1

Capítulo 1: LOS NUMEROS REALES 1.1 SUBCONJUNTOS DE NUMEROS REALES Los números 1,2,3… son usados para contar. Normalmente se los conoce como el conjunto de los números naturales, dicho conjunto se lo denota con la letra N, así N  {1,2,3}

VIDEO 1. Subconjuntos especiales de los números reales. Representación decimal de los números reales.

Si se suman dos números naturales el resultado es otro natural, pero si se resta el resultado no necesariamente es un número natural. El conjunto de los números enteros Z  { ,3,2,1,0,1,2,3}

es cerrado bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación, esto quiere decir que si realizamos cualquiera de estas tres operaciones entre dos números enteros el resultado es un número entero. Pero este conjunto no es cerrado bajo la división, es decir que si dividimos dos números enteros el resultado no necesariamente es un número entero. El conjunto de los números racionales, Q, formado por todos los números que pueden ser expresados de la forma n , donde n, m son números enteros con m distinto de m

cero, es cerrado bajo las cuatro operaciones. Sin embargo no contempla todos los números que se presentan. Por ejemplo 2  que es el perímetro de una circunferencia de radio 1, no es un número racional. Tampoco 2 es un número racional, pues no puede ser representado como el cociente de dos números enteros, este número representa la solución de la ecuación h 2  2 y geométricamente él es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con los dos catetos iguales a 1. Estos números que no son racionales, pues no pueden ser n , se llaman números irracionales. Una diferencia entre los números expresados de la forma m racionales y los irracionales está dada en su representación decimal. Los números racionales pueden ser representados por decimales con una expansión finita ( 1  0.25 ) o por números 4

 1 1 decimales que se repiten indefinidamente (  0.16  0.16666  ,  0.09090   0.090 ). 6 11 En cambio los números irracionales son representados por números decimales que no terminan y que no tienen ninguna periodicidad es decir que no tienen ninguna secuencia que se repita. Podemos aproximar el número 2 estimando los primeros dígitos de la longitud de la diagonal de un cuadrado de 1 por 1. La aproximación de una calculadora que trabaja con 8 dígitos es 2  1.4142136, la representación decimal de 2 es infinita y no periódica.

El conjunto de los números reales es la unión de los números racionales e irracionales. Este conjunto es denotado por la letra R. El número 2 es un irracional y por tanto real.

Ejemplo 1.- Diga cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, irracionales,

racionales y reales: a) -3;

b)  4 ; 3

c) 0.2 ; d)

 1; e) 101.

2 Solución:

a) -3 es un número entero, también es racional pues puede ser escrito como  3 y es real. 1 4  4 b)  es un número racional pues puede ser escrito como . También es real 3 3 c) 0.2 es un número racional pues puede ser escrito como 2 . También es real. 10 d)  1 es irracional. Observe que como  es irracional su expansión decimal es infinita no periódica al sumarles 1 da como resultado un número cuya expansión también es infinita no periódica. Es un número real e) 101 es natural, entero, racional y es real. Ejercicio de desarrollo.- Diga cuales de los siguientes números son naturales, enteros, b) 2  2 ; c) - 3.1 irracionales, racionales y reales: a) 3 ;

Comentario: Algunos autores consideran el 0 como un número natural. Para evitar caer en polémicas nos referiremos al conjunto {0,1,2,3} como el conjunto de los enteros no negativos y a {1,2,3} como el conjunto de los enteros positivos. VIDEO 2. Representacion de los números reales en la recta real.

Los números reales pueden ser representados en la recta real. Para ello se traza una línea recta y se escoge arbitrariamente un punto en ella, él cual representará el número 0. Se escoge una unidad de medida y a partir del 0 se hacen mediciones de una unidad tanto a la izquierda como a la derecha, los puntos medidos representan los números enteros en el orden dado en la figura: los puntos a la derecha del 0 representarán los números positivos y a la 2 izquierda están representados los números negativos. La representación del número 4  es 3 2 14 . Para un punto que está a dos tercios unidades a la derecha del 4. El número 4  es 3 3 representar geométricamente a los números racionales positivos podemos valernos de su forma mixta: a bc con b1. Si

a

1/ n

n

a existe, entonces se define

 a n

Por ejemplo 21/ 3  3 2 . Si tomamos en cuenta que

 

tiene bastante sentido al considerar a m / n  a m1 n  a m Definición.- Sea m, n números enteros, n >1. Si Hay que restringir la definición en el caso en que a sea negativo a fracciones reducidas. Observe que 1  2 . Pero 3

6

1 3

6

 8

  8 El lado izquierdo es igual a -2 y el derecho vale 2. 2

.

n

1n

m 1  m  la siguiente definición n n

.

a existe, entonces se define

a  a Se exceptúa de la definición el caso en que m es negativo y a cero. Si a es negativo la fracción m / n debe estar simplificada. m/ n

n

m

Ejemplo 3.- Exprese los siguientes radicales como potencia de exponentes racionales. a) 5 x 3 ; b) Solución:

8

a) 5 x 3  x 3 / 5 b)

8  81 / 2

Ejemplo 4.- Evalúe la expresión  32 Solución: Una alternativa para evaluar la expresión dada es pasarla a notación con radicales y entonces calcular la raíz.  321 / 5  5  32  2 , pues  25  32 1/ 5

Ejercicio de desarrollo.1) Exprese los siguientes radicales como potencias de exponentes racionales: a) 8 2 5 ; b)

x5

2) Evalúe la expresión  8

2/3

17

PROPIEDADES DE LOS RADICALES VIDEO 6 Propiedades.

La siguiente tabla es un resumen de las principales propiedades de los radicales. Se ha colocado en el lado derecho la propiedad escrita en notación con exponente racional. Las demostraciones son omitidas, ellas hacen uso de la definición de la raíz de un número. Propiedad

n

1

a b  n a n b

a na  b nb

n

3

n m

2) 3 8  27  3 8  3 27 

 3 23  3 33  2  3  6 3

a  n m a

 

am  n a Si n es par y a es negativo la propiedad no es válida

5

a   b

8 38 2   3 3 3 3 3 4

m

n

Escritura en exponente fraccionario a  b 1/ n  a1/ n  b1 / n

1) 18  9  2  9  2

La raíz de un producto es el producto de las raíces.

2

4

Ejemplo

27  8 27

323



(a

 32  5

3

3

  5 2 5   2 3  8  

a

1/ n



1/ m 1/ n

m/n

)

a1 / n b1 / n

a

1 nm

 (a1 / n ) m

De la tabla y con algún paso adicional se puede demostrar que las propiedades de los exponentes se siguen cumpliendo en el caso de exponentes fraccionarios. La última propiedad se usa para evaluar expresiones como 5 32 3 . Observe como la potencia puede salir fuera del radical. La raiz de una potencia es la potencia de la raíz.





3

Ejemplo 5.- Evalúe las siguientes cantidades: a) (8000)1 / 3 b) 0,16 Solución: Para realizar este ejercicio más fácilmente podemos intentar expresar los radicandos como producto o cociente de potencias múltiplos del índice de la raíz. Si la expresión tiene exponentes negativos, recuerde deshacerse del signo del exponente o bien aplicando la definición o alguna propiedad. a) Descomponemos  8000  1  8  1000 . (8000)1 / 3  (1  2 3  10 3 )1 / 3 Se intenta expresar cada factor como potencias

 (1)1 / 3 (2 3 )1 / 3 (10 3 )1 / 3 3

con exponente múltiplo del índice de la raíz.

3

 1  2 3  10 3  2  10  20 b) Primero usamos la definición de exponentes negativos 3 1 16 0,16  Escribimos 0,16  , es un cociente de cuadrados perfectos 3 100 0,16



VIDEO 7 Cálculo de expresiones numéricas con radicales









1  16     100   



Se usa la propiedad del cociente de la raíz

3

1  16     100   

3

18 

1 4    10 

1  13 2 53

3





1 2   5

3

Se simplifica la fracción

125 . 8

La notación con exponente fraccionario nos puede ayudar a evaluar o simplificar expresiones con radicales, valiendonos de las propiedades de los exponentes. Ejemplos 6.-

a.-

3

a15 al pasarlo a notación de exponentes fraccionarios queda

b.-

6

a 3 se puede simplificar el índice con el exponente

Así pues En el ejemplo c se tiene un producto de raíces con distintos índices. Usando las propiedades de los exponentes podemos escribir la expresión con un solo radical.

VIDEO 8 Simplificación de expresiones con radicales

c.-

3

6

6

3

a 15  a 15 / 3  a 5

a 3  a 3 / 6  a 1 / 2 , recuerde a  0 .

a3  a

a 2  a se puede asociar en una sólo raiz

a notación con radicales tenemos que

3

3

a 2  a  a 2 / 3 a 1 / 2  a 2 / 31 / 2  a 5 / 6 al pasar

a 2  a  6 a5 .

Ejercicio de desarrollo.- Evalúe las siguientes cantidades: 3/ 2 a) 400 ; b) 3  0,027 ; c)  9001 / 2 .

Se dice que una expresión con radicales está simplificada si contiene un solo radical y el radicando no contienen factores con exponentes mayores o iguales al índice de la raíz. Para expresar el número de manera única algunos autores consideran la forma simplificada de una expresión si además el radicando no contiene fracciones y no hay radicales en los denominadores. Recuerda si el número es un producto o cociente este debe tener un solo signo radical. En el siguiente ejemplo mostramos como usando las propiedades de los radicales podemos simplificar la expresión. Ejemplo 7.- Usando propiedades de radicales, exprese cada una de las siguientes como una expresión con radicales simplificada. a) 3 xy 3 ; b) 5 x 8 ; c) 18  2 Solución: a) El radicando no es una potencia, no podemos simplificar. Aplicamos la propiedad de la raíz de un producto: 3

xy 3  3 x  3 y 3  y3 x

Ahora si podemos simplificar el segundo factor. Se cambió el orden de los factores.

b) Descomponemos el exponente del radicando x 8 como una suma de un término igual al índice de la raíz y el otro que complete 8. 5

x 8  5 x 5 3  5 x 5 x 3  5 x5  5 x3

Se aplica la propiedad de la raíz de un producto. Se simplifica el índice con el exponente en el primer radical.

19 La expresión ya está simplificada, observe como el exponente del  x  5 x3 radicando es menor que el índice de la raíz. c) Se aplica la propiedad de la raíz de un producto de derecha a izquierda

18  2  18  2  36  6 .

Recuerda que cuando la expresión tiene radicales, a veces resulta muy cómodo pasarlos a notación con exponente fraccionarios y simplificar la expresión usando las propiedades de exponentes. Ejemplo 8.- Simplifique las expresiones dadas. Evite radicales en su respuesta, use exponentes positivos. 3

 3 xy  b)   4  .  x    Solución: Podemos, primero, pasar las expresiones con radicales a notación de exponente fraccionario.

a)

x y 

a)

x y 

3

2

2

x

 y5 ;

3

2

3

3 2

x y 3

5

 y 5  ( x 2 y) 2 y 2 3

Se aplica la propiedad de la potencia de un producto

5

Recuerde que este tipo de expresiones de productos, cocientes o potencias está simplificada si aparece una sola vez cada factor. Para simplificar esta expresión se agrupan las mismas bases sumando los exponentes, pues es un producto.

y2 y2 3 5  2 2

 x3 y 4 . 3

b)

 3 x y   x1/ 3 y       x 4   x 4     





3

x  y 1/ 3 3

El radical sólo afecta a la variable x. Se aplicó la propiedad de la potencia de un cociente. Observa como se distribuye el exponente interno multiplicando entre los exponentes internos.

3

x 12

xy 3 x12  x 13 y 3 . 1

Los exponentes son positivos como pedía el ejercicio.

Ejercicio de desarrollo.- Simplifique las expresiones dadas. Evite radicales en su respuesta, 3

use exponentes positivos: a)

xy 

2 4

xy1 / 3

;

b)

(x 2 y 5 )3 . xy

En Cálculo, una disciplina que se estudia en las Matemáticas universitarias, es necesaria la reescritura de expresiones con exponentes y radicales. La siguiente manipulación es frecuente en Cálculo. Ejemplo 9.- Escriba

2 3

como c  x r donde c es un número real y r un racional.

3 x Solución: Una manera de realizar el ejercicio es interpretar la expresión como el resultado de un producto de una fracción numérica por una expresión que sólo depende de la variable. En este caso es claro que

20 2 3 x

3



2 1  3 x3



2 1  3 x3/ 2



2 3 / 2 x 3

Ahora se reescribe el radical en notación de exponente fraccionario

Se pasa la variable al otro lado de la fracción con exponente cambiado de signo

EJERCICIOS 2.2 1) Calcule las siguientes raíces. Compruebe su respuesta. 1.1) 3  125 ; 1.2) 144  25 . 2) Evalúe las siguientes expresiones numéricas: 4 27 1 2.1) ; 2.2) ; 2.3) 3  ; 16 9 8 2.5) (0.04)1 / 2 ; 2.6) (27000)1 / 3 ; 2.7) (32)1 / 5 ; 2.9) (32)

1 / 5

2.10) (0,09)

;

3 / 2

2.11) (8000)

;

2.4)

3

0,027 ;

2.8)

3

 64 ;

2 / 3

3) Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos. Evite radicales. 3.1)

3.4)

3.7)

3

27 x 6 ;  y3

3

 y xy 2   3 2 x

3

3.2) 2

  ;  

 a  a2     a  2 b 3 

   

xy 2 xy

2

3.3) x 2 y x 3 y 5 ;

2 2 y 3.5)  xy    2x

2

3

   ; 

 a 2b   3.8)    a

2

 y2  3.11)    2x 

3.10) 2(a b ) 3 3a 2 b 3 ;

3.13)

27 x 2 ; 3x

 xy 1 .

3.14)

3

3

  ;  

  3 a  2  3.6)  a  2 3   ;  a b    

ab 2 ; b 1

3.9)

xy 3 ;

 xy  3.12) x 1 y   ;  2

2

2

3

 

x y x2 y

2

;

2

x  y 4 x y

4) Usando propiedades de radicales, exprese cada una de las siguientes como una expresión con radicales simplificada. 4.1)

3

x  3 x5 y9 ;

4.2)

3

x11 ;

4.3)

27 3

;

4.4)

y8 ; 4

3

4.5)

3

y5

.

y

5) Escriba cada una de las expresiones dadas como c  x r donde c es un número real y r un número racional. 5.1)

3 x

;

5.2)

3 x ; x

5.3)

x  5 x2 ;

5.4)

 4  3 x2 . 3x 2

21

2.3 MANIPULACION DE EXPRESIONES NUMERICAS MIXTAS ORDEN DE JERARQUIA EN LAS OPERACIONES

VIDEO 9 Orden de jerarquía de las operaciones. Evaluación de expresiones numéricas.

Anteriormente se estableció el orden de jerarquía de las operaciones cuando en la expresión hay delimitadores, productos, cocientes, sumas y restas. En el caso que existan además exponentes y radicales estos se ejecutan primero que los productos y cociente pero siempre se consideran primero los delimitaroes más internos. ORDEN DE JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES 1ero.- Se resuelven las operaciones delimitadas por los paréntesis más internos. 2do.- Se ejecutan las potencias y radicales de izquierda a derecha. 3ero.- Se consideran las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha 4to.- Se resuelven las sumas y restas de izquierda a derecha Ejemplo 1.- Evaluar las siguientes expresiones numéricas: 3

a)

1 1  4  32 2  2  ; b) 2 ; c) 27 2  3  23 3

2  32  2  1 . 2  3 4 3

Solución: a) Resolvemos primero el paréntesis aplicando la propiedad de la potencia de un cociente: 3 1 1 2 23 2  2  =   3 Se realiza las potencias 27  3  27 1 3 1 2 8 Se realiza entonces la multiplicación =   27 1 27 1 28 Se procede con la diferencia de fracciones   27 27 1  16 15 5 Se simplificó    27 27 9 b) La expresión es un cociente. Se calcula simultáneamente el numerador y el denominador de acuerdo al orden de jerarquía. En cada parte de la fracción se calcula primero las potencias indicadas, luego se pasa a resolver las multiplicaciones 1  4  32 1 49  2 2  3  23 4  3  8 1  36  Se realiza las diferencias de cada parte de la fracción 4  24  35 7   Se simplificó  20 4 c)

La expresión es un cociente. Podemos trabajar simultáneamente las operaciones del

numerador y denominador. En el numerador se realiza primero la radicación, para ello debemos resolver la operación indicada en el radicando de acuerdo al orden de jerarquía de las operaciones.

22 2  32  2  1  2  3 4 3

2  9  2 1 2  3 4 3 =





16  1 2  12 3

Se toma raíz en el numerador y se realiza la resta en el denominador

4 1 2 12  3 1 33 9 3   2  36  34 34 3

Ejercicio de desarrollo.- Evaluar la siguiente expresión numérica:

1 4 6 2   27 25  5 

3

Tipificación de errores 1 2 3 4

5

Error Comentarios a  b 1/ n  a1/ n  b1/ n La propiedad no es con la suma sino con la multiplicación n

ab  n a n b

a  b n

 an  bn

a n a m  a nm 1 ab n  n ab n

an  b  a  b

n

ab n  a  b

n

an  bn  a  b

Los exponentes de igual base se suman, no se multiplican La potencia es la primera operación a considerar, afecta sólo a b Para poder simplificar el radicando debe ser una potencia n-ésima. n

( a  b) n  a  b

n

(ab) n  ab

SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES NUMERICAS CON RADICALES. VIDEO 10 Suma de términos con radicales. Racionalización

La expresión es una suma algebraica de radicales no semejantes. No se puede simplificar

Para sumar términos que contienen radicales hacemos uso de la definición de radicales semejantes. Se dice que dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando. Por ejemplo  2 5 y 8 5 son dos radicales semejantes. Los números  2 y 8 son conocidos como los coeficientes de cada expresión. Si tenemos planteada una suma entre ellos podemos sumarlos, valiendonos de la propiedad distributiva aplicada en sentido inverso, por ejemplo  2 5  8 5   2  8 5  6 5 Se dice que se sacó raiz de cinco de factor común. Como se observará en el ejemplo, el proceso lo podemos simplificar sumando algebraicamente los coeficientes de los términos y colocando la parte radical. El proceso de simplificación de una expresión con radical ayuda en una suma a identificar radicales semejantes. Recuerde que una expresión numérica con radicales como 50 está simplificada si no

hay factores cuadráticos en el radicando. Para obtener la forma simplifica de 50 se puede factorizar el radicando de tal manera que aparezca al menos un factor cuadrático en el

23 radicando: 50  2  25  2 25  5 2 . Esta última es la forma simplificada de raíz de 50. Si tenemos raíces cúbicas entonces está factorizada si no hay factores cúbicos en el radicando. Otra alternativa para determinar la forma factorizada de una radical es factorizar el radicando como producto de factores primos y expresar cada exponente como una suma de un término igual a un múltiplo del índice de la raíz más otro número que complete el exponente, menor que el índice. Por ejemplo 3

1152  3 2 7  3 2  3 2 61  3 2  3 2 6  3 2  3 2  2 2  3 18

Si nos piden simplificar una suma de términos con radicales entonces primero simplificamos cada término con radical y luego sumamos términos con radicales semejantes. En el siguiente ejemplo aparentemente no hay radicales semejantes, luego de la simplificación de los términos con radical aparecen radicales semejantes que se pueden agrupar.

Ejemplo 2.- Simplificar la siguiente expresión numérica: 2500  3 250  10  5 . Solución: Simplificamos cada termino con radical, como son raíces cuadradas, sacamos factores cuadráticos factorizando los radicandos 2500  3 250  10  5 = Se busca productos con al menos un factor cuadrático. Observe como se realiza la suma de términos con el mismo radical: Se suman algebraicamente los coeficientes, es decir el número que multiplica al radical y se escribe el radical.

= 25  100  3 25  10  10  5

Se aplica la propiedad de la raíz de un producto

 25  100  3 25  10  10  5

= 5  10  3  5 10  10  5

Se realizan los productos indicados

= 50  5  15 10  10

Se suma radicales semejantes.

 55  16 10 .

La expresión original era una suma de 4 términos, ahora está escrita como una suma de 2 términos.

RACIONALIZACION. Si tenemos una fracción donde en el denominador aparece un radical eventualmente se puede reescribir la expresión sin radicales en el denominador. El proceso en que una fracción con radicales en el denominador se reescribe como una expresión equivalente pero sin radicales en esta parte de la fracción se denomina racionalizar el denominador. Si el denominador es un monomio, es decir tiene un solo término, el proceso de racionalización es muy sencillo. Una manera es multiplicar la fracción por 1, pero ese uno escrito como el radical con el mismo índice sobre ese mismo radical. El radicando es la potencia de la base con exponente un número que complete al exponente del otro radicando para obtener un múltiplo del índice de la raíz.

Ejemplo 3.- Racionalizar el denominador en las expresiones numéricas dadas: a) 2 ; b) 3 5

4

72

59

Solución: a) Se busca completar el índice de la raíz 2 5



72

2 5

72

1 

2 5

72



5

73

5

73



25 7 3 5

75



25 7 3 7

b) El exponente del radicando del denominador le falta 3 para completar el siguiente múltiplo del índice de la raíz que es 12 3 4

59



3 4

59

1 

3 4

59



4

53

4

53

24 34 53



4

12

5



34 53 34 53  3 412 / 4 4

Observa que en el denominador quedó 412 / 4 , el

exponente se buscó para quedará entero positivo.

Ejemplo 4.- Simplificar las siguientes expresiones numéricas: 3 4 1 27  3 8  5 12  32 a) ; b)   2. 3 2 2 42 Solución: a) Lo primero que se hará es simplificar cada radical del numerador, a fin de identificar términos semejantes. Lo haremos descomponiendo en factores primos

27  3 8  5 12  32

=

2

Se expresa cada exponente como un producto donde el exponente de uno de los factores es múltiplo del índice

3 3  3 2 2  5 2 3  2 2 2

=

2

2

4

2 32 3  3 2 2 2  5 2 2 3  2 4 2

=

2 =

3 3  6 2  10 3  4 2

En el numerador, sumamos radicales semejantes

2 =

13 3  2 2

.

2 Este tipo de expresiones se suelen expresar con el denominador racionalizado. Recuerde que en el caso que exista un solo término en el denominar se multiplica y divide por un número que complete la potencia del índice. Así 13 3  2 2

=

13 3  2 2

2

2

=



2

Al multiplicar observa la necesidad de paréntesis

2

(13 3  2 2 ) 2



2 2

13 3  2  2( 2 ) 2 ( 2)

2



13 6  4 2 3

b) Podemos racionalizar el denominador del segundo término en

4 1   2 para 3 2 42

identificar claramente los radicales semejantes. 3

3 4 1 4 1 34  2  3 2 3 2 3 2 2 4 42 4



3

4  2

3 3

4 43

2

Ahora se asocian los dos primeros, pues resultan semejantes

3 3 3 3 4 3 4    2  2 4  4  2  3 4  2    4  4 4  2 También se pudo realizar la suma de fracciones y luego racionalizar el denominador.

25 Ejercicio de desarrollo.- Simplificar las siguientes expresiones numéricas: 12  75  5  6 2 1 1 3 1     ; c) a) 6  3 24  54  8 ; b) 2 3 2 8 3 18

En cálculo es bien importante llevar distintas expresiones con radicales a notación con exponente fraccionario. El proceso inverso también se requiere. En los siguientes ejemplos mostramos como pasar de unas formas a otras. Ejemplo 5 .- Elimine los exponentes negativos y los radicales en las siguientes expresiones: a) x  2 y ; b) x 1  2 1  y 1 ; c) x( x 1  y ) 1 Solución: a) b)

x

1

x  2 y  x 1 / 2  ( 2 y )1 / 2 ;

2 y

1

 1 1 1 1   2 1    21   x y x y 

1 2 y  1  x y1/ 2 1  x  1 (x  y ) 1/ 2

 c) x( x 1  y ) 1

x x 1   1 1  y 1 x y x x 2 x  . 1  x  y1/ 2 

1/ 2

El paréntesis en 1  1 no se puede omitir, este indica y

que la raíz se va aplicar a la expresión Se puede dejar como en la primera linea o continuar.

Al aplicar la doble C se obtiene el resultado.

Ejemplo 6.- Escriba las formas exponenciales dadas en otra forma con radicales: a) 5  2 x1 / 2 ; b) (5  2 x) 1 / 2 . Solución: a) En la expresión 5  2 x1 / 2 , x es la expresión que está elevada a la ½. Así que convertimos esta expresión con exponentes fraccionarios en una con radicales. 5  2 x1 / 2  5  2 x . b) En este caso es (5  2 x) que está elevado a la -1/2. Primero eliminamos el signo menos, pasando la expresión al denominador: 1 (5  2 x) 1 / 2  Ahora se escribe la potencia con exponente fraccionario a raíz (5  2 x)1 / 2 1  5  2x Ejercicio de desarrollo.a) Escriba la forma exponencial dada en otra forma con radicales: 5  x 3 / 2 ; b) Escriba la forma dada en otra que use exponentes positivos, evite radicales y exponentes negativos: 3x  2 1 .

26 EJERCICIOS 2.3 1) Escriba las formas exponenciales en otra forma que involucre radicales. 1.1) 3x1 / 2  21 / 2 ; 1.2) 3x  21 / 2 ; 1.3) (3x  2)1 / 2 ; 1.4) 31 / 2 x  2 3 / 2 ; 1.6) 3  2 x 

3 / 2

1.5) (3x)1 / 2  21 / 2 ;

1.8) 3x  2 1 / 2 ;

1.7) 3x 1 / 2  2 3 / 2 ;

;

1.9) (3x  2) 1 / 2 2) Escriba las formas dadas en otra que use exponentes positivos, evite radicales y exponentes negativos:

5  2x ;

2.2)

5  2x ;

2.3) 5 x 1  2 ;

2.4) (5 x  2) 1 ;

2.5) (5 x) 1  3 ;

2.6)

5 2 x ;

2.7) (5 x  2) 2 ;

2.8) 5 x  2 2 ;

2.1)



2.9) 5 x 1  3 1



1



2.10) x 1  3 1

;



2

2.11)  x 1  51   

;

2

3) Evalúe las siguientes expresiones mixtas: 2

3.1) 2  3  41 / 2 ;

4  3 27 3 3.2) 2     ; 2 2

1 2 3.4)  2 2  5(  ) 2 ; 2 3

3 2 3 3.5) (  ) 2     1 ; 2 3 2

2

2 2 ) ; 3.7) ( 2  4 3

2 3.10)

1 3

5  5  22 

1 4

3.3)

3.8) 1  2  8

;

3.11)

2 / 3

1 1 3.6) 1  9(  1) 2  2  ; 3 5  1  3 54  33 3.9)   2  1 9  22  2 3.12) 1 3 4  2

;

 2 5 2  17  2   

2

52  9

 22 ; 1  2  22

;

3

  ;  

4) Para cada una de las expresiones dadas, racionalizar los denominadores. Expresar la respuesta simplificada. 18 3 10 4 12 3 ; 4.3) ; 4.6) . ; 4.2) ; 4.4) 4.1) ; 4.5) 5 8 7 5 5 5 25 6 2 312 5) Simplificar las siguientes expresiones numéricas: 24  108  54 5.1) 28  3 16  2 7  3 ; 5.2) ; 6

6  2 54  8

5.4) 5.7)

6 3

;

0.004  3 108  3

5.5)

48  1  3 3 ;

5.3) 8  28  3( 18  63 )

1 3 9   3 4 4

5.6)

4 3 2 6 ; 5.8)   2 2. 125 3 2 18

6) Diga cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. Justifique 6.1) ( )  3 2  9 ; 6.2) ( ) (a m ) n  (a n ) m ; 1 6.3) ( ) a 2  2  a  2 ; 6.4) ( )  n  a n ; a 6.5) ( )

18  2 2  2 ;

6.7) ( ) 2  3 2  36 ;

6.6) ( )

 3 2  3 ;

6.8) ( ) x  y   x n  y n ; n

27 6.9) ( )  ( x  y ) 2  ( x  y ) 2 ;

6.10) ( )

x2  9  x  3;

 8  2 ;

6.12) ( )

50  5 2 ;

6.11) ( )

3

) x x

6.13) (

2

para x negativo;

6.14) (

) 6(31 / 2  21 / 2 )  181 / 2  121 / 2 .

PRUEBA AUTOEVALUATIVA 1 DE LOS CAPITULOS 1 Y 2 1) Para los siguientes números a) Diga cuáles son naturales, enteros, irracionales, racionales y reales b) Represente aproximadamente en la recta real.

i)  2  3 ; ii) 4  2 2

7

2) Evalúe la expresión numérica: 2 

 3 1  1 2    3   . Exprese su respuesta de manera 5 5  3 7

simplificada. 3) Evalúe la expresión numérica: 5  0.0009

1/ 2

3

 1  2  3  27   . Exprese su respuesta de    2  

manera simplificada. 4) Simplifique la siguiente expresión. No use radicales ni exponentes negativos en su 2

 xy 1   . respuesta xy   3 2  2 x  5) Simplifique la siguiente expresión: 2

3

6) Evalúe

20  3 16  3  3 2  5 .

 64 2 .

3

7) Escriba la expresión

3 5

37

con el denominador racionalizado.

8) Diga cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas y cuales son falsas. Justifique 8.1) ( ) (2  a ) 2  4  a ; 8.2) ( )

2 3



5 3 7 3  3 3

8.3) ( ) 100,01  1 ; 8.4) ( ) Si a  b  0 entonces a  0 y b  0 . 1/ 2

4

8.5) (

2 2  x y  x y )  2  16  

9) Escriba

53 x como c  x r donde c es un número real y r un racional. 2 3x

28 PRUEBA AUTOEVALUATIVA 2 DE DE LOS CAPITULOS 1 Y 2

1) Escriba la siguiente expresión en otra forma que involucre radicales, no use exponentes 1 / 2 negativos ni fraccionarios: 5  22 x  . 2) Escriba la forma dada en otra que use exponentes positivos, no use radicales o exponentes

negativos en su respuesta: 3 2 x 2  5 .

 1 2    3  9 3 7  . Exprese su respuesta de manera 3) Evalúe la siguiente expresión numérica: 6 3 7 simplificada

4) Simplifique la expresión dada. No use radicales ni exponentes negativos en su respuesta 3

 3 ab 2    ab 1 / 2 .   b    5) Evalúe la siguiente expresión numérica. Exprese su respuesta de manera simplificada 3  3 8  1    3  8 1 / 3 .  2   3 / 4 6) Evalúe 810000 . 7) Simplifique la siguiente expresión:

8a  b  . 3 a  b 2 4

3

8) Diga cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas y cuáles son falsas. Justifique 8.1) ( ) 1  3 es un numero irracional 8.2) ( )

3a 2  3a ;

8.3) ( ) 3( x  y ) 4  (3 x  3 y ) 4 ; 8.4) ( ) 3  ( x  y )  (3  x)  y . 2x 8.5) ( )  2  5  x1 / 2 5 x 3 9) Simplifique la expresión: 2 4  2  2 18 . Exprese la respuesta con el denominador

32

racionalizado

3

39 VIDEO 6

3.5 TRADUCCIÓN DEL LENGUAJE COMÚN AL LENGUAJE MATEMÁTICO Las aplicaciones de las Matemáticas requieren que el estudiante maneje la traducción del lenguaje verbal al lenguaje algebraico usando variables. En esta sección daremos algunas estrategias y ejemplos de cómo llevar esta traducción. Recuerde que la variable representa un valor: muchas veces un valor cambiante, otras veces un valor desconocido que hay que determinar. Se usa una letra para representar la variable. En ocasiones, veremos, como una cantidad es cambiada o se da una relación entre esta cantidad y otra. La información o descripción de los cambios de una cantidad o la relación existente con otra debe traducirse a un lenguaje matemático. En los siguientes ejemplos se dan expresiones verbales que son llevadas a una expresión matemática. Se tiene que recalcar que no se plantea ninguna ecuación, la expresión algebraica puede ser parte de una formula y la variable en esta situación es un valor cambiante o puede ser también parte de una ecuación, donde podemos estar interesados en determinar el valor de la variable que hace cierta la igualdad, en este caso la variable recibe el nombre de incógnita. Daremos a continuación una lista de palabras o frases que son cruciales para la traducción al lenguaje matemático donde están envueltas las operaciones de suma, resta, producto y cociente SUMA: Un número x aumenta en 3. El nuevo número es x+3. A x se le añade 8. El nuevo número es x+8. La expresión 3 más que x se traduce como 3+x RESTA: La diferencia de x con 20: El nuevo número es x-20. A 10 se le quita x. El nuevo número es 10-x. 10 menos que x, se traduce como x-10. El número x disminuye en 4. El nuevo número es x-4. Si x es mayor que 100. El número x-100 es el excedente de 100. PRODUCTO: El doble de x se traduce como 2x 12 veces x. El nuevo número es 12x Tres quintos de un número se expresa en lenguaje algebraico como

DIVISIÓN: El cociente o razón de x entre 12:

3 x. 5

x 12

El número 14 dividido entre x. El nuevo número es

14 x

Recuerda que el porcentaje es tomado sobre una cantidad. Por ejemplo el 10% de x. La cantidad en este caso es la variable x. Para calcularlo podemos plantear una regla de tres y deducir que el 10 % de x es igual a 10 x  0,10  x . Normalmente cuando tenemos que calcular el 12% de y 100

realizamos de una vez el producto 0,12  y . El 5% de C se expresa en terminos algebraicos como 0,05  C . Recuerda siempre multiplicar por la cantidad. Hemos dado algunas traducciones al lenguaje matemático, en los ejemplos estarán éstas y otras expresiones que son propias de la situación planteada.

Ejemplo 1.- Para cada uno de los apartados de este ejemplo escribiremos una cantidad expresada en palabras como una expresión algebraica en términos de la variable p, donde p es el precio actual de un artículo. a) El precio se aumenta en 2 unidades. El nuevo precio es p+2.

40 b)

El precio se aumenta un 25%. El aumento es

25 p  0.25 p . El nuevo precio es 100

p  0.25 p  1.25 p a) La mitad del precio es p / 2 . b) Al artículo se le hace una rebaja de 2UM. El nuevo precio es p-2 c) Una persona tenía 20UM y compra el artículo a un precio de p. Ahora le queda 20-p. d) El triple del precio: 3p. Veinte veces el precio: 20p. e) Se compra una docena de artículos. El valor de los 12 artículos es 12p. En el siguiente ejemplo veremos también desconocida en términos de otra.

como podemos expresar una cantidad

Ejemplo 2.- Sea h la altura de un rectángulo. Escriba cada una de las siguientes cantidades dichas en palabras en una expresion algebraica en términos de la variable h: a) El ancho es 2 unidades más grande que la altura. El ancho es entonces: h+2. b) La altura disminuye un 5%. Entonces la altura disminuye 0.05h. La nueva altura es h  0.05h  0.95h . c) La mitad de la altura es h / 2 . d) El ancho es dos veces la altura: a  2h . e) La altura tiene dos unidades más que el ancho: a  h  2 . El area, A, puede ser expresada en terminos de h. Recuerde que Area=(alto)xancho; sustituyendo queda A  hh  2  . f)

La razón (el cociente) entre la altura y el ancho es 3. Entonces

h h  3 . De aquí a  . a 3

Ejemplo 3.- Una persona va a invertir una cantidad x de capital en un bono que paga el 9% de interés anual y el doble de dinero en otro bono que paga el 11%. Escriba en términos de x. a) El beneficio total al cabo de un año; b) El capital total al cabo del primer año de inversión. Solución: a) El primer bono obtendrá al cabo del año por concepto de intereses 0.9 x , el segundo bono obtendrá 0.112 x  y el beneficio entre los dos bonos será de 0.9 x  0.22 x  0.31x . b) El capital total al cabo de un año es el capital inicial más el interés total al cabo de un año, en términos algebraico esto es x  0.31x  1.31x

Ejercicio de desarrollo.a) Un obrero trabaja 8 horas en un aserradero. De ese tiempo se dispondrá x horas en pelar troncos. Exprese el tiempo restante en términos de x. b) La cantidad de kilos de tomate que produce una finca es q. Otra finca produce 25% menos que la primera. a) Exprese la producción en kilos de la segunda finca en términos de la primera. b) Exprese la producción total en kilos de las dos fincas en términos de q c) La producción de una truchicultura es q kilos semanales. La de otra truchicultura es 3 veces más que la primera. a) Exprese la producción semanal en kilos de la segunda truchicultura en términos de q. b) Exprese la producción total en kilos en términos de la primera.

¿MAGIA O MATEMÁTICAS? Piense un número: 1. Súmele 3. 2. Calcule el triple de ese resultado 3. Réstele 1 4. Quítele el número original que pensó 5. Calcule la mitad del número anterior 6. Si le resta 4 obtendrá el número original que pensó.

41

Veamos la justificación. Si x representa el número que se piensa entonces las operaciones son: 1. Súmele 3: x3 2. El triple : 3 x  3 3x  3  1 3. Réstele 1: 4. Quítele el número original que pensó: 3x  3  1  x  3x  9  1  x  2 x  8 2x  8 5. La mitad x4 2 6. Si le resta 4 obtendrá el número original que pensó: x

EJERCICIOS 3.5 1) Expresar en un lenguaje algebraico. 1.1) La distancia entre dos ciudades A y B es 20 km. Se quiere construir una estación de servicio entre las dos ciudades. Si x es la distancia de A a la futura estación. Exprese la distancia de la futura estación a B en términos de x. 1.2) Sea c el costo de adquisición de una nevera. El comerciante fija el precio de acuerdo a la siguiente regla: Al costo de adquisición le suma el costo de envío que es de 10UM por nevera. Luego la cantidad resultante la triplica. Exprese el precio de venta de la nevera en términos de c. 1.3) Un capital de 5.000 se va invertir en dos bonos, uno que paga el 5% anual y el otro paga el 6% anual. Si invierte x en el primer bono y lo demás en el otro bono. Exprese el interés total generado al cabo de un año. 1.4) Sea p el precio marcado en la etiqueta de una prenda de vestir. La tienda aplica una rebaja del 30% sobre el precio marcado y luego sobre este nuevo precio se vuelve aplicar una rebaja del 20%. Exprese el precio del artículo ya rebajado en términos del precio de la etiqueta. 1.5) Una tienda tiene un artículo a un precio p. La otra tienda tiene el mismo artículo 2 UM más caro. Exprese el precio del artículo en la segunda tienda en términos del precio de la primera 1.6) Un señor tiene dos truchiculturas con rendimientos distintos. En la primera truchicultura por cada inversión de 1UM se saca 2 kilos de truchas, en la segunda por cada 1UM se saca en promedio 2.3kg. Si se hace una inversión total de 1000UM entre las dos y x representa la cantidad invertida en la primera truchicultura. Exprese a) la producción en kilos de la primera truchicultura; b) la producción en kilos de la segunda truchicultura; c) la producción total en kilos; d) Si la industria tiene como costumbre regalar 55 kilos de truchas cuando hace una inversión de 1000UM, expresa la cantidad de kilos de truchas que tienen para la venta. 1.7) Se tiene un lote de 500 pen-driver. Los primeros x se venden a 5.5 UM cada uno, el resto se venden a 6UM cada uno. Exprese la venta total en términos de x. 1.8) El precio del corte en una barbería es de 30UM. A ese precio acuden 120 clientes a la semana. Se estima que por cada aumento de una unidad monetaria en el corte dejarán de ir a la barbería 3 clientes. a) Exprese el precio en término de x, número de incrementos de una unidad monetaria en el precio. b) Exprese el número de clientes a la semana en términos de x. 1.9) Un obrero hace un trabajo completo en 6 horas. Escriba la fracción de trabajo que realizará en x horas. 2) ¿Cuánto da, en términos de x, la siguiente sucesión de instrucciones? Justifique. 2.1.- Sea x un número. 2.2- Se le resta 2. 2.3.- A esta cantidad se la multiplica por 5. 2.4.- Al resultado se le resta el triple del número original x. 2.5.- Al número obtenido se le resta 10. 2.6.Calcule ahora la mitad. 3) Cree su propio truco para adivinar un número. Justifique