Cap´ıtulo 3: El anillo de los n´umeros enteros ´ Miguel Angel Olalla Acosta
[email protected] ´ Departamento de Algebra Universidad de Sevilla
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El anillo de los n´ umeros enteros
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Contenido
1
Introducci´on
2
Divisibilidad
3
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
4
Congruencias
5
El anillo Z/Zm
6
Los teoremas de Fermat y de Euler
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Introducci´ on
El conjunto de los enteros
¿Qu´e entendemos por n´ umeros enteros? Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
¿Qu´e podemos hacer con dos n´ umeros enteros? Sumarlos a + b Multiplicarlos a · b Ordenarlos a ≥ b
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Introducci´ on
La suma de n´umeros enteros
Propiedades de la suma de enteros: Es una operaci´ on interna, la suma de dos enteros es un n´ umero entero. Existe un elemento neutro, el 0, tal que a + 0 = 0 + a = a. Cada entero a tiene un opuesto −a tal que a + (−a) = 0. Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c. Propiedad conmutativa: a + b = b + a.
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Introducci´ on
El producto de n´umeros enteros
Propiedades del producto de enteros: Es una operaci´ on interna, el producto de dos enteros es un n´ umero entero. Existe un elemento neutro, el 1, tal que a · 1 = 1 · a = a. Propiedad asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c = a · b · c. Propiedad conmutativa: a · b = b · a. Propiedad distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c. Si a · b = 0 entonces a = 0 o b = 0. Propiedad cancelativa: Si a es un entero no nulo y a · b = a · c entonces b = c.
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Introducci´ on
Anillos y cuerpos
Anillos
Definici´on (Anillos) Un anillo es una terna (A, +, ·) formada por un conjunto A y dos operaciones internas y binarias, + y ·, verific´andose: 1 2
El par (A, +) es un grupo abeliano. Para todo x, y , z ∈ A se verifica 1 2 3
(xy )z = x(yz) (Propiedad asociativa). x(y + z) = xy + xz (Propiedad distributiva a izquierda). (x + y )z = xz + yz (Propiedad distributiva a derecha).
En general se usar´a la expresi´ on “sea A un anillo” sobreentendiendo las dos operaciones.
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Introducci´ on
Anillos y cuerpos
Anillos Definici´on (Anillo conmutativo) Si se verifica la propiedad conmutativa para el producto, Para todo x, y ∈ A, es xy = yx, se dice que el anillo es conmutativo o abeliano. Definici´on (Anillo unitario) Si existe un elemento neutro para el producto, Existe un elemento 1 ∈ A tal que 1x = x1 = x, ∀x ∈ A, se dice que el anillo es unitario o que tiene elemento unidad. Olalla (Universidad de Sevilla)
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Introducci´ on
Anillos y cuerpos
Ejemplos
1
Los conjuntos de n´ umeros Z, Q, R y C son anillos conmutativos y unitarios. La estructura de anillo de Z viene determinada por su estructura de grupo, puesto que el producto de dos enteros xy es la suma del n´ umero y x veces. Esto no ocurre para Q, R y C, obviamente.
2
El conjunto M(n) de las matrices n × n sobre Q, R o C es un anillo con respecto a la suma y al producto de matrices. Este anillo no es conmutativo pero s´ı es unitario.
3
Si A es un anillo conmutativo y unitario, el conjunto A[x1 , . . . , xn ] de los polinomios en n indeterminadas con coeficientes en A es tambi´en un anillo conmutativo y unitario.
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Introducci´ on
Anillos y cuerpos
Unidad y Cuerpo Definici´on (Unidad) Sea A un anillo unitario, un elemento de A se dice que es una unidad si posee un inverso multiplicativo. Es decir, x ∈ A es una unidad si ∃y ∈ A tal que xy = yx = 1. En este caso se escribe y = x −1 . Teorema (El grupo de las unidades) Sea A un anillo unitario y sea A∗ el conjunto de las unidades de A. Entonces A∗ , ·) es un grupo. Definici´on (Cuerpo) Un cuerpo es un anillo conmutativo y unitario en el que todo elemento no nulo es una unidad. Olalla (Universidad de Sevilla)
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Introducci´ on
Anillos y cuerpos
Divisor de cero y Dominio de integridad
Definici´on (Divisor de cero) Sea A un anillo conmutativo, un elemento x ∈ A distinto de cero se dice divisor de cero si existe y ∈ A no nulo tal que xy = 0. Definici´on (Dominio de integridad) Un anillo conmutativo y unitario sin divisores de cero se dice dominio de integridad.
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Introducci´ on
Anillos y cuerpos
Propiedad cancelativa
Teorema (Dominio de integridad y propiedad cancelativa) Sea A un anillo conmutativo y unitario, son equivalentes: 1
A es dominio de integridad.
2
El anillo A satisface la propiedad cancelativa. Es decir, xy = xz ⇒ y = z para cualesquiera x, y , z ∈ A con x 6= 0.
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Introducci´ on
El orden de los n´umeros enteros
Propiedades del orden de enteros: Propiedad reflexiva: a ≥ a. Propiedad transitiva: si a ≥ b y b ≥ c entonces a ≥ c. Propiedad antisim´ etrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b. Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a. Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee un m´ınimo. Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a. Si a ≥ b entonces a + c ≥ b + c. Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c. Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c.
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Divisibilidad
Divisibilidad
Si a y b son enteros, ¿Qu´e significa “a divide a b”? Definici´on (Divisibilidad) Sean a y b dos enteros. Se dir´a que a divide a b si existe un entero c tal que a · c = b. En este caso se escribe a|b.
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Divisibilidad
Unidades
¿Hay n´ umeros enteros que dividan a todos los dem´as? S´ı, el 1 y el −1. ¡Las unidades de Z!
¿Hay alguno m´as? No, ¿sabes demostrarlo?
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Divisibilidad
Propiedades de la divisibilidad
1 Propiedad reflexiva: a|a 2 Propiedad transitiva: Si a|b y b|c entonces a|c. 3 Si a|b y b|a entonces a = ±b. Observaci´on Si a y b son positivos entonces la propiedad 3 es la antisim´etrica, es decir, si a|b y b|a entonces a = b. Luego la relaci´ on de divisibilidad es una relaci´ on de orden en el conjunto de los n´ umeros positivos. 4 Si a|b y a|c entonces a|b + c. 5 Si a|b entonces a|b · c.
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Divisibilidad
Divisi´on eucl´ıdea
¿C´ omo se dividen dos n´ umeros enteros, por ejemplo 117586 entre 1532? Entonces 117586 = 76 · 1532 + 1154.
Teorema (Divisi´on eucl´ıdea) Sean a y b enteros, b 6= 0. Existen unos u ´nicos enteros q y r tales que: 1. a = q · b + r . 2. 0 ≤ r < |b|. Al entero q se le llama cociente y a r resto de la divisi´on.
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Divisibilidad
N´umero primo
¿Qu´e es un n´ umero primo?
Definici´on (N´ umero primo) Un entero p distinto de 0, 1 y −1 se llama primo si y s´olo si es divisible u ´nicamente por p, −p, 1 y −1.
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Divisibilidad
M´aximo com´un divisor
¿Qu´e es el m´aximo com´ un divisor de dos enteros?
Definici´on (M´aximo com´ un divisor) Dados dos enteros a y b, diremos que d es un m´ aximo com´ un divisor de a y b, y lo denotaremos por d = mcd(a, b), si se verifican las siguientes propiedades: 1. d|a y d|b. 2. Si d 0 es un entero tal que d 0 |a y d 0 |b entonces d 0 |d Si 1 es un m´aximo com´ un divisor de a y b, se dice que a y b son primos entre s´ı.
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Divisibilidad
M´aximo com´un divisor. Propiedades
Observaci´on (Nota 3.2.5) El m´aximo com´ un divisor de dos enteros, si existe, es u ´nico salvo el signo. Proposici´on (3.2.6) Se verifican las siguientes propiedades: 1. mcd(a, b) = b ⇔ b|a. 2. mcd(a, b) = mcd(−a, b) = mcd(a, −b) = mcd(−a, −b). 3. mcd(a, b) = mcd(b, a).
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Divisibilidad
M´ınimo com´un m´ultiplo
¿Qu´e es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de dos enteros?
Definici´on (M´ınimo com´ un m´ ultiplo) Dados dos enteros a y b, diremos que un entero m es un m´ınimo com´ un m´ ultiplo de a y b, y lo denotaremos por m = mcm(a, b), si se verifican las siguientes propiedades: 1. a|m y b|m. 2. Si m0 es un entero tal que a|m0 y b|m0 entonces m|m0
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Divisibilidad
M´ınimo com´un m´ultiplo. Propiedades
Observaci´on (Nota 3.2.7) El m´ınimo com´ un m´ ultiplo de dos enteros, si existe, es u ´nico salvo el signo. Proposici´on (3.2.8) Se verifican las siguientes propiedades: 1. mcm(a, b) = a ⇔ b|a. 2. mcm(a, b) = mcm(−a, b) = mcm(a, −b) = mcm(−a, −b). 3. mcm(a, b) = mcm(b, a).
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
M´aximo com´un divisor y divisi´on eucl´ıdea
Proposici´on (3.3.1) Sean a, b ∈ Z no nulos, pongamos |a| ≥ |b|, y efectuemos la divisi´on eucl´ıdea a = qb + r . Entonces, si r = 0 es mcd(a, b) = b y si r 6= 0 mcd(a, b) = mcd(b, r ).
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides Algoritmo (Algoritmo de Euclides) Sean a y b dos enteros no nulos, a ≥ b, y efectuemos la divisi´on eucl´ıdea a = q · b + r . Como r < |b|, podemos dividir b entre r , y as´ı sucesivamente, obteniendo: a b r r1
= = = = .. .
q·b+r q0 · r + r1 q1 · r1 + r2 q2 · r2 + r3
0 ≤ r < |b| 0 ≤ r1 < r 0 ≤ r2 < r1 0 ≤ r3 < r2
rn−1 = qn · rn + rn+1 0 ≤ rn+1 < rn rn = qn+1 · rn+1 + 0 rn+2 = 0
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides y existencia del m´aximo com´un divisor
Proposici´on (3.3.2) En la situaci´on anterior se tiene que mcd(a, b) = rn+1 . Es decir, el m´aximo com´ un divisor de a y b es el u ´ltimo resto no nulo al aplicar sucesivamente la divisi´on eucl´ıdea. Teorema (Existencia del m´aximo com´ un divisor) Dados dos enteros a, b, existe el m´aximo com´ un divisor de a y b, mcd(a, b), que es u ´nico salvo el signo.
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides
Ejemplo (Ejercicio 6: Calcular mcd(23532, 1520)) 23532 = 15 · 1520 + 732 1520 = 2 · 732 + 56 732 = 13 · 56 + 4 56 = 14 · 4 + 0 Luego mcd(23532, 1520) = 4
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Identidad de B´ezout
Observaci´on (Nota 3.3.3) Sean a, b enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Obs´ervese que para cualesquiera enteros γ y δ se verifica que γa + δb es un m´ ultiplo de d. Teorema (Identidad de B´ezout) Sean a, b enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Existen enteros α y β tales que α · a + β · b = d. A cualquier igualdad de este tipo se le llama identidad de B´ ezout.
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Identidad de B´ezout
Observaci´on (Familia infinita de identidades de B´ezout) Los enteros α y β que aparecen en la identidad de B´ezout no son u ´nicos. En efecto, si α · a + β · b = d entonces (α − kb)a + (β + ka)b = d, ∀k ∈ Z.
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Identidad de B´ezout Ejemplo (Ejercicio 6) Sabiendo que mcd(1520, 23532) = 4 escribir una identidad de B´ezout usando el algoritmo de Euclides. 23532 = 15 · 1520 + 732 732 = 23532 − 15 · 1520 1520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520 − 2 · 732 732 = 13 · 56 + 4 4 = 732 − 13 · 56 56 = 14 · 4 + 0 De donde 4 = 732 − 13 · 56 = 732 − 13 · (1520 − 2 · 732) = (23532 − 15 · 1520) − 13 · (1520 − 2 · (23532 − 15 · 1520)) = (1+13·2)·23532+(−15−13−13·2·15)·1520 = 27·23532+(−418)·1520 27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4. Olalla (Universidad de Sevilla)
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Teorema de Euclides
Teorema (de Euclides) Sean a, b y c tres enteros no nulos tales que c|ab y mcd(a, c) = 1, entonces c|b. En particular, si p es un n´ umero primo y p|ab entonces p|a o p|b.
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M´aximo com´un divisor y m´ınimo com´un m´ultiplo Proposici´on (3.3.5) Sean a y b dos enteros no nulos, sea d = mcd(a, b) y consideremos a0 =
a b y b0 = . d d
Entonces a0 y b 0 son primos entre s´ı. Proposici´on (3.3.6.) Sean a y b dos enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Entonces mcm(a, b) =
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ab . d
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Existencia del m´ınimo com´un m´ultiplo
Teorema (Existencia del m´ınimo com´ un m´ ultiplo) Dados dos enterosa y b, existe el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de a y b, mcm(a, b), que es u ´nico salvo el signo.
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Teorema fundamental de la divisibilidad
Teorema (fundamental de la divisibilidad) Todo entero distinto de 0, 1 y −1 se descompone como producto de un n´ umero finito de primos. Esta descomposici´ on es u ´nica salvo el orden y el signo de los factores primos.
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El conjunto de los n´umeros primos es infinito
Teorema (de Euclides sobre la infinitud de los n´ umeros primos) El conjunto de los n´ umeros primos es infinito.
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C´alculo de mcd y mcm
Proposici´on (3.3.8) Sean a=±
Y
p νa (p) ,
Y
b=±
p>0 primo
p νb (p)
p>0 primo
las descomposiciones de dos enteros a y b en producto de primos. Consideremos Y Y d= p m´ın(νa (p),νb (p)) y m = p m´ax(νa (p),νb (p)) . p>0 primo
p>0 primo
Entonces d = mcd(a, b) y m = mcm(a, b).
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Congruencias
Congruencias
¿Qu´e hora marcar´a el reloj despu´es de pasar 4, 15, 211, 1203 o 12352 horas? Despu´es de 15 horas el reloj marca lo mismo que si hubieran pasado 1203 horas. ¿C´omo podemos saber si tras a horas el reloj marcar´a lo mismo que tras b horas?
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Congruencias
Congruencias
Definici´on (Congruencia) Sean a, b y m enteros, m 6= 0, se dir´a que a es congruente con b m´ odulo m si a − b es divisible por m. Se escribir´a a ≡ b(mod m). Observaci´on (Nota 3.3.9) a y b son congruentes m´odulo m si y s´ olo si son congruentes m´odulo −m. Luego podemos suponer siempre, sin p´erdida de generalidad, que m > 0 Proposici´on (3.3.10) a ≡ b(mod m) si y s´olo si a y b tienen el mismo resto en la divisi´on eucl´ıdea por m. Olalla (Universidad de Sevilla)
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Congruencias
Congruencias. Propiedades Algunas propiedades de la relaci´ on “ser congruentes m´odulo m”: 1. Propiedad reflexiva: a ≡ a(mod m). 2. Propiedad transitiva: si a ≡ b(mod m) y b ≡ c(mod m) entonces a ≡ c(mod m). 3. Propiedad sim´etrica: si a ≡ b(mod m) entonces b ≡ a(mod m). Luego es una relaci´ on de equivalencia. 4. Si a ≡ b(mod m) y c ≡ d(mod m) entonces a + c ≡ b + d(mod m). 5. Si a ≡ b(mod m) y c ≡ d(mod m) entonces ac ≡ bd(mod m). En general no se verifica la propiedad cancelativa, es decir, ax ≡ bx(mod m) ; a ≡ b(mod m). De hecho, se satisface la propiedad cancelativa si y s´olo si mcd(x, m) = 1. Olalla (Universidad de Sevilla)
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Congruencias
Ecuaciones en congruencias
Proposici´on (3.3.15) La ecuaci´on en congruencias ax ≡ b(mod m) tiene soluci´ on si y s´olo si d = mcd(a, m) divide a b.
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Congruencias
Ecuaciones en congruencias Teorema (chino del resto) Sean m1 , m2 , . . . , mn enteros mayores que 1 primos entre s´ı dos a dos, sean a1 , a2 , . . . , an enteros. El sistema de ecuaciones en congruencias x ≡ a1 (mod m1 ) x ≡ a2 (mod m2 ) .. . x ≡ an (mod mn ) tiene soluci´on. Adem´as si x y x 0 son dos soluciones entonces x ≡ x 0 (mod M), donde M = m1 m2 · · · mn . Rec´ıprocamente si x es una soluci´on y x 0 ≡ x(mod M) entonces x 0 tambi´en es soluci´on.
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El anillo Z/Zm
El conjunto Z/Zm
Observaci´on (Conjunto cociente Z/Zm) Notaremos por Z/Zm al conjunto cociente de Z por la relaci´on de equivalencia “ser congruente m´ odulo m”. Olalla (Universidad de Sevilla)
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El anillo Z/Zm
El conjunto Z/Zm
Observaci´on (Conjunto cociente Z/Zm) Llamaremos clase de congruencia m´ odulo m a las clases de equivalencia. Es decir, a {b ∈ Z | a ≡ b(mod m)}. Sabemos que b ∈ Z est´a en la clase de a si y s´ olo si b es congruente con a m´ odulo m, es decir, m|(b − a), luego b = a + km. Por tanto, la clase de congruencia m´odulo m de a es el conjunto a + Zm = {a + km | k ∈ Z}. Olalla (Universidad de Sevilla)
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El anillo Z/Zm
El conjunto Z/Zm
Proposici´on (3.4.2) Todo n´ umero entero es congruente m´ odulo m a uno (y s´olo uno) de los enteros del conjunto {0, 1, . . . , m − 1}.
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El anillo Z/Zm
El conjunto Z/Zm
Corolario (3.4.3) El conjunto de las clases de congruencias m´ odulo m es Z/Zm = {0 + Zm, 1 + Zm, . . . , (m − 1) + Zm}.
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El anillo Z/Zm
Suma y producto en Z/Zm
Definici´on (Suma y producto de clases de congruencias) Sean a + Zm, b + Zm ∈ Z/Zm dos clases de congruencias. (a + Zm) + (b + Zm) := (a + b) + Zm (a + Zm) · (b + Zm) := (ab) + Zm. Proposici´on (3.4.5) La suma y el producto de clases de congruencias m´ odulo m est´an bien definidas.
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El anillo Z/Zm
Propiedades de la suma en Z/Zm Es una operaci´ on interna, la suma de dos elementos de Z/Zm es un elemento de Z/Zm. Existe un elemento neutro, el 0 + Z/Zm, tal que (a + Z/Zm) + (0 + Z/Zm) = (0 + Z/Zm) + (a + Z/Zm) = aZ/Zm. Cada elemento a + Z/Zm tiene un opuesto −a + Z/Zm tal que (a + Z/Zm) + (−a + Z/Zm) = 0 + Z/Zm. Propiedad asociativa: (a + Z/Zm) + [(b + Z/Zm) + (c + Z/Zm)] = [(a + Z/Zm) + (b + Z/Zm)] + (c + Z/Zm) = (a + b + c) + Z/Zm. Propiedad conmutativa: (a + Z/Zm) + (b + Z/Zm) = (b + Z/Zm) + (a + Z/Zm). Luego (Z/Zm, +) es un grupo abeliano.
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Propiedades del producto en Z/Zm
Es una operaci´ on interna, el producto de dos elementos de Z/Zm es un elemento de Z/Zm. Existe un elemento neutro, el 1 + Z/Zm. Propiedad asociativa. Propiedad conmutativa. Propiedad distributiva: (a + Z/Zm) · [(b + Z/Zm) + (c + Z/Zm)] = (a+Z/Zm)·(b +Z/Zm)+(a+Z/Zm)·(c +Z/Zm) = (a·b +a·c)+Z/Zm. La propiedad cancelativa se verifica si y s´ olo si a es primo con m. En este caso (a + Zm) · (b + Zm) = (a + Zm) · (c + Zm) ⇒ b + Zm = c + Zm.
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El anillo Z/Zm
El anillo Z/Zm
Proposici´on (3.4.7) El conjunto Z/Zm con la suma y producto definidas anteriormente es un anillo conmutativo y unitario. Ejemplo (3.4.8) El anillo Z/Zm no es necesariamente un dominio de integridad. En Z/Z6 el producto (2 + Z6)(3 + Z6) = 0 + Z6, luego ambos elementos, 2 + Z6 y 3 + Z6, son divisores de cero.
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El anillo de los n´ umeros enteros
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Los teoremas de Fermat y de Euler
Unidades de Z/Zm Teorema (Unidades de Z/Zm) El grupo de las unidades del anillo Z/Zm es Um = {a + Zm | mcd(a, m) = 1, 0 ≤ a < m}. Observaci´on (3.5.1) El conjunto Z/Zp es un cuerpo si y s´ olo si p es primo. De hecho Up = {1 + Zp, . . . (p − 1) + Zp} y |Up | = p − 1.
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Los teoremas de Fermat y de Euler
El teorema de Fermat
Teorema ((Peque˜ no) teorema de Fermat (1640)) Si p es un n´ umero primo y no divide a un entero a entonces ap−1 ≡ 1(mod p).
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Los teoremas de Fermat y de Euler
La funci´on de Euler
Definici´on (Funci´on φ o indicatriz de Euler) A la cantidad de n´ umeros enteros a, 1 ≤ a ≤ m, que son primos con m se le denota por φ(m), la funci´ on φ o indicatriz de Euler. Es decir, φ(m) = |Um |.
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Los teoremas de Fermat y de Euler
Propiedades de la funci´on de Euler Observaci´on (3.5.2) Sea p ∈ N, p es primo si y s´ olo si φ(p) = p − 1. Proposici´on (3.5.3) Sea p ∈ N primo, entonces φ(p r ) = (p − 1)p r −1 . Teorema (3.5.4) Sean m y n dos enteros primos entre si, entonces φ(mn) = φ(m)φ(n). Corolario (3.5.5) Sea n un entero y n = p1n1 p2n2 · · · prnr su descomposici´ on en factores primos, entonces φ(n) = (p1 − 1) · · · (pr − 1)p1n1 −1 · · · prnr −1 . Olalla (Universidad de Sevilla)
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Teorema de Euler
Teorema (Teorema de Euler (1736)) Sea a + Zm una unidad en Z/Zm. Entonces aφ(m) ≡ 1(mod m).
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