ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS TEOR´IA DE GRUPOS Alberto Mart´ın Aguilar Mayo 2012

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Orientado para alumnos de 1o Grado en Matem´aticas

 

´Indice general 1. Grupos 1.1. Definici´ on y Propiedades elementales 1.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Grupos C´ıclicos . . . . . . . . . . . . 1.4. Teorema de Lagrange. Consecuencias 1.5. Grupos abelianos Finitos . . . . . . . 1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

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3 3 4 5 6 7 9

2. Homomorfismos 2.1. Homomorfismo de Grupos . . . . . . . . . . . . 2.2. Subgrupos Normales . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Grupo Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Teoremas de Isomorf´ıa . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Clase de Conjugaci´ on. Ecuaci´on de Clases . . . 2.6. Grupo de los automorfismos de un grupo c´ıclico 2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10 10 11 12 13 15 16 18

3. Ejemplos y clasificaci´ on de algunos grupos 3.1. Grupo de Permutaciones . . . . . . . . . . . 3.2. Grupo Di´edrico . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Clasificaci´ on de grupos . . . . . . . . . . . . 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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19 19 21 22 27

4. Teoremas de Sylow 4.1. Producto Directo . . . . . 4.2. Producto Semidirecto . . 4.3. Acciones sobre Grupos . . 4.4. Teoremas de Sylow . . . . 4.5. Aplicaci´ on del Teorema de 4.6. Ejercicios . . . . . . . . .

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28 28 29 30 32 34 37

. . . . . . . . . . . . . . . . Sylow. . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ap´endice . . . . . .

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Cap´ıtulo 1

Grupos 1.1.

Definici´ on y Propiedades elementales

Definici´ on 1.1.1 Sea G un conjunto, G 6= ∅ . Sea ∗ una operaci´ on binaria. Decimos que G es un grupo repecto a la operaci´ on ∗, y se denota por (G, ∗) si se verifican las siguientes condiciones: A1) ∀ x, y, z ∈ G (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

Prop. Asociativa

A2) ∃ e ∈ G | e ∗ x = x ∗ e = x ∀x ∈ G

El. neutro

A3) ∀ x ∈ G, ∃ y ∈ G | x ∗ y = y ∗ x = e

El. inverso

Estos son los llamados Axiomas de Grupo. Nota 1.1.2 Diremos que G es un grupo abeliano (conmutativo) si ∀ x, y ∈ G x ∗ y = y ∗ x . Es decir, si la operaci´ on binaria ∗ es conmutativa. Ejemplos 1. Gln (R) = { Matrices n x n | |A| = 6 0 } con respecto al producto forman un grupo abeliano si n < 2. 2. (Q∗ , ∗), (R, +), (C, +) 3. Cn = {z ∈ C | z n = 1}. Sabemos que C es algebraicamente cerrado, luego el n´ umero de elementos de Cn = n. 4. Q ={±1, ±i, ±j, ±k} el Grupo de los Cuaternios. 5. (Z2 , +) × (Z2 , +) Grupo de Klein. 6. Aut(G) Grupo de los automorfismos de un grupo G. 7. Grupo de los subconjuntos de un conjunto de n elementos Bn . |B| = 2n Teorema 1.1.3 Si G es un grupo con una operaci´ on binaria ∗, entonces se cumplen las leyes de cancelaci´ on por la izquierda (derecha) en G, es decir, ∀a, b, c ∈ G si a ∗ b = a ∗ c ( b ∗ a = c ∗ a ), entonces b = c. 2

Demostraci´ on Supongamos que a ∗ b = a ∗ c. Por el 3o axioma, ∃ a−1 ∈ G . Luego: a−1 ∗ (a ∗ b) = a−1 ∗ (a ∗ c)

Prop. Asociativa

(a−1 ∗ a) ∗ b = (a−1 ∗ a) ∗ c =⇒ b = c De forma an´ aloga se comprueba la ley de cancelaci´ on por la derecha. Teorema 1.1.4 Sea G un grupo con operaci´ on ∗. Sean a y b elementos cualesquiera de G, entonces las ecuaciones a ∗ x = b e y ∗ a = b tienen soluciones u ´nicas. Demostraci´ on Consideremos la ecuaci´ on a ∗ x = b . Por los axiomas de grupo, podemos decir que una soluci´ on es x = a−1 ∗ b. Veamos que es u ´nica. Sean x1 , x2 ∈ G | a ∗ x1 = b y a ∗ x2 = b Esto implica que a ∗ x1 = a ∗ x2 y por las leyes de cancelaci´ on, x1 = x2 . Se hace de igual forma para la otra ecuaci´ on.

1.2.

Subgrupos

Definici´ on 1.2.1 Sea (G, ∗) un grupo y sea H ⊆ G, H 6= ∅. Decimos que H es un subgrupo de G, y lo denotamos por H < G si: i) ∀ a, b ∈ H ⇒ a ∗ b ∈ H ii) e ∈ H, donde e es el elemento neutro de G. iii) Si h ∈ H, entonces h−1 ∈ H Proposici´ on 1.2.2 Sea (G, ∗) un grupo y sea H ⊆ G, H 6= ∅ . H es un subgrupo de G si y solo si ∀x, y ∈ G ⇒ x−1 ∗ y ∈ H. Demostraci´ on ⇒ Trivial ⇐ i) Sea x ∈ H. Tomando y = x ; e = x−1 ∗ x ∈ H ii) Sea x ∈ H. Tomando y = e ; x−1 = x−1 ∗ e ∈ H iii) Sean x, y ∈ H. Seg´ un lo probado, x−1 , y ∈ H ⇒ (x−1 )−1 ∗ y = x ∗ y ∈ H Ejemplos 1. (Q, +) < (R, +) < (C, +) 2. (Q∗ , ∗) < (R∗ , ∗) < (C∗ , ∗) 3

Definici´ on 1.2.3 Sea G un grupo. Se define el centro de un grupo G y se denota por Z(G) al conjunto: Z(G) = {a ∈ G | a ∗ x = x ∗ a ∀x ∈ G} Definici´ on 1.2.4 Si G es un grupo, entonces G es el subgrupo impropio de G y {e} es el subgrupo trivial de G. Todos los dem´ as subgrupos ser´ an llamados subgrupos propios de G. Ejercicio: Sea G un grupo. Comprobar que Z(G) es un subgrupo de G. Definici´ on 1.2.5 Sea X un conjunto. Se define el subgrupo generado por X y se denota por < X > a: T < X >= {H < G | X ⊂ H} < X >= {xi11 ....xirr | j = ±1 ; xij ∈ X} Definici´ on 1.2.6 Se define el orden de un grupo, y se nota por |G| como el n´ umero de elementos que contiene.

1.3.

Grupos C´ıclicos

Definici´ on 1.3.1 Sea G un grupo y sea a ∈ G, entonces H = {an | n ∈ Z} es un subgrupo de G generado por a y se denota por H = < a >. Adem´ as, si G = < a > para un cierto a ∈ G, decimos que G es c´ıclico. Ejemplos 1. (Z, +) es un grupo c´ıclico infinito. 2. (Z∗7 , ∗) es un grupo c´ıclico generado por 5 Proposici´ on 1.3.2 Todo grupo c´ıclico es abeliano. Demostraci´ on Sea G = < a >. Sean b, c ∈ G. Entonces ∃ r, s ∈ Z | b = ar y c = as . Por tanto, b ∗ c = ar ∗ as = ar+s = as+r = as ∗ ar = b ∗ c ∀ b, c ∈ G. Definici´ on 1.3.3 Sea G un grupo y sea a ∈ G. Decimos que a tiene orden n (finito) umero, diremos que y se denota por ord(a) = n , n ∈ N si an = e. Si no existe tal n´ el orden de a es 0. Teorema 1.3.4 Todo subgrupo de un grupo c´ıclico es c´ıclico Demostraci´ on Sea G =< a > y sea H < G. Si H = {e}, entonces H es un subgrupo c´ıclico. Supongamos que H = {an } para alg´ un n ∈ Z+ . Sea m ∈ Z+ minimal, tal que am ∈ H. Podemos afirmar que H est´ a generado por c = am , esto es, H = < am >=< c > . Tenemos que demostrar que todo d ∈ H es una potencia de c. Como c ∈ H y H ≤ G, entonces c = an para alg´ un n ∈ Z. Por el algoritmo de la divisi´ on, n = mq + r para 0 ≤ r < m. 4

an = amq+r = (am )q ar Sabemos que an ∈ H, am ∈ H. Luego (am )−q ∈H y an ∈ H. Como H es un subgrupo de G, ar = (am )−q an ∈ H. Lo cual es una contradicci´ on (m era minimal), r = 0 y d = an = amq = cq . Corolario 1.3.5 Si a es un generador de un grupo c´ıclico G de orden n, entonces otros generadores de G son los elementos de la forma ar , donde r y n son primos relativos. Proposici´ on 1.3.6 Sea G = < a > un grupo c´ıclico. i) Todo subgrupo H de G es c´ıclico. ii) Si G es de orden n > 0, entonces todo subgrupo H de G es c´ıclico de orden un divisor de n. iii) Adem´ as, para cada m divisor de n, hay uno y solo uno subgrupo de orden m.

1.4.

Teorema de Lagrange. Consecuencias

Teorema de Lagrange 1.4.1 Sea G un grupo finito de orden n, esto es |G| = n. Si H < G, entonces el orden de H es un divisor del orden de G. Demostraci´ on Sea G un grupo. |G| = n. Sea G la uni´ on de conjuntos disjuntos tales que todos ellos tienen el mismo n´ umero de elementos. Para cada g ∈ G, consideramos gH = {gh | h ∈ H}. Sea la aplicaci´ on: ϕ : H −→ gH

biyectiva.

h 7−→ gh Entonces card(gH) = card(H) ∀g ∈ G. Por tanto [ X G= xH ⇒ |G| = |xH| = |G/H| ∗ |H| x∈G

x∈G

Corolario 1.4.2 Todo grupo de orden primo es c´ıclico. Demostraci´ on Sea G un grupo de orden p, p primo. Sea a ∈ G distinto del elemento neutro. Sea H = < a >, |H| = m . Por el Ta . de Lagrange, |H| | |G| y como p es primo y m > 2, m = p y por tanto, G es c´ıclico. Definici´ on 1.4.3 Sea G un grupo y H < G. Se define el ´ındice de G sobre H y lo se denota por [G : H], como el no de subconjuntos distintos de gH. Observaci´ on: Sea G un grupo. Sea a ∈ G. Ord(a) es un divisor del orden de G.

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Ejemplo de aplicaci´ on 1.4.4 Prueba que todo grupo de orden 4 es abeliano y encuentra cu´ antos hay salvo isomorfismos , y descr´ıbelos. Soluci´ on: Sea G un grupo de orden 4. Por el Ta . de Lagrange, todo elemento de G es un divisor de 4. Descartando que G sea c´ıclico, encontramos que todo elemento distinto del neutro tiene orden 2. Luego G es abeliano. Sea a ∈ G, a 6= e y sea H = < a > el subgrupo generado por a. Dado que H es un subgrupo propio, existe b ∈ G tal que b ∈ / H. Claramente G = H ∪ Hb = {e, a, b, ab}, con ba = ab. Podemos comprobar con ayuda de una tabla, que G es el grupo de Klein.

1.5.

Grupos abelianos Finitos

Definici´ on 1.5.1 Sea G un grupo, |G| = n. Definimos el exponente de G, y lo denotamos por exp(G), como exp(G) = m.c.m {ord(a) | a ∈ G}. Teorema 1.5.2 Sea G un grupo finito de exponente n, entonces G contiene un elemento ( y por lo tanto, un subgrupo c´ıclico) de orden n. Demostraci´ on αk 1 Por el Teorema de la Factorizaci´ on, podemos expresar n = pα 1 ...pk como producto αi −1 de potencias de primos. Para cada 1 6 i 6 k sea vi = npi . Existe ai ∈ G tal que −αi i ani i 6= e. Sea ahora bi = anp . Tenemos entonces que ord(b ) i = pαi , y de aqui, b = i b1 ...bk tiene orden n.

Proposici´ on 1.5.3 Sea F un cuerpo. Sea G < F, |G| < ∞. Entonces G es c´ıclico. Demostraci´ on Como G es finito, sea n = exp(G). Por el Teorema anterior, G contiene un subgrupo c´ıclico C de orden n. Por otro lado, todo elemento de G satisface la ecuaci´ on xn = e. De donde, |G| ≤ n = |C|. Esto implica que G = C, y por tanto, es c´ıclico. Proposici´ on 1.5.4 Sea G un grupo finito de exponente 2. Entonces G ∼ = Bn ∼ = C2n Teorema 1.5.5 Sea A un grupo abeliano finito. Para cada primo p que divide a |A|, consideramos Sp , que denota todos los elementos de A de orden una potencia de p (incluyendo el 0), entonces cada Sp es un subgrupo de A y A es su suma directa. Demostraci´ on La comprobaci´ on de que Sp es un subgrupo de A es trivial. Sea x ∈ A, distinto del elem. neutro. Sea ord(x) = n, donde por el Ta . de Lagrange, αk 1 n | |A|. Supongamos, que n lo podemos expresar de la forma n =pα 1 ...pk , donde i cada pi son distintos y αi ≥ 1. Escribimos, para cada i (1 ≤ i ≤ r), qi = n/pα i . Obtenemos que el m´ aximo com´ un divisor de todos los qi es 1 y por la igualdad de Bezout, existen k1 ,k2 ...kr ∈ Z tales que k1 q1 + .... + kr qr = 1 Esto nos da que x i =(k1 q1 +....+kr qr )x = k1 q1 x+....+kr qr x. Cada qi x tiene orden un divisor de pα ıx i . As´ α1 α2 r puede ser expresado como suma de elementos con ordenes divisores de p1 , p2 , ..., pα r 0 respectivamente. Por tanto, x ∈< Sp1 , Sp2 , ..., Spr >≤ A. As´ı < Sp : p | |A| >= A

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Finalmente, probaremos que A es la suma directa de los Sp . Esto se dar´ a si para cada q| |A|, Sq ∩ < Sp : p | |A| y p 6= q >=< 0 >. Pero esto es f´ acil de comprobar ya que cualquier elemento de Sp tiene orden una potencia de q mientras que cualquier elemento de < Sp : p | |A| y p 6= q > tiene orden un primo relativo con q. Luego el u ´nico elemento que pertenece a la intersecci´ on de ellos es el elemento neutro. Teorema 1.5.6 Sea Sp un grupo abeliano finito. Entonces Sp es la suma directa de grupos c´ıclicos (de orden potencia de un primo). Demostraci´ on Sea s un elemento de orden pα maximal en Sp y sea T un subgrupo de Sp que satisfaga que < s > ∩ T = < 0 >. Entonces < s, T >=< s > ⊕ T. Por tanto: i) < s > y T generan < s, T >; ii) < s > y T son normales en < s, T > ; iii) < s > ∩ T = < 0 >. Si < s > ⊕ T < Sp , podemos encontrar un elemento x ∈ Sp tal que x ∈< / s > ⊕T . Ya que pα x = 0, pα x ∈< s > ⊕T . Entonces existe β ∈ Z+ de modo que pβ x ∈< s > ⊕T pero pβ−1 x ∈< / s > ⊕T . Llamamos y = pβ−1 x. Ahora py ∈< s > ⊕ T. Por consiguiente, py = ls + t (l ∈ Z, t ∈T). Entonces 0 = pα y = pα−1 ls + pα−1 t . As´ı pα−1 ls ∈< s > ⊕ T = < 0 >. Esto nos permite decir que p | l, pk = l , y por lo tanto, p(y − ks) = py − ls = t ∈ T . Sin embargo, y-ks ∈ / T. As´ı < T, y − ks >>T. Consecuentemente, < T, y − ks > ∩ < s > >< 0 >. Esto es, para algunos m,x ∈ Z y v ∈ T tenemos que 0 6= ms = v + n(y − ks). Como p - n, tenemos que m.c.d(n,p) = 1. Adem´ as, ny = ms - v + nks ∈< s > ⊕ T y py ∈< s > ⊕T. En consecuencia ser´ıa una contradicci´ on si y ∈< s > ⊕T. Por tanto, obtenemos finalmente que < s > ⊕ T = Sp . Podemos utilizar un argumento similar para completar la demostraci´ on del teorema. Observaciones: 1. Si A es un grupo de orden potencia de un primo, no se puede descomponer como suma directa de dos o m´ as grupos no triviales. 2. Ya que cada suma finita directa de los ciclos es un grupo abeliano finito, hemos caracterizado los grupos abelianos finitos con la mayor precisi´on como suma directa de grupos c´ıclicos. Con el prop´osito de efectuar una clasificaci´on de estos grupos tenemos que explicar c´omo distinguirlos. Esto se deduce de la cuesti´on: Dado un grupo abeliano A, ¿se puede descomponer como una u ´nica suma directa de grupos de orden potencia de un primo p? La respuesta inmediata es no.; A = < s > ⊕ < t >=< s > ⊕ < u >, donde < s >, < t >, < u > son c´ıclicos no podemos decir que < t >=< u >. Veremos un ejemplo m´as adelante. Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos 1.5.7 Sea A un grupo abeliano finito. Entonces para cualquiera dos descomposiciones de A en suma directa de grupos c´ıclicos de orden un potencia de un primo, contiene el mismo n´ umero de sumandos de cada orden. Demostraci´ on Sea una descomposici´ on de A en una suma directa de grupos de orden potencia de un primo dada. Para cada i definimos Bi como la suma directa de todos los ciclos de orden pi en esa descomposici´on. Entonces A =B1 ⊕ B2 ⊕ ... ⊕ Bs . y para cada j∈ Z+ , pj A = pj B1 ⊕ pj B2 ⊕ ...pj ⊕ Bs = pj Bj+1 ⊕ ... ⊕ pj Bs . (Es claro que pj A es un j subgrupo de A) . Ahora consideramos el grupo factor ppi+1AA . Este grupo es isomorfo 7

pj B

j

p Bs ⊕ ... ⊕ pj+1 umero a pj Bj+1 ⊕ pj+1 Bj+2 Bs , una suma directa de p-ciclos. Entonces el n´ j+2 de sumandos en la suma directa de ciclos es bj+1 + bj+2 + ... +bs donde donde bt es el n´ umero de sumandos c´ıclicos en Bt . En consecuencia, en n´ umero total de sumandos pj A c´ıclicos en pj+1 es igual al n´ u mero de sumandos c´ ıclicos en A, que tiene de orden al A j+1 α menos p . As´ı, el n´ umero de ciclos de cada orden p en una descomposici´on directa de A en ciclos potencia de p depende solo de A.

1.6.

Ejercicios

1 Sea G un grupo. Probar que el elemento neutro y los inversos son u ´nicos. 2 Sea G un conjunto no vac´ıo dotado de un producto asociativo ab, a,b ∈ G. Demuestra que G es un grupo si y s´ olo si para cualesquiera a, b ∈ G, las ecuaciones ax = b y ya= b tienen soluci´ on y esta es u ´nica. ¿Qu´e podemos decir adem´ as si G es un conjunto finito? 3 Sea A un anillo. Prueba que el conjunto de sus elementos inversibles Gr(A), es un grupo. 4 Sea G un grupo con elemento neutro e. Si todo elemento a ∈ G verifica que a2 = e, entonces G es abeliano. 5 Prueba que si am = e, entonces ord(a) es un divisor de m. 6 Prueba que ord(bab−1 ) = ord(a) 7 Sea G un grupo y sean a,b ∈ G. Si ab=ba y ord(a), ord(b) son primos relativos, entonces ord(ab) = ord(a)ord(b) 8 Prueba que en la tabla de multiplicaci´ on de un grupo finito cada elemento del grupo aparece una y una sola vez en cada fila y cada columna. 9 Sea G un grupo. Sea a ∈ G tal que ord(a) = n. Prueba que el ord(a−1 )= n. 10 Mu´estrese que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces {hk | h ∈ H, k ∈ K} es un subgrupo de G. 11 Encontrar todos los subgrupos de C42 . 12 Determina el ret´ıculo de los subgrupos de C8 , C4 × C2 , C2 × C2 × C2 , D4 y Q. 13 Sea G un grupo. Sean {Hi }i∈I con Hi < G. Probar que

T

i∈I

Hi < G.

14 Encuentra un grupo G que contenga a un subconjunto S tal que S sea un subgrupo respecto a una operaci´ on diferente de G, pero no sea un subgrupo bajo la operaci´ on en G.

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Cap´ıtulo 2

Homomorfismos 2.1.

Homomorfismo de Grupos

Definici´ on 2.1.1 Sean (G,) y (G’,∗) dos grupos. Decimos que la aplicaci´ on ϕ : G −→ G0 es un homomorfismo si se cumple que : ϕ(x  y) = ϕ(x) ∗ ϕ(y) ∀x, y ∈ G. Para abreviar notaci´ on, escribiremos la operaci´on respecto de ambos grupos por yuxtaposici´ on. Ejercicio: Demostrar que: 1. ϕ(e) = e0 2. ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 Donde e y e’ denotan los elem. neutros de G y G’ respectivamente. Proposici´ on 2.1.2 Sea ϕ : G −→ G0 un homomorfismo de grupos. Entonces : 1. Im(ϕ) = {ϕ(x) | x ∈ G} < G0 2. Ker (ϕ) = {x ∈ G | ϕ(x) = e0 } < G Demostraci´ on 1) Veamos que si ϕ(x), ϕ(y) ∈ G0 ⇒ ϕ(xy −1 ) ∈ Im(ϕ) . ϕ(x)ϕ(y)−1 = ϕ(x)ϕ(y −1 ) = ϕ(xy −1 ) ∈ Im(ϕ) Luego Im(ϕ) < G 2) Veamos que si x,y ∈ Ker(ϕ) ⇒ x−1 y ∈ Ker(ϕ), es decir, ϕ(x−1 y) = e0 . Sean x,y ∈ Ker(ϕ) ⇒ ϕ(x) = e0 ; ϕ(y) = e0 . ϕ(x−1 y) = ϕ(x−1 )ϕ(y) = ϕ(x)−1 ϕ(y) = e−1 e = e0 . Luego Ker(ϕ) < G0 . 9

Definici´ on 2.1.3 Sea ϕ : G −→ G0 un homomorfismo de grupos. Entonces: 1. Si ϕ es inyectiva, se dir´ a que ϕ es un monomorfismo. 2. Si ϕ es sobreyectiva, se dir´ a que ϕ es un epimorfismo. 3. Si ϕ es biyectiva, se dir´ a que ϕ es un isomorfismo y que G y G’ son isomorfos. 4. Si G = G’, se dir´ a que ϕ es un endomorfismo. 5. Si ϕ : G −→ G es biyectiva, se dir´ a que es un automorfismo. Ejemplos: Sean G y G’ dos grupos. ϕ : G −→ G0

1.

x 7−→ e Este homomorfismo es el conocido como el homomorfismo trivial. ϕ : G −→ G

2.

x 7−→ x Conocido como el automorfismo identidad. Ejercicio: Sea G un grupo. Comprobar que para cada b ∈ G, la aplicaci´on: θb : G −→ G x 7−→ bxb−1 es un automorfismo de grupos. Tambi´en llamado el automorfismo interno de G.

2.2.

Subgrupos Normales

Definici´ on 2.2.1 Sea G un grupo y sea N < G. Diremos que N es un subgrupo normal de G y lo notaremos por N / G si : ∀g ∈ G, ∀x ∈ N ⇒ gxg −1 ∈ N Proposici´ on 2.2.2 Si ϕ : G −→ G0 es un homomorfismo, entonces Ker(ϕ) / G. Demostraci´ on Por la Proposici´ on 2.1.2, sabemos que Ker(ϕ) un grupo c´ıclico de orden n. Sea ϕ ∈ Aut(G). ¿Cu´ ales son las posibles im´ agenes de a mediante ϕ? ϕ(a) = ak ¿Cu´ ales son los posibles valores de k? G = < a > ⇒ ord(a) = n = ord(ϕ(a)) |G| = n m.c.d(k,n) = 1 Ejemplos: 1. Aut(C5 ) C5 =< a > ord(a) = 5. Como 5 es primo, los primos relativos con 5 son 1,2,3,4, es decir, |Aut(C5 )| = 4 Sea G = Aut(C5 ). Las posibilidades para G son C4 ´o C2 × C2 . Sea la aplicaci´ on:

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ϕ : C5 −→ C5 a 7−→ a2 Entonces Aut(C5 ) ∼ = C4 2. Aut(C7 ) C7 =< a > ord(a) = 7. Como 7 es primo, los primos relativos con 5 son 1,2,3,4,5,6, es decir, |Aut(C7 )| = 6 Sea G = Aut(C7 ). Las posibilidades para G son C6 ´o D3 . Sea la aplicaci´on: ϕ : C7 −→ C7 a 7−→ a3 Entonces Aut(C7 ) ∼ = C6 3. Aut(C6 ) C6 =< a > decir, |Aut(C6 )| = 2

ord(a) = 6. Los primos relativos con 6 son 1,5, es

Sea G = Aut(C6 ). Sea la aplicaci´on: ϕ : C6 −→ C6 a 7−→ a5 Entonces Aut(C6 ) ∼ = C2 4. Aut(C12 ) C12 =< a > ord(a) = 12. Los primos relativos con 12 son 1,5,7,11 es decir, |Aut(C12 )| = 4 Sea G = Aut(C12 ). Las posibilidades para G son C4 ´o C2 × C2 . Sea la aplicaci´ on: ϕ : C12 −→ C12 a 7−→ a5 Entonces Aut(C12 ) ∼ = C2 × C2 Proposici´ on 2.6.2 Sea (A, +, ∗) un anillo. Sea Gr(A) el grupo de los elem. inversibles de A. Sea (A,+) un grupo aditivo de A. Consideremos la aplicaci´ on: θ : Gr(A) −→ Aut(A, +) a 7−→ θa donde θa = ax (x ∈ A). Entonces θ es un monomorfismo de grupos. Demostraci´ on θ(a + b) = θa+b = (a + b)x = ax + bx = θa + θb = θ(a) + θ(b). Sea a ∈ Ker(θ) ⇒ θ(a) = 0 ⇒ ax = 0 ⇔ a = 0 Luego es inyectiva, y θ es un monomorfismo de grupos.

16

Proposici´ on 2.6.3 ¿Cu´ ando podemos afirmar que τ : Gr(A) −→ Aut(A, +) es un isomorfismo de anillos? Soluci´ on Supongamos que el anillo (A, +, ∗), el grupo aditivo (A,+) es c´ıclico finito y que est´ a generado por 1 (unidad de A). (A, +) ∼ = (Zn , +) Sea f ∈ Aut(A,+). f queda determinado por la imagen de 1. f(1) = k1, donde k es primo relativo con n, mcd(k,n) = 1. Luego Aut(A, +) ∼ = Gr(A) Repasando los ejemplos anteriores: 1. Aut(Z5 , +) ∼ = Gr(Z5 , x, ∗) ∼ = C4 2. Aut(Z6 , +) ∼ = Gr(Z6 , x, ∗) ∼ = C2 3. Aut(Z6 , +) ∼ = Gr(Z7 , x, ∗) ∼ = C6 4. Aut(Z12 , +) ∼ = Gr(Z12 , x, ∗) ∼ = C2 × C2 En general, Aut(Zp , +) donde p es primo, Zp ∼ = Cp−1

2.7.

Ejercicios

1 Sea ϕ : G −→ G un automorfismo. Comprobar que cada a ∈ G, ord(a) = n si y s´ olo si ord(ϕ(a)) = n 2 Sea G un grupo. Probar que si H es un subgrupo de G y si G no tiene otros subgrupos isomorfos a H, entonces H es un subgrupo normal de G. 3 Sea ϕ un homomorfismo de grupos. Demostrar que ϕ(e) = e0 y ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 . 4 Sea G un grupo y sea N / G. Sea la aplicaci´ on: π : G −→ G/N g 7−→ gN Comprobar que π es un homomorfismo con Ker(π) = N . 5 Sea G un grupo y sea x ∈ G. Probar que N(x) < G. 6 Sean p1 , p2 , p3 tres n´ umeros primos distintos. Consideremos la aplicaci´ on: f : Z −→ Zp1 × Zp2 × Zp1 x 7−→ (x, x, x) Demostrar que f es un homomorfismo de grupos sobreyectivo. ¿Cu´ al es el n´ ucleo de f?

17

Cap´ıtulo 3

Ejemplos y clasificaci´ on de algunos grupos 3.1.

Grupo de Permutaciones

Definici´ on 3.1.1 Una permutaci´ on de un conjunto A es un aplicaci´ on biyectiva de A en A. Proposici´ on 3.1.2 Sea X un conjunto y sea B(X)={Aplicaciones biyectivas de X }. Entonces (B(X),◦) tiene estructura de grupo. Demostraci´ on 1. Asociativa: Trivial, ya que la composici´ on de aplicaciones es asociativa. 2. Elemento neutro: La aplicaci´ on identidad. 3. Elemento inverso: Como la aplicaci´ on es biyectiva, sabemos que existe inversa. Si a ∈ B(X) ⇒ ∃ a−1 ∈ B(X) tal que aa−1 = a−1 a = e Cuando X es un conjunto finito, X {1, 2....n}. Normalmente llamaremos al conjunto B(X) = Sn y adem´ as sabemos que |Sn | = n! Notaci´ on Sea Sn el grupo de las aplicaciones biyectivas de un conjunto X de n elementos, y sea σ ∈ Sn . Una permutaci´on la vamos a denotar:   1 2 3 .... n σ= σ1 σ2 σ3 ..... σn donde σk = σ(k) Ejemplo: Sea A ={1, 2, 3, 4, 5} y las permutaciones: 

1 4

2 2

3 5

4 3

5 1





1 3

2 4

3 5

4 2

5 1



σ= ρ=

18

Entonces:

 ρσ =

1 2

2 4

3 1

4 5

5 3



Tambi´en podemos denotar las permutaciones con notaci´on ciclica ρσ = (1, 2, 5, 3) y decir que tiene ciclo de longitud 4. En general, la permutacion τ = (x1 , x2 , ...., xn ) es un ciclo de longitud n. Esto nos conduce a la siguiente definici´on. Definici´ on 3.1.3 Una permutaci´ on τ de un conjunto A es un ciclo de longitud n si existen a1 , a2 , ...an ∈ A tales que τ (a1 ) = a2 τ (a2 ) = a3 .... τ (an−1 ) = an τ (an ) = a1 y τ (x) = x para cada x ∈ A tal que x ∈ / {a1 , a2 , ...an } Definici´ on 3.1.4 Un ciclo de longitud 2 es una transposici´ on. Teorema de Cayley-Hamilton 3.1.5 Todo grupo finito G de orden n es isomorfo a un subgrupo de Sn . Demostraci´ on Sea G = {x1 , x2 , ..., xn } y consideremos las aplicaciones: ϑ : G −→ Biyec(G) a 7−→ ψa

ψa : G −→ G b 7−→ ab

1. Veamos que es inyectiva ψa (b) = ψa (c) ⇒ ab = ac ⇒ b = c 2. Veamos que es sobreyectiva Sea b ∈ G ¿ ⇒ ∃x ∈ G | ψa (x) = b ? =⇒ x = a−1 b. Por tanto es biyectiva 3. ¿ ψab (x) = ψa ◦ ψb (x) ? ψab = abx= a(bx) = ψa (bx) = ψa (x) ◦ ψb (x) 4. Veamos que ϑ es inyectiva Sea a ∈ Ker(ϑ) ⇔ ψa = e ⇔ ∀b ∈ G, ψa (b) = b ⇔ ab = b ⇔ abb−1 = bb−1 ⇔ a = e ∀b ∈ G Definici´ on 3.1.6 Sea X ={1, 2, ...n} un conjunto y sea σ ∈ Sn (Sn es el grupo de permutaciones de X). Dado x ∈ G, se define la ´ orbita de x como el conjunto: σ(x) = {x, σ(x), σ 2 (x), ..., σ k (x)} Ejemplo: Sea X ={1, 2, 3, 4, 5} y sea la permutaci´on:   1 2 3 4 5 µ= 5 4 1 2 3 µ(1) = {1, 5, 3} ; µ(4) = {2, 4} 19

Teorema 3.1.7 Toda permutaci´ on σ de Sn se puede expresar como composici´ on (producto) de permutaciones c´ıclicas disjuntas. Demostraci´ on Supongamos, sin p´erdida de generalidad, que A= {1, 2, 3, ..., n}. Consideremos los elementos 1, σ(1), σ 2 (1), σ 3 (1), ... Como A es finito. sea r el m´ınimo que cumple σ r (1) = 1, porque si σ r (1) = σ s (1) con 0 < s < r, tendr´ıamos que σ r−s (1) = 1, con r − s < r, que ser´ıa una contradicci´ on. Por tanto, sea τ1 = (1, σ(1), σ 2 (1), ...σ r−1 (1)). Sea i el primer elemento de A que no aparece en la notaci´ on c´ıclica de τ1 . Repitiendo el argumento anterior, obtenemos un ciclo τ2 = (i, σ(i), σ 2 (i), ..., σ f (1)). Obtenemos que τ1 y τ2 son disjuntos, ya que si tuvieran alg´ un elemento en com´ un ser´ıan la misma permutaci´ on. Siguiendo este procedimiento, podemos expresar σ como σ = τ1 τ2 ...τm . Corolario 3.1.8 El conjunto de las permutaciones c´ıclicas es un conjunto generador de Sn Teorema 3.1.9 Toda permutaci´ on c´ıclica se puede expresar como una composici´ on de transposiciones. Ejemplos: 1. Sea τ ∈ S6

 τ=

1 6

2 4

3 1

4 5

5 2

6 3



Entonces τ = (1, 6, 3)(2, 4, 5) = (1, 6)(6, 3)(2, 4)(4, 5) 2. Sea ρ ∈ S9  τ=

1 3

2 7

3 5

4 9

5 1

6 6

7 2

8 4

9 8



Entonces ρ = (1, 3, 5)(2, 7)(4, 9, 8) = (1, 3)(3, 5)(2, 7)(4, 9)(9, 8) Definici´ on 3.1.10 Una permutaci´ on de un conjunto finito es par o impar de acuerdo con que pueda expresarse como el producto de un n´ umero para de transposiciones o como producto de un n´ umero impar de transposiciones respectivamente. Definici´ on 3.1.11 El subgrupo de Sn que consta de las permutaciones pares de n elementos es el grupo alternante An de n elementos.

3.2.

Grupo Di´ edrico

Definici´ on 3.2.1 Si n > 2, el grupo di´edrico Dn es un grupo de orden 2n presentado de la siguiente forma: Dn = {1, a, a2 , ..., an−1 , b, ba, ..., ban−1 }, |a| = n, |b| = 2 y adem´ as, aba = b. De esta manera, quedan determinados todos los elementos de Dn . Esta u ´ltima ecuaci´ on implica que ak bak = b ∀k ∈ Z, y por tanto, ak b = ba−k = ban−k k y |ba | = 2 ∀k ∈ Z. En particular, ab=ban−1 .

20

Ejemplos: 1. El grupo D3 es isomorfo a S3 2. El grupo D2 es isomorfo al Grupo de Klein, ya que es abeliano ( ba = a−1 b = ab, ya que |a| = 2) Proposici´ on 3.2.2 Sea G un grupo de orden 2p, donde p es primo, p > 2. Entonces G∼ oG∼ = C2p ´ = Dp . Demostraci´ on Por el Ta de Lagrage, para alg´ un x ∈G, ord(x) = 1,2,p ´ o 2p. 1. Si ∀x ∈ G x2 = e ⇒ G ∼ on. = C2n ⇒ |G| = 2n 6= 2p. Ser´ıa una contradicci´ 2. Si ∃ a ∈ G | ord(a) = 2p ⇒ G ∼ = C2p 3. Si ∃ a ∈ G | ord(a) = p. Sea H = < a >= {e, a, a2 , ...ap−1 } |G| = 2 ⇒ ∃b ∈ G \ H | G = H ∪ Hb =⇒ Hb2 = H [G : H] = |H| ⇒ b2 ∈ H



1)b2 = e 2)b2 = ak k = 1, ..., p − 1 ⇒ G es ciclico ⇔ ord(a) = 2p

Sup. que ord(b) = 6 2p, entonces ord(b) = p ⇒ p = 2r+1 e = bp = b2r+1 = b2r b = (b2 )r b = akr b ⇒ b = a−kr ∈ H Contradicci´ on. Por tanto, ord(b) = 2p. Falta por determinar ba = ?  ab −→ G ∼ = C2p Si ba = ap−1 b −→ G ∼ = Dp Sup. por el contrario que ba =ak b k > 1 k < p − 1 ⇒ mcd(k, p) = 1 Por la igualdad de Bezout, 1 = kr + sp r, s ∈ Z. ba = ak b ⇒ a = bak b =⇒ ar = 2 2 bakr b = bab =⇒ ak = ar =⇒ ak = ark = a =⇒ ak −1 =⇒ p | (k 2 − 1) =⇒ p | ((k + 1)(k − 1)) ⇒ p | (k + 1) ´ o p | (k − 1). Pero k+1 < p y p es primo y k − 1 6= 0. Luego es una contradicci´ on si ba = ak b k > 1 k < p − 1.

3.3.

Clasificaci´ on de grupos

En este apartado clasificaremos grupos seg´ un su orden,y veremos que no hay m´as salvo isomorfismo. Proposici´ on 3.3.1 Los u ´nicos grupos de orden 6 salvo isomorfismo son C6 y D3 . Demostraci´ on ordenes de Sea G un grupo tal que |G| = 6. Por el Ta de Lagrange, los posibles ´ sus elementos son 1,2,3 y 6. 1. ∃ a ∈ G | ord(a) = 6 ⇒ G ∼ = C6 2. @ a ∈ G | ord(a) = 6

21

a) @ a ∈ G | ord(a) = 3 ∀x ∈ G x2 = e =⇒ |G| = 2n 6= 6 Contradicci´ on b) ∃ a ∈ G | ord(a) = 3 Sea H = < a >= {e, a, a2 } Como [G : H]= 2 ⇒ ∃ b ∈ G \ H | G = H ∪ Hb con H ∩ Hb = ∅ =⇒ G =< a, b > Para completar la tabla de multiplicaci´ on de G, necesitamos saber cuanto es b2 =?? , ba =??. 1) Si Hb2 = Hb ⇒ b2 = xb ⇒ x = b ∈ H Contradicci´ on. Luego Hb2 = 2 2 H ⇒ b ∈ H = {e, a, a }.  2  b =e b2 = a ⇒ Si b2 = ak k = 1, 2 ⇒ G ∼ b2 = = C6  2 b = a2 Sup que ord(b) 6= 6 −→ ord(b) = 3 e = b3 = b2 b = ak b =⇒ b = (ak )−1 ∈ H Contradicci´ on. Por tanto, b2 = e 2) Falta por determinar ba = ??  ab =⇒ G ∼ = C2 x C3 ∼ = C6 ba = a2 b =⇒ G ∼ = D3 Proposici´ on 3.3.2 Los u ´nicos grupos de orden 8 salvo isomorfismo son C8 , D4 , C4 × C2 , C2 × C2 × C2 y Q. Demostraci´ on Sea G un grupo tal que |G| = 8. Por el Ta de Lagrange, los posibles ´ ordenes de sus elementos son 1,2,4 y 8. 1. ∃ a ∈ G | ord(a) = 8 ⇒ G ∼ = C8 2. @ a ∈ G | ord(a) = 8 a) @ a ∈ G | ord(a) = 4 ∀x ∈ G x2 = e =⇒ G ∼ = C2 × C2 × C2 b) ∃ a ∈ G | ord(a) = 4 Sea H = < a >= {e, a, a2 , a3 } Como [G : H]= 2 ⇒ ∃ b ∈ G \ H | G = H ∪ Hb con H ∩ Hb = ∅ =⇒ G =< a, b > Para completar la tabla de multiplicaci´ on de G, necesitamos saber cuanto es b2 =?? , ba =??. 1) Si Hb2 = Hb ⇒ b2 = xb ⇒ x = b ∈ H Contradicci´ on. Luego Hb2 = 2 2 3 H ⇒ b ∈ H = {e, a, a , a }  2  b =e b2 = a o b2 = a3 b2 =  2 b = a2 a0 Sup. que b2 = a ; ord(a)=4 ; ord(b)=2.Falta por determinar ba =??  = C4 × C2  ab =⇒ G es abeliano =⇒ G ∼ a3 b =⇒ G ∼ ba = = D4  2 a b =⇒ Si ba = a2 b ⇒ a = ba2 b ; a2 = ba4 b = b2 = 3 ⇒ a2 = e Contrad. 22

b0 Sup. que b2 = a ´ o b2 = a3 ⇒ ord(b) = 8 ⇓ b4 = a2 = e ⇒ ord(b) > 4 ⇒ ord(b) = 8 En ambos casos, G ∼ = C8 . 2 2 c Sup. b = a  = C4 x C2  ab ⇒ G es abeliano ⇒ G ∼ a3 b ⇒ ba = b3 ⇒ a = b2 = a2 Contrad. ba =  2 a b =⇒ G ∼ =Q 0

Proposici´ on 3.3.3 Los u ´nicos grupos de orden 10 salvo isomorfismo son C10 y D5 . Demostraci´ on Sea G un grupo tal que |G| = 10. Por el Ta de Lagrange, los posibles ´ ordenes de sus elementos son 1,2,5 y 10. 1. ∃ a ∈ G | ord(a) = 10 ⇒ G ∼ = C10 2. @ a ∈ G | ord(a) = 10 a) ∃ a ∈ G | ord(a) = 2 ∀x ∈ G x2 = e =⇒ |G| = 2n 6= 10 Contradicci´ on b) ∃ a ∈ G | ord(a) = 5 Sea H = < a >= {e, a, a2 , a3 , a4 } Como [G : H]= 2 ⇒ ∃ b ∈ G \ H | G = H∪Hb con H∩Hb = ∅ =⇒ G =< a, b >= {e, a, a2 , a3 , a4 , b, ab, a2 b, a3 b, a4 b} Para completar la tabla de multiplicaci´ on de G, necesitamos saber cuanto es b2 =?? , ba =??. 1) Si Hb2 = Hb ⇒ b2 = xb ⇒ x = b ∈ H Contrad. Luego Hb2 = H ⇒ b2 ∈ H = {e, a, a2 , a3 , a4 }  2 b =e      b2 = a b2 = a2 ⇒ Si b2 = ak k = 1, 2, 3, 4 b2 =   b2 = a3    2 b = a4 Sup que ord(b) 6= 10 −→ ord(b) = 5 e = b5 = b4 b = a2k b =⇒ b = (a2k )−1 ∈ H Contradicci´ on. Por tanto, b2 = e 2) Falta por determinar ba = ??  ∼ ∼   ab4 =⇒ G = C2 x C5 = C10  ∼ a b =⇒ G = D5 ba = a2 b =⇒ V eamos que lleva a una contrad.    3 a b =⇒ V eamos que lleva a una contrad. Sup. ba=a2 b ⇒ a = ba2 b ⇒ a3 = (ba2 b)3 = ba6 b = bab = b(ba2 b)b = a2 =⇒ a = e Contradicci´ on. De la misma forma obtenemos que ba = a3 b es una contradicci´ on.

23

Proposici´ on 3.3.4 Los u ´nicos grupos de orden 14 salvo isomorfismo son C14 y D7 . Demostraci´ on Sea G un grupo tal que |G| = 14. Por el Ta de Lagrange, los posibles ´ ordenes de sus elementos son 1,2,7 y 14. 1. ∃ a ∈ G | ord(a) = 14 ⇒ G ∼ = C14 2. @ a ∈ G | ord(a) = 14 a) ∃ a ∈ G | ord(a) = 2 ∀x ∈ G x2 = e =⇒ |G| = 2n 6= 14 Contradicci´ on b) ∃ a ∈ G | ord(a) = 7 Sea H = < a >= {e, a, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 }. Como [G : H]= 2 ⇒ ∃ b ∈ G\H | G = H ∪ Hb con H ∩ Hb = ∅ =⇒ G =< a, b >= {e, a, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , b, ab, a2 b, a3 b, a4 b, a5 b, a6 b}. Para completar la tabla de multiplicaci´ on de G, necesitamos saber cuanto es b2 =?? , ba =??. 1) Si Hb2 = Hb ⇒ b2 = xb ⇒ x = b ∈ H Contrad. Luego Hb2 = H ⇒ b2 ∈ H = {e, a, a2 , a3 , a4 }  2 b =e      b2 = a     b2 = a2 2 b2 = a3 ⇒ Si b2 = ak k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 b =    b2 = a4     b2 = a5   2 b = a6 Sup que ord(b) 6= 14 −→ ord(b) = 7 e = b7 = b6 b = a3k b =⇒ b = (a3k )−1 ∈ H Contradicci´ on. Por tanto, b2 = e. 2) Falta por determinar ba = ??  ab =⇒ G ∼ = C2 x C7 ∼ = C14    6 ∼  a b =⇒ G D =  7   2 a b =⇒ V eamos que lleva a una contrad. ba = a3 b =⇒ V eamos que lleva a una contrad.     a4 b =⇒ V eamos que lleva a una contrad.    5 a b =⇒ V eamos que lleva a una contrad. Sup. ba=a4 b ⇒ a = ba4 b ⇒ a2 = (ba4 b)2 = ba8 b = bab = b(ba4 b)b = a2 =⇒ a = e Contradicci´ on. Por un procedimiento an´ alogo se demuestra que los otros llevan a una contradicci´ on. Ejercicio: Determinar los grupos abelianos cuyos ordenes sean un producto de potencias de exponentes de n´ umeros primos. Soluci´ on

24

Usaremos notaci´ on aditiva. Sea G un grupo, |G| = 24 = 23 ∗ 3 Sea a = 8 y b = 3 m.c.d(8,3) = 1. Entonces Z = 8Z + 3Z En particular, 1 = 8x + 3y = 8(2) + 3(-5)  G es abeliano Seaa ∈ G a = (8 ∗ 2) + (3 ∗ 5)(−1)a = a1 + a2 |G| = 24 Entonces 3a1 = 0 (Ta de Lagrange). De la misma forma, 8a2 = 0. Entonces ord(a2 ) divide a 8 Sean G(2) = {a ∈ G | 23 a = 0}; G(3) = {a ∈ G | 3a = 0} Hemos visto que G = G(2) + G(3). Por tanto, G(2) y G(3) son subgrupos de G. Sea x ∈ G(2) ∩ G(3). Entonces ord(x) = 8 y ord(x) = 3, es decir, ord(x) = 1⇔ x = 0. Luego G = G(2)⊕G(3) |G(2)| divisor de 8 y |G(3)| divisor de 3 . Por tanto, |G(2)| = 8 y |G(3)| = 3, ya que sino fuera as´ı el producto no ser´ıa 24. Pregunta: ¿H × K ∼ = H × L implica K = L ? Veamos con un ejemplo que no: Sea Z2 × Z2 = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)} Sean H = {(0, 0), (1, 0)} ∼ = Z2 , K = {(0, 0), (0, 1)} ∼ = Z2 y L = {(0, 0), (1, 1)} ∼ = Z2 . Entonces A = H ⊕ K y A = H ⊕ L, con K 6= L.

25

3.4.

Ejercicios

1 Encuentra la tabla de multiplicaci´ on de D4 , el grupo de simetr´ıas de un cuadrado. 2 Di el orden y el inverso de los elementos de D4 3



1 3

2 7

3 5

4 9

5 1

6 6

7 2

8 4

9 8





1 4

2 3

3 9

4 1

5 8

6 7

7 5

8 2

9 6



τ= ϕ=

Hallar τ −1 , τ ϕ, ϕ−1 τ y expresar el resultado con notaci´ on c´ıclica. 4 Prueba que toda permutaci´ on puede ser escrita como producto de transposiciones, no necesariamente disjuntas 5

 ϕ=

1 2

2 5

3 3

4 4

5 1



Hallar la o ´rbita de ϕ en x = 2. 6 Dar otro ejemplo de grupos que verifiquen que H × K ∼ = H × L y K 6= L 7 Determinar los grupos abelianos de orden 36 8 ¿Por qu´e C8  C4 × C2 ? 9 Calcula el centro de D4

26

Cap´ıtulo 4

Teoremas de Sylow 4.1.

Producto Directo

Definici´ on 4.1.1 Sea G un grupo. Decimos que G es un p-grupo si todo elemento de G tiene orden potencia de un primo p. Definici´ on 4.1.2 Sea G un grupo, x ∈ G. Llamamos centralizador de x, y lo denotamos por Cent(x) al conjunto: Cent(x) = {g ∈ G | xg = gx} Ejercicio: Demostrar que ∀x ∈ G; Cent(x) / G Definici´ on 4.1.3 1. Sea H un subconjunto de un grupo G. El subconjunto g −1 Hg = {g −1 hg | h ∈ H} es llamado el conjugado de H por g en G. Lo denotamos por g −1 Hg = H g . 2. Si H, K son subconjunto de un grupo G. Decimos que K es conjugado por H si −1 existe un elemento g de G tal que H g = K o equivalente, si K g = H. Definici´ on 4.1.4 Sean G1 , G2 , ...Gn grupos y sea G = G1 × G2 × ... × Gn el producto cartesiano de los conjuntos Gi (1 ≤ i ≤ n). Se define el producto directo de los grupos Gi (1 ≤ i ≤ n) con la operaci´ on ∗ tal que (g1 , g2 , ..., gn ) ∗ (h1 , h2 , ..., hn ) = (g1 h1 , g2 h2 , ..., gn hn ), que se puede comprobar que es un grupo. Teorema 4.1.5 El grupo G contiene subgrupos Hi (1 ≤ i ≤ n) tales que: 1. Para cada i, Hi ∼ = Gi . 2. Para cada i, Hi / G. 3. G =< H1 , H2 , ..., Hn > 4. Para cada i, Hi ∩ < H1 , H2 , ..., Hi−1 , Hi+1 , ..., Hn >=< e > Demostraci´ on Definimos Hi = {(e, e, ..., e, hi , e, ...., e) | hi ∈ Gi } Es trivial comprobar que es un subgrupo.

27

1. La aplicaci´ on (e, e, ..., hi , e, ..., e) 7−→ hi es claramente un isomorfimo. Luego Hi ∼ = Gi . 2. La igualdad (g1 , g2 , ..., gi , ..., gi−1 , gn )−1 (e, e, ..., e, hi , e, ..., e, e)(g1 , g2 , ..., gi , ..., gn ) = (e, ..., e, gi−1 hi gi , e, ..., e) muestra que Hi / G. 3. La igualdad (g1 , g2 , ..., gn ) = (g1 , e, e...)(e, g2 , e...)(e, e, g3 , e...)...(e, ..., gn ) muestra que G = < H1 , H2 , ..., Hn >. 4. Se deja como ejercicio. Notaci´ on: 1. Cuando cada Gi de la definici´on sea abeliano y cuando usemos + para la operaci´ on binaria, entonces sustituiremos ∗ por ⊕. Por tanto, G ser´a la suma directa de los Gi y G = G1 ⊕ G2 ⊕ ... ⊕ Gn . 2. En la primera definici´ on, el grupo G fue formado mediante los grupos Gi , que no eran subgrupos de G, solo eran isomorfos a subgrupos Hi contenidos en G. Por esta raz´ on, G es tambi´en llamado el producto directo externo. Por el contrario, si G satisface las condiciones i),ii),iii) del Teorema 4.1.5, decimos que G es el producto directo interno de los Hi . Teorema 4.1.6 Sea G1 , G2 dos grupos (no necesariamente abelianos) y sean N1 / G1 y N2 / G2 . Entonces: G2 G1 × G2 ∼ G1 × = N1 × N2 N1 N2 Demostraci´ on Sea la aplicaci´ on: G1 G2 × N1 N2 (a1 , a2 ) 7−→ (a1 N1 , a2 N2 )

ϕ : G1 × G2 −→

Esta aplicaci´ on es un epimorfismo con Ker (ϕ) = N1 × N2 . Por el 1o Teorema de G1 × G2 ∼ G1 G2 × Isomorf´ıa, obtenemos que = N1 × N2 N1 N2

4.2.

Producto Semidirecto

Proposici´ on 4.2.1 Sean H y K dos grupos cualesquiera. Sea la aplicaci´ on: φ : K −→ Aut(H) k 7−→ φk (h) = hk = khk −1 es un homomorfismo de grupos. Entonces H oφ K = (H × K, φ) es un grupo. Demostraci´ on En primer lugar, demostraremos que la aplicaci´ on es un homomorfismo. y despu´es comprobaremos los axiomas de grupo. φk (ab) = (ab)k = kabk −1 = (kak −1 )(kbk −1 ) = φk (a)φk (b). Por tanto, es un homomorfismo. Comprobemos ahora que (H × K, φ) tiene estructura de grupo. 28

1. Prop. Asociativa ((h1 k1 ) ∗φ (h2 k2 )) ∗φ (h3 k3 ) = (h1 hk21 , k1 k2 ) ∗φ (h3 k3 ) = (h1 hk21 hk31 k2 , k1 k2 k3 ) (h1 k1 ) ∗φ ((h2 k2 ) ∗φ (h3 k3 )) = (h1 k1 ) ∗φ (h2 hk32 , k2 k3 ) = (h1 (h2 hk32 )k1 , k1 k2 k3 ). Pero sabemos que h1 hk21 hk31 k2 = h1 hk21 (hk32 )k1 = h1 (h2 hk32 )k1 2. Sea eH el elem. neutro de H y sea eK el elem. neutro de K, entonces (eH , ek ) ∈ H × K. (h,k) ∗φ (eH eK ) = (heK H , eK k) = (eH , k) = (h, k) (eH , eK ) ∗φ (h, k) = (eH heK , eK k) = (hek , k) = (h, k). Es decir, el elemento neutro es (eH , eK ) 3. El. inverso −1

Sea (h, k) ∈ G ⇒ ((h−1 )k , k −1 ) existe ya que H y K son grupos. −1

(h, k) ∗φ ((h−1 )k , k −1 ) = (h(h−1 )k

−1 k

, kk −1 ) = (hh−1 , ek ) = (eH , eK )

Por la derecha se demuestra de forma an´ aloga. Por tanto, H oφ K = (H × K, φ) es un grupo. Teorema 4.2.1 Sean K, L y H grupos. Sean las aplicaciones: Θ : K −→ L

ϕ : L −→ Aut(H)

homomorfismos de grupos. φ=ϕ◦Θ φ : K −→ Aut(H) Entonces existe un homomorfismo θ : H oφ K −→ H oϕ L definido por θ(h, k) = (h, Θk). Demostraci´ on La clave de la demostraci´ on es la siguiente: hk = φk (h) = ϕΘk (h) = hΘk Veamos que: θ((h1 , k1 ) ∗φ (h2 k2 )) = θ(h1 , k1 ) ∗φ θ(h2 , k2 ) Θk1 1 θ((h1 , k1 )∗φ (h2 k2 )) = θ(h1 hΘk , Θ(k1 k2 )) = (h1 hΘk , (Θ(k1 ))(Θ(k2 ))) = 2 , k1 k2 ) = (h1 h2 2 (h1 , Θ(k1 )) ∗ϕ (h2 , Θ(k2 )) = θ(h1 , k1 ) ∗ϕ θ(h2 , k2 )

4.3.

Acciones sobre Grupos

Definici´ on 4.3.1 Sea G un grupo y sea X un conjunto. Se define la acci´ on de G en X como una aplicaci´ on ∗ : G × X −→ X tal que: 1. ∗(e, x) = x ∀x ∈ X, con e ∈ G el elemento neutro de G. 2. ∗(g1 g2 , x) = ∗(g1 , ∗(g2 , x))∀x ∈ X, g1 , g1 ∈ G.

29

Nota: Normalmente, la acci´ on de G sobre X se denotar´a por yuxtaposici´on. Consecuencias Sea G x X −→ X una acci´ on de G sobre X. Consideremos la aplicaci´on: ϕ : G −→ Biy(X) a 7−→ ϕa : X −→ X x 7−→ ax ¿Es ϕa : X −→ X biyectiva ? Podemos comprobar que ∀a ∈ G la aplicaci´on ϕa : X −→ X x 7−→ a.x Posee inversa ϕa−1 : X −→ X x 7−→ a−1 .x Luego es biyectiva. Ejemplos 1. Sea G un grupo y consideremos X = G como conjunto. G x G −→ G (a, x) 7−→ a.x = ax 2. Sea G un grupo y consideremos X = G como conjunto. G x G −→ G (a, x) 7−→ a.x = axa−1 3. Sea G un grupo y sea H≤ G. Consideremos el conjunto: X = aHa−1 y la aplicaci´ on: G x X −→ X (a,T) 7−→ aT a−1 Definici´ on 4.3.2 Dado x ∈ X. Se define la ´ orbita de X (respecto de la acci´ on dada) como el conjunto: Orb(x) = G ∗ x = {ax | a ∈ G} Definici´ on 4.3.3 Se define el estabilizador de un elemento x ∈ X, y se denota por Est(x), como el conjunto: Est(x)= {a ∈ G | ax = x} Ejercicio: Est(x) ≤ G Proposici´ on 4.3.4 Sea la acci´ on de G sobre X y sea x ∈ X. Entonces: 30

|Orb(x)| = [G : Est(x)] =

|G| |Est(x)|

Demostraci´ on Sea la aplicaci´ on: G −→ Orb(x) a 7−→ ax ax = bx ⇐⇒ a−1 bx = a ⇐⇒ a−1 b ∈ Est(x) ⇐⇒ aEst(x) = bEst(x) Luego el no de clases es el no de elementos de la ´ orbita.

4.4.

Teoremas de Sylow

Primer Teorema de Sylow 4.4.1 Sea G un grupo de orden pα s, donde p es primo y no divide a s, α ≥ 1. Entonces para cada β, 0 ≤ β ≤ α, G contiene un subgrupo de orden pβ . Demostraci´ on 1. Consideremos el caso en que G sea un grupo c´ıclico. |G| = pα s, si 0 ≤ β ≤⇒ pβ divide al |G| =⇒ ∃!S ≤ G tal que |S| = pβ 2. Supongamos que G no es un grupo abeliano finito. Demostraremos el resultado por inducci´ on sobre el orden de G. Por la ecuaci´ on de clases: |G| = |Z(G)| +

r X

|Ck | =

k=1

l X

|Ck | +

k=1

r X

|Cj ||Ck | = 1; |Cj | > 1

j=l+1

a) Supogamos que ∃ l + 1 ≤ j ≤ r | p no divide a |Cj |. |Ci | = [G : Cent(g)] =

pα s |G| = ⇐⇒ pα divide a |Cent(g)| |Cent(g)| |Cent(g)|

donde Ci es la clase de conjugaci´ on de un cierto elemento g. |Cent(g)| = pα t, donde t es un cierto divisor de s. Sabemos que |Cent(g)| < |G|, ya que G no es abeliano. Si |Cent(g)| = |G| ⇔ g ∈ Z(G) ⇔ Ci = {g} |Ci | = 1. Por tanto, |Cent(g)| = pα t donde t < s. Ahora podemos utilizar la hip´ otesis de inducci´ on, y por tanto: |Cent(g)| < |G| ⇒ Cent(g) contiene un subgrupo de orden pα . b) Supongamos que p divide a |Cj | ∀j ∈ {l + 1, l + 2, ..., r} Por la ecuaci´ on de clases; |G| = |Z(G)| +

r X k=1

|Ck | =

l X k=1

31

|Ck | +

r X j=l+1

|Cj | =⇒ p divide a |Z(G)|

Hemos visto antes que Z(G) contiene un subgrupo de orden p. Sea Y este subgrupo de orden p, Y ≤ Z(G) ⇒ Y / G. Como Y ∈ Z(G), entonces gY g −1 = Y . Consideramos el grupo cociente G/Y. Para considerar el cociente, hay que ver que Y es un subgrupo normal y que su orden es menor que el de G. pα s |G| = = pα−1 s |G/Y | = [G : Y ] = |Y | p Definici´ on 4.4.2 Sea S ≤ G |S| = pα

S se llama p-subgrupo de Sylow.

Si llamamos np al n´ umero de p-subgrupos de Sylow de G, entonces se cumple que: 1. np es un divisor de s 2. np ≡ 1 (mod p) Definici´ on 4.4.3 Sea G un grupo y sean X ⊆ G, Y ⊆ G. Diremos que Y es un conjugado de X si ∃ a ∈ G | Y = aXa−1 = X a . Ejercicio: Comprobar que la relaci´on es de equivalencia. Lema 4.4.4 Sea |G| = pα s. Sea P un p-subgrupo de Sylow de G. Sea a ∈ G tal que 1. ord(a) = pβ β ≤ α 2. P a = P Entonces a ∈ P . Demostraci´ on aP a−1 = P ⇔ a ∈ N or(P ) . P . Sea la aplicaci´ on: π : N or(P ) −→ N or(P )/P b 7−→ b N or(P ) ⇐⇒ ord(< a >) = pλ λ ≤ β P π −1 (< a >) ≤ N or(P ) P ⊆ π −1 (< a >) ≤ N or(P ) =⇒ a ∈ P

a∈

Segundo Teorema de Sylow 4.4.5 Sea G un grupo finito, |G| = pα s donde p es primo, α ≥ 1 y p no divide a s. Sea P p-subgrupo de Sylow de G ⇔ |P | = pα . Entonces todo p-subgrupo Q de Sylow de G es conjugado con P. Q = P a = aP a−1 para alg´ un a ∈ G. Demostraci´ on Sea P un p-subgrupo de Sylow y sea K = {P = P0 , P1 , ..., Pr } que denota el conjunto de todos los conjugados distintos de P en G. Claramente cada uno es un p-subgrupo de Sylow. Podemos decir que la relaci´ on Pi ∼ Pj ⇔ Pia = Pj para alg´ un a ∈ P. Sea {P } su clase de equivalencia. Entonces el n´ umero de conjugados de P es |P : P ∩ NG (Pk )| que es potencia de p. Podemos ver que el n´ umero de conjugados P1 , ..., P r se dividen en clases cada una m´ ultiplo de p elementos. Por tanto, el n´ umero de conjugados de P en G es de la forma 1 + mp. 32

Supongamos por reducci´ on al absurdo, que existe Q p-subgrupo de Sylow que no es conjugado a P. Entonces |X| = rp y por tanto, 1 + mp = rp. Lo cual, es una contradicci´ on, ya que 1 = rp-mp = p(r-m) y r-m 6= 0 y p no divide a 1. Proposici´ on 4.4.6 Sea G un grupo y sea P un p-subgrupo de Sylow. Si np = 1, entonces P / G. Demostraci´ on Si np = 1, entonces existe un u ´nico conjugado con P, y como P es un conjugado consigo mismo, entonces P es un subgrupo normal de G. Ejemplo: Un grupo G tal que |G|= 42 no es simple. 42 = 7·3·2 1. p = 7

42 = 7 · 6

2. p = 3

42 = 3 · 14

m.c.d(3,14) = 1

3. p = 2

42 = 21 · 2

m.c.d(2,21) = 1

m.c.d(7,6) = 1

Por el 1o Teorema de Sylow, sabemos que hay al menos un subgrupo de orden 7, otro de orden 3 y otro de orden 2. Si consideramos p = 7 ¿Cu´antos 7-subgrupos de Sylow puede poseer G? n7 es un divisor de 6 n7 ≡ 1 (mod 7) Por tanto, n7 = 1 y G no es simple. Podr´ıamos haber hecho el mismo razonamiento con p = 2 ´ o p=3 y haber comprobado si hay alg´ un p-subgrupo. Ejemplo: Un grupo G tal que |G| = 56 no es simple. 56 = 23 ∗ 7 1. p = 7

56 = 8·7

m.c.d(8,7) = 1

2. p = 2 56 = 28 · 2 m.c.d(28,2) = 2 Por el 1o Teorema de Sylow, sabemos que hay al menos un subgrupo de orden 7 y otro de orden 2. Consideremos p = 7 n7 es un divisor de 8 n7 ≡ 1 (mod 7) Luego, n7 = 1 y G no es simple.

4.5.

Aplicaci´ on del Teorema de Sylow. Ap´ endice

Proposici´ on 4.5.1 Sea G un grupo de orden |G| = pα s, donde p es primo y no divide a s. Sea H un subgrupo de G tal que |H| = pβ donde β ≤ α. Entonces H est´ a contenido en un p-subgrupo de Sylow de G. Demostraci´ on Sea X = {P ≤ G | P es un p-subgrupo de Sylow de G }. Hemos probado que |X| ≡ 1 (mod p) y |X| | s. Consideremos la acci´ on del grupo H sombre H (por conjugaci´ on) 33

HxX −→ X (h,p) 7−→ hP h−1

h ∈ H.

X = C1 ∪ C2 ∪ .... ∪ Cm donde {Ci } son las distintas clases de conjugaci´ on del psubgrupo Pi de Sylow. |Ci | = [H; Est(Pi )] = pαi donde αi ≥ 0. ¿Cu´ ando |Ci | = 1? ⇔ ¿Est(Pi ) = H? Sea pi ∈ Ci = {phi | h ∈ H}. Entonces |Ci | = 1 ⇔ Ci = {pi } ⇔ phi = pi ∀h ∈ H ⇒ h ∈ Pi ⇒ H ⊆ P i . Sup, por reducci´ on al absurdo, |Cj | > 1 ∀j = 1, 2, ...m m p | |Cj | ∀j = 1, 2, ...m =⇒ p | |X|. Y por tanto, una contradicci´ on, ya que X ≡ 1 (mod p). Teorema 4.5.2 Cualquier grupo de orden 12 es isomorfo a: Z12 , (Z2 )2 × Z3 , A4 , D6 o al producto semidirecto no trivial Z3 o Z4 Demostraci´ on Sea |G| = 12 = 22 ∗ 3 Aplicando el Ta de Sylow, obtenemos que : n2 | 3 y n2 ≡ 1 (mod 2)

n3 | 4 y n3 ≡ 1 (mod 3).

Queremos que n2 = 1 ´ o n3 = 1. Supongamos que n3 6= 1, entonces n3 = 4 Un 3-subgrupo de Sylow tiene orden 3, luego hay dos 3-subgrupo diferentes con intersecci´ on el elemento neutro. Cada uno de los cuatro 3-subgrupo de Sylow tiene dos elementos de orden 3 que no est´ a en ning´ un otro 3-subgrupo de Sylow. Lo cual, el n´ umero de elementos de G de orden 3 son 8 ( 2∗4 = 8). Por tanto, hay 4 elementos de G que no tienen orden 3. El 2-subgrupo de Sylow tiene orden 4 y no contiene elementos de orden 3, y por tanto, solo existe un u ´nico 2-subgrupo de Sylow, es decir, n2 = 1 si n3 6= 1. Sea P un 2-subgrupo de Sylow y Q un 3-subgrupo de Sylow de G, entonces P ´ o Q es normal en G = PQ ( si P ∩ Q = {e} y tienen ”tama˜ nos apropiados”). Entonces P ∼ o P ∼ = Z4 ´ = (Z2 )2 y Q ∼ = Z3 por tanto, G es alguno de los siguientes productos semidirecto: Z4 o Z3 , (Z2 )2 o Z3 , Z3 o Z4 , Z3 o (Z2 )2 Ya que los subgrupos de Sylow son abelianos, el producto semidirecto es abeliano . Determinaremos todos los productos semidirecto, salvo isomorfismo, calculando todas los posibles formas de actuar Z4 y (Z2 )2 bajo un automorfismo en Z3 y todas las posibles formas de actuar Z3 bajo un automorfismo sobre Z4 y (Z2 )2 . En primer lugar, necesitamos conocer el automorfismo de grupos de los siguientes grupos: Aut(Z4 ) ∼ = (Z4 )× ,

Aut((Z2 )2 ) ∼ = GL2 (Z2 ),

Aut(Z3 ) ∼ = (Z3 )x

Separaremos los casos dependiendo de si n2 = 1 ´ o n3 = 1. En primer lugar, supondremos n2 = 1. Entonce el 2-subgrupo de Sylow es normal y el 3-subgrupo de Sylow actuando sobre ´el. Consideremos en primer lugar, Z4 o Z3 , (Z2 )2 o Z3

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En el primer producto semidirecto, el homomorfismo Z3 −→ (Z4 )x es trivial, ya que el dominio tiene orden 3 y el codominio tiene orden 2, n ˜uego el primer producto semidirecto tiene que ser el trivial: el producto directo de Z4 × Z3 es c´ıclico de orden 12(est´ a generado por (1,1). En el segundo producto semidirecto, queremos saber todos los homomorfismos de Z3 −→ GL2 (Z2 ). El homomorfismo trivial nos lleva al producto directo (Z2 )2 × Z3 .¿Qu´e sabemos del homomorfismo trivial Z3 −→ GL2 (Z2 )?. Dentro de GL2 (Z2 ) hay un subgrupo de orden 3:       1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Un homomorfismo no trivial ϕ : Z3 → GL2 (Z2 ) est´ a determinado mandando 1 mod 3 a una de las dos matrices A de orden 3. Las dos matrices de orden 3 en GL2 (Z2 ) son inversas una de otra ,y la precomposici´ on uno de estos homomorfismos Z3 −→ GL2 (Z2 con la negaci´ on en Z3 se convierte en el otro homomorfismo, ya que convierte el valor en 1 mod 3 en el inverso de lo que era en un principio. Sin embargo, los dos homomorfismos no triviales Z3 −→ GL2 (Z2 ) son la misma formaci´ on que un automorfismo de Z3 y en consecuencia, es isomorfo al producto semidirecto. Por lo que hay un isomorfismo con el producto semidirecto no trivial (Z2 )2 o Z3 , adem´ as de el producto trivial (Z2 )2 × Z3 . Concretamente, el producto semidirecto no trivial (Z2 )2 o Z3 es isomorfo a A4 , ya que mostramos que solo hay un grupo no abeliano de orden 12 con n2 = 1 y A4 se ajusta a esto, Ahora, haremos el caso de n2 6= 1, por lo tanto n2 = 3 y n3 = 1. Encontraremos dos grupos isomorfos, ambos no abelianos. Nuestro grupo es el producto semidirecto: Z3 o Z4 ,

Z3 o (Z2 )2

Ya que n2 = 1, el grupo no es abeliano, luego el producto semidirecto tampoco es abeliano. Buscamos homomorfismos no triviales Z4 −→ Aut(Z3 ) = (Z3 )x y (Z2 )2 −→ (Z3 )x . Hay solo un homomorfismo no trivial Z4 −→ (Z3 )x (1 mod 4 tiene que ir a -1 mod 3 , y todos los elementos quedan determinados), que de hecho es c mod 4 −→ (−1)c , por lo que tenemos un producto semidirecto no trivial Z3 o Z4 . Explicitamente, el operaci´ on del grupo es (a,b)(c,d) = (a+(−1)b c, b + d). Tenemos 3 homomorfismos no triviales de (Z2 )2 −→ (Z3 )x , (Z2 )2 tiene dos generadores, (1,0) y (0,1) y un homomorfismo no trivial (Z2 )2 −→ (Z3 )x que manda los genereradores a ± 1, sin mandar ambos al 1. Usando las matrices de orden 2 × 2 sobre Z2 para mover vectores no nulos en (Z2 )2 , el tercer homomorfismo no trivial on de uno de ellos (Z2 )2 −→ (Z3 )x puede ser transformado entre si bajo la composici´ con un automorfismo de (Z2 )2 . Sin embargo, el tres productos semidirecto no trivial Z3 o (Z2 )2 son isomorfos, de esta manera todos los grupos no abelianos de orden 12 con n3 = 1 y 2-subgrupos de Sylow isomorfos sobre (Z2 )2 son isomorfos. Concretamente, uno de estos grupos es D6 . Si nos encontramos con un grupo de orden 12, podemos decidir cual de los 5 grupos es isomorfo diciendo si es abeliano o no, y en el caso de que no sea abeliano, si el 2-subgrupo de Sylow es normal (en este caso es isomorfo a A4 o si el 3-subgrupo de Sylow es normal junto con 2-subgrupo de Sylow que son c´ıclicos o no son c´ıclicos (producto semidirecto no trivial Z3 o Z4 en el primer caso, D6 en el segundo caso)

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Otra manera de distinguir los tres grupos no abelianos de orden 12 es contando el n´ umero de elementos de orden 2: D6 tiene 7 elementos de orden 2, A4 tiene 3 elementos de orden 2 y Z3 o Z4 tiene un elemento de orden 2.

4.6.

Ejercicios

1 Demostrar que si |G| = 48, entonces G no es simple. 2 Demostar que ∀x ∈ G; Cent(x) / G. 3 Demostrar que Est(x) ≤ G. 4 Sea G un grupo y sean X ⊆ G, Y ⊆ G. Diremos que Y es un conjugado de X si ∃a ∈ G | Y = aXa−1 . Comprobar que la relaci´ on es de equivalencia.

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Bibliograf´ıa ´ ndez, Apuntes de clase [1] Antonio Ferna [2] R.B.J.T. Allenby, Rings, Fields and Groups Second Edition (1993) [3] John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra Fourth Edition(1989) [4] W. Keith Nicholson, Introduction to Abstract Algebra Second Edition(1999) [5] Keith Conrad, Groups or order 12

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