´Indice general

´Indice general

I

1. Teor´ıa de la Probabilidad 1.1. Medida de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Asignaci´on de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Conteo: Conceptos Fundamentales de Combinatoria 1.3. Probabilidad Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Dependencia e Independencia . . . . . . . . . . . . 1.4. Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Redes Probabil´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Sistemas Inteligentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Sistemas Inteligentes Probabil´ısticos . . . . . . . . . 1.5.3. Redes Bayesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4. Razonamiento Probabil´ıstico. Inferencia . . . . . . 1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

1 1 2 4 6 6 7 10 11 12 15 16 16

CAP´ITULO 1 Teor´ıa de la Probabilidad

1.1. Medida de Probabilidad Para medir la incertidumbre existente en un experimento aleatorio1 dado, se parte de un espacio muestral M en el que se incluyen todos los posibles resultados individuales del experimento (sucesos elementales); es decir, el conjunto muestral es un conjunto exhaustivo (contiene todas las posibles ocurrencias) y m´ utuamente exclusivo (no pueden darse dos ocurrencias a la vez). Una vez definido el espacio muestral, el objetivo consiste en asignar a todo suceso compuesto A ⊂ M un n´ umero real que mida el grado de incertidumbre sobre su ocurrencia. Para obtener medidas con significado matem´atico claro y pr´actico, se imponen ciertas propiedades intuitivas que definen una clase de medidas que se conocen como medidas de probabilidad. Definici´ on 1.1 Medida de Probabilidad. Una funci´on p que proyecta los subconjuntos A ⊂ M en el intervalo [0, 1] se llama medida de probabilidad si satisface los siguientes axiomas2 : Axioma 1 (Normalizaci´ on): p(M) = 1. 1

Un experimento se denomina aleatorio cuando puede dar resultados distintos al realizarse en las mismas condiciones (por ejemplo, lanzar un dado al aire y observar el nmero resultante). 2 Formalmente, una medida de probabilidad se define sobre una σ-´algebra del espacio muestral, que es una colecci´on de subconjuntos que es cerrada para los operadores de uni´on ¯ A∪B y complementario A¯ = M\A (por tanto, tambi´en para intersecciones A∩B = A¯ ∪ B). Sin embargo, optamos por una definici´on menos rigurosa y m´as intuitiva para introducir este concepto.

1

1. TEOR´IA DE LA PROBABILIDAD

2

Axioma 2 (Aditividad): Para cualquier sucesi´ on infinita, A1 , A2 , . . ., de subconjuntos disjuntos de M, se cumple la igualdad p

̰ [ i=1

!

Ai =

∞ X

p (Ai ).

(1.1)

i=1

El Axioma 1 establece que, independientemente de nuestro grado de certeza, ocurrir´a un elemento del espacio muestral M (es decir, el conjunto M es exhaustivo). El Axioma 2 es una f´ormula de agregaci´on que se usa para calcular la probabilidad de la uni´on de subconjuntos disjuntos. Establece que la incertidumbre de un cierto subconjunto es la suma de las incertidumbres de sus partes (disjuntas). N´otese que esta propiedad tambi´en se cumple para sucesiones finitas. De los axiomas anteriores pueden deducirse propiedades muy interesantes de la probabilidad. Por ejemplo: Complementariedad: La probabilidad de un suceso y la de su com¯ = 1. plementario suman uno, p(A) + p(A) Normalizaci´ on: La evidencia asociada a una ausencia completa de informaci´on es cero, p(φ) = 0. Su demostraci´on es sencilla: 1 = p(M) = p(M ∪ φ) = p(M) + p(φ) ⇒ p(φ) = 0. Acotaci´ on: La probabilidad de cualquier suceso es menor o igual que la unidad, p(A) ≤ 1, para A ⊂ M. Monotonicidad: La evidencia de la pertenencia de un elemento a un conjunto debe ser al menos la evidencia de cualquiera de sus subconjuntos. Si A ⊆ B ⊆ M, entonces p(A) ≤ p(B). p(B) = p((B ∩A)∪(B \A)) = p(A∪(B \A)) = p(A)+p(B \A) ≥ p(A). Inclusi´ on-Exclusi´ on: Dado cualquier par de subconjuntos A y B de M, se cumple siempre la siguiente igualdad: p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).

(1.2)

Esta propiedad establece que las probabilidades de los conjuntos A, B, A∩ B, y A ∪ B no son independientes.

1.2. Asignaci´on de Probabilidades Para un mismo experimento aleatorio, existen numerosas medidas de probabilidad que cumplen los axiomas anteriores; sin embargo, la medida de probabilidad que se asigna a un experimento real debe de ajustarse a la incertidumbre real asociada con cada uno de los posibles sucesos. As´ı, sabemos

´ DE PROBABILIDADES 1.2. ASIGNACION

3

que al jugar a los dados, los seis nmeros tienen la misma probabilidad de ocurrir, si los dados no est´an trucados. Esta idea se corresponde con el enfoque cl´asico de la asignaci´on de probabilidades, que se remonta al nacimiento de esta disciplina (Bernoulli, Laplace), y se basa en el principio de indiferencia: todos los sucesos elementales del espacio muestral son equiprobables (por ejemplo, en el caso de un dado no trucado). En este caso, la probabilidad de un suceso dado se puede obtener como el cociente del n´ umero de casos favorables a dicho suceso entre el n´ umero de casos posibles. En la pr´actica, la probabilidad asociada a un suceso cualquiera de un experimento se puede asignar repitiendo el experimento un n´ umero suficiente de veces y observando las frecuencias relativas de dicho suceso. Por ejemplo, si se quiere asignar una probabilidad a los suscesos elementales del lanzamiento de un dado, se puede repetir el experimento un n´ umero elevado de veces y observar las frecuencias de aparici´on del 1, 2, 3, 4, 5 y 6; en este caso, si alguna de las frecuencias se separa mucho del valor 1/6 se puede concluir que es un dado trucado. Ello lleva a definir la probabilidad de un suceso A como el l´ımite asint´otico de la frecuencia relativa de ocurrencia de dicho suceso en la realizaci´on del experimento: p(A) = n→∞ l´ım fn (A), donde fn (A) representa la frecuencia relativa del suceo A en n realizaciones del experimento. En la pr´actica una aproximaci´on del l´ımite asint´otico se obtiene repitiendo el experimento un n´ umero suficientemente elevado de veces, a partir del cual fn (A) se estabiliza. Por ejemplo, si queremos asignar una probabilidad a los distintos sucesos meteorol´ogicos que pueden producirse seg´ un la estaci´on del a˜ no, la direcci´on del viento y la ausencia o no de lluvia, podemos definir una medida de probabilidad en base a las frecuencias observadas en un per´ıodo amplio de tiempo (por ejemplo, diez a˜ nos): N=3650 NE SE SW NW

INVIERNO Seco Lluvia 190 99 24 18 98 223 49 150

PRIMAVERA Seco Lluvia 287 166 6 4 18 119 95 277

VERANO Seco Lluvia 360 162 1 9 15 71 108 251

˜ OTONO Seco Lluvia 177 89 33 26 94 248 36 147

Una vez que se han hallado las probabilidades de los sucesos elementales, se pueden aplicar las propiedades de la probabilidad descritas anteriormente para calcular la probabilidad de sucesos compuestos como “que sea invierno o llueva”, que “el viento no sople del NE”, o “que sea invierno y llueva”. Ejemplo 1.1 (Lanzamiento de un dado). Un ejemplo cl´asico que ilustra los axiomas y la asignaci´on de probabilidades es el del lanzamiento de un dado no trucado. En este caso el espacio muestral es M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, es decir, el conjunto de los posibles resultados del lanzamiento. Las frecuencias relativas de cada uno de estos sucesos elementales convergen al valor 1/6, indicando que son equiprobables (ver figura 1.1). A partir de esta asignaci´on de probabilidades, y utilizando las propiedades de las medidas de probabilidad,

1. TEOR´IA DE LA PROBABILIDAD

4

se puede calcular p({1, 3}) = p({1}) + p({3}) = 1/3, p(impar) = p{1, 3, 5} = 1/2, etc. Un experimento equivalente a lanzar el dado consiste en extraer una bola de una urna que contiene seis bolas numeradas. Como se ve en la figura 1.1 los espacios muestrales y las asignaciones de probabilidades coinciden en ambos casos, indicando que ambos experimentos son equivalentes. x Ps(x) s(x) 1 2

Dado

x

P(x)

1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

4

3 6

5

1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

1 1 1 1 1 1

Urna 1 x Ps(x) s(x)

2 2

1 2

4

4 3

5

6

1 2 3 4 5 6

1/9 3/9 1/9 2/9 1/9 1/9

1.5 0.5 1.5 0.75 1.5 1.5

Urna 2

Figura 1.1: Experimentos aleatorios equivalentes y no equivalentes.

1.2.1. Conteo: Conceptos Fundamentales de Combinatoria En numerosas situaciones pr´acticas, el problema de la asignaci´on de probabilidades se reduce a un simple problema de combinatoria en el que es necesario contar el n´ umero de resultados posibles (sucesos elementales) y cu´antos de ´estos son favorables al suceso cuya probabilidad se quiere calcular. La siguentes definiciones muestran las reglas de conteo m´as elemtales, con las cuales pueden resolverse numerosas situaciones pr´acticas. Definici´ on 1.2 Regla multiplicativa. Dados k conjuntos con n1 , . . ., nk elementos, respectivamente, el n´ umero de muestras distintas de k elementos que pueden obtenerse tomando un elemento de cada conjunto es n1 . . . nk . Definici´ on 1.3 Combinaciones y Variaciones. Dado un conjunto de n elementos, el n´ umero de suconjuntos (no importa el orden) de m elementos distintos que pueden formarse viene dado por el n´ umero combinaciones de n elementos tomados de m en m: Ã n Cm

=

n m

!

=

n! . (n − m)! m!

(1.3)

´ DE PROBABILIDADES 1.2. ASIGNACION

5

Por otra parte, el n´ umero de conjuntos con elementos repetidos viene dado por las combinaciones con repetici´ on: Ã n CRm =

n m

!

=

(n + m − 1)! . (n − 1)! m!

(1.4)

En cambio, el n´ umero de vectores (conjuntos ordenados) de m elementos distintos viene dado por variaciones de n elementos tomados de m en m: Vmn = n(n − 1) . . . (n − m + 1) =

n! . (n − m)!

(1.5)

As´ımismo, cuando existe repetici´ on se habla de variaciones con repetici´ on n V Rm = mn . La regla multiplicativa permite dividir un problema en partes (que ser´an finalmente multiplicadas) y las variaciones y combinaciones permiten tratar cada una de estas partes. Ejemplo 1.2 En una competici´ on donde participan 50 atletas, ¿Cu´antos podium (primero, segundo y tercero) distintos se pueden dar?, ¿de cu´antos formas distintas se puede elegir el conjunto de los tres mejores atletas? El n´ umero total de podium distintos viene dado por las permutaciones de las 50 personas tomadas de tres en tres 20 19 18 ³ = ´6840. En cambio, las posibilidades para elegir a los tres mejores atletas son 20 = 1140. 3

Ejemplo 1.3 Al lanzar una moneda 4 veces, ¿de cu´antas formas se pueden obtener 3 caras?. Y ¿dos caras y dos cruces?. De

³

4 3

´

=4y

³

4 2

´

= 6, respectivamente.

Ejemplo 1.4 (El problema de cumplea˜ nos). Si k personas est´an en una habitaci´on, ¿Cu´al es la probabilidad p(k) de que almenos dos personas cumplan a˜ nos el mismo da?. El n´ umero total de combinaciones de d´ıas para los cumplea˜ nos de k personas es 365k . Calculamos la probabilidad del suceso complementario al pedido en el enunciado, es decir, el suceso “todas las personas cumplen a˜ nos en das distintos”. El n´ umero de permutaciones posibles es a = 365 × 364 × . . . × 365 − k + 1 = 365!/(365 − k)!. Por tanto la probabilidad de que todas la personas cumplan a˜ nos k en d´ıas distintos es b = a/365 y la probabilidad de su suceso complementario, es decir, que al menos dos personas cumplan a˜ nos el mismo d´ıa ser´ a: p(k) = 1 − b = 1 −

365! Vk365 = 1 − . 365k (365 − k)! V Rk365

Por ejemplo, se puede observar que para que la probabilidad sea mayor de 0.5 es necesario un grupo de, al menos, 21 personas.

1. TEOR´IA DE LA PROBABILIDAD

6

1.3. Probabilidad Condicional El conocimiento de la ocurrencia de un suceso puede modificar las probabilidades de otros sucesos. Por ejemplo, la probabilidad de obtener un dos al lanzar un dado cambia si se sabe que el resultado es un n´ umero par, tambi´en la probabilidad de que un paciente tenga una enfermedad dada puede cambiar tras el conocimiento de los resultados de un an´alisis de sangre. Por ello, cada vez que se dispone de nueva informaci´on, las probabilidades de los sucesos pueden, y suelen, cambiar. Esto conduce al concepto de probabilidad condicional. Definici´ on 1.4 Probabilidad condicional. Sean A e B dos sucesos tales que p(B) > 0. Entonces, la probabilidad condicional de A dado B viene dada por p(A ∩ B) p(A|B) = . (1.6) p(B) La ecuaci´on (1.6) implica que la probabilidad del suceso A ∩ B viene dada por p(A ∩ B) = p(B)p(A|B). (1.7) Esta f´ormula puede generalizarse para intersecciones de m´as conjuntos, dando lugar a la llamada regla de la cadena: p(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ) = p(A1 )p(A2 |A1 ) . . . p(An |A1 ∩ . . . ∩ An−1 ).

(1.8)

Esta f´ormula puede probarse de forma sencilla a partir de (1.7).

1.3.1. Dependencia e Independencia Cuando un suceso sucesos no suministra informaci´on alguna sobre la ocurrencia de otro se dice que ´estos dos sucesos son independientes. Definici´ on 1.5 (Independencia de sucesos) Sean A y B dos sucesos tales queP (A) > 0 y P (B) > 0, se dice que el suceso B es independiente del A si P (B/A) = P (B). Una propiedad importante de la relaci´on de independencia es su simetr´ıa. Recordando la definici´on de probabilidad condicionada se tiene P (B/A) =

P (B ∩ A) = P (B) P (A)

⇔

P (A ∩ B) = P (A) P (B)

y por tanto P (A/B) =

P (A) P (B) P (A ∩ B) = = P (A) P (B) P (B)

1.4. TEOREMA DE BAYES

7

luego si A es independiente de B, tambi´en B es independiente de A, por lo que se dice que A y B son independientes. N´otese que en la definici´on 1.5 puede utilizarse la condici´on P (A ∩ B) = P (A)P (B)

(1.9)

Ejemplo 1.5 Supongamos que durante 10 aos los fen´omenos: estaci´on del ao, direcci´ on del viento y lluvia se han dado con las frecuencias mostradas en la siguiente tabla:

N=3650 NE SE SW NW TOTAL

ANUAL Seco Lluvia 1014 516 64 57 225 661 288 825 1591 2059

INVIERNO Seco Lluvia 190 99 24 18 98 223 49 150 361 490

PRIMAVERA Seco Lluvia 287 166 6 4 18 119 95 277 406 566

VERANO Seco Lluvia 360 162 1 9 15 71 108 251 484 493

OTOO Seco Lluvia 177 89 33 26 94 248 36 147 340 510

Si tomamos como sucesos elementales cada una las posibles combinaciones (estacion, viento, lluvia), podemos calcular: → P (lluvia) = 2059/3650 = 0.564. → P (lluvia|SW ) = P (LL ∩ SW )/P (SW ) = 661/886 = 0.746 De esta forma vemos que los sucesos lluvia y viento son dependientes. Supongamos ahora que en lugar de considerar la estaci´on del ao, consideramos la fase lunar:

N=3650 NE SE SW NW TOTAL

ANUAL Seco Lluvia 1014 516 64 57 225 661 288 825 1591 2059

Llena Seco Lluvia 255 137 12 12 59 165 51 192 377 506

C. Menguante Seco Lluvia 208 106 16 16 65 166 77 231 366 519

C. Creciente Seco Lluvia 297 132 22 12 58 175 82 225 459 544

Nueva Seco Lluvia 254 141 14 17 43 155 78 177 389 490

Ahora: → P (lluvia) = 2059/3650 = 0.564. → P (lluvia|CC) = 490/(490 + 389) = 0.557 → P (lluvia|LN ) = 544/(544 + 459) = 0.542 → P (lluvia|CM ) = 519/(519 + 366) = 0.586 → P (lluvia|LL) = 506/(506 + 377) = 0.573, lo que indica que la lluvia y la fase lunar son independientes.

1.4. Teorema de Bayes El teorema de Bayes es una u ´til f´ormula que nos permite “dar la vuelta.a las probabilidades condicionadas y resolver casos pr´acticos en los que la inforamci´on disponible a priori no permite realizar el c´alculo de forma directa.

1. TEOR´IA DE LA PROBABILIDAD

8

Teorema 1.1 (Probabilidad total). Sea {A1 , A2 , . . . An } una clase exhaustiva (su uni´on es el espacio muestral) de sucesos incompatibles dos a dos. Entonces se tiene que P (B) =

n X

P (B/Ai ) P (Ai )

i=1

Este teorema se puede demostrar f´acilmente de la siguiente forma: P (B) = P (B ∩ (

n S

i=1

=

Ai )) = P (

n P i=1

n S

i=1

(B ∩ Ai )) =

P (B ∩ Ai ) =

n P i=1

P (B/Ai ) P (Ai )

Por ejemplo, la siguiente figura muestra (en su zona sombreada) los individuos que poseen una enfermedad (c´ancer de est´omago), denotado con g, mientras que la zona blanca son los individuos libres de la enfermedad, g¯ (estos dos sucesos son exhaustivos e incompatibles). A su vez, existen otros sucesos (s´ıntomas) presentes en la poblaci´on. El teorema de la probablidad total dice que la probabilidad de un s´ıntoma (por ejemplo, dolor d) se puede obtener como P (d) = P (d|g)P (g) + P (d|¯ g )P (¯ g ).

Teorema 1.2 (Bayes). En las condiciones del teorema anterior se tiene: P (B/Ai ) P (Ai ) P (Ai /B) = P n P (B/Ai ) P (Ai ) i=1

La demostraci´on de este teorema tambi´en es muy sencilla: P (Ai ∩ B) = P (B/Ai ) P (Ai ) = P (Ai /B) P (B)

1.4. TEOREMA DE BAYES

9

y despejando P (Ai /B) y teniendo en cuenta el teorema de la probabilidad total resulta el teorema de Bayes. A las probabilidades P (Ai ) se las suele llamar probabilidades a priori, por ser las probabilidades antes de conocer la informaci´on B. Las probabilidades P (Ai /B), que son las probabilidades de Ai despu´es de conocer la informaci´on B, reciben el nombre de probabilidades a posteriori. Finalmente, las probabilidades P (B/Ai ) se llaman verosimilitudes. Los conceptos presentados en este cap´ıtulo tienen mucha importancia en diversos campos aplicados como, por ejemplo en la inteligencia artificial (sistemas expertos probabilsticos) pues permiten inferir conclusiones en base a informaci´on cuantitativa; en estos sistemas, los modelos de aprendizaje se basan fundamentalmente en la probabilidad condicionada. En el siguiente ejemplo se muestra una de las aplicaciones m´as importantes de este campo (el diagn´ostico m´edico) a la vez que se ilustra la aplicaci´on del teorema de Bayes. Ejemplo 1.6 (Diagn´ ostico M´ edico).Un centro m´edico tiene una base de datos consistente en los historiales cl´ınicos de n = 1000 pacientes; hay 700 pacientes (la regi´on sombreada) que tienen la enfermedad adenocarcinoma g´astrico (g), y 300 que no la tienen. Tres s´ıntomas, dolor (d), p´ erdida de peso (p) y v´ omitos (v), se considera que est´an ligados a esta enfermedad. Por tanto, cuando un paciente nuevo llega al centro m´edico, hay una probabilidad 700/1000 = 70 % de que el paciente tenga adenocarcinoma g´astrico. Esta es la probabilidad inicial, o “a priori”, puesto que se calcula con la informaci´on inicial, es decir, antes de conocer informaci´on alguna sobre el paciente. Por tanto, pueden hacerse las afirmaciones siguientes: probabilidad “a priori”: 440 de 1000 pacientes vomitan. Por ello, p(v) = card(v)/n = 440/1000 = 0.44, donde card(v) denota la frecuencia absoluta de pacientes de la base de datos que vomitan. Esto significa que el 44 % de los pacientes vomitan. Verosimilitud: El 50 % de los pacientes que tienen la enfermedad vomitan, puesto que p(v|g) = card({v, g})/card(g) = 350/700 = 0.5, mientras que s´olo 30 % de los pacientes que no tienen la enfermedad vomitan, puesto que p(v|¯ g ) = card({v, g¯})/card(¯ g ) = 90/300 = 0.3. Verosimilitud: El 45 % de los pacientes que tienen la enfermedad vomitan y pierden peso, p({v, p}|g) = card({v, p, g})/card(g) = 315/700 = 0.45, mientras que s´olo el 12 % de los que no tienen la enfermedad vomitan y pierden peso, p({v, p}|¯ g ) = card({v, p, g¯})/card(¯ g ) = 35/300 ≈ 0.12. Puesto que la probabilidad inicial de que el paciente tenga adenocarcinoma g´astrico, p(g) = 0.7, no es suficientemente alta para hacer un diagn´ostico (n´otese que tomar una decisi´on ahora implica una probabilidad 0.3 de equivocarse), el doctor decide examinar al paciente para obtener m´as informaci´on. Sup´ongase que los resultados del examen muestran que el paciente tiene los

1. TEOR´IA DE LA PROBABILIDAD

10

s´ıntomas v´omitos y p´erdida de peso. Ahora, dada la evidencia (el paciente tiene esos s´ıntomas), ¿cu´al es la probabilidad de que el paciente tenga la enfermedad? Esta probabilidad “a posteriori” puede ser obtenida de la probabilidad “a priori” y de las verosimilitudes, aplicando el teorema de Bayes en dos etapas, como sigue: Tras observar que el paciente vomita la probabilidad “a posteriori” es p(g|v) = =

p(g)p(v|g) p(g)p(v|g) + p(¯ g )p(v|¯ g) 0.7 × 0.5 = 0.795. (0.7 × 0.5) + (0.3 × 0.3)

Tras observar que el paciente vomita y presenta p´erdida de peso la probabilidad “a posteriori” es p(g|{v, p}) = =

p(g)p({v, p}|g) p(g)p({v, p}|g) + p(¯ g )p({v, p}|¯ g) 0.7 × 0.45 = 0.9. (0.7 × 0.45) + (0.3 × 0.12)

(1.10)

N´otese que cuando se aplica el teorema de Bayes sucesivamente, la probabilidad “a posteriori” calculada en una etapa dada es la misma que la probabilidad “a priori” en la etapa siguiente. Por ejemplo, la probabilidad “a posteriori”, que se ha calculado en la primera etapa anterior, puede ser usada como probabilidad “a priori” en la segunda etapa, es decir, p(g|{v, p}) = =

p(g|v)p(p|{g, v}) p(g|v)p(p|{g, v}) + p(¯ g |v)p(p|{¯ g , v}) 0.795 × 0.9 = 0.9, (0.795 × 0.9) + (0.205 × 0.389)

que da la misma respuesta que en (1.10). N´otese tambi´en que la probabilidad cambia tras observar las evidencias. La probabilidad de tener la enfermedad era inicialmente 0.7, despu´es aument´o a 0.795, y luego a 0.9 tras observar la evidencia acumulada. Al final de la u ´ltima etapa, el paciente tiene una probabilidad 0.9 de tener la enfermedad. Esta probabilidad puede ser suficientemente alta (comparada con la probabilidad “a priori” 0.7) para que el doctor diagnostique que el paciente tiene la enfermedad. Sin embargo, ser´ıa conveniente observar nuevas evidencias antes de hacer este diagn´ostico.

1.5. Redes Probabil´ısticas Durante los u ´ltimos a˜ nos la probabilidad se ha convertido en una herramienta fundamental en distintas ´areas de la computaci´on: aprendizaje autom´atico (machine learning), computaci´on neuronal, etc. En la u ´ltima d´ecada