Problemas de Algebra

Capítulo 1: Espacios vectoriales.

Facultad de Ciencias Químicas Departamento de Matemáticas Álgebra

Capítulo 1: Espacios vectoriales. Determina si cada uno de los siguientes subconjuntos de R3 es subespacio vectorial: (a) S1 = f(x; y; z) 2 R3 : x = 0g; (b) S2 = f(x; y; z) 2 R3 : x ¡ 3y + 2z = 0g 3 (c) S3 = f(x; y; z) 2 R : x = 3y = ¡zg; (d) S4 = f(x; y; z) 2 R3 : x = y ó y = zg (e) S5 = f(x; y; z) 2 R3 : y + 2x = 0; z = 5xg; (f ) S6 = f(x; y; z) 2 R3 : x2 ¡ y 2 = 0g (g) S7 = f(x; y; z) 2 R3 : x ¡ y = 1g; (h) S8 = f(x; y; z) 2 R3 : xy = 0g: (a) Para ver si S1 es subespacio vectorial, tenemos que probar que u + v 2 S1; 8u; v 2 S1 y que ¸u 2 S1 ; 8u 2 S1 : Sean pues u; v 2 S1: Por pertenecer a S1 ; deben ser de la forma u = (0; y1 ; z1) ; v = (0; y2; z2 ) : Por tanto u + v = (0; y1; z 1) + (0; y2; z2 ) = (0; y3; z 3) ; ¸u = ¸ (0; y1; z1 ) = ¸ (0; ¸y1; ¸z1) ; y por tanto, S1 es subespacio vectorial. (b) Usando la misma técnica que en el apartado anterior, tenemos para w = u + v = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2 ) que; x1 + x2 ¡ 3 (y1 + y2) + 2z 1 + 2z2 = x1 ¡ 3y1 + 2z1 + x2 ¡ 3y2 + 2z2 = 0 + 0 = 0; ¸x1 ¡ 3¸y1 + 2¸z1 = ¸ (x1 ¡ 3y1 + 2z 1) = 0: (c) Este conjunto tambien es subespacio y de hecho es la forma continua de una recta. (d) Este conjunto no es un subespacio lineal. Vamos a buscar un contraejemplo. Los vectores (1; 1; 0) y (0; 1; 1) pertenecen a S4 ; pero su suma (1; 1; 0)+ (0; 1; 1) = (1; 2; 1) ; no pertenece al conjunto. (e) En este caso, nos estan dando una recta de forma implicita. (f) De nuevo no es subespacio, y vamos a buscar un contrejemplo. Los vectores que nos sirven en este caso son el (1; 1) y el (¡1; 1) que pertenecen al subespacio, pero cuya suma, (0; 1) ; no. (g) Este conjunto es un subespacio ya que es la forma implicita de un plano. (h) Aquí nos encontramos con un conjunto que no es subespacio ya que los vectores (1; 0) y (0; 1) pertenecen al conjunto y su suma no 2. Estudia la independencia lineal de los vectores de R 3: (a) u1 = (1; ¡1; 0); u2 = (1; 3; ¡1); u3 = (5; 3; ¡2): Calculemos su determinante. Tenemos ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 5 ¯ ¯ ¯ ¡1 3 ¯=0 3 ¯ ¯ ¯ 0 ¡1 ¡2 ¯ 1.

luego son linealmente dependientes. una base del subespacio, simplemente µ Para calcular ¶ 1 1 tenemos que tomar el menor A = , cuyo determinante es distinto de cero. Por ¡1 3 1

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Capítulo 1: Espacios vectoriales.

tanto u1 y u2 son l.i. y forman base del subespacio. Podemos completar esta base a una de R3 si le añadimos el vector e3 = (0; 0; 1) ; ya que el determinante de la nueva matriz es el del menor A: Para encontrar las ecuaciones cartesianas, solo tenemos que buscar los vectores que sean l.d. con u1 y u2, es decir los vectores u = (x; y; z) tales que ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 x ¯ ¯ ¯ ¡1 3 y ¯¯ = 0 ) x + y + 4z = 0: ¯ ¯ 0 ¡1 z ¯ Para las ecuaciones parametricas solo tenemos que escribir los vectores como combinaciones lineales de los elementos de la base, es decir 8 < x = ¸+ ¹ y = ¡¸ + 3¹ 8¸; ¹ 2 R: : z = ¡¹

v1 = (2; 2; ¡1); v2 = (4; 4; 1); v3 = (1; 0; ¡1): En este caso el determinante vale 6 luego los vectores son linealmente independientes, por lo que forman base de R3 y no tienen ecuaciones paramétricas ni cartesianas. (c) w1 = (3; ¡1; 2); w2 = (2; 1; 3); w3 = (0; 1; 1): Calculemos de nuevo el determinante. Tenemos que ¯ ¯ ¯ 3 2 0 ¯¯ ¯ ¯ ¡1 1 1 ¯ = 0; ¯ ¯ ¯ 2 3 1¯ (b)

luego son linealmente dependientes, por lo que las ecuaciones cartesianas son ¯ ¯ ¯ x 2 0¯ ¯ ¯ ¯ y 1 1 ¯ = 0 ) x +y ¡z = 0 ¯ ¯ ¯ z 3 1¯

y las paramétricas

8 < x = 2¸ y = ¸ +¹ : : z = 3¸ + ¹ Una base de R3 que contenga a esta es B = f(1; 0; 0) ; (2; 1; 3) ; (0; 1; 1)g : 3. Determina una base B y las ecuaciones paramétricas del subespacio S de R4 dado por las ecuaciones: 8 > x ¡y +z ¡t = 0 > < 2x +2y ¡z ¡t = 0 4x +z = 0 > > : 3x +y +t = 0 4 Determina una base de R que contenga a B. Tenemos que resolver el sistema. Podemos hacerlo de varias formas. Lo primero es hallar el determinante que es ¯ ¯ ¯ 1 ¡1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¡1 ¯ ¯ ¯ ¡1 1 ¯ ¯ 1 ¡1 ¡1 ¯ ¡1 ¯ 2 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¡1 ¡1 ¯¯ ¯ = 4 ¯¯ 2 ¡1 ¡1 ¯¯ + ¯¯ 2 2 ¡1 ¯¯ = 0; ¯ 4 0 ¯ 1 0 ¯ ¯ ¯ 0 1 0 ¯ ¯ 3 1 1 ¯ ¯ 3 1 0 1 ¯ luego B debe contener al menos un vector. Como el primer menor de la suma es distinto a cero, sabemos que hay tres ecuaciones l.i. por lo que la base contiene un sólo vector. Para hallarlo 2

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sumamos la primera y la última ecuación, obteniendo 4x + z = 0: Tomando x = ¸; tenemos que z = ¡4¸: Ahora de las ecuaciones dos y cuatro tenemos el sistema ½ y + t = ¡3¸ 2y ¡ t = ¡6¸

por lo que y = ¡3¸; t = 0; con lo que B = f(1; ¡3; ¡4; 0)g : Otra forma de hacer esto es reducir el sistema mediante el método de Gauss. Operando, tenemos 0 1 0 1 0 1 1 ¡1 1 ¡1 1 ¡1 1 ¡1 1 ¡1 1 ¡1 B 2 2 ¡1 ¡1 C ¡2F1 B ¡3 1 C ¡4F 1 B ¡3 1 C ¡3F 1 B C F2! B 0 4 C F3! B0 4 C F 4! @ 4 0 A @ A @ A 1 0 4 0 1 0 0 4 ¡3 4 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 ¡1 1 ¡1 1 ¡1 1 ¡1 1 ¡1 1 ¡1 B 0 4 ¡3 1 C ¡F4 B ¡3 1 C ¡F3 B ¡3 1 C B C F3! B0 4 C F2! B 0 4 C: @ 0 4 A @ A @ ¡3 4 0 4 ¡3 4 0 0 0 4 A 0 4 ¡3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 De la tercera fila llegamos a que t = 0; y con esto en la segunda fila obtenemos y = 3¸; z = 4¸; con lo que x = y ¡ z = ¡¸: 4. Sea P2(x) el espacio de los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales. Comprueba que p1(x) = x; p2(x) = x ¡ 1; p3(x) = (x ¡ 1)2 forman una base de P2(x) y determina las coordenadas de p(x) = 2x2 ¡ 5x + 6 respecto de esa base. Para verificar si estos elementos forman base, vamos a calcular su Wronskiano. Tenemos que ¯ ¯ ¯ x x ¡ 1 (x ¡ 1)2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x x¡1 ¯ ¯=2 W (x) = ¯¯ 1 1 2 (x ¡ 1) ¯¯ = 2 ¯¯ 1 1 ¯ ¯ 0 0 ¯ 2 luego efectivamente son l.i. y como la dimensión de P2 (x) es 3; forman base. Para calcular las coordenadas en esta base, planteamos 2x2 ¡ 5x + 6 = 2ax + bx ¡ b + cx2 ¡ 2cx + c; e igualando grados llegamos al sistema 0 10 1 0 1 0 0 1 a 2 @ 2 ¡1 ¡2 A @ b A = @ ¡5 A 0 ¡1 1 c 6

cuya solución es a = ¡5=2; b = ¡4; c = 2: 5. Sea F(R; R) el espacio de todas las funciones de R en R. Estudia si W es un subespacio de F(R; R) donde: (a)W = ff 2 F(R; R) : f(1) = 0g; (b)W = ff 2 F(R; R) : 2f (0) = f(1)g; (c) W = ff 2 F(R; R) : f(¡x) = ¡f (x)g Recordemos que para que W sea subespacio se debe cumplir que 8u 2 W; 8¸ 2 R; ¸u 2 R 8u; v 2 R; u + v 2 R:

Vamos a verificar estas dos condiciones en los tres casos para funciones f; g 2 W y ¸ 2 R: (a) Para la primera condición tenemos que ¸f (1) = ¸ ¢ 0 = 0 3

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y para la segunda f (1) + g (1) = 0 + 0 = 0 luego efectivamente es un espacio vectorial. (b) En este caso tenemos 2¸f (0) = ¸f (1) y por otro lado f (1) + g (1) = 2f (0) + 2g (0) = 2 (f (0) + g (0)) : (c) Por último f (¡x) + g (¡x) = ¡f (x) ¡ g (x) = ¡ (f (x) + g (x)) :

En el espacio vectorial E = C 2 (R; R) de todas las funciones continuas con segunda derivada continua se considera para a; b 2 R; el subconjunto F = ff 2 E : f 00 + af 0 + bf = 0g: Prueba que F es un subespacio de E: Sean f; g 2 F y ¸; ¹ 2 R: Tenemos que verificar que ¸f + ¹g 2 F: Vamos a introducir este termino y la ecuación y a operar. Tenemos (¸f + ¹g) 00 + a (¸f + ¹g)0 + b (¸f + ¹g) = ¸f 00 + ¹g 00 + a¸f 0 + ¹g 0 + b¸f + b¹g = = ¸ (f 00 + af 0 + bf ) + ¹ (g 00 + ag 0 + bg) = = 0 + 0 = 0: luego efectivamente es un subespacio vectorial. 7. Estudia si las siguientes familias de vectores son linealmente dependientes o independientes: (a) fe2x ; x2; xg ½ F(R; R): Calculemos el Wronskiano ¯ 2x ¯ ¯ ¯ 2 ¯ e ¯ ¯ 1 x2 x ¯ ¯ 2x x x ¯ ¯ ¯ ¡ ¢ 2x 1 ¯¯ = e 2x ¯¯ 2 2x 1 ¯¯ = e2x ¡2 + 4x ¡ 4x2 : W (x) = ¯¯ 2e ¯ 4e 2x 2 0 ¯ ¯ 4 2 0 ¯ 6.

Como no es identicamente cero, las funciones son l.i. (b) fsen ¼t; sen 2¼tg ½ C[0; 1] donde C[0; 1] denota las funciones continuas definidas en [0; 1] con valores en R. Calculando el Wronskiano otra vez, ¯ ¯ ¯ sin ¼t ¯ sin 2¼t ¯ = ¼ (2 sin (¼t) cos (2¼t) ¡ sin (2¼t) cos (¼t)) W (t) = ¯¯ ¼ cos ¼t 2¼ cos 2¼t ¯

tomando t = 1=2; tenemos que ³¼ ´ W = ¼ (2 ¢ (¡1) ¡ 0 ¢ 0) = ¡2¼: 2 Como hay un valor para el que el Wronskiano no es cero, son l.i. 8. Encuentra una base de R4 que contenga a los vectores (0; 1; 1; 1) y (1; 1; 0; 1). Vamos a ir ampliando esta base de la forma más sencilla posible. Ponemos estos vectores en forma de matriz 0 1 0 1 B 1 1C C A1 = B @ 1 0 A: 1 1 Como el primer menor es distinto que cero, añadimos un vector tal que el determinante de un

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Capítulo 1: Espacios vectoriales.

nuevo menor 3 £ 3 coincida con el anterior, llegando a 0 1 0 1 0 B 1 1 0C C A2 = B @ 1 0 1A 1 1 0 Añadiendo la última columna llegamos a 0 9.

0 B1 A2 = B @1 1

1 1 0 1

0 0 1 0

1 0 0 C C 0 A 1

Demuestra que B n = f1; (x ¡2); (x ¡ 2)2 ; :::; (x ¡ 2)ng es una base de Pn(x). Si n = 4, halla las coordenadas del vector p(x) = 5x4 + 6x3 ¡ 4x + 2 respecto de la base B4 : Calculemos el wronskiano ¯ ¯ ¯ 1 (x ¡ 2) (x ¡ 2) 2 ¢ ¢ ¢ ¯ (x ¡ 2)n ¯ ¯ n¡1 ¯0 ¯ 1 2 (x ¡ 2) ¢ ¢ ¢ n(x ¡ 2) ¯ ¯ n¡2 ¯: 0 2 ¢ ¢ ¢ n (n ¡ 1) (x ¡ 2) WB (x) = ¯¯ 0 ¯ .. .. .. .. . ¯ ... ¯ . . . ¯ ¯ ¯0 ¯ 0 0 ¢¢¢ n! Como la matriz es diagonal, el determinante es el producto de la diagonal principal, y por tanto, es distinto de cero. Por tanto para hallar las coordenadas pedidas debemos encontrar a; b; c; d; e tales que 5x4 + 6x3 ¡ 4x + 2 = a + b(x ¡ 2) + c(x ¡ 2) 2 + d(x ¡ 2)3 + e(x ¡ 2) 4 y desarrollando esto, tenemos que 5x4 + 6x3 ¡ 4x + 2 = = a + bx ¡ 2b + cx2 ¡ 4cx + 4c + dx3 ¡ 6dx2 + 12dx ¡ 8d + ex4 ¡ 8ex3 + 24ex2 ¡ 32ex + 16e = ex4 + (d ¡ 8e) x3 + (c ¡ 6d + 24e) x2 + (b ¡ 4c + 12d ¡ 32e) x + a ¡ 2b + 4c ¡ 8d + 16e; y en forma de sistema 0 10 1 0 1 1 ¡2 4 ¡8 ¡16 a 2 B0 1 B C B C ¡4 12 32 C B C B b C B ¡4 C B0 0 B C B C 1 ¡6 24 C B CB c C =B 0 C @0 0 A @ A @ 0 1 ¡8 d 6 A 0 0 0 0 1 e 5

que se resuelve directamente al ser una matriz triangular, con el resultado a = ¡358; b = ¡92; c = 156; d = 46; e = 5: 10. Estudia si los siguientes subconjuntos de M2£2 (R) son subespacios vectoriales de M2£2 (R): (a) S = fA 2 M2£2 (R) : r(A) = 1g; donde r (A) designa el rango de A: No, porque el cero no pertenece a S: Podemos además buscar un contraejemplo de la forma µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 0 ¡1 0 0 0 a= ; r (a) = 1; b = ; r (b) = 1; a + b = ; r (a + b) = 0: 0 0 0 0 0 0 (b)

T = fA 2 M2£2 (R) : traza(A) = 0g; donde traza(A) denota la suma de los elementos de la diagonal principal.

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Capítulo 1: Espacios vectoriales. µ

a11 a 12 a21 a 22

¶

El cero pertenece al conjunto luego puede ser un subespacio. Tomemos a = ; µ ¶ b11 b12 b= ; con a; b 2 T y ¸; ¹ 2 R. Tenemos que comprobar que ¸a + ¹b 2 T : b21 b22 Para ello vamos a desarrollar esta operación traza (¸a + ¹b) = ¸a11 + ¹b11 + ¸a 22 + ¹b22 = ¸ (a11 + a22) + ¹ (b11 + b22) = ¸ ¢ 0 + ¹ ¢ 0 = 0 luego efectivamente es un subespacio. 11. Se considera el subconjunto P de R n formado por todas las n-uplas de números reales, tales que los elementos de cada n-upla forman una progresión aritmética. Prueba que P es un subespacio vectorial de Rn y determinar una base del mismo. Calcula respecto de la base hallada las coordenadas del vector v = (4; 7; 10; ::::; 3n + 1). Una progresión geométrica tiene la forma a + bn: Para ver que es subespacio, solo hay que ver que la suma de dos progresiones geométricas tambien lo es. En efectos si tenemos dos progresiones geométricas de la forma a + bn y c + dn; entonces ¸ (a + bn) + ¹ (c + dn) = (¸a + ¹c) + (¸b + ¹d) n: Para buscar la base tenemos que calcular el número de vectores que necesitamos. Estamos trabajando con n-uplas, luego los vectores tendrán n componentes. Además tenemos dos parámetros libres que son a y b; por lo que necesitaremos dos vectores. Esta base es B = f(1; 1; :::; 1) ; (1; 2; 3; :::; n y las coordendas de v en esta base son (1; 3)B : 12. Determina una base para la suma y la intersección de los espacios F y G engendrados por f(1; ¡1; 1; 2); (0; 1; 3; 1)g; f(1; 0; 4; 3); (1; 1; 0; ¡1)g: Lo más difícil es calcular la intersección, por lo que vamos a empezar calculando la unión, que va a venir engendrada por los vectores l.i. del conjunto resultante de juntar los dos vectores. Calculemos el determinante ¯ ¯ ¯ 1 0 1 1 ¯¯ ¯ ¯ ¡1 1 0 1 ¯ ¯ ¯ = 0: ¯ 1 3 4 0 ¯¯ ¯ ¯ 2 1 3 ¡1 ¯ Tomemos ahora el menor formado por las columnas 1,2,4 y las filas 1,2,3 y calculemos su determinante ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 0 1 ¯ ¯ ¯ ¡1 1 1 ¯ = ¡7 ¯ ¯ ¯ 1 3 0¯ luego la dimensión de la unión es 3, por lo que la dimensión de la intersección debe ser uno. Para calcular la intersección, lo más cómodo es calcular las ecuaciones paramétricas de los subespacios y buscar así su intersección. Si hacemos esto tenemos que resolver el sistema 0 10 1 0 1 1 0 ¡1 ¡1 a 0 B ¡1 1 0 CB b C B 0 C ¡1 B CB C = B C @ 1 3 ¡4 0 A @ c A @ 0 A 2 1 ¡3 +1 d 0 cuya solución es (1; 1; 1; 0) : Si sustituimos estos valores en las ecuaciones paramétricas de G; tenemos que ~x = (1; 0; 4; 3) 13. Sea P = f1; sen2 x; cos2 x; sen 2x; cos 2xg. (a) Estudia la dependencia e independencia lineal de P: 6

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Capítulo 1: Espacios vectoriales.

Si calculamos el wronskiano directamente, es difícil resolver un determinante tan grande, por lo que vamos a buscar alguna relación directamente. Sabemos que sin2 x = 1 ¡ cos2 x; 2x y que cos2 x = 1+cos . Formemos ahora el wronskiano con los restantes. 2 ¯ ¯ ¯ 1 sin 2x ¯ ¯ ¯ cos 2x ¯ ¯ ¯ 2 cos 2x ¡ ¢ ¡2 sin 2x ¯¯ ¯ ¯ ¯ W (x) = ¯ 0 2 cos 2x ¡2 sin 2x ¯ = ¯ = ¡8 cos2 x + sin2 x = ¡8 ¯ ¡4 sin 2x ¡4 cos 2x ¯ 0 ¡4 cos 2x ¡4 cos 2x ¯

Da una base del subespacio L(P ). Como hemos visto en el apartado anterior, una base de L (P ) esta compuesta por B = f1; sin 2x; cos 2xg ; (c) Calcula, respecto de la base encontrada en (b), las coordenadas de: f(x) = cos 2x + sen 2x; En esta base las coordenadas de este vector son (0; 1; 1) 14. Demuestra que R 3 es suma directa de los siguientes subespacios vectoriales: (a) W1 = f(x; y; z) 2 R3 : x + y + z = 0g; W2 = f(t; 2t; 3t) 2 R3 : t 2 Rg: El primer subespacio es un plano y el segundo una recta, por lo que sus dimensiones son 2 y 1. Si probamos que solo se intersectan en el cero, formaran suma directa. Como el vector director de la recta es v = (1; 2; 3) y este no pertenece al plano, forman suma directa. (b) U1 = f(x; y; z) 2 R 3 : x = y = zg; U2 = f(0; y; z) 2 R3 : y; z 2 Rg: En este caso U1 es una recta y U2 un plano. Como el vector director de la recta no pertenece al plano forman suma directa. (c) V1 = f(x; x; 0) 2 R3 : x 2 Rg; V2 = f(0; y; y) 2 R3 : y 2 Rg V3 = f(z; z; z) 2 R3 : z 2 Rg: Estas son tres rectas cuyos vectores directores son v1 = (1; 1; 0) ; v2 = (0; 1; 1) ; v3 = (1; 1; 1) : Si son l.i. su intersección sera el cero y como su unión tiene dimensión 3 formaran suma directa. Tenemos pues que ¯ ¯ ¯ 1 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 ¯ = 1 ¢ 0 ¡ 1 ¢ (¡1) = 0; ¯ ¯ ¯ 0 1 1 ¯ (b)

luego son l.i. 15. Se considera en R 3 el subespacio W = f(x; y; z) : x + y ¡ z = 0; x + y + z = 0g. (a) Halla la ecuación de un suplementario de W . Lo mejor para hacer este ejercicio es buscar el vector director de esta recta. En este caso es muy sencillo ver que es el v = (¡1; 1; 0) y por tanto el espacio suplementario a este es ¼ : x ¡ y = 0: (b) Descompón según W y el suplementario hallado en (a); el vector (¡1; 3; 4) de R3 . Una base de R3 compuesta por vectores de estos subespacios es B = f(¡1; 1; 0) ; (1; 1; 0) ; (0; 0; 1) Para descomponer el vector tenemos que buscar los valores a; b; c tales que 0 1 0 1 0 1 0 1 ¡1 ¡1 1 0 @ 3 A = a @ 1 A + b@ 1 A + c @ 0 A; 4 0 0 1 que son a = 2; b = 1; c = 4 16. Consideramos en R3 los subespacios V1 = f(0; ¸ 2; ¸3) : ¸2; ¸3 2 Rg; V2 = Lf(1; 1; 1); (1; 2; 3)g. Determina una base de V1 + V 2; V1 \ V2 y obten las ecuaciones paramétricas e implícitas de 7

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Capítulo 1: Espacios vectoriales.

V1 + V2 y V 1 \ V2. Vamos a empezar buscando una base de V1 + V2: Para ello tomamos los vectores de una base de cada subespacio y calculamos el subespacio generado por estos vectores, para despues tomar una base suya. Una base de V1 es BV1 = f(0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g y por tanto V1 + V 2 = Lf(1; 1; 1); (1; 2; 3); (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g = f(1; 1; 1); (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g = R3: Como la dimension de la union es 3, la dimensión de la intersección debe ser uno. Para hallar esta base, solo tenemos que hallar un vector de V 2 que pertenezca a V1 : Si restamos los elementos de la base de V2 ; obtenemos el vector v = (0; 1; 2) 2 V1 por ser su primera componente cero. En cuanto a las ecuaciones cartesianas y paramétricas, ya sabemos que el primero no tiene. En cuanto al segundo, unas posibles ecuaciones cartesianas serían ½ x1 = 0 : 2x2 ¡ x3 = 0 17.

Consideramos los subespacios V y W contenidos en R3: 8 < x1 =¸ + ° V = x =¹ + ° ; W ´ x1 ¡ x2 + 2x3 = 0 : x2 =¸ + ¹ + 2° 3 (a)

Determina una base de V; V + W; V \ W . De las ecuaciones de V; se observa que x1 + x2 = x3 ; por lo que una posible base es BV = f(1; 0; 1) ; (0; 1; 1)g : Una base de W es B W = f(1; 1; 0) ; (1; ¡1; ¡1)g : Como V + W = L f(1; 0; 1) ; (0; 1; 1) ; (1; 1; 0) ; (1; ¡1; ¡1)g y ¯ ¯ ¯ 1 0 1¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 1 ¯ = ¡2; ¯ ¯ ¯ 1 1 0¯

entonces V + W = R3. En cuanto a V \ W; como sabemos las ecuaciones cartesianas de los dos subespacios, solo tenemos que resolver el sistema ½ x1 ¡ x2 + 2x3 = 0 x1 + x2 ¡ x3 = 0 Sumando estas ecuaciones llegamos al sistema equivalente ½ x1 ¡ x2 + 2x3 = 0 ; 2x1 + x3 = 0 por lo que el vector (1; x2; ¡2) satisface la segunda ecuación. Si introducimos este vector en la primera ecuación, llgamos a que v = (1; ¡3; ¡2) ; forma la base de V \ W: (b) Encuentra unas ecuaciones implícitas para V \ W . De el vector v sacamos las relaciones ½ 3x1 + x2 = 0 : 2x1 + x3 = 0 (c) Determina una base de un suplementario de V \ W. Una base de un suplementario estaría formada por dos vectores l.i. que fueran l.i. con v: En este caso, podrían ser e2 y e3. Otro ejemplo nos viene dado por el plano del que v es vector normal que tiene por ecuaciones x1 ¡ 3x2 ¡ 2x3 = 0; del que una posible base sería f(3; 1; 0) ; (0; 2; ¡3)g : 18. Los siguientes subconjuntos y familias de vectores de algunos espacios vectoriales son subespa8

Problemas de Algebra

Capítulo 1: Espacios vectoriales.

cios y bases de éstos. Verifica la verdad o falsedad de esta afirmación en los ejemplos siguientes: (a) f(a; b) 2 R2 : a = ¡1g ; base f(¡1; 3)g : Falso ya que no es un subespacio al no estar el cero. (b) fp(x) 2 P3 : (x ¡ 1) divide a p(x)g ; base fx ¡ 1; x2 ¡ 1g: Si es un subespacio ya que si tomamos dos polinomios que sean divisibles por (x ¡ 1) ; cualquier combinación lineal suya tambien lo es. Sin embargo no es una base ya que el polinomio (x ¡ 1)3 pertenece al subespacio, pero no se puede poner como c.l. de los elementos de la base. Como todos estos polinomios son de la forma p (x) = (x ¡ 1) (ax2 + bx + c) ; 2 un base del subespacio sería B = f(x ¡ 1) ; (x ¡ µ 1) x; (x ¶¡ 1) x g : ½µ ¶ µ ¶¾ 2 1 2 1 0 1 (c) com(B) = fA 2 M2£2=BA = ABg con B = ; base B = ; : 0 2 0 2 1 0 Para ver si es subespacio tomemos dos matrices C; D 2 com(B) y veamos que H = ¸C + ¹D 2 com(B): Para ello tenemos que ver que HB = BH: Calculando, HB = (¸C + ¹D) B = ¸C B + ¹DB = ¸BC + ¹BD = B (¸C + ¹D) = BH: En cuanto a que si esta es una base, formulemos µ ¶ las ecuaciones que cumplen estas matrices. x y Para ello tomamos una matriz A = y forcemos que pertenezca al subespacio, es z t decir que µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶ 2 1 x y x y 2 1 2x + z 2y + t 2x x + 2y = ) = 0 2 z t z t 0 2 2z 2t 2z z + 2t obteniendo las ecuaciónes 8 > 2x + z = 2x > ½ < 2y + t = x + 2y z=0 ) 2z = 2z x¡t = 0 > > : 2t = z + 2t ½µ ¶ µ ¶¾ ½µ ¶ µ ¶¾ 1 0 0 1 1 0 2 1 0 00 obteniendo la base B = ; ; o la base B = ; 0 1 0 0 0 1 0 2 pero nunca la base B: 19. Halla en cada uno de los ejemplos siguientes la suma y la intersección del par de subespacios dados y comprueba que se verifica la ecuación dim(V1 ) + dim(V2 ) = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 \ V2 ): µ ¶ µ ¶ 2 1 2 0 (a) V1 = com ; V2 = com : (Ver el ejercicio anterior). 0 2 0 2 Del ejercicio anterior ya sabemos que V1 tiene dimension 2. Como B2 = 2 ¢ I; y todas las matrices conmutan con la identidad, V2 = M2£2 (R) ; por lo que tiene dimensión 4. Además como V1 ½ V2 ) V1 + V2 = V2 ; y V1 \ V 2 = V1; por lo que se cumple la formula de las dimensiones. (b) V1 = fp(x) 2 P3 : (x + 1) divide a p(x)g; V2 = fp(x) 2 P3 : (x ¡ 1) divide a p(x)g: Ya sabemos que la dimensiones de V1 y V2 son 3, al ser sus bases B 1 = fx ¡ 1; (x ¡ 1) x; (x ¡ 1) x2 y B2 = fx + 1; (x + 1) x; (x + 1) x2g : Como x + 1 es l.i con los vectores de B1 ; ya que no es divisible por x ¡ 1; la base B V1©V2 = fx ¡ 1; x + 1; (x ¡ 1) x; (x ¡ 1) x2 g es un base de P3 (x) y tiene dimensión 4. Para construir la base de la intersección solo tenemos que ver que los polinomios de la intersección tiene que tener la forma p = (x + 1) (x ¡ 1) (ax + b) y por lo tanto tenemos la base B V1 \V2 = f(x ¡ 1) (x + 1) ; (x + 1) (x ¡ 1) xg : 9

Problemas de Algebra 20.

Capítulo 1: Espacios vectoriales.

Demuestra que el subespacio vectorial de las funciones pares y el de las impares son subespacios suplementarios del espacio vectorial de las funciones f : R ¡! R. Para esto solo tenemos que separa una función cualquiera en su parte par y en su parte impar mediante la expresión f (x) + f (¡x) f (x) ¡ f (¡x) f (x) = + 2 2 | {z } | {z } G(x)

H(x)

donde G (x) es par y H (x) es impar. 21. Sea P2(x) el espacio de los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales. Se consideran dos subconjuntos suyos, F = fp (x) 2 P2 (x) : p (x) = ax2 ¡ ax + 2a; a 2 Rg y G = fp (x) 2 P2 (x) : p (x) = (2® ¡ ¯) x2 + ®x ¡ 2¯; ®; ¯ 2 Rg: Se pide (a) Probar que F y G son subespacios vectoriales de P2 (x). Halla sus dimensiones. Vamos a probarlo para F: Tenemos que ver que 8f; g 2 F; 8¸; ¹ 2 R; ¸f + ¹g 2 F: Si hacemos la cuenta tenemos que ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¸f + ¹g = ¸a1 x2 ¡ x + 2 + ¹a2 x2 ¡ x + 2 = (¸a1 + ¹a2 ) x2 ¡ x + 2 = ¡ ¢ = ® x2 ¡ x + 2 por lo que es subespacio. Las dimensiones serían 1 y 2; al tener respectivamente uno y dos parametros libres. Las bases son © ª © ª F = x2 ¡ x + 2 ; G = 2x2 + x; x2 + 2 : (b) Determina F \ G y F + G. Vamos a calcular primero la suma. Para ello formamos el wronskiano con todas los vectores de las bases ¯ 2 ¯ ¯ x ¡ x + 2 2x2 + x x2 + 2 ¯ ¯ ¯ ¯ = 2x2 ¡ 4 2x + 1 2x w (x) = ¯¯ 2x ¡ 1 ¯ ¯2 ¯ 2 2 por lo que son l.i. luego F + G = P2 (x) ; F \ G = 0: 22. Halla la matriz de paso de la base B = f(1; 0); (0; 1)g a la base B 0 = f(2; 3); (¡3; ¡4)g y la matriz de paso de B 0 a B. Si el vector ~x tiene por coordenadas (1; 1)B en la base B, ¿Qué coordenadas tiene en la base B 0 ? Si el vector ~y tiene por coordenadas (5; 0)B0 , en la base B 0 , ¿qué coordenadas tiene en la base B?. Para calcular la matriz de paso de B 0 a B tenemos que poner los vectores de la base B 0 en forma de vectores columna, obteniendo µ ¶ 2 ¡3 MB0B = ; 3 ¡4 siendo la matriz de paso de B a B 0 la inversa de MB0 B; es decir µ ¶¡1 µ ¶ 2 ¡3 ¡4 3 MBB0 = = ; 3 ¡4 ¡3 2

0 siendo ahora las coordenadas µ de ¶ ~x enµB ¶µ ¶ µ ¶ 1 ¡4 3 1 ¡1 MBB0 = = 1 B ¡3 2 1 B ¡1 B0

10

Problemas de Algebra

23.

Capítulo 1: Espacios vectoriales.

siendo las cordenadas de ~y en B µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶ 5 2 ¡3 5 10 MB0 B = = 0 B0 3 ¡4 0 B0 15 B

Halla la matriz de paso de la base B = f1; xg de P1(R) a la base B 0 = f2 + 3x; ¡4 + 5xg. El polinomio p(x) = 2 ¡ x, ¿qué coordenadas tiene en la base B 0 ?. El polinomio de coordenadas (5; 5)B0 en la base B 0, ¿qué coordenadas tiene en la base B?. Analogamente al ejercicio anterior, tenemos que µ ¶ µ ¶¡1 µ ¶ 1 2 ¡4 2 ¡4 5 4 ¡1 M B0 B = ; MBB0 = (MB0 B) = = 3 5 3 5 22 ¡3 2 por lo que las coordenadas de p (x) en B 0 son µ ¶ µ ¶µ ¶ µ 3 ¶ 1 2 5 4 2 11 MBB0 = = ; 4 ¡1 B 22 ¡3 2 ¡1 B ¡ 11 B0

24.

y las coordendas de (5; 5)B0 en B; µ ¶µ ¶ µ ¶ 2 ¡4 5 ¡10 = 3 5 5 B0 40 B

En el espacio vectorial de matrices 2 £ 2 con coeficientes reales, M2£2(R), halla las coordenadas de laµmatriz A¶en la base½µ B siendo ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶¾ 2 ¡1 1 1 2 0 0 1 0 ¡2 A= y B= ; ; ; 4 6 ¡1 0 3 1 ¡1 0 0 4 Como B es una base, deben existir a; b; c; d 2 R tales que µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 2 ¡1 1 1 2 0 0 1 0 ¡2 =a +b +c +d 4 6 ¡1 0 3 1 ¡1 0 0 4 y ordenando esto en forma de sistema 8 8 > a + 2b = 2 > a + 2b = 2 > > < a + c ¡ 2d = ¡1 < a + c ¡ 2d = ¡1 2e+3e ) ¡a + 3b ¡ c = 4 3b ¡ 2d = 3 > > > > : b + 4d = 6 : b + 4d = 6 resolviendo las dos últimas filas, tenemos que b = y c = ¡1 + 2d ¡ a = 18 : 7

11

12 ;d 7

=

15 14

por lo que como a = 2¡2b = ¡ 10 7

Problemas de Algebra

Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos.

Facultad de Ciencias Químicas Departamento de Matemáticas Álgebra

Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos. Determina una base ortonormal para el subespacio de R3 generado por: (a) u1 = (1; ¡1; 0); u2 = (5; 3; ¡2); u3 = (1; ¡1; 0): Como es obvio, u1 = u3; luego el subespacio U; vendrá generado por los vectores u1 y u2 es decir ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 5 x ¯ ¯ ¯ y ¯¯ = 0 ) U : x + y + 4z = 0 U : ¯ ¡1 3 ¯ 0 ¡2 z ¯ Tenemos ahora que tomar dos vectores l.i. y ortogonales. Para ello fijamos la x y la y tomando el vector v1 = (1; ¡1; 0) que está en el subespacio. Un vector ortoganal a este es v 2 = (1; 1; z) y para que pertenezca a U; debemos fijar z = ¡ 12 o lo que es lo mismo v2 = (2; 2; ¡1) : Ahora un base ortonormal de este subespacio sería ½ ¾ 1 1 B U = p (1; ¡1; 0) ; (2; 2; ¡1) : 3 2 (b) v1 = (1; 1; 1); v2 = (1; 0; 1); v 3 = (3; 2; 3): El determinante de estos vectores vale ¯ ¯ ¯ 1 1 3¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 2 ¯ = 0; ¯ ¯ ¯ 1 1 3¯ luego son l.d. Vamos ahora a ortogonalizar estos vectores mediante el metodo de GramSchmidt (c) w1 = (3; ¡1; 2); w2 = (1; 0; 2); w3 = (¡2; 1; 0): Encuentra además las ecuaciones cartesianas de cada subespacio y halla su suplementario ortogonal. 2. En R4 con su producto escalar usual se pide (a) Determina un vector unitario que sea ortogonal a los vectores (1; 2; 1; 0) ; (0; ¡1; 1; 0) y (1; 1; ¡2; 1) : (b) Obtén por el método de Gram-Schmidt una base de vectores ortonormales para V = L f(1; 2; ¡1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (1; 0; ¡2; 1)g : 1.

3.

En el espacio vectorial E = C[¡1; 1], con el producto escalar Z 1 < f; g >C = f(x)g(x)dx; ¡1

se consideran los vectores u1(x) = 1; u2 (x) = x; u3(x) = 1+ x: Calcula el ángulo que forman entre sí. Como sabemos, el angulo entre dos vectores se define como hu; vi cos µ = ; juj jvj 12

Problemas de Algebra

Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos.

luego necesitamos conocer los productos cruzados y las normas de estos vectores, obteniendo (a) hu1; u1i Z 1

hu1; u1i =

(b)

hu1; u2i

hu1;u2 i = (c)

(d)

(e)

(f)

hu1; u3i hu1; u3i = hu2; u2i =

Z

hu2;u3 i =

Z

hu2; u3i

tenemos que

4.

Z

1

xdx = 0: ¡1 1

2 x2dx = : 3 ¡1 1

2 x2dx = : 3 ¡1 1

x3 dx = 0:

¡1 1

2 x4dx = : 5 ¡1 al angulo entre ui y uj ; entonces como hu ; u i cos µi;j = i j jui j jujj hu3; u3i =

Por lo que si llamamos µ i;j

Z

Z

hu2; u2i

hu3; u3i

1dx = 2:

¡1

2 1p cos µ1;2 = 0; cos µ 1;3 = p 3q = 5; cos µ 2;3 = 0: 3 2 25

Se considera en el espacio P3 (x) el subconjunto de los cuatro primeros polinomios de Chebychev, T = f1; x; 2x2 ¡ 1; 4x3 ¡ 3xg: Demuestra: (a) Los polinomios son linealmente independientes. Para ver esto formamos el wronskiano de esta base obteniendo ¯ ¯ ¯ 1 x 2x2 ¡ 1 4x3 ¡ 3x ¯ ¯ ¯ 2¡3 ¯ ¯ 0 1 4x 12x ¯ 6= 0 w (x) = ¯¯ ¯ 0 0 4 24x ¯ ¯ ¯ 0 0 0 ¯ 24 luego son l.i. (b) Los polinomios son ortogonales con el polinomio 1 respecto al producto escalar ponderado Z 1 f(x)g(x) < f; g >T = p dx: 1 ¡ x2 ¡1 Para ver esto tenemos que resolver las integrales siguientes (I) < 1; x > T

Z

1

½

t = 1 ¡ x2 dt = ¡2xdx

¾

p

x2

dx =

13

1 =¡ 2

Z

0

dt p : 1¡ t ¡1 0 de aquí no podemos deducir que la integral sea cero porque tenemos una discontinuidad por lo que < 1; x >T =

x

Problemas de Algebra

Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos.

resolvemos la integral indefinida que es Z p p 1 dt p = ¡ t + C = 1 ¡ x2 + C ¡ 2 t y ahora hp i1 1 ¡ x2 = 0 ¡ 0 = 0: ¡1

(II) < 1; 2x2 ¡ 1 >T

< 1; 2x 2 ¡ 1 >T = y la indefinida es

Z

2x2 ¡ 1 p dx = 2 1 ¡ x2

y como Z ½ u = x2 x2 p dx = du = 2xdx 1 ¡ x2

Z

p

Z

1

¡1

x2 1 ¡ x2

2x 2 ¡ 1 p dx 1 ¡ x2 dx ¡

1 dv = p 1¡ dx x2 v = arcsin x

Z

¾

p

1 1 ¡ x2

2

dx

= x arcsin x ¡ 2

Z

arcsin x

Demuestra que si 2 vectores son ortogonales, son linealmente independientes. Supongamos que no lo son. Entonces existen a; b 2 R; distintas de ceros, tales que au+bv = 0: Multiplicando esta ecuación por u; tenemos que a hu; vi + b hv; vi = 0; pero los vectores son ortogonales y distintos de cero, luego b hv; vi = 0 ) b = 0 por tanto a = 0; lo que nos lleva a contradicción. 6. Aplica el método de ortogonalización de Gram-Schmidt a las funciones un = xn del espacio vectorial E = P (x), con el producto escalar < f; g >C , y normaliza los polinomios obtenidos. (Para n = 0; 1; 2; 3 y x 2 (¡1; 1)). 7. Demuestra que las funciones fukg son ortonormales dos a dos con el producto escalar < f; g >C en [0; 1] siendo p uk = 2 sin (k¼t) : 8. Sea H el subespacio de R4 definido por las ecuaciones: 8 < x + 2y ¡ z ¡ 2t = 0 2x + y ¡ 2z ¡ t = 0 : 2x + 7y ¡ 2z ¡ 7t = 0 (a) Determina las ecuaciones paramétricas de H, y una base ortonormal suya. (b) Calcula la proyección ortogonal sobre H del vector u = (2; ¡2; 3; ¡3). (c) Determina una base ortonormal de R 4 que contenga a la base de H hallada anteriormente. (d) Repite lo mismo en R 3 con el sistema ½ 2x + y = 0 y u = (1; 1; 1): z=0 5.

Dado el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 1 y el producto escalar < f; g >C en [¡1; 1] ; se pide: (a) Proyección ortogonal del polinomio p(x) = x + 3 sobre el subespacio engendrado por x + 2. (b) Calcula una base ortonormal a partir de la base f1; xg. 10. Sea S2 el subespacio vectorial de las matrices simétricas de orden dos con la base " y la matriz 9.

14

Problemas de Algebra

Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos.

A; donde "=

½µ

0 1 ¶ µ ¶ µ ¶¾ 1 0 1 1 0 0 1 0 0 ; ; ; A = @ 0 2 1 A: 0 0 1 0 0 1 1 1 2

Definimos el producto escalar hu; vi como µ hu; vi = ut Av ¶ para todo u; v 2 S2: Se pide 1 ¡1 (a) Determina el módulo de la matriz u = : Determina el ángulo que forman las ¡1 2 µ ¶ µ ¶ 1 0 0 1 matrices v = yw= : 0 ¡1µ ¶1 0 1 ¡1 En esta base la matriz se escribe como (1; ¡1; 2) ; por lo que ¡1 2 0 10 1 0 1 1 0 1 1 3 kuk2 = hu; ui = (1; ¡1; 2) @ 0 2 1 A @ ¡1 A = (1; ¡1; 2) @ 0 A = 11 1 1 2 2 4 En cuanto al ángulo, tenemos que 0 10 1 0 1 1 0 1 0 0 kvk2 = hv; vi = (1; 0; ¡1) @ 0 2 1 A @ 1 A = (1; 0; ¡1) @ 2 A = ¡1 1 1 2 0 1 µ ¶ 1 0 (b) Halla el subespacio suplementario ortogonal del subespacio S2 generado por y 0 0 µ ¶ 0 1 : 1 0 11. Utilizando el producto escalar usual de R 3 y R 4, encuentra el complemento ortogonal de W , siendo: ½ x1 ¡ x2 + x3 + x4 = 0 a) W = L(u; v) con u = (1; 0; 1); v = (2; ¡1; 1); b) W ´ 2x1 ¡ x2 = 0

En el espacio vectorial E = C[¡1; 1], con el producto escalar < f; g >C , se considera la función f (x) = ex. Busca el polinomio p(x) de grado menor o igual que dos más próximo a f y Calcula kf (x) ¡ p (x)kC . 13. Sea H el subespacio de R3 definido por la ecuación cartesiana x + 2y ¡ z = 0: (a) Determina las ecuaciones paramétricas de H y una base ortonormal suya. (b) Calcula el vector de H más próximo a u = (1; 1; 1) y la distancia de u a H. (c) Encuentra una base ortonormal de R3que contenga a la base hallada anteriormente. 14. Aplica el método de ortogonalización de Gram-Schmidt a las funciones f1 = x; f2 = x2 y f3 = x3del espacioZvectorial E = fv : [0; 1] ! R; v es derivable; v(0) = 0g con el producto 12.

1

escalar < f; g >=

f 0 (x)g 0 (x)dx.

0

15.

Calcula los coeficientes de Fourier 1 de la función f(x) = e¡x y la norma de la mejor aproximación de f (x)como combinación lineal de las funciones obtenidas anteriormente.

1

Los coeficientes de Fourier son las coordenadas de la proyección de la función sobre el subespacio considerado

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Problemas de Algebra

Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos.

Prueba que para todo número real µ, la transformación T : R3 ¡! R3 definida por 0 1 0 1 x sen µ cos µ 0 T (x) = A @ y A ; donde A = @ ¡ cos µ sen µ 0 A z 0 0 1 es una isometría. 17. ¤ Dado el subespacio S, generado por los vectores: f(1; 0; 0); (¡1; 1; 0); (2; 1; 0)g, calcula la proyección ortogonal del vector v = (1; 1; 1) sobre S. 18. Sean a y b dos vectores ortogonales del plano distintos de cero. Entonces para todo vector c del plano existen ® y ¯ tal que c = ®a +¯b: Usa el producto interno para encontrar ® y ¯ en función de a y b. 19. Dado P2 (R) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y el producto escalar < f; g >C en [¡1; 1] ; se pide: (a) Comprueba que se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz para dos polinomios arbitrarios de orden dos. (Toma dos cualesquiera y haz las cuentas). (b) Demuestra que µZ 1 ¶ 12 Z 1 p (x) dx · 2 (p (x))2 dx 16.

¡1

¡1

para todo polinomio p (x) 2 P2 (R) : 20. Sea R2+¡ el espacio formado por los vectores de R 2 con la métrica (no es un producto escalar) hu; vi = ut ¢ A ¢ v siendo A la matriz µ ¶ 1 0 A= : 0 ¡1 Comprueba, encontrando un ejemplo, que se verifican las siguientes propiedades. (I) (II) (III) (IV)

Existen vectores con hu; ui < 0 (Vectores temporales). Existen vectores con hu; ui = 0 (Vectores luz). Existen vectores con hu; ui > 0 (Vectores espaciales). Comprueba con un ejemplo que para vectores de los apartados a y b la desigualdad de Cauchy-Schwartz toma la otra dirección, es decir que

kuk ¢ kvk · jhu ¢ vij Nota: Este espacio es una versión dos-dimensional del espacio cuatridimensional de Minkowski, que es donde trabaja la teoría de la relatividad especial de Einstein. Este es el ejemplo más sencillo de espacio vectorial no euclídeo.

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Problemas de Algebra

Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices.

Facultad de Ciencias Químicas Departamento de Matemáticas Álgebra

Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices. 1.

¤ Dada la aplicación lineal: T : R4 ! R2 T (x; y; z; w) = (x ¡ 2z; 2y + 3w) Encuentra su representación matricial respecto a las bases canónicas. (b) Halla su núcleo y su imagen. (c) Calcula la imagen por T de un vector ortogonal a v = (1; 1; 1; 1). (d) Halla la matriz de la aplicación con respecto a la base canónica en R 4 y la base B = f(1; 3); (2; 1)g en R2. Estudia si la aplicación lineal f : R2 ¡! R2 definida por µ ¶ 3 4 4 3 f (x; y) = x + y; x ¡ y 5 5 5 5 es una transformación ortogonal. Sea P2 (R) el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que dos y f : R3 ! P2 la aplicación lineal que cumple: f(1; 1; 1) = 2¯ + ®x; f(0; ¡1; 1) = ®x + ¯x2; f (0; 0; 1) = ¯ + (® ¡ 1)x donde ® y ¯ son números reales. Se pide: (a) Halla ® y ¯ para que f no sea inyectiva. (b) Halla ker f e Im f en función de ® y ¯. 3 (c) Sea el subespacio U = f(a; b; c) 2 R : a = bg. Halla el subespacio f(U) y su dimensión dependiendo de los valores de ® y ¯. Estudia cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales entre los espacios vectoriales dados: µ ¶ ¡1 (a) MB : M2£2 (R) ¡! M2£1(R) dada por MB(A) = AB con B = : 1 (b) MB : M2£2 (R) ¡! M2£2(R) dada por SB (A) = A + B con B 2 M2£2(R) fija: (c) A : Pn(x) ¡! Pn (x) dada por A(p(x)) = p(x + 1): (d) A : Pn(x) ¡! Pn (x) dada por A(p(x)) = p(x) + 1: Sea f : R3 ¡! R3 dada por f(x1 ; x2 ; x3) = (x1 ¡ x2 ; x1; x1 ¡ x3). Encuentra la matriz de f respecto a la base canónica. Halla la imagen mediante f de los siguientes subespacios vectoriales de R3: (a) V1 = f(x1 ; x2 ; x3) 2 R 3 : x1 ¡ x2 + x3 = 0g: (b) V2 = f(0; x2; x3 ) 2 R 3 : x2; x3 2 Rg: (c) V3 = f(x1 ; x2 ; x3) = t(¡1; 1; 1) : t 2 R3 g: Sabiendo que la aplicación f transforma los vectores u1 = (1; 0; 0), u2 = (1; 1; 0), u3 = (1; 1; 1) de R3 en los vectores w1 = (2; 1; 2), w2 = (3; 1; 2), w3 = (6; 2; 3) respectivamente, encuentra la matriz de f en las siguientes bases: (a) La base canónica de R3. (b) La base fu1; u2 ; u3 g. (a)

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15. 16.

Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices.

Halla las ecuaciones del núcleo y de la imagen de las siguientes aplicaciones lineales, indicando si son inyectivas, suprayectivas o biyectivas: µ ¶ ¡1 (a) MB : M2£2 (R) ¡! M2£1(R) dada por MB(A) = AB con B = : 1 (b) f : P3(x) ¡! P 3(x) tal que; f(1) = x2 + 1; f(x) = x + 2; f (x2) = x3 ¡ x; f(x3 ) = 1: (c) La aplicación derivación de Pn(x) en Pn¡1(x): Sea V un espacio vectorial real y W1 y W2 dos subespacios vectoriales de V y f una aplicación de W1 £ W2 en V definida por: f(x; y) = x + y. (a) Demuestra que f es una aplicación lineal. (b) Demuestra que ker f = f(x; ¡x)=x 2 W1 \ W2g: (c) Demuestra que ker f es isomorfo a W1 \ W2. Demuestra que si f es una aplicación lineal de V en V 0 , y g es una aplicación lineal de V 0 en V 00 , entonces ker(g ± f ) = f ¡1(ker g) Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, f y g endomorfismos de V . Demuestra que: ker(g ± f) = f ¡1(ker g \ Im f): Demuestra que si f es un endomorfismo de un espacio vectorial V , entonces f 2 = 0 si, y sólo si, f(V ) ½ ker f. Sea f : V ¡! V un endomorfismo. Demuestra que si f 2 = f entonces se verifica que V = ker f © Im f: Demuestra que si un endomorfismo de V es idempotente, es decir, f 2 = f, entonces se verifica: (a) x 2 Im f , x = f(x): (b) 1 ¡ f es idempotente. (c) ker(1 ¡ f ) = Im f: (d) ker f = Im (1 ¡ f): Sea f un endomorfismo del espacio vectorial V . Demuestra que: (a) Si dim V = 2n + 1; entonces ker f 6= Im f: (b) Si dim V = 2n; entonces ker f = Im f, si, y solo si, f 2 = f y dim Im f = n. En R3 se considera la base B = fu1 ; u2; u3g. Clasifica el endomorfismo f dado por f(u1) = au1 + u2 + u3 ; f(u2) = u1 + u2 + u3 ; f(u3 ) = u1 + bu2 + u3: Se consideran 3 espacios vectoriales A; B; C; cuyas bases respectivas son BA = fu1 ; u2; u3g; BB = fb1; b2g; B C = fv 1; v2 ; v3 g y dos homomorfismos dados respectivamente por f : A ¡! B y g : B ¡! C u1 ¡! b1 ¡ b2 b1 ¡! v 1 ¡ v 2 + v 3 u2 ¡! b2 b2 ¡! v 1 ¡ v 2 u3 ¡! 2b2 Se pide: (a) Matriz del homomorfismo h = g ± f : A ¡! C . (b) Encontrar el conjunto h¡1(1; 1; 1), donde (1; 1; 1) 2 C. (c) Núcleo de h.

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Problemas de Algebra (d)

17.

Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices.

Imagen del subespacio intersección de los subespacios siguientes: 8 < x1 = 2® + ¯ V1 ´ x = ® ¡ ¯ ; V2 ´ x1 ¡ x2 + 2x3 = 0 : x2 = ¡® 3

Determina en la base canónica de R3 la matriz del endomorfismo f definido por las siguientes condiciones: (a) La aplicación f , restringida al plano que tiene por ecuación x + y + z = 0, es una homotecia de razón 3. (b) La aplicación f transforma en sí misma la recta de ecuaciones ½ 2x + 4y + 3z = 0 : x + 2y + z = 0

Demuestra que si f es una aplicacion ortogonal, entonces es un isomorfismo. 19. En R 3 se considera la base B = fu1; u2; u3g y el endomorfismo f definido respecto a la base B por: f(x1 u1 + x2u2 + x3u3) = (x2 + x3)u1 + (x1 ¡ x2)u2 + (x2 + x1 )u3: Se pide: (a) Expresión analítica de f respecto a la base B. (b) Ecuaciones de ker f y de Im f: (c) Determina una base de ker f y ampliarla a una base B1 de R3. (d) Halla la expresión analítica de f respecto de la base B1 : 20. Sea V un espacio vectorial sobre R de dimensión 3. Para cada a 2 R, se considera el endomorfismo fa : V ¡! V cuya matriz respecto a una base fija B de V es, 0 1 a 0 ¡1 A=@ 0 1 1 A a 1 a 18.

Estudia los endomorfismos fa según los valores de a: 21. Consideremos la base de R3, B = fu1 = (1; 0; 0); u2 = (¡1; 3; 5); u3 = (¡2; 1; 2)g y sea T : R3 ¡! R3 la aplicación lineal tal que T (u1) = 2u1 + u2; T (u2) = u1 ¡ u2 + u3; T (u3) = 4u1 ¡ u2 + 2u3 :

Determina la matriz de la transformación respecto de la base canónica y las ecuaciones cartesianas del ker T referida a la base canónica y a la base B = fu1; u2; u3g: (b) Las ecuaciones cartesianas del subespacio L engendrado por u1 y u2 y la proyección ortogonal de u3 sobre L. 22. Hallar una aplicación lineal f : R 3 ¡! R3 tal que: (a) f(1; 0; 0) sea proporcional a (0; 0; 1). (b) f 2 = f (c) La ecuación de ker f es x + z = 0 23. Sea f : R4 ¡! R 4 el homomorfismo definido por f (1; 1; 1; 1) = (0; 0; 1); f(1; 0; 1; 0) = (1; 1; ¡1); (a)

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Problemas de Algebra

Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices.

f (1; 1; 1; 0) = (0; 0; ¡1); f (¡1; ¡2; 0; 0) = (1; 1; 1): La matriz de f respecto de las bases canónicas. (b) Dimensión y ecuaciones cartesianas de ker f e Im f: Se considera el homorfismo f : R3 ! R2 que hace corresponder a los vectores (1,0,1), (0,1,0), (,1,1,0) los vectroes (1; 0); (0; 2); (1; 1) respectivamente. Se pide: (a) Matriz asociada a f en las bases canónicas de R3 y R 2. (b) Subespacio transformado de V ´ 5x1 ¡ 3x2 ¡ x3. (c) Ecuación de f (V ) en la base B ´ f(1; 1); (2; 0)g: En un espacio vectorial V de dimensión n se considera un endomorfismo f tal que f n = 0 y f n¡1 6= 0: Sea v tal que f n¡1 (v) 6= 0 (a) Demuestra que v,f (v) ; f 2 (v) ; :::; f n¡1 (v) es una base de V . (b) Halla la matriz de f respecto dicha base. Sea P el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes reales . Se considera la aplicación u : Pn¡1 ! Pn tal que u (P ) = Q con Q definido por ³ 2 ´ x2 d ¡x Q (x) = e e P (x) ; x 2 R: dx (a) Demuestra que la aplicación es lineal. (b) Halla el núcleo de u: (c) Halla la dimesión de la imagen de u. (d) Determina la matriz de u en las bases canónicas. Sea la aplicación lineal f : R3 ! R3definida por f (x; y; z) = (x + z; y + z) : 3 2 Determina µ las bases B ¶1 y B 2 de R y R respectivamente, tales que la matriz de f respecto a B 1 1 0 0 y B 2 sea : 0 1 0 Sea la matriz de orden n con coeficientes en R; 0 1 0 0 ¢¢¢ 0 1 B 0 0 ¢¢¢ 1 0 C B C ... C: A=B B C @ 0 1 ¢¢¢ 0 0 A 1 0 ¢¢¢ 0 0 Halla Ap pasando a endomorfismos de Rn ; (p 2 Z) : Se considera el homorfismo f : P3 ! M2£2 (R) definido por µ ¶ ¡ 3 ¢ a b +d 2 f ax + bx + cx + d = : c+d 0 (a) Halla la matriz del homorfismo en las bases canónicas. (b) Da las ecuaciones implícitas del subespacio imagen. (c) Calcula una base del núcleo. Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que uno, con las operaciones usuales, y f el endomorfismo de V que verifica las condiciones siguientes: – f (1 + x) = 2 ¡ x. – El núcleo de f coincide con la imagen. (a) 24.

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28.

29.

30.

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Problemas de Algebra

Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices.

Se pide: (a) Matriz del endomorfismo f en la base B = f1; xg. (b) Calcula una base de f(W ), siendo W el subespacio de ecuación x1 + 2x2 = 0: (c) Imagen inversa del conjunto f(1; 1); (0; 0)g. 31. Halla una aplicación lineal f : R 3 ¡! R 3 tal que: (a) f(1; 0; 0) sea proporcional a (0; 0; 1). (b) f 2 = f: (c) La ecuación de ker f es x + z = 0: 32. Sean f; g : R 3 ¡! R 3 tales que p f(e1 ¡ 3e 3) = ¡e3 ; g(e1) = e 1; f(e ) = e ; g(e2) = ¡e2; 2 p2 f( 3e 1 + e3 ) = 2e 1; g(e3) = e 3: (a) Estudia si f y g son ortogonales. (b) Halla h = f ± g: 33. Sea f : R ! R la aplicación lineal cuya matriz respecto a la base canónica viene dada por à p ! 2 ¡a 2 p A= 2 a 2 con a 2 R . Determina para que valores de a la matriz A es ortogonal.

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Problemas de Algebra

Capítulo 4: Valores y vectores propios.

Facultad de Ciencias Químicas Departamento de Matemáticas Álgebra

Capítulo 4: Valores y vectores propios. Halla los valores propios y los vectores propios de las aplicaciones lineales de Rn en Rn que están dadas por las siguientes matrices: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ 4 6 5 ¡1 2 ¡1 ¡1 0 a= ; b= ; c= ; d= ¡3 ¡5 4 1 3 1 0 ¡1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 ¡1 2 2 ¡1 2 ¡1 1 0 ¡1 2 e = @ 1 ¡2 ¡1 A ; f = @ 0 ¡2 1 A ; g = @ 0 1 0 A ; h = @ 0 ¡1 0 ¡2 3 1 ¡1 0 0 ¡1 1 0 ¡1 1 ¡3 En los casos que sea posible halla una base de Rn formada por vectores propios, y la matriz en esa base, de las aplicaciones dadas en el ejercicio anterior. 2. Señala cuáles de las siguientes matrices pueden reducirse a una matriz diagonal y encuenta una matriz de cambio de base P : 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ¡1 3 ¡1 4 ¡1 ¡1 B 0 0 1 0C C @ A @ a = ¡3 5 ¡1 ; b = 1 2 ¡1 A ; c = B @ 0 1 0 0 A: ¡3 3 1 1 ¡1 2 1 0 0 0 1.

3. 4.

5.

6. 7.

8. 9.

Busca los valores y vectores propios de la aplicación derivación D, en P3(x). Determina para que valores a; b 2 R la matriz A es diagonalizable en R siendo A 0 1 a b 0 A = @ 0 ¡1 0 A : 0 0 1 Estudia para que valores reales de ® la matriz A es diagonalizable y en los casos en que lo sea, encuentra su forma diagonal , J; y una matriz P tal que P ¡1AP = J; siendo 0 1 1 ¡2 ¡2 ¡ ® A: A=@ 0 1 ® 0 0 1 Demuestra que si x es vector propio de f para el valor propio ¸, entonces x es vector propio de f n para el valor propio ¸n ; n 2 N. ¿Qué ocurre si además f es invertible?. En R3 , consideramos el endomorfismo f dado por f(x; y; z) = (2x + y + z; 2x + 3y + 2z; x + y + 2z) y sea A la matriz de f respecto de la base canónica. Determina: vectores propios, valores propios, diagonalización y matriz de paso. En R3, consideramos la aplicación f (x; y; z) = (3x+ y; ¡x+ y; 0). Halla los valores y vectores propios. ¿Es diagonalizable?. Sea E un espacio vectorial sobre R y f un endomorfismo de E tal que f 2 = f . Demuestra que: (a) E = Im f © ker f: (b) f es diagonalizable. 22

Problemas de Algebra

Capítulo 4: Valores y vectores propios.

Si dim(E) = 3 y B = fu; v; wg es una base de E tal que f(u) = u ¡ w; f(v) = v ¡ 2w; f (w) = 0 0 determinar una base B de E respecto de la cual la matriz de f sea diagonal. 11. Estudia si es diagonalizable el endomorfismo de R2 definido por f(a; b) = (a + b; b): 12. Sea f : R3 ¡! R3 el endomorfismo cuya expresión analítica respecto de la base B = fe1; e2 ; e3g es 0 1 0 10 1 y1 1 1 ¡1 x1 @ y2 A = @ 0 2 ¡1 A @ x2 A : y3 0 1 0 x3 (a) Calcula los valores propios y sus subespacios propios asociados. (b) ¿Se puede encontrar otra base B 0 , tal que respecto a ella sea f diagonalizable?. 13. Sea f : R3 ¡! R 3 el endomorfismo definido por: f (x; y; z) = (x + 2y ¡ z; 2y + z; 2y + 3z): 10.

Halla la matriz de f respecto de la base B = fe1; e2; e 3g. (b) Calcula los valores propios, los subespacios propios y comprueba que el subespacio suma de estos subespacios es suma directa. 14. Sea f : R3 ¡! R3 el endomorfismo cuya expresión analítica respecto de la base B = fe1; e2 ; e3g es 0 1 0 10 1 y1 1 2 2 x1 @ y2 A = @ 1 2 ¡1 A @ x2 A y3 ¡1 1 4 x3 Encuentra una nueva base B 0 tal que respecto de ella la expresión analítica de f venga dada por una matriz diagonal. 15. Eleva A a la potencia enesima siendo 0 1 a b b A = @ b a b A: b b a (a)

16. 17. 18. 19. 20.

Demuestra que una matriz A y su traspuesta At tienen el mismo polinomio característico. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 con coeficientes en el cuerpo C de los números complejos. Halla la condición necesaria y suficiente para que los valores propios sean iguales. Halla todas las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales que tengan por valores propios 1 y ¡1. Sea V un espacio vectorial de dimensión n y sea V = W1 ©W2 donde dim(W1 ) = m. Encuentra el polinomio característico de la proyección ¼ 1 de V sobre W1. En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que tres se define la aplicación f dada por f (p(x)) = p(x) + p0(x): (a) Demuestra que f es un endomorfismo. (b) Halla la matriz A asociada al endomorfismo f respecto de la base canónica. 0 1 0 0 0 1 B 0 0 1 0C C (c) Sea la matriz J = B @ 0 1 0 0 A y la matriz B = A + J: Prueba que las matrices 1 0 0 0 2 3 4 I; B; B ; B y B son linealmente independientes. (d) Halla la matriz inversa de B. 23

Problemas de Algebra Se considera la matriz

Capítulo 4: Valores y vectores propios.

1 1 1 1 1 B1 1 ¡1 ¡1 C C: J =B @ 1 ¡1 1 ¡1 A 1 ¡1 ¡1 1 Prueba que es diagonalizable y determinar una matriz P que permita la diagonalización. 22. Encuentra una matriz C tal que C 2 = A, siendo µ ¶ 26 ¡10 A= : ¡10 26 23. Calcula, aplicando el teorema de Cayley-Hamilton, la inversa de la matriz 0 1 1 2 0 A = @ ¡1 3 1 A : 0 1 1 21.

0

Sea B = fe1; e2; e 3g una base de IR3 y A la matriz de un endomorfismo referido a dicha base. En dicho endomorfismo, los subespacios n V 1 ´ x + y + z = 0; V2 = x ¡ y = 0 x¡z = 0 están asociados respectivamente a los vectores propios ¸ = 1 y ¸ = 1=2. Se pide: (a) Diagonaliza la matriz A. (b) Calcula la matriz M = 2A4 ¡ 7A3 + 9A2 ¡ 5A + I. (c) Calcula la matriz N = A¡3 ¡ 4A¡2 + 5A¡1 + 4I. 25. Estudia para que valores reales de t, la matriz A es diagonalizable en el campo real siendo µ ¶ cos t sen t A= : sen t cos t 26. Encuentra una forma canónica de Jordan y el cambio de base correspondiente de las siguientes matrices: 0 1 0 1 0 1 0 1 3 2 ¡2 0 ¡1 ¡2 ¡2 0 ¡1 3 2 ¡3 D = @ 0 4 ¡1 A ; E = @ 1 3 1 A ; F = @ ¡1 ¡1 ¡1 A ; G = @ 4 10 ¡12 A : 0 1 2 1 0 3 1 0 1 3 6 ¡7 27. Diagonaliza las siguientes matrices simétricas 0 1 0 1 0 1 3 ¡1 0 102 0 1 1 A = @ ¡1 3 0 A ; B = @ 0 ¡ 10 A ; C = @ 1 0 1 A ; 0 0 2 201 1 1 0 24.

calculando una matriz de paso P ortogonal que permita escribir su forma diagonal A0 como A0 = P t AP: 28. Sea B = fe1; e 2; e3; e 4; e5g una base del espacio vectorial R 5. Sea f un endomorfismo de R 5 del que se conoce – f (e2) = ¡e2: – f (e3 + e 4) = e3 + e4: – f (e5) = 2e5 + e1 ¡ e2: – El polinomio característico de f tiene la raíz triple 2.

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Problemas de Algebra

Capítulo 4: Valores y vectores propios.

– Las ecuaciones implícitas, respecto de la base B, del núcleo del endomorfismo f ¡ 2I son 8 > < x1 + x2 + x3 = 0 x3 + x4 = 0 > : x5 = 0 : Se pide (a) Matriz de f respecto de la base B. (b) La forma canónica de Jordan de f y una matriz de paso P . 29. Dada la matriz A: 0 1 ¡1 ® 0 A = @ 0 ¡1 ¯ A 0 0 2 donde ® y ¯ son dos números reales. Se pide (a) Estudia para que valores de ® y ¯ la matriz A es diagonalizable. (b) Para aquellos valores para los que no sea diagonalizable hallar la forma canónica de Jordan y la matriz de paso correspondiente en función de ® y ¯. 30. Estudia para qué valores de los parámetros a y b, reales, la matriz 0 1 5 0 0 A = @ 0 ¡1 b A 3 0 a es diagonalizable, calculando: (a) Forma canónica de Jordan y la matriz de paso para los valores a = ¡1 y b = ¡1. (b) Forma canónica de Jordan y matriz de paso para a = 1 y b = 10. Calcular en este caso A129. 31. Sea f un endomorfismo de R3 . Se sabe que una base del núcleo del endomorfismo está constituida por los vectores (1; 1; 0) y (1; 0; 1) y que la imagen del vector (0; 2; 1) es el vector (1; 1; 0). Se pide (a) Valores propios y subespacios invariantes de f . (b) Diagonaliza el endomorfismo f. (c) Clasifica dicho endomorfismo. (d) Obten los subespacios invariantes de f n.

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