Cap¶³tulo 6 Series Num¶ ericas. Problemas resueltos Salvador Vera Ballesteros www.satd.uma.es/matap/svera

6.1

Series num¶ ericas. De¯niciones

De¯nici¶ on 6.1 (Serie) Dada una sucesi¶on num¶erica in¯nita: fang = fa 1; a2; a 3; ¢ ¢ ¢ ; an; ¢ ¢ ¢ g

donde a n = f(n)

se llama serie num¶erica a la suma indicada de los in¯nitos t¶erminos de dicha sucesi¶on: 1 X n=1

an = a1 + a2 + a 3 + ¢ ¢ ¢ + an + ¢ ¢ ¢

los n¶ u meros a1; a 2; a3; ¢ ¢ ¢ ; a n; ¢ ¢ ¢ se llaman t¶erminos de la serie y an se denomina t¶ermino general. De¯nici¶ on 6.2 (Suma parcial) Se llama suma parcial n-sima a la suma de los n primeros t¶erminos de la serie n X Sn = a1 + a2 + a3 + ¢ ¢ ¢ + an = ak k=1

De¯nici¶ on 6.3 (Convergencia y Suma de la serie) Una serie se dice convergente si la sucesi¶on formada con sus sumas parciales fSng es convergente. Se llama suma de la serie al l¶³mite de la sucesi¶on formada con sus sumas parciales. lim Sn = S

n!1

, 1

1 X n=1

an = S

¶ CAP¶ITULO 6. SERIES NUMERICAS.

2

Por el contrario, si la sucesi¶on de las sumas parciales fSn g no tiene un l¶³mite ¯nito, entonces se dice que la serie es divergente. (Se distinguen las series divergentes in¯nitas, cuando el l¶³mite es in¯nito; de las oscilante, cuando el l¶³mite no existe.) De¯nici¶ on 6.4 (Resto de la serie) Se llama resto de la serie a la suma indicada de los t¶erminos de la serie desde un lugar en adelante. Rn = an+1 + an+2 + ¢ ¢ ¢ =

1 X

ak =

k=n+1

1 X

an+k

k=1

Se tiene: 1 X n=1

6.1.1

an = a1 + a2 + ¢ ¢ ¢ + an + ¢ ¢ ¢ = [a1 + a 2 + ¢ ¢ ¢ + an ] + [an+1 + an+2 + ¢ ¢ ¢ ] = Sn + Rn

Dos series notables

De¯nici¶ on 6.5 (Serie geom¶ e trica) Se llaman series geom¶etricas aquellas series en las que cada t¶ermino (salvo el primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante llamada raz¶on: a n+1 = r ¢ an Es decir: 1 1 X X 2 n an = a0 + a 1 + a2 + ¢ ¢ ¢ + an + ¢ ¢ ¢ = a0 + r ¢ a0 + r ¢ a0 + ¢ ¢ ¢ + r ¢ a0 + ¢ ¢ ¢ = a0r n n=0

n=0

Teorema 6.1 La serie geom¶etrica es convergente para jrj < 1 y su suma es S=

1 X

n

a 0r = a0

n=0

1 X

rn =

n=0

a0 1¡r

Para jrj ¸ 1 la serie geom¶etrica es divergente. De¯nici¶ on 6.6 (Serie arm¶ onica) Se llama serie arm¶onica a la serie: 1 X 1 1 1 1 = 1+ + +¢¢¢ + + ¢¢¢ n 2 3 n n=1

Y, en general, se llaman series arm¶onicas (generalizadas) a las que son del siguiente tipo: 1 X 1 1 1 1 = 1 + + + ¢ ¢ ¢ + + ¢¢¢ p p p p n 2 3 n n=1

(a estas series tambi¶en se les llama p-series).

para

p>0

6.2. TEOREMAS DE CONVERGENCIA

3

Teorema 6.2 La serie arm¶onica es convergente para p > 1 y divergente para p · 1 Ejemplo 6.1 De la serie

1 X n=1

de¯nida por:

an se sabe que la sucesi¶on de las sumas parciales fSng viene Sn =

2n + 3 n+4

8n 2 N

Hallar: (a) El t¶ermino general an de la serie. (a) El car¶acter y la suma de la serie. Soluci¶on: (a) El primer t¶ermino de la serie a 1 coincide con S1, luego: a1 = S1 = 1 El resto de los t¶erminos, para n ¸ 2, se obtienen de la diferencia: an = Sn ¡ Sn¡1 =

2n + 3 2n + 1 5 ¡ = n+4 n +3 (n + 3)(n + 4)

N¶otese que, en este caso, el primer t¶ermino no sigue la regla general, es decir, la serie propuesta vendr¶³a dada por la expresi¶on: 1 X

an = 1 +

n=1

1 X

5 (n + 3)(n + 4) n=2

(b) La serie converge, ya que se puede calcular su suma. 2n + 3 =2 n!1 n + 4

S = lim Sn = lim n!1

6.2

Teoremas de convergencia

Teorema 6.3 (Convergencia del resto) Si una serie converge, entonces cualquiera de sus restos tambi¶en converge. Y si uno de los restos converge entonces toda la serie converge. a1 + a2 + a3 + ¢ ¢ ¢

convergente 1 X n=1

()

an convergente

an+1 + an+2 + an+3 + ¢ ¢ ¢ ,

convergente

Rn convergente

Es decir, la convergencia de una serie no se altera si se le suprimen los n primeros t¶erminos

¶ CAP¶ITULO 6. SERIES NUMERICAS.

4

Teorema 6.4 (Producto por un n¶ umero) La convergencia de una serie no se altera si todos sus t¶erminos se multiplican por un mismo n¶ u mero distinto de cero, adem¶as dicho n¶umero se puede sacar factor com¶un. a1 + a2 + a3 + ¢ ¢ ¢

convergente

()

r ¢ a1 + r ¢ a2 + r ¢ a3 + ¢ ¢ ¢

convergente

1 1 X X (r ¢ an ) = r an n=1

n=1

Teorema 6.5 (Suma de series) La suma t¶ermino a t¶ermino de dos series convergentes es otra serie convergente, y su suma coincide con la suma de las sumas de las dos series sumandos. 9 8 X 1 1 X > > > > an convergente > (an + bn ) convergente > = < n=1 n=1 ) 1 1 1 1 X X X X > > > > > bn convergente > (a + b ) = a + bn n n n ; : n=1

n=1

n=1

n=1

Si alguna de las dos series anteriores no es convergente entonces el teorema no es aplicable. En tal caso s¶olo podemos a¯rmar que la suma t¶ermino a t¶ermino de una serie convergente con otra divergente es divergente, mientras que la suma t¶ermino a t¶ermino de dos series divergentes puede dar convergente o divergente, seg¶ un los casos. Teorema 6.6 (Criterio del t¶ ermino general) Si una serie converge, entonces su t¶ermino general tiende a cero. 1 X an convergente =) lim an = 0 n!1

n=1

A este teorema tambi¶en se le conoce como criterio necesario de convergencia. El rec¶³proco no es cierto, ya que existen series cuyo t¶ermino general tiende a cero y, sin embargo, son divergentes, como, por ejemplo, la serie arm¶onica. Por lo tanto, ¶este es un criterio para la divergencia y no para la convergencia, ya que: lim an 6 =0

n!1

=)

1 X

an divergente

n=1

Pero lim a n = 0 no nos da ninguna informaci¶on sobre la convergencia de la serie. n!1

Ejemplo 6.2 Estudia el car¶acter de las siguientes series num¶ericas: ¶ 1 1 µ 1 X X X 2n2 + n n+1 n n2 + 7n ¡ 3 (i) (ii) (iii) 3n2 + 5n ¡ 1 n n+1 n=1 n=1 n=1

6.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA

5

Soluci¶on: Las tres series son divergentes. En efecto: 2n2 + n 2 (i) lim an = lim = 6 =0 2 n!1 n!1 3n + 5n ¡ 1 3µ µ ¶n ¶ n +1 1 n (ii) lim an = lim = lim 1 + =e6 =0 n!1 n!1 n!1 n n n2 + 7n ¡ 3 (iii) lim a n = lim =16 =0 n!1 n!1 n+1 Ejemplo 6.3 Sea serie

1 X

a n una serie de t¶erminos positivos convergente. Hallar el car¶acter de la 1 n=1 X an

R n=1 n¡1 Soluci¶on: Sea R¤n el resto de orden n de la nueva serie. Se tiene: an+1 an+2 a n+3 a n+1 + an+2 + an+3 + ¢ ¢ ¢ Rn R¤n = + + + ¢¢¢ > = =1 Rn Rn+1 Rn+2 Rn Rn 1 X an ¤ Como el resto Rn no converge a 0, la serie no es convergente, y al ser de t¶erminos R n¡1 n=1 positivos, es divergente.

6.3 6.3.1

Criterios de convergencia Series de t¶ erminos positivos (no negativos)

Teorema 6.7 (Criterio de comparaci¶ on) Si los t¶erminos de una serie de t¶erminos positivos son menores o iguales que los t¶erminos correspondientes de otra serie, entonces, si converge la segunda serie tambien converge la primera y si diverge la primera tambien diverge la segunda. ½ P P bn convergente )P an convergente P an · bn ) an divergente ) bn divergente El criterio sigue siendo v¶alido aunque los primeros t¶erminos no cumplan la relaci¶on a n · bn, siempre que se cumpla desde un lugar en adelante.

Teorema 6.8 (Criterio de comparaci¶ on de in¯nit¶ e simos) Si los t¶erminos generales de dos series son in¯nit¶esimos del mismo orden, entonces las dos series tienen el mismo car¶acter (es decir convergen simult¶aneamente o divergen simult¶aneamente). ½ ¾ X X an k6 =1 lim =k ) an » bn n!1 bn k6 =0

¶ CAP¶ITULO 6. SERIES NUMERICAS.

6

Para que una serie converja su t¶ermino general tiene que tender a cero, es decir, ha de ser un in¯nit¶esimo. Dos in¯nit¶esimos son del mismo orden cuando el l¶³mite de su cociente es un n¶umero ¯nito distinto de cero. En particular, dos in¯nit¶esimos equivalentes son del mismo orden, ya que el l¶³mite de su cociente es la unidad, por lo tanto podemos enunciar el siguiente criterio consecuencia del anterior. Teorema 6.9 (Criterio de in¯nit¶ esimos equivalentes) Si los t¶erminos generales de dos series son in¯nit¶esimos equivalentes entonces las dos series tienen el mismo car¶acter (es decir convergen simult¶aneamente o divergen simult¶aneamente). X X an » bb ) an » bn Teorema 6.10 (Criterio del cociente. D'Alembert) Dada una serie de t¶erminos positivos, si existe el l¶³mite limn!1(a n+1 =a n) = d, entonces esta serie converge cuando d < 1 y diverge cuando d > 1. Si d = 1 el criterio no decide sobre la convergencia de la serie 8 P d < 1 ! P an convergente < a lim n+1 = d ) d>1! a divergente n!1 a n : d = 1 ! dudan Podemos a¯nar un poco m¶as en el criterio y resolver parte de la duda. Si limn!1(an+1 =an) = 1+ entonces la serie es divergente. Es decir la duda se resuelve s¶olo por el lado de la divergencia. Aunque la indeterminaci¶on suele resolverse por el criterio de Raabe.

Teorema 6.11 (Criterio de la raiz. Cauchy) Dada una serie de t¶erminos positivos, si exisp te el l¶³mite limn!1 n an = c, entonces esta serie converge cuando c < 1 y diverge cuando c > 1. Si c = 1 el criterio no decide sobre la convergencia de la serie 8 P c < 1 ! < P an convergente p n lim an = c ) c>1! an divergente n!1 : c = 1 ! duda Teorema 6.12 (Criterio de Raabe) Supongamos que an+1 =1 n!1 an lim

Entonces la indeterminaci¶on puede resolverse con el siguiente l¶³mite: 8 P µ ¶ R < 1 ! < P an divergente an+1 lim n 1 ¡ =R ) R>1! a convergente n!1 an : R = 1 ! dudan

Observa que la comparaci¶on con la unidad es contraria a los dos casos anteriores.

6.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA

7

Teorema 6.13 (Criterio de Condensaci¶ on de Cauchy) Sea fang una sucesi¶on decreciente de t¶erminos no negativos, entonces las siguientes series tienen el mismo car¶acter. 1 X n=1

an »

1 X k=0

2k ¢ a2k

Teorema 6.14 (Criterio de la integral) Si f(x) para x ¸ 1 es una funci¶on continua, positiva y mon¶otono decreciente, entonces la serie 1 X

an

n=1

donde an = f (n), converge o diverge simultaneamente con la integral Z 1 f(x)dx 1

Ejemplo 6.4 Estudia el car¶acter de las siguientes series num¶ericas: (i)

1 X 1 ln n n=2

(ii)

1 X sen2 n¼ 2n n=1

(iii)

1 X 2 + sen3 (n + 1) n=1

2n + n2

Soluci¶on: (i) Teniendo en cuenta que ln n < n resulta la desigualdad: 1 1 > ln n n

para n = 2; 3; ¢ ¢ ¢

1 1 X X 1 1 Y como la serie arm¶onica diverge, entonces tambien diverge la serie , y por lo tanto, n n n=1 n=2 aplicando el criterio de comparaci¶on la serie dada tambi¶en es divergente. (ii) Teniendo en cuenta que 0 < sen2 n¼ < 1 resulta la desigualdad:

sen2 n¼ 1 < n n 2 2 1 X 1 Y como la serie geom¶etrica converge, aplicando el criterio de comparaci¶on la serie dada 2n n=1 tambi¶en es convergente. (iii) Teniendo en cuenta que ¡1 · sen3(n + 1) · 1 resulta la desigualdad:

0·

2 + sen3(n + 1) 3 < n n 2 2 +n 2

¶ CAP¶ITULO 6. SERIES NUMERICAS.

8

1 X 1 Y como la serie geom¶etrica converge, tambi¶en converge la serie 2n n=1 1 1 X X 3 1 = 3 n 2 2n n=1 n=1

y por lo tanto, aplicando el criterio de comparaci¶on la serie dada tambi¶en es convergente.

Ejemplo 6.5 Estudia el car¶acter de las siguientes series num¶ericas: (i)

1 X n+1 n2 + 1 n=2

(ii)

1 X n=1

1 n 2 ¡n

(iii)

1 X n=1

2n

1 ¡ 1 + sen2 n3

Soluci¶on: (i) Buscamos una serie conocida que nos sirva de comparaci¶on. Para valores grandes de n podemos esperar que los siguientes in¯nit¶esimos sean del mismo orden: n+1 1 » 2 n +1 n 1 X 1 Y como la serie arm¶onica diverge, entonces, aplicando el criterio de comparaci¶on de n n=1 in¯nit¶esimos, tambi¶en diverge la serie dada. No obstante, el proceso necesita de la siguiente comprobaci¶on: ½ ¾ an n+1 1 n2 + n 16 =1 lim = lim 2 : = lim 2 =1 n!1 bn n!1 n + 1 n n!1 n + 1 16 =0

(ii) Buscamos una serie conocida que nos sirva de comparaci¶on. Para valores grandes de n podemos esperar que los siguientes in¯nit¶esimos sean del mismo orden: 2n

1 1 » n ¡n 2

1 X 1 Y como la serie geom¶etrica converge, entonces, aplicando el criterio de comparaci¶on de 2n n=1 in¯nit¶esimos, tambi¶en converge la serie dada. No obstante, el proceso necesita de la siguiente comprobaci¶on: ½ ¾ an 1 1 2n 16 =1 lim = lim n : n = lim n =1 n!1 bn n!1 2 ¡ n n!1 2 ¡ n 16 =0 2

(iii) Buscamos una serie conocida que nos sirva de comparaci¶on. Para valores grandes de n podemos esperar que los siguientes in¯nit¶esimos sean del mismo orden: 2n

1 1 » n 2 3 ¡ 1 + sen n 2

6.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA

9

1 X 1 Y como la serie geom¶etrica converge, entonces, aplicando el criterio de comparaci¶on de 2n n=1 in¯nit¶esimos, tambi¶en converge la serie dada. No obstante, el proceso necesita de la siguiente comprobaci¶on: ½ ¾ an 1 1 2n 16 =1 lim = lim n : n = lim n =1 n!1 bn n!1 2 ¡ 1 + sen2 n3 n!1 2 ¡ 1 + sen2 n 3 16 =0 2

Ejemplo 6.6 Estudia el car¶acter de las siguientes series num¶ericas: (i)

1 X n=2

1 2n + ln n

(ii)

1 X 3n 2 + n p 4+ n n n=1

(iii)

1 X (7n 3 + 5) sen 1n n 2 ¢ 3n n=1

Soluci¶on: (i) Buscamos una serie conocida que nos sirva de comparaci¶on. Para valores grandes de n podemos esperar que los siguientes in¯nit¶esimos sean del mismo orden: 1 1 » 2n + ln n n 1 X 1 diverge, entonces, aplicando el criterio de comparaci¶on de n n=1 in¯nit¶esimos, tambi¶en diverge la serie dada. No obstante, el proceso necesita de la siguiente comprobaci¶on: ½ ¾ an 1 1 n 1 6 =1 lim = lim : = lim = n!1 bn n!1 2n + ln n =0 n n!1 2n + ln n 2 6

Y como la serie arm¶onica

(ii) Buscamos una serie conocida que nos sirva de comparaci¶on. Para valores grandes de n podemos esperar que los siguientes in¯nit¶esimos sean del mismo orden: 3n2 + n 1 p » 2 4 n + n n 1 X 1 converge, entonces, aplicando el criterio de comparaci¶on de 2 n n=1 in¯nit¶esimos, tambi¶en converge la serie dada. No obstante, el proceso necesita de la siguiente comprobaci¶on: ½ ¾ an 3n 2 + n 1 3n 4 + n 3 =1 6 lim = lim 4 p : 2 = lim 4 p = 3 n!1 bn n!1 n + n!1 n + =0 6 n n n

Y como la serie arm¶onica

(iii) Buscamos una serie conocida que nos sirva de comparaci¶on. Para valores grandes de n podemos esperar que los siguientes in¯nit¶esimos sean del mismo orden: (7n3 + 5) sen n1 n3 n1 1 » » n 2 n 2 n n ¢3 n ¢3 3

¶ CAP¶ITULO 6. SERIES NUMERICAS.

10

1 X 1 Y como la serie geom¶etrica converge, entonces, aplicando el criterio de comparaci¶on de 3n n=1 in¯nit¶esimos, tambi¶en converge la serie dada. No obstante, el proceso necesita de la siguiente comprobaci¶on: ½ ¾ (7n3 + 5) sen 1n 1 (7n3 + 5) n1 an 7n3 + 5 =1 6 lim = lim : n = lim = lim =7 n!1 bn n!1 n!1 n!1 =0 6 n2 ¢ 3n 3 n2 n3

Ejemplo 6.7 Estudia el car¶acter de las siguientes series num¶ericas: ¶ 1 1 1 µ X X X 1 1 1 (i) sen 2 (ii) arcsen p (iii) 1 ¡ cos n n n n=1 n=1 n=1 Soluci¶on: Aplicando in¯nit¶esimos equivalentes, resulta: 1 1 X X 1 1 (i) sen 2 » luego la serie es convergente. n n2 n=1 n=1 1 1 X X 1 1 p luego la serie es divergente. (ii) arcsen p » n n=1 n n=1 µ ¶ X 1 1 1 1 X X ( n1 )2 X 1 1 1 (iii) 1 ¡ cos » = = 2 convergente. 2 2 n 2 2n n n=1 n=1 n=1 n=1 Ejemplo 6.8 Estudia el car¶acter de las siguientes series num¶ericas: (i)

1 X n2 n=1

2n

(ii)

1 X n2 n=1

n!

(iii)

1 X nn n=1

n!

Soluci¶on: Aplicando el criterio del cociente, resulta: a (n + 1)2 n2 2n(n + 1)2 (n + 1)2 1 (i) lim n+1 = lim : = lim = lim = 0

6.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA

11

Soluci¶on: Aplicando el criterio del cociente, resulta: an+1 pn+1(n + 1)! pn n! pnp(n + 1)n! nn p ¢ nn lim = lim : = lim = lim = n!1 an n!1 (n + 1)n+1 n!1 pn n! (n + 1)n (n + 1) n!1 (n + 1)n nn = lim µ n!1

p p p ¶n = lim µ ¶n = n!1 n+1 1 e 1+ n n

Con lo cual resulta: p Si < 1 , p < e la serie dada es convergente. pe Si > 1 , p > e la serie dada es divergente. pe Si = 1 , p = e el criterio no decide. e Si p = e resolvemos la duda teniendo en cuenta que µ ¶ 1 n e e 1+ < e ) lim µ ¶n = ¡ = 1+ ) la serie es divergente n!1 n 1 e 1+ n Ejemplo 6.10 Estudia el car¶acter de las siguientes series num¶ericas: (i)

1 X n=1

1 (ln n)n

(ii)

1 X

2n lnn (n + 1) n=1

(iii)

µ ¶2 1 X 1 1 n 1+ n 2 n n=1

Soluci¶on: Aplicando el criterio de la raiz, resulta: p 1 (i) lim n an = lim = 0 < 1 luego la serie dada es convergente. n!1 n!1 ln n p 2 (ii) lim n an = lim = 0 < 1 luego la serie dada es convergente. n!1 n!1 ln(n + 1) µ ¶ p 1 1 n e n (ii) lim an = lim 1+ = > 1 luego la serie dada es divergente. n!1 n!1 2 n 2 Ejemplo 6.11 Estudiar el car¶acter de la serie: ¶ 1 µ X 1 ¢ 4 ¢ 7 ¢ ¢ ¢ (3n ¡ 2) 2 3 ¢ 6 ¢ 9 ¢ ¢ ¢ 3n n=1 Soluci¶on: Aplicando el criterio del cociente se tiene µ ¶ µ ¶ µ ¶ an+1 1 ¢ 4 ¢ ¢ ¢ (3n + 1) 2 1 ¢ 4 ¢ ¢ ¢ (3n ¡ 2) 2 3n + 1 2 lim = lim : = lim =1 n!1 an n!1 3 ¢ 6 ¢ ¢ ¢ (3n + 3) n!1 3n + 3 3 ¢ 6 ¢ ¢ ¢ 3n

¶ CAP¶ITULO 6. SERIES NUMERICAS.

12

Luego el criterio del cociente no decide sobre la convergencia. Aplicamos, entonces, el criterio de Raabe: Ã µ ¶! 3n + 1 2 (3n + 3)2 ¡ (3n + 1)2 18n + 9 ¡ 6n ¡ 1 lim n 1 ¡ = lim n = lim n = 2 n!1 n!1 n!1 3n + 3 (3n + 3) (3n + 3)2 = lim n n!1

12n + 8 12n 2 + 8n 12 4 = lim = = >1 2 2 n!1 9n + 18n + 9 (3n + 3) 9 3

Luego la serie es convergente.

6.3.2

Series alternadas

De¯nici¶ on 6.7 (Series alternadas) Una serie se dice que es alternada cuando sus t¶erminos cambian consecutivamente de signo. 1 X (¡1)n+1 an = a 1 ¡ a 2 + a3 ¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n+1an + ¢ ¢ ¢ n=1

Las series alternadas pueden comenzar por un positivo o por un negativo, aunque supondremos que siempre empiezan con un positivo, en caso contrario bastar¶a con sacar factor com¶ un el signo negativo. Teorema 6.15 (Criterio de convergencia para series alternadas. Leibniz) Una serie alternada converge si los valores absolutos de sus t¶erminos decrecen y el t¶ermino general tiende 9 P a cero. an alternada = X jan j # =) an converge jan j ! 0 ; El rec¶³proco de este teorema no es cierto, ya que s¶olo podemos asegurar que si el t¶ermino general no tiende a cero, entonces la serie es divergente, por no cumplir la condici¶on necesaria de convergencia; pero si la sucesi¶on de los valores absolutos no es decreciente, entonces no podemos asegurar nada.

Teorema 6.16 (Suma de la serie alternada) La suma de la serie alternada es siempre menor que su primer t¶ermino. S · a1 Teorema 6.17 (El error en la serie alternada) Si tomamos como aproximaci¶on de la suma total de una serie alternada una suma parcial, entonces el error que cometemos en esta aproximaci¶on, en valor absoluto, es menor que el primer t¶ermino que no se suma. S ¼ Sn

!

jRnj < an+1

6.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA

13

Ejemplo 6.12 Estudia el car¶acter de las siguientes series num¶ericas: (i)

1 X (¡1)n+1 n=1

n 2n ¡ 1

(ii)

1 X 1 (¡1)n+1 n n=1

(iii)

1 X ln n (¡1)n n n=1

Soluci¶on: Aplicando el criterio de Leibniz, resulta: n 1 (i) lim ja nj = lim = 6 = 0 luego la serie dada es divergente. n!1 n!1 2n ¡ 1 2 (ii) Para la segunda serie tenemos: 1 lim jan j = lim = 0 n!1 n!1 n 1 1 n +1 > n ! < ! ja n+1 j < ja nj ! janj # n +1 n luego la serie dada es convergente (serie arm¶onica alternada). (iii) Para la tercera serie tenemos. ln n 1 1=n 1 lim ja nj = lim = [ ] = lim = lim = 0 n!1 n!1 n n!1 1 n!1 n 1 (hemos tratado la sucesi¶on como una funci¶on). Para estudiar el crecimiento de jan j = f(n) recurrimos a la funci¶on f(x) =

ln x x

y estudiamos su crecimiento, a partir de su derivada. 0

f (x) =

1 xx

¡ ln x 1 ¡ ln x = 2 x x2

teniendo en cuenta que la funci¶on f(x) ser¶a decreciente all¶³ donde su derivada f 0(x) sea negativa, resulta: f 0 (x) < 0 !

1 ¡ ln x < 0 ! 1 ¡ ln x < 0 ! 1 < ln x ! x > e x2

Luego la sucesi¶on jan j ser¶a decreciente para n ¸ 3. Lo que signi¯ca que al eliminar los dos primeros t¶erminos de la serie, se cumplen las condiciones de Leibniz. Por lo tanto, 1 X n=3

6.3.3

an convergente )

1 X

a n convergente

n=1

Series de t¶ erminos de signo cualesquiera

De¯nici¶ on 6.8 (Convergencia absoluta) Una serie se dice que es absolutamente convergente si la serie formada por los valores absolutos de sus terminos es convergente. 1 1 X X an absolutamente convergente () jan j convergente n=1

n=1

¶ CAP¶ITULO 6. SERIES NUMERICAS.

14

De¯nici¶ on 6.9 (Convergencia condicional) Una serie se dice que es condicionalmente convergente si ella es convergente pero la serie formada por los valores absolutos de sus terminos es divergente. 8 X 1 > > > an convergente 1 < X n=1 an condicionalmente convergente () 1 X > > n=1 > ja nj divergente : n=1

Teorema 6.18 (Criterio de la convergencia absoluta) Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente. 1 1 X X ja nj convergente =) an convergente n=1

n=1

Este criterio es valido para todo tipo de series, incluidas las alternadas. Teorema 6.19 (Reordenaci¶ on de t¶ erminos) Si una serie es absolutamente convergente, entonces la serie obtenida despu¶es de cualquier reordenaci¶on de sus t¶erminos tambien converge absolutamente y tiene la misma suma. Es decir, la suma de una serie absolutamente convergente no se altera por una reordenaci¶on de sus t¶erminos. Si la serie converge s¶olo condicionalmente, entonces al reordenar sus t¶erminos la suma de la serie puede cambiar. En particular, reordenando los t¶erminos de una serie condicionalmente convergente se puede transformar en divergente. Ejemplo 6.13 Estudia la convergencia absoluta de las siguientes series: (i)

1 X cos n n=1

n2

(ii)

1 X 2n (¡1)n n! n=1

(iii)

1 X ln n (¡1)n n n=1

Soluci¶on: Se trata de series con t¶erminos positivos y negativos. Aplicando el criterio de la convergencia absoluta, resulta: ¯ cos n ¯ j cos nj 1 ¯ ¯ (i) ja nj = ¯ 2 ¯ = · luego, por el criterio de comparaci¶on, la serie dada es n n2 n2 absolutamente convergente, y por tanto ella es convergente. (ii) Para la segunda serie tenemos: 2n janj = n! Y aplicando el criterio del cociente resulta:

6.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA

15

jan+1j 2n+1 2n 2n+1n! 2 = lim : = lim n = lim =0 1 ! ja nj =

ln n 1 > n n

Luego, por el criterio de comparaci¶on, la serie formada con los valores absolutos de sus t¶erminos es divergente. Por tanto, la serie dada no es absolutamente convergente. Estudiemos su convergencia condicional. Se trata de una serie alternada, luego podemos aplicarle el crierio de Leibniz, ln n 1 1=n 1 lim ja nj = lim = [ ] = lim = lim = 0 n!1 n!1 n n!1 1 n!1 n 1 (hemos tratado la sucesi¶on como una funci¶on). Para estudiar el crecimiento de janj = f(n) recurrimos a la funci¶on f(x) =

ln x x

y estudiamos su crecimiento, a partir de su derivada. f 0 (x) =

1 x x

¡ ln x 1 ¡ ln x = x2 x2

teniendo en cuenta que la funci¶on f(x) ser¶a decreciente all¶³ donde su derivada f 0 (x) sea negativa, resulta: f 0 (x) < 0 !

1 ¡ ln x < 0 ! 1 ¡ ln x < 0 ! 1 < ln x ! x > e x2

Luego la sucesi¶on jan j ser¶a decreciente para n ¸ 3. Lo que signi¯ca que al eliminar los dos primeros t¶erminos de la serie, se cumplen las condiciones de Leibniz. Por lo tanto, 1 1 X X an convergente ) a n convergente n=3

n=1

Luego la serie dada es condicionalmente convergente. Ejemplo 6.14 Estudia la convergencia absoluta de la siguiente serie: 1 ³p X p ´ (¡1)n n+1¡ n n=0

¶ CAP¶ITULO 6. SERIES NUMERICAS.

16

Soluci¶on: El estudio de esta serie resulta m¶as f¶acil si transformamos su t¶ermino general, multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador, con lo cual resulta: 1 1 1 ³p X X p ´ X n+1¡n (¡1)n n n (¡1) n +1 ¡ n = (¡1) p p p = p n + 1 + n n + 1 + n n=0 n=0 n=0

Con lo cual tenemos janj = p

1 p n +1 + n

Y para estudiar la convergencia de esta serie buscamos una serie conocida que nos sirva de comparaci¶on. Para valores grandes de n podemos esperar que los siguientes in¯nit¶esimos sean del mismo orden: 1 1 jan j = p p » p n n+1+ n 1 X 1 Y como la serie arm¶onica p diverge, entonces, aplicando el criterio de comparaci¶on de n n=1 in¯nit¶esimos, tambi¶en diverge la serie formada por los valores absolutos de los t¶erminos de la serie dada. No obstante, el proceso necesita de la siguiente comprobaci¶on: ½ ¾ p an 1 1 n 1 6 =1 lim = lim p lim p p : p = n!1 p = n!1 bn n!1 n + 1 + =0 n n n+1+ n 2 6

Estudiemos su convergencia condicional. Se trata de una serie alternada, luego podemos aplicarle el crierio de Leibniz, 1 lim janj = lim p p =0 n!1 n!1 n+ 1 + n p p p p 1 1 n + 1+ n < n +2 + n+ 1 ! p p ! p >p n+ 1+ n n+2+ n+1 ! jan j > ja n+1 j ! jan j # Luego la serie es convergente y, por tanto, condicionalmente convergente.

6.4

Suma de series

Lo normal es que no exista un procedimiento para calcular el valor exacto de la suma de una serie y tengamos que conformarnos con un valor aproximado de la suma, sumando los primeros t¶erminos de la serie. Sin embargo podemos intentar calcular el valor exacto de la suma de la serie utilizando los siguientes procedimientos:

6.4. SUMA DE SERIES

6.4.1

17

Aplicando la de¯nici¶ on S = lim Sn n!1

6.4.2

Series geom¶ etricas 1 X

arn =

n=k

a ¢ rk 1¡r

si jrj < 1

(el numerador de la fracci¶on es el primer t¶ermino de la serie)

6.4.3

Series aritm¶ etico-geom¶ etricas

Sa llaman series aritm¶etico-geom¶etricas aquellas cuyo t¶ermino general es de la forma an = (a ¢ n + b)rn Es decir es el producto de dos t¶erminos: uno va en progresi¶on aritm¶etica y el otro en progresi¶on geom¶etrica. Si la serie est¶a expresada en forma can¶onica (comienza en n=1 y el exponente de r es n, entonces su suma se puede calcular por la f¶ormula: 1 X (a + b)r ¡ br 2 (a ¢ n + b)rn = (1 ¡ r)2 n=1

Tambi¶en podemos repetir el proceso completo de deducci¶on de la f¶ormula en cada caso, Sn = (a + b)r + (2a + b)r 2 + (3a + b)r 3 + ¢ ¢ ¢ + (an + b)rn ¡rSn = ¡(a + b)r2 ¡(2a +b)r3 ¡(3a + b)r 4 ¡¢ ¢ ¢¡(an + b)r n+1 de donde

(1 ¡ r)Sn = (a + b)r + ar 2 + ar 3 + ¢ ¢ ¢ + ar n ¡ (an + b)r n+1 (1 ¡ r)Sn = (a + b)r + a (r2 + r3 + ¢ ¢ ¢ + rn ) ¡ (an + b)rn+1

y tomando l¶³mites:

(1 ¡ r)S = (a + b)r + a

r2 (a + b)r ¡ (a + b)r2 + ar2 (a + b)r ¡ br 2 ¡0= = 1¡r 1¡r 1¡r

de donde, despejando S S=

(a + b)r ¡ br 2 (1 ¡ r)2

¶ CAP¶ITULO 6. SERIES NUMERICAS.

18

6.4.4

Series hipergeom¶ etricas

Las series hipergeom¶etricas se detectan al aplicar el criterio del cociente en la convergencia. 1 X Una serie an se llama hipergeom¶etrica cuando: n=1

an+1 a ¢ n+ b = ¡! 1 an a ¢ n+ c

N¶otese que numerador y denominador han de ser polinomios de primer grado con el mismo coe¯ciente de n. La serie hipergeom¶etrica es equivalente a una serie geom¶etrica de raz¶on r=

a+ b c

Por lo tanto su convergencia viene determinada por jrj < 1 y su suma por S=

a1 1¡r

Hay que hacer notar que para poder aplicar esta equivalencia la serie tiene que comenzar en n = 1. Si la serie comienza en n = n0 no est¶a permitido sustituir en la f¶ormula de S, a1 por an0 . En este caso habr¶³a que calcular la suma total desde n = 1 y restar los t¶erminos que no ¯guren en la serie, o bien, manipular la f¶ormula del t¶ermino general para que comience en n = 1

6.4.5

Series telesc¶ opicas

Son aquellas cuyo t¶ermino general se puede descomponer en la diferencia de dos t¶erminos consecutivos, de manera que en las sumas parciales se simpli¯can todos los t¶erminos intermedios 1 X n=1

1 X an = (bn ¡ bn+1) n=1

Tenemos: Sn = b1 ¡ b2 + b2 ¡ b3 + b3 ¡ b4 + ¢ ¢ ¢ + bn ¡ bn+1 = b1 ¡ bn+1 de donde S = lim Sn = lim (b1 ¡ bn+1) n!1

6.4.6

n!1

Descomposici¶ on en factores simples

Se aplica en aquellas series cuyo t¶ermino general es el cociente de dos polinomios.

6.4. SUMA DE SERIES

6.4.7

19

Series que se obtienen a partir del n¶ umero e

Cuando el denominador es un factorial y el numerador un polinomio intentamos relacionar la serie con el n¶umero e, manipulando para ello el numerador con objeto de expresar el t¶ermino general como suma de fracciones con numeradores num¶ericos y denominadores factoriales, y comparamos el resultado con el desarrollo del n¶ umero e. Si en el proceso aparecen factoriales de t¶erminos negativos lo resolvemos sacando del sumatorio los t¶erminos necesarios para evitar los negativos. Por tanto, tenemos que las series del tipo: 1 X p(n) (n + b)! n=1

son siempre convergentes

y para hallar su suma las descomponemos en fracciones simples, teniendo en cuenta el desarrollo: e = 1 +1 +

1 1 + +¢¢¢ 2 3!

La descomposici¶on en fracciones simples tambi¶en puede hacerse por identi¯caci¶on de coe¯cietes Ejemplo 6.15 Sumar la serie: 1 X n=2

5 (n + 3)(n + 4)

(a) (b) (c) (d)

Como telesc¶opica, Como hipergeom¶etrica (restando a1), Como hipergeom¶etrica manipulando an para que comience en n = 1 a2 Comprobar que la f¶ormula S = conduce a un resultado err¶oneo 1¡r Soluci¶on: (a) Se trata de una serie telesc¶opica, en efecto, tenemos: 1 A B A(n + 4) + B(n + 3) = + = (n + 3)(n + 4) n + 3 n + 4 (n + 3)(n + 4) de donde:

n = ¡3 n = ¡4

! !

1=A 1 = ¡B

Con lo cual, la serie se puede expresar de la forma:

¾

A=1 B = ¡1

¶ 1 1 µ X X 5 1 1 1 =5 =5 ¡ (n + 3)(n + 4) (n + 3)(n + 4) n +3 n +4 n=2 n=2 n=2

1 X

resultando: Sn = 5

µ

1 1 1 1 1 1 ¡ + ¡ + ¢¢¢ ¡ 5 6 6 7 n +3 n +4

¶

µ

1 1 =5 ¡ 5 n +4

¶

¶ CAP¶ITULO 6. SERIES NUMERICAS.

20

Cuyo l¶³mite es la suma de la serie propuesta µ ¶ µ ¶ 1 1 1 S = lim Sn = lim 5 ¡ =5 ¡0 =1 n!1 n!1 5 n+ 4 5 (b) Para sumarla como hipergeom¶etrica tiene que comenzar en n = 1. Para ello sumamos y restamos a 1. 1 X n=2

1

1

X 5 5 5 ¡1 X 5 =¡ + = + (n + 3)(n + 4) 4 ¢ 5 n=1 (n + 3)(n + 4) 4 (n + 3)(n + 4) n=1

Veamos que se trata de una serie hipergeom¶etrica: an+1 5 5 n+3 = : = an (n + 4)(n + 5) (n + 3)(n + 4) n + 5

)

r=

1 +3 4 = 5 5

y la suma de la serie es: 5 5 ¡1 1 1=4 ¡1 5 = + 4 ¢ 54 = ¡ + = + =1 (n + 3)(n + 4) 4 4 1=5 4 4 n=2 1¡ 5

1 X

(c) El mismo efecto puede conseguirse manipulando el t¶ermino general para que la serie comience en n = 1 1 X n=2

1

X 5 5 5 5 = + + ¢¢¢ = (n + 3)(n + 4) 5 ¢ 6 6 ¢ 7 (n + 4)(n + 5) n=1

que se trata de una serie hipergeom¶etrica de raz¶on diferente, en efecto: an+1 5 5 n+4 = : = an (n + 5)(n + 6) (n + 4)(n + 5) n + 6

)

r=

1 +4 5 = 6 6

y la suma de la serie es: 1 X n=2

5 1 X 5 5 1=6 = = 5 ¢ 65 = =1 (n + 3)(n + 4) n=1 (n + 4)(n + 5) 1 ¡ 1=6 6

(d) Es evidente que la f¶ormula S = err¶oneo, en efecto:

a2 , aplicada a la serie inicial, conduce a un resultado 1¡r

5 a2 1=6 5 S= = 5¢6 = = 6 =1 4 1¡r 1=5 6 1¡ 5

6.4. SUMA DE SERIES

21

Ejemplo 6.16 Estudiar el caracter y sumar en su caso las siguientes series num¶ericas: (i)

¶ 1 µ X n 3 + 2 n¡ 1 2n n=1

(ii)

1 X

1 (2n ¡ 1)(2n + 1)(2n + 3) n=1

(iii)

1 X n2 ¡ 7n ¡ 3 (n + 3)! n=0

Soluci¶on: (i) La serie puede expresarse de la siguiente manera: ¶ X µ ¶n 1 µ 1 1 X n 3 2n + 3 X 1 + = = (2n + 3) 2n¡1 2n 2n 2 n=1 n=1 n=1 que es una serie aritm¶etico-geom¶etrica, de raz¶on 1=2 y por tanto convergente. Para sumarla podemos aplicar µ ¶2la f¶ormula, µ ¶3 o bien repetir elµproceso ¶n completo: 1 1 1 1 Sn = 5 + 7 +9 + ¢ ¢ ¢ + (2n + 3) 2 2 2 2 µ ¶2 µ ¶3 µ ¶4 µ ¶n+1 ¡1 1 1 1 1 Sn = ¡5 ¡7 ¡9 ¡¢ ¢ ¢¡(2n +3) 2 2 2 2 2 µ ¶2 µ ¶3 µ ¶n µ ¶n+1 1 5 1 1 1 1 Sn = + 2 +2 +¢¢ ¢+ 2 ¡ (2n + 3) 2 2 2 2 2 2 de donde "µ ¶ # µ ¶3 µ ¶n µ ¶n+1 1 5 1 2 1 1 1 Sn = + 2 + +¢¢¢ + ¡ (2n + 3) 2 2 2 2 2 2 y tomando l¶³mites:

de donde, despejando S

1 5 1=4 5 1=4 5 S = +2 ¡0= +2 = +1 2 2 1 ¡ 1=2 2 1=2 2 S = 5 +2 = 7

Tambi¶en podemos aplicar la f¶ormula para sumar las series aritm¶etico geom¶etricas, una vez que la serie est¶a expresada en forma can¶onica. µ ¶n (2 + 3) 1 ¡ 3( 1 )2 1 1 2 X X 2 (a + b)r ¡ br 1 2 (an + b)r n = ) (2n + 3) = = 1 2 2 (1 ¡ r) 2 (1 ¡ ) 2 n=1 n=1

5 2

¡ 34 1 4

=7

(ii) Para estudiar la convergencia de la segunda serie aplicamos el criterio del cociente: an+1 (2n ¡ 1)(2n + 1)(2n + 3) 2n ¡ 1 = = ¡! 1 an (2n + 1)(2n + 3)(2n + 5) 2n + 5 2 ¡1 1 Se trata de una serie hipergeom¶etrica de raz¶on r = = , luego es convergente, y su suma 5 5 es: 1 1 S = 1 ¢ 3 ¢15 = 1¡5 12

¶ CAP¶ITULO 6. SERIES NUMERICAS.

22

Esta serie tambien puede tratarse como telesc¶opica. P P (n) (iii) Esta serie es del tipo que siempre es convergente, y su suma es del tipo del n¶ umero n! e. Para sumarla manipulamos el n¶ umerador con objeto de eliminar todas las n. Teniendo en 2 cuenta que (n + 3)(n + 2) = n + 5n + 6 resulta. n 2 ¡ 7n ¡ 3 n 2 + 5n + 6 ¡ 12n ¡ 9 n2 + 5n + 6 ¡ 12n ¡ 36 + 27 = = = (n + 3)! (n + 3)! (n + 3)! =

(n + 3)(n + 2) ¡ 12(n + 3) + 27 1 12 27 = ¡ + (n + 3)! (n + 1)! (n + 2)! (n + 3)!

Y teniendo en cuenta que: e = 1 +1 + resulta:1 X n2 ¡ 7n ¡ 3 n=0

(n + 3)!

=

1 µ X n=0

1 1 + +¢ ¢¢ 2! 3!

1 12 27 ¡ + (n + 1)! (n + 2)! (n + 3)!

¶

=

= [e ¡ 1] ¡ 12[e ¡ 2] + 27[e ¡ 2 ¡ 12 ] = e ¡ 1 ¡ 12e + 24 + 27e ¡ 54 ¡ 27 = 2 = ¡31 ¡

27 ¡89 + 32e + 16e = 2 2

La descomposici¶on tambi¶en pod¶³a haberse hecho mediante la identi¯caci¶on de coe¯cientes: En efecto, haciendo: n 2 ¡ 7n ¡ 3 A(n + 3)(n + 2) + B(n + 3) + C = (n + 3)! (n + 3)! resulta: 9 n = ¡3 ! 9 + 21 ¡ 3 = C = C = 27 n = ¡2 ! 4 + 14 ¡ 3 = B + C B = 15 ¡ C = 17 ¡ 27 = ¡12 ; n = 0 ! ¡3 = 6A + 3B + C A = 16 (¡3 ¡ 3B ¡ C ) = 16 (¡3 + 36 ¡ 27) = 1 Ejemplo 6.17 Estudia el car¶acter y sumar en su caso las siguientes series num¶ericas: ¶ 1 1 µ 1 X X X n ¢ 2n+1 1 n2 + 7n ¡ 3 (i) (ii) 1 ¡ cos p (iii) n 2 + 5n ¡ 3 n (n + 1)! n=1 n=1 n=1 Soluci¶on: 1 X n ¢ 2n+1 (i) la serie diverge ya que an ! 1 n 2 + 5n ¡ 3 n=1 ¶ X µ ¶ 1 µ 1 1 X 1 1 1 2 X 1 p p (ii) 1 ¡ cos » » divergente (arm¶onica) n 2 n 2n n=1 n=1 n=1

6.4. SUMA DE SERIES

23

x2 Hemos tenido en cuenta que (1 ¡ cosx » ) 2 1 X n2 + 7n ¡ 3 (iii) La serie es convergente, puede comprobarse por el criterio del co(n + 1)! n=1 ciente. Su suma es: 1 X n2 + 7n ¡ 3 n=1

(n + 1)!

=

1 X n=1

=

1 X n2 + n + 6n + 6 ¡ 9 n=1

(n + 1)!

=

1 X (n + 1)n n=1

(n + 1)!

+

6(n + 1) 9 ¡ = (n + 1)! (n + 1)!

1 6 9 + ¡ = e + 6(e ¡ 1) ¡ 9(e ¡ 2) = 12 ¡ 2e (n ¡ 1)! n! (n + 1)!

Ejemplo 6.18 Estudia el car¶acter de las siguientes series num¶ericas y calcular, si es posible, su suma: µ 2 ¶ 1 1 X X n +n + 1 3n + n2 + n (a) ln (b) n2 + 2 3n+1n(n + 1) n=1 n=1 (c)

1¡

1 1 1 1 1 1 1 1 + ¡ 2 + 2 ¡ 3 + 3 ¡ 4 + 4 ¡ ¢¢¢ 2 3 2 3 2 3 2 3

Soluci¶on: 2 X n + n +1 X X n¡1 X1 n¡1 (a) ln = ln(1 + ) » » Divergente n2 + 2 n2 + 2 n2 + 2 n Hemos aplicado in¯nit¶esimos equivalentes ln(1 + z) » z cuando z ! 0, e in¯nit¶esimos del an mismo orden lim = k (k 6 = 0; k 6 = 1). n!1 bn 1 1 1 X X 3n + n 2 + n 3n + n(n + 1) X 3n n(n + 1) (b) = = + n+1 = n+1 n+1 n+1 3 n(n + 1) n=1 3 n(n + 1) 3 n(n + 1) 3 n(n + 1) n=1 n=1 =

1 X n=1

1

X 1 1 + 3n(n + 1) n=1 3n+1

Ahora bien, la primera serie es una serie telec¶opica 1 X n=1

1 X 1 1 1 = ¡ n(n + 1) n=1 n n + 1

que podemos sumar aplicando la de¯nici¶on Sn = 1 ¡

1 1 1 1 1 1 1 + ¡ + + ¢¢¢ + ¡ =1¡ !1 2 2 3 3 n n+1 n+1

y por otro lado, la segunda serie es una serie geom¶etrica 1 1 µ ¶ X 1 1 X 1 n 1 13 11 1 = = = 1 = n+1 3 3 n=1 3 31 ¡ 3 32 6 n=1

¶ CAP¶ITULO 6. SERIES NUMERICAS.

24 Con lo cual, la suma pedida es

1 X 3n + n2 + n 1 1 1 = ¢1+ = n+1 3 n(n + 1) 3 6 2 n=1

(c) La suma pedida puede descomponerse en dos series geom¶etricas, µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1¡ + ¡ 2 + 2 ¡ 3 + 3 ¡ ¢¢ ¢ = 1+ + 2 + 3 + ¢¢¢ ¡ + + +¢ ¢¢ = 2 3 2 3 2 3 3 3 3 2 22 23 =

1 1 3 1 2 ¡ ¡1= 1 1 = 1¡ 3 1¡2 2 2