Cálculo vectorial – Unidad II

2.2. La geometría de las operaciones vectoriales 2.3. Operaciones con vectores y sus propiedades

M.C. Ángel León

Unidad II - Álgebra de vectores

2.2. La geometría de las operaciones vectoriales 2.3. Operaciones con vectores y sus propiedades Cuando consideramos a un vector como una entidad u objeto matemático mesurable es porque representa una cantidad y es por lo tanto un tipo de dato manipulable. Para manipularlo existen ciertas operaciones que están definidas para vectores.

Suma vectorial Consideremos los vectores en el plano u  u1 , u2 y v  v1 , v2 . La suma de u  v  v  u se define como:

u  v  u1  v1 , u2  v2 v  u  v1  u1 , v2  u2 La diferencia de dos vectores es un caso especial de la suma se define como un caso especial de la suma, en donde a un vector u le sumamos el negativo del vector v, esto es:

u  v  u    v   u1  v 1 , u2  v2 v  u  v   u   v1  u 1 , v2  u2

El vector u  v se le denomina vector resultante. Geométricamente la suma puede representarse colocando el punto inicial de un vector sobre el punto final del otro (sin modificar su módulo o dirección), el vector resultante es la diagonal de un paralelogramo que tiene a u y v como lados adyacentes, como se muestra en la siguiente Figura 1: Ejemplo 01: Considere el vector u que tiene como y u punto inicial y final P  2, 4  , Q 1,5 respectivamente 5

y al vector v cuyos punto inicial y final son R  4,0  , S  7, 2  respectivamente.

4

A través de la definición de la suma de vectores encuentre el vector resultante u  v y compare los resultados por la interpretación geométrica de la suma de vectores.

3 v 2

1

2

2

4

Figura 1. Vectores que serán sumados en el ejemplo 01.

6

x

Debemos definir al vector u y v a través de sus componentes: u  1   2  ,5  4  3,1

v  7  4, 2  0  3, 2 1 de 18

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Por lo tanto, la suma de vectores queda como:

u  v  3  3, 2  1  6,3

Si lo comparamos contra el método del paralelogramo, debemos de trasladar a uno de los vectores de manera que el punto final de uno coincida con el punto inicial del otro según la Figura 2: De acuerdo a la Figura 2, el vector u  v tiene como punto inicial pi  2, 4  y como punto final  4, 7  . Expresado a través de sus componentes: u  v  4   2  ,7  4  6,3

Que es igual al vector obtenido por la definición analítica de la suma. y v 7

6 u

v u

5

4

3

2

1

2

1

0

1

2

3

4

x

Figura 2. Método de paralelogramo para la suma de vectores

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Multiplicación por un escalar (múltiplo escalar de un vector o escalamiento de un vector) La multiplicación entre vectores no está definida, pero si la multiplicación de un vector por un escalar. Esta operación la podemos definir como:

Múltiplo escalar Si consideramos a c como un escalar y al vector u  u1 , u 2 , la multiplicación de u por c genera un nuevo vector cu expresado como:

cu  cu1 , cu2 Si c  0 entonces el múltiplo escalar cu dará como resultado el vector nulo.

Geométricamente, el múltiplo escalar de un vector puede representarse en los siguientes casos, representados en la Figura 3: y 10



Si c  0 entonces el vector cu tendrá el sentido contrario al vector u. A esto se le conoce como el negativo de un vector, y se representa como u .



Si c  1 entonces el vector cu tendrá una norma c veces más grande que el vector u.



Si 0  c  1 entonces el vector cu tendrá una v norma c

Figura 3. Escalamiento de un vector

8

6

En otras palabras, la multiplicar por un escalar negativo, el vector resultante cambiará de sentido, si multiplicamos por un escalar racional el vector tendrá un módulo más pequeño y si multiplicamos por un entero positivo mayor a uno el módulo del vector resultante será mayor.

4

La longitud del múltiplo escalar de un vector se define como:

cu 

2

0

0

1

2

3

4

x

 cu1    cu2  2

2

c u

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Vector unitario u en la dirección de v Anteriormente se definió que un vector sería considerado vector unitario si su norma, longitud o módulo tiene una magnitud de uno. A partir de un vector v que tenga norma diferente de uno podemos crear un vector u que tenga una norma unitaria, el resultado, será otro vector que tendrá la misma dirección pero evidentemente, diferente norma.

Vector unitario u en dirección de v Sea v un vector distinto de cero. El vector unitario u en la misma dirección de v se obtiene por:

u

v 1  v v v

v1 v2 , v v

Ejemplo 02: Considere al vector v  3, 4 . Obtener un vector que tenga la misma dirección pero norma unitaria. y

El vector u se obtiene aplicando la fórmula anterior:

4

u

3, 4

 3   4  2

2



3 4 , 5 5

3

Para verificar que es unitario, calculamos su norma: 2

3  4 u      5 5

2

1

u 

9 16  25 25

u 

9  16 25

2

u 1

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

x

Figura 4. Vector unitario u en la misma dirección de v.

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Si u es un vector unitario y  es el ángulo desde el eje horizontal positivo hasta u (medido en sentido contrario a las manecillas del reloj), el punto final de u estará sobre un círculo de radio unitario se tendrá:

y 1.0

0.5

u  cos ,sen  cos  i  sen j

1.0

0.5

0.5

1.0

x

Además, cualquier otro vector v distinto de cero que forma un ángulo  con el eje horizontal positivo tiene la misma dirección que u y se puede escribir:

v  v cos  ,sen  v cos i  v sen j

0.5

1.0

Figura 6. Ángulo desde el eje horizontal positivo Hasta el vector u.

Vectores unitarios canónicos o estándar Cuando representamos un vector, estamos acostumbrados a hacerlo a través de una componente en el eje horizontal y una componente vertical, comúnmente x, y . Sin embargo, cuando se trabaja con vectores existe una representación formal. Esta representación se hace a través de una combinación lineal de vectores canónicos cuyos módulos son unitarios. A los vectores unitarios 1, 0 y 0,1 se les denominan vectores canónicos en el plano y se denotan por:

i  1,0

j  0,1

Estos vectores pueden usarse para representar a un vector de manera única en el plano como sigue:

v  v1 , v2  v1 1,0  v2 0,1  v1i  v2 j Mientras que un vector en el espacio se representa a través de los vectores canónicos:

v  v1 , v2 , v3  v1 1,0,0  v2 0,1,0  v3 0,0,1  v1i  v2 j  v3k A los vectores v1i  v2 j y v1i  v2 j  v3k se les llama combinación lineal de i, j y k. A los escalares v1, v2 y v3 se les denominan componentes escalares del vector. 5 de 18

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Cuando representamos un vector través de la combinación lineal de los vectores canónicos i, j o i, j, k simplemente reemplazamos los paréntesis triangulares por i, j, k 3

i 2j

2.0

2

i 2j 3k 1

3

1.5

0

2

1.0

j 1k

j 0.5 0 0 1

0.0 0.0

i 0.5

i 2

1.0

1.5

2.0 3

Figura 6. Combinación lineal de i, j.

Figura 7. Combinación lineal de i, j, k.

De esta manera es que a lo largo del curso representaremos los vectores, tanto en el plano como en el espacio. Producto escalar (o producto punto) Hemos visto algunas operaciones entre vectores cuyo resultado es otro vector, estas operaciones son la suma, múltiplo escalar, diferencia, etcétera. Sin embargo, ahora se presenta una nueva operación entre vectores cuyo resultado es un escalar, el producto punto o producto escalar. Por si solo el producto escalar no es tan significante, pero si es usado en muchas más operaciones donde adquiere una importancia contextual. Para realizar el producto escalar requerimos de dos vectores, ambos en R n (que tengan la misma dimensión) y el procedimiento se define de la siguiente manera:

Producto escalar Sean u  u1 , u2 , u3 ,..., un

y v  v1 , v2 , v3 ,..., vn

vectores en R n , el producto escalar, denotado

como u v se obtiene como:

u v  u1 , u2 , u 3 ,..., u n

v1 , v2 , v 3 ,..., v n  u1v1  u2v2  u3v3  ...  unvn

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Ejemplo 03: Dado los vectores en R 3 , u  i  3j  4k y v  2i  4 j  8k y los vectores en R 2 w  i  2 j y x  2 j , obtener el producto escalar.

2, 4,8  1 2    3 4    4 8   2  12  32  46

u v  1,3, 4 w x  1, 2

0, 2   1 0    2  2   4

El producto punto, al ser una operación entre vectores tiene las siguientes propiedades:

Propiedades del Producto escalar Sean u, v, w vectores en R n y sea c un escalar:  

u vv u u  v  w  u v  u w



c  u v   cu v  u cv

 

0 v0 v v v

2

El resultado numérico del producto escalar está relacionado con el ángulo que forman los vectores. Si los vectores forman un ángulo agudo el producto escalar será mayor que cero, si forman un ángulo obtuso el producto punto será menor que cero y si están en ángulo recto el producto punto será igual a cero. j j j

1.2 1.2

1.0

1.2

1.0 1.0

0.8 0.8

0.8

0.6 0.6

0.6

0.2

0.2

0.2 0.0 0.0

0.4

0.4

0.4

0.5

1.0

1.5

2.0

i

0.0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

i

1.0

0.5

0.0

0.5

i

1.0

Figura 8. Posibles ángulos entre u y v.

Por lo anterior podemos hacer la siguiente afirmación:

Vectores ortogonales Los vectores u y v seon ortogonales si u v  0

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Ángulo entre dos vectores Si tenemos dos vectores ambos distintos de cero, podemos saber el ángulo  que hay entre ellos cuando están en posición canónica. Considere los dos vectores mostrados en la Figura 8: El ángulo  entre ellos lo obtenemos por la fórmula:

cos  

 uv     cos 1    u v 

uv u v

Si conocemos el ángulo entre dos vectores podemos encontrar el producto punto entre ellos reescribiendo la ecuación anterior:

u v  u v cos  Figura 9. Ángulo

entre u y

v.

Ejemplo 04: Dados los vectores u  2,3 y v  1,8 determinar el ángulo entre ellos. y

De acuerdo a la fórmula anterior:

cos   6

2,3 1,8 uv 2  24 26    u v 13 65 13 65 13 65

Despejando  :



26    26.56  13 65 

  cos 1  4

2

0 0.0

0.5

Figura 10. Ángulo 04

1.0

1.5

x

entre u y v del ejemplo

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Ejemplo 05: Dados los vectores u  1, 2,3 y v  3, 1, 4 determinar el ángulo entre ellos. Aplicando la fórmula: y

x

0.0 0 1

0.5

cos  

2

1.0

3

1.5 2.0

uv  u v

1, 2,3 3, 1, 4

1   2    3  3   1   4  2

2

2

2

2

2



Despejando a  :

4

v



17    26.99  14 26 

  cos 1 

u z 2

0

Figura 11. Ángulo

entre u y v del ejemplo 05

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17 14 26

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Cosenos directores Cuando deseamos medir la dirección de un vector en el plano, es conveniente hacerlo a través del ángulo (medido en sentido anti horario) desde el eje horizontal positivo hasta el vector. Cuando midamos la dirección de un vector en el espacio, lo haremos a través de los cosenos directores. Os cosenos directores son los ángulos  ,  ,  que guarda el vector con i, j y k respectivamente. Consideremos un vector en R 3 de la forma u  v 1 , v2 , v3 como lo muestra la Figura 12, los cosenos directores se obtendrán como sigue: 3

El ángulo de u respecto a i (eje x positivo):

2

u

cos  

1

3

v1 v

0

El ángulo de u respecto a j (eje y positivo):

cos  

2

v2 v

El ángulo de u respecto a k (eje z positivo):

1k

j

cos  

0 0 1

v3 v

i

De acuerdo a lo anterior, cualquier vector diferente de cero que no sea unitario puede normalizarse (hacer su norma unitaria) a través de la siguiente expresión:

2 3

Figura 12. Cosenos directores

v v v v  1 i  2 j  3 k  cos  i  cos  j  cos  k v v v v Y como

v es un vector unitario, entonces se cumple que: v

cos2   cos2   cos2   1

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Ejemplo

06:

Para

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el

vector

u  2i  3j  4k hallar

los

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cosenos

directores

y

demostrar

que

cos2   cos2   cos2   1 De acuerdo a la definición de los cosenos directores, debemos encontrar primero el módulo del vector u:

30 1 2

2 3

1

u

 2    3   4 

u 

2

2

2

 29

0

4

cos  

2 29



cos  

3 29



cos  

4 29



3

 2    68.19  29   3    cos 1    56.14  29 

  cos 1 

 4    42.03  29 

  cos 1 

2

Finalmente demostramos la igualdad:

cos 2   cos 2   cos 2   1

1k

j

2

0

i Figura 13. Cosenos directores del ejemplo 06

2

2

 2   3   4        1  29   29   29  2 9 16 + + =1 29 29 29 Lo cual queda demostrado.

Figura 13. Cosenos directores del ejemplo 06

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Proyecciones y componentes vectoriales Se han visto situaciones donde sumamos vectores para obtener un vector resultante. Sin embargo, hay aplicaciones en ingeniería en donde se requiere el análisis del caso contrario: de un vector resultante encontrar que vectores lo forman, esto es, encontrar las componentes vectoriales, las cuales al ser sumadas dan como resultado el vector en cuestión. En cursos de estática, se manejan las componentes de un vector como la proporción del vector que está en cada uno de los ejes del sistema de coordenadas, en el cálculo vectorial es muy similar a ese concepto. Vamos a explicar el concepto con un ejemplo físico: Considere que sobre una rampa inclinada se sitúa una lancha. La fuerza F debida a la gravedad empuja la lancha hacia abajo de la rampa como se ve en la Figura 14. La vector F es el resultado de la suma de dos vectores, w1 y w2, los cuales pueden interpretarse como la fuerza que se requiere para evitar que la embarcación se deslice hacia abajo de la rampa y la fuerza que deben de soportar los neumáticos, respectivamente. A w1 y w2 se les conoce como componentes vectoriales de F. Con la representación física de las componentes vectoriales entendida, podemos definir la proyección y componentes vectoriales de la siguiente manera: F Figura 14. Fuerza debido a la gravedad y sus componentes

Proyecciones y componentes vectoriales Sean u y v vectores distintos de cero, donde u  w1  w 2 , donde w1 es paralelo a v y w2 es ortogonal a v, como se muestra en la Figura15. 1. A w1 se le llama la proyección de u en v o la componente vectorial de u a lo largo de v, y se denota por w1  proy vu . 2. A w 2  u  w1 se le llama la componente vectorial de u ortogonal a v.

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es agudo

w2

es obtuso

u

4

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u

4

3

3

2

2

1

1

0 0.0

w2

v 0.5

1.0

w1 1.5

2.0

w1 2.0

v 1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

Figura 15. Proyecciones y componentes vectoriales

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Ejemplo 07: Sea u  5,10 y v  4,3 . Encontrar la componente vectorial de u ortogonal a v, dado que

w1  proy vu  8,6 u

Los datos que conocemos se muestran en la Figura 16. 8

w1

6

Para encontrar la componente ortogonal de u en v, seguimos el punto dos de la definición de componentes vectoriales, que dice:

w 2  u  w1 w2

w 2  5,10  8, 6  3, 4

4

v 2

2

0

2

4

6

Si el procedimiento lo hemos realizado correctamente entre w2 y v existe un ángulo recto. Podemos comprobarlo realzando el producto punto, si el resultado es cero, entonces son ortogonales:

Figura 16. Proyecciones y componentes vectoriales del ejemplo 07.

w 2 v  3, 4

4,3  12  12  0

Proyección vectorial Del ejemplo anterior es posible observar que resulta muy fácil obtener la componente ortogonal de u en v una vez que se conoce la componente de u a lo largo de v. Para encontrar w1 aplicamos el producto escalar tal como lo demuestra el teorema siguiente:

Proyección vectorial Si u y v son vectores diferentes de cero, entonces, la proyección de u en v está dada por: u v proy v u   2  v  v   

Con el teorema anterior, los que prácticamente estamos encontrando, es la porción de un vector proyectado sobre otro, tal como se trata de ejemplificar a continuación.

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Ejemplo 08: Sea u  3i  5j  2k y v  7i  j  2k . Hallar la componente vectorial de u ortogonal a v.

w2 u

Para encontrar la componente vectorial de u en v, es decir w2, necesitamos encontrar la componente vectorial de u a lo largo de v, es decir w1. Aquí aplicamos el teorema anterior: 0

w1 2 4

4



i

2 j

0

6

v 2

0

  3, 5, 2 7,1, 2 w1  proy v u     7 2  12   2 2     21  5  4    7,1, 2 2   49  1  4    14 2 4  12     7,1, 2  i  j  k 9 9 9  54 



2

k

Figura 17. Proyección de u en v. Perspectiva 1.



   7,1, 2 2   



0 j

Por lo tanto, la componente ortogonal w2 resulta:

2 4

w 2  u  w1  3, 5, 2 

w2

2

u

w1

14 2 4 13 47 22 , ,  i  j k 9 9 9 9 9 9

k 0

v

Gráficamente los resultados quedan comprobados según lo muestran la Figura 17 y Figura 18.

2 0 2 i

4 6

Figura 18. Proyección de u en v. Perspectiva 2.

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Producto vectorial o producto cruz Cuando realzamos la suma, resta o múltiplo escalar entre dos vectores el resultado será otro vector, si realizamos el producto escalar o producto interno (también conocido como producto punto) entre dos vectores el resultado es un escalar. Esta es la única operación por el momento que nos dará como resultado un escalar. La última operación que veremos en esta sección es conocida como producto vectorial o también producto cruz. Esta operación da como resultado otro vector, el cual tendrá la característica de ser ortogonal a los dos vectores involucrados. El producto vectorial se calcula más fácil resolviendo un determinante entre los vectores canónicos, y los vectores pertinentes. Antes de mostrar el procedimiento de cálculo, veamos la definición:

Producto vectorial Sean u  u1i  u2 j  u3k y v  v1i  v2 j  v3k vectores en el espacio en R 3 . El producto vectorial entre u y v o producto cruz representado por u  v se define como:

u  v   u2v3  u3v2  i   u1v3  u3v1  j   u1v2  u2v1  k

Sin embargo, la definición anterior solo aplica a vectores tridimensionales. Para vectores de mayor dimensión deberá resolverse el determinante adecuado. El producto vectorial no está definido para vectores bidimensionales Cómo determinar el producto vectorial Ejemplo 09: Dados u  2,1, 3 y v  1, 4,3 determinar: a) u  v

b) v  u

c) el ángulo entre u y u  v

Para solucionar el inciso a y b, formamos la matriz de coeficientes con las componentes de u y v y los vectores canónicos:

i j k u  v   2 1 3  1 4 3 

Vectores canónicos Componentes de u Componentes de v

Ahora, formaremos las matrices de cofactores propias de la solución de este determinante (método de expansión de Laplace).

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Eliminamos primer renglón y primera columna. Antes de cada uno de los términos colocaremos el término  1 i  j , donde i es el número de renglón y j es el número de columna que eliminamos. En este caso, eliminaremos renglón 1 columna 1 para obtener la componente en i del vector u  v :

i j k 11 u  v   2 1 3   1 1 3   3 4   i  1 3   3 4   i  15i  1 4 3  Ahora, eliminaremos renglón 1 columna 2 para obtener la componente en j del vector u  v :

i j k 1 2 u  v   2 1 3   1  2  3   3 1  j    2  3   3 1  i  3j  1 4 3  Finalmente, eliminaremos renglón 1 columna 3 para obtener la componente en k del vector u  v :

i j k 1 3 u  v   2 1 3   1  2  4   1 1  j   2  4   1 1 i  9k  1 4 3  El vector resultante será:

u  v  15i  3j  9k

Vamos ahora con el inciso b. Formamos nuevamente la matriz de coeficientes, en esta ocasión estamos resolviendo v  u por lo que colocaremos las componentes de v en el segundo renglón y las componentes de u en el tercer renglón:

i j k v  u   1 4 3   2 1 3

Vectores canónicos Componentes de v Componentes de u

Realizamos el mismo procedimiento anterior. Obtenemos: u  v  15i  3j  9k

Lo que demuestra que en el producto vectorial no existe la ley conmutativa, es decir u  v  v  u

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Cálculo vectorial – Unidad II

2.2. La geometría de las operaciones vectoriales 2.3. Operaciones con vectores y sus propiedades

M.C. Ángel León

Como se mencionó anteriormente, el vector resultante del producto cruz, es un vector que es ortogonal tanto a u como a v. Para demostrarlo aplicaremos el producto escalar u  u  v  si son ortogonales, el resultado será cero: u  u  v   2,1, 3 15, 3,9  30  3  27  0 v  u  v   1, 4,3 15, 3,9  15  12  27  0 10

i 0 10 10

v u v v u

5

u

0

k

5

4 10 2 0 2

j

Figura 19. Producto vectorial del ejemplo 09.

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