El campo de las cargas en reposo. Campo electrostático • Introducción. • Propiedades diferenciales del campo electrostático. • Propiedades integrales del campo electromagnético. Teorema de Gauss. • El potencial electrostático. Ecuaciones del potencial. • La condición de equilibrio para conductores homogéneos y sus consecuencias.

Ejemplo: hallar el campo eléctrico producido por un anillo de radio R cargado con carga Q sobre el eje z

Campo eléctrico • Ley de Coulomb, acción a distancia, influencia local, concepto de campo • Problema del autocampo • Definición de campo eléctrico debido a una distribución de carga ~ r) = E(~

1 4πε0

Z Z Z

V

ρ(~r0 )(~r − ~r0 ) 3 0 d ~r |~r − ~r0 |3

Líneas de campo

Camino intuitivo dE =

1 λds 1 λds = 4πε0 r 2 4πε0 z 2 + R2

1 qco sθ 1 qz =4 0 z E zπ ε 2 +R 2 =4 ε0 [z2 + π 2 ]3 R / 2

Ez =

qz 1 q cos θ 1 = 4πε0 z 2 + R2 4πε0 [z 2 + R2 ]3/2

Camino formal ρ(~r0 ) = λδ(r 0 − R)δ(z 0 ) ~r − ~r0 = z~uz − R cos θ~ux − R sin θ~uy p |~r − ~r0 | = z 2 + R2 Z 1 λδ(r0 − R)δ(z 0 )zr0 dr0 dφdz 0 Ez = 4πε0 [z 2 + R2 ]3/2

Teorema de Gauss • La evaluación del campo eléctrico parece complicada incluso en problema sencillos • Si hay simetría puede aprovecharse ésta para la determinación del campo eléctrico mediante el teorema de Gauss, que en su forma integral nos dice que: I ~ r ) · dS(~ ~ r) = q E(~ ε0 • S es una superficie cerrada (real o imaginaria) y q la carga total encerrada

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) • Uno de los matemáticos más grandes de la historia • Publicó sus trabajos más importantes en las áreas: – Geometría no euclidiana y diferencial – Estadística (incluyendo mínimos cuadrados) – Teoría del potencial – Magnetismo terrestre

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Ángulo plano y ángulo sólido

Flujo del campo eléctrico El flujo es proporcional al número de líneas de campo que atraviesa una superficie determinada

ΦE =

X

circunferencia de radio r=1

Ω

∆AE cos θ

α

En forma vectorial,

ΦE =

superficie esférica de radio r=1

X

~ ·E ~ ∆A

La integral sobre una superficie cerrada es:

ΦE =

I

~ · dA ~ E

l r

α=

Ángulo sólido

αT = 2π

Ω=

S r2

ΩT = 4π

Demostración del T. Gauss ΦE =

I

~ r ) · dS ~= E(~

1 4πε0

I ∙Z Z Z

¸ ρ(~r0 )(~r − ~r0 ) 3 0 ~ d ~ r dS |~r − ~r0 |3

Intercambiando la integral de superficie por la de volumen, ΦE =

∆Ω =

∆A cos θ ∆Aˆ n · rˆ = 2 r r2

Si no hay cargas ΦE=0 • ¿Cuál es el flujo a través de cada superficie cerrada? • S1? • S2? • S3? • S4?

1 4πε0

Z Z Z "I

ΦE =

1 4πε0

# ~ r) (~r − ~r0 ) · dS(~ ρ(~r0 )d3~r0 |~r − ~r0 |3

Z Z Z

dΩ(~r0 )ρ(~r0 )d3~r0

Carga puntual Calculemos el Superficie esférica flujo a través de de radio r que la esfera H encierra una carga ~ · dS ~ ΦE = E q en el origen H H ΦE = EdS = E dS

Generalicemos a cualquier superficie

q = E4πr 2 ε0

E=

1 q 4πε0 r 2

2

Hilo indefinido

Plano indefinido Flujo a través de la superficie del cilindro ΦE =

σA = 2EA ε0

Campo en la superficie del plano aislante

ΦE =

q λl = = E2πrl ε0 ε0

1 λ 2πε0 r

E=

E=

Forma diferencial del teorema de Gauss I Z

Campo gravitatorio y electrostático Fuerza entre dos masas

~ · dS ~= 1 E ε0

Z

~ · Ed ~ 3~r = 1 ∇ ε0

Z

3

ρd ~r

ρd3~r

σ 2ε0

Fuerza entre dos cargas

mM FG = −G 2 r

FC = K

Campo gravitatorio

Campo eléctrico

~g = m~g F

~ F~e = q E

qQ r2

Trabajo como diferencia de energía potencial (gravitatoria o electrostática)

Wif =

~ · E(~ ~ r) = ρ(~r) ∇ ε0

Z

Wif =

Potencial eléctrico

f i

Z

~ =m F~ · ds f

i

Z

~ =q F~ · ds

f

Zi

i

~ = −∆U = Ui − Uf ~g · ds

f

~ = −∆U = Ui − Uf ~ · ds E

Superficies equipotenciales

Se define el potencial eléctrico como la energía potencial por unidad de carga, i.e.

V =

W = De la definición de potencial, En forma diferencial, Por lo tanto

Rf i

U q

~ · d~s = q0 F

∆V = Vf − Vi = −

Rf

Rf i

i

~ · d~s = −∆U E

~ ~ · ds E

~ = −Eds cos θ = −Es ds ~ ds dV = −E

Es = −

dV ds

~ = −∇V ~ E

Dado que cuando E y ds son perpendiculares no hay variación de potencial, las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo.

3

El campo y el potencial

Expresión integral para V

De la expresión del campo eléctrico en términos del potencial,

~ = −∇V ~ E

~ r) = E(~

~ ×E ~ =0 ∇

se deduce que el campo electrostático (el de las cargas en reposo) es irrotacional. Esto, en términos integrales indica que la circulación del campo eléctrico es nula, sea cual sea la trayectoria:

I

~ · d~l = 0 E

1 4πε0

Z Z Z

ρ(~r0 )(~r − ~r0 ) 3 0 d ~r |~r − ~r0 |3

∙ ∙ ¸ ¸ 1 1 ~r − ~r0 ~0 ~ =∇ = −∇ 0 3 0 0 |~r − ~r | |~r − ~r | |~r − ~r |

Pero

~ r) = −∇ E(~

Luego

∙

1 4πε0

Z Z Z

ρ(~r0 ) 3 0 d ~r |~r − ~r0 |

¸

El principio de superposición de aplica de forma más conveniente al potencial

~ 2 − ... ~ 2 + · · · = −∇V ~ 1 − ∇V ~ =E ~1 + E E

Por tanto

~ = −∇(V ~ 1 + V2 + . . . ) E

Ecuaciones de Poisson y Laplace ~ ·E ~ = ρ ∇ ε0

De la ley de Gauss,

y la definición en términos del potencial

Ecuación de Poisson

∆V = −

ρ ε0

~ = −∇V ~ E

Ecuación de Laplace

∆V = 0

Campo eléctrico en la superficie de un conductor El flujo a través del cilindro de la figura es

ΦE =

σA = EA ε0

por el teorema de Gauss, luego el campo en la superficie del conductor es:

V (~r) =

1 4πε0

Z Z Z

ρ(~r0 ) 3 0 d ~r |~r − ~r0 |

Conductores (perfectos) • El campo es cero en el interior del conductor • Las cargas en un conductor están en la superficie • La superficie de un conductor es una superficie equipotencial: el campo eléctrico es perpendicular a la superficie de un conductor • En regiones con más curvatura hay más acumulación de carga

Fuerza sobre la superficie de un conductor cargado El campo sobre la superficie del conductor (fuera del conductor) sabemos que vale

Ea =

σ ε0

por el teorema de Gauss, mientras que el campo en el interior es nulo,

Eb = 0

La fuerza sobre un elemento de carga es

f ds = σdsE

E=

σ ε0

El campo en a y b lo podemos escribir como

Ea = Eresto + La densidad de fuerza sobre la superficie de un conductor cargado es:

σ 2ε0

f=

Eb = Eresto −

σ 2ε0

σ2 2ε0

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Cargas inducidas Al introducirse una carga q dentro de una superficie conductora hueca, debe inducirse una carga en la superficie interna del conductor de manera que se anule el campo en el volumen del mismo.

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