CAPÍTULO

1

Preliminares

En este capítulo se presentan los principales conceptos empleados en este trabajo, así como algunos de los resultados que sobre ellos son bien conocidos. A lo largo de la tesis, un anillo será siempre conmutativo y no necesariamente unitario, una K - álgebra será siempre asociativa y conmutativa y la noción de compacidad de un espacio topológico no supone que dicho espacio sea de Hausdorff.

1.1.

Clases especiales de anillos.

En esta sección se presentan algunos tipos de anillos que han sido estudiados ampliamente, así como las principales propiedades que los caracterizan.

1.1.1.

Anillos de Boole.

Estos anillos toman su nombre del matemático inglés George Boole (18151864) quien en sus publicaciones "Las leyes del pensamiento" (1847) y "Una investigación de las leyes del pensamiento" (1854) introduce el álgebra hoy conocida como álgebra booleana, el álgebra de los conjuntos o de la lógica. Boole establece de manera simultánea esta nueva álgebra y la lógica formal, 13

14

CAPÍTULO l. PRELIMINARES

lo que favorece el surgimiento de las matemáticas puras. Boole consideró que las proposiciones lógicas debían ser expresadas por medio de ecuaciones algebraicas, de modo que la manipulación algebraica de los símbolos en las ecuaciones, proporcionaría un método seguro de deducción lógica. La difusión de este trabajo se debe entre otros, a Augustus De Morgan (1806-1871) y a Charles Sanders Peirce (1839-1914) quienes se encargaron de refinar, popularizar y continuar el sistema de tratamiento algebraico de la lógica propuesto por Boole. Actualmente, el álgebra de Boole es ampliamente utilizada, no sólo por matemáticos puros sino por quienes la aplican para resolver problemas en probabilidad, seguros, teorías de la información; además de que fue la base para el desarrollo de los sistemas lógicos de los computadores modernos y del diseño de los circuitos digitales (ver [18],[20]). Boole también hizo aportes en filosofía de las matemáticas, teoría de invariantes así como en ecuaciones diferenciales; él señaló paralelos entre las propiedades del operador diferencial y las reglas del álgebra. Como una innovación en sus métodos operacionales está la consideración de que las operaciones pueden ser no conmutativas. Un anillo A es un anillo de Boole si todos sus elementos son idempotentes, es decir, a 2 =a para cada elemento a de A. Son ejemplos de anillos de Boole: Z 2 := Z/2Z y el conjunto de partes de cualquier conjunto X, donde la suma es la diferencia simétrica, la multiplicación es la intersección y la unidad es el conjunto X. A continuación se mencionan algunas propiedades de los anillos de Boole. • El producto de anillos de Boole es un anillo de Boole. • Sea A un anillo de Boole: l. A tiene característica 2, es decir, 2a

=

O para cada a E A.

2. Todo elemento de A es su propio opuesto. 3. A es un anillo conmutativo. 4. Si

IAI =

2 entonces A= Z 2 .

5. Si A tiene más de dos elementos, entonces A tiene divisores de cero. Basta ver que ab (a+ b) = O. 6. Si I es un ideal de A entonces A/ I es de Boole. 7. Los ideales primos y maximales de A coinciden. 14

15

1.1. CLASES ESPECIALES DE A NILLOS.

8. I es un ideal primo de A si y sólo si para cada a E I ó a.T + .7: E I, para todo :r; E A.

a E

A se tiene que

9. Si A no tiene unidad, entonces A es infinito. Por ejemplo, siendo X un conjunto infinito, el conjunto de las partes finitas de X es un anillo de Boole sin unidad.

1.1.2.

Anillos de von Neumann.

John von Neumann (1903-1957) fue un brillante matemático nacido en Budapest (Hungría), quien es considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia moderna. Desde muy joven sus profesores reconocieron su talento y por ello recibió clases particulares de matemáticas con profesores universitarios. Obtuvo su doctorado en 1926 en la Universidad de Budapest y durante las situaciones que antecedieron la Segunda Guerra Mundial se radicó en Princeton (Estados Unidos), en donde fue profesor al lado de personajes como Hermann Weyl y Albert Einstein, su antiguo profesor en Berlín. Tuvo contacto con grandes personalidades como Eugene Wigner, su compañero de clases y futuro Premio Nobel de Física, George Pólya, David Hilbert, Robert Oppenheimer, Niels Bohr, entre muchos otros. Durante la Segunda Guerra Mundial fue un activo colaborador del gobieno norteamericano en donde hizo aportes importantes para la primera detonación de una bomba atómica en la historia. Este trabajo lo puso en contacto directo con la radiación, lo que posteriormente le ocasionó su temprana muerte. Von Neumann realizó contribuciones fundamentales en física cuántica, análisis funcional, teoría de conjuntos, teoría de juegos, ciencias de la computación, economía, análisis numérico, cibernética, hidrodinámica, estadística y muchos otros campos (ver [26]). John von Neumann visitó Bogotá en agosto de 1950 y ofreció dos cursos, uno sobre Teoría de la Integración y el otro en física sobre las Bases Experimentales de la Teoría de la Relatividad (especial y general), en la Universidad de los Andes 1 . Los anillos regulares de von Neumann fueron introducidos en 1936 por John von Neumann en su artículo On regular rings ([60]), durante el estudio de geometrías continuas y de ciertas álgebras de operadores, como una 1

Del Ensayo: La visita de John von Neumann y Solomon Lefschetz a la Universidad de los Andes en 1950, por Fabio Ortiz.

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CAPÍTULO l. PRELIMINARES

herramienta algebraica para estudiar ciertos retículos (ver [36]). Desde entonces estos anillos han sido ampliamente estudiados en diversas áreas de las matemáticas, de modo que hoy día existe una teoría realmente amplia sobre ellos (ver por ejemplo [6], [7], [27], [35], [41], [53]). Los anillos regulares de von Neumann también se conocen como anillos absolutamente planos , por su caracterización en términos de sus módulos y no deben confundirse con los anillos regulares noetherianos del álgebra conmutativa. Aunque un anillo regular en el sentido de von Neumann no es necesariamente conmutativo, nos restringiremos a los anillos conmutativos. Usaremos la expresión anillo regular de van Neumann (o simplem ente anillo de van Neumann) para referirnos a los anillos conmutativos para los cuales, dado un elemento a, existe un elemento b, tal que a= a2 b. En el caso de los anillos conmutativos, las siguientes afirmaciones son equivalentes: • A es un anillo de von N eumann.

• Todo ideal principal del anillo A es generado por un idempotente. • El anillo A es completamente idempotente, es decir, J2 ideal 1 de A.

=

I, para cada

• El anillo A es semiprimo 2 y todo ideal primo de A es maximal.

Veamos algunos ejemplos de anillos de von Neumann. l. Todo campo es un anillo de von N eumann. Para cada elemento no nulo a del campo se tiene que b = a- 1 .

2. Diremos que un anillo es un exp-anillo si para cada elemento a existe un n (a) E z+ - {1} tal que an(a) = a. Todo exp-anillo es un anillo de von Neumann. En efecto, basta tomar, para cada a en el anillo, b = an(a)- 2 , sin (a) > 2 ó b =a, sin (a) = 2. En [28] y [40] se encuentran pruebas de la conmutatividad de los exp-anillos. 2

Se dice que un anillo es semi primo, si el ideal cero es un ideal semi-primo. Un ideal I es semi-primo (o es un ideal radical), si I = r (!), donde r (!)es el conjunto de los elementos del anillo t ales que alguna de sus potencias es un elemento de I. Puesto que estamos en el caso conmutativo, la noción de anillo semiprimo coincide con la noción de anillo reducido. Se dice que el anillo A es reducido si su nilradical N (A) es el ideal nulo.

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1.2. ESPECTRO DE U N A NILLO.

(i) Se dice que un anillo A es un p-anilla si satisface pa =O y aP =a, para cada a E A, donde p es un número primo. En particular, para p = 2 se tienen los anillos de Boole. Todo p-anillo es un exp-anillo. Los p-anillas también se conocen como anillos Booleanos generalizados y en [44] se demuestra que todo p-anillo es, salvo isomorfismos, un subanillo de una suma directa de campos FP. (ii) ZP := ZjpZ es un p-anillo, para cada primo p. (iii) Z 6 es un exp-anillo de característica 6, en el cual n (a) cada a.

=

3, para

(iv) Notemos P el conjunto de los números primos y consideremos el sub-anillo de TI ZP cuyos elementos son las sucesiones con finitos elepEP

1n

mentas no nulos. Este es un exp-anillo en el cual n (a)

=

1+ TI (Pk - 1) , k=1

donde ai 1 , ai 2 , ... , airn son los elementos no nulos de la sucesión a, pertenecientes a Zp 1 , ... , ZP=, respectivamente. n(a)

Además ' a.1j pues aip "J

1

1 -

)

=a·1]..

fi (pk-1) (a)k=l 1]

(

(

1 =a·1] . aP 1]

-1)) f1(pk-1)

es idempotente, de modo que a~(a) "J

·

k#J

(

1 =a·1] .aP 1j

-1) ,

.

= a~1 = ai . "J

J

3. Si A es un anillo de von Neumann y X es un conjunto entonces Ax es un anillo de von N eumann. 4. Todo producto de anillos de von N eumann es anillo de von N eumann. 5. Todo cociente de un anillo de von N eumann es un anillo de von N eumann.

1.2.

Espectro de un anillo.

El espectro primo de un anillo A es el conjunto de sus ideales primos dotado con la topología de Zariski. Los abiertos básicos de esta topología son los conjuntos de la forma

D(a)

=

{P: Pes un ideal primo de A y a 17

rt.

P},

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CAPÍTULO l. PRELIMINARES

donde a E A. Este espacio lo notaremos como es usual Spec(A) (ver [12]). Los cerrados del espacio Sper;( A) son de la forma V ( I)

= {

P : P es un ideal primo de A y P ::2 I} ,

donde T es un ideal de A. Aunque también son estudiados los espectros maximales y los espectros minimales; en este trabajo el término espectro se refiere al espectro primo. Spec es en realidad un funtor contravariante de la categoría A de los anillos, con morfismos los homomorfismos propios 3 , en la categoría T op de los espacios topológicos, con morfismos las funciones continuas. Cuando el funtor Spu: se restringe a la categoría A 1 de los anillos unitarios, se observa que todos los homomorfismos de anillos unitarios son homomorfismos propios. Si .f : A ----7 B es un homomorfismo propio entonces Spcc (.f) : Spcc ( B) ----7 Spec (A) definida por Spec (.f) (J) = .f- 1 (J) es una función continua.

1.2.1.

Algunas propiedades.

Las demostraciones de los siguientes resultados, así como los conceptos introducidos, pueden ser consultados en [1] y [22]. Sea A un anillo y sean a, b elementos de A. l. D (O)= 0. 2. J) ( ab) = J) (a) n J) ( b) .

3. D(a+b)~D(a)uD(b).

4. D (a) = D (b) si y sólo si

T

(\a)) =

T (\

b)) 4 .

5. D (a) = 0 si y sólo si a es nilpotente. 6. Si A es unitario, entonces D (1)

=

Spec (A).

3 Se llama homomorfismo propio al homomorfismo que envía ideales primos en ideales primos por imagen recíproca. 4 r (\a)) = { x E A: xn E \a), para algún n > O} es el radical de \a), donde \a) es el ideal generado por a.

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19

1.2. ESPECTRO DE U N A NILLO.

7. Si A es unitario entonces, D (a)

=

S pe e (A) si y sólo si a es invertiblé.

8. Si B ~ Spec (A) entonces B ={PE Spec (A): nB ~ P}. Puesto que nB es llamado el núcleo de B, la topología de Zariski también se conoce como la topología de la envolvente del núcleo (hull-kernel topology). 9. Si I E Spec (A) entonces {J} ={PE Spec (A) : I ~ P} = V(I). Los ideales primos maximales de A son precisamente los puntos cerrados de S pe e (A) . Nótese que si el anillo A no es unitario, un ideal maximal no es necesariamente primo. Considere por ejemplo, el ideal 4:2:: del anillo 2:2::. 10. D (a) es compacto. La demostración de este hecho hace uso del Teorema del Ideal Primo, el cual se enuncia a continuación: Teorema 1.1. Sean I un ideal del anillo A y M 1 0 un subconjunto de A cerrado para la multiplicación. Si T n M = 0 entonces existe un ideal primo P de A tal que I ~ P y P n 1\.J = 0. En la demostración del Teorema del Ideal Primo se usa el Lema de Zorn. 11. Si A es unitario entonces Spec(A) es compacto. Este resultado se deduce de las propiedades 6 y 10. Nótese que la recíproca de esta propiedad es falsa. Basta considerar el anillo 2:2:: y notar que Spec (2Z) = D (2). Definición 1.2. Diremos que el anillo A es espectralmente compacto si su espectro primo, Spec (A), es un espacio topológico compacto. Usaremos esta terminología para evitar confusiones con los anillos topológicos compactos. Con esta definición, la propiedad expresada en este numeral se puede re-enunciar como: Si A es unitario, entonces A es espectralmente compacto. 5 Algunos autores llaman "unidades" a los elementos invertibles del anillo. En este trabajo el término unidad se empleará únicamente para referirse al elemento neutro de la multiplicación del anillo.

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CAPÍTULO l. PRELIMINARES

12. Spec (A) es un espacio topológico T 0 y localmente compacto. 13. Spec(A) tiene una base de abiertos-compactos que es cerrada para intersecciones finitas, es decir, Spec(A) es un espacio coherente. 14. Spec (A) es un espacio sobrio, es decir, es un espacio en el cual todo cerrado irreduciblé tiene un único punto genérico 7 .

Definición 1.3. Se dice que un espacio topológico es un espacio espectral si es compacto, sobrio y coherente. 15. Si A es un anillo unitario entonces Spec (A) es un espacio espectral. 16. Spu: (A)~ Spu: (A/ N (A)), donde N (A) es el nilradical de A. 17. Si B también es un anillo, entonces Spec (A x B) ~ Spec (A)

1.2.2.

U Spec (B).

Espectro de un anillo de Boole.

Sea A un anillo de Boole y sean a, b elementos de A. El espectro de un anillo de Boole satisface adicionalmente a las propiedades ya mencionadas, las siguientes: l. Si D (a)= D (b) entonces a= b. 2. D (a) U D (b) = D (a

+ b + ab) .

3. D (a) es abierto y cerrado. Basta ver que D (at = U D (ax + x). xEA

4. Spec (A) es totalmente disconexo. 5. Spec (A) es T 2 . Esto es consecuencia de que los ideales primos de A son maximales. 6. A es espectralmente compacto si y sólo si A tiene unidad. Como consecuencia de esta propiedad, los anillos de Boole sin unidad son ejemplos de anillos con espectro no compacto. 6

Un cerrado no vacío Fes un cerrado irreducible, si F = GUH donde G, H son cerrados entonces F = G ó F =H. 7 Decimos que x es un punto genérico de F, si F = { x}.

20

21

1.3. COMPACTACIO NES POR FINITOS PU NTOS.

Se observa que para los anillos de Boole es verdadera la recíproca de la Propiedad 11 de la sección anterior. U na demostración de este hecho es la siguiente: Demostración. Se sabe que Spec (A)

=

U D

a EA

(a) . Como Spec (A) es

compacto entonces Spu: (A) = D (a 1 ) u ... u D (an), para algunos a 1 , ... , an- Aplicando la Propiedad 2 se obtiene que Spec (A) = D (m). Veamos que rn es la unidad de A. Sea a un elemento de A, D (arn) = D (a) nD (m)= D (a) de modo que arn =a. D

1.2.3.

Espectros y anillos de von N eumann.

Si A es un anillo y N (A) es su nilradical, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• A/ N (A) es un anillo de von Neumann. • Spec (A) es T2. • Spec (A) es T1 .

• Todo ideal primo de A es maximal.

1.3.

Compactaciones por finitos puntos.

Compactar un espacio topológico X, es encontrar un espacio topológico compacto Y, que contenga un espacio homeomorfo a X como subespacio denso. Se mencionan dos de los métodos conocidos para compactar un espacio topológico por finitos puntos.

1.3.1.

La compactación de Alexandroff.

En [46] se pueden consultar las demostraciones de los hechos que mencionaremos. Sean (X, T) un espacio topológico no compacto y X* = X U { w} , donde w es un punto que no pertenece a X. Teorema 1.4. Si T* =TU{ (X\ K) U { w} : K es un cerrado compacto de X}, entonces (X*, T*) es una compactación de (X, T) por un punto.

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CAPÍTULO l. PRELIMINARES

Esta compactación es llamada la compactación de Alexandroff de (X, T) y es la más fina de las compactaciones de (X, T) por un punto.

Teorema 1.5. Si (X, T) es de Hausdorff y localmente compacto entonces (X*, T*) es de Hausdorff. En el contexto de los espacios de Hausdorff se habla de la compactación por un punto, para referirse a la compactación de Alexandroff, puesto que la compactación de Alexandroff es la única de las compactaciones de (X, T) por un punto que resulta ser de Hausdorff.

1.3.2.

Las compactaciones estelares.

Presentamos la definición de topología estelar dada en [48], así como las condiciones necesarias y suficientes para que dicha topología corresponda a una compactación del espacio original. Consideremos (X, T) un espacio topológico no compacto, m E N, X*= X U {Le-'!, ... , wm} donde w1, ... , Wm son m puntos distintos que no pertenecen a X.

Teorema 1.6. Si W1 , ... , Wm son subconjuntos abiertos de X entonces B =TU {(Wi \K) U {wi}: K es un cerrado compacto de X , i E {1, ... ,m}} es base de una topología J-L sobre X*, la cual es llamada topología estelar asociada a vV1, ... , H'm·

Teorema l. 7.

(X*, J-L) es una compactación de (X, T) si

y sólo si

m

1. X\ u Wi es compacto, y i=l

2. para cada i E { 1, ... , m} y para cada K subconjunto cerrado compacto de X se tiene que Wi r:J= K . Observe que la segunda condición implica que vVi ::j:-

0, para cada

t

E

{1, ... ,m}. La compactación de Alexandroff de un espacio topológico es la única compactación estelar por un punto de dicho espacio , tomando W 1 = X. Por otra parte, si el espacio X es de Hausdorff y localmente compacto, entonces cada una de sus compactaciones de Hausdorff por m puntos es precisamente una compactación estelar, donde los m abiertos asociados son disyuntos dos a dos. 22

23

1.4. ADJ UNCIÓ N DE U NIDAD.

1.4.

Adjunción de unidad.

Debido a que es posible adjuntar unidad a un anillo que no la posee, los anillos sin unidad han sido muchas veces considerados simplemente como ideales de anillos unitarios. Es ésta una de las razones por las cuales no es usual encontrar en la literatura consideraciones respecto de los anillos sin unidad. Es bueno notar que, aunque algunos resultados válidos para anillos unitarios son también válidos para anillos sin unidad, las pruebas que no hacen uso de la unidad requieren generalmente consideraciones muy diferentes. En [5], Anderson hace una reseña de varios artículos que estudian los anillos sin unidad, mostrando que el hecho de carecer de unidad, en general no se resuelve simplemente adjuntándole una. Por otra parte, no todo lo que es cierto en anillos unitarios lo es en anillos sin unidad. En [32] Gilmer presenta once condiciones que, siendo equivalentes en anillos unitarios, no lo son cuando se trabaja con anillos sin unidad. Aunque existen diferentes formas de adjuntar unidad a un anillo, seguiremos el método descrito en [55] para las K- álgebras, el cual es una generalización de la forma que se encuentra en [24] y [39], para los casos en que K es Z, Zn ó CQ.

Definición 1.8. Sea K un anillo conmutativo con unidad. Decimos que A es una K- álgebra si: l. (A,

+, .) es un anillo conmutativo.

2. (A,+) es un K -módulo. 3. a (nb) = (na) b = n ( ab) , para todo a, b E A, n E K. Si además el anillo (A, unidad.

+, .) tiene

unidad, entonces A es una K- álgebra con

Si A, B son dos K -álgebras, entonces h : A ---t B es un morfismo de K - álgebras si es un homomorfismo de anillos que respeta la multiplicación por escalar, es decir, h (na) = nh (a), para todo n E J( y todo a E A. Diremos que 1 s;;; A es un k-ideal de la K -álgebra A, si 1 es un ideal del anillo A que además es cerrado para la multiplicación por los escalares de K. Llamaremos a-ideal a cada ideal de A como anillo. Por definición, todo k-ideal de A es un a-ideal. 23

24

CAPÍTULO l. PRELIMINARES

Proposición 1.9. Si A es una de A es un k-ideal.

J(- álgebra

con unidad entonces todo a-ideal

Demostración. Sea I un a-ideal de A y sean a E K, i E J. ai = a (li) = (al) i, puesto que A tiene unidad. Como al E A e I es absorbente para el producto, se tiene que ai = (a 1) i es un elemento de I. Luego, I es cerrado para la multiplicación por los escalares de K. D El resultado anterior no puede generalizarse cuando la K -álgebra no tiene unidad. El siguiente ejemplo nos presenta una J( -álgebra sin unidad en la cual podemos encontrar a-ideales que no son k-ideales. Ejemplo 1.10. Consideremos la IR-álgebra IR [x] . Llamamos A = (x) al ideal de IR [x] generado por el polinomio x. Sabemos que A es a-ideal y k-ideal de IR [x] . Además, A es una IR-álgebra sin unidad. Para p ( x) E A vamos a distinguir entre el a-ideal de A generado por p ( x) , al cual notaremos como de costumbre (p (:r)) y el k- ideal de A generado por p ( x) , al cual notaremos [p (:1:)] . Puesto que A no tiene unidad se tiene que:

(p(x))

{p(x)h(x) +zp(x) h(x) E A, z E Z} = {p(x)xg(x) + zp(x) g(x) E IR[x], z E Z} = {p (X) (X y (X) + Z) y (X) E IR [X] , Z E Z} = {p (X) q (X) q (X) E IR [X] Y qo E Z} . Podemos apreciar que este a-ideal de A no es un k-ideal, por ejemplo ~p (x) ~ (p (.x)). Luego, [p (x)] = {p (x) q (x) q (x) E IR [x]}. Así, (p (x)) e [p (x)] y la inclusión es propia, ~p (x) E [p (.x)]- (p (x)). Natemos que \P (x)) no es un ideal primo de A puesto que ~p ( x) .~p ( x) = p (x) E (p (x)) , donde ~p (x) E A- (p (x)) y ~p (x) E A- (p (x)). =

1

1

1

1

1

Sin embargo, los a-ideales primos de una J( -álgebra, sí resultan ser cerrados para la multiplicación por los escalares de K, como lo muestra la siguiente proposición. Proposición 1.11. Si P es un a-ideal primo de la K- álgebra A, entonces P es un k-ideal de A.

Demostración. Sea a E P. Se sabe que aa E A, para todo a E K. Como P es absorbente para productos se tiene que (aa) a= aa 2 E P, para cada a E K. Así, (a a) (a a) = a 2 a 2 E P y puesto que P es primo, se concluye que a a E P, para todo a E K. D 24

25

1.4. ADJU NCIÓN DE U NIDAD.

1.4.1.

Adjunción de unidad a una K -álgebra.

Sea K un anillo con unidad y sea A una K -álgebra. Designamos por UK(A) o simplemente por U(A), cuando no haya lugar a confusión, al conjunto A x K dotado con la suma componente a componente, la multiplicación definida por

(a, a)(b, (3) = (ab

+ (3a + ab, af3)

y la multiplicación por elementos de K definida por

f3(a, a)= ((3a, iBa). Es fácil verificar que U(A) es una K -álgebra con unidad (0, 1) y que se tiene la siguiente propiedad universal. Proposición 1.12. Para cada K- álgebra unitaria B y para cada homomorfismo de K -álgebT_Es h : A ----7 B existe un únicq_ homomorfismo de K -álgebras unitarias h : U (A) ----7 B que satisface h o iA = h, donde iA :A ----7 U(A) : iA(a) r---t (a, 0). ZA

A--------;;.- U(A)

~~

1

t

:3! h

B Figura 1.1: Propiedad universal de U.

Demostración. Basta ver que h (a, a)= h (a)+ al, donde 1 es la unidad de B. D

Si notamos A 0 al conjunto A x {O}, el homomorfismo de K - álgebras iA, nos permite identificar al anillo A con A0 en U (A). Además, es claro que A0 es un ideal de U(A). Nótese que para cada morfismo g: A ----7 B de la categoría

de las K - álgebras se puede definir U (g) = i----------B o g. Esta definición hace de U un funtor, el cual, por la proposición anterior, es adjunto a izquierda del funtor inclusión de la categoría de las K -álgebras con unidad en la categoría de las K -álgebras.

25

26

1.4.2.

CAPÍTULO l. PRELIMINARES

Adjunción de unidad en anillos.

Existe un procedimiento estándar empleado para incluir de manera natural el anillo A sin unidad, en uno con unidad. Este proceso consiste en hacer la construcción descrita para K -álgebras, tomando el anillo Z en el lugar de K, puesto que todo anillo es una Z-álgebra. Se observa que Uz (A) es un anillo con unidad (O, 1) que contiene al anillo A como ideal. La propiedad universal sigue siendo válida en este caso de los anillos y se expresa en la siguiente forma: Proposición 1.13. Para cada anillo unitario B y para cada homomorfismo de anillos h : A ----+ B existe un único homomorfismo de anillos unitarios h: U (A) ----+ B que satisface hoiA = h, donde iA :A----+ U(A) : iA(a) H (a, 0).

Sin embargo, la construcción de Uz (A) no respeta la característica del anillo A, si ésta es diferente de cero. En el caso de anillos de característica ni= O se puede tomar en el lugar de K el anillo Zn, puesto que dichos anillos también son Zn -álgebras. En este caso, también son válidos los resultados anteriores salvo que el anillo Uzn (A), al cual notaremos Un (A) para abreviar, también tiene característica n y la propiedad universal se restringe al caso de anillos de característica n. Notaremos a Uz (A) como U0 (A), para recordar que este anillo siempre tiene característica cero, independientemente de la característica del anillo A.

26

CAPÍTULO

2

Adjunción de unidad vs compactación

En este capítulo estudiamos si el espectro primo del anillo que se obtiene al adjuntar unidad a un anillo no espectralmente compacto, es una compactación del espectro primo del anillo original.

2.1.

Sobre espectros primos.

Presentamos algunos resultados que nos permiten relacionar los espectros de un anillo y de sus ideales. Concluimos que el espectro primo de un ideal de un anillo siempre es un subespacio del espectro primo del anillo.

Teorema 2.1. Sean R un anillo, S un ideal de R e I un ideal de S. Si se define: ¡jJ (!) = {a E R : aS ~ I} ,

entonces: 1. ¡jJ (!) es un ideal de R. 2. Si I es un ideal primo de S , entonces ¡jJ (!) es un ideal primo de R. Demostración. 27

28

CAPÍTULO 2. ADJUNCIÓN DE UNIDAD VS COMPACTACIÓN

l. Nótese que J un ideal primo debe tenerse que ( (e, O), 3) E P Así, ((e,0),3)+((0,1),0) = ((e,1),3) E P y ((e,0),3)+((0,2),0) = ((e, 2) '3) E P. Por lo tanto, le X z3 X {3} = PJ. Luego, P; = JC

X

z3

X

{i}' para .¿ = 1, 3, 5 (Proposición 2.39) y se

5

obtiene que P = U P; donde i=O

, para z par , para z 1mpar. Se puede verificar directamente que P es un ideal primo de U6 (A) , que a su vez es maximal. También se puede verificar fácilmente que P así obtenido, es 1/J (J x Z 3 ) (Teorema 2.1).

2. Si P = 7/J (B x {O}) entonces, por la Proposición 2.40 se tiene que P; = B x {O} x {i} para i =O, 3. Consideremos a, b E B, se tiene que ( (a, 2) , 3)

tJ. P. Como

((a, 2) ,3) ((b, 1), 2) = (ab + 2a + 3b,2 + 1 +O, O) = ((ab + b, O), O) E P entonces, por ser J> un ideal primo de U6 (A) , debe tenerse que ( ( b, 1) , 2) E P. Así, por la Proposición 2.40 se tiene que B x {1} x {2} e g y B x { 1} x { 5} e P5. 45

46

CAPÍTULO 2. ADJUNCIÓN DE UNIDAD VS COMPACTACIÓN

Además, ((b, 1), 2)+((b, 1), 2) = ((0, 2), 4) E P y ((b, O), 0)+((0, 2), 4) = ( (b, 2) '4) E r. Por lo tanto, por la Proposición 2.40, B X {2} X { 4} e [>4 y B x { 2} x { 1} e P1. .5

Se verifica de manera directa que el conjunto P = U Pi, donde i=O

( B x {O} x {i} , para i =O, 3 Pi = ~ B x {2} x { i} , para i = 1, 4

l

Bx{1}x{i}

,para i=2,5

es un ideal maximal (y por lo tanto primo) de U6 (A). Nótese que I = B x {O}, 111 = B x {2} y N= B x {1} como en la Proposición 2.40, son precisamente las clases del cociente ( R x .'2: 3 ) / ( R x {O}) . Además, P así definido satisface la definición de ·¡JJ ( B x {O}). Ahora, examinando las vecindades de A x 3.'2: 6 podemos observar que D (0, 1, 2) = {A x 3.'2: 6 }, en efecto: • Claramente (0, 1, 2) tj. A x 3.'2:6 y (0, 1, 2) E A x 2.'2:6 . • Por lo desarrollado anteriormente, (0, 1, 2) E 1jJ (B x {O}) y entonces 1/J(B X {O}) t/:. D(O,L2). • Si J E Spec (B), se sabe que (0, L 2) E 1/J (J x .'2: 3 ). Luego, A x 3.'2: 6 resulta ser un punto aislado en 8pec (U6 (A)) y por lo tanto, 8pecA 0 (U6 (A)) = 8pec (U6 (A))- {A x 3.'2:6 } ~ 8pec (A) U {A x 2.'2: 6 }. Por lo tanto, Spec (A) no es denso en Spec (U6 (A)) y Spec (U6 (A)) no es una compactación de Spcc ("1) por dos puntos. Sin embargo, Spcc (U6 (A)) sí contiene una compactación de Spcc (A) por un punto. Adicionalmente, vamos a presentar las siguientes observaciones con respecto al espacio Spec (U6 (A)) de este ejemplo. Tenemos que

Spec(A) = Spec(B x .'2: 3 ) ~ Spec(B)

Il Spec(Z

3 ),

donde Sper: (B) es T2 , por ser B un anillo de Boole y el único punto de S'pec(Z 3 ) es aislado en Spec(A), puesto que D(0,1) = {B x {0}}. Luego 8pec (A) es un espacio T2 , localmente compacto y Spec (U6 (A)) es un espacio 46

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2.5. A NILLOS DE CARACTERÍSTICA N O NULA .

T2 . Por lo tanto, la compactación SpecAo (U6 (A)) de Spec (A) por un punto, es la compactación de Alexandroff (ver [46]). Nótese que: Spec (Uti (A))

~ SpecAo (Uti (A))

Il {A

(3)}

X

~

Il {A x (3)} ( Sper; (B) Il Sper; (Z:;) Il {A (3)} (Spec (E))* Il Spec (2:: Il {A x (3)} Spec(U (B)) Il Spec(Z Il {A x (3)}

~

Spec (U2 (R) x Z2 x Z2),

~ (Spu: (A))*

~ ~

1

r

X

3)

3)

2

2

es decir, S pe e (U6 ( J1)) es el espectro del anillo de Boole con unidad U2 ( B) x Z 2 x Z 2 . Luego, Spe e (U6 (A)) además de ser compacto y T 2 es totalmente disconexo. Con el desarrollo de este ejemplo apreciamos el siguiente resultado. Proposición 2.41. Sean A un anillo de característica n cj:. O e 1 un ideal de A. Entonces

Demostración. Claramente 1 x {O} es un ideal de Un (A). Además, como la característica de A/ T es un primo divisor de n, se tiene que A/ T es una Zn-álgebra. Definimos A: Un (A) -----1 Un (A/ 1) por A (a, a)= (a+ 1, a). Se tiene que A es un homomorfismo sobre de anillos, tal que ker A 1 x

{O}.

D

Si en la proposición anterior consideramos además que 1 es un ideal primo Zn -invariante, entonces se observa que la característica del anillo A debe ser un número primo (Ejemplo 2.27).

1

Recuerde que X* representa la compactación de Alexandroff de X. En [2] se prueba que siendo B un anillo de Boole sin unidad, Spec (U2 (B)) es precisamente la compactación de Alexandroff de Spec (B). 2

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CAPÍTULO 2. ADJUNCIÓN DE UNIDAD VS COMPACTACIÓN

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