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Campos gravitatorio y eléctrico

UNIDAD 4. CAMPOS GRAVITATORIO Y ELÉCTRICO

   P.IV- 1. Dado el campo vectorial F r   k r 2 u r , donde k es una constante y





 u r es el vector unitario en la dirección y sentido del desplazamiento, calcular la circulación del campo (el trabajo para el caso particular de los campos de fuerza) entre   dos puntos A y B, cuyos vectores de posición son rA y rB .

P.IV- 2. Sabiendo que la carga del electrón vale 1.6·10-19 C y que las masas del electrón y protón son, respectivamente, de 9.11·10-31 Kg y de 1.67·10-27 Kg, calcula las fuerzas gravitatoria y eléctrica ejercidas entre el protón del núcleo del átomo de hidrógeno y su electrón, que gira en una órbita de radio 5.29·10-11 (primera órbita atómica de Bohr del H). Halla después la relación entre ambas fuerzas. Solución: 3.6·10-47 N; 8.2·10-8 N; 2.3·1039

P.IV- 3. Si tratamos de acercar una carga de 0.1 mC a otra fija de 0.3 mC desde 2 m hasta 50 cm de la misma: (a) representar cómo varía la fuerza que hay que ejercer en función de la distancia; (b) halla el trabajo total realizado. Solución: -4.05·102 J

P.IV- 4. El átomo de hidrógeno tiene una masa de 1.67·10-27 Kg y cuando está ionizado su carga vale 1.6·10-19 C. ¿Qué relación existe entre la fuerza electrostática y la gravitatoria cuando dos protones se encuentran a 1 m de distancia? Solución: 1036

P.IV- 5. Cuatro cuerpos, de igual masa M, se encuentran situados en los vértices de un cuadrado de lado l. Calcula el módulo de la fuerza ejercida sobre una cualquiera de las masas por parte de las otras tres. Solución: (GM2/l2)(21/2 + 1/2)

IV-1

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P.IV- 6. Dos bolitas conductoras idénticas de masa m se cuelgan, mediante hilos de longitud L y masa despreciable, de un mismo punto. Si se las carga con la misma carga, éstas se separan de manera que el ángulo que forman los dos hilos es de 2θ. ¿Cuál es el valor de la carga suministrada en función de θ? Solución: (4L2mgsen2θtgθ/K)1/2

P.IV- 7. Calcula el trabajo que es necesario desarrollar para desplazar una masa de 1 kg desde un punto situado a 3 m de otra masa de 5 Kg, hasta otro punto situado a 1 m de distancia. Efectúa el mismo cálculo para el caso del campo eléctrico en el vacío y toma los mismos valores numéricos, sustituyendo Kg por nC de carga positiva. Interpreta el signo del trabajo. Solución:22.2·10-11 J; -3·10-8 J

P.IV- 8. ¿En qué punto, a lo largo de la línea que une dos masas, una doble que la otra, se anula el campo gravitatorio resultante? Contesta a la pregunta anterior si se trata de campo eléctrico y son dos cargas del mismo signo, una doble que la otra. ¿Y si se trata de dos cargas del mismo valor y de signo opuesto? Solución: en un

punto situado entre ambas a distancia 0.586d de la

mayor//idem//en ningún punto

P.IV- 9. Para mantener fijo en el espacio un cuerpo pequeño de 0.1 g de masa y cargado positivamente, se utiliza un campo eléctrico que como mínimo debe poseer una intensidad de 10 V·m-1. ¿Cuánto vale la carga que posee el cuerpo?. En el caso de que el campo pase por su valor mínimo, ¿cuál será la dirección y sentido respecto a la vertical? Solución:98 C; 10 N·C-1

P.IV- 10. En un sistema de coordenadas rectangulares se encuentran en el vacío dos cargas puntuales, q1 = 2·10-8 C en el punto A (-5,0,0) y la carga q2 = -2·10-8 C situada en el punto B (5,0,0), donde las coordenadas están dadas en centímetros. Calcula:

IV-2

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a) El vector intensidad de campo en el punto C del segmento AB , situado a 2 cm de A. b) Siendo D un punto del plano XY tal que el triángulo ADB es equilátero, calcula el vector intensidad de campo en D. c) Calcula el potencial creado en los puntos C y D. d) Calcula el trabajo realizado para trasladar una carga de 3·10-8 C desde C hasta D. P.IV- 11. Un dipolo está constituido por dos cargas: q = -2·10-9 C y q´= 2·10-9 C, 10 9 2 1 2 0  C N m 36 situadas en el vacío. La constante dieléctrica en este medio vale .

Determina: a) El potencial electrostático producido por el dipolo en un punto M de la mediatriz de AB (puntos donde están situadas las cargas). b) El potencial en punto C, siendo AC = 10 m y CB = 8 cm. c) El trabajo necesario para llevar una carga de 10-9 C desde el punto M hasta el punto C. Solución: 0 V; 45 V; -45·10-9 J

P.IV- 12. Dos cargas puntuales idénticas de +q C están separadas una distancia d. a) Calcula el trabajo por unidad de carga para traer otra carga Q desde el infinito, a lo largo de la perpendicular que corte en el punto medio a la línea que une las cargas, hasta el citado punto de corte. b) ¿Cuánto valdría dicho trabajo si las cargas fuesen +q y -q? Solución: (4KqQ/d) J; 0 J P.IV- 13. Para un valor de q1 = 5 C calcula el valor de Q si el potencial en el punto P es nulo. Obtener el vector campo eléctrico en dicho punto y encontrar la fuerza resultante sobre la carga Q. En el diagrama todas las coordenadas están expresadas en metros.

 Solución: -8·10-6 C; -1620 j N·C-1; 0 N

IV-3

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P.IV- 14. Dos cargas eléctricas puntuales q1 = 36 C y q2 = - 36 C están situadas en los puntos A y B de la figura. Calcula el campo eléctrico en el punto P creado por aquellas cargas. Determina el trabajo necesario para trasladar una carga de 2 C desde el punto P al punto C.   Solución: (25.92·106 i + 70.56·106 j ) N·C-1; 4.32 J

P.IV- 15. Dado el sistema de cargas puntuales de la figura, determina: a) El valor de q2 para que la fuerza sobre una carga puntual positiva situada en P sea horizontal. b) El campo y el potencial electrostáticos en P. Datos: a = 1 m; b = 31/2 m; q1 = 2 C  Solución: 16 C; 62353.83 i N·C-1; 0 V

IV-4

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P.IV- 16. Dadas dos cargas de valores 1 y -2 nC, situadas en los puntos A (0,0,0) y B (2,0,0) respectivamente. Calcula el trabajo realizado para llevar una carga de 1 C desde el punto C (1,1,1) hasta el punto D (0,1,0). Solución: -6.14·10-6 J

P.IV- 17. Se tienen dos cargas puntuales Q y 4Q separadas una distancia R. Obtener el vector campo eléctrico y el potencial eléctrico en el punto medio de su separación. ¿Existe algún punto del segmento que las une para el que se anule el campo eléctrico? ¿Y el potencial? Solución: 108·109 N·C-1; 90·109 Q·R-1 V; a una distancia R/3 de Q

P.IV- 18. Sean cuatro masas iguales de valor m colocadas en los vértices de un cuadrado de lado l. Calcula el campo y el potencial: a) En un punto P situado sobre la perpendicular al plano del cuadrado por su centro y a una distancia l. b) En el centro del cuadrado. c) Calcula además la velocidad de una masa m abandonada en reposo en el punto P al llegar al centro del cuadrado. Solución: a) g p  c) v0 

2 Gm 8 2 Gm N J ; V p  4 ; b) g 0  0 ; V0  4 2 ; 2 3 l Kg Kg 3 3 l

4.78Gm m  s 1 l

IV-5

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P.IV- 19. Dos cargas negativas iguales, de 1 C, se encuentran sobre el eje de abscisas, separadas una distancia de 20 cm. A una distancia de 50 cm sobre la vertical que pasa por el punto medio de la línea que las une, se abandona una carga de 1 C positiva, de masa 1 g, inicialmente en reposo. Determina la velocidad que tendrá al pasar por el punto medio de la línea de unión. Solución: 17 m·s-1

P.IV- 20. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón gira alrededor de protón, describiendo una órbita circular de radio r, bajo la acción de una fuerza atractiva, entre ambas partículas, de naturaleza coulombiana. Determina: a) La energía cinética que posee el electrón en su órbita, en función del radio de la misma. b) La relación entre la energía cinética y la energía potencial del electrón. c) La energía cinética y la energía total del electrón para r = 0.53·10-10 m. d) La energía, en eV, que debe suministrarse al átomo de hidrógeno para ionizarlo. Solución: (1.15·10-28/r) J; Ec = -Ep/2; 2.17·10-18 J; -2.17·10-18 J ; 13.58 eV

P.IV- 21. Un campo eléctrico uniforme de valor E = 200 N·C-1 está dispuesto horizontalmente en la dirección del eje X. Se deja en libertad en el origen, y partiendo del reposo, una carga puntual de Q = 3C y m = 0.12 g. Calcula: a) La variación de energía cinética de la carga en x = 4m. b) La variación de energía potencial en el mismo recorrido. c) El desplazamiento vertical que ha experimentado la partícula. d) La diferencia de potencial eléctrico entre la posición inicial y final de la partícula. Solución:1.15·10-2 J; -1.15·10-2 J; 7.78 m; 800 V.

P.IV- 22. Calcula el campo gravitatorio que crean las masas que se indican en la figura, en el punto (3,1). Las distancias se miden en metros y m1 = m2 = m3 = 100 Kg.

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¿Cuál será el valor de la fuerza resultante que actúa sobre una masa de 100 Kg, colocada en dicho punto? ¿Cuál será el valor del potencial gravitatorio en el punto P?   Solución: 93.58G j N·Kg-1; 9368G j N; -1.08·10-8 J·Kg-1

P.IV- 23. Dibujar a escala las líneas de campo y equipotenciales de dos cargas puntuales de 1 nC de signos opuestos (dipolo eléctrico) separadas entre sí una distancia de 10 cm.

P.IV- 24. Dibuja las líneas de campo y las equipotenciales que representan al campo eléctrico creado por: a) Una carga puntual positiva. b) Una carga puntual negativa. c) Compara estos resultados con las correspondientes al campo gravitatorio.

P.IV- 25. La figura muestra líneas de fuerza debidas a una masa en forma de disco. ¿Qué información sobre el campo gravitatorio puede obtenerse, debido al hecho de que las líneas son mucho más densas cerca de disco que lejos de él? ¿Y debido al hecho de que cerca del centro del disco las líneas están uniformemente espaciadas?

IV-7

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P.IV- 26. La siguiente figura muestra las líneas de fuerza correspondientes a un sistema de cargas puntuales. ¿Cómo son los valores relativos de ambas cargas? ¿Cuáles son los signos de ambas cargas? ¿En qué regiones del espacio es más intenso el campo eléctrico? Razona las respuestas.

P.IV- 27. ¿Cuál sería el flujo gravitacional terrestre a través de la pared de una habitación de 3×6 m? ¿Y a través del piso de iguales dimensiones? Solución:0 Nm2·Kg-1; -176.4 Nm2·Kg-1

P.IV- 28. Calcula el flujo que atraviesa una superficie cúbica de lado l en el campo gravitatorio terrestre (para puntos próximos a la superficie de la Tierra). Solución:0 Nm2/Kg

IV-8

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P.IV- 29. Razonar que la fuerza de atracción sobre una partícula P, que se encuentra en el interior de una esfera homogénea hueca, es cero se encuentre donde se encuentre en el interior.

P.IV- 30. A una esfera metálica hueca, de 8 cm de radio, se le comunica una carga de Q = -4·10-8 C. Calcula: a) La intensidad del campo eléctrico sobre la superficie. b) La intensidad del campo eléctrico en un punto interior a 4 cm del centro. c) La intensidad del campo eléctrico en un punto exterior a 15 cm del centro. Solución:E = Q/4r2 si r  R; E = 0 si r < R; 56.25·103 N·C-1; 0 N·C-1; 16·103 N·C-1; dirigidos hacia el centro

P.IV- 31. Calcula el campo y el potencial creado por una esfera de carga Q distribuida superficialmente con densidad superficial de carga  y comparar el resultado con el obtenido cuando la carga se distribuye con densidad de volumen . Solución:1. Carga distribuida superficialmente:

E V

Q 4R

Q r  R; 4r 2

E 0r  R;

V

Q 4r

 r  R;

rR 2. Carga distribuida en volumen:

E V



KQ 3R 2  r 2 3 2R

Q r  R; 4r 2

E

Q r  r  R; 4R 3

V

Q 4r

 r  R;



P.IV- 32. Calcula el campo gravitatorio en puntos exteriores e interiores a la Tierra, supuesta esférica y el único astro del Universo (Nota: todas las características de este campo serán idénticas a las del campo eléctrico del P.IV- 31). Solución: g 

M 4 GM  r  RT ; g  Gr  G 3T r  r  R 2 3 RT r

IV-9

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P.IV- 33. Supongamos que se hace un túnel a través de la Tierra, a lo largo de un diámetro, y se deja caer por su interior una cierta masa m. a) Halla la fuerza sobre la masa m, cuando esté situada a una distancia r del centro de la Tierra (r < R). b) A la vista del resultado anterior, discutir su movimiento. c) Halla el periodo del movimiento armónico.

 M m  Solución: F  G T3 ru r  r  RT ; M.A.S.; T = 1.41 horas RT

P.IV- 34. Determina por aplicación del teorema de Gauss el campo eléctrico en las proximidades de un plano infinito, siendo  la densidad superficial de carga. Solución: E = /20

P.IV- 35. Halla el campo y el potencial entre dos láminas conductoras paralelas planas e infinitas, separadas una distancia d, cargadas con cargas iguales y de signos contrarios. Solución: E    0 ; V A  VB 

 d  E  d , siendo A y B dos puntos 0

situados en las láminas

P.IV- 36. Considerando la Tierra totalmente esférica y homogénea, calcula: a) El campo y el potencial gravitatorio para un punto cualquiera situado a una altura h sobre la superficie terrestre. b) La energía potencial que adquiere una masa m situada en ese punto si: b.1) Tomamos el origen de energía potencial en el infinito. b.2) Tomamos el origen de energía potencial en la superficie terrestre. c) Aplicación numérica de los dos anteriores apartados si h = 10000 m y m = 4 Kg.

P.IV- 37. Un astronauta, cuyo peso en la Tierra es de 700 N, aterriza en el planeta Venus y de nuevo mide su peso, observando que después de efectuadas las correcciones pesa 600 N. Considerando que el diámetro de Venus es aproximadamente el mismo que el de la Tierra, calcula la masa de Venus. Datos: MT = 6·1024 Kg. IV-10

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P.IV- 38. Determina la aceleración de la gravedad para un cuerpo que cae sobre la Luna desde un punto muy próximo a ella, si sabemos que el diámetro de la Luna es aproximadamente 1/4 del diámetro de la Tierra y la razón entre sus masas es de 1/81. Solución: 1.93 m·s-2

P.IV- 39. Calcula la masa del Sol a partir del radio de giro de la Tierra y del periodo de rotación de la misma (rotación alrededor del Sol = traslación). R 3 4 2 Solución: , coincide exactamente con la 3ª Ley de Kepler GT 2

P.IV- 40. Desde la superficie de la Tierra se lanza un satélite de 1000 Kg y se le sitúa en una órbita de 650 Km sobre la superficie terrestre. Determina: a) Valor de la intensidad del campo gravitatorio en la órbita. b) Velocidad y periodo de giro del satélite. c) Energía suministrada por los motores para situarlo en órbita.

P.IV- 41. Determina la rapidez con que debemos lanzar un cuerpo desde la superficie terrestre para que alcance una altura de 9RT / 4. Determina además el periodo de giro de un satélite que gire en torno a la Tierra en una órbita de radio igual a la altura dada anteriormente. Solución: 9297.1 m·s-1; 29679.8 s

P.IV- 42. Un satélite artificial de 100 Kg está girando alrededor de la Tierra a una altura media, sobre la superficie terrestre, de 400 Km. Calcula: a) La velocidad orbital del satélite. b) Suponiendo que no existen rozamientos, el trabajo que ha tenido que realizarse para situarlo en órbita desde la superficie terrestre. c) En la posición que ocupa, ¿ha aumentado o ha disminuido la energía potencial? Solución: 7761.14 m·s-1; 3.3882·109 J

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P.IV- 43. Se lanza un satélite con el propósito de situarlo en una órbita circular situada en el plano ecuatorial y que sea geoestacionaria. El satélite describe su trayectoria con una velocidad de módulo constante v. Calcula: a) El valor de la altura h donde evoluciona el satélite. b) El módulo de la velocidad. Solución: 35852 Km; 3068.9 m·s-1

P.IV- 44. El planeta Marte tiene un radio igual a 0.53 veces el de la Tierra. Su satélite Fobos describe una órbita circular de radio R1 = 2.77 RM en T = 7h, 39 min, 14s, aproximadamente. Calcula la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte. Solución: 3.73 m·s-2

P.IV- 45. Desde una altura de 1000 Km sobre la superficie de la Tierra, se lanza un cuerpo con cierta velocidad v0 tal como se indica en la figura.

Calcula para qué valores de la velocidad el cuerpo quedará en órbita alrededor de la Tierra y para cuáles escapará de la atracción terrestre. Considera en todos los casos que la órbita es circular y que RT = 6500 Km. Solución: Si v0 > 10.313 Km·s-1 el cuerpo escapa; en caso contrario queda atrapado.

IV-12

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P.IV- 46. Halla el punto situado entre la Tierra y la Luna en el que debe colocarse un cuerpo de masa m para que la fuerza de atracción de la Luna iguale a la fuerza de atracción de la Tierra. ¿Cuál es el trabajo mínimo necesario para lanzar una nave cósmica de masa 2000 Kg desde la superficie de la Tierra a la Luna? (Suponer que el cuerpo alcanzará la Luna si es capaz de llegar hasta el punto en que se igualan la atracción lunar y la terrestre). Datos: distancia Tierra-Luna = 3.8·108 m; MT = 81 ML. Solución: a 3.42·108 m de la Tierra; 2.59·109 J

P.IV- 47. Si por alguna causa interna la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa: a) ¿Cuál sería la intensidad del campo en su nueva superficie? b) ¿Se modificaría sustancialmente su órbita alrededor del Sol? c) ¿Cuál sería la nueva duración, en horas, del día? Solución: g = 4 g0; no; 6 horas P.IV- 48. Dos satélites artificiales de masa m0 y 2 m0 describen órbitas circulares del mismo radio r = 2RT, siendo RT el radio de la Tierra. Calcula la diferencia entre las energías mecánicas de ambos satélites. Solución: GMTm0/4RT P.IV- 49. Un satélite artificial de 1.2 Tn se eleva a una distancia de 6500 Km del centro de la Tierra y se le confiere un impulso mediante cohetes propulsores para que describa una órbita circular alrededor de la Tierra. a) ¿Qué velocidad deben comunicar los cohetes para que tenga lugar ese movimiento? b) ¿Cuánto vale el trabajo realizado para llevarlo de la superficie de la Tierra a esa altura? Datos: RT = 6.36·106 m; g0 = -3.659·1010 J Solución: 7809.31 m·s-1; -1.61·109 J; -3.659·1010 J

P.IV- 50. Un cuerpo de 2 kg de masa se mueve a lo largo de una recta con una  velocidad constante 3 j m/s. Determinar su momento angular con respecto al origen (0,0) cuando el cuerpo está en los puntos (2,0), (2,1) y (2,2) de la misma recta. ¿Qué IV-13

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conclusión se obtiene respecto del momento angular de un cuerpo que se mueve con movimiento rectilíneo uniforme?

P.IV- 51. ¿Permanece constante el momento angular de un electrón en una órbita determinada según el modelo de Bohr? Explicadlo.

P.IV- 52. Teniendo en cuenta la respuesta del problema anterior, ¿puede usarse el valor del momento angular para caracterizar una determinada órbita? ¿Conoces algún número cuántico referido al momento angular?

P.IV- 53. Un cuerpo de 3 kg de masa se mueve a lo largo de una recta con    velocidad v  3i  4 j m/s. Determinar su momento angular con respecto al origen (0,0) cuando el cuerpo se encuentra en el punto (4,1). ¿Qué dirección tiene el momento angular?

     Solución: p  9i  12 j kg m/s; L  39k kg m2/s.

P.IV- 54. Una persona se encuentra de pie sobre una plataforma que gira alrededor de un eje vertical. En un momento dado, se siente mareada y trata de desplazarse hacia el eje con la intención de asirse a él. ¿Crees que ha tomado la decisión más acertada? ¿Por qué? P.IV- 55. El radio solar es de unos 6.96×108 m, y su período de rotación es de 25.3 días. ¿Cuál sería su período de rotación si se colapsara formando una enana blanca de 4000 km de radio, sin variación apreciable de masa? Solución: 1 min 12 s. P.IV- 56. Si G = 6.67 × 1011 N m2/kg2, la masa de la Tierra es 6×1024 kg y el radio de la Tierra es de 6370 km, determinar: a) La magnitud de la fuerza con que la Tierra atrae a una piedra de 100 g. b) La magnitud de la fuerza con que la piedra atrae a la Tierra. c) El valor de la aceleración que adquiere la piedra sometida a esa fuerza. d) El valor de la aceleración que adquiere la Tierra sometida a esa misma fuerza.

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Campos gravitatorio y eléctrico e) La fuerza con que la Tierra atraerá a otra piedra cuya masa es de 10 kg, así como la aceleración que ésta adquiere. Solución: a) 0.98 N; b) 0.98 N; c) 9,8 m/s2; d) 1.6×1025 m/s2; e) 98N, 9.8 m/s2.

P.IV- 57. Una masa cae con una aceleración de 3.7 m/s2 sobre la superficie de un planeta sin atmósfera cuyo radio es 0.4 veces el terrestre. ¿Cómo es la masa de este planeta en relación con la terrestre? Solución: mP/mT = 0.06. P.IV- 58. Dos masas puntuales iguales de 5 kg se encuentran situadas en los vértices inferiores de un triángulo equilátero de 40 cm de lado. Si se coloca en el vértice superior una tercera masa m´: a) ¿Qué aceleración adquiere esta última masa en ese punto (exprésala en notación vectorial? b) ¿Descenderá con aceleración constante? c) ¿Qué aceleración tendrá en el momento de llegar a la base del triángulo?  Solución: a)  3.6  10 9 j m/s2; b) no; c) 0.

P.IV- 59. Determinar el campo producido en el punto P por la distribución de masas de la figura:

P

5 kg

5m

10 m 3 kg

10 kg





   Solución: g   8.107  10 12 i  1.309  10 11 j N/kg.

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P.IV- 60. Tenemos cuatro partículas iguales de 2 kg de masa en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Determinar el módulo de la fuerza gravitatoria que experimenta cada partícula debido a la presencia de las otras tres. Solución: 5.10×1010 N.

P.IV- 61. Halla el valor que tiene el campo gravitatorio en la superficie del planeta Júpiter, teniendo en cuenta que su masa es 300 veces la de la Tierra, y su radio, 11 veces mayor que el terrestre. Solución: 24.3 m/s2.

P.IV- 62. La distancia de la Tierra al Sol es de 152 100 000 km en el afelio, mientras que en el perihelio es de 147 100 000 km. Si la velocidad orbital de la Tierra es de 30270 m/s en el perihelio, determinar, por conservación de la energía mecánica, cuál será la velocidad orbital en el afelio. Solución: 29247.5 m/s.

P.IV- 63. Cinco masas de 4 kg cada una están en posiciones equidistantes sobre el arco de una semicircunferencia de 80 cm de radio. Una masa de 0.5 kg se sitúa en el centro de curvatura de dicho arco. Determinar: a) La fuerza que actúa sobre dicha masa. b) La energía potencial de dicha masa en ese punto.  Solución: a) 5.02  10 10 j N; b)  8.33×1010 J.

4 kg 4 kg

4 kg

4 kg

4 kg 0.5 kg

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P.IV- 64. Determinar la fuerza que actúa sobre la carga Q3 de la figura.

Q1 = + 4 C

+

0.3 m



0.2 m

Q2 =  10 C

 Q3 =  6 C

   Solución: F  12.58i  1.38 j  N.

P.IV- 65. ¿Cómo es el campo gravitatorio debido a una corteza esférica en un punto exterior? ¿Y en uno interior? ¿Podrías demostrar tu respuesta a esta última cuestión desde punto de vista cualitativo? P.IV- 66. Un protón se mueve con una velocidad de 3×107 m/s a través de un campo magnético de 1.2 T. Si la fuerza que experimenta es de 2×1012 N, ¿qué ángulo formaba su velocidad con el campo cuando entró en él?

P.IV- 67. Un haz de protones y otro de electrones son lanzados en la misma dirección y sentido. En ambos casos, se observa que las partículas se desplazan con movimiento rectilíneo y uniforme. ¿Podemos asegurar que en dicha región no existe campo magnético? ¿Y campo eléctrico?

P.IV- 68. Una espira se sitúa de modo que su momento magnético tiene la  misma dirección que el campo externo B y sentido opuesto. ¿Cuál es el momento del par que actúa sobre ella? ¿Se encontrará en equilibrio estable o inestable? Razona la respuesta.

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P.IV- 69. Una corriente de 25 mA circula sobre una bobina rectangular de 50 espiras de 3 cm × 5 cm. Calcular: a) El momento magnético de la bobina. b) El momento del par de fuerzas que actúa sobre la espira si se coloca paralela a un campo de 0.2 T. Solución: a) 1.87×103 A·m2; b) 3.75×104 N·m.

P.IV- 70. Un ciclotrón ha sido diseñado para acelerar protones. El campo magnético con el que opera es de 1.4 T, y el radio es de 0.5 m. ¿Cada cuánto tiempo tenemos que alternar el voltaje entre las des si no consideramos efectos relativistas? ¿Cuál es la máxima energía en MeV que podría alcanzarse en este ciclotrón? Solución: a) 2.2×108 s; b) 24.5 MeV.

P.IV- 71. Un espectrómetro de masas utiliza un selector de velocidades consistente en dos placas paralelas separadas 5 mm, entre las que se aplica una diferencia de potencial de 250 V. El campo magnético cruzado en la región de las placas vale 0.5 T. Calcular: a) La velocidad de los iones que entran en el espectrómetro. b) La distancia entre los picos del registro correspondiente al

232

Th+ y al 228Th+

si el campo magnético con el que opera el espectrómetro en su interior es de 1 T. Solución: a) 105 m/s; b) 8.4 mm.

P.IV- 72. ¿Se podría detener una partícula cargada en un campo magnético uniforme?

P.IV- 73. ¿Cómo puede usarse el movimiento de una partícula cargada para distinguir un campo eléctrico de uno magnético? P.IV- 74. En un instante dado, un electrón se mueve en la dirección Z en una región donde hay un campo magnético en la dirección +X. ¿Cuál es la dirección de la fuerza que actúa?

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    P.IV- 75. Con una velocidad v  2i  j  3k m/s, un electrón se mueve en una    región del espacio en la que el campo magnético viene dado por B  0.3i  0.02 j T. ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre él? ¿Y su módulo?      Solución: F  9.6  10 21 i  1.4  10 19 j  5.4  10 20 k N; F  1.5  10 19 N.

P.IV- 76. Si deseamos que el campo en un punto cualquiera entre dos conductores rectilíneos paralelos sea más intenso que el que correspondería a un único conductor, ¿en qué sentido relativo deberían circular las corrientes?

P.IV- 77. Una espira rectangular de 10 cm × 5 cm se sitúa paralela a un conductor rectilíneo de gran longitud a una distancia de 2 cm, como se indica en la figura. Si la corriente que circula por el conductor es de 15 A, y la que circula por la espira en el sentido indicado es de 10 A, ¿cuál es la fuerza neta que obra sobre la espira?

I1 I2

2 cm

10 cm

5 cm Solución: 1.7×104 N (de atracción).

IV-19

Problemas

Campos gravitatorio y eléctrico

P.IV- 78. ¿Cuántas espiras circulares estrechamente arrolladas deberá tener una bobina de 12.56 mm de radio por la que circula una intensidad de 0.25 A, para que el campo magnético en su centro valga 104 T? Solución: 8 espiras.

P.IV- 79. ¿Qué ocurrirá si dirigimos un haz de electrones hacia el interior de un solenoide por el que circula una corriente, de manera que aquéllos penetren en la dirección del eje principal? P.IV- 80. Colocamos una espira circular de 2 cm de radio en el seno de un campo magnético uniforme de 0.2 T, de modo que el plano de la espira sea paralelo al campo. ¿Cuánto vale el flujo magnético a través de la espira? ¿Y si el plano de la espira forma 45º con el campo? ¿Y si forma 90º? ¿Qué ocurrirá si hacemos girar la espira?

P.IV- 81. Acercamos un electroimán a una espira rectangular cuyas dimensiones son 3 cm × 4 cm, de modo que el campo magnético pase de 0 a 0.8 T en una décima de segundo. ¿Cuál es el valor de la fuerza electromotriz inducida?

P.IV- 82. Una corriente de 10 A recorre un hilo conductor de gran longitud situado cerca de una espira rectangular, como se indica en la figura. a) Calcular el flujo del campo magnético a través de la espira. b) Determinar la fuerza electromotriz media y el sentido de la corriente inducida en la espira si se interrumpe la corriente al cabo de 0.02 s.

I 10 cm

10 cm

20 cm

Solución: a) 2.2×108 s; b) 24.5 MeV.

IV-20

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Campos gravitatorio y eléctrico

P.IV- 83. Una espira de 100 cm2 de superficie se encuentra orientada de forma perpendicular a un campo magnético cuya magnitud aumenta uniformemente desde 0.2 T hasta 1.4 T en 0.25 s. Determinar: a) ¿Cuánto vale la fuerza electromotriz inducida en la espira? b) ¿Cuál será la intensidad de la corriente si la resistencia total de la espira es de 3 ? Solución: a) 2.2×107 Wb; b) 1.1×105 V; sentido horario.

P.IV- 84. Una bobina de 100 espiras circulares de 2 cm de radio se sitúa con sus espiras perpendiculares a un campo magnético cuyo valor varía según B = 1.5·e0.2t T. a) ¿Cómo varía la fuerza electromotriz inducida con el tiempo? b) ¿Cuál será el valor de dicha fuerza electromotriz inducida a los 10 segundos?

P.IV- 85. Una bobina de 150 espiras cuadradas de 3 cm de lado gira en un campo magnético de 0.6 T: a) ¿Cuál debería ser su frecuencia para inducir una fuerza electromotriz máxima de 12 V? b) Si la bobina girase a 60 Hz, ¿cuál sería su fuerza electromotriz máxima? c) Trazar la gráfica -t correspondiente a un período completo para el caso b). Sobre la misma gráfica, dibujar ahora la que ilustra el caso de una frecuencia de 30 Hz. ¿Qué conclusiones se obtienen?

P.IV- 86. La bobina rectangular de un generador simple de corriente alterna alcanza una fuerza electromotriz de 65.3 V a una frecuencia de 50 Hz en un campo de 1.3 T. Si las dimensiones de las espiras son 8 cm × 5 cm, ¿cuántas espiras tiene la bobina? Solución: 8 espiras.

IV-21

Problemas

Campos gravitatorio y eléctrico

P.IV- 87. En un campo de fuerzas conservativo la energía potencial viene dada por la expresión U  3x  y 2 x  3 yz  35 expresada en el sistema internacional. Calcula: a) La fuerza que actúa sobre la partícula colocada en el punto A (1,2,1) m. b) El trabajo realizado por el campo cuando la partícula se desplaza del punto A al B (-1,3,2) m.     Solución: F  i  j  6k N; 31 J.

P.IV- 88. Halla la fuerza gravitatoria y la fuerza eléctrica que se ejercen entre sí dos electrones separados por una distancia de 10-10 m (1 Å), que es una distancia típica a escala atómica. Compara las magnitudes de ambas fuerzas. Solución: 5.54·10-51 N; 2.3·10-8 N; 4.16·1042.

P.IV- 89. Una gota de aceite tiene una masa de 4·10-14 kg y una carga neta de 4.8·10-19 C. Se hace actuar un campo eléctrico, variando su magnitud hasta lograr que la fuerza eléctrica equilibre el peso de la gota, quedando ésta en reposo. ¿Cuál deberá ser la dirección y magnitud de dicho campo eléctrico? Solución: 8.17·105 N·C-1.

P.IV- 90. Las masas m1, m2 y m3 de la figura adjunta valen 8·103 kg, 9·103 kg y 103 kg, respectivamente. Se pide: a) La intensidad del campo gravitatorio en el punto (4,3) m. b) Fuerza que actuará sobre una masa de 10 kg situada en dicho punto.

IV-22

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Campos gravitatorio y eléctrico

Solución: (-3.55·10-8, -6.83·10-8) N·Kg-1; (-35.5·10-8; -68.3·10-8) N.

P.IV- 91. ¿A qué altura de la superficie terrestre la intensidad del campo vale la mitad que en la superficie de la Tierra? (Da el resultado en función del radio de la Tierra, RT). Solución: 0.41 RT.

1. P.IV- 92. Dadas las cargas q1 = -7.2 C, q2 = -40 C y q3 = 6.4 C representadas en la figura adjunta, determina:

IV-23

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Campos gravitatorio y eléctrico

a) Intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas y fuerza que actúa sobre una carga de -10-6 C situada en dicho punto. b) Trabajo realizado por la fuerza electrostática al desplazar q2 hasta el origen. c) Energía potencial de la distribución inicial. ¿Cuál es su significado físico? Solución: (1980, 3960) N·C-1; (-1.98·10-3, -3.96·10-3) N; -0.204 J; -0.101 J.

P.IV- 93. Un electrón describe una órbita circular de radio r alrededor de un núcleo que contiene Z protones. Halla la expresión de la energía total de este átomo de 1 sólo electrón considerando que fuesen válidas las leyes de la Mecánica Clásica. Halla su valor para el caso del átomo de hidrógeno (Z=1), suponiendo entonces r = 0.5 Å. Solución: -14 eV.

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Campos gravitatorio y eléctrico

P.IV- 94. Una masa de 1000 kg se desplaza desde un punto en el que el potencial es -5 J·kg-1 a otro que es -7 J·kg-1. Calcula: a) El trabajo de las fuerzas gravitatorias e indica si se trata o no de una transformación espontánea. b) Idem si el cuerpo se aleja desde el punto en que Vg = -5 J·kg-1 hasta una gran distancia en que Vg puede considerarse prácticamente nulo. Solución: 2000 J (espontánea); -5000 J (forzada).

P.IV- 95. En el núcleo atómico existe un determinado número (Z) de protones. Si la distancia media a la que se encuentran los nucleones es de 10-13m, ¿cuál es la fuerza repulsiva que se ejercen entre sí dos protones cualesquiera?

P.IV- 96. ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra debe encontrarse un cuerpo para perder el 10% de su peso? Solución: 344.6 km.

P.IV- 97. Dada la figura adjunta y sabiendo que en el punto M se encuentra una carga q1 de 5 nC y en el punto N otra carga q2 de valor -10 nC, determina:

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Campos gravitatorio y eléctrico

a) Intensidad del campo y potencial en el punto A. ¿Qué fuerza actuaría sobre una carga q=-2C que se situase en el punto A?. b) Energía potencial del sistema de cargas formado por q1 y q2. c) Trabajo realizado por la fuerza electrostática si desplazamos q1 hasta el punto O. Solución: (1.76, 4.06, -1.54) N·C-1; -10.19 V; (-3.52·10-6, -8.12·10-6, 3.08·10-6) N; -6.18·10-8 J; 6.3·10-8 J.

P.IV- 98. Un satélite se pone en órbita a una distancia de la superficie terrestre tal que la aceleración de la gravedad es la mitad del valor en la superficie. ¿Cuál es el período de revolución del satélite en torno a la Tierra? Solución: 2h, 21´, 59´´.

P.IV- 99. Un cometa tiene una velocidad de 18·104 km·h-1 cuando se encuentra a una distancia de 2·108 km del Sol. ¿Qué tipo de órbita describirá? Solución: Hiperbólica.

P.IV- 100. a) Calcula la energía potencial electrostática en eV de un electrón en un átomo de hidrógeno, suponiendo que el electrón se halla a una distancia media respecto del protón igual a 5.3·10-11 m. b) Calcula a continuación la energía potencial gravitatoria del sistema y compara ambas cantidades. Solución: 27.1 eV; -1.2·10-38 eV; 2.26·1039 eV.

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