CAMPOS GRAVITATORIO Y ELÉCTRICO 1. Campos centrales. 2. Campo gravitatorio. a. Ley de Newton de la gravitación universal. b. Intensidad del campo gravitatorio. c. Energía potencial gravitatoria. Potencial gravitatorio. d. Velocidad de escape. 3. Campo eléctrico. a. Ley de Coulomb. b. Intensidad del campo eléctrico. c. Energía potencial electrostática. Potencial electrostático. Diferencia de potencial. 4. Analogías y diferencias entre el campo gravitatorio y el campo eléctrico Campos centrales Un campo de fuerzas es central, cuando las líneas de acción de los vectores fuerza asociados se cortan en un punto fijo. Ley de Newton de la gravitación universal La fuerza gravitatoria ejercida por una partícula de masa m1 sobre otra de masa m2 a una distancia r viene dada por la ley de Newton:

G es una constante universal de valor 6.67⋅ 10-11 U.S.I. y es un vector unitario en la línea de unión entre las dos masas. Se llama intensidad del campo gravitatorio en un punto a la fuerza gravitatoria por unidad de masa en dicho punto.

La propiedad de un cuerpo responsable de la interacción gravitatoria es la masa gravitatoria. Por otro lado, la propiedad que mide la resistencia de un cuerpo frente a la aceleración es la masa inercial; las dos se confunden habitualmente, y es porque son proporcionales. Este hecho puesto de manifiesto ya por Galileo, se traduce en que todos los cuerpos caen en las cercanías de la Tierra con la misma aceleración. Modernamente, esto se conoce como principio de equivalencia, origen de la teoría general de la relatividad de Einstein, quien formula la indistinguibilidad entre un campo gravitatorio y un sistema de referencia acelerado. La fuerza gravitatoria aplicada a los cuerpos que rodean la Tierra, es el peso:

En la superficie terrestre la intensidad del campo gravitatorio valdrá, tomando Rt = 6370 km y Mt = 5.98⋅ 1024 kg = g = 9.8 N/kg Asimismo, la fuerza gravitatoria es responsable del las órbitas planetarias y de satélites, ya que la fuerza que actúa sobre el satélite es

, y si

simplificamos admitiendo una órbita circular, la trayectoria es normal a la aceleración, por tanto a = ω 2r.

que es el contenido de la 3ª ley de Kepler Energía potencial gravitatoria. Potencial gravitatorio La disminución de energía potencial para que una masa m se desplace desde la posición realizado por la fuerza gravitatoria para realizar el desplazamiento.

a la

es el trabajo

Nota:

Que es la energía gravitatoria de dos partículas, separadas por una distancia r. La expresión la superficie terrestre: r1 ≈ r2 ≈ RT

se simplifica si suponemos variaciones de r pequeñas y en las cercanías de

El potencial gravitatorio en un punto Vg se define como la energía gravitatoria por unidad de masa en dicho punto.

Velocidad de escape Se llama velocidad de escape a la velocidad necesaria para que una partícula escape de un campo gravitatorio. Para calcularla, consideremos la energía que posee una partícula lanzada con esa velocidad:

para que escape habrá de llegar a r = ∞ con v = 0, luego E2 = 0

En la superficie terrestre

= 11.19 km/s

Campo eléctrico. Intensidad del campo eléctrico La fuerza con que interaccionan dos cargas eléctricas viene dada por la ley de Coulomb:

Donde ε 0 es una constante llamada permeabilidad eléctrica del vacío, y vale ε 0 = 8.85⋅ 10-12 U.S.I. Se define la intensidad del campo eléctrico en un punto E, a la fuerza por unidad de carga

por tanto la intensidad del campo eléctrico creada por una carga puntual q a una distancia r valdrá:

y el campo eléctrico resultante creado por varias cargas:

A diferencia del campo gravitatorio, q puede tomar valores negativos, por lo que habrá que distinguir el sentido de las líneas del campo según si la carga es positiva o negativa.

Líneas de campo creadas por 2 cargas iguales y diferente signo. Líneas de campo creadas por 2 cargas q y 3q Energía potencial electrostática. Potencial electrostático. La disminución de energía potencial que experimenta una carga q al desplazarse desde la posición el trabajo realizado por la fuerza electrostática al realizar el desplazamiento.

a la

es

Se define el potencial electrostático en un punto como la energía potencial por unidad de carga en ese punto.

A diferencia del potencial gravitatorio, es muy usado por lo que tiene una unidad característica: el voltio. Mas usado que el potencial en un punto, es utilizada la diferencia de potencial entre dos puntos, ∆ V = Vb -Va Para trasladar una carga q desde a hasta b, el campo hará un trabajo igual a W = -∆ Ep = -q ∆ V Wa b = -∆ Ep = -q ∆ V = -q (Vb -Va) Analogías y diferencias entre el campo gravitatorio y eléctrico l l

l

l

En ambos la intensidad decrece con el cuadrado de la distancia. En el campo gravitatorio, G es una constante universal, mientras que en el campo eléctrico ε depende del medio. La interacción gravitatoria no es debilitada por el medio. Solo hay fuerzas gravitatorias atractivas, no repulsivas; es decir la masa es siempre positiva, mientras que si hay fuerzas eléctricas repulsivas y cargas de distinto signo. El campo gravitatorio no se altera por el hecho de que la masa se mueva, mientras que las cargas en movimiento originan un efecto magnético.

1. Un satélite geoestacionario es aquel que gira en un plano ecuatorial alrededor de la Tierra con el mismo período de rotación que ésta. a. ¿A qué altura hay que situarlo? b. ¿Cuál será su velocidad? c. ¿Cuál es la mínima velocidad que hay que comunicar a un módulo espacial lanzado desde el satélite para que escape de la gravedad terrestre? a) La fuerza que actúa sobre el satélite es

Como la trayectoria es normal a la aceleración, a = ω 2r

luego la altura sobre la superficie es h = r - RT = 42.22 - 6.37 = 35.85 Mm b)

c) Para que escape de la gravedad terrestre hay que vencer la energía potencial negativa, comunicándole energía cinética:

= 4350 m/s

2. Hallar el valor del semieje mayor de la órbita de Júpiter, si el período de traslación alrededor del Sol vale 11 años, 314 días y 15.12 horas. (Dato: distancia Tierra-Sol = 149 Gm).

Tj = 11.862 años; Tt = 1año

Utilizando la 3ª Ley de Kepler:

=

= 774.98 Gm

3. Se desea situar en órbita un satélite de 50 kg que describa una órbita circular de radio igual al doble del terrestre (RT = 6.37 Mm). Calcular: a. La energía que habrá que comunicar al satélite suponiendo despreciable el rozamiento atmosférico. b. El suplemento de energía que se habría de aportar, para que una vez en órbita escapara del campo gravitatorio terrestre.

a) La fuerza que actúa sobre el satélite es

Como la trayectoria es normal a la aceleración, a = v22/2RT

Igualando energías E1 = E2;

Energía que hay que comunicar:

b) En la órbita, el satélite tiene una energía: E2 = valor negativo. Así pues para que el satélite escape de la atracción terrestre E = 0, por lo que hay que comunicarle:

4. Calcular la densidad de un planeta, donde el día dura 12 horas, si se sabe que en el ecuador los cuerpos no tienen peso aparente.

El hecho de no tener peso aparente se debe a que la aceleración de caída es igualada por la aceleración normal, ω 2R.

el volumen de una esfera es

5. Un satélite artificial se encuentra a una distancia r del centro de la Tierra y su velocidad

forma un

ángulo α con la recta que pasa por el satélite y por el centro de la Tierra. a. Plantear las ecuaciones del movimiento del satélite en esa posición. b. Si, en todo punto, α = π /2 radianes y r = 2R, siendo R el radio de la Tierra, ¿qué velocidad v1 lleva el satélite? c. Si α = 0 radianes, r = 2R y tiene una velocidad v2 = 2v1 ¿qué velocidad tendrá cuando llegue a una distancia 4R? Datos: Constante de la gravitación universal G. Masa de la Tierra M.

a) La fuerza que actúa sobre el satélite viene dada por la Ley de Newton:

que igualamos a masa por aceleración:

La componente del vector velocidad en la dirección de la línea de unión con el satélite y la Tierra, , es vcosα

derivando vcosα como producto:

y

ecuación 1

b) A partir de la ecuación anterior y haciendo α = 90º:

c) A partir de la ecuación 1, y haciendo α = 0:

Ecuación que hay que integrar:

y haciendo v2 = 2v1

Es más fácil hacerlo, utilizando el teorema de conservación de la energía:

Igualando energías E1 = E2;

;

6. ¿Con qué velocidad cae un meteorito a la superficie terrestre, si se encuentra en reposo a una distancia de la superficie terrestre igual a seis veces el radio de la tierra? Ignorar el rozamiento con la atmósfera.

La energía inicial del meteorito es potencial: E1 =

(r = h + RT)

Cuando llegue al suelo E2 = Igualando E1 = E2;

7. Centrada a 2000 km de profundidad se halla una cavidad esférica de 1000 km de radio con metales pesados de una densidad de 8000 kg/m3. Si la densidad media terrestre es de 5500 kg/m3, hállese el aumento porcentual del valor de la intensidad del campo gravitatorio: 100∆ g/g en la vertical del lugar y a nivel del mar.

El valor de g suplementario, ∆ g, es producido por la masa suplementaria "añadida", ∆ densidadV, que es la masa "extra" (densidad mayor de 5500) contenida en la cavidad. Por tanto el calculo de el valor de ∆ g consiste en el cálculo del campo gravitatorio producido por una esfera de 1000 km de radio y densidad (8000 - 5500) kg/m3 a 2000 km de distancia.

resulta cómodo, de cara a simplificar, escribir el valor de g así:

→ 1.8%

Es decir, el valor de g aumentaría en 0.175 m/s2 y valdría 9.97 m/s2

8. La masa de Marte, su radio y el radio medio de su órbita, referidos a los valores respectivos a la Tierra, valen respectivamente 0.108, 0.54 y 1.52. Determina: a. Aceleración de la gravedad en la superficie de Marte. b. Duración del año marciano. c. Energía luminosa que le llega del Sol tomando como unidad la que recibe la Tierra.

a)

; gM = 0.37 gT

b) Utilizando la 3ª ley de Kepler:

c) la energía que llega por unidad de superficie es:

= 1.87 años

.

La energía que llega a la superficie es E = I⋅ S = I⋅ π R2:

9. Dos esferas A y B de masas 400 y 800 kg se encuentran separadas 4 m. Determinar: a. el potencial gravitatorio que crean estas dos masas en función de la distancia al centro de la primera.

Representar la función en un gráfico V = f(x). b. Obtener gráficamente y analíticamente el punto donde se anula el campo gravitatorio.

a) El potencial gravitatorio en un punto es el cociente entre la energía potencial que adquiere una masa m en dicho punto y dicha masa m: V = Ep/m V (x) =

=

Representando esta función obtenemos la curva de la figura:

b) En el gráfico podemos apreciar un máximo (mínimo en valor absoluto) de V que corresponde al punto en que g = dV/dx = 0.

Para obtener el punto donde se anula g haremos: = 0 o:

= 1.657 m

10. Un satélite que orbita la tierra pierde a lo largo de los años y debido a rozamientos un 2% de su energía. ¿Cómo afecta este cambio a la altura, a la velocidad y al periodo?

La energía total es suma de energía potencial y cinética:

valor que como se sabe es siempre negativo mientras el satélite no escape de la atracción terrestre. Por tratarse de un valor negativo, una disminución de la energía debe interpretarse como un aumento en valor absoluto, esto es

.

⇒ el radio de la órbita disminuye un 1.96%.

⇒ la velocidad aumenta un 1%.

T2 = 0.9707T1 ⇒ el periodo disminuye un 2.93%.

11. Una partícula de masa m y carga eléctrica q es lanzada desde un punto P0(x0,y0) con una velocidad inicial v0 . Si la partícula está sometida a su peso y a la acción de un campo eléctrico a. Ecuación del movimiento de la partícula. b. Aplicar al caso: P0(0,5) m, m = 1 mg, q = 1 nC, E = 3 kN/C, vo = 20 m/s c. Velocidad de la partícula en el instante en que pase por y = 0.

a) La fuerza resultante sobre la partícula es: una aceleración:

=

, que producirá

,

que como puede observarse es constante. Por tanto, usando la ecuación del movimiento uniformemente acelerado:

, calcular:

= b)

m

c) La ecuación de la velocidad

ry = 0 para t =

;

;

m/s

m/s

12. Se dispara un electrón desde la placa positiva hacia la negativa de un condensador plano con una velocidad de 106 m/s. ¿Cuál debe de ser el voltaje entre las placas para que el electrón se detenga justo antes de la negativa?

El electrón posee una energía inicial (cinética y potencial electrostática) que le permite acercarse a la placa negativa que le repele. Igualando energías: ½ mv2 + qV1 = qV2; ½ mv2 = q(V2 - V1) = q∆ V; ∆V= valor negativo, ya que V2< V1.

13. Una partícula alfa se lanza frontalmente contra un núcleo de aluminio con una energía de 4.79 MeV. ¿Cuál es la distancia mínima que llega a separar ambas partículas? La energía cinética de la partícula alfa es 4.79⋅ 106 eV E1 = 4.79⋅ 106 1.6⋅ 10-19 J Igualando las expresiones de energía inicial y final

tendremos: = E1

= 7.82 fm.

14. Dos cargas negativas iguales de 1 µC se encuentran sobre el eje de abcisas, separadas una distancia de 20 cm. A una distancia de 50 cm sobre la vertical que pasa por el punto medio de la línea que las une , se abandona una carga de 1 µC positiva, de masa 1 g, inicialmente en reposo. Determinar la velocidad que tendrá al pasar por el punto medio de la línea de unión. En las posiciones inicial y final, hay un potencial, V1 y V2, cuyos valores son los indicados en la figura.

La energía potencial de una carga q3 abandonada en 1 es q3V1. Igualmente, en 2, es q3V2.

Igualando energías inicial y final: q3 V1 = q3V2 + ½ mv2;

15. Dos cargas puntuales, una de -3 nC y la otra de 12 nC están separadas por una distancia de 7.3 cm. Hallar:

a. El punto o los puntos sobre las recta que pasa por ellas, donde se anula el potencial eléctrico. b. El punto o los puntos donde se anula el campo eléctrico. c. El punto o los puntos sobre las recta perpendicular a la anterior por el punto en que se encuentra la carga negativa, donde se anula en potencial eléctrico.

a) El potencial en un punto P cualquiera es:

Como queremos que VP = 0 y además y = 0:

Como -q2/q1 = 4;

Se anula, pues, en dos puntos de coordenadas (1.46,0) cm y (-2.43,0) cm. b) El campo eléctrico solo puede anularse en el punto P1 de la figura

= 7.3 cm. Por tanto se anula a 7.3 cm de la carga negativa y a 14.6 cm de la positiva.

c)

16. Dos bolitas de 10 g se cuelgan de dos hilos de 15 cm de longitud y de masa despreciable. Si se les comunica la misma carga, éstas se separan de manera que los hilos forman un ángulo de 18º. ¿Cuál es el valor de la carga de cada bolita?

La fuerza resultante sobre cada bolita es:

siendo:

y TX y TY: TX = Tsenα TY = Tcosα . =0 Las bolas están en equilibrio, por tanto las dos componentes son nulas:

por otra parte, d = Lsenα , y la ecuación anterior tomará la forma:

=

17. Dada una distribución de carga formada por tres cargas q1 = 1 µC, q2 = -2 µC y q3 = 3 µC, situadas en tres vértices consecutivos de un cuadrado de 2 m de lado, tal como se indica en la figura, calcular el valor del campo eléctrico en el cuarto vértice.

Empezamos escribiendo la expresión de los vectores posición del punto problema respecto a cada carga, para aplicar la expresión general:

=

= formando un ángulo con el eje x,

18. En dos vértices de un triángulo equilátero de 2 cm de lado se sitúan dos cargas de 3 µC y -4 µC. Calcular: a. b. c. d.

El campo eléctrico en el otro vértice. La fuerza que actuaría sobre una carga de -200 nC situada en el tercer vértice. El potencial electrostático en el tercer vértice. El trabajo necesario para trasladar un carga de -200 nC desde el tercer vértice al baricentro del triángulo.

Comenzamos escribiendo los vectores unitarios que expresan la dirección de la línea de unión entre cada carga y el punto 3:

Los campos producidos por cada carga serán:

b) Como se ve el vector fuerza tiene sentido opuesto al campo, por tratarse de una carga negativa.

c) d) Recordando que la distancia de un vértice al baricentro es 2/3 de la altura, y que la altura vale , r 1 = r2 =

cm

W = q(VB - V3) = -200⋅ 10-9 (-603.7+450) 103 = 30.7 mJ

19. Dos cargas iguales se encuentran separadas una distancia 2a. ¿A qué distancia sobre la vertical que pasa por el punto medio de la línea que las une, es máximo el campo eléctrico? En primer lugar, hay que reflexionar sobre la pregunta: si la distancia es muy grande, evidentemente el campo eléctrico producido tiende a cero. Si la distancia es cero los campos eléctricos producidos por cada carga tienen sentidos opuestos y el campo eléctrico resultante también es cero. Por tanto si para y→ ∞ , E→ 0, y para y→ 0, E→ 0, E debe pasar por un máximo.

El campo eléctrico producido individualmente por cada carga vale: , y el resultante:

E = 2 E1cosα = Ahora, hay que investigar si esta función pasa por un máximo, para lo cual lo primero es reducir a una

variable.

Derivando E frente a α e igualando a cero:

-sen3α + 2cos2α senα = 0

sen2α = 2 cos2α ; tanα = Campo eléctrico (en unidades arbitrarias) en función de y/a.

tanα =

;