. Calcular

l´ım

f (x, y), donde

(x,y)→(0,0)

f (x, y) =

  x+y 

x2 − y 2

si

x>y

si

x≤y

Entonces es claro que, para (x, y) con |x| < 1, |y| < 1, se tiene

y como

l´ım

|f (x, y)| ≤ |x| + |y|,
|x| + |y| = 0, se deduce que

(x,y)→(0,0)

l´ım

f (x, y) = 0.

(x,y)→(0,0)

Aqu´ı estamos haciendo uso de regla de Sandwich.

19

2.5.5.

Uso de L´ımites iterados, reiterados o sucesivos

Definici´ on 2.5.9. Sea f : A ⊂ R2 −→ R y ~a = (x0 , y0 ) punto de acumulaci´on de A. Los l´ımites iterados, reiterados o sucesivos de f en ~a se definen, si existen, de la forma:     l´ım l´ım f (x, y) y l´ım l´ım f (x, y) . x→x0

y→y0

y→y0

Ejemplo 2.5.10. Los l´ımites iterados de f (x, y) = x2 + y 3  = l´ım 1 = 1 y l´ım l´ım x→0 x→0 y→0 x2 + y 2 

x→x0

x2 +y 3 x2 +y 2

en (0, 0) son

x2 + y 3  l´ım l´ım = l´ım y = 0. y→0 x→0 x2 + y 2 y→0 

Proposici´ on 2.5.11. Sea f : A ⊂ R2 −→ R y ~a = (x0 , y0 ) punto de acumulaci´on de A. 1) Si existen los l´ımites iterados y son distintos, es decir,     l´ım l´ım f (x, y) 6= l´ım l´ım f (x, y) x→x0

y→y0

y→y0

x→x0

entonces no puede existir l´ım

f (x, y).

(x,y)→(x0 ,y0 )

2) Si existe

l´ım

f (x, y) y existen los dos l´ımites iterados

(x,y)→(x0 ,y0 )

l´ım

x→x0



 l´ım f (x, y) y

y→y0

l´ım



y→y0

 l´ım f (x, y) ,

x→x0

entonces l´ım

f (x, y) = l´ım

x→x0

(x,y)→(x0 ,y0 )



   l´ım f (x, y) = l´ım l´ım f (x, y) .

y→y0

y→y0

x→x0

Ejemplo 2.5.12. Para calcular xy − 2x + y (x,y)→(0,0) x+y l´ım

calculamos los l´ımites iterados   xy − 2x + y −2x l´ım l´ım = l´ım = −2 x→0 y→0 x→0 x+y x   xy − 2x + y y l´ım l´ım = l´ım = 1. y→0 x→0 y→0 y x+y Dado que los l´ımites iterados existen y no coinciden, el l´ımite no existe.

20 Ejemplo 2.5.13. Dada la funci´on  x2 −2y2  2x2 +y2 f (x, y) =  0

si

(x, y) 6= (0, 0)

si

(x, y) = (0, 0)

Tenemos    x2 x2 − 2y 2 1 = l´ ım l´ım l´ım f (x, y) = l´ım l´ım 2 = 2 2 x→0 2x x→0 y→0 x→0 y→0 2x + y 2 

y    x2 − 2y 2 −2y 2 l´ım l´ım f (x, y) = l´ım l´ım 2 = l´ ım = −2. y→0 x→0 y→0 x→0 2x + y 2 x→0 y 2 Por tanto, como los l´ımites iterados son distintos, entonces no existe 

l´ım

f (x, y).

(x,y)→(0,0)

Observaci´ on 2.5.14 (¡Atenci´ on!). El hecho de que los l´ımites iterados de una funci´on existan en un punto y sean todos iguales, no implica que la funci´on tenga l´ımite en ese punto. Ejemplo 2.5.15. Dada la funci´on  xy  x2 +y2 f (x, y) =  0

si

(x, y) 6= (0, 0)

si

(x, y) = (0, 0)

Tenemos l´ım



l´ım



x→0





l´ım f (x, y) = l´ım

y→0

x→0

xy l´ım y→0 x2 + y 2

 = l´ım

x→0

0 =0 x2

y y→0

  l´ım f (x, y) = l´ım l´ım

 xy 0 = l´ım 2 = 0. 2 2 y→0 x→0 x + y x→0 y f (x, y) ya que el l´ımite en (0, 0) a lo largo del eje

x→0

Sin embargo no existe

l´ım (x,y)→(0,0)

y = 0 es l´ım

x·0 =0 x→0 x2

f (x, y) = l´ım

(x,y)→(0,0) y=0

mientras que el l´ımite en (0, 0) a lo largo de la recta y = x es l´ım (x,y)→(0,0) y=x

y los valores no coinciden.

x·x 1 = x→0 x2 + y 2 2

f (x, y) = l´ım

21 Observaci´ on 2.5.16 (¡Atenci´ on!). Puede ocurrir que una funci´on en punto tenga l´ımite y alguno de los l´ımites iterados, o incluso ninguno de ellos exista. Ejemplo 2.5.17. Dada la funci´on  2  x sin

f (x, y) =

l´ım




0

 se tiene que

1 y

si

(x, y) 6= (0, 0)

si

(x, y) = (0, 0)

f (x, y) = 0. Mientras que analizando los l´ımites iterados se

(x,y)→(0,0)

tiene que: l´ım







y→0

x→0

l´ım x sin

 1 

no existe y     1  2 l´ım l´ım f (x, y) = l´ım l´ım x sin = 0. y→0 x→0 y→0 x→0 y

x→0

l´ım f (x, y) = l´ım

2

y→0

Ejemplo 2.5.18. La funci´on

f (x, y) =

 2  x sin

1 y




+ y 2 sin

1 x

0






si

(x, y) 6= (0, 0)

si

(x, y) = (0, 0)

carece de l´ımites iterados ya que 

 1 i h 1 2 2 + y sin l´ım x sin y→0 y x



 1 i h 1 2 2 + y sin l´ım x sin x→0 y x

l´ım

x→0

y l´ım

y→0

no existen, mientras que

l´ım

f (x, y) = 0.

(x,y)→(0,0)

Resumen 2.5.19 (¡Atenci´ on!). Si los l´ımites iterados existen y no coinciden, entonces el l´ımite no existe. En cambio, si los l´ımites iterados existen y coinciden no podemos asegurar la existencia de l´ımite, puesto que para ello deber´ıamos recurrir a la definici´on. S´olo podemos afirmar que, si existe el l´ımite, tomar´a el mismo valor que los iterados.

22

2.5.6.

Uso de l´ımites direccionales

Lema 2.5.20. La ecuaci´on general de las rectas que pasan por el punto ~a = (x0 , y0 ) es y − y0 = λ(x − x0 ), donde λ ∈ R. Definici´ on 2.5.21. Sea f : A ⊂ R2 −→ R y ~a = (x0 , y0 ) punto de acumulaci´on de A y sea λ ∈ R. Los l´ımites direccionales se definen de la forma:
l´ım f (x, y) = l´ım f x, y0 + λ(x − x0 ) . x→x0

(x,y)→(x0 ,y0 ) y−y0 =λ(x−x0 )

Proposici´ on 2.5.22. Sea f : A ⊂ R2 −→ R y ~a = (x0 , y0 ) punto de acumulaci´on de A. 1) Si existen λ1 , λ2 ∈ R, con λ1 6= λ2 , tales que los l´ımites direccionales existen y son distintos, es decir, l´ım

6=

f (x, y)

l´ım

(x,y)→(x0 ,y0 ) y−y0 =λ1 (x−x0 )

f (x, y)

(x,y)→(x0 ,y0 ) y−y0 =λ2 (x−x0 )

entonces no puede existir l´ım

f (x, y).

(x,y)→(x0 ,y0 )

2) Si l´ım

f (x, y) = l,

(x,y)→(x0 ,y0 )

entonces para todo λ ∈ R l´ım

f (x, y) = l

(x,y)→(x0 ,y0 ) y−y0 =λ(x−x0 )

Ejemplo 2.5.23. l´ım (x,y)→(0,0)

5x2 − 7(λx)2 5x2 − 7y 2 = l´ ım 2x2 + 5y 2 (x,y)→(0,0) 2x2 + 5(λx)2 y=λx

=

l´ım (x,y)→(0,0) y=λx

=

l´ım (x,y)→(0,0) y=λx

x2 (5 − 7λ2 ) x2 (2 + 5λ2 ) 5 − 7λ2 5 − 7λ2 = 2 + 5λ2 2 + 5λ2

Como el l´ımite no es u ´nico, ya que depende del camino y = λx cuando acercamos al punto (0, 0). Por tanto el l´ımite no existe.

23 Observaci´ on 2.5.24 (¡Atenci´ on!). Puede ocurrir que todos los l´ımites a lo largo de rectas existan y sean iguales, y que sin embargo el l´ımite no exista. En muchos de estos casos el aproximarnos por curvas continuas m´as generales puede dar buen resultado para ver que no existe el l´ımite. Ejemplo 2.5.25. Estudiamos la existencia de xy 3 . (x,y)→(0,0) x2 + y 6 l´ım

Los l´ımites direccionales son todos 0, ya que si y = λx, con λ ∈ R, entonces l´ım (x,y)→(0,0) y=λx

xy 3 xλ3 x3 λ 3 x2 = l´ ım = l´ ım = 0. x→0 x2 + λ6 x6 x→0 1 + λ6 x4 x2 + y 6

Pero calculando el l´ımite seg´ un la curva continua (x = y 3 , y) ⊂ R2 se tiene que l´ım (x,y)→(0,0) x=y 3

y6 1 xy 3 = l´ ım = . x→0 y 6 + y 6 x2 + y 6 2

Al haber encontrado dos formas de aproximar al punto (0, 0) con l´ımites distintos no existe el l´ımite. Resumen 2.5.26 (¡Atenci´ on!). Si alguno de los l´ımites anteriores es diferente de los otros, podemos afirmar que la funci´on no tiene l´ımite en el punto. En cambio, si todos los l´ımites coinciden no podemos asegurar la existencia de l´ımite, puesto que para ello deber´ıamos recurrir a la definici´on. S´olo podemos afirmar que, si existe el l´ımite, tomar´a el mismo valor que los anteriores.

2.5.7.

Uso de curvas continuas

Proposici´ on 2.5.27. Sea f : A ⊂ Rn −→ R y ~a = (x0 , y0 ) punto de acumulaci´on de A, se tiene que: l´ım f (x, y) = l, ~ x→~a

si y s´olo si, para cada curva (aplicaci´on) continua γ : [0, 1] −→ A tal que γ(0) = ~a se tiene que
l´ım+ f γ(t) = l. t→0

Ejemplo 2.5.28. Sea f (x, y) =

xy 2 x2 + y 4

24 Es f´acil ver que los l´ımites iterados existen y son ambos cero, y tambi´en existen los l´ımites a lo largo de rectas y son todos iguales: l´ım f (x, λx) = 0.

x→0

Sin embargo el l´ımite de f en (0, 0) no puede existir, ya que si consideramos las curvas continuas γ : [0, 1] −→ R2 t −→ γ(t) = (t2 , t) β : [0, 1] −→ R2 t −→ β(t) = (0, t) entonces tenemos que γ(0) = β(0) = (0, 0) sin embargo, y


1 l´ım+ f γ(t) = t→0 2
l´ım+ f β(t) = 0.

t→0

Ejemplo 2.5.29. Estudiamos la existencia de yz . l´ım 2 (x,y,z)→(0,0,0) x + y 2 + z 2 Si consideramos las curvas continuas γ : [0, 1] −→ R3 t −→ γ(t) = (0, t, t) β : [0, 1] −→ R2 t −→ β(t) = (t, 0, 0) entonces tenemos que γ(0) = β(0) = (0, 0, 0) sin embargo,
t2 1 1 l´ım+ f γ(t) = l´ım+ 2 = l´ım+ = t→0 t→0 2t t→0 2 2 y
0 l´ım+ f β(t) = l´ım+ 2 = 0. t→0 t→0 t Al ser los l´ımites seg´ un las curvas γ y β distintos, no existe l´ımite.

25

2.5.8.

Uso de sucesiones

El criterio que nunca falla a la hora de demostrar que un l´ımite no existe, y que suele dar resultados m´as r´apidos y por lo menos igual de efectivos que todos los anteriores, es el de las sucesiones. En virtud de la Proposici´on 2.3.5 basta encontrar dos sucesiones que converjan al punto donde se toma el limite y a lo largo de las cuales la funci´on converge a puntos diferentes (o no converge). Ejemplo 2.5.30. Sea f:

R2

−→ R 

(x, y) −→ f (x, y) =

1 0

si x − y ∈ Q en caso contrario

Si tomamos

  √2  ,0 y (x0n , yn0 ) = ,0 , (xn , yn ) = n n entonces es claro que 1  l´ım f (xn , yn ) = l´ım f , 0 = 1 n→∞ n→∞ n 1

y l´ım f (x0n , yn0 ) = l´ım f

n→∞

n→∞

 √2 n

Por tanto no existe l´ım (x,y)→(0,0)

f (x, y).

 , 0 = 0.

26

Cap´ıtulo 3 Continuidad

3.1.

Definici´ on de funci´ on continua

Definici´ on 3.1.1. Sean A ⊂ Rn , f : A ⊂ Rn −→ Rm una funci´on, (n, m ≥ 1) y ~a ∈ A un punto de acumulaci´on de A. Se dice que f es continua en ~a ∈ A si se verifican las tres condiciones siguientes: 1) Existe f (~a) ∈ Rm . 2) Existe l´ım f (~x) = ~l ∈ Rm . ~ x→~a

3) f (~a) = ~l. Esto equivale a decir que

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si k~x − ~ak < δ, entonces f (~x) − f (~a) < ε. Ejemplo 3.1.2. La funci´on f:

R2 −→ R (x, y) −→ f (x, y) = x2 y

es continua en (0, 0). En efecto: Hay que demostrar que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si p k(x, y) − (0, 0)k = (x − 0)2 + (y − 0)2 < δ 27

28 entonces |f (x, y) − f (0, 0)| = |x2 y| < ε. Como |x| ≤

p x2 + y 2

|y| ≤

y

p x2 + y 2

se tiene que |x|2 ≤ x2 + y 2

y

|y| ≤

p x2 + y 2


23

p 3 x2 + y 2 < δ 3 = ε

As´ı que |x|2 |y| ≤ x2 + y 2


12 +1

= x2 + y 2

=

Basta entonces escoger 1

δ = ε3 . Observaci´ on 3.1.3. S´olo tiene sentido discutir la continuidad de una funci´on sobre los puntos de acumulaci´on que pertenecen su dominio de definici´on. Ejemplo 3.1.4. Estudiar la continuidad de la funci´on f:

R2

−→ R2

(x, y) −→ f (x, y) =





1 , cos(xy) x−y

en el punto (1, 1). El dominio de la definici´on de f viene dado por la intersecci´on de los dominios de definici´on de sus dos componentes: f1 (x, y) =

1 x−y

y f2 (x, y) = cos(xy),

es decir, D(f ) = D(f1 ) ∩ D(f2 ) = {(x, y) ∈ R2 : x 6= y}. Por tanto el punto (1, 1) no pertenece al dominio y no cabe estudiar la continuidad de la funci´on sobre dicho punto. Nota 3.1.5. Sean A ⊂ Rn , f : A ⊂ Rn −→ Rm una funci´on, (n, m ≥ 1) y ~a ∈ A un punto de acumulaci´on de A

29 1) Si existe l´ım f (~x) = ~l ∈ Rm , pero no existe f (~a) , entonces se puede prolongar ~ x→~a

f por continuidad a otra funci´on fe continua en el punto ~a, definida de la forma siguiente:   si ~x 6= ~a  f (~x) fe(~x) =   l´ım f (~x) si ~x = ~a. ~ x→~a

 2) Si existen l´ım f (~x) = ~l ∈ Rm y el valor f (~a), pero no coinciden, es decir, ~ x→~a  l´ım f (~x) = ~l 6= f (~a) , entonces se puede definir otra funci´on fb continua en ~ x→~a

el punto ~a, de la forma siguiente:   f (~x) b f (~x) = ~ l

si

~x 6= ~a

si

~x = ~a.

En estos dos casos [1), 2)] se dice que la continuidad es evitable. 3) Si no existe l´ım f (~x) se dice que la discontinuidad es inevitable. ~ x→~a

Observaci´ on 3.1.6. Sean A ⊂ Rn , f : A ⊂ Rn −→ Rm una funci´on, (n, m ≥ 1) y ~a ∈ A un punto aislado de A. Por convenio, se establece que f es continua en ~a. Ejemplo 3.1.7. La funci´on f : R2 − {(0, 0)} −→ R 3 +y 3 (x, y) −→ xx2 +y 2 puede prolongarse por continuidad en (0, 0) definido   f (x, y) si (x, y) 6= (0, 0) fe(x, y) =  0 si (x, y) = (0, 0) ya que,
r3 cos3 (θ) + r3 sin3 (θ) f r cos(θ), r sin(θ) = r2 3 = |r| cos (θ) + sin3 (θ) ≤ 2|r| luego l´ım (x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0 = fe(0, 0).

30 Proposici´ on 3.1.8 (Condici´ on necesaria y suficiente de continuidad). Sean A ⊂ Rn , f : A ⊂ Rn −→ Rm una funci´on, (n, m ≥
1) y ~a ∈ A un punto de acumulaci´on de A. Sea f (~x) = f1 (~x), f2 (~x), . . . , fm (~x) ∈ Rm para cada ~x ∈ A. entonces: f es continua en ~a ⇐⇒ fi es continua en ~a,

∀ i = 1, 2, . . . , m.

Observaci´ on 3.1.9. La continuidad de la funci´on implica la continuidad respecto de cada una de la variables, pero el contrario no es cierto. V´ease el ejemplo siguiente. Ejemplo 3.1.10. La funci´on de R2 en R dada por  xy  x2 +y2 si (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) =  0 si (x, y) = (0, 0). verifica que f (x, 0) = 0, ∀ x ∈ R y f (0, y) = 0, ∀ y ∈ R, por lo que l´ım f (x, 0) = 0 = f (0, 0) y

x→0

l´ım f (0, y) = 0 = f (0, 0),

y→0

es decir, es continua en (0, 0) respecto de cada una de las variables independiente. Sin embargo no es continua en (0, 0) como funci´on de dos variables, ya que si nos acercamos al origen, tanto como queramos, con puntos de la forma (x, λx), siendo λ, x 6= 0, se tiene que λ λx2 l´ım = , (x,y)→(0,0) x2 + λ2 x2 λ2 + 1 y=λx

por tanto no existe l´ım

f (x, y),

(x,y)→(0,0)

y f no es continua en (0, 0).

3.2.

Propiedades de las funciones continuas

Proposici´ on 3.2.1. Sean A ⊂ Rn , f, g : A ⊂ Rn −→ Rm , (n, m ≥ 1), dos funci´on continuas en ~a ∈ A, entonces se verifican las siguientes propiedades: 1) f + g es continua en ~a. 2) λf es continua en ~a, siendo λ ∈ R. 3) m = 1, entonces f · g es continua en ~a.

31 4) m = 1 y g(~a) 6= 0, entonces

f g

es continua en ~a.

Proposici´ on 3.2.2. Una funci´on f : Rn −→ Rm es continua en ~a ∈ Rn , si y s´olo si, para cada sucesiones (~xn )n≥1 ⊂ Rn con l´ım k~xn − ~ak = 0

n→+∞

se tiene que l´ım kf (~xn ) − f (~a)k = 0.

n→+∞

Proposici´ on 3.2.3 (Continuidad de la funci´ on compuesta). Sean f : Rn −→ Rm y g : Rm −→ Rp con Im(f ) ⊂ D(g). Si f es continua en ~a y g es continua en f (~a) entonces g ◦ f es continua en ~a. Ejemplo 3.2.4. La funci´on h:

R2 −→ R (x, y) −→ sin(x2 + y 2 )

es una funci´on continua en el punto (0, 0) al ser composici´on de las funciones continuas f:

R2 −→ R (x, y) −→ x2 + y 2

y g : R −→ R t −→ sin(t) Ejemplo 3.2.5. La funci´on h:

R3

−→  R3  x+y+z 2 2 (x, y, z) −→ 3e , sin(x + y ), 1 + x + y + z

es una funci´on continua en todo punto de R3 al ser composici´on de las funciones continuas f:

R3 −→ R3
(x, y, z) −→ x + y + z, x2 + y 2 , 1 + x + y + z

y g:

R3 −→ R3
(x, y, z) −→ 3ex , sin(y), 1 + z

32 Corolario 3.2.6. Sean f : A ⊂ Rn −→ Rm y g : Rm −→ Rp con Im(f ) ⊂ D(g) y ~a ∈ A un punto de acumulaci´on de A. Supongamos que l´ım f (~x) = ~b ∈ Rm , y que g es continua en ~b ∈ Rm . Entonces, ~ x→~a existe  
l´ım g f (~x) = g l´ım f (~x) . ~ x→~a

~ x→~a

Ejemplo 3.2.7. Calcular l´ım (x,y)→(0,0)

Tenemos h(x, y) =

sin(x2 + y 7 ) x2 + y 7

sin(x2 + y 7 ) = g ◦ f (x, y), x2 + y 7

donde f:

R2 −→ R (x, y) −→ x2 + y 7

es una funci´on continua en (0, 0), l´ım

f (x, y) = 0 = f (0, 0)

(x,y)→(0,0)

y la funci´on g : R −→ R  t −→

sin(t) t

1

si si

t 6= 0 t = 0.

es una funci´on continua en 0, l´ım g(t) = 1 = g(0). t→0

Por tanto, l´ım (x,y)→(0,0)


sin(x2 + y 7 ) = l´ım g f (x, y) 2 7 (x,y)→(0,0) x +y   =g l´ım f (x, y) = g(0) = 1. (x,y)→(0,0)

Observaci´ on 3.2.8. Si la funci´on g no es continua en el valor del l´ımite de f , el corolario anterior no es cierto en general. V´ease el ejemplo siguiente.

33 Ejemplo 3.2.9. Sean f : R −→ R x −→ x y g : R −→ R  1 x −→ 0

x 6= 0 x = 0.

si si

Entonces
l´ım g f (x) = l´ım g(x) = l´ım 1 = 1,

x→0

x→0

x→0

mientras   g l´ım f (x) = g(0) = 0. x→0

Por tanto  l´ım g f (x) = 6 g l´ım f (x) .




x→0

x→0

En este caso el problema est´a en que, aunque g s´ı tiene l´ımite en 0, su valor no coincide con el que toma g en 0. Nota 3.2.10. Esta clase de dificultad tiene f´acil arreglo: podr´ıamos redefinir g en 0 como el valor del l´ımite de g en 0, es decir, ( ge(x) =

g(x) l´ım g(x) x→0

si si

x 6= 0 x=0

y as´ı estar´ıamos en condiciones de aplicar el resultado a la nueva funci´on. Este arreglo es el que proporciona el siguiente Corolario. Corolario 3.2.11. Sean f : A ⊂ Rn −→ Rm y g : Rm −→ Rp con Im(f ) ⊂ D(g) y ~a ∈ A un punto de acumulaci´on de A. Supongamos que l´ım f (~x) = ~b ∈ Rm , y que existe l´ım g(~y ) = ~c ∈ Rm . Entonces, ~ x→~a

~ y →~b

existe
l´ım g f (~x) = ~c.

~ x→~a

34

3.3.

Continuidad en conjuntos

Definici´ on 3.3.1. Se dice que una funci´on f : Rn −→ Rm es continua en un subconjunto A de Rn si f es continua en ~a para cada ~a ∈ A. Si f : Rn −→ Rm es continua en todo Rn , diremos simplemente que f es continua. Observaci´ on 3.3.2. Es evidente que si f : Rn −→ Rm es continua en A ⊆ Rn , entonces la funci´on f restringida a A, f |A : A −→ Rm a −→ f |A (a) = f (a) es tambi´en continua. El rec´ıproco no es cierto en general, es decir, puede ocurrir perfectamente que f |A sea continua sin que ello implique que f es continua en A pi´ensese en el caso en que A = {a} sea un punto y f discontinua en a, por ejemplo, f : R −→ R  1 x −→ 0

si si

x 6= 0 x=0

con A = {0}, la funci´on f |A : {0} −→ R 0 −→ f |A (0) = f (0) = 0 es continua en A = {0} ya que l´ım f |A (x) = l´ım f (0) = 0 = f |A (0),

x→0

x→0

mientras la funci´on f no es continua en A = {0} ya que
l´ım f (x) = 1 6= 0 = f (0) . x→0

Sin embargo s´ı es cierto cuando A es abierto. Proposici´ on 3.3.3. Sean f : Rn −→ Rm una funci´on, A un subconjunto abierto de Rn , y supongamos que f |A : A −→ Rm es continua. Entonces f es continua en A. Ejemplo 3.3.4. Consideremos la funci´on f:

R2

−→ R (

(x, y) −→

x cos 0



1 x2 +y 2



si si

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0)

35 A = R2 − {(0, 0)}. Como A es abierto y f |A (x, y) = x cos



1  x2 + y 2

es continua al ser composici´on de funciones continuas, se tiene por la proposici´on anterior que f es continua en A. Adem´as |f (x, y)| ≤ |x| −−−−−→ 0 = f (0, 0), x−→0

as´ı que l´ım

f (x, y) = 0 = f (0, 0)

(x,y)→(0,0)

luego f es continua en (0, 0) y por tanto f : R2 −→ R es continua. Teorema 3.3.5. Sea f : Rn −→ Rm una funci´on continua y sea K ⊂ Rn un subconjunto compacto de Rn . Entonces f (K) es compacto en Rm . Teorema 3.3.6 (Weierstrass). Sea f : Rn −→ R una funci´on continua en un conjunto compacto K ⊂ Rn . Entonces f alcanza un m´aximo y un m´ınimo absolutos en K, es decir, existen ~a, ~b ∈ K tales que 1) Para todo ~x ∈ K, f (~x) ≤ m´ax f (~y ) = f (~a) ~ y ∈K

2) Para todo ~x ∈ K, f (~b) = m´ın f (~y ) ≤ f (~x). ~ y ∈K

En particular f est´a acotada en K.

3.4.

Continuidad uniforme

Definici´ on 3.4.1. Sea f : Rn −→ Rm una funci´on. Se dice que f es uniformemente continua en A ⊆ Rn si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si ~x, ~y ∈ A y

k~x − ~y k < δ

entonces f (~x) − f (~y ) < ε.

Ejemplo 3.4.2. La funci´on f (x) = x es uniformemente continua en R. Nota 3.4.3. La diferencia entre continuidad y continuidad uniforme consiste en que en la primera, dado un ε > 0 y un punto x0 , se exige la existencia del δ = δ(x0 , ε) correspondiente, que depender´a del ε elegido y del punto x0 de que se trate; mientras que la continuidad uniforme exige que dado un ε > 0 encontremos el δ = δ(ε) correspondiente, que depender´a solamente de ε, v´alido para todos los puntos del conjunto A.

36 Observaci´ on 3.4.4. Si f : Rn −→ Rm es uniformemente continua en A ⊆ Rn , entonces f |A : A −→ Rm es continua (lo cual, n´otese bien, no quiere decir f : Rn −→ Rm sea continua en A, como ya sabemos, Observaci´on 3.3.2). En particular si f : Rn −→ Rm es uniformemente continua en Rn , entonces f : Rn −→ Rm es continua. El rec´ıproco no es cierto como prueban los siguientes ejemplos. Ejemplo 3.4.5. Las funciones f : R −→ R x −→ x2

g : (0, 1) −→ R x −→ x1

y

son continuas, pero no uniformemente continuas. En efecto: Supongamos que f es uniformemente continua en todo R. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, |h| < δ, (h = y − x) |(x + h)2 − x2 | = |2xh + h2 | < ε, cualquiera que sea x ∈ R. Considerando un x0 > 0 y h > 0 tendremos: |2x0 h + h2 | > 2x0 h. Si tomamos h=

δ 2

y

x0 >

ε δ

resulta |(x0 + h)2 − x20 | > 2x0 h > ε con lo que llegamos a una contradicci´on. De la misma forma se puede demostrar que la funci´on g no es uniformemente en (0, 1). Proposici´ on 3.4.6. Una funci´on f : Rn −→ Rm es uniformemente continua en n R , si y s´olo si, para cada par de sucesiones (~xn )n≥1 , (~yn )n≥1 ⊂ Rn con l´ım k~xn − ~yn k = 0

n→+∞

se tiene que l´ım kf (~xn ) − f (~yn )k = 0.

n→+∞

37 Nota 3.4.7. Este resultado resulta especialmente indicado en la pr´actica para ver que una determinada funci´on no es uniformemente continua: basta encontrar dos sucesiones tales que la distancia entre sus t´erminos tiende a cero pero la distancia entre los t´erminos de sus sucesiones im´agenes no tiende a cero. En general puede parecer dif´ıcil determinar si una funci´on es uniformemente continua, pero hay un criterio positivo que resulta enormemente efectivo en la pr´actica, nos lo proporciona el siguiente teorema. Ejemplo 3.4.8. La funci´on f : R −→ R x −→ x2 no es uniformemente continua, ya que si tomamos xn = n + n1 y yn = n, tenemos |xn − yn | =

1 −−−−−→ 0; n n−→+∞

mientras |f (xn ) − f (yn )| = 2 +

1 −−−−−→ 2 6= 0. n2 n−→+∞

Ejemplo 3.4.9. La funci´on g : (0, 1) −→ R x −→ x1 no es uniformemente continua, ya que si tomamos xn = |xn − yn | =

1 n+1

y yn = n1 , tenemos

1 −−−−−→ 0; n(n + 1) n−→+∞

mientras |g(xn ) − g(yn )| = 1 −−−−−→ 1 6= 0. n−→+∞

Observaci´ on 3.4.10. Se f : A ⊂ Rn −→ Rm una funci´on uniformemente continua en A, si B ⊂ A, entonces f |B es uniformemente continua en B. Teorema 3.4.11. Sea f : K ⊂ Rn −→ Rm una funci´on continua, y supongamos que K es compacto en Rn . Entonces f es uniformemente continua en K. Observaci´ on 3.4.12. Aunque el dominio A de la funci´on f continua no sea un compacto, el Teorema 3.4.11 puede seguir siendo aplicable, ya que tal vez f pueda extenderse con continuidad a una funci´on fe definida sobre un compacto K que contenga a A, con lo que fe ser´a uniformemente continua en K y por tanto fe|A = f tambi´en ser´a uniformemente continua en A.

38 Ejemplo 3.4.13. I La funci´on g:


R − {0} × R −→ R (x, y) −→ xy sin(x2 + y 2 )

no tiene l´ımite en el origen. En efecto: l´ım (x,y)→(0,0)

y sin(x2 + y 2 ). x

En efecto: Tenemos que
g r cos(θ), r sin(θ) = tg(θ) sin(r2 ),

n π 3π o ∀ r > 0, ∀ θ ∈ [0, 2π] − , . 2 2

Sea (rn )n≥1 una sucesi´on de n´ umeros positivos con l´ım

n→+∞

rn = 0.

Como l´ım tg(θ) = +∞, entonces para cada n ≥ 1 podemos encontrar θn pr´oximo θ→ π2 −
a π2 , θn < π2 de modo que 1 tg(θn ) ≥ 2 2 sin (rn ) entonces es evidente que
g rn cos(θn ), rn sin(θn ) = tg(θn ) sin(rn2 ) ≥

1 sin(rn2 )

−−−−−→ +∞ n−→+∞

Por otra lado, para θ = 0, es claro que
l´ım f r cos(θ), r sin(θ) = l´ım tg(θ) sin(r2 ) = 0. r→0

r→0

Por consiguiente no puede existir
l´ım g r cos(θ), r sin(θ)

r→0

uniformemente en θ ∈ [0, 2π]. Luego no existe l´ım (x,y)→(0,0)

y sin(x2 + y 2 ). x

En particular ni la funci´on g ni ninguna extensi´on suya puede ser continua en (0, 0), entendida como funci´on de R2 en R.

39 I Consideremos la funci´on f:

A −→ R (x, y) −→ f (x, y) =

y x

sin(x2 + y 2 )

donde A = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x < 1}, que es continua en el conjunto A que no es compacto. I Podemos definir una extensi´on fe : A −→ R de f que es continua en A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x ≤ 1} 3 (0, 0). En efecto, si 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 se tiene que y sin(x2 + y 2 ) ≤ sin(x2 + y 2 ) −−−−−−−→ 0 (x,y)−→(0,0) x Por tanto: l´ım (x,y)→(0,0) (x,y)∈A

y sin(x2 + y 2 ) = 0. x

de modo que la funci´on definida por fe :

−→  R  (x, y) −→  A

y x

0

sin(x2 + y 2 )

si

(x, y) 6= (0, 0)

si

(x, y) = (0, 0)

es continua A y por consiguiente, al ser A compacto, fe es uniformemente continua en A, y en particular f = fe|A es tambi´en uniformemente continua en A.

40

Cap´ıtulo 4 Derivadas direccionales y parciales 4.1.

Derivadas direccionales de funciones reales

Definici´ on 4.1.1. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a ∈ U , ~v ∈ Rn con k~v k = 1 y f : U ⊂ Rn −→ R una funci´on. La derivada direccional de f , en el punto ~a, seg´ un la direcci´on de ~v , denotada por D~v f (~a), se define por f (~a + t~v ) − f (~a) , t→0 t cuando este l´ımite existe y es un n´ umero real. D~v f (~a) = l´ım

Ejemplo 4.1.2. La derivada direccional de la funci´on  x2 y  x2 +y2 si (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) =  0 si (x, y) = (0, 0)
en el punto (0, 0) seg´ un la direcci´on ~v = √12 , √12 es:
f (0, 0) + t~v − f (0, 0) 1  t t  D~v f (0, 0) = l´ım = l´ım f √ , √ t→0 t→0 t t 2 2 t2 t

1 2√ t3 1 = l´ım t2 2t2 = l´ım √ = √ . 3 t→0 t t→0 + 2 2 2t 2 2 2 41

42 Ejemplo 4.1.3. Si f (x, y) =

p |xy|, ~a = (0, 0) y ~v = (1, 1) se tiene que


√ f (0, 0) + t(1, 1) − f (0, 0) t2 |t| = l´ım = l´ım . l´ım t→0 t→0 t t→0 t t Por tanto D(1,1) f (0, 0) no existe. Observaci´ on 4.1.4. Si la
funci´on es de dos variables podemos representar el vector ~v como ~v = cos(θ), sin(θ) para alg´ un θ ∈ [0, 2π), entonces D~v f (~a) = D~v f (x0 , y0 ) = Dθ f (x0 , y0 )
f x0 + t cos(θ), y0 + t sin(θ) − f (x0 , y0 ) = l´ım t→0 t y se puede hablar de la derivada en la direcci´on θ. Ejemplo 4.1.5. La derivada direccional de la funci´on  x3 +y3  x2 +y2 si (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) =  0 si (x, y) = (0, 0) en el punto (0, 0) seg´ un la direcci´on θ =

π 4

es:

t3 cos( π4 )


3

t2

D π4 f (0, 0) = l´ım

t

t→0

h

= cos


3

+t3 sin( π4 )

 π i3 4

h

+ sin

 π i3 4

√ 2 . = 2

Nota 4.1.6. Si el vector ~v no es unitario se puede hablar de derivada en la direcci´on de ~v refiri´endose a D~u donde ~u =

4.2.

~v . k~v k

Derivadas parciales de funciones reales

Definici´ on 4.2.1. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ U , y f : U ⊂ Rn −→ R una funci´on.

43 Se llama derivada parcial de primer orden de la funci´on f , respecto de la variable i-´esima, en el punto ~a, a la derivada direccional de f en el punto ~a seg´ un el vector ~ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) correspondiente a esa variable y se denota fxi (~a), ∂f Dxi f (~a) o ∂x (~a), es decir i f (~a + t~ei ) − f (~a) ∂f (~a) = l´ım t→0 ∂xi t f (a1 , . . . , ai−1 , ai + t, ai+1 , . . . , an ) − f (a1 , . . . , an ) = l´ım . t→0 t Ejemplo 4.2.2. Si f (x, y) = x2 + x + 1 entonces
f (0, 0) + t(1, 0) − f (0, 0) ∂f t2 + t + 1 − 1 (0, 0) = l´ım = l´ım = 1, t→0 t→0 ∂x t
t f (0, 0) + t(0, 1) − f (0, 0) 1−1 ∂f (0, 0) = l´ım = l´ım = 0. t→0 t→0 ∂y t t Ejemplo 4.2.3. Analicemos la existencia de las derivadas parciales de primer orden en el punto (0, 0) para la funci´on  x2 −y2  x2 +y2 si (x, y) 6= (0, 0), f (x, y) =  0 si (x, y) = (0, 0). Seg´ un la definici´on de derivadas parciales se tiene que f (t, 0) − f (0, 0) 1 t2 − 02 1 ∂f (0, 0) = l´ım = l´ım = l´ım 2 2 t→0 t→0 t t + 0 t→0 t ∂x t f (0, t) − f (0, 0) 1 02 − t2 −1 ∂f (0, 0) = l´ım = l´ım = l´ ım t→0 t→0 t 02 + t2 t→0 ∂y t t

no existe.

no existe.

∂f Observaci´ on 4.2.4. Hallar ∂x no es otra cosa que derivar la expresi´on que define i la funci´on f respecto de la variable xi solamente, considerando el resto de las xj , j 6= i, como constantes.

Ejemplo 4.2.5. La funci´on de dos variables f (x, y) = 2x3 y − 3y sin(x), tiene por derivadas parciales de primer orden, en un punto gen´erico (x, y) ∂f (x, y) = 6x2 y − 3y cos(x), ∂x ∂f (x, y) = 2x3 − 3 sin(x). ∂y

44 Ejemplo 4.2.6. La funci´on de tres variables f (x, y, z) = x3 y 2 z + xz, tiene por derivadas parciales de primer orden a las funciones ∂f (x, y, z) = 3x2 y 2 z + z, ∂x ∂f (x, y, z) = 2x3 yz, ∂y ∂f (x, y, z) = x3 y 2 + x. ∂z Nota 4.2.7 (Interpretaci´ on geom´ etrica). Sea f : U ⊆ R2 −→ R una funci´on real de dos variables y (x0 , y0 ) ∈ U , entonces ∂f (x0 , y0 ) y ∂f (x0 , y0 ) son los valores de la pendiente de la tangente a la curva ∂x ∂y que resulta al cortar la superficie Gf =

n

o
x, y, f (x, y) : (x, y) ∈ U ,

con los planos y = y0 y x = x0 respectivamente.

4.3.

¿Existe alguna relaci´ on entre derivadas parciales, direccionales y continuidad en un punto?

Al contrario de lo que ocurre en las funciones de una variable, la existencia de las derivadas parciales no garantiza la continuidad de la funci´on en un punto.

4.3.1.

Funci´ on continua en un punto y existiendo las derivadas parciales

Ejemplo 4.3.1. La funci´on

f (x, y) =

 

2x3 x2 +y 2

si

(x, y) 6= (0, 0),



0

si

(x, y) = (0, 0).

45 tiene derivadas parciales en el punto (0, 0), que son ∂f f (t, 0) − f (0, 0) 1 2t3 − 0 2t3 (0, 0) = l´ım = l´ım = l´ ım = 2, t→0 t→0 t t2 + 0 t→0 t3 ∂x t ∂f f (0, t) − f (0, 0) 1 0−0 0 (0, 0) = l´ım = l´ım = l´ım 3 = 0. 2 t→0 t→0 t 0 + t t→0 t ∂y t Para estudiar la continuidad en (0, 0) calculamos el l´ımite en (0, 0), pasando a coordenadas polares x = r cos(θ), y = r sin(θ) l´ım

2r3 cos3 (θ) r→0 r2 = l´ım 2r cos3 (θ) = 2 · 0 = 0 = f (0, 0),

f (x, y) = l´ım

(x,y)→(0,0)

r→0

por lo que es continua.

4.3.2.

Funci´ on continua en un punto sin derivadas parciales en dicho punto

Ejemplo 4.3.2. La funci´on      1 1  + y sin x sin  x2 +y 2 x2 +y 2 f (x, y) =   0

si

(x, y) 6= (0, 0),

si

(x, y) = (0, 0),

es continua en (0, 0), pues l´ım

f (x, y) =

(x,y)→(0,0)

l´ım

x sin

(x,y)→(0,0)



 1  1  + l´ ım y sin (x,y)→(0,0) x2 + y 2 x2 + y 2

= 0 + 0 = 0. La derivada parcial respecto de x ∂f f (t, 0) − f (0, 0) (0, 0) = l´ım t→0 ∂x  t  1  1  1 = l´ım t sin 2 + 0 sin 2 t→0 t t +0 t +0     1 1 1 = l´ım t sin 2 = l´ım sin 2 no existe. t→0 t t→0 t t

46 An´alogamente f (0, t) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = l´ım t→0 ∂y t   1   1  1 = l´ım 0 sin + t sin t→0 t 0 + t2 0 + t2 1 1 1 = l´ım t sin 2 = l´ım sin 2 no existe. t→0 t t→0 t t Por tanto no existe ninguna de las derivadas parciales de primer orden en el punto (0, 0).

4.3.3.

Funci´ on discontinua en un punto y con derivadas parciales en el punto

Ejemplo 4.3.3. La funci´on f (x, y) =

 

xy x2 +y 2

si

(x, y) 6= (0, 0),



0

si

(x, y) = (0, 0).

Del Ejemplo 3.1.10 del cap´ıtulo anterior, Sabemos que no es continua en (0, 0). Sus derivadas parciales en (0, 0), siguiendo la definici´on, son f (t, 0) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = l´ım t→0 ∂x t  1  0 1 = l´ım − 0 = l´ım · 0 = 0, 2 t→0 t→0 t t +0 t ∂f f (0, t) − f (0, 0) (0, 0) = l´ım t→0 ∂y t   1 0 1 = l´ım − 0 = l´ım · 0 = 0. 2 t→0 t t→0 t 0+t Es decir, esta funci´on tiene derivadas parciales en (0, 0) y sin embargo no es continua en ese punto.

4.3.4.

Funci´ on discontinua en un punto sin derivadas en el mismo punto

Ejemplo 4.3.4. La funci´on f (x, y) =

 

x2 −y 2 x2 +y 2

si

(x, y) 6= (0, 0),



0

si

(x, y) = (0, 0).

47 f (t, 0) − f (0, 0) 1 t2 − 02 ∂f 1 (0, 0) = l´ım = l´ım = l´ım 2 2 t→0 t→0 t t + 0 t→0 t ∂x t ∂f f (0, t) − f (0, 0) 1 02 − t2 −1 (0, 0) = l´ım = l´ım = l´ ım t→0 t→0 t 02 + t2 t→0 ∂y t t Por otra parte, como l´ım (x,y)→(0,0) y=0

x2 − 0 f (x, y) = l´ım 2 =1 x→0 x + 0

y l´ım (x,y)→(0,0) x=0

no existe

l´ım (x,y)→(0,0)

f (x, y) = l´ım

x→0

0 − y2 = −1, 0 + y2

f (x, y) y por tanto f es discontinua en (0, 0).

no existe.

no existe.

48

4.4.

Derivadas parciales y direccionales de funciones vectoriales

Proposici´ on 4.4.1. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a = (a1 , a2 , . .
. , an ) ∈ U , y f : U ⊂ n m R −→ R una funci´on con f (~a) = f1 (~a), f2 (~a), . . . , fm (~a) . La funci´on f tiene derivadas parciales (o direccionales) en el punto ~a si y s´olo si cada funci´on componente fi , donde i = 1, 2, . . . , m tiene derivadas parciales (o direccionales) en dicho punto ~a. Nota 4.4.2. El estudio de derivadas parciales (o direccionales) de funciones vectoriales se reduce a analizar las funciones componentes. As´ı   ∂f1 ∂f2 ∂fm ∂f (~a) = (~a), (~a), . . . , (~a) para cada i = 1, 2, . . . , n; ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi
D~v f (~a) = D~v f1 (~a), D~v f2 (~a), . . . , D~v fm (~a) .

4.4.1.

Matriz jacobiana

Definici´ on 4.4.3. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a = (a1 , a2
, . . . , an ) ∈ U , y f : U ⊂ Rn −→ m R una funci´on con f (~a) = f1 (~a), f2 (~a), . . . , fm (~a) . Supongamos que existen todos las derivadas parciales. Se define la matriz jacobiana de f en el punto ~a, y se denota por Jf (~a), como   ∂f1 ∂f1 ∂f1 (~a) (~a) (~a) ... ∂x1 ∂x2 ∂xn     ∂f ∂f2 ∂f2   2 (~a) (~ a ) . . . (~ a )   ∂x1 ∂x2 ∂xn   Jf (~a) =  .   . . . . .. .. .. ..       ∂fm ∂fm ∂fm (~a) (~a) ... (~a) ∂x1 ∂x2 ∂xn Ejemplo 4.4.4. Calcular la matriz jacobiana de la funci´on f (x, y) = (ex+y + y, yx2 ). Sea f1 (x, y) = ex+y + y, f2 (x, y) = yx2 y  ∂f1 (x, y) ∂x  Jf (x, y) = ∂f2 (x, y) ∂x

∂f1 (x, y) ∂y ∂f2 (x, y) ∂y

 ,

49 entonces se tiene que: 

ex+y

ex+y + 1

Jf (x, y) = 

.

2

2xy



x

Ejemplo 4.4.5. Calcular la matriz jacobiana de la funci´on f (x, y, z) = (zex , −yez ). Sea f1 (x, y, z) = zex , f2 (x, y, z) = −yez y  Jf (x, y, z) = 

∂f1 (x, y, z) ∂x

∂f1 (x, y, z) ∂y

∂f1 (x, y, z) ∂z

∂f2 (x, y, z) ∂x

∂f2 (x, y, z) ∂y

∂f2 (x, y, z) ∂z

 ,

entonces se tiene que: 

zex

Jf (x, y, z) =  0

4.4.2.



ex

0 z

−e

z

.

−ye

Vector gradiente

Definici´ on 4.4.6. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ U , y f : U ⊂ Rn −→ R una funci´on, se denomina vector gradiente de f en ~a y se denota por grad(f )(~a) o ∇f (~a) al vector que tiene por componentes las derivadas parciales de f en ~a, es decir   ∂f ∂f ∂f ∇f (~a) = (~a), (~a), . . . , (~a) . ∂x1 ∂x2 ∂xn Ejemplo 4.4.7. Calcular el vector gradiente de la funci´on f (x, y, z) = ez cos(y) sin(x) en un punto gen´erico (x, y, z). La funci´on f admite derivadas parciales en todo (x, y, z) ∈ R3 , entonces
∇f (x, y, z) = ez cos(y) cos(x), −ez sin(y) sin(x), ez cos(y) sin(x) .

50

4.5.

Derivadas parciales de orden superior

Definici´ on 4.5.1. Sea f : U ⊆ Rn −→ R una funci´on. Supongamos que la derivada ∂f parcial ∂x existe en U . Si la funci´on i ∂f : U −→ R ∂xi admite derivada parcial j-´esima en ~x ∈ U , se dice que f tiene derivada parcial segunda en ~x y se denota   ∂ 2f ∂ ∂f (~x) = (~x) . ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj Ejemplo 4.5.2. Calcular las segundas derivadas parciales de f (x, y) = xy + (x + 2y)2 . Tenemos que ∂f (x, y) = y + 2(x + 2y), ∂x ∂ 2f (x, y) = 2, ∂x2

∂f (x, y) = x + 4(x + 2y), ∂y

∂ 2f (x, y) = 8, ∂y 2

  ∂ 2f ∂ ∂f (x, y) = (x, y) = 5, ∂x∂y ∂x ∂y

  ∂ 2f ∂ ∂f (x, y) = (x, y) = 5. ∂y∂x ∂y ∂x

Proposici´ on 4.5.3. Sea f : U ⊆ Rn −→ Rm una funci´on. La derivada parcial de f = (f1 , . . . , fm ) ∂ 2f ∂xi ∂xj existe si y s´olo si existen las derivadas parciales ∂ 2 fk ∂xi ∂xj para todo k = 1, . . . , m, y en este caso se tiene la igualdad  2  ∂ 2f ∂ f1 ∂ 2 fm = ,..., . ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj

51 Teorema 4.5.4 (Schwarz: igualdad de derivadas cruzadas). Sea f : U ⊆ 2f 2f Rn −→ Rm tal que las derivadas parciales ∂x∂i ∂x , ∂x∂j ∂x existen y son continuas en j i U . Entonces ∂ 2f ∂ 2f = . ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi Ejemplo 4.5.5. Verificar la igualdad de las segundas derivadas parciales cruzadas para la funci´on f (x, y) = xey + yx2 . Tenemos que ∂f (x, y) = ey + 2xy, ∂x

∂f (x, y) = xey + x2 , ∂y

  ∂ 2f ∂ ∂f (x, y) = (x, y) = ey + 2x, funci´on continua ∂x∂y ∂x ∂y   ∂ 2f ∂ ∂f (x, y) = (x, y) = ey + 2x, funci´on continua. ∂y∂x ∂y ∂x Por lo tanto

∂ 2f ∂ 2f (x, y) = (x, y) = ey + 2x. ∂x∂y ∂y∂x

Ejemplo 4.5.6. La funci´on f (x, y) =

 

xy(x2 −y 2 ) x2 +y 2

si

(x, y) 6= (0, 0),



0

si

(x, y) = (0, 0).

es continua en (0, 0). Adem´as ∂f (0, y) = −y, ∂x

∂f (x, 0) = x, ∂y

por tanto   ∂ 2f ∂ ∂f (0, 0) = (0, 0) = 1, ∂x∂y ∂x ∂y   ∂ 2f ∂ ∂f (0, 0) = (0, 0) = −1. ∂y∂x ∂y ∂x Entonces la funci´on f no verifica la igualdad de derivadas cruzadas. ∂2f ∂2f Obviamente las funciones ∂x∂y y ∂y∂x no pueden ser continuas en el punto (0, 0).

52 Definici´ on 4.5.7. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a ∈ U , f : U ⊂ Rn −→ Rm una funci´on y p ∈ N. Se definen las derivadas parciales de orden p en ~a de la forma siguiente:      ∂ ∂ ∂ ∂f ∂ pf (~a) = ··· (~a) . ∂xi1 ∂xi2 · · · ∂xip ∂xi1 ∂xi2 ∂xi3 ∂xip Ejemplo 4.5.8. Calcular las derivadas parciales

∂3f ∂x∂y∂z

y

∂3f ∂x∂z∂y

de la funci´on

f (x, y) = xy + x2 y 2 z. Tenemos que    ∂ 3f ∂ ∂ ∂f (x, y, z) = (x, y, z) ∂x∂y∂z ∂x ∂y ∂z   ∂ ∂ ∂ 2 2 = xy = 2yx2 = 4xy. ∂x ∂y ∂x    ∂ ∂ 3f ∂ ∂f (x, y, z) = (x, y, z) ∂x∂z∂y ∂x ∂z ∂y   ∂ ∂ ∂ 2 = (x + 2zx ) = 2x2 = 4x. ∂x ∂z ∂x Nota 4.5.9. Una funci´on real de tres variables f (x, y, z) puede tener 3p derivadas parciales de orden p. Definici´ on 4.5.10. Sean f : U ⊆ Rn −→ Rm una funci´on y p ≥ 1. Diremos que f es de clase C p en U , y se denota f ∈ C p (U, Rm ), si las derivadas parciales de orden p, ∂ pf (~x) ∂xi1 ∂xi2 · · · ∂xip existen para cada ~x ∈ U , y las aplicaciones ∂pf ∂xi1 ∂xi2 ···∂xip

: U −→ Rm ~x −→

∂pf (~x) ∂xi1 ∂xi2 ···∂xip

son continuas en U , para todos i1 , i2 , . . . , ip ∈ {1, 2, ..., n}. Diremos que f es de clase C ∞ en U , y escribiremos f ∈ C ∞ (U, Rm ), si f es de clase C p para todo p ∈ N. Por u ´ltimo, C 0 (U, Rm ) denotar´a el espacio de las funciones continuas de U en Rm .

53 Proposici´ on 4.5.11. Para todo p ≥ 1 se tiene que C p (U, Rm ) ⊂ C p−1 (U, Rm ); y en particular C ∞ (U, Rm ) ⊂ C p (U, Rm ) para todo p ≥ 1. Teorema 4.5.12. Sea f : U ⊆ Rn −→ Rm de clase C p con p ≥ 2. Sean i1 , . . . , iq ∈ {1, . . . , n}, con q ≤ p. Entonces, para toda permutaci´on {i01 , . . . , i0q } de {i1 , . . . , iq } se tiene ∂qf ∂qf (~x) = (~x) ∂xi01 ∂xi02 · · · ∂xi0p ∂xi1 ∂xi2 · · · ∂xip para todo ~x ∈ U .

4.6.

Matriz hessiana y determinante hessiano

Definici´ on 4.6.1. Sea f : U ⊆ Rn −→ R una funci´on cuyas derivadas parciales segundas existen y son continuas en un entorno del punto ~a ∈ U , se llama matriz hessiana de f en el punto ~a a la matriz n × n siguiente       Hf (~a) =      

∂2f (~a) ∂x1 ∂x1 ∂2f ∂x1 ∂x2

(~a)

∂2f (~a) ∂x2 ∂x1 ∂2f ∂x2 ∂x2

(~a)

.. .

.. .

∂2f (~a) ∂x1 ∂xn

∂2f (~a) ∂x2 ∂xn

... ... ..

.

...

∂2f (~a) ∂xn ∂x1



   (~a)  ∂xn ∂x2  .  ..  .    ∂2f (~a) ∂xn ∂xn ∂2f

formada con las derivadas parciales segundas, y se llama hessiano al determinante de la matriz hessiana y represent´andose por Hf (~a) . Ejemplo 4.6.2. Calcular la matriz hessiana de la funci´on f (x, y) = x2 y + exy .

54 La matriz hessiana pedida es:  2 ∂ f 2 (x, y)  ∂x Hf (x, y) =  ∂2f (x, y) ∂x∂y 

∂2f (x, y) ∂y∂x ∂2f (x, y) ∂y 2

2y + y 2 exy

= 2x + (1 + xy)e

  

2x + (1 + xy)exy xy

2 xy

 .

xe

Observaci´ on 4.6.3. En caso de una funci´on de R3 en R, su matriz hessiana es:   ∂2f ∂2f ∂2f (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z) 2 ∂x ∂y∂x ∂z∂x     2 2 2   ∂f ∂ f ∂ f Hf (x, y, z) =  ∂x∂y (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z) . 2 ∂y ∂z∂y     ∂2f ∂2f ∂2f (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z) ∂x∂z ∂y∂z ∂z 2

Cap´ıtulo 5 Funciones diferenciables

5.1.

Funci´ on diferenciable en un punto

Definici´ on 5.1.1. Sean U un abierto de Rn , f : U ⊆ Rn −→ Rm y ~x0 ∈ U . Se dice que la funci´on f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicaci´on lineal L : Rn −→ Rm tal que l´ım

~h→~0

f (~x0 + ~h) − f (~x0 ) − L(~h) = ~0. k~hk

Si existe una aplicaci´on lineal L con estas caracter´ısticas, es u ´nica. Proposici´ on 5.1.2. La definici´on de funci´on diferenciable en ~x0 se puede dar de modo equivalente de alguna de las siguientes formas: 1) f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicaci´on lineal L : Rn → Rm tal que

f (~x0 + ~h) − f (~x0 ) − L(~h) l´ım = 0. ~h→~0 k~hk 2) f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicaci´on lineal L : Rn → Rm tal que l´ım

~ x→~ x0

f (~x) − f (~x0 ) − L(~x − ~x0 ) = ~0. k~x − ~x0 k 55

56 3) f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicaci´on lineal L : Rn → Rm tal que

f (~x) − f (~x0 ) − L(~x − ~x0 ) = 0. l´ım ~ x→~ x0 k~x − ~x0 k 4) f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicaci´on lineal L : Rn → Rm y una funci´on R : Rn → Rm tal que en un entorno de ~x0 se tiene f (~x) = f (~x0 ) + L(~x − ~x0 ) + R(~x − ~x0 ) con l´ım

~ x→~ x0

R(~x − ~x0 ) = 0. k~x − ~x0 k

Proposici´ on 5.1.3. Sea U un abierto de Rn y ~x0 ∈ U . Una funci´on f : U −→ Rm es diferenciable en ~x0 si y s´olo si lo son cada una de sus funciones componentes f1 , . . . , f m . Observaci´ on 5.1.4. Se puede estudiar la diferenciabilidad de una funci´on f en un punto ~x0 o bien directamente o bien a trav´es de sus componentes. Definici´ on 5.1.5. Una funci´on se dice que es diferenciable en un abierto U si es diferenciable en todos los puntos de U .

5.2.

Diferencial en un punto

Definici´ on 5.2.1. Sea U un abierto de Rn y f : U ⊆ Rn −→ Rm una funci´on diferenciable en ~x0 ∈ U , se llama diferencial de f en ~x0 , y se denota por Df (~x0 ) o f 0 (~x0 ) a la u ´nica aplicaci´on lineal L : Rn −→ Rm que satisface l´ım

~h→~0

f (~x0 + ~h) − f (~x0 ) − L(~h) = ~0. k~hk

As´ı se tiene que Df (~x0 )(~h) = f 0 (~x0 )(~h) = L(~h) = D~h f (~x0 ) = l´ım t→0

para todo ~h ∈ Rn .

f (~x0 + t~h) − f (~x0 ) t

57 Proposici´ on 5.2.2. Supongamos que f es diferenciable en ~x0 , siendo L : Rn −→ m R una aplicaci´on lineal que satisface la definici´on anterior. Entonces: 1) L es la u ´nica aplicaci´on lineal con esta propiedad. 2) Para cada ~h ∈ Rn existe D~h f (~x0 ), derivada direccional de f en ~x0 seg´ un el ~ vector h, y n X f (~x0 + t~h) − f (~x0 ) ∂f ~ = L(h) = (~x0 ) · hi . D~h f (~x0 ) = l´ım t→0 t ∂x i i=1

Ejemplo 5.2.3. Sea f (x, y) = x2 + y 3 + 2x − y + 5. Demostrar que f es diferenciable en (0, 0) y calcular Df (0, 0). Calculemos el l´ımite:
f (0, 0) + t(h1 , h2 ) − f (0, 0) . l´ım t→0 t Tenemos
f (0, 0) + t(h1 , h2 ) − f (0, 0) t2 h21 + t3 h32 + 2th1 − th2 l´ım = l´ım t→0 t→0 t t = 2h1 − h2 . Como
f (0, 0) + (h1 , h2 ) − f (0, 0) − L(h1 , h2 ) = 0, l´ım (h1 ,h2 )→(0,0) k(h1 , h2 )k donde L(h1 , h2 ) = 2h1 − h2 es un aplicaci´on lineal de R2 en R, se tiene que la funci´on f es diferenciable en (0, 0) y Df (0, 0) :

R2 −→ R (h1 , h2 ) −→ Df (0, 0)(h1 , h2 ) = 2h1 − h2 .

Ejemplo 5.2.4. Estudiar si la funci´on  x3 −y3  x2 +y2 f (x, y) =  0 es diferenciable en el punto (0, 0).

si

(x, y) 6= (0, 0),

si

(x, y) = (0, 0).

58 Las derivadas parciales vienen dadas por ∂f f (t, 0) − f (0, 0) 1 t3 − 03 (0, 0) = l´ım = l´ım = l´ım 1 = 1 t→0 t→0 t t2 + 02 t→0 ∂x t f (0, t) − f (0, 0) 1 03 − t3 ∂f (0, 0) = l´ım = l´ım = l´ım −1 = −1. t→0 t→0 t 02 + t2 t→0 ∂y t Para ver si es diferenciable calcularemos l´ım

~h→~0

=

f (~x0 + ~h) − f (~x0 ) − L(~h) k~hk l´ım

(h1 ,h2 )→(0,0)

=

h31 −h32 h21 +h22

l´ım (h1 ,h2 )→(0,0)

=


(0, 0) − h2 ∂f (0, 0) f (0, 0) + (h1 , h2 ) − f (0, 0) − h1 ∂f ∂x ∂y p h21 + h22

l´ım (h1 ,h2 )→(0,0)

− h1 + h2 p h21 + h22 h21 h2 − h1 h22
3 . h21 + h22 2

El l´ımite anterior no existe. En efecto l´ım (h1 ,h2 )→(0,0) h2 =−h1

−2h31 1 h21 h2 − h1 h22 = l´ ım 3 3 = −√

h1 →0 2 h21 + h22 2 2h21 2

l´ım (h1 ,h2 )→(0,0) h2 =h1

h31 − h31 h21 h2 − h1 h22 = l´ ım
3
3 = 0. h1 →0 h21 + h22 2 2h21 2

Entonces el l´ımite no existe, ya que los l´ımites seg´ un dos direcciones son distintos. Por tanto la funci´on no es diferenciable.

59

5.3.

Interpretaci´ on geom´ etrica de la diferencial

Sea U un abierto de Rn y f : U ⊆ Rn −→ R una funci´on diferenciable en un punto ~x0 ∈ U . Si bien para n ≥ 2 no tiene sentido la pregunta de cu´al es la recta tangente a la gr´afica 
Gf = ~x, f (~x) : ~x ∈ U ⊂ Rn × R = Rn+1 de la funci´on f , que puede visualizarse como una superficie de dimensi´on n en Rn+1 . As´ı que, podemos preguntarnos cu´al es el subespacio af´ın de dimensi´on n que mejor aproxima la gr´afica de f en un punto (~x0 , f (~x0 )). Para fijar ideas supongamos que, dada f : R2 −→
R, deseamos hallar el plano tangente a la gr´afica de f en un punto x0 , y0 , f (x0 , y0 ) . Entonces la
ecuaci´on del plano tangente a la superficie Gf ⊂ R3 en el punto x0 , y0 , f (x0 , y0 ) que buscamos es z − f (x0 , y0 ) =

∂f ∂f (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + (x0 , y0 ) · (y − y0 ). ∂x ∂y

Es decir 

 x − x0 z − f (x0 , y0 ) = Df (x0 , y0 ) y − y0     ∂f ∂f x − x0 = (x0 , y0 ), (x0 , y0 ) · . y − y0 ∂x ∂y As´ı pues la diferencial proporciona la ecuaci´on del plano tangente a la superficie. Ejemplo 5.3.1. El plano tangente a la superficie dada por la funci´on f (x, y) = x2 + y 2 en el punto (1, 1, f (1, 1)) = (1, 1, 2) tiene por ecuaci´on z − 2 = 2(x − 1) + 2(y − 1), es decir, 2x + 2y − z − 2 = 0. Nota 5.3.2. El plano tangente contiene a todas las rectas tangentes a las curvas
contenidas en la superficie Gf que pasan por x0 , y0 , f (x0 , y0 ) .

60

5.4.

Propiedades de las funciones diferenciables

Sea U un abierto de Rn y f : U ⊆ Rn −→ Rm una funci´on. Se pueden establecer los siguientes resultados: Proposici´ on 5.4.1. Si la funci´on f es diferenciable en el punto ~x0 ∈ U , entonces existen todas las derivadas parciales de primer orden de f en ~x0 , siendo D~ei f (~x0 ) =

∂f (~x0 ) = Df (~x0 )(~ei ), ∂xi

donde ~ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). Proposici´ on 5.4.2. Si f es diferenciable en el punto ~x0 ∈ U , entonces la matriz asociada a la diferencial Df (~x0 ) como aplicaci´on lineal Df (~x0 ) : Rn −→ Rm respecto de las bases can´onicas de Rn y Rm , es la matriz jacobiana de f en ~x0 , es decir Df (~x0 )(~h) = Jf (~x0 ) · ~h, ∀ ~h ∈ Rn , siendo       Jf (~x0 ) =     

∂f1 (~x0 ) ∂x1

∂f1 (~x0 ) ∂x2

∂f2 (~x0 ) ∂x1

∂f2 (~x0 ) ∂x2

.. .

.. .

∂fm (~x0 ) ∂x1

∂fm (~x0 ) ∂x2

...

∂f1 (~x0 ) ∂xn

...

∂f2 (~x0 ) ∂xn

..

.. .

.

...

∂fm (~x0 ) ∂xn

      .    

Observaci´ on 5.4.3. Si f : U ⊆ Rn −→ R es una funci´on diferenciable en ~x0 ∈ U , su diferenciable ser´a una aplicaci´on Df (~x0 ) : Rn −→ R ~h −→ Df (~x0 )(~h),

61 donde  Df (~x0 )(~h) =



  ∂f ∂f ∂f  (~x0 ), (~x0 ), . . . , (~x0 ) ·  ∂x1 ∂x2 ∂xn 

h1 h2 .. .

    

hn    = ∇f (~x0 ) ·  

h1 h2 .. .

    

hn =

n X i=1

∂f (~x0 ) · hi . ∂xi

Proposici´ on 5.4.4. La funci´on f = (f1 , . . . , fm ) es diferenciable en ~x0 ∈ U si y s´olo si fi es diferenciable en a para cada i = 1, 2, . . . , m, y en este caso   Df (~x0 )(~h) = Df1 (~x0 )(~h), Df2 (~x0 )(~h), . . . , Dfm (~x0 )(~h) . para todo ~h ∈ Rn . Teorema 5.4.5 (Relaci´ on entre diferenciabilidad y continuidad). Si la funci´on f es diferenciable en el punto ~x0 ∈ U , entonces f es continua en ~x0 . Observaci´ on 5.4.6. El rec´ıproco del Teorema 5.4.5 no es cierto v´ease el ejemplo siguiente. Ejemplo 5.4.7. La funci´on

f (x, y) =

 xy   √x2 +y2

si

(x, y) 6= (0, 0),

 

si

(x, y) = (0, 0).

0

es continua en el punto (0, 0), pero no es diferenciable en dicho punto. Teorema 5.4.8 (Condici´ on suficiente de diferenciabilidad). Supongamos que todas las derivadas parciales ∂fj : U −→ R, ∂xi

j = 1, . . . , m, i = 1, . . . , n,

existen en un entorno de un punto ~x0 y que son continuas en ~x0 . Entonces f es diferenciable en ~x0 .

62 Nota 5.4.9. La condici´on enunciada es muy u ´til desde el punto de vista pr´actico, dado que probar la diferenciabilidad de una funci´on en un punto seg´ un la definici´on es un asunto inc´omodo. Ejemplo 5.4.10. Sea f : R3 −→ R2 una funci´on definida por
f (x, y, z) = x2 + sin(xy), xy cos(z) . Las derivadas parciales de f = (f1 , f2 ) son:
∂f (x, y, z) = 2x + y cos(xy), y cos(z) ∂x
∂f (x, y, z) = x cos(xy), x cos(z) ∂y
∂f (x, y, z) = 0, −xy sin(z) . ∂z As´ı que las funciones ∂f ∂f ∂f , , : R3 −→ R2 ∂x ∂y ∂z son continuas en R3 ya que sus funciones componentes son continuas. Por tanto la funci´on f es diferenciable en todos puntos de R3 y  ∂f1  ∂f1 ∂f1 (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z) ∂x ∂y ∂z  Df (x, y, z) = Jf (x, y, z) =  ∂f2 ∂f2 ∂f2 (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z) ∂x ∂y ∂z   2x + y cos(xy) x cos(xy) 0  . = y cos(z) x cos(z) −xy sin(z) Observaci´ on 5.4.11. La condici´on de diferenciabilidad del Teorema 5.4.8 no es necesaria. Existen funciones diferenciables en un punto aunque sus derivadas parciales no son continuas. v´ease el ejemplo siguiente. Ejemplo 5.4.12. La funci´on     1 2 2   (x + y ) sin √ 2 2 x +y f (x, y) =    0

si

(x, y) 6= (0, 0),

si

(x, y) = (0, 0).

es diferenciables en (0, 0) sin embargo sus derivadas parciales no son continuas en dicho punto. En efecto:

63 Las derivadas parciales vienen dadas por f (t, 0) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = l´ım t→0 ∂x t
1 1 2 t sin t − 0 = l´ım = l´ım t sin =0 t→0 t→0 t t f (0, t) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = l´ım t→0 ∂y t
1 1 2 t sin t − 0 = l´ım = l´ım t sin = 0. t→0 t→0 t t En este caso f (~x0 + ~h) − f (~x0 ) − L(~h)
∂f ∂f = f (0, 0) + (h1 , h2 ) − f (0, 0) − h1 (0, 0) − h2 (0, 0) ∂x ∂y se convierte en (h21

+

h22 ) sin



 p . h21 + h22 1

Por tanto   q f (~x0 + ~h) − f (~x0 ) − L(~h) 1 2 2 l´ım = l´ım h1 + h2 sin p 2 ~h→~0 (h1 ,h2 )→(0,0) h1 + h22 k~hk = 0. Luego f es diferenciable en (0, 0). Veremos la continuidad de las derivadas parciales. Si (x, y) 6= (0, 0) se tiene ∂f (x, y) = 2x sin ∂x



∂f (x, y) = 2y sin ∂y



1 p



x2 + y 2  1

p x2 + y 2

x



∂f (x, y) ni (x,y)→(0,0) ∂x



−p cos p x2 + y 2 x2 + y 2   y 1 −p cos p . x2 + y 2 x2 + y 2

No existe l´ım

1

∂f (x, y), (x,y)→(0,0) ∂y l´ım

64 ya que no existen 

x

l´ım

1



p cos p ni x2 + y 2 x2 + y 2   1 y l´ım p cos p . (x,y)→(0,0) x2 + y 2 x2 + y 2

(x,y)→(0,0)

En consecuencia las funciones

∂f ∂x

y

∂f ∂y

no son continuas en (0, 0).

Corolario 5.4.13. Sea f : U ⊆ Rn −→ Rm . Consideremos las siguientes condiciones. 1) f tiene derivadas parciales en todos los puntos de U y son todas ellas continuas en U . 2) f es diferenciable en U . 3) f tiene derivadas parciales en todos los puntos de U . Entonces se tiene que 1) =⇒ 2) =⇒ 3), pero los conversos son en general falsos. Definici´ on 5.4.14. Se dice que f : U ⊂ Rn −→ Rm es de clase C 1 en U si todas las derivadas parciales de f existen y son continuas en U . Proposici´ on 5.4.15. Si f : U ⊆ Rn −→ Rm es de clase C 1 en U , entonces f es diferenciable en U . Nota 5.4.16. Recordemos que una funci´on diferenciable no tiene por qu´e ser de clase C 1 . Proposici´ on 5.4.17. Sea U un abierto de Rn , y sea f : U −→ Rm . Las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1) Todas las derivadas parciales de primer orden f existen y son continuas en U . 2) f es diferenciable en U , y la aplicaci´on Df : U −→ L(Rn , Rm ) ~x −→ Df (~x) es continua. Donde L(Rn , Rm ) es el espacio vectorial de las aplicaciones lineales entre Rn y Rm .

65

5.5.

Reglas de diferenciaci´ on

Proposici´ on 5.5.1. Sean f, g : U ⊆ Rn −→ Rm funciones diferenciables en un punto ~a ∈ U . Entonces:

1) f ± g es diferenciable en ~a y D(f ± g)(~a) = Df (~a) ± Dg(~a).

2) Para todo λ ∈ R, λf es diferenciable en ~a y D(λf )(~a) = λDf (~a). Proposici´ on 5.5.2. Sean f, g : U ⊆ Rn −→ R funciones diferenciables en un punto ~a ∈ U . Entonces:

1) f g es diferenciable en ~a, y D(f g)(~a) = Df (~a)g(~a) + f (~a)Dg(~a).

2) Si g(~a) 6= 0, entonces

D

f g

es diferenciable en ~a y

f  g

(~a) =

g(~a)Df (~a) − f (~a)Dg(~a) . g(~a)2

Teorema 5.5.3 (Regla de la cadena). Sean U y V abiertos de Rn y Rm respectivamente, y f : U ⊆ Rn −→ Rm , g : V −→ Rp aplicaciones, con f (U ) ⊆ V . Supongamos que f es diferenciable en ~a, y que g es diferenciable en ~b = f (~a). Entonces g ◦ f : U ⊆ Rn −→ Rp es diferenciable en ~a, y adem´as
D(g ◦ f )(~a) = Dg f (~a) ◦ Df (~a).

Observaci´ on 5.5.4. Teniendo en cuenta que la operaci´on de composici´on de aplicaciones lineales se traduce en multiplicaci´on de sus matrices, la igualdad D(g◦f )(~a) =
Dg f (~a) ◦ Df (~a) significa que
J(g ◦ f )(~a) = Jg f (~a) · Jf (~a),

66 es decir,       J(g ◦ f )(~a) =      

      =     

      ·    

∂(g◦f )1 (~a) ∂x1

∂(g◦f )1 (~a) ∂x2

∂(g◦f )2 (~a) ∂x1

∂(g◦f )2 (~a) ∂x2

.. .

.. .

∂(g◦f )p (~a) ∂x1

∂(g◦f )p (~a) ∂x2

∂g1 ∂y1

∂(g◦f )1 (~a) ∂xn

...

   ∂(g◦f )2  (~ a ) ∂xn    ..  .    ∂(g◦f )p (~a) ∂xn

... ..

.

...

∂g1 ∂y2


f (~a)

∂g2 ∂y2


f (~a)

...

.. .

..

∂gp ∂y2


f (~a)

...

∂f1 (~a) ∂x1

∂f1 (~a) ∂x2

...

∂f1 (~a) ∂xn

∂f2 (~a) ∂x1

∂f2 (~a) ∂x2

...

∂f2 (~a) ∂xn

.. .

.. .

∂fm (~a) ∂x1

∂fm (~a) ∂x2


f (~a)

∂g2 (~a) ∂y1

.. . ∂gm ∂y1

f (~a)




..

.

...



∂g1 ∂ym

...

∂g2 ∂ym

. ∂gp ∂ym

.. . ∂fm (~a) ∂xn

f (~a)





  f (~a)     ..  .  
 f (~a)

      ,    

o de manera m´as compacta, m X
∂fk ∂(g ◦ f )j ∂gj (~a) = f (~a) (~a) ∂xi ∂yk ∂xi k=1

para todo i = 1, 2, . . . , n y j = 1, 2, . . . , p. Ejemplo 5.5.5. Sean las funciones diferenciables f : R2 −→ R3 y g : R3 −→ R4 , definidas respectivamente por f (x1 , x2 ) = (x21 x2 , x1 + x2 , x1 x2 ) y g(y1 , y2 , y3 ) = (y1 y22 , y2 y3 , ey1 y2 y3 , y1 + y2 + y3 ).

67 Calculemos la matriz jacobiana de la funci´on compuesta g ◦ f en el punto (1, 1) y la expresi´on de la diferencial en ese punto. Como es f : R2 −→ R3 , su matriz jacobiana es de orden 3 × 2 y est´a dada por

    Jf (~x) =   

∂f1 (~x) ∂x1 ∂f2 (~x) ∂x1 ∂f3 (~x) ∂x1

∂f1 (~x) ∂x2





     ∂f2 (~x)  =  ∂x2     ∂f3 (~x) ∂x2

x21

2x1 x2



  1  .  x1

1 x2

Para la funci´on g : R3 −→ R4 la matriz jacobiana es de orden 4 × 3 y su expresi´on es

      Jg(~y ) =     



∂g1 (~y ) ∂y1

∂g1 (~y ) ∂y2

∂g2 (~y ) ∂y1

∂g2 (~y ) ∂y2

∂g3 (~y ) ∂y1

∂g3 (~y ) ∂y2

∂g4 (~y ) ∂y1

∂g4 (~y ) ∂y2

y22

   0   =  y2 y3 ey1 y2 y3   1

∂g1 (~y ) ∂y3



  ∂g2  (~ y )  ∂y3    ∂g3 (~y )  ∂y3   ∂g4 (~y ) ∂y3 2y1 y2

0

y3

y2

y1 y3 ey1 y2 y3

y1 y2 ey1 y2 y3

1

1

     .    

Como la funci´on compuesta es g ◦ f : R2 −→ R4 , su matriz jacobiana es de orden

68 4 × 2 y teniendo en cuenta el resultado del teorema anterior resulta
J(g ◦ f )(1, 1) = Jg f (1, 1) · Jf (1, 1) = Jg(1, 2, 1) · Jf (1, 1)   4 4 0     2 1    0   1 2      · 1  1 =  2    2 2  2e   e 2e      1 1 1 1 1 

12

8

   3  =  2  7e   4



  3   .  2  5e   3

Conocida la matriz de las derivadas parciales podemos escribir la diferencial de g ◦ f en el punto (1, 1) como la aplicaci´on D(g ◦ f )(1, 1) : R2 −→ R4 definida por 

h1

D(g ◦ f )(1, 1)(h1 , h2 ) = J(g ◦ f )(1, 1) · 

 

h2 

12

   3  =  2  7e   4

8





12h1 + 8h2

       3h1 + 3h2 3  h1   · =   2  7e h1 + 5e2 h2 5e2  h 2     3 4h1 + 3h2

     .    

69

5.6. 5.6.1.

Diferenciales sucesivas Diferencial segunda

Definici´ on 5.6.1 (Diferencial segunda). Sea U un abierto de Rn y f : U −→ Rm una funci´on diferenciable en U . Se llama diferencial segunda de f en ~a, y se denota D2 f (~a) = D(Df )(~a), a la diferencial de la funci´on Df : U −→ L(Rn , Rm ) en el punto ~a. Es decir,
D2 f : U −→ L Rn , L(Rn , Rm ) ~a −→

D2 f (~a) :

Rn −→ L(Rn , Rm ) ~h −→ D2 f (~a)(~h).

Nota 5.6.2. 1) El espacio vectorial L(Rn , Rm ), se puede identificar a Rn+m asociando a cada aplicaci´on lineal la matriz correspondiente, es decir: L(Rn , Rm ) = Rn+m . 2) Dado ~h ∈ Rn , D2 f (~a)(~h) ∈ L(Rn , Rm ). Por tanto D2 f (~a)(~h) se puede aplicar a otro elemento ~k ∈ Rn , y se puede escribir D2 f (~a)(~h, ~k) en lugar de D2 f (~a)(~h)(~k). As´ı D2 f (~a) se puede ver como una aplicaci´on bilineal de Rn × Rn en Rm . Por tanto podemos escribir:
L Rn , L(Rn , Rm ) = L2 (Rn , Rm ), donde, L2 (Rn , Rm ) = {las aplicaciones B : Rn × Rn −→ Rm tales que ~x 7−→ B(~x, ~y ) es lineal de Rn en Rm para cada ~y ∈ Rn y ~y 7−→ B(~x, ~y ) es tambi´en lineal para cada ~x ∈ Rn }.

70

5.6.2.

Diferencial segunda de una funci´ on escalar

Sea f : U −→ R una funci´on dos veces diferenciable en ~a. Nos preguntamos ahora cu´al ser´a la matriz de la forma bilineal D2 f (~a) respecto de la base can´onica de Rn . Puesto que   ∂f ∂f ∂f , ,..., (~x) Df (~x) = ∂x1 ∂x2 ∂xn   ∂f ∂f ∂f (~x), (~x), . . . , (~x) = ∂x1 ∂x2 ∂xn   ∂f ∂f ∂f = (~x)(~e1 ), (~x)(~e2 ), . . . , (~x)(~en ) , ∂x1 ∂x2 ∂xn derivando otra vez tendremos que 

2

D f (~a) = D(Df )(~a) = D

∂f ∂f ∂f , ,..., ∂x1 ∂x2 ∂xn

 (~a),

luego  D(Df )(~a)(~ei ) =

 ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f (~a), (~a), . . . , (~a) , ∂xi ∂x1 ∂xi ∂x2 ∂xi ∂xn

y as´ı ∂ 2f D f (~a)(~ei , ~ej ) = D(Df )(~a)(~ei )(~ej ) = (~a), ∂xi ∂xj 2

es decir, la matriz de D2 f (~a) es       Hf (~a) =      

∂2f (~a) ∂x1 ∂x1 ∂2f ∂x1 ∂x2

(~a)

∂2f (~a) ∂x2 ∂x1 ∂2f ∂x2 ∂x2

(~a)

... ...

.. .

.. .

..

∂2f (~a) ∂x1 ∂xn

∂2f (~a) ∂x2 ∂xn

...

.

∂2f (~a) ∂xn ∂x1

   (~a)  ∂xn ∂x2  ,  ..  .    2 ∂ f (~ a ) ∂xn ∂xn

y tenemos que 2

D f (~a) =

n X



∂ 2f ∗ ∗ (~a) ~ei ⊗ ~ej , ∂xi ∂xj i,j=1

∂2f

71 ∗

∗

donde ~ei ⊗ ~ej es la forma bilineal de L2 (Rn , R) definida por ∗ ∗
∗ ∗ ~ei ⊗ ~ej (~h, ~k) = ~ei (~h)~ej (~k) = hi kj .

Por tanto D f (~a)(~h, ~k) = 2

n X

∂ 2f (~a) hi kj . ∂xi ∂xj i,j=1

Resumen 5.6.3. D2 f (~a) : Rn × Rn −→ R  (~h, ~k)

  ~ ~ −→ D f (~a)(h, k) = (h1 , . . . , hn )Hf (~a)   2

k1 k2 .. .

    

kn Si la funci´on f es de clase C 2 , el teorema de Schwartz nos indica que la matriz hessiana es sim´etrica. El siguiente resultado nos asegura que basta que f sea diferenciable dos veces en ~a para que la matriz de D2 f (~a) sea sim´etrica. Teorema 5.6.4. Sea f : U ⊆ Rn −→ R una funci´on diferenciable en U , y supongamos que ∂f ∂f , : U −→ R ∂xi ∂xi son ambas diferenciables en ~a ∈ U . Entonces ∂ 2f ∂f (~a) = (~a). ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi En particular, si f es dos veces diferenciable en a, la matriz de su diferencial segunda D2 f (~a) es sim´etrica.

72

5.6.3.

Diferencial k-´ esima

Podemos definir por inducci´on las diferenciales de orden superior o igual a 2 de una funci´on f : U ⊆ Rn −→ R siguiendo el mismo m´etodo que hemos utilizado para llegar a D2 f (~a) = D(Df )(~a). Definici´ on 5.6.5. Sea Lks (Rn , R) el espacio de las formas k-lineales sim´etricas de n R , es decir, el conjunto de todas las aplicaciones A : Rn × Rn × · · · × Rn −→ R (k veces) que son separadamente lineales en cada variable, y de modo que A(~x1 , . . . , ~xk ) = A(~xi1 , . . . , ~xik ) para todos ~x1 , . . . , ~xk ∈ Rn y cualquier permutaci´on i1 , . . . , ik de {1, . . . , k}. Definici´ on 5.6.6. Diremos que f es k veces diferenciable en ~a ∈ U si la aplicaci´on Dk−1 f : U −→ Lk−1 (Rn , R) s es diferenciable en a, y Dk f (~a) = D(Dk−1 f (~a)). Definici´ on 5.6.7. Sean f : U ⊂ Rn −→ Rm , p ∈ N . Diremos que f es de clase C p en U , y se denota f ∈ C p (U, Rm ), si las derivadas parciales de orden p, ∂ pf (~x) = D~ei1 D~ei2 . . . D~eip f (~x) ∂xi1 · · · ∂xip existen para cada ~x ∈ U , y las aplicaciones U 3 ~x −→

∂ pf (~x) ∂xi1 · · · ∂xip

son continuas en U , para todos i1 , i2 , . . . , ip ∈ {1, 2, . . . , n}. Veamos ahora c´omo calcular estas derivadas de orden superior. En los casos k = 1 y k = 2 ya sabemos c´omo hacerlo. En el caso general, una reiteraci´on del argumento que nos permiti´o ver la proposici´on siguiente: Proposici´ on 5.6.8. Sea f : U ⊆ Rn −→ Rn una funci´on de clase C k en un punto ~a. La diferencial k-´esima de f en ~a es un aplicaci´on Dk f (~a) ∈ Lks (Rn , R) que se act´ ua de la forma siguiente: D f (~a)(~h1 , ~h2 , . . . , ~hk ) = k

n X i1 ,i2 ,...,ik

∂kf (~a)h1i1 . . . hkik . ∂xi1 · · · ∂xik =1

Cap´ıtulo 6 Integral de Riemann en Rn 6.1.

Intervalo n-dimensional

Definici´ on 6.1.1. Se denomina intervalo n-dimensional de Rn (o rect´angulo) a un conjunto de la forma I = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ]  = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : ai ≤ xi ≤ bi , i = 1, . . . , n . Nota 6.1.2. 1) Si n = 2, I es un rect´angulo. 2) Si n = 3, I es un paralelep´ıpedo. 3) Los intervalos n-dimensionales reciben tambi´en el nombre de rect´angulos ndimensionales. Definici´ on 6.1.3 (Volumen de un intervalo n-dimensional). Dado el intervalo I ⊂ Rn definimos el volumen de I por n Y µ(I) = (bi − ai ). i=1

Nota 6.1.4. 1) Si n = 2, µ(I) es el ´area del rect´angulo I de R2 . 2) Si n = 3, µ(I) es el volumen geom´etrico del paralelep´ıpedo. 73

74 Definici´ on 6.1.5 (Partici´ on de un intervalo n-dimensional). Sea I = [a1 , b1 ]× [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ] ⊂ Rn un intervalo n-dimensional, se denomina partici´ on de I a cualquier conjunto formado por el producto P = P1 × P2 × · · · × Pn , tal que, para cada i = 1, 2, . . . , n, se tiene que i Pi = {x0i , x1i , . . . , xm i } ⊂ [ai , bi ],

1)

i −1 i ai = x0i < x1i < x2i < · · · < xm < xm i i = bi , mi [ [ai , bi ] = [xj−1 , xji ]. i

2) 3)

j=1

Si cada Pi divide al intervalo [ai , bi ] en mi subintervalos, la partici´on P divide al intervalo n-dimensional I en m1 m2 · · · mn subintervalos de la forma [xi11 −1 , xi11 ] × [xi22 −1 , xi22 ] × · · · × [xinn −1 , xinn ], con i1 ∈ {1, 2, . . . , m1 }, i2 ∈ {1, 2, . . . , m2 }, . . . , in ∈ {1, 2, . . . , mn }. Es decir, I = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ] m1 [ m2 mn   [ [ = [xi11 −1 , xi11 ] × [xi22 −1 , xi22 ] × · · · × [xnin −1 , xinn ] . ··· i1 =1 i2 =1

in =1

Denotaremos por R(P ) a este conjunto de subintervalos.

6.2.

Suma superior e inferior

Definici´ on 6.2.1 (Darboux-Riemann). Sea I ⊂ Rn un intervalo n-dimensional y sea f : I −→ R una funci´on acotada. Sea P una partici´on de I y S ∈ R(P ). Definimos   mS = ´ınf f (~x) : ~x ∈ S y MS = sup f (~x) : ~x ∈ S}. I La suma inferior de f asociada a P se define como X mS µ(S). S(f, P ) = S∈R(P )

75 I La suma superior de f asociada a P es X S(f, P ) = MS µ(S). S∈R(P )

Definici´ on 6.2.2. Dadas dos particiones P = P1 × P2 × · · · × Pn , Q = Q1 × Q2 × · · · × Qn de un intervalo n-dimensional I, se dice que Q es m´ as fina que P (y escribiremos Q ≥ P )si y s´olo si cada subintervalo de Q est´a contenido en alg´ un subintervalo de P . Es decir, R(Q) ⊂ R(P ). Proposici´ on 6.2.3. 1) Dadas P, Q particiones de I con Q m´as fina que P , se verifica que S(f, P ) ≤ S(f, Q) ≤ S(f, Q) ≤ S(f, P ). 2) Para un par de particiones cualesquiera P y Q se verifica que S(f, P ) ≤ S(f, Q). Nota 6.2.4. I El conjunto 

S(f, P ) : P partici´on de I



est´a acotado superiormente. I El conjunto 

S(f, P ) : P partici´on de I



est´a acotado inferiormente.

6.3.

Integral de Riemann sobre intervalos

Definici´ on 6.3.1. Sea I ⊂ Rn un intervalo n-dimensional, se dice que la funci´on acotada f : I −→ R es integrable Riemann o simplemente integrable, en I si   sup S(f, P ) : P partici´on de I = ´ınf S(f, P ) : P partici´on de I . A este n´ umero com´ un se le denota por Z Z f (~x)d~x = f (x1 , x2 , . . . , xn )dx1 dx2 . . . dxn I

I

o simplemente Z f. I

76 Nota 6.3.2. 1) Si n = 2 se suele escribir

RR

f (x, y)dxdy, y se la llama integral doble. I RRR 2) Si n = 3 se suele escribir f (x, y, z)dxdydz, y se la llama integral triple I o de volumen.

Ejemplo 6.3.3. Si f : I ⊂ Rn −→ R es una funci´on constante f (~x) = c, para cada ~x ∈ I, entonces f es integrable en I y Z f (~x)d~x = cµ(I). I

Teorema 6.3.4 (Criterio de integrabilidad de Riemann). Sea I un intervalo n-dimensional, y f : I −→ R una funci´on acotada. Entonces f es integrable en I si y s´olo si para todo ε existe una partici´on de I, Pε , tal que S(f, Pε ) − S(f, Pε ) < ε.

6.4.

Propiedades de la integral

Teorema 6.4.1. Sean I ⊂ Rn un intervalo n-dimensional, f, g : I −→ R funciones integrables, α, β ∈ R. Entonces: 1) Linealidad. La funci´on αf + βg es integrable y Z Z Z (αf + βg) = α f + β g. I

I

I

2) Monoton´ıa. Si f (~x) ≤ g(~x) para ~x ∈ I, entonces Z Z f ≤ g. I

En particular, |f | es Z

I

I

integrable en I, y Z f ≤ |f |. I

3) Acotaci´ on. Si m ≤ f (~x) ≤ M para todo ~x ∈ I, entonces Z mµ(I) ≤ f ≤ M µ(I). I

77 4) Producto de funciones. El producto f g es una funci´on integrable en I. NO se verifica en general que  Z  Z  Z fg = f g . I

I

I

5) Aditividad respecto de intervalos. Sea I ⊂ R3 tal que I = I1 ∪ I2 , siendo I1 e I2 paralelep´ıpedos con cara com´ un. Entonces una funci´on acotada f : I −→ R es integrable en I si lo es en I1 e I2 y adem´as Z Z Z f= f+ f. I

I1

I2

Teorema 6.4.2. Sean I1 , I2 dos intervalos n-dimensionales de Rn , y sea f : I1 ∪ I2 −→ R. Supongamos que f es integrable en I1 ∪ I2 . Entonces las restricciones de f a I1 , I2 y I1 ∩ I2 son integrables, y Z Z Z Z f= f+ f− f. I1 ∪I2

I1

I2

I1 ∩I2

Definici´ on 6.4.3 (medida cero). Un subconjunto A ⊆ Rn se dice que tiene medida cero si para todo ε > 0 existe una familia numerable o finita de intervalos n-dimensionales I1 , I2 , . . . , Ik , . . . tales que A⊂

∞ [

Ik

y

∞ X

µ(Ik ) < ε.

k=1

k=1

Ejemplo 6.4.4. En R2 tienen medida cero: los conjuntos finitos, la uni´on finita de conjuntos de medida cero, los segmentos, las gr´aficas de funciones continuas en un intervalo [a, b] ⊂ R, las curvas de R2 que se pueden poner como uni´on de un n´ umero finito de gr´aficas de funciones continuas en un intervalo. Ejemplo 6.4.5. En R3 tienen medida cero: los conjuntos finitos, la uni´on finita de conjuntos de medida cero, los segmentos, los rect´angulos y en general cualquier pol´ıgono plano y las im´agenes por funciones continuas de subconjuntos acotados de R3 que tengan dimensi´on menor que 3. Teorema 6.4.6. Sea I un intervalo n-dimensional de Rn de medida cero, y sea f : I −→ R una funci´on integrable. Entonces Z f = 0. I

78 Corolario 6.4.7. Sean I1 , I2 dos intervalos n-dimensionales de Rn , y sea f : I1 ∪ I2 −→ R. Supongamos que f es integrable en I1 ∪ I2 . Si I1 ∩ I2 tiene medida cero, entonces Z

Z f=

Z f+

I1 ∪I2

I1

f. I2

Teorema 6.4.8 (Lebesgue). 1) Si f : I ⊂ Rn −→ R es una funci´on continua, entonces es integrable en I. 2) Si f : I ⊂ Rn −→ R es acotada y es continua en I salvo en los puntos de un conjunto de medida cero, entonces f es integrable en I. Ejemplo 6.4.9. La funci´on

f (x, y) =

  1

si

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤

0

si

0 ≤ x ≤ 1,



1 2

1 2

< y ≤ 1.

es integrable en I = [0, 1]×[0, 1] ya que s´olo es discontinua en los puntos del segmento 0 ≤ x ≤ 1, y = 21 , que es un conjunto de medida cero. Definici´ on 6.4.10 (Promedio integral). Sea f : I ⊂ Rn −→ R una funci´on integrable, se denomina promedio integral de f en I al valor Z 1 f (~x)d~x. µ(I) I Teorema 6.4.11 (Teorema del valor medio). Si f : I −→ R es una funci´on continua en I ⊂ Rn , entonces existe al menos un punto ~x0 ∈ I tal que Z 1 f (~x)d~x. f (~x0 ) = µ(I) I

6.5.

Teorema de Fubini

Teorema 6.5.1 (Fubini). Sean A ⊂ Rn y B ⊂ Rm rect´angulos, y f : A × B −→ R una funci´on integrable.

79 • Si para cada ~x ∈ A, la funci´on f~x : B ⊂ Rm −→ R ~y −→ f~x (~y ) = f (~x, ~y ) es integrable en B. Entonces la funci´on g : A ⊂ Rn −→ R R R ~x −→ g(~x) = B f~x (~y )d~y = B f (~x, ~y )d~y es integrable en A, y  Z Z Z Z f (~x, ~y )d~xd~y = g(~x)d~x = f (~x, ~y )d~y d~x. A×B

A

A

B

• Si para cada ~y ∈ B, la funci´on f~y : A ⊂ Rn −→ R ~x −→ f~y (~x) = f (~x, ~y ) es integrable en A. Entonces la funci´on h : B ⊂ Rm −→ R R R ~y −→ h(~y ) = A f~y (~x)d~x = A f (~x, ~y )d~x es integrable en B, y  Z Z Z Z f (~x, ~y )d~xd~y = h(~y )d~y = f (~x, ~y )d~x d~y . A×B

B

B

A

Corolario 6.5.2. Sea A ⊂ Rn un rect´angulo, sean ϕ, ψ : A −→ R funciones continuas tales que ϕ(~x) ≤ ψ(~x) para todo ~x ∈ A, y sea  D = (~x, t) ∈ Rn+1 : ϕ(~x) ≤ t ≤ ψ(~x) Sea f : D −→ R una funci´on continua (o continua salvo en una cantidad finita de puntos). Entonces Z Z

Z

ψ(~ x)

f (~x, t)d~xdt = D

A

ϕ(~ x)

Ejemplo 6.5.3. La funci´on f (x, y) = x + y

 f (~x, t)dt d~x.

80 es integrable en I = [0, 1] × [0, 1] al ser continua en I. La funci´on f verifica las condiciones del Teorema de Fubini por tanto  Z Z Z Z 1Z 1 f (x, y)dxdy = (x + y)dxdy = (x + y)dy dx I I 0 0 1  Z 1 Z 1 y2 1 xy + x+ dx = 1 = dx = 2 0 2 0 0 Ejemplo 6.5.4. La funci´on f (x, y, z) = x + y + z es integrable en I = [0, 1] × [0, 2] × [0, 1]. Si tomamos I1 = [0, 1] e I2 = [0, 2] × [0, 1] ⊂ R2 entonces  Z Z Z Z 1Z 2Z 1 (x + y + z)dxdydz = (x + y + z)dzdy dx. I

0

0

0

R2R1

La integral doble 0 0 (x + y + z)dzdy se calcula aplicando el Teorema de Fubini para integrales dobles haciendo x constante y resulta  Z 2Z 1 Z 2Z 1 (x + y + z)dz dy (x + y + z)dzdy = 0 0 0 0  Z 2 1 dy = 2x + 3 = x+y+ 2 0 con lo que Z Z Z

Z (x + y + z)dxdydz = I

1

(2x + 3)dx = 4. 0

Observaci´ on 6.5.5. Sea f : I = [a, b] × [c, d] −→ R una funci´on continua, entonces las funciones f , fx : [c, d] −→ R y −→ fx (y) = f (x, y) y fy : [a, b] −→ R x −→ fy (x) = f (x, y) (con x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]) son integrables, y se obtiene que   Z Z bZ d Z dZ b f= f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy. I

a

c

c

a

81

6.6.

Integral sobre un recinto acotado de Rn

Definici´ on 6.6.1. Sea D ⊂ Rn un conjunto acotado cuya frontera tiene medida cero y sea I un intervalo que contiene a D. Una funci´on acotada f : D −→ R es integrable si y s´olo si es integrable en I la funci´on fb = f χD es decir   f (~x) si ~x ∈ D b f (~x) =  0 si ~x ∈ I − D. defini´endose Z

Z f (~x)d~x =

D

fb(~x)d~x. I

Nota 6.6.2. 1) La definici´on anterior es independiente del intervalo I elegido, siempre que I ⊃ D. 2) La definici´on dada traslada la integraci´on sobre un recinto acotado cualquiera D a un intervalo I, por lo tanto todas las propiedades siguen siendo v´alidas. 3) La funci´on fb puede ser discontinua donde lo sea f y adem´as en los puntos de la frontera de D que tiene medida cero. En consecuencia, si f es continua en D salvo a lo sumo en un conjunto de medida cero, la funci´on fb es integrable en I y por lo tanto f lo ser´a en D.

6.6.1.

Teorema de Fubini en recintos est´ andar de R2

Sea f : D ⊂ R2 −→ R una funci´on continua (o continua salvo en una cantidad finita de puntos). Tipo I  Corolario 6.6.3. Si D = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) con ϕ1 , ϕ2 funciones continuas en [a, b], tales que ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x) para todo x ∈ [a, b]. Entonces Z bZ

Z Z

ϕ2 (x)

f= D

a

 f (x, y)dy dx.

ϕ1 (x)

Ejemplo 6.6.4. Calcular la integral doble Z Z (y − x)dxdy D

82 siendo D = {(x, y) ∈ R2 : 2 ≤ x ≤ 3, x2 ≤ y ≤ x3 }. Se tiene que  x3 Z 3  Z x3 Z 3 2 Z Z y (y − x)dxdy = (y − x)dy dx = − xy dx 2 D 2 x2 2 x2  Z 3 1 6 (x − x4 ) − x(x3 − x2 ) dx = 2 2  Z 3 1 6 3 4 3 = x − x + x dx 2 2 2  7 3  5 3  4 3 1 x 3 x x 19911 = − + = . 2 7 2 2 5 2 4 2 140 Tipo II  Corolario 6.6.5. Si D = (x, y) ∈ R2 : ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y), c ≤ y ≤ d donde ψ1 , ψ2 son funciones continuas en [c, d] tales que ψ1 (y) ≤ ψ2 (y) para todo y ∈ [c, d]. Entonces  Z Z Z Z d

ψ2 (y)

f (x, y)dx dy.

f= D

c

ψ1 (y)

Ejemplo 6.6.6. Calcular la integral doble Z Z 3xdxdy D

donde D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2y}. Tenemos que  Z 2  2 2y Z 2  Z 2y Z Z 3x 3xdx dy = 3xdxdy = dy 2 y 1 1 y D Z 21 3 2 2 = (4y − y 2 )dy = . 2 1 2 Caso general Nota 6.6.7. Todo recinto D limitado por una uni´on finita de grafos de funciones continuas se puede descomponer en una uni´on finita de recintos del tipo I y del tipo II. Ejemplo 6.6.8. Calcular Z Z 2dxdy D

siendo  D = (x, y) ∈ R2 : y ≤ x2 , x ≥ 0, y ≥ 0, x + y − 2 ≤ 0, x − y − 1 ≤ 0 .

83 Integrando primero en la variable y hemos de considerar el recinto de integraci´on dividido en dos subrecintos D1 y D2 , siendo D1 = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x2 , y ≥ 0, x ≤ 1} y D2 = {(x, y) ∈ R2 : x + y − 2 ≤ 0, x − y − 1 ≤ 0, x ≥ 1}. En estas condiciones se tiene que Z Z

Z

1

Z

2dxdy =

 Z 2dy dx +

0

0

D

x2

Z =2 0

1

 x2 y 0 dx +

1

Z 1

3 2

3 2

Z

−x+2

 2dy dx

x−1

 −x+2 y x−1 dx



7 = . 6

6.6.2.

Teorema de Fubini en recintos est´ andar de R3

Sea D ⊂ R3 un recinto est´andar y sea f : D −→ R una funci´on integrable en D, entonces la integral sobre D de f se puede calcular usando el Teorema de Fubini sobre un paralelep´ıpedo I ⊃ D. Dado que Z Z Z Z Z Z fb y fb(x, y, z) = 0 si (x, y, z) ∈ / D. f= D

I

84 Definici´ on 6.6.9. Diremos que un conjunto acotado D ⊂ R3 es un recinto si se puede describir de alguna de las formas siguientes:  1) D1 = (x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x), ψ1 (x, y) ≤ z ≤ ψ2 (x, y) 2)

 D2 = (x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ z ≤ ϕ2 (x), ψ1 (x, z) ≤ y ≤ ψ2 (x, z)

3)

 D3 = (x, y, z) ∈ R3 : a ≤ y ≤ b, ϕ1 (y) ≤ x ≤ ϕ2 (y), ψ1 (x, y) ≤ z ≤ ψ2 (x, y)

4)

 D4 = (x, y, z) ∈ R3 : a ≤ y ≤ b, ϕ1 (y) ≤ z ≤ ϕ2 (y), ψ1 (y, z) ≤ x ≤ ψ2 (y, z)

5)



 D5 = (x, y, z) ∈ R3 : a ≤ z ≤ b, ϕ1 (z) ≤ x ≤ ϕ2 (z), ψ1 (x, z) ≤ y ≤ ψ2 (x, z)

6)

 D6 = (x, y, z) ∈ R3 : a ≤ z ≤ b, ϕ1 (z) ≤ y ≤ ϕ2 (z), ψ1 (y, z) ≤ x ≤ ψ2 (y, z)



donde ϕ1 y ϕ2 son funciones continuas de [a, b] en R y ψ1 y ψ2 son continuas en la regi´on plana correspondiente. Nota 6.6.10. La expresi´on de un recinto est´andar puede no ser u ´nico. Por ejemplo un cubo es un recinto de tipo D1 , D2 , D3 , D4 , D5 y D6 siendo constantes todas las funciones que aparecen. Corolario 6.6.11. Si D = D1 , entonces Z Z Z Z bZ f (x, y, z)dxdydz = D1

a

ϕ2 (x)

ϕ1 (x)

Z

ψ2 (x,y)

  f (x, y, z)dz dy dx.

ψ1 (x,y)

Nota 6.6.12. Las integrales sobre los otros recintos est´andar se calculan de modo an´alogo. Ejemplo 6.6.13. Sea  D = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ x + y

85 y f (x, y, z) = xy + 2z. Como D es un recinto est´andar se tiene que   Z Z Z Z 2  Z x  Z x+y (xy + 2z)dxdydz = (xy + 2z)dz dy dx D 0 0 0  Z 2Z x   2 z=x+y xyz + z z=0 dy dx = 0 0  Z 2Z x
2 2 2 x y + xy + (x + y) dy dx = 0 0 y=x Z 2 2 y 3 (x + y)3 2y x = +x + dx 2 3 3 0 y=0  Z 2 5 4 7 3 = x + x dx 6 3 0 44 = . 3

6.7.

Teorema del cambio de variable

Definici´ on 6.7.1. Un difeomorfismo (de clase C p ) g entre dos abiertos A y B n de R es una aplicaci´on g : A −→ B biyectiva y diferenciable (de clase C p ), tal que su inversa g −1 : B −→ A es tambi´en diferenciable (de clase C p ). Teorema 6.7.2. Sean A y B subconjuntos abiertos y acotados de Rn , y sea g : A −→ B un difeomorfismo C 1 . Entonces, para toda funci´on integrable f : B −→ R, la funci´on (f ◦ g)| det(Jg)| es integrable en A, y Z Z f = (f ◦ g)| det(Jg)|, B

A

donde | det(Jg)| es el valor absoluto del determinante de la matriz jacobiana de g.

6.7.1.

Coordenadas polares

Sea la aplicaci´on g:

R2 −→ R2
(r, θ) −→ g(r, θ) = r cos(θ), r sin(θ) = (x, y)

Aunque g es diferenciable de clase C ∞ , no es inyectiva en todo R2 . Sin embargo, si la restringimos al abierto U = {(r, θ) : r > 0, 0 < θ < 2π}

86 entonces s´ı que es inyectiva (compru´ebese), y su matriz jacobiana es    ∂g1  ∂g1 (r, θ) (r, θ) cos(θ) −r sin(θ) ∂r ∂θ = . Jg(r, θ) =  ∂g2 ∂g2 sin(θ) r cos(θ) (r, θ) (r, θ) ∂r ∂θ Por tanto su jacobiano (determinante de la matriz jacobiana) es
det Jg(r, θ) = r cos2 (θ) + r sin2 (θ) = r > 0. De esta manera, si B es cualquier subconjunto acotado de R2 , y  A = g −1 (B) = (r, θ) ∈ R2 : g(r, θ) ∈ B , al aplicar el teorema del cambio de variables a la transformaci´on g, se obtiene la siguiente f´ormula: Z Z
f (x, y)dxdy = (f ◦ g)(r, θ) det Jg(r, θ) drdθ B ZA
f r cos(θ), r sin(θ) rdrdθ. = A

Ejemplo 6.7.3. Sea B = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 1}, entonces se tiene que Z Z Z Z 2 2 r2 rdrdθ (x + y )dxdy = A

B

donde A = g −1 (B) = [0, 1] × [0, 2π]. Por tanto  Z 2π  Z Z Z 2 2 dθ (x + y )dxdy = B

6.7.2.

0

0

1 3

r dr

 =

π . 2

Coordenadas esf´ ericas

Sea la aplicaci´on g:

R3 −→ R3
(r, ϕ, θ) −→ g(r, ϕ, θ) = r sin(ϕ) cos(θ), r sin(ϕ) sin(θ), r cos(ϕ) = (x, y, z)

Como suced´ıa en el caso de las coordenadas polares, g es C ∞ pero no es inyectiva en todo R3 . No obstante, restringi´endola al abierto  U = (r, ϕ, θ) : r > 0, 0 < θ < 2π, 0 < ϕ < π ,

87 g s´ı es inyectiva (no es dif´ıcil comprobarlo), y su jacobiano es sin(ϕ) cos(θ) r cos(ϕ) cos(θ) −r sin(ϕ) sin(θ)
sin(ϕ) sin(θ) r cos(ϕ) sin(θ) r sin(ϕ) cos(θ) det Jg(r, ϕ, θ) = cos(ϕ) −r sin(ϕ) 0



= r2 sin(ϕ) > 0. Este caso, si B es cualquier subconjunto acotado de R3 , y A = g −1 (B), aplicando el teorema del cambio de variables a g, obtenemos la siguiente f´ormula: Z Z
f (x, y, z)dxdydz = (f ◦ g)(r, ϕ, θ) det Jg(r, ϕ, θ) drdϕdθ B A Z   = f r sin(ϕ) cos(θ), r sin(ϕ) sin(θ), r cos(ϕ) r2 sin(ϕ)drdϕdθ. A

Ejemplo 6.7.4. Para calcular Z Z Z xyzdxdydz B

siendo B la regi´on de la esfera x2 + y 2 + z 2 ≤ 9 contenida en el primer octante, es decir, x, y, x ≥ 0, se efect´ ua el cambio de variable a coordenadas esf´ericas y al n π πo −1 A = g (B) = (r, ϕ, θ) : 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ ϕ ≤ , 0 ≤ θ ≤ , 2 2 se tiene que Z Z xyzdxdydz = r sin(ϕ) cos(θ)r sin(ϕ) sin(θ)r cos(ϕ)r2 sin(ϕ)drdϕdθ B A Z r5 sin3 (ϕ) cos(ϕ) cos(θ) sin(θ)drdϕdθ = A  Z π Z 3  Z π  2 2 5 3 = r dr sin (ϕ) cos(ϕ)dϕ cos(θ) sin(θ)dθ 0

0

0

243 = . 16

6.7.3.

Coordenadas cil´ındricas

El cambio a coordenadas cil´ındricas consiste en hacer un cambio a polares en las coordenadas x, y de cada punto (x, y, z) ∈ R3 , mientras que la coordenada z permanece fija.

88 La transformaci´on adecuada es pues R3 −→ R3
(r, θ, z) −→ g(r, θ, z) = r cos(θ), r sin(θ), z = (x, y, z)

g:

donde g est´a definida en el abierto  U = (r, θ, z) : r > 0, 0 < θ < 2π , y su imagen es todo R3 excepto los puntos del plano y = 0 con coordenada x ≥ 0 (puntos que forman un subconjunto de medida cero de R3 ). El jacobiano de g es en este caso
det Jg(r, θ, z) = r > 0 en U. As´ı, si B es cualquier subconjunto acotado de R3 , y A = g −1 (B), tenemos la siguiente f´ormula de cambio de variables: Z Z
f (x, y, z)dxdydz = f r cos(θ), r sin(θ), z rdrdθdz. B

A

Ejemplo 6.7.5. Sea B el recinto de R3 limitado por el cono z 2 = x2 + y 2 y los planos z = 0 y z = 3. La integral Z Z Z dxdydz B

(que representa el volumen del cono) se puede expresar en coordenadas cil´ındricas, como una integral sobre n o A = g −1 (B) = (r, θ, z) : 0 ≤ r ≤ z, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ 3 . Por tanto Z Z Z

Z Z Z

Z

dxdydz = B

Z

2π

Z

A 3

= 0

0

2π

Z

3

Z

z

rdrdθdz = rdrdθdz 0 0 0 Z 2π z2 27 27 dzdθ = dθ = 2π = 9π. 2 6 6 0