CAPITULO 2. PROPIEDADES DEL CAMPO DE VELOCIDAD. La velocidad es una función continua del espacio, es decir un campo. Las propiedades cinemáticas del campo de velocidad son determinadas por su divergencia, ∇· v, y por el rotor, ∇×v. Se adoptará un sistema de coordenadas con en el eje x positivo hacia el este, eje y positivo hacia el norte y el eje z hacia arriba en dirección de la línea de acción de la fuerza gravitacional. Como el plano xy es tangente a la superficie de la tierra, las coordenadas xyz se conocen como “coordenadas del plano tangente”. Pero se aplica sólo localmente, en un punto. COORDENADAS NATURALES. Es un sistema de coordenadas útil para describir la dinámica del movimiento de un fluido. Aunque se pueden formular en tres dimensiones, veremos sólo los aspectos en dos dimensiones. Usando las coordenadas naturales, se puede distinguir entre trayectoria y línea de corriente de una parcela de fluido. Trayectoria: Es la curva descrita por las posiciones sucesivas de una parcela de fluido en movimiento. En un instante dado, el vector velocidad es tangente a la trayectoria. Línea de corriente: Es una línea cuya tangente en cualquier punto del fluido en movimiento es paralela a la velocidad instantánea. Las trayectorias y las líneas de corriente generalmente no coinciden, excepto en el caso de flujo estacionario. En la figura se ilustran ambas líneas

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VA FIGURA En la horizontal se usa una coordenada s a lo largo de la trayectoria o de la r línea de corriente. La velocidad v que es tangente a la línea en P define un ) vector unitario t tangente en P. Para mantener el sistema ortogonal derecho, se elige una coordenada normal n en P, con vector unitario n) . La tercera ) coordenada puede ser la vertical local z con vector unitario k . VA FIGURA

Los vectores unitarios se relacionan con la regla: ) ) ) ) ) ) t × n) = k , n) × k = t ; k × t = n) Considerando una parcela de fluido que en un pequeño dt se mueve ds desde r P1 a P2, y donde v gira un ángulo d θ , que por convención se considera positivo si la rotación es antihorario. VA FIGURA

De la figura: ds = Rdθ , con R radio de curvatura de la trayectoria. Se define

dθ 1 = ≡ K curvatura de la trayectoria. ds R 2

Cap. 2

dθ ds es una derivada material, es decir que describe los cambios de la r dirección de v siguiendo la trayectoria de la parcela de fluido. Si la curva fuera una línea de corriente, los puntos P1 a P2 serían para un mismo instante. En este caso se tiene: ∂θ 1 = ≡ K s curvatura de la línea de corriente, y Rs el radio de curvatura ∂s Rs de la línea de corriente. Según la convención K, Ks, R, Rs

> 0 si d θ > 0

giro antihorario

< 0 si d θ < 0

giro horario

)

El vector unitario t no es constante. Se puede demostrar que su derivada es ) ) ) normal a t . Por ejemplo si t = t (ε ) , como es unitario ) ) ) ) )) ) ) ) dt ) dt d (t ⋅t ) dt ) dt ) + ⋅ t = 0 ⇒ 2t ⋅ =0⇒ ⊥t t · t =1 ⇒ =0 t · dε dε dε dε d ε )

)

Como t está en el plano horizontal, d t /dε debe ser un vector en dirección ± ) n

)

)

)

Se deja como ejercicio demostrar que si t cambia a t +d t cuando gira un d θ , entonces ( pag, 103- 104 de Riegel) ) dt ) =n dθ ) ∂t ) =n ∂θ

para trayectorias para líneas de corriente )

Interesan también las derivadas de t respecto de n y s, es decir normal y a lo largo de la línea de corriente o trayectoria. Por la regla de la cadena

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) ) ) dt dt dθ dt ) = = Kn → = Kn) trayectorias ds dθ ds ds ) ∂t = K s n) líneas de corriente ó ∂s De la misma forma: ) dt dθ ) = n trayectorias dn dn ) ∂t ∂θ ) = n líneas de corriente ∂n ∂n )

También interesa la derivada de t respecto al tiempo: ) ) ) dt dt ds dt ) = =V = VK n dt ds dt ds

) dt = Kvn) ∴ dt ) ∂t ∂θ ) = n ∂t ∂t

trayectorias

línea de corriente

En la tabla se da resumen: Trayectorias dθ 1 = K = ds R dtˆ = n) dθ dtˆ = Kn) ds dtˆ dθ = nˆ dn dn dtˆ = Kvnˆ dt

Líneas de corriente ∂θ 1 = KS = ∂s RS ∂tˆ = n) ∂θ ∂tˆ = K S n) ∂s ∂tˆ ∂θ = nˆ ∂n ∂n ∂tˆ ∂θ = nˆ ∂t ∂t

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Cap. 2

DIVERGENCIA. Es una importante propiedad del campo de velocidad. La divergencia del campo de velocidad en el espacio es: ∂u ∂v ∂w r r + + divv = ∇ ⋅ v = ∂x ∂y ∂z La velocidad instantánea, si vH es el viento horizontal, se puede escribir en coordenadas naturales como: r v H = v H tˆ El operador nabla en coordenadas naturales es: ∇H =

∂ ∂ tˆ + nˆ ∂s ∂n

Entonces la divergencia se escribe: ∂ r ∇ H ⋅ v H =  tˆ  ∂s ∂v r ∇ H ⋅ vH = + ∂s

∂ (v H tˆ ) ∂ (v H tˆ ) ∂  nˆ  ⋅ v H tˆ = ⋅ tˆ + ⋅ nˆ ∂n ∂n  ∂s ∂tˆ  ∂tˆ  v ⋅ tˆ + ⋅ nˆ  ∂n  ∂s  +

Reemplazando las definiciones de ∂ˆt ∂s y ∂ˆt ∂n se llega a: ∂v H ∂θ r ∇ H ⋅ vH = + vH ∂s ∂n Indica que la divergencia horizontal del viento se debe a la contribución de dos efectos: 1. Al término ∂v/∂s llamado divergencia longitudinal, con ∂v/∂s > 0 si el viento aumenta corriente abajo a lo largo de las líneas de corriente.

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2. Al término v∂θ/∂n llamado divergencia transversal, con v∂θ/∂n > 0 si la línea de corriente diverge en dirección normal al flujo. Estos efectos se ilustran en la figura:

Es posible que el flujo sea no divergente, aunque las líneas de corriente parezcan indicar convergencia o divergencia. El flujo es no divergente cuando el campo de viento se ajusta de manera que ∂v/∂s se balancea con v∂θ/∂n. Geométricamente, la divergencia se asocia con la tasa de cambio del área por unidad de área entre líneas de corriente, esto es: 1dA r ∇⋅v = Adt Si el movimiento es tal que el área no cambia su valor numérico, aunque cambie su forma, el flujo es no divergente, como se ilustra en la figura:

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VORTICIDAD. Matemáticamente es el rotor del vector velocidad. En dinámica de fluidos, para el campo de velocidad, se llama vorticidad. Es una extensión del concepto de velocidad angular de una parcela de fluido que rota en torno a algún eje. r Si v = uiˆ + vˆj + wkˆ , la expresión matemática de la vorticidad es definida por el vector q,  ∂w  ∂v ∂v  ∂w  ∂u  ˆ  ∂u r r iˆ +  k q = ∇ × v =  − − −  ˆj +  ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x ∂ x ∂ y       La vorticidad es un campo vectorial y se pueden dibujar curvas que son tangentes al vector q en cada punto. Se define línea de vórtice a una curva tangente en cada punto al vector vorticidad en ese punto. De particular interés es la tendencia de la parcela de fluido geofísico a rotar en torno a la vertical local. Esta se representa por la componente vertical de la vorticidad, se denota con el símbolo ζ ∂v ∂u − ζ = kˆ ⋅ ∇ × vr = ∂x ∂y En meteorología cuando se habla de vorticidad se refiere frecuentemente sólo a la componente vertical ζ. Como v o vH es el viento relativo, es decir el viento relativo a un punto sobre la superficie de la Tierra que gira, ζ corresponde a la vorticidad relativa. A menos que se diga lo contrario se hablará de vorticidad refiriéndose a ζ. La vorticidad tiene signo; en el hemisferio sur se tiene (NOTA: sentido ciclónico se refiere al mismo sentido de la rotación terrestre):

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ζ > 0: ζ anticiclónica, rotaciónantihoraria

ζ < 0: ζ ciclónica, rotación horaria

En coordenadas naturales, considerar una línea de corriente donde en un punto se tenga:

r v H = vtˆ La vorticidad en coordenadas naturales será: ∂  ∂ r ∇ H × v H =  tˆ + nˆ  × (vtˆ) ∂n   ∂s Desarrollando esta expresión y usando las definiciones apropiadas, se llega a la relación: ∂v  ˆ  r ∇ H × v H =  vK S − k ∂n   r y para la componente vertical de la vorticidad, calculando ζ = kˆ ⋅ ∇ H × v H ,

ζ = vK S −

∂v ∂v v = − ∂n ∂n RS

El primer término se llama de curvatura y el segundo se llama término de la cortante (del viento). Por lo tanto la vorticidad (o la rotación de la parcela de fluido en torno a un eje a través de su centro de masa) se debe a la 8

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superposición de dos efectos: el efecto de la curvatura de la línea de corriente y el de la cortante de la velocidad normal al flujo. Esto explica porque, como se ilustra en el esquema de más abajo: 1. Un flujo en línea recta puede tener vorticidad; este flujo no tiene curvatura, pero si existe una variación de la velocidad normal a la dirección del flujo, la vorticidad no es cero. 2. Un flujo con curvatura puede ser irrotacional (ζ = 0) cuando el efecto de curvatura se balancea exactamente con el efecto de la cortante.

En un esquema de un flujo circular como un ejemplo de flujo curvado, si la parcela en dirección A tiene ζ > 0 en el hemisferio sur, pero si la velocidad se ajusta adecuadamente, la parcela según la dirección B tendrá ζ < 0, resultando ζ = 0 en total. HS

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En el hemisferio sur, la distribución de velocidad y la curvatura alrededor de los sistemas de baja (alta) presión es tal que ζ < 0 (ζ > 0), que llamamos vorticidad ciclónica (anticiclónica). En el HN cambian de signo. Esquema:

FUNCIÓN CORRIENTE. Si en un flujo horizontal se tiene div v = 0, se dice que es no divergente. Para estos flujos las componentes de la velocidad son tal que: ∂u ∂v ∂u ∂v r + ⇒ = − ∇⋅v = 0 = ∂x ∂y ∂x ∂y

Matemáticamente, esta relación requiere que la diferencial vdx – udy sea exacta, es decir existe una función ψ = ψ(x,y) tal que:

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dψ =

∂ψ ∂ψ dx + dy = vdx − udy ∂x ∂y

Entonces, las componentes de la velocidad se pueden expresar en términos de la función ψ por: u = −

∂ψ ∂ψ ,v = ∂y ∂x

La función ψ se llama función corriente, sus dimensiones son m2/s. La velocidad se puede escribir ahora como: ∂ψ ∂ψ r ˆj v = uiˆ + vˆj = − iˆ + ∂y ∂x r ⇒ v = kˆ × ∇ψ La divergencia y la vorticidad en términos de la función corriente, se expresan de la siguiente forma: ∂  ∂ψ  ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂  ∂ψ  r  −  + = − + ≡ 0 ∇⋅v =   ∂y∂x ∂x  ∂y  ∂y  ∂x  ∂x∂y ζ = kˆ ⋅ ∇ × vr = ∇ 2ψ Las isolíneas de ψ = cte son siempre tangente al vector velocidad, así que por definición las isolíneas ψ = cte son líneas de corriente. Pero no se debe olvidar que las líneas de corriente existen siempre, aún para flujos divergentes, en cambio las líneas ψ = cte sólo existen cuando el flujo es no divergente. VELOCIDAD POTENCIAL. Considerando ahora el caso de un flujo irrotacional, es decir con ζ = 0, se tiene: ∂v ∂u − ζ = 0 = kˆ ⋅ ∇ × vr = ∂x ∂y

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de donde se deduce que las componentes de la velocidad satisfacen la relación ∂v ∂u = ∂x ∂y Este caso se da cuando el campo de viento es tal que existe un balance entre los efectos de curvatura y de la cortante del viento. Matemáticamente se obtiene un flujo irrotacional cuando el campo de velocidad horizontal se puede obtener en términos de una función escalar φ tal que v = ∇φ, así se tiene: ∂φ ∂φ r ˆj v = ∇φ = iˆ + ∂x ∂y ∂φ ∂φ ,v = entonces : u = ∂x ∂y La función φ se llama velocidad potencial, se mide en m2/s. De esta forma se cumple que ζ = 0, ya que: ∂ 2φ ∂ 2φ r ˆ ˆ − ≡ 0 ζ = k ⋅ ∇ × v = k ⋅ ∇ × ∇φ = ∂x∂y ∂y∂x Para la divergencia se obtiene: r ∇ ⋅ v = ∇ ⋅ ∇φ = ∇ 2φ Las isolíneas de φ = cte se llaman equipotenciales y son perpendiculares al flujo (que es irrotacional). Se dibujan en las figuras.

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En el caso especial en que flujo sea no divergente e irrotacional, se pueden representar en términos sólo de ψ ó de φ. En este caso: r ∇ ⋅ v = ∇ 2φ = 0

ζ = ∇ 2ψ = 0 es decir las funciones corriente y potencial satisfacen la ecuación de Laplace, por lo que se llama un flujo laplaciano. En este caso ψ y φ son funciones armónicas, ortogonales que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: ∂u ∂v ∂u ∂v = − ; = ∂x ∂y ∂y ∂x La mayoría de los flujos reales se pueden aproximar con distintos grados de realismo a los tres casos anteriores. Pero en general los flujos (especialmente el atmosférico) no son ni puramente divergente ni puramente irrotacional, y además interesa tener en cuentas las divergencias y rotaciones del flujo. Para hacer esto podemos elegir una función F vectorial que se escriba en la forma: r r F = ∇ × h + ∇Φ

donde h se llama potencial vectorial y Φ potencial escalar de F. Escrita F de esta forma, el primer término contiene todo el rotor de F y el segundo toda su divergencia. Si se elige h = z ∇Ψ, entonces: r ∇ × h = kˆ × ∇Ψ

lo que permite escribir la velocidad en la forma r v = kˆ × ∇Ψ + ∇Φ

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que se conoce como el teorema de Helmholtz, que dice que el campo de viento se puede descomponer en sus partes rotacional y divergente. De esta forma se puede considerar el campo de velocidad puramente irrotacional, puramente no divergente, o ambos o ninguno. También se llaman a Ψ y Φ función corriente y velocidad potencial, pero su forma funcional difieren de ψ y φ. El término kˆ × ∇Ψ se llama parte rotacional del viento y se denota por vψ, y el término ∇Φ se llama parte divergente del viento y se denota por vφ, así se escribe: r r r v = vψ + vφ

LINEAS DE CORRIENTE. En todo punto v es tangente a la línea r de corriente, y en dos dimensiones dR dR también es tangente. Además tˆ = , y como v es paralelo a dR, entonces ds r r v × dR = 0 , entonces: (uiˆ + vˆj ) × (dxiˆ + dyˆj ) = 0 (udy − vdx)kˆ = 0 dy v( x, y, t ) = dx v( x, y, t )

es la ecuación diferencial de las líneas de corriente. Si en dos dimensiones se escribe en la forma vdx − udy = 0 y si el flujo es no divergente, entonces existe ψ tal que u = -∂ψ/∂y, v = ∂ψ/∂x, reemplazando se tiene

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∂ψ ∂ψ dx + dy = dψ = 0 ∂x ∂y ⇒ ψ = cte. lo que indica que la función ψ coincide con las líneas de corriente. TRAYECTORIAS. Es la curva que se forma al unir las posiciones sucesivas de una parcela de fluido en movimiento, que se puede definir matemáticamente por la ecuación r dr r r = v (r , t ) dt con r y v en tres dimensiones. Cuando se determina r(t) para alguna condición inicial t = to, entonces se conoce la trayectoria de la parcela de fluido. En la mayoría de los casos, la solución de la ecuación diferencial es dificil, y debe simplificarse con suposiciones o usar métodos de solución numérica. Ejemplo. Para un flujo con componente zonal constante y meridional con perfil sinusoidal de la forma: u = U = cte > 0 , v = vo cos k ( x − ct )

vo, k y c ctes.

La ecuación de las líneas de corriente es: dy v vo = = cos k ( x − ct ) dx u U Integrando se obtiene: ys =

vo sen k ( x − ct ) + yo Uk

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Cap. 2

con yo cte de integración. Las líneas de corriente son sinusoidales, de amplitud vo/Uk.

Para determinar la función corriente ψ: dψ = vdx − udy dψ = vo cos k ( x − ct )dx − Udy ⇒ψ =

vo sen k ( x − ct )dx − Uy k

Resolviendo para y se obtiene: y=

vo ψ sen k ( x − ct ) − Uk U

que corresponde a las líneas de corriente, y por comparación se tiene que ψ = Uyo también es línea de corriente. El cálculo de la trayectoria da: dx = u =U dt dy = v = vo cos k ( x − ct ) dt ⇒ x(t ) = Ut + xo

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Si x = 0 para t = 0, entonces xo = 0, y x(t ) = Ut Se reemplaza en dy/dt: dy = vo cos k (Ut − ct ) = vo cos k (U − c)t dt vo ⇒ y (t ) = sen k (U − c)t + yo k (U − c) Para y = 0 en t = 0, entonces yo = 0, y las ecuaciones paramétricas de la trayectoria si la parcela de fluido está en el origen cuando t = 0 son: x(t ) = Ut y (t ) =

vo sen k (U − c)t k (U − c)

Si se despeja t de x y se reemplaza en y, se obtiene: y ( x) =

vo c  sen k 1 −  x k (U − c)  U

de donde se observa que la trayectoria no coincide con las líneas de corriente. En la figura se dibujan para el caso en que la línea de corriente se mueve con velocidad de fase c = U/2.

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