Capítulo 1

Segmento y ángulo En la primera parte de este capítulo, estudiaremos la noción de segmento de recta asociada con su longitud y con la idea de distancia entre dos puntos sobre una línea recta. Resolveremos problemas que tratan sobre longitud o distancia entre dos puntos, en ellas las longitudes o distancias entre dos puntos permanecen estáticas o bien cambian en el tiempo o con respecto a otra longitud o cantidad física de manera lineal o no lineal. En la segunda parte, trabajaremos con la noción de ángulo, veremos su clasificación según su medida y por su relación con otros ángulos. Además de deducir propiedades entre parejas especiales de ángulos, deduciremos dos propiedades importantes sobre ángulos las cuales tienen amplia aplicación en la resolución de problemas sobre triángulos y relación de triángulos semejantes: (i) ángulos entre paralelas y una transversal y (ii) suma de los tres ángulos internos de una región triangular. Resolveremos problemas sobre cálculo de la medida de ángulos en situaciones estáticas o dinámicas cuyas medidas varían en función de otras magnitudes geométricas o físicas variables de manera lineal o no lineal. En su resolución ilustraremos el uso de una o ambas propiedades.

Capitulo1. Segmento y ángulo

2

1.1 Segmento1 Segmento. Como en la Figura 1.1.1, sobre la recta L, seleccionemos un punto de referencia O, movamos un punto M –sobre– L de tal manera que podamos acercarlo, alejarlo (en cualquier lado de O) Para una posición fija cualquiera de M respecto a O (en cualquier lado de O), al conjunto de puntos –sobre– L entre O y M inclusive los mismos O y M, le llamamos segmento lineal o segmento de recta de extremos O y M (o simplemente segmento) y lo simbolizamos con OM2.

L M O Figura. 1.1.1 Generación del segmento OM sobre la recta L

Si admitimos, el caso extremo, posicionar M sobre O diremos que se trata de un segmento degenerado en un punto. Con el fin medir que “el tamaño o largo” de un segmento, debemos asociarle un valor numérico no negativo, para ello es necesario recurrir a la noción de semirrecta graduada. Consideremos la semirrecta S con punto inicial O. Asociemos a cada punto de S un único número real no negativo como el la Figura 1.1.2.

0

B

A

O 1/2

1

S ⌦ 7/4

2

3 π

4

Figura 1.1.2. Semirrecta graduada

Asociemos a O el 0 y le llamamos origen. Tomamos otro punto arbitrario A distinto de O sobre S y le asociamos el 1 y decimos que OA tiene longitud 1 que le llamamos unidad de longitud. Decimos también que la distancia de O a A es 1. Al punto B situado sobre S a dos unidades de longitud de O le asociamos el 2. Al punto sobre S situado a tres unidades de longitud de O le asociamos el 3, y así sucesivamente. También se puede asociar puntos con números racionales positivos, tales como ½ situado a media unidad de longitud de O. Se puede inducir que los números irracionales positivos también se pueden asociar con puntos de S. Suponemos que el lector ya conoce procedimientos intuitivos para su construcción. En el Capítulo 2 esbozaremos un procedimiento informal e intuitivo para aclarar su proceso de construcción.

1

Algunos objetos geométricos y relaciones geométricas, tales como plano, región, punto, recta, semirrecta y paralelismo entre rectas, los usaremos sin definirlos, creemos que el lector posee nociones intuitivas visuales de los mismos. 2 En cálculo se estudian algunos segmentos que no contienen sus extremos.

1. 1. Segmento

3

Longitud de un segmento. Consideremos el segmento OM y una semirrecta graduada S que tomamos con patrón de medida. Para medir OM desplacemos S de tal manera que su origen coincida con cualquiera de los extremos de OM y todo punto de OM sea punto de S. Como en la Figura 1.1.3, si hacemos coincidir el origen con O, M coincidirá con P de S, entonces, si P tiene asociado el número r, decimos que la longitud de OM mide o es de r unidades de longitud, o que la distancia de O a M mide o es de r unidades de longitud3. O

S 0

1

2

3

0

S

M

O

M

P 1

2

3

r

Figura 1.1.3 Medición de la longitud de un segmento. OM mide r unidades de longitud.

En otras palabras, la longitud de un segmento es el número de unidades de longitud (no necesariamente entero) que caben en el. Notemos que la distancia de O a M la medimos sobre la semirrecta S 4 tomando como punto de referencia su extremo O. En ingeniería existen varios sistemas y respectivas unidades de longitud. Por ejemplo, para el sistema mks., los patrones unitarios pueden ser; 1nanom, 1cm, 1m, 1km, 1año luz, etc., según sean más cómodos de usar. Para expresar que el segmento OM mide x unidades de longitud, escribimos OM = x, es decir, igualamos el símbolo del segmento con su longitud. Este tipo de ecuaciones las usaremos en lo sucesivo para otros elementos geométricos y sus medidas. Segmento de longitud variable. En la figura 1.1.1, al desplazar M –continuamente “sobre” L, podemos interpretar que generamos –un– segmento cuya longitud varía de manera continua tomando un intervalo de valores reales.5 Segmento de longitud cero e infinita. En la Figura 1.1.1, Como ya lo mencionamos más arriba, si ubicamos M sobre O el segmento se reduce a un punto, le asociamos longitud cero y le llamamos segmento nulo. Si admitimos que M se aleje infinitamente de O, OM se transforma en una semirrecta, decimos OM tiene longitud infinita. Segmentos congruentes. Se dice que dos segmentos son congruentes si tienen igual longitud independientemente de su posición en el plano o espacio. Como en la 3

En la práctica, S puede ser una regla graduada, una cinta graduada o algún método indirecto para medir longitudes o distancias entre dos puntos según algún sistema de medidas. 4 En general la distancia entre dos puntos puede medirse sobre una trayectoria cualquiera no necesariamente sobre una línea recta. En particular, como estudiaremos en el Capítulo 2, si se mide sobre una circunferencia tenemos lo que se llama longitud de arco. En cálculo se estudian los conceptos de distancia entre dos puntos y longitud de arco sobre una trayectoria no lineal en el plano y el espacio. Aquí, cuando no se especifique, entenderemos como distancia entre dos puntos como aquella medida sobre una línea recta. 5 Informalmente, decimos que la longitud varía continuamente en [a, b] si ella toma continuamente “todos” los valores en dicho intervalo.

Capitulo1. Segmento y ángulo

4

Figura 1.1.4 comúnmente se dibujan con ciertas marcas o señas para describir su igualdad.

B

C D

A Figura 1.1.4 Las barritas describen que el segmento AB es congruente con al segmento CD, es decir que tienen la misma longitud.

Segmentos en aplicaciones. En aplicaciones geométricas de ingeniería, no interesa en sí, el propio segmento, sino su longitud o medida considerada como la distancia entre sus dos puntos extremos, puede representar la longitud de algún atributo lineal de un objeto: una altura, una profundidad, un espesor, el radio de una circunferencia, etc. Por otro lado, en algunas aplicaciones el punto de referencia O puede también desplazarse sobre alguna trayectoria. Las longitudes de segmentos lineales o distancia entre dos puntos se presentan en procesos o situaciones donde sus longitudes son constantes fijas, o varían continuamente al variar o –hacer– variar otras magnitudes. La variación (crecimiento o decrecimiento) de una distancia puede ser lineal (con rapidez 6 constante). Existe una variedad de problemas geométricos asociados a tales procesos en los que necesitamos conocer, describir o predecir distancias entre dos puntos sobre una recta. Veamos algunos ejemplos. •Ejemplo 1.1.1 Crecimiento de una distancia con rapidez constante. Un móvil parte de un punto ubicado a 50 m. de un punto de referencia y se desplaza sobre una línea recta alejándose del punto de referencia durante 6 segundos con velocidad constante de 2m/s, Exprese la distancia del móvil al punto de referencia en función del tiempo. Resolución. Primeramente, vemos que si el móvil avanza 2 m/s, entonces la distancia de recorrida aumenta 2 m/s. Denotemos con t (seg.) al tiempo transcurrido y con L (m) la distancia recorrida en el tiempo t. Puesto que L crece con velocidad constante, usando el modelo de crecimiento lineal, Ecuación (1.1.1), y según Figura 1.1.5

distancia recorrida  distancia  velocidad tiempo   = + ×   en el instante t  inicial  constante  tanscurrido t  O

M

P 2t

50 L = 50 + 2t 6

También se usan los términos de: velocidad, razón o tasa, como equivalentes al término rapidez.

(1.1.1)

1. 1. Segmento

5

Figura. 1.1.5 La distancia recorrida crece linealmente en el tiempo

tenemos que L es función lineal de t, L (t ) = 50 + 2t ,

0≤t≤6

(1.1.2)

Dejamos al lector el trazo de su gráfica cartesiana e interpretación física de la pendiente y punto intercepto en y del segmento de recta Hay situaciones en las que cierta longitud varía cuando –hacemos– variar otra longitud, estableciendo así que la primera es función de la segunda,

•Ejemplo 1.1.2 Relación entre longitudes de segmentos. El punto C está sobre AB =10. Si CB = x . Exprese AC en función de x y determine su dominio. Resolución. En la Figura. 1.1.6 se presentan los segmentos,

A

B

C f(x)

x 10

Figura 1.1.6 AB =10, CB = x

Si denotamos como AC = f (x) . Del dibujo tenemos la función lineal f ( x ) = 10 − x , 0 ≤ x ≤ 10

(1.1.2)

Si hacemos que x aumente (en su dominio), f(x) disminuye en la misma cantidad, así AC es función lineal decreciente de CB Bajo ciertas circunstancias se puede considerar a una longitud, aproximadamente, como función lineal de una magnitud física variable, este es el caso de un termómetro ambiental.

•Ejemplo 1.1.3 La altura en función de la temperatura. La escala de un termómetro de mercurio marca aproximadamente 1°C a cada 1.5mm. Cuando la temperatura es de 0 °C la altura del mercurio medida desde la escala de –30°C mide 45mm. Exprese la altura del mercurio en función de la temperatura, y determine la altura cuando la temperatura es de 10°C.

Capitulo1. Segmento y ángulo

6

Resolución. Denotando con T la temperatura en °C y con h la altura en mm que le corresponde, si suponemos que h es función lineal de T 7, entonces, h crece a razón constante de 1.5mm/°C. Con la ecuación punto pendiente obtenemos, h(T ) = 1.5T + 45,

− 30 ≤ T ≤ 50

(1.1.3)

La altura del mercurio cuando T = 10 , es h (10) = 60 mm . Su gráfica cartesiana se muestra en la Figura 1.1.7 h 120

100

80

60

40

20

T -20

20

40

Figura 1.1.7 Gráfica lineal de la altura h en mm del mercurio en función de la temperatura T en °C. La pendiente del segmento es 1.5 y el punto intercepto en el eje vertical es 45.

En algunos problemas geométricos, el cálculo de una distancia fija se basa en la construcción de ecuaciones a partir de las condiciones explicitas o que se inducen del problema.

•Ejemplo 1.1.4 Ancho de un río. Dos botes cruzan un río recto de aguas tranquilas partiendo simultáneamente en lados opuestos a velocidades constantes pero diferentes sobre líneas paralelas. Se encuentran por primera vez a m metros de uno de lados, y de regreso se encuentran a n metros del otro lado. Exprese el ancho del río en términos de m y n. Resolución. Primeramente leamos, entendamos, imaginemos lo descrito en el enunciado del problema y hagamos un dibujo de la situación. La Figura 1.1.8 es una ilustración apropiada del problema.

7

En la realidad la relación entre la altura y la temperatura no es lineal, en ciertos termómetros, para bajas temperaturas la altura crece con más rapidez que para altas temperaturas. Es decir se trata de una función creciente cóncava hacia abajo.

1. 1. Segmento

7

x Bote 1

x-m n

B

A

m

Bote 2

x-m

Figura 1.1.8 Un dibujo nos ayuda a mejorar nuestra comprensión del problema y descubrir relaciones para plantear ecuaciones. En ella debemos incluir datos y la incógnita principal.

Denotemos con x el ancho del río. Esta es nuestra incógnita principal. A es primer punto de encuentro ubicado a m metros del lado de partida del bote 2, B es el segundo punto de encuentro ubicado a n metros del lado de partida del bote 1. Los recorridos se expresan según se muestran en la Figura 1.1.8. Nuestra estrategia será, construir un sistema de ecuaciones y resolverlo para x. Esta estrategia será de uso común en la resolución de muchos problemas sucesivos de este texto. Construyamos, pues, ecuaciones que contengan x. Puesto que los botes viajan a velocidad constante, usamos un caso particular de la ecuación (1.1) con distancia inicial igual a cero.

distancia  velocidad tiempo   = ×   recorrida  constante  transcurrido 

(1.1.4)

Notemos que, el tiempo que emplea cada bote en su respectivo recorrido desde que parte hasta llegar a A, es el mismo para ambos. Si denotemos con t1 a este tiempo, y con v la velocidad del bote 1 y con w la velocidad del bote 2, tenemos según la ecuación (1.4),

x − m = vt1

(1.1.5)

m = wt1

(1.1.6)

Así también, notemos que el tiempo que emplea cada bote en su respectivo recorrido desde A, llegar al otro lado del río y regresar para llegar a B, es el mismo para ambos (si no se detienen en ningún momento). Si denotemos con t2 a este tiempo, tenemos,

m + x − n = vt 2

(1.1.7)

x − m + n = wt 2

(1.1.8)

En el sistema de ecuaciones (1.1.5), (1.1.6), (1.1.7) y (1.1.8); t1, t2, v y w, son incógnitas auxiliares. En algunos problemas es necesario introducir incógnitas auxiliares para plantear un sistema consistente de ecuaciones que contenga la incógnita principal.

Capitulo1. Segmento y ángulo

8

Habiendo construido o planteado el sistema de ecuaciones, debemos resolver el sistema para la incógnita principal x. Para ello usemos técnicas de resolución de sistema de ecuaciones, a fin de eliminar las incógnitas auxiliares y determinar la incógnita principal, Así por ejemplo, para eliminar la v, dividamos lado a lado de (1.1.5) y (1.1.7),

t1 t2

=

x−m

(1.1.9)

m+x−n

De (1.1.6) y (1.1.8) tratemos de eliminar w y obtener el cociente t1 / t 2 . Esto se logra también al dividir lado a lado de (1.1.6) y (1.1.8),

t1 t2

=

m

(1.1.10)

x−m+n

Ahora, claramente para eliminar el cociente t1 / t 2 , igualemos (1.1.9) con (1.1.10), para obtener una ecuación con solamente la incógnita principal x, x−m m+ x−n

=

m x−m+n

(1.1.11)

De la cual obtenemos, x = 3m − n

(1.1.12)

Finalmente, antes dar nuestra respuesta, es aconsejable comprobar e interpretar la consistencia de (1.1.12) con la situación física del problema para algunos casos particulares o extremos. Así, si m = n , los botes se encontrarían la primera vez en el punto medio del ancho del río, es decir el ancho del río debe ser el doble de las distancias recorridas. Ahora, de (1.1.12) el ancho del río es x = 2 m , la cual es coherente con que se encuentran en el punto medio. Si n = 0 , implica que la segunda vez que se encuentran sucede en el punto de partida del bote 1, es decir el bote 1 recorre el doble de distancia que del bote 2, entonces, al encontrarse en el punto A, el bote 1 debe haber recorrido el doble de distancia que el bote 2, así que si la distancia que recorrió el bote 2 es m, el bote 1 recorrió es 2m, y por tanto, el ancho del río es de 3m; el mismo resultado que se obtiene al sustituir n = 0 en (1.1.12). Al menos para estos tres casos particulares se comprueba la validez de (1.1.12). Por tanto, afirmamos que el ancho de río es de 3m − n metros con 3m > n Hay problemas geométricos en los que una distancia es función no lineal de otra distancia que varía o se hace variar en cierto dominio físico. La construcción de su fórmula requiere conocimientos y procedimientos geométricos que estudiaremos en los próximos capítulos. Sin embargo, aún sin conocer su fórmula se pueden estudiar y describir muy bien por medio de programas de geometría dinámica. Veamos el problema del ejemplo 1.1.5

1. 1. Segmento

9

Ejemplo 1.1.5 Distancia variable entre dos móviles. En la Figura 1.1.9, el móvil M parte de A hacia B sobre AB . Al mismo tiempo el móvil N parte de B hacia C sobre BC . Si los móviles se desplazan con –igual– velocidad (constante o variable)

A x M 6 y

B

x

N

C 6

Figura 1.1.9 M se desplaza de A a B y N se desplaza de B a C, ambos con la misma velocidad, MN es la distancia entre ambos. Denote AM = x y MN = y , se ve que al hacer variar x en su dominio, y varía en consecuencia, es decir y es función de x, y = f (x ) Describa cómo cambia la distancia y con respecto al distancia x, trace la gráfica cartesiana y = f (x ) . Determine la distancia mínima entre los móviles, cuál es su valor y cuando sucede.

Resolución. Para percibir como va cambiando la distancia entre los móviles, al avanzar M sobre AB ejecute la Simulación 1.1 Distancia Una copia de pantalla de esta actividad, adjunta una tabla de valores, se muestra en la Figura. 1.1.10 Arrastre M desde A hasta B, (repita las veces que sean necesarias), observe los valores numéricos que van tomando las longitudes AM = BN = x , y la longitud MN = y , observe la gráfica cartesiana que se va generado al lado derecho. Establezca las siguientes observaciones y afirmaciones a fin de responder las preguntas planteadas. •

8

Las longitudes de AM y de BN siempre son iguales8, pues los móviles M y N se desplazan con la misma rapidez.

Debido a características de cálculo propias del CABRI, para algunas posiciones de M y N las distancias la presenta aproximadamente iguales. Esta situación de cálculo aproximada puede suceder o darse en otras simulaciones sucesivas.

Capitulo1. Segmento y ángulo

10

• • • •

•

La distancia entre M y N denotada con y, depende de la distancia recorrida por M denotada con x, percibimos así que y es función de x. Al crecer la distancia x de 0 a 6 la distancia y inicia decreciendo desde 6, toma un valor mínimo, luego crece hasta 6. En el intervalo donde y decrece, lo hace cada vez menos con respecto a x; y en el intervalo donde crece, lo hace cada vez más con respecto a x. y toma un valor mínimo de aproximadamente 4.23 y sucede cuando x = 3. Esto es, la distancia menor que habrá entre los móviles es de 4.23 y sucederá cuando el móvil M ha recorrido 3, en el punto medio de su recorrido total. El dominio de f es [0. 6] y el rango de f es [4.24, 6]

Suponiendo que AB y BC son perpendiculares, más adelante, construiremos la fórmula y = f (x ) , la graficaremos, y comprobaremos las observaciones y respuestas obtenidas en esta simulación A

y = f(x)

AM = x = 1,58 cm BN = x = 1,58 cm MN = y = 4,69 cm

x M

6

P(x, y)

y

B

x

y

1 C

N 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

AM = x = MN = y = AM = x = 0.50 5.52 1.00 5.10 1.50 4.74 2.00 4.47 2.50 4.30 3.00 4.24 3.50 4.30 4.00 4.47 4.50 4.74 5.00 5.09 5.50 5.52 6.00 5.99

x

1

Figura 1.1.10 Copia de una pantalla de la Simulación 1.1.1 Distancia. Ilustra la naturaleza de cambio de la distancia de y respecto a la distancia x, y la existencia de un valor mínimo en y. Comentario 1.1.1. Observemos la gráfica cartesiana de la Figura 1.1.8, imaginemos lo que sucede en las proximidades del, y en el valor mínimo de y = f (x ) (3, 4.24). “Viene” decreciendo cada vez menos, en el mínimo deja de decrecer, e inicia a crecer cada vez más; podemos decir, en este caso, que en “exactamente” el mínimo, y = f (x ) no decrece ni crece, se dice que la rapidez o razón de cambio de y con respecto a x debe ser ¡igual a cero! Este hecho importante se formaliza y estudia en cálculo diferencial, y se utiliza en la resolución de problemas de máximos y mínimos con la metodología del cálculo.

Problemas 1.1 1.

Construcción de f(x). (i) Sobre AB de longitud x se ubica el punto M. Si AM mide 2/3 de x y f(x) denota la longitud de MB . Construya la fórmula de f(x) y establezca su dominio ideal.

1. 1. Segmento 11

(ii)

0