Cap. 1 Funciones de Varias variables

Moisés Villena Muñoz

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12

Definición de Funciones de dos variables Dominio Grafica. Curvas de nivel Derivadas Parciales Funciones Homogéneas Funciones Nomotéticas Diferencial Total Regla de la cadena y razón de cambio Aproximaciones Análisis Marginal Derivación Implícita

1

Cap. 1 Funciones de Varias variables

Moisés Villena Muñoz

1.1 DEFINICIÓN de Funciones de dos variables. Una función de dos variables es una relación, donde a estas variables se les asigna uno y solamente un número real. Ejemplo 1. Suponga que para un determinado artículo la función utilidad está dada por U ( x, y ) = x 2 + y 2 , donde “ x ” representa el precio del artículo y “ y ” representa la cantidad producida del artículo. Se observa, entonces que la utilidad depende de las variables, precio y cantidad. Por ejemplo si x = 2 y y = 3 entonces la utilidad sería U (2,3) = 2 2 + 3 2 = 13 .

Ejemplo 2. Función de Cobb-Dauglas Esta función tiene regla de correspondencia F ( x, y ) = Ax a y b donde A, a, b son constantes. Por ejemplo. La estimación de la función de producción de una cierta pesquería de langostas está dada por F ( S ; E ) = 2,26S 0.44 E 0.48 donde S designa la reserva de langosta, E el trabajo invertido y F ( S ; E ) las capturas.

Note, entonces que se podría definir funciones de tres y más variables. PREGUNTA: ¿Cómo sería la definición para una función de tres variables?

1.2 DOMINIO. El dominio de una función de dos variables es el conjunto para el cual estas variables definen la función; es decir, el conjunto para el cual tiene sentido la regla de correspondencia de la función. Ejemplo 1 Hallar el Dominio Natural para F ( x, y ) = x 2 + y 2 SOLUCIÓN. Observe que la regla de correspondencia no tiene restricciones, por tanto se le puede dar cualquier valor real a las variables independientes “ x ” y “ y ”, es decir Domf = R 2 .

Ejemplo 2 Hallar el Dominio Natural para F ( x, y ) = x − 1 + y Solución. Para que la regla de correspondencia tenga sentido se necesita que x ≥ 1 y

2

y≥0

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Es decir

⎧⎪⎛ x ⎞ ⎫⎪ Domf = ⎨⎜⎜ ⎟⎟ / x ≥ 1 ∧ y ≥ 0⎬ . ⎪⎩⎝ y ⎠ ⎪⎭

En esta ocasión puede ser mejor representarlos en

el plano cartesiano.

y

0 0

1

x

2

Ejemplo 3

)

(

Hallar el Dominio Natural para F ( x, y ) = 9 − x 2 + y 2 SOLUCIÓN. Observe que la regla de correspondencia tiene sentido cuando 9 − x 2 + y 2 ≥ 0 , para que se pueda calcular la raíz cuadrada lo interior del radical debe ser un número positivo o cero. Despejando se tiene x 2 + y 2 ≤ 9 , los pares de números que pertenecen a la circunferencia centrada en el origen de radio 3 y a su interior.

(

Es decir

)

⎧⎪⎛ x ⎞ ⎫⎪ Domf = ⎨⎜⎜ ⎟⎟ / x 2 + y 2 ≤ 9⎬ y ⎪⎩⎝ ⎠ ⎪⎭ y

3

x2 + y2 = 9

0 0

1

2

3

x

Ejercicios Propuestos 1.1 1. Determine y grafique el dominio de la función f ( x, y ) = 2. Sea la función f ( x, y ) =

ln( x + y ) y

e 4 xy − 1 2x − y + 1

a) Determine el Dominio de la función f ( x, y ) .

3

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b) Suponga que la función f ( x, y ) , dada, representa la función de producción de una empresa, donde " x " es el número de trabajadores calificados y " y " es el número de trabajadores no calificados. Si en la actualidad laboran 20 trabajadores calificados y 40 no calificados, determine el nivel de producción.

1.3 GRAFICA.

Sea z = f ( x, y ) una función de dos variables. Su gráfico se define

como el conjuntos del puntos ( x, y, z ) del Espacio, tales que z = f ( x, y ) . El lugar geométrico es llamado Superficie.

Elaborar gráficas de una función de dos variables no es tan sencillo, se requeriría de un computador. En cambio obtener trazas de las secciones transversales de la superficie es suficiente, en ocasiones para su análisis.

1.4 CURVAS DE NIVEL.

Sea z = f ( x, y ) una función de dos variables. Las CURVAS DE NIVEL de la gráfica de la superficie de la función se definen como las trayectorias en el plano xy tales que f ( x, y ) = c . Es decir, serían las curvas que resultan de la intersección de la superficie con los planos z = c , proyectadas en el plano xy . Ejemplo. Grafique algunas curvas de nivel para

f ( x, y ) = x 2 + y 2

SOLUCIÓN: Las curvas de nivel para esta superficie es la familia de trayectorias tales que

x 2 + y 2 = c . (Circunferencias centradas en el origen) x2 + y2 = C

C = 16 C =9

C =1

4

C=4

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Ejercicios Propuestos 1.2 Grafique las curvas de nivel indicadas para: 1. f ( x, y ) = xy ; C = 1 , C = 2 , C = 3 y C = 4 2.

f ( x, y ) = ln( x 2 + y 2 ) ; C=4 y C=ln4

1.5 DERIVADAS PARCIALES Ejercicios Propuestos 1.3 1.

La demanda x A de un producto A está dada por: x A = 100 p A p B , en donde p A es el precio por unidad de A y

relacionado B.

Pruebe que p A

p B es el precio por unidad del producto

∂x A ∂x A + pB = xA ∂p A ∂p B

y

2.

Si f ( x, y ) = x e x pruebe que xf xx + yf xy = 0

1.6 FUNCIONES HOMOGÉNEAS. Una función f de dos variables x e y definida en un dominio D se llama homogénea de grado k si, para todo ( x, y ) ∈ D

f (tx, ty ) = t k f ( x, y ) para todo t > 0

Ejemplo 1 Demuestre que la función de Cobb-Douglas f ( x, y ) = Ax a y b es homogénea, y especifique su grado. SOLUCIÓN: Para que la función sea homogénea debe cumplirse que f (tx, ty ) = t k f (x, y ) . Obteniendo f (tx, ty ) resulta: f (tx, ty ) = A(tx )a (ty )b = At a x a t b y b = At a + b x a y b f (tx, ty ) = t a + b f ( x, y ) Por tanto, es una función homogénea de grado a + b

5

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Propiedades

Sea z = f ( x, y ) entonces: 1. x

una función homogénea de grado

k,

∂f ∂f +y = kf ∂x ∂y

2. Sus derivadas parciales f x y f y son funciones homogéneas de grado k − 1

( ) = y f ( ,1)

3. f ( x, y ) = x f 1, k

y x

k

x y

4. x f xx + 2 xyf xy + y f yy = k (k − 1) f 2

2

Ejercicios propuestos 1.4 •

Determine si las funciones son homogéneas y especifique el grado 1. f ( x, y) = x 4 + x 2 y 2 2. f ( x, y ) = 3x 2 y − y 3 3. f ( x, y) = x 3 + xy 4. f ( p, r ) = Ap −1,5 r 2,08

•

Verificar las propiedades para las funciones homogéneas determinadas.

1.7 FUNCIONES HOMOTÉTICAS. Una función f de dos variables x e y definida en un dominio D se llama homotética cuando ( x1 , y1 ) ∈ D y ( x 2 , y 2 ) ∈ D ,

Si f ( x1 , y1 ) = f ( x2 , y 2 ) entonces f (tx1 , ty1 ) = f (tx 2 , ty 2 ) , t > 0

Teorema Una función homogénea homotética.

f

de grado

k

es

Demostración. Suponga que f es homogénea de grado k , entonces se cumple que

f (tx1 , ty1 ) = t k f ( x1 , y1 ) y f (tx2 , ty 2 ) = t k f ( x2 , y2 ) .

Suponga,

ahora

que

f (tx1 , ty1 ) = t f ( x2 , y2 ) k

Por tanto, f (tx1 , ty1 ) = f (tx 2 , ty 2 )

6

f ( x1 , y1 ) = f ( x2 , y 2 ) ,

entonces

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Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 1 Demuestre que la función de Cobb-Douglas f ( x, y ) = Ax a y b es homotética SOLUCIÓN: Para que la función sea homotética debe cumplirse que, siendo f (x1 , y1 ) = f (x 2 , y 2 ) entonces f (tx1 , ty1 ) = f (tx 2 , ty 2 ) , t > 0 Obteniendo f (tx1 , ty1 ) resulta:

f (tx1 , ty1 ) = t a +b f (x1 , y1 ) Suponiendo que f (x1 , y1 ) = f (x 2 , y 2 ) , al reemplazar tenemos: f (tx1 , ty1 ) = t a + b f (x 2 , y 2 ) f (tx1 , ty1 ) = t a + b Ax 2 a y 2 b f (tx1 , ty1 ) = A(tx 2 )a (ty 2 )b

f (tx1 , ty1 ) = f (tx 2 , ty 2 ) Lo cual demuestra que es homotética.

1.8 DIFERENCIAL TOTAL

Sea z = f ( x, y ) una función de dos variables. La diferencial total de la función, denotada como dz o df , se define de la siguiente forma:

dz =

∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y

Ejemplo. Encuentre la diferencial total para f (x, y ) = x 2 + y 2 SOLUCIÓN: Aplicando la definición ∂z ∂z dz = dx + dy ∂y ∂x dz = (2 x )dx + (2 y )dy

1.9 REGLA DE LA CADENA Y RAZÓN DE CAMBIO Suponga que f es una función de las variables “ x ” e “ y ”; suponga además que tanto “ x ” como “ y ” son funciones de “ t ”, entonces:

dz ∂z dx ∂z dy = + dt ∂x dt ∂y dt

7

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Ejemplo Sea f (x, y ) = x 2 + y 2 donde x = t 2 y y = 2t , hallar

dz dt

SOLUCIÓN: dz ∂z dx ∂z dy = + dt ∂x dt ∂y dt = (2 x )(2t ) + (2 y )(2 ) Poniendo todo en función de” t ” dz = (2 x )(2t ) + (2 y )(2 ) dt dz = 2t 2 (2t ) + (2(2t ))(2 ) = 4t 3 + 8t dt

( )

Note, que idéntico resultado se obtendría habiendo primero realizado la sustitución y luego la derivación.

Ejercicios propuestos 1.5 1.

⎧⎪ x = 2sent df Sea f ( x, y ) = 4 x 2 y − 2 ln( xy) donde ⎨ encuentre 3 dt ⎪⎩ y = 3(t − 1)

2.

La demanda de cierto producto es Q(x, y ) = 200 − 10 x 2 + 20 xy unidades por mes, donde x es el precio del producto e y el precio de un producto competidor. Se estima que dentro de t meses el precio del producto será x = 10 + 0,5t dólares por unidad mientras que el precio del producto competidor será y = 12,8 + 0,2t 2 dólares por unidad. a) ¿A qué razón cambiará la demanda del producto con respecto al tiempo dentro de 4 meses? b) ¿A qué razón porcentual cambiará la demanda del producto con respecto al tiempo dentro de 4 meses?

3.

Suponga que cuando las manzanas se venden a x CENTAVOS POR LIBRA los panaderos ganan y DÓLARES POR HORA, el precio de los pasteles de manzana en el supermercado local es

p (x, y ) =

1 2

1

x 3y

1

2

DÓLARES POR PASTEL.

Suponga

además que dentro de t MESES, el precio de las manzanas será x = 23 + 8t y = 3,96 + 0,02t CENTAVOS POR LIBRA y que los sueldos de los panaderos serán Si el supermercado puede vender Q( p ) =

3600 PASTELES p POR SEMANA cuando el precio es p DÓLARES POR PASTEL, ¿a qué razón CAMBIARÁ la demanda semanal Q con respecto al tiempo dentro de dos meses?

DÓLARES POR HORA.

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Cap. 1 Funciones de Varias variables

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1.10 APROXIMACIONES. La diferencial total también puede ser aproximaciones de una función de dos variables.

utilizada

para

obtener

Sea z = f ( x, y ) una función de dos variables, suponga que x tiene una variación ∆x y que y tiene una variación ∆y , entonces la variación de la función sería:

∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) Para variaciones pequeñas de las variables, se puede decir que la variación de la función es aproximadamente igual a su diferencial total; es decir:

∆z ≈ dz ∂z ∂z ∆z ≈ dx + dy ∂x ∂y Además; si las variaciones son muy pequeñas entonces dx = ∆x y dy = ∆y . Entonces, finalmente:

∆z ≈

∂z ∂z ∆x + ∆y ∂x ∂y

Ejemplo La

función

de 3

P ( K , L) = 450 L 5 K

producción 2

de

una

empresa

está

dada

por

donde P representa la producción cuando se emplean L unidades de mano de obra y K unidades de capital. Si en la actualidad se emplean 243 unidades de mano de obra y 32 unidades de capital. a) Aproxime el efecto en la producción de incrementar la mano de obra a 248 unidades y disminuir el capital a 31 unidades. 5

Tenemos que: L = 243 , K = 32 ∆L = 5 y ∆K = −1 Utilizando la formula de aproximación ∂P ∂P ∆P ≈ ∆L + ∆K ∂L ∂K 3 ⎛2 −3 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 3 −2 ⎞ 2 ⎞ ∆P ≈ ⎜⎜ 450⎜ L 5 ⎟ K 5 ⎟⎟∆L + ⎜⎜ 450L 5 ⎜ K 5 ⎟ ⎟⎟∆K ⎝5 ⎝5 ⎠⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ −2 3 ⎞⎛ −3 ⎞ ⎞ 2 ⎞⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ∆P ≈ ⎜⎜ 270⎜ 243 ⎟⎜ 32 5 ⎟ ⎟⎟(5) + ⎜⎜180⎜ 243 5 ⎟⎜ 32 5 ⎟ ⎟⎟(− 1) ⎠⎠ ⎠⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎞ ⎛ ∆P ≈ ⎜⎜ 270⎜ ⎟4 ⎟⎟5 + ⎜180(27 ) ⎟(− 1) 8⎠ ⎝9⎠ ⎠ ⎝ ⎝

∆P ≈ 600 − 607.5 ∆P ≈ −7.5

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Cap. 1 Funciones de Varias variables

Moisés Villena Muñoz

La producción disminuye aproximadamente en 7.5 unidades. b) Calcule el cambio porcentual de la producción. El cambio porcentual está dado por ∆P Cambio Porcentual = 100 P En este caso

P(243,32) = 450(243)

3

5

(32)2 5 = 450(27)(4) = 48600

Por tanto: − 7. 5 100 = −0.015% 48600 La producción disminuye en un 0.015%

Cambio % P =

Ejercicios propuestos 1.6 1.

Para una compañía concreta, la función de producción de Cobb-Douglas es f ( x, y ) = 100 x 0,6 y 0, 4 . Estimar el cambio en la producción, si el número de unidades de trabajo varía de 200 a 250 y el de unidades de capital de 300 a 325. Estime también el cambio porcentual.

2.

En cierta fábrica la producción diaria es Q ( K , L ) = 120 L 3 K 3 unidades, donde K representa la inversión de capital y L el tamaño de la fuerza laboral. Aplique el cálculo para estimar el porcentaje en el cual cambiará la producción diaria, si la inversión de capital se incrementa en un 2% y la mano de obra en un 1%.

3.

En cierta fábrica la producción diaria es Q ( K , L ) = 60 L 3 K 2 unidades, donde K representa la inversión de capital y L el tamaño de la fuerza laboral. Aplique el cálculo para estimar el porcentaje en el cual cambiará la producción diaria si la inversión de capital se aumenta en un 1% y la mano de obra en un 2%.

4.

Una empresa puede producir P unidades al utilizar L unidades de mano de obra y

2

1

1

1

P (L, K ) = 100 L 2 K 4 . Calcule la variación K unidades de capital con porcentual en la producción si se reduce la mano de obra en 1% y se incrementa el capiltal en 5%. 3

1

1.11 ANÁLISIS MARGINAL

Suponga que se tiene una función producción P = f (K , L ) donde K representa el capital y L la fuerza laboral. Suponga que el capital se incrementa en una unidad y que la fuerza laboral se mantiene constante, entonces:

10

Cap. 1 Funciones de Varias variables

Moisés Villena Muñoz

∂P ∂P ∆K ∆L + ∂K ∂L ∂P (0) + ∂P (1) ∆P ≈ ∂L ∂K ∂P ∆P ≈ ∂K

∆P ≈

A la derivada parcial de la producción con respecto al capital se la llama la PRODUCTIVIDAD MARGINAL DEL CAPITAL, y mide el cambio en la producción cuando sólo el capital se incrementa en una unidad Suponga, ahora que la fuerza laboral se incrementa en una unidad y que el capital se mantiene constate, entonces:

∂P ∂P ∆K ∆L + ∂K ∂L ∂P (1) + ∂P (0) ∆P ≈ ∂L ∂K ∂P ∆P ≈ ∂L ∆P ≈

A la derivada parcial de la producción con respecto al trabajo se la llama la PRODUCTIVIDAD MARGINAL DEL TRABAJO, y mide el cambio en la producción cuando solo el trabajo se incrementa en una unidad.

1.12 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Las derivadas parciales pueden ser utilizadas para determinar derivadas de funciones cuyas ecuaciones están dadas de manera implícita. Suponga que f ( x, y ) = C , tomando derivadas a ambos miembros de la ecuación tenemos:

df ( x, y ) = dC f x dx + f y dy = 0

Despejando, resulta:

f dy =− x dx fy Ejemplo. Sea x 2 + y 2 = 4 , hallar

dy empleando derivadas parciales. dx

Solución: Empleando la formula, tenemos f 2x dy x =− x =− =− 2y dx fy y

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Cap. 1 Funciones de Varias variables

Moisés Villena Muñoz

Ejercicios propuestos: 1.7 1.

Hallar y´ para: a) 2 x 2 + 6 xy + y 2 = 18 b) y 2 + 5 x = xe x ( y −2 )

2.

12

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x 2 + xy + y 2 − 8 = 0 , en el punto (2,0)