Estructuras Algebraicas Anillos conmutativos Gisela Tartaglia Mayo 2006

1 1.1

Preliminares Condiciones de Cadena

En esta secci´on se resumir´an las propiedades b´asicas sobre la condici´on de cadena ascendente para m´odulos y anillos. Definici´ on 1.1. Se dice que un m´ odulo A satisface la condici´on de cadena ascendente(CCA) en subm´ odulos (o que es noetheriano) si para toda cadena A1 ⊂ A2 ⊂ ... de subm´ odulos de A, existe un entero n tal que Ai = An ∀i ≥ n. Definici´ on 1.2. Un anillo R es noetheriano a izquierda (resp. a derecha) si satisface la condici´ on de cadena ascendente en ideales a izquierda (resp. a derecha). R es noetheriano si es noetheriano a izquierda y a derecha. En otras palabras, un anillo R es noetheriano (a izquierda o derecha) si es un R-m´odulo noetheriano (a izquierda o derecha), ya que los subm´odulos de R son precisamente los ideales de R. En consecuencia, todas las definiciones y resultados subsiguientes sobre m´odulos que satisfacen la CCA en subm´odulos se aplican, mutatis mutandis a anillos noetherianos (a izquierda o derecha). Definici´ on 1.3. Sea (A, ≤) un conjunto parcialmente ordenado. Un elemento a ∈ A es maximal en Asi para todo c ∈ A comparable con a, c ≤ a. Definici´ on 1.4. Un m´ odulo A satisface la condici´ on m´ axima en subm´ odulos si todo conjunto no vac´ıo de subm´ odulos de A contiene un elemento maximal. Teorema 1.5. Un m´ odulo A satisface la condici´ on de cadena ascendente en subm´ odulos sii A satisface la condici´ on m´ axima en subm´ odulos. f

g

Teorema 1.6. Sea 0 → A → B → C → 0 una secuencia exacta de m´ odulos. Luego B satisface la CCA en subm´ odulos sii A y C la satisfacen. Corolario 1.7. Si A es un subm´ odulo de un m´ odulo B, luego B satisface la CCA sii la satisfacen A y B/A.

1

Corolario 1.8. Sean A1 ...An m´ odulos. La suma directa A1 ⊕ ... ⊕ An satisface la CCA sii cada Ai lo hace. Teorema 1.9. Si R es un anillo noetheriano a izquierda (resp. a derecha) con unidad, todo R-m´ odulo unitario A a izquierda (resp. a derecha) finitamente generado satisface la CCA en subm´ odulos. Teorema 1.10. Un m´ odulo A satisface la CCA en subm´ odulos sii todo subm´ odulo de A es finitamente generado. En particular, un anillo conmutativo R es noetheriano sii todo ideal de R es finitamente generado.

1.2

Ideales primos y primarios

El prop´osito principal de esta secci´on es estudiar la estructura ideal de ciertos anillos conmutativos. Para esto se enunciar´an las propiedades b´asicas de los ideales primos, se introducir´a el radical de un ideal y se definir´an los ideales primarios. Finalmente se discutir´a la descomposici´ on primaria de ideales. Excepto en el Teorema 1.12, todos los anillos son conmutativos. La motivaci´on de gran parte de esta secci´on surge del estudio de dominios de ideales principales. En particular, un tal dominio D es un dominio de factorizaci´on u ´nica. La propiedad de factorizaci´on u ´nica de D puede ser enunciada en t´erminos de ideales: todo ideal propio de D es producto de ideales maximales (y por consiguiente, primos), determinados en forma u ´nica salvo orden. Todo ideal primo no nulo de D es de la forma (p) con p primo (= irreducible), y (p)n = (pn ). Por lo tanto, todo ideal propio (a) de D puede ser escrito en forma u ´nica (salvo orden) de la siguiente manera: (a) = (pn1 1 )(pn2 2 )...(pnr r ) = (pn1 1 ) ∩ (pn2 2 ) ∩ ... ∩ (pnr r ) donde cada ni > 0 y los pi son primos distintos. Ahora, un ideal Q = (pn ) (p primo) tiene la propiedad: ab ∈ Q y a ∈ / Q implica bk ∈ Q para alg´ un k. Un tal ideal Q es llamado primario. La discusi´on precedente muestra que todo ideal en un dominio de ideales principales es la intersecci´on de un n´ umero finito de ideales primarios (´ unicos). M´as aun, existe una conexi´ on obvia entre estos ideales primarios y los ideales primos de D; de hecho, todo ideal primario (pn ) = (p)n es una potencia de un ideal primo. Reci´en hemos pasado de considerar la factorizaci´on u ´nica de elementos como producto de primos en D a considerar la ”descomposici´on primaria” de ideales en el dominio principal D. Ahora investigaremos la ”descomposici´on primaria” de ideales en anillos conmutativos m´as generales (donde, por ejemplo, los ideales no son necesariamente principales y los ideales primarios pueden no ser potencias de ideales primos). Teorema 1.11. Un ideal P (6= R) en un anillo conmutativo R es primo sii R - P es un conjunto multiplicativo. (Recordemos que un subconjunto S 6= ∅ de un anillo R es multiplicativo si: a, b ∈ S implica ab ∈ S) Teorema 1.12. Si S es un subconjunto multiplicativo de un anillo R, disjunto de un ideal I de R, entonces existe un ideal P que es maximal en el conjunto de todos los ideales de R disjuntos de S que contienen a I. M´ as aun, P es primo. 2

Proposici´ on 1.13. Si R es un anillo conmutativo con unidad y P es un ideal maximal en el conjunto de todos los ideales de R que no son finitamente generados, entonces P es primo. Definici´ onT1.14. Sea I un ideal en un anillo conmutativo R. El radical de I, denotado Rad I, es el ideal P , donde la intersecci´ on es tomada sobre todos los ideales primos P que contienen a I. Si el conjunto de ideales primos que contienen a I es vac´ıo, luego Rad I se define como R. Teorema 1.15. Si I es un ideal en un anillo conmutativo R, RadI = {r ∈ R/rn ∈ I para alg´ un n > 0} Teorema 1.16. Si I1 ...In son ideales es un anillo conmutativo R, luego: Rad(I1 I2 ...In ) = Rad

n \ j=1

Ij =

n \

RadIj

j=1

Definici´ on 1.17. Un ideal Q (Q 6= R) en un anillo conmutativo R es primario si para a, b ∈ R: ab ∈ Q y a ∈ / Q implica bn ∈ Q para alg´ un n > 0. Teorema 1.18. Si Q es un ideal primario en un anillo conmutativo R, luego Rad Q es un ideal primo. Si Q es un ideal primario en un anillo conmutativo R, y P es el radical de Q, decimos que Q es P -primario. Teorema 1.19. Sean P y Q ideales en un anillo conmutativo R. Q es P -primario sii: 1. Q ⊆ P ⊆ Rad Q; y 2. si ab ∈ Q y a ∈ / Q implica b ∈ P . Teorema 1.20. Si QT 1 ...Qn son ideales primarios en un anillo conmutativo R, con Qi P -primario ∀i, luego ni=1 Qi es tambi´en P -primario. Definici´ on 1.21. Un ideal I en un anillo conmutativo T R tiene una descomposici´on primaria si I = Q1 ∩ Q2 ∩...∩Qn con cada Qi primario. Si Qi 6⊃ j6=i Qj y los radicales de los Qi son todos distintos, se dice que la descomposici´on primaria es reducida.

1.3

Descomposici´ on primaria

Extenderemos los resultados de la secci´on anterior a los m´odulos. En esta secci´on todos los anillos son conmutativos con unidad y todos los m´odulos son unitarios. Definici´ on 1.22. Sea R un anillo conmutativo con unidad y B un R-m´ odulo. Un subm´ odulo n ∗ A (6= B) es primario si verifica: r ∈ R, b ∈ / A y rb ∈ A → r B ⊆ A para alg´ un n ∈ N . Teorema 1.23. Sea R un anillo conmutativo con unidad y A un subm´ odulo primario de un R-m´ odulo B. Luego, QA = {r ∈ R/rB ⊆ A} es un ideal primario en R. 3

Sean R, A, B y QA como en el teorema anterior. Por el Teorema 1.18 Rad QA = P es un ideal primo. Es f´acil ver que P = {r ∈ R/rn B ⊆ A para alg´ un n > 0}. Un subm´odulo primario A de un m´odulo B es P -primario si P = Rad QA = {r ∈ R/rn B ⊆ A para alg´ un n > 0}. Definici´ on 1.24. Sea R un anillo conmutativo con unidad y B un R-m´ odulo. Un subm´ odulo C de B tiene una descomposici´on primaria si C = A1 ∩ ... ∩ T An , donde cada Ai es un subm´ odulo Pi -primario de B para alg´ un ideal primo Pi de R. Si Ai 6⊇ j6=i Aj y Pi 6= Pj ∀i 6= j, se dice que la descomposici´ on primaria es reducida. Teorema 1.25. Sea R un anillo conmutativo con unidad y B un R-m´ odulo. Si un subm´ odulo C de B tiene una descomposici´ on primaria, luego C tiene una descomposici´ on primaria reducida. Teorema 1.26. Sea R un anillo conmutativo con unidad y B un R-m´ odulo que satisface la CCA en subm´ odulos. Luego, todo subm´ odulo A(6= B) tiene una descomposici´ on primaria reducida. En particular, todo subm´ odulo A(6= B) de un m´ odulo B finitamente generado sobre un anillo conmutativo noetheriano R y todo ideal (6= R) de R tiene una descomposici´ on primaria reducida.

1.4

Anillos de cocientes y localizaci´ on

En esta secci´on generalizaremos la construcci´on del cuerpo Q a partir del anillo Z. Teorema 1.27. Sea S un subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativo R. La relaci´ on definida en el conjunto R × S por: (r, s) ≈ (r0 , s0 ) ↔ s1 (rs0 − r0 s) = 0 para alg´ un s1 ∈ S es una relaci´ on de equivalencia. M´ as a´ un, si R no tiene divisores de cero y 0 ∈ / S, luego (r, s) ≈ (r0 , s0 ) ↔ rs0 − r0 s = 0. Denotaremos a la clase de equivalencia de (r, s) ∈ R × S por r/s. Teorema 1.28. Sea S un subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativo R y sea S −1 R el conjunto de las clases de equivalencia de R × S por la relaci´ on del Teorema anterior. 1. S −1 R es un anillo conmutativo con unidad, donde la adici´ on y la multiplicaci´ on est´ an definidas por r/s + r0 /s0 = (rs0 + r0 s)/ss0 y (r/s)(r0 /s0 ) = rr0 /ss0 . 2. Si R es un anillo no nulo sin divisores de cero y 0 ∈ / S, luego S −1 R es un dominio integral. 3. Si R es un anillo no nulo sin divisores de cero y S es el conjunto de todos los elementos de R no nulos, luego S −1 R es un cuerpo. El anillo S −1 R en el Teorema 1.28 se denomina anillo de cocientes o anillo de fracciones o anillo cociente de R por S. Un caso importante ocurre cuando S es el conjunto de todos los elementos no nulos en un dominio integral R. Luego S −1 R es un cuerpo (Teorema 1.28, 3), al que llamaremos cuerpo cociente del dominio integral R.

4

Teorema 1.29. Sea S un subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativo R. 1. El mapa φS : R → S −1 R dado por r 7→ rs/s (para alg´ un s ∈ S) es un morfismo de anillos tal que φS (s) es una unidad en S −1 R para todo s ∈ S. 2. Si 0 ∈ / S y S no contiene divisores de cero, luego φS es un monomorfismo. En particular, todo dominio integral puede ser insertado en su cuerpo cociente. 3. Si R tiene identidad y S consiste de unidades, luego φS es un isomorfismo. En particular, el cuerpo cociente de un cuerpo F es isomorfo a F . Lema 1.30. Sea S un subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativo R con identidad y sea I un ideal en R: −1 1. I ⊂ φ−1 S (S I).

2. Si I = φ−1 un ideal J en S −1 R, luego S −1 I = J. En otras palabras, todo ideal S (J) para alg´ −1 en S R es de la forma S −1 I para alg´ un ideal I en R. 3. Si P es un ideal primo en R y S ∩ P = ∅, luego S −1 P es un ideal primo en S −1 R y −1 φ−1 S (S P ) = P . Sea R un anillo conmutativo con unidad y P un ideal primo de R. Luego S = R − P es un subconjunto multiplicativo por el Teorema 1.11. El anillo de cocientes S −1 R se denomina localizaci´ on de R en P y se denota RP . Si I es un ideal en R, luego el ideal S −1 I en RP se denota IP . Teorema 1.31. Sea P un ideal primo en un anillo conmutativo R con unidad. 1. Hay una correspondencia uno a uno entre el conjunto de ideales primos de R contenidos en P y el conjunto de ideales primos de RP , dada por Q 7→ QP ; 2. el ideal PP en RP es el u ´nico ideal maximal de RP .

5

2

Anillos noetherianos y m´ odulos

Este cap´ıtulo consiste de dos partes independientes. En la primera parte trataremos principalmente con m´odulos noetherianos (es decir, m´odulos que satisfacen la condici´on de cadena ascendente) y probaremos el Teorema de Intersecci´on de Krull. Tambi´en presentaremos el Lema de Nakayama y varios resultados consecuentes. En la segunda parte del cap´ıtulo probaremos que si R es un anillo noetheriano con unidad, tambi´en lo es el anillo de polinomios R [x1 ...xn ]. Con algunas excepciones, todos los anillos ser´ an conmutativos con unidad. Empezaremos recordando que un anillo conmutativo R es noetheriano sii satisface la condici´ on m´axima en ideales (Definici´on 1.2,Teorema 1.5) o equivalentemente sii todo ideal de R es finitamente generado (Teorema 1.10). De hecho, s´olo es necesario considerar ideales primos de R:

Proposici´ on 2.1. (I.S. Cohen) Un anillo conmutativo R con unidad es noetheriano sii todo ideal primo de R es finitamente generado. Proof. ⇒ Si R es noetheriano, todo ideal de R es finitamente generado. En particular, todo ideal primo es finitamente generado. ⇐ Sea S el conjunto de todos los ideales de R que no son finitamente generados. Si S 6= ∅, usando el Lema de Zorn se encuentra un elemento maximal P de S. Por la Prop 2.4, P es primo, luego es finitamente generado (por hip´otesis). Esto es una contradicci´on salvo que S = ∅. Por lo tanto R es noetheriano por el Teorema 1.10.

Ahora desarrollaremos las preliminares necesarias para probar el Teorema de Intersecci´on de Krull. Si B es un m´odulo sobre un anillo conmutativo R, I = {r ∈ R/rb = 0∀b ∈ B} es un ideal de R, ya que: • 0b = 0 ∀b ∈ B, luego 0 ∈ I. • Sean r y s ∈ I. Luego, (r + s)b = rs + sb = 0 + 0 = 0 ∀b ∈ B, es decir, r + s ∈ I. • Si q ∈ R y r ∈ I, (qr)b = q(rb) = q0 = 0 ∀b ∈ B, y as´ı tenemos que qr ∈ I ∀q ∈ R, ∀r ∈ I. El ideal I se llama anulador de B en R. Lema 2.2. Sea B un m´ odulo finitamente generado sobre un anillo conmutativo con unidad R y sea I el anulador de B en R. Luego B satisface la CCA sii R/I es anillo noetheriano. Proof. ⇒ Sean b1 ...br los generadores de B y supongamos que B satisface la CCA. Luego, B = Rb1 + ... + Rbn . Esto implica I = I1 ∩ I2 ∩ ... ∩ In , donde Ij es el anulador del subm´odulo Rbj . (Sea r ∈ I → rb = 0 ∀b ∈ B. En particular, r(sbi ) = 0 ∀s ∈ R, ∀i = 1...n → r ∈ Ii ∀i = 1...n → r ∈ I1 ∩ I2 ∩ ... ∩ In . Sea ahora r ∈ I1 ∩ I2 ∩ ... ∩ In → rti = 0 ∀ti ∈ Rbi , ∀i = 1...n. Ahora ∀b ∈ B, ∃s1 ...sn ∈ R tal que b = s1 b1 +... + sn bn → rb = r(s1 b1 ) +... + r(sn bn ) = 0 |{z} |{z} | {z } | {z } ∈Rb1

∈Rbn

0

0

∀b ∈ B → r ∈ I). Sea φ : R/I → R/I1 × R/I2 × ... × R/In el monomorfismo de anillos dado por 6

φ(r + I) = (r + I1 , ..., r + In ). Veamos que φ tambi´en es monomorfismo de R- m´odulos: sean r, s ∈ R φ(s(r + I)) = φ(sr + I) = (sr + I1 , ..., sr + In ) = s(r + I1 , ..., r + In ) = sφ(r + I). Para cada j definimos el mapa φj : R/Ij → Rbj dado por φj (r + Ij ) = rbj . Veamos que φj es isomorfismo de R- m´odulos ∀j = 1...n: sean r, s ∈ R • φj ((r + Ij ) + (s + Ij )) = φj ((r + s) + Ij ) = (r + s)bj = rbj + sbj = φj (r + Ij ) + φj (s + Ij ) • φj (s(r + Ij )) = φj (sr + Ij ) = (sr)bj = s(rbj ) = sφj (r + Ij ) • φj (r + Ij ) = 0 → rbj = 0 → r ∈ Ij → φj monomorfismo • Sea rbj ∈ Rbj → r + Ij ∈ R/Ij y φj (r + Ij ) = rbj → φj epimorfismo. Como el subm´odulo Rbj de B necesariamente satisface la CCA, tambi´en lo hace R/Ij . Luego, R/I1 ⊕ ... ⊕ R/In satisface la CCA por el Corolario 1.8. En consecuencia su subm´odulo Imφ ∼ = R/I satisface la CCA en R- subm´odulos. Pero cada ideal del anillo R/I es un R-subm´odulo de R/I. Luego, R/I es noetheriano. ⇐ Supongamos ahora que R/I es noetheriano. Veamos que B es un R/I- m´odulo con (r + I)b = rb. Sean a y b ∈ B, s y r ∈ R: • (r + I)(a + b) = r(a + b) = ra + rb = (r + I)a + (r + I)b • ((r + I) + (s + I))b = ((r + s) + I)b = (r + s)b = rb + sb = (r + I)b + (s + I)b • (r + I)[(s + I)b] = (r + I)(sb) = r(sb) = (rs)b = (rs + I)b = [(r + I)(s + I)]b Adem´as si A es un R/I- subm´odulo de B, luego A tambi´en es un R- subm´odulo de B ya que, si r ∈ R, a ∈ A → (r + I)a = ra ∈ A y se verifica: • (r + s)a = ((r + I) + (s + I))a = (r + I)a + (s + I)a = ra + sa • r(a + b) = (r + I)(a + b) = (r + I)a + (r + I)b = ra + rb • (rs)a = (rs + I)a = [(r + I)(s + I)]a = (r + I)[(s + I)a] = (r + I)(sa) = r(sa) En consecuencia, B satisface la CCA por el Teorema 1.9.

Recordemos que si I es un ideal en un anillo R con unidad y B es un R -m´odulo, luego P IB = { ni=1 ri bi /ri ∈ I, bi ∈ B, n ∈ N ∗ } es un subm´odulo de B. Lema 2.3. Sea P un ideal primo en un anillo conmutativo R con unidad. Si C es un subm´ odulo P -primario del R-m´ odulo noetheriano A, luego existe un entero positivo m tal que P m A ⊆ C.

7

Proof. Sea I el anulador de A en R y consideremos el anillo R = R/I. Denotaremos al coset r + I por r. Claramente I ⊂ {r ∈ R/rA ⊂ C} ⊂ P , ya que si s ∈ I → sa = 0 ∀a ∈ A → sA = 0 y 0 ∈ C por ser subm´odulo, luego s ∈ {r ∈ R/rA ⊂ C} y as´ı s ∈ {r ∈ R/rn A ⊂ C para alg´ un n > 0} = P . Por lo cual P = P/I es un ideal de R. A y C son ambos R-m´odulos con ra = ra (r ∈ R, a ∈ A). Veamos que C es un R -subm´odulo primario de A. Si ra ∈ C con r ∈ R y a ∈ A − C, luego ra ∈ C. Como C es primario (como R-subm´odulo), rn A ⊂ C para alg´ un n, por lo tanto rn A ⊂ C y C es R-primario. Dado que    k r ∈ R/r A ⊂ C para alg´ un k > 0 = r ∈ R/rk A ⊂ C para alg´ un k > 0 = r ∈ R/r ∈ P = P , P es un ideal primo de R y C es un R-subm´odulo P -primario de A. Como R es noetheriano por el Lema 2.2, P es finitamente generado por el Teorema 1.10. Sean p1 , p2 , ..., ps (pi ∈ P ) los generadores de P . Para cada i existe ni tal que pni i A ⊂ C. Si m m = n1 + ... + ns , tenemos que P A ⊂ C (ya que cada elemento de P es una combinaci´on de los pni ). Luego, ∀p ∈ P, ∀a ∈ A, pm a = c ∈C. Pero, P = P/I, entonces p = p+ r para alg´ un r ∈ I; Pm m m−i i−1  Pm m m−i i  m m m r r a = p a + ra y as´ı tenemos c = p a = (p + r) a = i=1 i p i=0 i p m m y ra = 0 ya que IA = 0. Luego, p a = c. Por lo tanto, P A = C. Teorema 2.4. (Teorema de intersecci´on de Krull) SeaTR un anillo conmutativo con unidad, I n un ideal de R y A un R -m´ odulo noetheriano. Si B = ∞ n=1 I A, luego IB = B. Proof. Si IB = A, luego A = IB ⊂ B, y as´ı B = A = IB. Si IB 6= A, por el Teorema 1.26 IB tiene una descomposici´on primaria: IB = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ As , donde cada Ai es un subm´odulo Pi -primario de A, para alg´ un ideal primo Pi de R. Como IB ⊂ B, s´olo falta probar B ⊂ IB, es decir B ⊂ Ai ∀i = 1...s. Sea i (1 ≤ i ≤ s) fijo. Supongamos primero que I ⊂ Pi . Por el Lema 2.3, existe m ∈ Z tal T que Pim A ⊂ Ai , luego B = n I n A ⊂ I m A ⊂ Pim A ⊂ Ai . Ahora supongamos I 6⊂ Pi . Entonces existe r ∈ I − Pi . Si B 6⊂ Ai , existe b ∈ B − Ai . Como rb ∈ IB ⊂ Ai , b ∈ / Ai y Ai es primario, rn A ⊂ Ai para alg´ un n > 0. En consecuencia, r ∈ Pi ya que Ai es subm´odulo Pi -primario. Esto contradice la elecci´on de r ∈ I − Pi . Por lo tanto, B ⊂ Ai . Lema 2.5. (Nakayama) Si J es un ideal en un anillo conmutativo R con unidad, luego las siguientes condiciones son equivalentes: 1. J est´ a contenido en cada ideal maximal de R; 2. 1R − j es una unidad ∀j ∈ J; 3. si A es un R-m´ odulo finitamente generado tal que JA = A, luego A = 0; 4. si B es un subm´ odulo de un R-m´ odulo A finitamente generado tal que A = JA + B, luego A = B. Proof. 1) → 2) Si j ∈ J y 1R − j no es unidad, luego el ideal (1R − j) es propio y por lo tanto est´a contenido en un ideal maximal M 6= R. Pero 1R − j ∈ M y J ⊂ M ( por 1) ) implica que 1R ∈ M , absurdo. Luego 1R − j es una unidad. 2) → 3) Como A es finitamente generado, debe existir un conjunto generador minimal X = {a1 , ..., an } de A. Si A 6= 0, ai 6= 0 por minimalidad. Por ser JA = A, a1 = j1 a1 + ... + jn an 8

(ji ∈ J), luego: (1R − j1 )a1 = 0 si n = 1 y (1R − j1 )a1 = j2 a2 + ... + jn an si n > 1. Como 1R − j1 es unidad en R, a1 = (1R − j1 )−1 (1R − j1 )a1 . Entonces, si n = 1, a1 = 0 absurdo. Si n > 1, a1 es combinaci´on lineal de a2 ...an , y as´ı {a2 , ..., an } genera A, pero esto contradice la elecci´on de X. 3) → 4) Veamos que el m´odulo cociente A/B es tal que J(A/B) = A/B: Sea r ∈ J(A/B) entonces

r =

=

n X

ji xi = |{z}

i=1 ∈J n X

n X i=1

(

ji xi ) |{z} |{z} i=1 ∈J ∈A

|

{z

ji ( xi +B) = |{z} ∈A

n X

ji xi + B

i=1

+B

}

∈Apor ser R-m´ odulo

∈ A/B. Sea r ∈ A/B r =a+B =

n X

ji xi +B |{z} |{z} i=1 ∈J ∈A

=

n X

ji (xi + B) ∈ J(A/B).

i=1

Luego, J(A/B) = A/B. Ahora, como A/B es finitamente generado y J(A/B) = A/B, aplicando 3): A/B = 0, luego A = B. 4) → 1) Sea M un ideal maximal de R. Luego, JR + M ⊃ M pero JR + M 6= R (si no, por 4) M = R). Entonces JR + M = M por maximalidad, y as´ı, J = JR ⊂ M .

Daremos ahora varias aplicaciones del Lema de Nakayama. Proposici´ on 2.6. Sea J un ideal en un anillo conmutativo R con unidad. Luego, J est´ a contenido todo ideal maximal de R sii para todo R-m´ odulo A que satisface la CCA en subm´ odulos, T∞ en n A = 0. J n=1 T n Proof. ⇒ si B = ∞ n=1 J A, luego por el Teorema 2.4, JB = B. Como B es finitamente generado (por el Teorema 1.10), B = 0 por el Lema de Nakayama. ⇐ Podemos asumir R 6= 0. Si M es un ideal maximal de R, luego M 6= R y A = R/M es un R-m´odulo 6= 0 que noTtiene subm´odulos propios. Por lo tanto, A satisface trivialmente la n CCA, y as´ı por hip´otesis ∞ oT dulo de A, o bien JA = A, o bien n=1 J A = 0. Como JA es subm´ n n JA = 0. Si JA = A, luego J A = A ∀n. En consecuencia, ∞ n=1 J A = A 6= 0, absurdo. Por ende se debe tener JA = 0. Pero 0 = JA = J(R/M ) implica J ⊂ JR ⊂ M .

Definici´ on 2.7. Un anillo local es un anillo conmutativo con unidad que tiene un u ´nico ideal maximal.

9

Corolario 2.8. Si R es un anillo local noetheriano con ideal maximal M , luego

T∞

n=1 M

n

= 0.

Proof. En la proposici´on anterior tomamos J = M y A = R, luego J n A = M n R = M n y as´ı T∞ n n=1 M = 0. Proposici´ on 2.9. Si R es un anillo local, todo R-m´ odulo proyectivo finitamente generado es libre. Proof. Si P es un R-m´odulo proyectivo finitamente generado, luego existe un R-m´odulo libre F de base finita y un epimorfismo Π : F → P . Entre todos los R-m´odulos libres F con esta propiedad elegimos uno con base {x1 ...xn } que tiene un n´ umero minimal de elementos. Por ser Π epi, {Π(x1 )...Π(xn )} necesariamente genera P . Mostraremos primero que K = kerΠ est´a contenido en M F , donde M es el u ´nico ideal maximal de R. Si K 6⊂ M F , existe k ∈ K tal que k ∈ / M F . Ahora, k = r1 x1 + ... + rn xn con ri ∈ R determinados un´ıvocamente. Como k ∈ / M F , alg´ un ri , digamos r1 no es un elemento de M . Luego r1 es una unidad, y as´ı −1 x1 − r1−1 k = −r1−1 r2 x2 − ... − como k ∈ kerΠ, n . En consecuencia, Pn Prn1 rn x−1 −1 −1 Π(x1 ) = Π(x1 − r1 k) = Π( i=2 −r1 ri xi ) = i=2 −r1 ri Π(xi ). Por lo tanto {Π(x2 )...Π(xn )} genera P . As´ı si F1 es el subm´odulo libre de F con base {x2 ...xn } y Π1 : F1 → P la restricci´ on de Π a F1 , luego Π1 es epi. Esto contradice la elecci´on de F con base de cardinal m´ınimo. Luego K ⊂ MF. Π Como 0 → K ,→ F → P → 0 es exacta y P es proyectivo, existe h : P → F tal que Πh = idP . Luego ϕ : K ⊕ P → F dada por ϕ(k, p) = k + h(p) es iso. Por lo tanto K ⊕ P ∼ F . Entonces =P F = K ⊕ P1 con P1 = h(P ) ∼ = P . As´ı F = K + P1 ⊂ M F + P1 . Si u ∈ F , u = i mi vi + p, mi ∈ M , viP ∈ F , p ∈ P1 . En consecuencia, en el R-m´odulo F/P1 : P u + P1 = ı M (F/P1 ) = F/P1 . Por ser F i mi vi + P1 = i mi (vi + P1 ) ∈ M (F/P1 ), as´ finitamente generado, tambi´en lo es F/P1 . Luego F/P1 = 0 por el Lema de Nakayama. Entonces P ∼ = P1 = F y P es libre. Teorema 2.10. (Teorema de la base de Hilbert) Si R es un anillo conmutativo noetheriano con unidad, tambi´en lo es R [x1 , ..., xn ] Proof. Claramente basta con mostrar que R [x] es noetheriano. Por el Teorema 1.10 s´olo necesitamos mostrar que todo ideal J en R [x] es finitamente generado. Para cada n ≥ 0, sea In el conjunto de todos los r ∈ R tal que r = 0 o r es el coeficiente principal de un polinomio f ∈ J de grado n. Veamos que cada In es un ideal de R: • Sean r, s ∈ In , luego si: 1. r = 0 → s − r = s − 0 = s ∈ In ; 2. r 6= 0 y s 6= 0 → r es el coeficiente principal de f y s es el coeficiente principal de g tal que gr(f ) = gr(g) = n, f y g ∈ J → f − g ∈ J, gr(f − g) ≤ n. Si gr(f − g) = n → r − s 6= 0 es el coeficiente principal de f − g → r − s ∈ In . Si gr(f − g) < n → r − s = 0 ∈ In . Luego r − s ∈ In . • Sea r ∈ R, s ∈ In , luego si: 10

1. r = 0 o s = 0 → rs = 0 ∈ In ; 2. r 6= 0 y s 6= 0 → s es el coeficiente principal de f ∈ J tal que gr(f ) = n → rf ∈ J, gr(rf ) = n y el coeficiente principal de rf es rs → rs ∈ In . Luego rs ∈ In . Si r es un elemento no nulo de In y f es un polinomio ∈ J de grado n con coeficiente principal r, luego r es tambi´en el coeficiente principal de xf que es un polinomio ∈ J de grado n + 1. As´ı I0 ⊂ I1 ⊂ ... Como R es noetheriano, existe t ∈ Z tal que In = It ∀n ≥ t; m´as a´ un, por el Teorema 1.10 cada In es finitamente generado, digamos In = (rn1 , rn2 , ..., rnin ). Para cada rnj con 0 ≤ n ≤ t, 1 ≤ j ≤ in , sea fnj el polinomio ∈ J de grado n con coeficiente principal rnj . Observemos que f0j = r0j ∈ R ⊂ R [x]. Mostraremos que el ideal J de R [x] est´a generado por el conjunto finito de polinomios: X = fnj ∈ J/0 ≤ n ≤ t, 1 ≤ j ≤ in . Claramente (X) ⊂ J (ya que fnj ∈ J). Rec´ıprocamente, los polinomios de grado 0 en J son precisamente los elementos de I0 y por lo tanto est´an contenidos en (X). Procediendo por inducci´on asumamos que (X) contiene todos los polinomios de J de grado menor que k y sea g ∈ J de grado k y coeficiente principal r 6= 0. Si k ≤ t, luego r ∈ Ik y as´ı r = s1 rk1 + s2 rk2 + ... + sik rkik para alg´ un sj ∈ R. Entonces el Pik polinomio j=1 sj fkj = s1 fk1 +...+sik fkik ∈ (X) tiene coeficiente principal s1 rk1 +...+sik rkik = r Pk sj fkj tiene grado menor o igual a k − 1. Por hip´otesis y grado k. En consecuencia g − ij=1 Pik inductiva, g − j=1 sj fkj ∈ (X), y luego g ∈ (X). Pt Pt sj xk−t ftj ∈ (X) tiene sj rtj (sj ∈ R). M´as a´ un, ij=1 Si k ≥ t → r ∈ Ik = It y r = ij=1 Pit coeficiente principal r y grado k. Luego, g − j=1 sj xk−t ftj tiene grado menor o igual a k − 1 y est´a en (X) por hip´otesis inductiva. En consecuencia g ∈ (X) y la inducci´on est´a completa. Por lo tanto J = (X).

11

3

Extensiones de anillos

En la primera parte de este cap´ıtulo definiremos las extensiones de anillos y desarrollaremos las propiedades escenciales de las extensiones integrales. En la segunda parte, estudiaremos las relaciones entre ideales primos de R y S, donde S es un anillo de extensi´on de R. En este cap´ıtulo todos los anillos son conmutativos con unidad. Definici´ on 3.1. Sea S un anillo conmutativo con unidad y R un subanillo de S que contiene a 1S . Luego, decimos que S es un anillo de extensi´on de R. Ejemplos 3.2. Todo cuerpo de extensi´on F de un cuerpo K es obviamente un anillo de extensi´ on de K. Si R es un anillo conmutativo con unidad, R [x1 ...xn ] es un anillo de extensi´on de R. El anillo Z no es extensi´on del subanillo E de enteros pares ya que 1 ∈ / E. Definici´ on 3.3. Sea S un anillo de extensi´ on de R y s ∈ S. Si existe un polinomio m´ onico f ∈ R [x] tal que s es ra´ız de f , luego decimos que s es integral sobre R. Si todo elemento de S es integral sobre R, decimos que S es una extensi´on integral de R. Ejemplos 3.4. Todo cuerpo de extensi´on algebraica F de un cuerpo K es un anillo de extensi´ on integral. El anillo R es integral sobre s´ı mismo ya que √ r ∈ R es ra´ız de x − r ∈ R [x]. En la extensi´ o n de Z por el cuerpo real R, 1/ 3 es√algebraico sobre Z ya que es ra´ız de 3x2 − 1 √ pero 1/ 3 no es integral sobre Z. Sin embargo, 1/ 3 es integral sobre el cuerpo racional Q ya que es ra´ız de x2 − 1/3. Sea S el anillo de extensi´on de R y X un subanillo de S. Luego, el subanillo generado por X sobre R es la intersecci´on de todos los subanillos de S que contienen a X ∪ R, se denota R [x]. R [x] consiste de todos los elementos f (s1 ...sn ) con n ∈ N ∗ , f ∈ R [x1 ...xn ] y si ∈ X. En particular, para cualquier s1 ...st ∈ S el subanillo generado por {s1 ...st } sobre R, que se denota R [s1 ...st ], consiste de todos los elementos f (s1 ...st ) con f ∈ R [x1 ...xt ]. Un elemento de R [s1 ...st ] se suele llamar polinomio en s1 ...st . A pesar de esta terminolog´ıa, R [s1 ...st ] no necesariamente es isomorfo al anillo de polinomios R [x1 ...xt ] (por ejemplo, f (s1 ...st ) puede ser cero a´ un si f es un polinomio no nulo). Es f´acil ver que para cada i (1 ≤ i ≤ t), R [s1 ...si−1 ] [si ] = R [s1 ...si ]. Como R [s1 ...st ] es un anillo que contiene a R, R [s1 ...st ] es un R-m´odulo en la forma obvia. As´ı mismo todo m´odulo sobre R [s1 ...st ] es obviamente un R-m´odulo. Teorema 3.5. Sea S un anillo de extensi´ on de R y s ∈ S. Son equivalentes: 1. s es integral sobre R; 2. R [s] es un R-m´ odulo finitamente generado; 3. existe un subanillo T de S que contiene a 1S y a R [s] que es finitamente generado como R-m´ odulo; 12

4. existe un R [s]-subm´ odulo B de S que es finitamente generado como R-m´ odulo y cuyo anulador en R [s] es 0. Proof. 1) → 2) Supongamos que s es ra´ız del polinomio m´onico f ∈ R [x] de grado n . Todo elemento de R [s] es de la forma g(s), con g ∈ R [x]. Por el algoritmo de la divisi´on, g(x) = f (x)q(x) + r(x) con gr r(x) 1). Por lo tanto, n = 1. m=k. P1 ...Pk = I = Q1 ...Qn con Pj , Qi primos y Pj invertible. Luego k = n y (reindexando) Pi = Qi ∀i = 1, ..., n. Sea ahora m=k+1. Elijamos un Pi , digamos P1 , tal que P1 no contiene a ning´ un Pi , i = 2, ..., m. Como Q1 ...Qn = P1 ...Pm ⊂ P1 y P1 es primo, alg´ un Qj , digamos Q1 , est´a contenido en P1 . Similarmente, como P1 ...Pm = Q1 ...Qn ⊂ Q1 , Pi ⊂ Q1 para alg´ un i. Luego, Pi ⊂ Q1 ⊂ P1 . Por maximalidad de P1 debe ser Q1 = Pi = P1 . Como P1 = Q1 es invertible, Q2 ...Qn = P2 ...Pm . Ahora tenemos m = k, luego por hip´otesis inductiva, m = n y (reindexando) Pi = Qi ∀i = 2, ..., m.

Si R es un dominio de ideales principales, todo ideal primo no nulo P en R es maximal; y por el Ejemplo 4.9 sabemos que P es invertible. M´as generalmente tenemos: Teorema 4.11. Si R es un dominio de Dedekind, todo ideal primo no nulo de R es invertible y maximal. Proof. Mostramos primero que todo ideal P primo invertible es maximal. Sea a ∈ R − P , luego P ⊂ P + Ra ⊆ R. Veamos que P + Ra = R. Si P + Ra 6= R, luego por ser R Dedekind, existen ideales primos Pi y Qj tal que P + Ra = P1 ...Pm y P + Ra2 = Q1 ...Qn . Sea π : R → R/P la proyecci´on can´onica y consideramos los ideales principales en R/P generados respectivamente por π(a) y π(a2 ). Ahora π(P1 )...π(Pm ) = π (P1 ...Pm ) = π
(P + Ra) = π(Ra) = π(R)π(a) = Rπ(a) = (π(a)). Y del mismo modo se puede ver que π(a2 ) = π(Q1 )...π(Qn ). Como kerπ = P ⊂ Pi y P ⊂ Qi para cada i, los ideales π(Pi ) y π(Qi ) son primos en R/P . Dado que R/P es un dominio integral, todo ideal principal en R/P es invertible (ver Ejemplo 4.9). En consecuencia, π(Pi ) y π(Qi ) son invertibles por el Lema 4.10 1). Dado que
2 π(Q1 )...π(Qn ) = π(a ) = (π(a))2 = π(P1 )2 ...π(Pm )2 , el Lema 4.10 2) implica n = 2m y (reindexando) π(Pi ) = π(Q2i ) = π(Q2i−1 ) para i = 1, ..., m. kerπ = P ⊂ Pi y P ⊂ Qj ∀i, j implica Pi = π −1 (π(Pi )) = π −1 (π(Q2i )) = Q2i y similarmente, Pi = Q2i−1 , i = 1, ...., m. Luego, P + Ra2 = (P + Ra)2 y P ⊂ P + Ra2 ⊂ (P + Ra)2 ⊂ P 2 + Ra. Si b = c + ra ∈ P (c ∈ P 2 , r ∈ R), luego ra ∈ P . Por lo tanto r ∈ P ya que P es primo y a ∈ / P . Entonces 2 2 tenemos P ⊂ P + P a ⊂ P , lo que implica P = P + P a = P (P + Ra). Como P es invertible 20

R = P −1 P = P −1 P (P + Ra) = R(P + Ra) = P + Ra. Esto es una contradicci´on. Por consiguiente todo ideal primo P invertible es maximal. Ahora supongamos que P es un ideal primo no nulo en R y c es un elemento no nulo de P . Luego (c) = P1 ...Pn para algunos ideales primos Pi . Dado que P1 ...Pn = (c) ⊂ P , y P es primo, debe ser Pk ⊂ P para alg´ un k. El ideal principal (c) es invertible y por lo tanto tambi´en lo es Pk (Lema 4.10 1)). Por la primera parte de la demostraci´on Pk es maximal, y as´ı Pk = P . Por consiguiente, P es maximal e invertible. Ejemplo 4.12. Si F es un cuerpo, los ideales principales (x1 ) y (x2 ) en el dominio polinomial F [x1 , x2 ] son primos pero no maximales ( ya que (x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ F [x1 , x2 ]). En consecuencia, F [x1 , x2 ] no es Dedekind. Dado que F [x1 , x2 ] es noetheriano por el Teorema 2.10, la clase de los dominios de Dedekind est´a contenida propiamente en la clase de dominios noetherianos. Lema 4.13. Si I es un ideal fraccional de un dominio integral R con cuerpo cociente K y f ∈ HomR (I, R), luego ∀a, b ∈ I: af (b) = bf (a). Proof. a = r/s y b = v/t (r, s, t, v ∈ R, s, t 6= 0). Luego sa = r y tb = v. As´ı, sab = rb ∈ I y tba = va ∈ I. As´ı, sf (tab) = f (stab) = tf (sab). Por lo tanto: af (b) =

saf (b) f (sab) f (tab) tbf (a) = = = = bf (a). s s t t

Lema 4.14. Todo ideal fraccional invertible de un dominio integral R con cuerpo cociente K es un R-m´ odulo finitamente generado. Pn Proof. DadoPque I −1 I = R, existen ai ∈ I −1 , bi ∈ I tal que 1R = i=1 ai bi . Si c ∈ I, P un cada cai ∈ R. Por lo tanto I est´a generado como c = c1R = c ni=1 ai bi = ni=1 (cai )bi . M´as a´ R-m´odulo por b1 , ..., bn . Teorema 4.15. Sea I un ideal fraccional en un dominio integral R. Luego I es invertible sii I es un R-m´ odulo proyectivo. Proof. ⇒ Por el PLema 4.14, I es un R-m´odulo finitamente generado. I = Rb1 + ... + Rbn con bi ∈ I y 1R = ni=1 ai bi (ai ∈ I −1 ). Sea F un R-m´odulo libre con base {e1 , ..., en }. Luego el mapa π:F P→ I dado por P ei 7→ bi es unPepimorfismo de R-m´odulos (π ( ni=1 ri ei ) = ni=1 ri π(ei ) = ni=1 ri bi ); y existe una secuencia exacta P π 0 → kerπ ,→ F → I → 0. Definamos ψ : I → F por ψ(c) = ni=1 cai ei (c ∈ I, ai ∈ I −1 , ei ∈ F ). ψ es un morfismo de R-m´odulos ya que, para c, d ∈ I, r ∈ R: P P P • ψ(c + d) = ni=1 (|{z} c + |{z} d ) ai ei = ni=1 ( cai + dai ) ei = ni=1 cai ei + dai ei |{z} |{z} |{z} |{z} ∈I ∈I −1 ∈R ∈R ∈F P P ∈I = ni=1 cai ei + ni=1 dai ei = ψ(c) + ψ(d); P P P • ψ(rc) = ni=1 (rc)ai ei = ni=1 r(cai )ei = r ni=1 cai ei = rψ(c).

21

 Adem´as, πψ(c) = π 

 Pn

cai ei  i=1 |{z}

=

Pn

i=1 cai π(ei )

=

Pn

i=1 cai bi

=c

Pn

i=1 ai bi

= c1R = c, es

∈R

decir πψ = 1I . Luego, F ∼ = kerπ ⊕ I. Por lo tanto I es proyectivo (por ser sumando directo de un m´odulo libre). ⇐ Sea X = {bj /j ∈ J} un conjunto (posiblemente infinito) de generadores del R-m´odulo proyectivo I. Sea x0 ∈ X fijo. Llamemos F al R-m´odulo y sea φ : F → I Pn {ej /j ∈ J} P Pn libre de base el epimorfismo de R-m´odulos dado por ei 7→ bi (φ ( i=1 ri ei ) = i=1 ri φ(ei ) = ni=1 ri bi ). Por ser I proyectivo, existe un morfismo de R-m´odulos ψ P : I → F tal que φψ = 1I . Para cada j sea R la proyecci´ o n can´ o nica que mapea πj : F → Rej ∼ = i ei ri ∈ F en rj ∈ R. Luego para cada j el mapa θj = πj ψ : I → R es un morfismo de R-m´odulos. Sea cj = θj (b0 ). Para cada c ∈ I, ccj = cθj (b0 ) = b0 θj (c) por el Lema 4.13. Luego, en el cuerpo cociente K de R, cj ccj b0 θj (c) c( ) = = = θj (c) ∈ R. b0 b0 b0 Por lo tanto, cj /b0 ∈ I −1 = {a ∈ K/aI ⊂ R}. En consecuencia, para cualquier c ∈ I, X X X X ψ(c) = rj ej = πj (ψ(c)) ej = θj (c)ej = θj (c)ej , j∈J

j∈J

j∈J

j∈J1

donde J1 = {j∈ J/θj (c) 6= 0} finito). Por  (conjunto   lo tanto, para todo c ∈ I no nulo, c = φψ(c) = φ

P

j∈J1

P

θj (c)ej

=φ

P

j∈J1

c(cj /b0 )ej

I −1 .

1R = j∈J1 (cj /b0 )bj con cj /b0 ∈ Luego R ⊂ −1 tenemos que I I = R, y por lo tanto I invertible.

=

P

j∈J1

I −1 I.

c(cj /b0 )bj = c

P

j∈J1 (cj /b0 )bj ,

Como siempre vale que

I −1 I

y as´ı ⊂ R,

La caracterizaci´on de dominios de Dedekind dada a continuaci´on requiere la introducci´on de otro concepto. Un anillo de valuaci´ on discreto es un dominio principal que tiene exactamente un ideal primo no nulo (el ideal nulo es primo en cualquier dominio integral). Lema 4.16. Si R es un dominio integral integralmente cerrado, noetheriano y tiene un u ´nico ideal primo no nulo, luego R es un anillo de valuaci´ on discreto. Proof. S´olo necesitamos probar que todo ideal propio en R es principal. Para esto necesitaremos los siguientes hechos, que luego ser´an probados: 1. Sea K el cuerpo cociente de R. Para todo ideal fraccional I de R el conjunto I = {a ∈ K/aI ⊂ I} es precisamente R; 2. R ⊂ P −1 ; 3. P es invertible; T 4. n∈N ∗ P n = 0; 5. P es principal.

22

Asumiendo 1)-5) por ahora, sea I un ideal propio de R. Luego I est´a contenido en un ideal maximal no nulo M de R, que es necesariamente primo. Pero por T hip´otesis, P es el u ´nico ideal primo, luego debe ser M = P , y por lo tanto I ⊂ P . Dado que n∈N ∗ P n = 0 por 4), existe m ∈ Z tal que I ⊂ P m e I 6⊂ P m+1 . Elegimos b ∈ I − P m+1 . Como P = (a) para alg´ un a ∈ R por 5), P m = (a)m = (am ), m m y luego b = ua , ya que b ∈ P . M´as a´ un, u ∈ / P = (a) (si no tendr´ıamos u = sa y as´ı m m+1 m+1 b = saa = sa ∈P ). En consecuencia, u es una unidad de R (de otro modo (u) ser´ıa un ideal propio y por lo tanto estar´ıa contenido en P por el argumento usado anteriormente). Ahora, P m = (am ) = (uam ) = (b) ⊂ I, y as´ı I es el ideal principal P m = (am ). 1. Claramente R ⊂ I. I es subanillo de K e ideal fraccional de R, por lo tanto I es isomorfo (como R-m´odulo) a un ideal de R (Observaci´on 4.6). Luego, por ser R noetheriano, I es finitamente generado (Teorema 1.10). El Teorema 3.5 (con T = I) implica que todo elemento de I es integral sobre R. Luego, I ⊂ R ya que R es integralmente cerrado. Por lo tanto I = R. 2. Recordemos que R ⊆ J −1 para todo ideal J en R. Sea F el conjunto de todos los ideales J en R tal que R ⊂ J −1 . Dado que P es un ideal propio, todo elemento no nulo de P no es unidad. Si J = (a) (a 6= 0 ∈ P ), 1R /a ∈ J −1 , pero 1R /a ∈ / R, luego R ⊂ J −1 . Por lo tanto F6= ∅. Por ser R noetheriano, F contiene un elemento maximal M (Teorema 1.5). Veamos que M es un ideal primo de R. Si ab ∈ M , con a, b ∈ R y a ∈ / M , elegimos c ∈ M −1 − R. Luego c(ab) ∈ R, por lo tanto bc(aR + M ) ⊂ R y bc ∈ (aR + M )−1 . Por consiguiente bc ∈ R (ya que de otro modo, aR + M ∈ F, contradiciendo la maximalidad de M ). En consecuencia, c(bR + M ) ⊂ R, y as´ı c ∈ (bR + M )−1 . Dado que c ∈ / R, la maximalidad de M implica bR + M = M , por lo tanto b ∈ M , es decir M es primo. Dado que M 6= 0, debe ser M = P por unicidad. Luego, R ⊂ M −1 = P −1 . 3. Claramente P ⊂ P P −1 ⊂ R. El argumento usado en el primer p´arrafo de la demostraci´ on muestra que P es el u ´nico ideal maximal en R, luego P = P P −1 o P P −1 = R. Pero si P = P P −1 , P −1 ⊂ P y por 1) y 2) R ⊂ P −1 ⊂ P = R, lo que es una contradicci´on. Por lo tanto P P −1 = R y P es invertible. 4. Si

T

n∈N ∗

fraccional de R

P n 6= 0, luego

T

n∈N ∗

P n es un ideal no nulo de R y por lo tanto es un ideal

falta terminar

T 5. Existe a ∈ P tal que a ∈ / P 2 (si no tendr´ıamos P = P 2 y luego n∈N ∗ P n = P 6= 0 contradiciendo 4)). Luego aP −1 es un ideal no nulo de R tal que aP −1 6⊂ P (si no tendr´ıamos a ∈ aR = aP −1 P ⊂ P 2 ). El primer p´arrafo de la demostraci´on muestra que todo ideal propio en R est´a contenido en P , luego aP −1 = R. Por 3) (a) = (a)R = (a)P −1 P = (aP −1 )P = RP = P . Teorema 4.17. Las siguientes condiciones en un dominio integral R son equivalentes: 1. R es un dominio de Dedekind; 2. todo ideal propio en R es producto de finitos ideales primos (´ unicos); 3. todo ideal no nulo en R es invertible; 4. el conjunto de todos los ideales fraccionales de R es un grupo con la multiplicaci´ on;

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5. todo ideal en R es proyectivo; 6. todo ideal fraccional en R es proyectivo; 7. R es noetheriano, integralmente cerrado y todo ideal primo no nulo es maximal; 8. R es noetheriano y para todo ideal primo no nulo P de R, la localizaci´ on RP de R en P es un anillo de valuaci´ on discreto. Proof. 1 → 2 Si R es Dedekind, todo ideal propio es producto finito de ideales primos. Adem´ as, por el Teorema 4.11 todo ideal primo no nulo es invertible. Luego, por el Lema 4.10 todo ideal propio es producto finito de ideales primos u ´nicos. 2 → 3 Sea I un ideal propio de R. Luego I = P1 ...Pn con Pi primos u ´nicos. Como R es Dedekind, los Pi son invertibles (por el Teorema 4.11). Por el Lema 4.10, I es invertible. 3 ↔ 6 Sea I un ideal no nulo de R, luego I es un ideal fraccional de R. Por el Teorema 4.15, I es invertible sii I es proyectivo. 6 → 7 Sea I ideal fraccional deR. Luego I es isomorfo a un ideal J en R. Como J es proyectivo, I es proyectivo. 4 ↔ 7 Teorema 4.15. 4 ↔ 5 Vimos que el conjunto S de los ideales fraccionales de R forma, con la multiplicaci´on, un monoide conmutativo, con unidad R (Teorema 4.7). Luego todo ideal fraccional de R es invertible sii S es grupo. 4 → 8 Sea I un ideal de R, luego I es ideal fraccional de R, y por 4) I es invertible. El Lema 4.14 implica I finitamente generado. Por lo tanto R es noetheriano (Teorema 1.10). Sea K el cuerpo cociente de R. Si u ∈ K es integral sobre R, R[u] es un R-subm´odulo de K finitamente generado (Teorema 3.5). En consecuencia, el Ejemplo 4.5 muestra que R[u] es un ideal fraccional de R. Luego R[u] es invertible por 4). Entonces como R[u]R[u] = R[u], R[u] = RR[u] = (R−1 [u]R[u])R[u] = R−1 [u]R[u] = R, y as´ı u ∈ R. Por lo tanto R es integralmente cerrado. Finalmente, si P es un ideal primo no nulo en R, existe un ideal maximal M en R que contiene a P . Por 4) M es invertible. En consecuencia M −1 P es un ideal fraccional de R tal que M −1 P ⊂ M −1 M = R, y as´ı M −1 P es un ideal en R. Dado que M (M −1 P ) = RP = P y P es primo, M ⊂ P o bien M −1 P ⊂ P . Pero si M −1 P ⊂ P , luego R ⊂ M −1 = M −1 R = M −1 P P −1 ⊂ P P −1 ⊂ R, y as´ı M −1 = R. Por lo tanto R = M M −1 = M R = M , lo que contradice la maximalidad de M . Luego debe ser M ⊂ P y por ende M = P . Por lo tanto P es maximal. 8 → 9 RP es un dominio integral integralmente cerrado, por el Teorema 3.11. Por el Lema i 1.30 todo ideal en RP es de la forma IP = s /i ∈ I, s ∈ / P , donde I es un ideal de R. Como todo ideal de R es finitamente generado por 8) y Teorema 1.10, todo ideal de RP es finitamente generado. Luego RP es noetheriano, por el Teorema 1.10. Por el Teorema 1.31 todo ideal primo no nulo de RP es de la forma IP , donde I es un ideal primo no nulo de R contenido en P . Dado que todo ideal primo no nulo de R es maximal (por 8), PP debe ser el u ´nico ideal primo no nulo en RP . Por lo tanto, RP es un anillo de valuaci´on discreto por el Lema 4.16. 24

9 → 1 Veremos primero que todo ideal I (6= 0) es invertible. II −1 es un ideal fraccional de R contenido en R (Observaci´on 4.8, 1), luego II −1 es un ideal en R. Si II −1 6= R, existe un ideal maximal M que contiene a II −1 . Como M es primo, el ideal IM en RM es principal (por 9); digamos IM = (a/s) con a ∈ I y s ∈ R − M . Por ser R noetheriano, I es finitamente generado, digamos I = (b1 , ..., bn ) (Teorema 1.10). Para cada i, bi /1R ∈ IM , as´ı bi /1R = (ri /si )(a/s) para alg´ un ri ∈ R, si ∈ R − M . Por lo tanto, ssi bi = ri a ∈ I. Sea t = ss1 ...sn . Por ser R − M multiplicativo, t ∈ R − M . En el cuerpo cociente de R tenemos para cada t, (t/a)bi = tbi /a = s1 ...si−1 si+1 ...sn ri ∈ R, luego t/a ∈ I −1 . En consecuencia t = (t/a)a ∈ I −1 I ⊂ M ; pero esto contradice el hecho de que t ∈ R − M . Por lo tanto II −1 = R, e I es invertible. Para cada ideal I (6= R) de R elijamos un ideal maximal MI de R tal que I ⊆ MI ⊂ R. Si I = R, tomamos MR = R. Luego IMI−1 es un ideal fraccional de R tal que IMI−1 ⊂ MI MI−1 ⊂ R. Por lo tanto, IMI−1 es un ideal de R que contiene a I. Adem´as si I es propio, I ⊂ IMI−1 (de otro modo como I y MI son invertibles, R = RR = (I −1 I)(MI−1 MI ) = I −1 (IMI−1 )MI = I −1 IMI = RMI = MI lo que contradice la elecci´on de MI ). Sea S el conjunto de todos los ideales de R y definamos la funci´on f : S → S por I 7→ IMI−1 . Dado un ideal propio J existe una funci´on φ : N → S tal que φ(0) = J y φ(n + 1) = f(φ(n)). Denotaremos φ(n) por Jn y MJn por Mn . Ahora tenemos una cadena ascendente de ideales J = J0 ⊂ J1 ⊂ J2 ... tal que J = J0 y Jn+1 = f(Jn ) = Jn Mn−1 . Dado que R es noetheriano y J es propio, existe un entero m´ınimo tal que J = J0 ⊂ J1 ⊂ ... ⊂ Jk−1 ⊂ Jk = Jk+1 . Luego, Jk = Jk+1 = f(Jk ) = Jk Mk−1 . Por las observaciones precedentes esto implica Mk = R y −1 por lo tanto Jk = R. En consecuencia, R = Jk = f(Jk−1 ) = Jk−1 Mk−1 , y as´ı: −1 Mk−1 = RMk−1 = Mk−1 . Jk−1 = Jk−1 R = Jk−1 Mk−1

Dado que Mk−1 = Jk−1 ⊂ Jk = R, Mk−1 es un ideal maximal. La minimalidad de k implica la maximalidad de M0 , ..., Mk−2 (de otro modo Mj = R, y Jj+1 = Jj Mj−1 = Jj R−1 = Jj R = Jj ). Luego tenemos: −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 Mk−1 = Jk−1 = Jk−2 Mk−2 = Jk−3 Mk−3 Mk−2 = Jk−4 Mk−4 Mk−3 Mk−2 = ... = JM0−1 ...Mk−2 .

En consecuencia, como cada Mi es invertible, −1 Mk−1 (M0 ...Mk−2 ) = JM0−1 ...Mk−2 (M0 ...Mk−2 ) = J.

As´ı J es producto finito de ideales maximales (y por lo tanto primos). Esto implica R dominio de Dedekind.

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