CAPÍTULO 3 Función Exponencial y Función Logarítmica

3.1)

Repaso de propiedades de las potencias

Por su uso e importancia, es necesario revisar las propiedades de las potencias, que se resumen a continuación.

a m ⋅ a n = a m+ n

(a )

m n

= a m ⋅n

a   b

a =1 0

a −n =

n

an a   = n b b

1 an

−n

n

bn b =  = n a a

m

a n = n am

am = a m−n n a

3.2)

Función Exponencial

Definición Sea f una función, f : IR → IR + tal que f ( x ) = a x , a > 0, a ≠ 1 , a f se le llama función exponencial de base a .

La gráfica de una función exponencial depende de la base, a saber:

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Caso 1: f : IR → IR + , f ( x ) = a x , a > 1 . La gráfica presenta la forma siguiente:

y

(0,1) x Aquí podemos decir que la gráfica de toda función exponencial cuya base sea mayor que uno, tiene las siguientes características:


Su dominio es IR .




Su ámbito es IR + .




Es biyectiva.




Es estrictamente creciente.




Es asintótica al eje X negativo.




Interseca al eje Y en (0,1) .




Es cóncava hacia arriba.

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Caso 2: f:IR → IR + , f ( x ) = a x , 0 < a < 1 , la gráfica presenta la forma siguiente:

y

(0,1) x En este caso podemos decir que la gráfica de toda función exponencial cuya base sea mayor que cero y menor que uno, tiene las siguientes características:




Su dominio es IR .




Su ámbito es IR + .




Es biyectiva.




Es estrictamente decreciente.




Es asintótica al eje X positivo.




Interseca al eje Y en (0,1) .




Es cóncava hacia arriba.

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Función exponencial de base e Sea f una función, f : IR → IR + tal que f ( x ) = e x , a f se le llama función exponencial natural.

Recordemos que e ≈ 2.7182818459... y es claro que este número es un número irracional, mayor que 1, por lo que su gráfica es semejante a la del caso 1.

3.3)

Función Logarítmica

Iniciamos este estudio con un resultado que para todos es claro: 28 = 256. Consideremos

ahora la pregunta ¿a cuál número debemos elevar el 2 para obtener 256? Para responderla debemos encontrar un número x tal que 2 x = 256 ; de aquí, x = 8 . En este caso, diremos que 8 es el logaritmo de 256 en base 2 y escribimos log 2 256 = 8. Es decir que: 28 = 256 ⇔ log 2 256 = 8 Así hallar el logaritmo de un número dado es “encontrar el exponente de una potencia cuyo valor es el número dado”. Entonces, podemos decir que el logaritmo de base a de un número x es el exponente al cual debe elevarse a para obtener x . En términos generales: log a x = y ⇔ a y = x

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Donde y = log a x , se llama notación logarítmica y a y = x , se llama notación exponencial. Además, es conveniente señalar que las bases más usadas en el trabajo con logaritmos son 10 y e ; a los respectivos logaritmos se les llama logaritmos decimales y logaritmos naturales o neperianos. En estos casos se acostumbra no escribir la base, es decir: log 10 x = log x ln e x = ln x Definición Sea f una función, f : IR + → IR tal que f ( x ) = log a x, con a > 0 , a ≠ 1 , a f se le llama función logarítmica.

La gráfica de una función logarítmica depende de la base, a saber:

Caso 1: f : IR + → IR tal que f ( x ) = log a x, a > 1, la gráfica es una parábola de la siguiente forma:

En este caso podemos decir que la gráfica de toda función logarítmica de base mayor que 1 cumple las siguientes características:


Su dominio es IR + .

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Su ámbito es IR .




Es biyectiva.




Es estrictamente creciente.




Es asintótica al eje Y negativo.




Interseca al eje X en (1,0) .




Es cóncava hacia abajo.

Caso 2: f : IR + → IR tal que f ( x ) = log a x, 0 < a < 1 , la gráfica es una parábola de la siguiente forma:

Aquí podemos decir que la gráfica de toda función logarítmica de base mayor que 0 y menor que 1 cumple las siguientes características:


Su dominio es IR + .




Su ámbito es IR .




Es biyectiva




Es estrictamente decreciente.




Es asintótica al eje Y positivo.

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Interseca al eje X en (1,0) .




Es cóncava hacia arriba.

3.4)

Propiedades de los logaritmos

Los logaritmos tienen varias propiedades que se deducen directamente del hecho de que son los inversos de los exponentes.

Estas propiedades permiten convertir los cálculos de

multiplicaciones en problemas de sumas, los de divisiones en restas y los de potencias y raíces como multiplicaciones. Así, ∀a > 0, a ≠ 1, M , N ∈ IR + , entonces:

1)

log a a = 1

2)

log a 1 = 0

3)

log a (M ⋅ N ) = log a M + log a N

4)

M  log a   = log a M − log a N N

5)

log a M N = N ⋅ log a M

6)

log a

7)

a log a M = M

N

M =

1 ⋅ log a M N

Ejemplos 1)

Exprese en forma desarrollada ln

x3 ac 2

Solución x3 ln 2 = ln x 3 − ln ac 2 ac

(

= 3 ln x − ln a + ln c 2

)

= 3 ln x − ln a − 2 ln c 88

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2)

1 Exprese como un solo logaritmo 2 log 6 x + log 6 y − log 6 a − log 6 b 2

Solución

(

1 2log 6 x + log 6 y − log 6 a − log 6 b = log 6 x 2 y − log 6 a + log 6 b 2

)

= log 6 x 2 y − log 6 ab = log 6

3.5)

x2 y ab

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

En las ecuaciones exponenciales la incógnita es un exponente. Se utilizan como modelos matemáticos de crecimiento de poblaciones mundiales, de bacterias y en ciertos estudios de arqueología, presión atmosférica e interés compuesto entre otros. Desarrollemos un ejemplo de ecuaciones exponenciales.

Si P representa la población

mundial en el tiempo t (en años), k el índice de crecimiento y P0 la población inicial, entonces para periodos cortos de tiempo, un modelo de crecimiento de la población mundial viene dado por P = P0 e k t

Es decir: 2 = e 0, 02 t La cual es una ecuación exponencial de variable t ¿Cómo encontrar el valor de t ? Para resolver ecuaciones exponenciales, es conveniente determinar si las bases son iguales, pues basta aplicar la siguiente propiedad:

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ax = ay ⇒ x = y

La cual se justifica por el hecho de que la función exponencial es inyectiva. Así, podemos emplear la propiedad anterior para resolver ecuaciones exponenciales en las cuales las bases son iguales o bien, pueden transformarse en equivalentes. Para resolver una ecuación exponencial en la cual las bases no son equivalentes, basta recordar que la función logarítmica es inyectiva, pues esto nos permite afirmar: log a x = log a y ⇒ x = y

Es decir, si debemos resolver una ecuación como 2 x = 6 , podemos utilizar el hecho anterior para escribir: log 2 x = log 6 Aplicando propiedades de los logaritmos se tiene que: x log 2 = log 6 y por último: x=

log 6 log 2

Existen otros tipos de ecuaciones exponenciales, como por ejemplo e 2 x − 5e x + 1 = 0 , o bien, en las que es necesario realizar transformaciones algebraicas.

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Ejemplo Resuelva la ecuación 2 x +3 + 2 x − 2 = 33 Solución 2 x + 3 + 2 x − 2 = 33 2 x ⋅ 2 3 + 2 x ⋅ 2 − 2 = 33

(

)

2 x 2 3 + 2 − 2 = 33

(Al facorizar por factor común)

1  2 x  8 +  = 33 4   33  2 x   = 33  4 2x = 4 S = {2}

x=2

Ahora, para resolver ecuaciones logarítmicas, se deben aplicar las propiedades de los logaritmos. En necesario verificar en la ecuación original las respuestas que se obtengan para determinar si es necesario descartar alguna de ellas.

Ejemplo Resuelva la ecuación log 2 ( x + 4) − log 2 ( x + 1) = 1

Solución

log 2 ( x + 4 ) − log 2 ( x + 1) = 1 log 2

x+4 =1 x +1 21 =

x+4 x +1

2( x + 1) = x + 4, si x ≠ −1 2x + 2 = x + 4 x=2

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Prueba

log 2 (2 + 4 ) − log 2 (2 + 1) = 1 log 2 6 − log 2 3 = 1 log 2

6 =1 3

log 2 2 = 1 1=1 S = {2}

3.6)

Cambio de base

En ocasiones, resulta útil cambiar logaritmos con una base a logaritmos en otra base. Consideremos que se nos da log a x y deseamos determinar log b x . Sea y = logb x Escribimos lo anterior en forma exponencial y tomamos el logaritmo con base a en ambos lados

by = x log a b y = log a x y log a b = log a x y=

log a x log a b

Que resulta ser la fórmula de cambio de base

log b x =

log a x log a b

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Ejemplo Utilice la fórmula de cambio de base y los logaritmos comunes o naturales para evaluar el siguiente logaritmo. Exprese la respuesta con cuatro decimales. log8 5 Solución log8 5 =

3.7)

log 5 ≈ 0,7739 log 8

Inecuaciones exponenciales y logarítmicas

El proceso de solución de inecuaciones exponenciales y logarítmicas es similar al proceso de resolución de ecuaciones. Además, se debe considerar las propiedades de las inecuaciones vistas en el Capítulo 1.

Ejemplos 1)

Resuelva la siguiente inecuación exponencial 5 x −3 > 25

Solución

5 x − 3 > 25 5 x −3 > 5 2 x−3 > 2 x>5 x ∈ ]5,+∞[

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2)

Resuelva la siguiente inecuación logarítmica log(2 x + 5) > log( x + 2) + log( x + 4)

Solución Primero debemos recordar que estos logaritmos tienen restricciones en razón del dominio de la función logarítmica, en este caso debemos de garantizar que los argumentos de estos tres logaritmos sean positivos. Esta consideración la retomaremos en la parte final de la solución. Vamos a utilizar las propiedades de los logaritmos para reescribir la inecuación con una expresión logarítmica a cada lado del símbolo de desigualdad.

log(2 x + 5) > log[( x + 2)( x + 4)] Como la función es creciente, ya que la base es mayor que uno, tenemos que:

(2 x + 5) > [(x + 2)(x + 4)] 2x + 5 > x 2 + 6x + 8 − x 2 − 4x − 3 > 0 x 2 + 4x + 3 < 0

(x + 1)(x + 3) < 0 x ∈ ]− 3,−1[ Ahora intersecamos con las condiciones de dominio

2 x + 5 > 0 x + 2 > 0  ⇒ −2 < x < −1  x + 4 > 0  − 3 < x < −1 De donde la solución es x ∈ ]− 2,−1[

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