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CAPÍTULO III LÍMITES Y CONTINUIDAD 3.1 DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE La idea de límite que tenemos en nuestro diario vivir, es la que con mayor propiedad nos puede acercar al concepto de límite, así por ejemplo, hablamos de la capacidad límite de un recipiente, del máximo peso que puede sostener un apoyo, del límite de velocidad en una zona escolar, del limite de tolerancia de una persona, etc. Todo esto sugiere que el límite es un tipo de cota que puede alcanzarse unas veces y otras no. Decimos que el numero L es el límite de f(x) cuando x tiende a c una vez que el número f(x) pueda acercarse a L cuanto nos plazca, simplemente escogiendo x lo suficientemente cerca, aunque no sea igual al número c. Por tanto si f(x) queda arbitrariamente cerca de un número L al tender x hacia c desde cualquier lado, escribimos entonces:

lim f ( x) x c

L

Y decimos que el límite de f(x), al tender x hacia c, es L Una forma muy simple de determinar un límite consiste en establecer valores de x que se aproximen al valor límite y ver la tendencia de f(x) Ejemplo. Hallar

lim

x

x2

3

x 6 x 3

x

-3,2

-3,1

-3,01

-3,001

-3

-2,999

-2,99

-2,9

-2,8

f(x)

-5,2

-5,1

-5,01

-5,001

?

-4,999

-4,99

-4,9

-4,8

Claramente se puede observar que f(x) tiende a -5 por tanto

lim

x

3

x2

x 6 x 3

5

Esta forma de cálculo permite conocer resultados de límites antes de iniciar las operaciones de reducción de las expresiones algebraicas, en ocasiones conocer el resultado con anterioridad puede ser de mucha utilidad.

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3.2 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LÍMITE 2 La ecuación

lim f ( x) x c

L

significa que para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que │f(x) - L│ < ε

siempre que

0 0 existe un δ > 0, esto quiere decir que si elegimos un valor particular de ε para tal elección de ε hay un δ apropiado. No exigimos que exista el mismo δ para más de una elección de ε. Además el número δ no es único, puesto que si vale un δ, también sirve cualquier número positivo que sea menor. 3.3 FORMAS INDETERMINADAS Y DETERMINADAS Son formas indeterminadas las expresiones con un límite que no es evidente por inspección, estos generalmente conducen a las formas 0/0 , / , - , 0 1 , 0 , . Las formas determinadas son aquellas en las cuales luego de haberse efectuado las reducciones algebraicas necesarias se presentan las formas: 0 L 0 en cuyo caso el límite es cero , , , 0 0, 0 L

2 LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica, Mc.Graw Hill 1987 Pag.89

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o bien:

,

L

0

L , 0

,

en cuyo caso el límite es infinito

,

3.4 LÍMITES LATERALES La aproximación de x a c, a través de valores mayores que c se denomina limite por la izquierda y la aproximación a través de valores menores a c, límite por la derecha; se denotan por

lim f ( x) (izquierda)

lim f ( x) (derecha)

x

x

c

c

Si f es una función, c y L son números reales, entonces

lim f ( x) x

lim f ( x) L

si y sólo si

x

L

c

lim f ( x) L

y

c

x

c

3.5 PROPIEDADES DEL LÍMITE Si b, c, n, A y B son números reales, siendo f y g funciones tales que, lim f ( x) A y lim g ( x) B , entonces: x

1)

c

x

c

lim b b

lim x c

2)

x c

3)

lim b f ( x) b A x

5)

x c

lim f ( x) g ( x) x

lim x n

9)

lim 1 x

x

AB

c

7)

x

4) lim f ( x) g ( x)

c

cn

c

1 x

f ( x) c g ( x)

6) lim x

8) lim (1 x ) x

x

e

Hallar los siguientes límites:

A B 1

0

ax 1 0 x

10) lim x

A B

c

x

B

e

ln a

0

46

Ejemplo 1 x

lim3

4x2 9 2 2x 3

0 0

Solución lim

3

x

(2 x 3)(2 x 3) 2x 3 2

3 2

lim (2 x 3) 2 3

x

2

Ejemplo 2

x3 1 1 x 1

lim x

3

3 3

0 0

Respuesta:

( x 1)( x 2 x 1) 1 x 1

lim

lim( x 2

x

x 1

x 1) 1 1 1 3

Ejemplo 3 lim

x

x 1

1

5

1 x 1

0 0

Respuesta: Recuérdese que: x5 - 1 = (x - 1) (x4 + x3 + x² + 1) x - 1 = (x1/5 - 1)(x4/5 + x3/5 + x2/5 +x1/5+ 1)

Entonces

1 5

( x 1)( x lim ( x 1)( x 4

x 1

lim x 1

4

5

5

3

x x x x ( x 1) 3

x

5

5

2

5

3

x

5

(x

4

5

x

3

5

x

2

5

x

1

5

1)

2

x x

5

1 5

1) 1)

1 5

5

2

1

lim x 1

( x 1)( x

4

x

5

1 5

1)

1 1 1 1 1 1

Ejemplo 4 lim x

Solución:

0

x

1

5

x

3

x

5

x 1

2

2

5

1

0 0

1 5

6

47

lim x x

1 1 5 2

0

x

3 1 5 2

x

2 1 5 2

x

x

lim x x

x4/5

lim

Ejemplo 5.

1 2

x

0

x3/ 5

0

7 10

x

x2/5

11 10

x

9 10

x

1 2

x

1/ 2

Solución: 4 1 4

lim x 5 x

x

2 1 4

1 1 4

x5

x2

0

21

11

13

3

lim x 20

x 20

x 20

x4

x

Ejemplo 6 Si lim(2 x

31 1 4

x5 2

0

0

4) 10 y

ε= 0,01 Hallar δ

3

Como│f(x) - L│ < ε

siempre que

0