´ UNIVERSIDAD DON BOSCO - DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ´ ´ DE CLASE - SEMANA 10 y 11 - CICLO 01-2015 ALGEBRA LINEAL - GUION

Estudiante:

1.

Grupo:

Estructuras Algebraicas

Un conjunto A con una o m´ as operaciones internas (operaciones binarias) se llama Estructura Algebraica, y se denota (A, ∗, ⊕, ...). Se clasifican seg´ un las propiedades que cumpla la operaci´on binaria, de la siguiente manera:

1.1.

Semigrupo

Si A es un Conjunto no Vac´ıo y ∗ es una Operaci´on Binaria sobre A, entonces la Estructura Algebraica (A, ∗) recibe el nombre de semigrupo, si la operaci´on ∗ es cerrada y asociativa. Ejemplo. Si P es el conjunto de enteros pares positivos, entonces (P, +) y (P, ×) son semigrupos.

1.2.

Monoide

Se llema monoide a una Estructura Algebraica (A, ∗) donde ∗ es una operaci´on binaria cerrada, asociativa y con un elemento neutro e.

Ejemplo. Las siguientes estructuras algebraicas son monoides: ◦ (R, +), (Z, −). ◦ (P (A) , ∪), donde P (A) es el conjunto potencia de A 6= φ y ”∪” es la operaci´on“Uni´on de Conjuntos”.

Ejemplo. Si P es el conjunto de enteros pares positivos, entonces (P, +) y (P, ×) no son monoides. ¿Por qu´e?.

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1

1.3

1.3.

Grupo

Grupo

La estructura algebraica (G, ∗) recibe el nombre de Grupo si satisface las siguientes propiedades: 1. Cerradura: ∀a, b ∈ G, a ∗ b ∈ G. 2. Asociatividad: ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). 3. Existencia de elemento identidad: ∃e ∈ G tal que ∀a ∈ A, a ∗ e = e ∗ a = a. 4. Existencia de inversos: ∀a ∈ G, ∃a−1 ∈ G tal que a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.

Ejemplo. (Z, +) es un grupo. Cuando ∗ es la suma, el elemento neutro recibe tambi´en el nombre de elemento cero o elemento nulo.

Observaciones La e. a. (A, ∗) es un semigrupo si ∗ es asociativa. Si adem´as existe un elemento identidad es un monoide. Si adem´ as existe un inverso para cada elemento de A, entonces es un grupo.

Otros ejemplos. 1. (Q, ·) no es un grupo porque el elemento 0 ∈ Q y no posee inverso. 2. Si Q∗ = Q − {0},(Q∗ , ·) es un grupo. 3. Si I = {2a + 1, a ∈ Z}, es decir, el conjunto de los n´ umeros impares, (I, +) no es un grupo, porque la suma no es una op. binaria (no cumple cerradura), es decir, ni siquiera es e. a. 4. (M2 , +) es un grupo.

Definici´ on. Un grupo (G, ∗) donde ∗ es una op. binaria conmutativa, se denomina grupo conmutativo o grupo abeliano. Lo de “abeliano” es en honor al matem´ atico noruego Niels H. Abel (1802-1829) que contribuyo de manera decisiva a la teor´ıa de grupos.

Propiedades de un Grupo (G, ∗) 1. El elemento identidad es u ´nico. 2. El inverso de cada elemento es u ´nico.

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1.4

Grupos Finitos

3. Las leyes cancelativas (por la izquierda y por la derecha) se cumplen. Es decir, si a ∗ b = b ∗ a =⇒ b = c y si b ∗ a = c ∗ a =⇒ b = c. 4. (a ∗ b)

−1

= b−1 ∗ a−1 ∀a, b ∈ G. Ejemplo: −1

En el grupo (Z, +), (2 + 5)

= 5−1 + 2−1 = −5 + (−2) = −2 + (−5) ya que el grupo es abeliano y

(2 + 5) + (−5 + (−2)) = (−5 + (−2)) = 0. 5. Si a, b ∈ G, la ecuaci´ on a ∗ x = b tiene la u ´nica soluci´on x = a−1 ∗ b. Similarmente la ecuaci´ on y ∗ a = b tiene la sol. u ´nica y = b ∗ a−1 . Ejemplo. Sea el grupo (Z, +), la ecuaci´on 5+x = 2 tiene la u ´nica soluci´on x = a−1 ∗b = −5+2 = −3. 6. El u ´nico elemento idempotente es e (e ∗ e = e). ´ * Ver demostraciones en el Libro de Texto de Algebra Lineal, p´ags. 230-231.

1.4.

Grupos Finitos

Se llaman as´ı a los grupos con un n´ umero finito de elementos. Y se llama orden de G y se denota |G| a la cantidad de elementos de G. 1.4.1.

Tablas de Grupos Finitos

Los grupos finitos pueden definirse totalmente mediante tablas, de manera que el resultado de operar los elementos a y b del grupo se coloca en la intersecci´on de la fila de a con la columna de b, como muestra la figura: ∗

e

···

b

···

e .. . a∗b

a .. .

La ley de cancelaci´ on por la derecha se interpreta en la tabla de la op. como que los elementos no se repiten en ninguna de las columnas y la ley de cancelaci´on por la izquierda como que los elementos no se repiten en ninguna de las filas de la tabla de la operaci´on. Teniendo esto en cuenta y que el neutro siempre debe aparecer en la tabla de un grupo, se deduce que todos los grupos de dos elementos poseen una tabla de operaci´on similar a la siguiente: Sea G = {e, a} y (G, ∗) un grupo: ∗

e

a

e

e

a

a

a

e

Puede observarse que este grupo es conmutativo; la prop. conmutativa se observa en la tabla de la op. viendo si la tabla es sim´ etrica con respecto a la diagonal principal. *Todo grupo de dos elementos es abeliano. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales

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Ejemplo. La tabla del grupo ({−1, 1} , ·) con · la multiplicaci´on usual en R es : (Verificar que es un grupo)

·

1

−1

1

1

−1

−1

−1

1

Notar que es un grupo abeliano. Si G posee tres elementos, G = {e, a, b}, inmediatamente podemos escribir ∗

e

a

b

e

e

a

b

a

a

b

b

El resultado de operar a con a puede ser b o e; el resultado de operar a con b debe ser e (si fuera b, se tendr´ıa a = e); por tanto a ∗ a = b, se puede entonces completar la tabla de este grupo: ∗

e

a

b

e

e

a

b

a

a

b

e

b

b

e

a

Obs´ervese que este grupo tambi´en es abeliano. Es decir, todo grupo de tres elementos es abeliano. Ejercicio. Sea S = {1, i, −1, −i} con i2 = −1 y ∗ la multiplicaci´on usual. Comprobar que(S, ·)es un grupo. Luego, construya la tabla del grupo y verifique si es abeliano.

2.

Aritm´ etica Modular

2.1.

Congruencias

Si m es un entero positivo, decimos que dos n´ umeros enteros a, b son congruentes m´odulo m si existe un k ∈ Z tal que a − b = km , es decir a − b es divisible entre m. Equivalentemente podemos decir que a y b son congruentes m´ odulo m si al dividir cada uno entre m dejan el mismo residuo. Usaremos la notaci´ on a ≡ b (m) para indicar que a y b son congruentes m´odulo m. Si no lo son, diremos que son incongruentes m´ odulo m y escribiremos a  b (m). Ejemplos ◦ 28 ≡ 3 (5) ya que 28 − 3 = 25 = 5 · 5

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2.2

Suma y Multiplicaci´on Modular.

◦ 121 ≡ 0 (11) ya que 121 − 0 = 121 = 11 · 11 ◦ 28  4 (5) ya que 28 − 4 = 24 no es un m´ ultiplo de 5. El lenguaje de congruencias fue inventado por Karl F. Gauss y es usado constantemente en la vida diaria. Un reloj funciona con congruencias m´ odulo 12, los cuentakil´ometros de los coches lo hacen m´odulo 100,000 y los meses se representan m´ odulo 12. La congruencia m´ odulo m divide a Z en“m clases de equivalencia”que denotaremos como [0] , [1] , [2] , ..., [m − 1]. Por ejemplo, en la clase de equivalencia [1] m´odulo m est´an todos los enteros que al ser divididos entre m dejan residuo 1. De igual manera se definen los elementos de las otras clases de equivalencia. Observaci´ on. Notar que al dividir un n´ umero entero entre m, el residuo se encuentra en el conjunto {0, 1, 2, ..., m − 1}. Ejemplo. Las clases de equivalencia en Z m´odulo 3 son [0] , [1] , [2]. Cada una de estas clases contiene los siguientes elementos: [0] = {. . . , −6, −3, 0, 3, 6, . . .} [1] = {. . . , −5, −2, 1, 4, 7, . . .} [2] = {. . . , −4, −1, 2, 5, 8, . . .} Y escribimos Z3 = {[0] , [1] , [2]}. En general, Zm = {[0] , [1] , [2] , . . . , [m − 1]} . Ejemplo. Calcular a que clase de equivalencia pertenecen 53 y −101 en Z13 . *Al hacer 53 ÷ 13 obtenemos cociente 4 y residuo 1, as´ı que 53 ∈ [1] en Z13 . *Al hacer −101 ÷ 13 obtenemos cociente −7 y residuo −10, as´ı que −101 = −7 × 13 + (−10) con un residuo negativo, pero tambi´en −101 = −8 × 13 + 3 con un residuo positivo, as´ı que −101 ∈ [−10] = [3] en Z13 . Notar que −10 ≡ 3 (13), por lo que [−10] = [3] en Z13 . Adem´ as, dado a ∈ Z y m un entero positivo al hacer a ÷ m obtenemos un cociente(c) y un residuo(r), luego a = c · m + r con 0 ≤ r ≤ m − 1. As´ı que, a ∈ [r] en Zm . Que es lo mismo decir [a] = [r] en Zm .

2.2.

Suma y Multiplicaci´ on Modular.

Teorema 1. Si m es un entero positivo y [a] , [b] ∈ Zm se pueden definir las operaciones de suma y multiplicaci´ on en Zm mediante [a] + [b] = [a + b] y [a] · [b] = [a · b]. 2. Ambas operaciones tienen las propiedades asociativa y conmutativa y se relacionan mediante la propiedad distributiva. La clase [0] es el elemento neutro para la suma y la clase [1] lo es para el producto. 3. Todo elemento [a] ∈ Zm tiene su opuesto respecto a la suma, a saber [m − a], y si a es primo relativo con m, y [a] 6= [0], entonces [a] tiene inverso multiplicativo y es u ´nico.

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2.3

Sustracci´on Modular

Afirmaci´ on 1. De acuerdo con el teorema anterior, (Zm , +) es un grupo. Y si definimos, Z∗m = Zm − {0}, entonces (Z∗m , ·) es grupo s´ olo cuando m es primo. Ejemplo. Encontrar el opuesto de [7] en (Z16 , +), y el inverso de [8] en (Z15 , ·). Seg´ un la parte 3 del teorema el opuesto de [7] es [16 − 7] = [9]. En efecto, [7] + [9] = [9] + [7] = [0] en Z16 . Y como 8 y 15 son primos relativos, ya que m.c.m. (8, 15) = 1, entonces [8] tiene inverso en (Z15 , ·). En efecto, ya que [8] · [2] = [2] · [8] = [1] se tiene que [2] es la clase inversa del [8] en (Z15 , ·).

2.3.

Sustracci´ on Modular

Sea m un entero positivo y [a] , [b] ∈ Zm . Se define [a] − [b] como la u ´nica [x] en Zm tal que [a] = [b] + [x]. Ejemplo. Calcular [3] − [5] en Z12 . Por definici´ on de resta, buscamos [x] tal que: [3] = [5]+[x] = [5 + x] =⇒ x = 10 ya que [5 + 10] = [15] = [3]. Por tanto, [3] − [5] = [10] en Z12 .

2.4.

Divisi´ on Modular −1

Sea m un entero positivo y [a] , [b] ∈ Zm , con [b] un elemento invertible en Zm . Se define [a]÷[b] = [a]×[b]

.

Ejemplo. Calcular [2] ÷ [7] en Z10 . −1

Por definici´ on, [2] ÷ [7] = [2] × [7]

, entonces necesitamos calcular [7]

−1

:

Ya que [7] · [3] = [3] · [7] = [1] en Z10 tenemos que [3] es la clase inversa de [7] en (Z10 , ·). −1

As´ı que, [2] ÷ [7] = [2] × [7]

= [2] × [3] = [2 · 3] = [6].

Por tanto, [2] ÷ [7] = [6] en Z10 . Ejercicio. Construir las tablas de (Z3 , +), (Z3 , ×), (Z4 , +) y (Z4 , ×). Verificar que son grupos abelianos (los que son grupos). Verificar por que (Z4 , ×) no es grupo.

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Seguimos estudiando Estructuras Algebraicas que puedan describir sarisfactoriamente a R:

3.

ANILLOS Y CAMPOS

ANILLO Un conjunto A dotado de dos operaciones binarias cerradas que escribiremos + (suma) y · (producto) se llama Anillo si se cumplen las siguientes propiedades: 1. (A, +) es un grupo abeliano. 2. El producto · es asociativo. 3. Si se cumplen las propiedades distributivas, es decir a · (b + c) = a · b + a · c

y

(b + c) · a = b · a + c · a

para cualesquiera a, b, c que pertenezcan a A.

Observaciones: ◦ Como al producto · no se le imponer ser conmutativo, es por ello que se especifican las dos propiedades distributivas. ◦ Si el producto es conmutativo, A se dice que es un Anillo Conmutativo. ◦ Si existe elemento identidad para el producto, diremos que A es un Anillo con Unidad. Este elemento lo simbolizaremos con ”1” y es u ´nico.

EJEMPLO A ◦ (Z, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad con las operaciones usuales de suma y multiplicaci´ on. ◦ (Zm , +, ·) con las operaciones de suma y multiplicaci´on m´odulo m es un anillo. ◦ (Mn , +, ·) con las operaciones de suma y multiplicaci´on de matrices son anillos con unidad. El elemento identidad son las respectivas matrices identidad. Pero no son anillos conmutativos ya que el producto de matrices no tiene esta propiedad. ◦ El conjunto de los enteros pares, con las operaciones de suma y multiplicaci´on es tambi´en un anillo; este anillo no tiene elemento unidad.

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REFERENCIAS

EJEMPLO B Tambi´en son anillos conmutativos con unidad (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·); adem´as (Q∗ , ·), (R∗ , ·) y (C∗ , ·) son grupos ( el ∗ indica que se ha extra´ıdo el elemento neutro de la suma). Es decir, el conjunto con la segunda operaci´ on puede tambi´en ser un grupo. Esto sugiere la siguiente definici´on:

CAMPOS O CUERPOS Un Anillo Conmutativo con Unidad (A, +, ·) se dice que es un Cuerpo o Campo si el conjunto A∗ formado por todos los elementos de A excepto el neutro para la suma, es un grupo con respecto a la segunda operaci´ on.

EJEMPLOS: (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·) son Cuerpos o Campos. Tambi´en lo es (Zm , +, ·) siempre que m sea un n´ umero primo.

Referencias ´ [1] Algebra Lineal , Cuadernos de C´ atedra, Departamento de Ciencias B´asicas, Universidad Don Bosco, Luis Alonso Arenivar (2012). [2] N´ umeros, Grupos y Anillos, Universidad Aut´onoma de Madrid, Jos´e Dorronsoro Eugenio Hern´ andez (1996).

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