CAPITULO 4. APLICACION DE LAS ECUACIONES DE VARIACION.

107

FIGURA 4.14. Perfil de velocidad para flujo laminar en un conducto y fuerzas actuando en un elemento de volumen. PR Q

dQ

=

=

Va2itr dr

{ 4.52 )

ASE

1

Q VMED

=

=

Az

uR 2

v«2Tcr dr e

( 4.53 )

En forma general para un conducto de área seccional arbitraria Aa¡:

Vmsd

=

vzdAz

( 4.54 )

km donde dA« es un del flujo.

elemento diferencial de área, normal a la dirección

En el ejemplo anterior

dA» = d(itr2) =

2nr dr

Observando la ecuación ( 4.53 ) es claro que el cálculo de requiere el conocimiento de v z en cada posición radial.

Vmed

Para esto es necesario realizar un balance de cantidad de movimiento en la dirección z sobre el elemento de volümen 2TtrArL ( figura 4.14 b y c ) Como se fuerzas

supuso estado estable no hay aceleración neta y la suma de actuando en la dirección z es cero.Estas son fuerzas

lfl

FENOMENOS DE TRANSPORTE

superficiales y del cuerpo ( gravitacionales ) o que actúan a través del fluido. Las superficiales son de presión y viscosas o de fricción. En general las fuerzas viscosas pueden actuar ya sea perpendicularmente a las superficies del fluido (fuerzas normales) o tangencialmente a las mismas (fuerzas cortantes). Sin embargo, para un fluido incompresible y newtoniano no hay esfuerzos viscosos normales cano T«« puesto que éstos dependerían de óv«/6z, que es cero en flujo completamente desarrollado. La acción de la fuerza gravitacional es negativa puesto que actúa en la dirección contraria a la que hemos escogido como positiva para el eje z. A F « Z = - f(2TtrArL)g Fuerza viscosa en r, tangencial y hacia arriba: Fuerza viscosa en r + A r . hacia abajo ó - z: AF

«

vtb

t

Sri va,

r

g

poAAa

Fuerza de presión hacia abajo:

- ptAAx

Con S R z es:

(p© -

- Tr*Sr>¡

S

rz

Fuerza de presión hacia arriba:

Fuerza neta de presión:

Ti-ZSR-1 R ;

PL)AAB

=

A F P *

= 2tctL y AA»=2irrAr, la fuerza neta actuando en la dirección

+ (p - p )(2nrAr) - fg»(2TtrArL) = 0 T>!B(2itrL) - Trss(2ltrL) r r-»-/\r o L Los dos primeros términos representan respectivamente el flujo de cantidad de movimiento z hacia dentro y hacia afuera del elemento. Los dos siguientes corresponderían a generación puesto que por estar en estado estable no hay acumulación. Dividiendo por 2itrArL y haciendo tender A r a cero: (po - PL) + fgL

d(Trz r) +

=

r dr

0

(4.55)

L

Recordando el término de manantial calorífico ($)H, la velocidad de producción de calor por unidad de volúmenen en una posición cualquiera, podemos definir poranalogía: ¡fa

-

(Po - PL) + fgL

(4.55 a) L

CAPITULO 4 APLICACION DE LAS ECUACIONES DE VARIACION. 1

1

1

1

i n

1

mm 'm

ii

i i- i

109 i

que tiene dimensiones de cantidad de movimiento por unidad de tiempo y unidad de volumen (o fuerza porunidad de volumen); escrito de esta forma la solución tiene analogia con la situación de análisis de un reactor nuclear cilindrico cuya temperatura superficial se mantiene constante gracias al flujo de un refrigerante* capitulo 3 )Las condiciones transforma en:

Límite

son:

r=0,

rTra¡=0;

d(rTriE) - $M

RRR2

= $M(R2/2)

de donde :

T

=

RT»

y

$M(r/2)

=

=

r=R,

v*=0

(4.55) se

r dr $M(R2/2)

T»r/R

donde r» es el flujo de cantidad de movimiento en r = R. Esta expresión indica que la distribución de flujo es lineal. Usando la ley de Newton M(dva/dr) = $n(r/2> Separando variables e integrando entre r y R obtenemos V*

-

§M R2/4u

r

1 - (r/R)2 , j

(4.56)

Comparando con el reactor cilindrico se podrá observar que tanto la distribución de velocidades como la de temperaturas son parabólicas al tiempo que las distribuciones de flujo son lineales, teniendo su máximo en la pared y cero en el centro, consistentemente con el hecho de que los perfiles tengan su máximo en el eje de simetría, o sea: dT : dr

r-=0

0

.

dvz j -- ' | " 0 dr | r=0

En general si la solución a un problema de transporte se puede obtener, por ejemplo de la literatura, la solución a un problema análogo se puede escribir por éste procedimiento Y aún en problemas más complejos, en los cuales no es posibe obtener la solución analítica, es posible hacer uso de la analogía midiendo experimetal mente una cantidad y usando este resultado para obtener otra. Por ejemplo en la estimación de la temperatura máxima en un reactor nuclear más complejo que el descrito, puede ser más fácil y seguro medir la velocidad máxima en un experimento análogo de flujo de fluidos y entonces usar la analogía para calcular la temperatura en el reactor en lugar de medirla directamente Es importante anotar que la ecuación ( 4.55 ) podría haberse obtenido directamente a partir de la ecuación general o de Navier Stokes (3.22), pero en función de T O sea la expresión (3.19) (ver apéndice A.4.2). La ecuación (3.19):

lfl

FENOMENOS DE TRANSPORTE Dv f

=

div.p - [div.T] + f'g

Dt Dv f

= 0 Dt

Pues la expresión general variando con r. 8, z y t

en coordenadas

cilindricas

considera

v

Los términos relativos al tiempo se hacen cero pues v E sólo es función de r. También las derivadas con respecto a 9 y z por la misma razón. Los otros términos se anulan ya que Vr = ve = 0. En general en estado estable : Dv -

=

0

Dt [div.T] : T r r , Tr-e, T©©, T n se anulan por no haber componentes de velocidad en las direcciones r ni 0. Debido a la geometría cilindrica v z no es función de 8: ÓVz Te» - - M

Taz

= 0

- 0

60 pues por la ecuación de continuidad, de z. Trs tampoco es función de z.

div.v

- 0

y vz no es función

En realidad sólo hubiera sido necesario analizar la componente z de la ecuación ( 3.15 ), a saber: ÔVz

ve

ÓVz

+ Vr

ÓVz

óvz +

6t

ôr

ÔP

1 6

r

r

óz

1 (r

óz

ôr

V¡E

66

ÔT©z

Xr*z ) +

ÔTzz +

r

66

f g*

óz

que de acuerdo con las consideraciones anteriores se reduce a: óp

1

Ô

Óz

r

ôr

(r T^z) + fgz

=

0

(4.57)

CAPITULO 4. APLICACION DE LAS ECUACIONES DE VARIACION.

111

Sabiendo que para z = 0, p = po y para z = L, p =PL, y que l o s dos ú l t i m o s términos de l a ecuación ( 4 . 5 ^ ) son independientes de z , integrando con respecto a z y reorganizando obtenemos: d(Tr* r) r dr

ó

(po - PL) + fgL

+

d ( r Tras)

=

L =

0

4.55 )

(

($M)

r dr ECUACION DE HAGEN POISEUILLE. Regresando a nuestro o b j e t i v o de obtener una expresión para l a c a í d a de p r e s i ó n en e l tubo en términos de l a v e l o c i d a d promedio, primero integramos ( 4.56 ) para obtener l a v e l o c i d a d promedio según ( 4 . 5 3 ) : vx (2tcr d r ) VM»D

2

v z r dr

=

PR

TlR2 J0

2rcr dr

Es conveniente e s c r i b i r v z en términos de l a v e l o c i d a d Vm«x=4M(R 2 /4u) ; a s i v z = v m « * [ l -( r/R)2], entonces:

máxima

rR Wx -

=

2

(2 Vmout/R

0

L

r2

r4

2

4R 2

(2 vmx/RÍ)

Es d e c i r que l a v e l o c i d a d máxima Reemplazando l a s e q u i v a l e n c i a s :

(r/R)s

0 Sea que es

(Po " PL) + fg L VM«D

r dr

8 U L

el

R2

doble

Vmed = *$Vmax de

la

promedia.

(4.58)

Algunos t e x t o s usan l a llamadapresión dinámica o modificada, d e f i n i d a como: P = (p - f g z z ) , de t a l forma que PD = po ; FL - (PL - fgaL). A s i : po - PL + fgasL = Pe -PL. En términos de l a ecuación (4.4?-): 5• T

rz -

$m 2

4r

-

R2 2 - R1 2 l n (R2/R1)

i

4.68 I

Ambos se representan en e l g r á f i c o 4.15a. La pérdida t o t a l c a n t i d a d de movimiento en l a pared t o f u e r z a r e s i s t e n t e ) e s :

de

Ftota.1 = T T RZ | r=R2 J ( 2TlRL ) - L T R Z | r = R l ] ( 2nRL I También por a n a l o g í a con ( 4.66 ): F t o t « i = (T1R22 - TCCRI2 )L F t o t a l - (TtR22 - 1tRl 2 )[(po

PL)/L + f g z j

Se ve que l a f u e r z a v i s c o s a neta en l a s paredes i g u a l a a l a suma de l a s f u e r z a s de p r e s i ó n y l a s f u e r z a s g r a v i t a c i o n a l e s .

CAPITULO 4. APLICACION DE LAS ECUACIONES DE VARIACION.

117

CAIDA DE PRESION EN UN ANILLO. La r e l a c i ó n más ú t i l es esa e n t r e d i f e r e n c i a dinámica de p r e s i o n e s :

la

velocidad

promedio

y

la

(Pa ~ Pt) - (Po - PL) + fg«L E s t a puede obtenerse fácilmente integrando ( 4.67 ) entre e l área t r a n s v e r s a l d e l a n i l l o . Usando l a ecuación general ( 4.54 a ) para promediar l a v e l o c i d a d : rR2 Vm

=

itR22 - tcRI 2

v« 2itr dr R1

Se encuentra que : (Po - PL)(R22) Vm

1 - A»

1 - K2

J&

ln(l/*)

=

8 mL donde K - R1/R2.

( 4.69 )

APENDICE A.4.1 Los exponentes dar: exp(u)

de e

=

pueden expandirse u2

1 + u +

u3

+

2!

en s e r i e s u4

+

3!

de M a c l a u r i n para

+ . . .

4!

exp(a + 10) puede e s c r i b i r s e como exp(a) .exp( i 0 ) , y cuando u = i 0 :

Í2Q2

i303

e x p ( i 0 ) = 1 + 10 +

i404

+

+

2!

+ . . .

3!

4!

i 2 = - 1 , i 3 = - i , i 4 = 1 , e t c , podemos e s c r i b i r :

Con base en que

Í32

03

exp( i 0 ) = 1 + 10

i

04 +

2!

0®

06

5!

6!

+ i

3!

4!

+ . . .

Agrupando p a r t e s r e a l e s e i m a g i n a r i a s : 02

exp(i0) = 1

2!

+

04

0©

4!

6!

r

+ . . . + i

0

L

03 3!

+

0& 5!

07

0© + — . . . 7! 9!

Pero también por s e r i e s de M a c l a u r i n : 03

sen(0)

= 0

0S

3! y

02 COS(0)

=

07

+

1

51

7!

04

06

+ 2!

09

+

+ . . . 9! 08

+ 4!

6!

... 8!

Por l o tanto exp(i0)

=

cos(0)

+

i sen(0)

exp(ax).exp(i0x)

=

exp(ox)[cos(0x) + i sen(0x)]

En forma s i m i l a r se puede demostrar que : exp(- i0)

=

cos(0) - i sen(0)

o sea que exp(a - i 0 ) x = exp(ax).exp(-i0x) = exp(ox)[cos(0x) - i sen(0x)]

APENDICE A.4.1.

119

También: sen(fíx)

e x p ( i f i x ) - e x p ( - ifix)

=

2i cos(£Sx)

exp(itfx) + e x p ( - ifix)

=

2 La correspondencia con l a s funciones h i p e r b ó l i c a s surge lógicamente: exp(ax)

=

exp(- ax) senh(ax)

=

cosh(ax)

=

cosh(ax) =

cosh(ax)

+

senh(ax) -

senh(ax)

exp(ax) - e x p ( - a x ) 2 exp(ax) + exp(- ax) 2 8en(x)

=

- i senh(ix)

senh(ix)

=

i sen(x)

cos(x)

=

cosh(ix)

cosh 2 ( x )

=

1 + senh 2 ( x )

senh(x ± y )

=

senh(x)cosh(y) ± cosh(x)senh(y)

cosh(x ± y )

=

c o s h ( x ) c o s h ( y ) ± senh(x)senh(y)

senh(2x) cosh(2x)

=

2senh(x)cosh(x)

cosh 2 ( x )

=

+

senh 2 ( x )

2senh 2 ( x / 2 )

=

cosh(x)

-

1

2cosh 2 ( x / 2 )

=

cosh(x)

+

1

l/senh(x)

=

ln[x + (x2

l/cosh(x)

=

l n [ x + ( x 2 - 1)*]

+ 1)»«]

d[senh(x)]

=

c o s h ( x ) dx

d[cosh(x)]

=

senh(x) dx

APENDICE A.4.1 ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS RECTANGULARES.

En función de t :

componente x

3p tox\ + v,-r— I •= — • az J

( dvx toc &l p\— 4- v9— + x \ dt ox oy

( dVy

dVy

dvv

(

to,to,to,dc,\ + 17 + "'la +

^P

Dt

~dz) " ~ fc / ST*,+ 3T„ -

(C)

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de p y fi constantes:

to

(toxtoxto.,dv \ x

(to~ 9v

3vv

y

componente z

/to.

to,

+ „._

+

+

- -ai

to,\ to to,

+

to,\

to

—j - - -

APENDICE

A.4.1.

121

ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS CILINDRICAS.

En función de T: componente r"

[9vr

3vr ve3cr

v„*

3p

—

componente 0Ò

componente

z

(r 3r r 10 7 ~~3zf + / 3v9 dv„ vtí 3v0 VrVg 3t»9\ 1 3p + p '\17 +v'17 +71o+— '77) '--ríe 1 •*

(B)

». 3t>¿ y¿t'r

e«»*

\

+ _ » _ í + —t * + ±1 + * cot 0 r 36 rsen 9 ty r r ) '-ÌI _ Ì + Ü5* + (

rsen ídd+ 2

COt

\r*3r

9

r 30 ^ r s e n 0 3*

\

(O

T

\j¡ + », — + - — + dp

- 'Tr

/

2

3 / 3»o »o /> I — + », \ 3/ 3r

1 3p

v0 3v0 1 r 30 /

t

J

2 dv0

2

+l)

v¿ dv0 vrv0 — + rsen O d r 2 3vr

v0

v? cot 0\ r ]

2 eos O doA

APENDICE

A.4.1.

123

LA ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS ESFERICAS. ( c o n t i n u a c i ó n )

componente *

„(%

\ 3/

+

*^

3r

+

!S

+

1

dp

r 30

+

rsenO d

Ü*

r

+

^cotfl) r

/

r sen 0 d '

2 M

\ V V*

* En estas ecuaciones

r2 3r(r2 3r)+ /-2sen0 3fl(sen ® ») + /-2sen2

COMPONENTES DEL TENSOR ESFUERZO EN COORDENADAS RECTANGULARES ( x , y , z )

(£)) U)

—zg + fio— 'ag

"2e

= (a • A)

A

ag

(?

*e "r¡-

= "1

O)

_22

RH

L

Dorde RH = A/PH = Radio h i d r a ú l i c o = ( á r e a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l ) / (Perímetro húmedo)

lfl

FENOMENOS DE TRANSPORTE

Para un tubo: ITR2 RH

R

=

DT

=

=

2TCR

2

4

donde D* es e l diámetro d e l tubo. Por e s t o frecuentemente se d e f i n e e l diámetro e q u i v a l e n t e como: 4A DOQ

=

4 RH

= PH

Enalgunos t e x t o s se d e f i n e un f a c t o r de f r i c c i ó n d i f e r e n t e f'

=

4f

=

-

AP

f':

(Deq/L)

Vm2 Este se denomina f a c t o r de f r i c c i ó n de Darcy, llamado f a c t o r de f r i c c i ó n de Fanning.

mientras que

f

es

EJEMPLO 5 . 1 . Factor de F r i c c i ó n para un A n i l l o : D e f i n i r e l f a c t o r de f r i c c i ó n para un a n i l l o y r e l a c i o n a r l o con e l número de Reynolds en e l caso de f l u j o laminar. Solución : Para e l a n i l l o , l a d e f i n i c i ó n d e l f a c t o r de f r i c c i ó n y l a a p l i c a c i ó n d e l balance de f u e r z a s da? f

=

-(

AP/L)Rh

donde i rc(Rz2

A

- Ri2)

Ra - R i

2it ( R i + Ra)

PH

d e l c a p i t u l o 4. : Vn>

=

( A P ) Ra 2

2

*(K)

8 Tt u L

K

=

Ri/Ra

;

=

1 -A3* 1 - A2

-

1 - A2 l n ( 1/K)

Reemplazando ( / \ P / L ) en l a expresión para f :

CAPITULO 5. COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA Y SIST. MULTIFASE 135

f

8|jvm

=

Rh Ra 2 » ( * )

v»2 f

=

Re.

Rz2 ®(JO

(4RHfvm)/n (1 - K)2

16 Re«®

donde :

4 RH 2

16

»(JO

fvDe*

4Rnfvm y

-

M Se debe r e c o r d a r que para f l u j o laminar en un tubo f = 16/Re. 0 sea que l a r e l a c i ó n e n t r e f y Re para un a n i l l o no es l a misma como para un tubo aunque l a ú l t i m a se modifique usando e l diámetro e q u i v a l e n t e . Para e l a n i l l o e s t e empirismo puede c o n l l e v a r a e r r o r e s de h a s t a e l 50 %. S i n embargo, e s t a r e g l a e m p í r i c a presenta mejores r e s u l t a d o s con o t r a s s e c c i o n e s t r a n s v e r s a l e s y para f l u j o t u r b u l e n t o . A f a l t a de o t r a información puede u s a r s e como aproximación. COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA. En l o s problemas de dimensionamiento de equipos de i n g e n i e r í a , con f r e c u e n c i a necesitamos c a l c u l a r e l t r a n s p o r t e de c a l o r , masa o c a n t i d a d de movimiento h a c i a o desde una s u p e r f i c i e o i n t e r f a s e , es d e c i r un l í m i t e e n t r e f a s e s . En g e n e r a l e l problema se reduce a determinar l a s densidades de f l u j o en l a pared ( o i n t e r f a s e ) . En t r a n s f e r e n c i a de c a l o r e n f r i a m i e n t o de Newton:

se ha

usado históricamente

la

ley

del

I

q»

=

h ( Ts - To)

donde Ta r e p r e s e n t a l a temperatura promedio c o e f i c i e n t e de t r a n s f e r e n c i a de c a l o r . En forma s i m i l a r un d e f i n i r s e como:

coeficiente Na»

=

de

del fluido

transferencia

de

y h

es e l

masa

puede

kc (CAa - CAO)

Donde ÑAS es e l f l u j o molar de A en l a i n t e r f a s e , CAO es l a c o n c e n t r a c i ó n promedio en un punto y CA» es l a con c e n t r a c i ó n de A en l a intefase. Notemos que para cantidad de movimiento d e f i n i r un c o e f i c i e n t e de t r a n s p o r t e a saber c o e f i c i e n t e de f r i c c i ó n ) :

podríamos análogamente ( de l a d e f i n i c i ó n d e l

= »jfVm( (VzO - |*VM ) = í*fVmed( fvm - 0) = (f/2)fVm2

lfl

FENOMENOS DE TRANSPORTE

O sea e l c o e f i c i e n t e s e r í a e l f a c t o r de f r i c c i ó n .

H f Vm®d pero en l a p r á c t i c a se usa es

Este f a c t o r de f r i c c i ó n t i e n e l a c a r a c t e r í s t i c a de s e r adimensional, l o que no o c u r r e con l o s c o e f i e n t e s de t r a n s f e r e n c i a de c a l o r y masa. Podemos a d i m e n s i o n a l i z a r a s i : C o e f i c i e n t e adimensional Nueselt.

de

Nu = h Do / k transferencia Sh

=

de

calor

o

número

de

ko Do /DAB

C o e f i c i e n t e adimensional de t r a n s f e r e n c i a de masa o número de Sherwood. En algunos t e x t o s l o denominan Nusselt para t r a n s f e r e n c i a de masa y l o s i m b o l i z a n (NU)AB. Aquí Do es una l o n g i t u d c a r a c t e r í s t i c a para e l sistema, k es c o n d u c t i v i d a d térmica y DAB es l a d i f u s i v i d a d de A a t r a v é s de B.

la

Para f l u j o en t u b e r í a s l a l o n g i t u d c a r a c t e r í s t i c a es e l diámetro d e l tubo; p a r a f l u j o en o t r o s conductos se toma generalmente e l diámetro e q u i v a l e n t e . Para f l u j o pasando e s f e r a s l a l o n g i t u d c a r a c t e r í s t i c a es e l diámetro de l a e s f e r a a l i g u a l que para f l u j o p e r p e n d i c u l a r a c i l i n d r o s ; para o b j e t o s no e s f é r i c o s se usa e l diámetro e q u i v a l e n t e . TEORIA PELICULAR. En forma s i m i l a r a como l o describiéramos para t r a n s f e r e n c i a de masa, se ha encontrado experimentalmente que e l p e r f i l de temperatura en f l u j o t u r b u l e n t o aumenta rápidemente c e r c a a l a pared y es bastante

plano a l a l e j a r s e de l a pared (. f i g u r a 5 . 2 ) . Esto i n d i c a que e l mayor p o r c e n t a j e de l a r e s i s t e n c i a a l a t r a n s f e r e n c i a ocurre c e r c a a l a pared, y se acostumbra en l a p r á c t i c a i n g e n i e r i l p o s t u l a r e l que toda l a r e s i s t e n c i a a l t r a n s p o r t e ocurre en una delgada p e l í c u l a de

CAPITULO 5. COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA Y SIST. MULTIFASE 135 f l u i d o cercana a l a pared. Fuera de e s t a p e l í c u l a l a temperatura se supone i g u a l a l a de l a masa p r i n c i p a l d s l f l u i d o . Dentro de l a p e l í c u l a se asume f l u j o laminar aunque f u e r a de e l l a sea t u r b u l e n t o . La d i s t a n c i a zt se denomina espesor e f e c t i v o de p e l í c u l a , y e l c o e f i c i e n t e de t r a n s f e r e n c i a convectivo es frecuentemente denominado coeficiente pelicular. S i consideramos l a t r a n s f e r e n c i a de c a l o r desde una i n t e r f a s e h a c i a un f l u i d o de acuerdo con e s t e modelo, e l t r a n s p o r t e t o t a l de c a l o r por conducción a t r a v é s de l a p e l í c u l a estancada e s t a r í a dado por: kS(Ts - T») Qb

=

=

qe S

Zt por d e f i n i c i ó n : qs

o sea: k (Ta - Tm)

=

=

h (Ta ~ Tm)

h (Ta " Tm)

Zt h

ó y :

Nu

=

h Do / k

=

De /

=

k/zt

zt

Análogamente, s i desde una s u p e r f i c i e difunde s o l u t o h a c i a un f l u i d o . DAB (CAa -

NA»

CAm)

=

=

ko

(CA® -

CAm)

zt ó y : Sh

= ko Do /

DAB

=

k

Lta2

Am

=

Lr2

=

AP

Lp

2

También, a l d i v i d i r l a s d i f e r e n t e s dimensiones de un sistema por una a r b i t r a r i a de e l l a s , digamos L i , e l sistema puede d e f i n i r s e por : L i , r 2 , . . , r » , donde r

2

=

L /L ; 2 1

r

n

=

L /L n i

La s i m i l i t u d geométrica para l o s dos sistemas se r e l a c i o n e s de l o n g i t u d son l a s mismas para cada r im = r i p . Los s u b í n d i c e s respectivamente.

m y

p

se

refieren

a

modelo

cumplirá s i sistema, o y

las sea

prototipo

SIMILITUD CINEMATICA. E s t a se r e f i e r e a l movimiento que ocurre en e l sistema y c o n s i d e r a l a s v e l o c i d a d e s e x i s t e n t e s . Para que e x i s t a s i m i l i t u d cinemática en dos sistemas geométricamente s i m i l a r e s , l a s velocidades en l o s mismos

lfl

FENOMENOS DE TRANSPORTE

puntos r e l a t i v o s relaciones

en

cada

sistema

Vxm

Vxp

Vym

Vyp

Vm

Vp ffip

deben

mantener

las

siguientes

mm A s í mismo, l o s gradientes de v e l o c i d a d en cada sistema deben mantener una r e l a c i ó n s i m i l a r en cada uno. Otras r e l a c i o n e s ú t i l e s son : Vm

Lm/tm

Lr

Vp

Lp/tp

tr

8m

U/ta2

Lr

Aceleraciones

tr2

2

Lp/tp

3

3

Lm/tm

Lr-

L3/t p p

Qp

Velocidades.

Caudales.

tr

> SIMILITUD DINAMICA. E s t a c o n s i d e r a l a s r e l a c i o n e s entre l a s f u e r z a s i n e r c i a l e s , normales, c o r t a n t e s y de campo que actúan sobre e l sistema. En sistemas geométrica y cinematicámente s i m i l a r e s , l a s i m i l i t u d dinámica e x i s t e en l o s mismos puntos r e l a t i v o s de cada sistema s i : Fuerza I n e r c i a l d e l Modelo

Fuerza I n e r c i a l d e l p r o t o t i p o

Fuerza v i s c o s a d e l Modelo

Fuerza v i s c o s a d e l p r o t o t i p o

Fuerza i n e r c i a l modelo

Fuerza i n e r c i a l p r o t o t i p o

Fuerza g r a v i t a c i o n a l modelo

Fuerza g r a v i t a c i o n a l p r o t o t i p o

A p a r t i r de l a correlaciones:

segunda ley

de Newton

se obtienen

R e l a c i ó n de Fuerzas I n e r c i a l e s . 3

Mm axn Mp ap

j*m Lea

Lr

fp Lp3 tr-2

(rLr^Lr/tr]2

las

siguientes

APENDICE A.5.1. ~ —. - - -

II IMli III "II III" II I I I ' ,1 II

I

II I ll"l

145

I I I I lili lllll I I I I I I II I MUI I lili I •! III IIII 11 ,1 I lili II I

o sea : F

=

f L2

r

r

V2

r

r

Esta ecuación expresa l a modelo y prototipo y newtoniana.

:

f A r*

V2

r

r

l e y g e n e r a l de l a s i m i l i t u d dinámica e n t r e es frecuentemente llamada l a e c u a c i ó n

R e l a c i ó n e n t r e l a s f u e r z a s de p r e s i ó n y l a s f u e r z a s Ma

fL3 ( L / t 2 )

pA

pL2

fL2V2

p/2

pL2

p

inerciales:

Número de E u l e r ( E u ) . Relación entre l a s fuerzas viscosas e i n e r c i a l e s : [L^V 2

Ma

Ma

TA

U(dV/dy)A

fVL

u(V/L)L2

M

Número de Reynolds ( R e ) . Relación entre fuerzas gravitacionales e i n e r c i a l e s : Ma

fL2V2

Mg

fL3g

La r a i z cuadrada de Froude ( F r ) .

V2 Lg

esta 4 e x p r e s i ó n V A L g ) * se conoce como Numero de

Relación entre l a s fuerzas e l á s t i c a s y las

aqui E área.

es e l

Ma

fL2V2

EA

EL 2

módulo de

inerciales

fV2 E

e l a s t i c i d a d dado

como f u e r z a por unidad de

La r a i z cuadrada de e s t a r e l a c i ó n V / í E / f ) * , se conoce como Número de Mach (Ma) = V e l o c i d a d / V e l o c i d a d d e l sonido. R e l a c i ó n de f u e r z a s de t e n s i ó n s u p e r f i c i a l e s e i n e r c i a l e s . Ma oL

[L2V2 oL

[LV 2 o

Número de Weber (We).

lfl

FENOMENOS DE TRANSPORTE

o ea l a t e n s i ó n longitud.

s u p e r f i c i a l expresada

como f u e r z a

por

unidad

de

En g e n e r a l , e l ingeniero e s t á interesado en e l e f e c t o causado por l a f u e r z a dominante. En l a mayoría de l o s problemas de f l u j o predominan las fuerzas g r a v i t a c i o n a l e s , v i s c o s a s y / o e l á s t i c a s aunque no necesariamente en forma simultánea. Relaciones de tiempo. Las r e l a c i o n e s de tiempo e s t a b l e c i d a s para patrones de f l u j o gobernados esencialmente por l a v i s c o s i d a d , l a gravedad, por l a t e n s i ó n s u p e r f i c i a l y por l a e l a s t i c i d a d son respectivamente: Tr

= L2/T r r

aquí r es l a v i s c o s i d a d cinemática. Tr

=

(Lr/gr)

r 3

Lr- [V/OR

Tr

=

Lr/( E r / f r )

HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL. Este p r i n c i p i o se a p l i c a a r e l a c i o n e s entre v a r i a b l e s dimensionales. Una ecuación que contiene v a r i a b l e s dimensionales es dimensionalmente homogénea s i cada término de l a ecuación t i e n e l a s mismas dimensiones. METODOS DE ANALISIS DIMENSIONAL. Hay t r e s métodos p r i n c i p a l e s de a n á l i s i s cuales rinden resultados idénticos.

dimensional,

todos

los

i) EL METODO DE BUCKINGHAM, quien en 1914 e s t a b l e c i ó e l llamado teorema rc ( pues por l a l e t r a g r i e g a p i denomina l o s d i f e r e n t e s grupos adimensionales ) , que es l a base d e l a n á l i s i s dimensional, y e s t a b l e c e que s i una ecuación es dimensionalmente homogénea, puede reducirse a una r e l a c i ó n entre un conjunto de productos adimensionales. S i hay n cantidades f í s i c a s ( t a l e s como v e l o c i d a d , densidad, v i s c o s i d a d , p r e s i ó n , e t c . ) y k dimensiones fundamentales ( t a l e s como masa, longuitud, tiempo) l a c o r r e l a c i ó n f i n a l e s t a r á en f u n c i ó n de n - k grupos adimensionales. i i ) EL METODO DE RAYLE1GH, quien en 1899 a p l i c ó por primera vez e l método d e l a n á l i s i s dimensional como se usa generalmente en l a actualidad.