Medidas Electrónicas I

Voltímetros, Amperímetros y multímetros pasivos CAPITULO III

MULTIMETRO PASIVO EN CORRIENTE CONTINUA MEDICION DE RESISTENCIAS - OHMETRO 1. Introducción teórica: son instrumentos que miden resistencias en forma directa. Se estudiarán los óhmetros cuyo dispositivo final es un instrumento de imán permanente y bobina móvil. Se puede hacer la siguiente clasificación: • Ohmetro serie. • Ohmetro paralelo. • Ohmetro potenciométrico. 2. Ohmetro serie: el circuito de conexión básico es 0

RS

Ri

Igp, Rg

Ig

1 RX

V

2

Ri: resistencia interna de la pila o fuente de energía. Rg : resistencia interna del dispositivo final. RX : resistencia a medir. RS : resistencia agregada para obtener el alcance deseado. Igp : intensidad de corriente a plena escala del dispositivo final. Ig : intensidad de corriente para una dada RX.

Fig Nº 1 Nótese que para RX = ∞, es decir circuito abierto, es Ig = 0; como consecuencia el infinito está en la parte izquierda de la escala del óhmetro. Para RX = 0, se calibra dé tal modo que la Ig = Igp, es decir que al cortocircuitar los bornes de salida la deflexión debe ser a fondo de escala, por lo cual resulta que el cero está en el extremo derecho de la escala. Esto trae como consecuencia una escala alineal. La intensidad de corriente para una RX cualquiera es: V I = (42) Rg + Ri + RS + R X Si se llama resistencia de entrada, a la resistencia de Thévenin vista desde los bornes 1-2 de la figura anterior, se tiene: R OS = R i + R g + R S (43) Los subíndices de ROS indican O de entrada y S serie. Sustituyendo la expresión (43) en la (42). V (44) Ig = R OS + R X Si RX = 0 resulta: V I g = I gp = (45) condición de ajuste R OS Recordando que Igp es la intensidad de corriente del dispositivo final a plena escala. Se define como factor de deflexión o deflexión relativa a: Ig F = (46) I gp También se expresa a F como relación angular, esto es: Ig = k . θ e I gp = k . θp F =

θ θp

(47)

θp: es la deflexión angular a plena escala (corresponde a Igp). θ: es una deflexión angular cualquiera (corresponde a Ig). de la expresión (44) y (45) se obtiene: R OS 1 F = = RX R OS + R X 1 + R OS

(48) E-13

Medidas Electrónicas I llamando ρ =

Voltímetros, Amperímetros y multímetros pasivos

RX se tiene R OS

1 (49) 1 + ρ Si se representa la expresión (30) se obtiene una curva universal. F =

F

1

La curva es tangente a la recta 1,1. Para:

0,5

2

1

F=1 ρ = 0 RX = 0 ρ → ∞ RX → ∞ F → 0 ρ → 1 RX = ROS F = 0,5

3

Fig. Nº 2 ρ = 1 o F = 0,5 indica que el instrumento deflexiona a media escala

RX

=

½e sca la

½

ala esc

0

RX = 0

Nótese que el extremo izquierdo indica ∞, pero para cualquier alcance resulta el mismo valor, por lo tanto no se puede caracterizar los alcances mediante la deflexión a plena escala. Por esta razón se lo hace para el Punto de Media Escala que sí caracteriza cada alcance y permite la recalibración.

2.1. Errores debido al envejecimiento de la batería: el envejecimiento de la batería trae como consecuencia: • Disminución de la fuerza electromotriz f.e.m, ∆V. • Aumento de la resistencia interna, ∆Ri. Para disminuir los efectos del envejecimiento se recurre a la compensación mediante la variación de RS. Esto es, que para compensar ∆V y ∆Ri se produce una variación ∆RS, de modo que para RX = 0, se tenga nuevamente I g= Igp. Es decir que en un principio, con la batería nueva, la condición de ajuste será: V I gp = Rg + Ri + RS y cuando la batería está envejecida: V + ∆V I gp = R S + ∆R S + R g + R i + ∆R i donde ∆V y ∆Ri son las variaciones espontáneas con el tiempo y ∆RS es una variación realizada ex profeso para obtener la compensación. Se verá cual es el error que se comete a pesar de la compensación: Por ejemplo, un óhmetro cuya especificación sea Rm = 2.000Ω. Suponiendo que se desea medir una resistencia cuyo valor es RX = 1.900Ω, el índice del óhmetro, con batería nueva, indica 1.900Ω. 2.000

1.9

00

Cuando la pila envejece resulta: 1.

80

Ig

0

0

Rx = 0

< I gp

ya que disminuyó su f.e.m. en ∆V y aumentó su resistencia interna en ∆Ri; para conseguir que el índice deflexione a plena escala se debe producir una variación ∆RS, reduciendo el valor de RS, debido a ello la resistencia de entrada del óhmetro cambia del valor R OS a otro llamado R 'OS .

Fig. Nº 3 Suponiendo que la resistencia de entrada en lugar del valor original de 2 KΩ es R 'OS = 1.900Ω. Si ahora se mide nuevamente la resistencia de 1.900 Ω, la intensidad de corriente que circulará por el disE-14

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positivo final será la que corresponde a la mitad de plena escala, como se indica con la línea de trazos en la figura anterior. Como se observa la lectura que se realiza no sería correcta pues se leería RX = 2.000 Ω; ya que la escala es la misma independientemente del hecho de que al variar RS la resistencia que produce una deflexión a media escala ha variado. Método general para la determinación del error por envejecimiento de la batería: se ha visto que RX 1 con ρ = F = R OS 1 + ρ Sobre la base de esta expresión se puede levantar una curva de calibración de la escala del óhmetro del tipo indicado en la figura:

1

F= θ θρ

F = F’

1

2

3

=

R1 Rm

Rm: resistencia de entrada del óhmetro (igual a la resistencia de entrada ROS en condiciones de diseño). R1: resistencia leída o indicada, cuando la batería es nueva el valor indicado en la escala se corresponde con el valor de la resistencia medida.

Fig. Nº 4 Cuando la pila envejece la resistencia de entrada cambia tomando un valor R 'OS , y la ecuación según la cual deflexiona el óhmetro será: 1 F' = 1 + ρ' con: F' =

θ' θp

y

ρ'=

1

RX R 'OS

F’

F’

1

’

2

3

’

Fig Nº 5 Se puede trazar así las curvas de deflexión que se indica en la figura Nº 5 anterior. Si en estas condiciones medimos una resistencia RX, que para este caso se supone de valor conocido, y si se conoce el valor de la resistencia de entrada R 'OS para las condiciones reales de medición, se puede calcular ρ’ y de la figura se determina F’ y con ella cual es la deflexión θ’. Para ello se recurre a la curva de calibración de la figura Nº 4 y con F = F’, por corresponder θ = θ’, se determina el valor de ρ y con ello se despeja R1 = ρ . Rm. El error absoluto de indicación será: ' ∆R X = R 1 - R X = ρ . R m - ρ . R OS y el correspondiente error relativo de indicación resulta: ∆R X ρ . R m - ρ ' . R 'OS = RX ρ ' . R 'OS 1 1 . Como F = F’ resulta ρ = ρ’. pero F ' = ' y F = 1 + ρ 1 + ρ Nótese que las curvas son iguales, lo único que cambia es la interpretación de las mismas. En consecuencia resulta: ' ∆R X ∆R OS ∆R X R OS - R OS = pues Rm = ROS ∴ = ' RX RX R 'OS R OS Se puede suponer que R 'OS difiere poco de ROS finalmente queda: ∆R X ∆R OS = (50) RX R OS

E-15

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Esta expresión permite determinar cuanto vale el error de indicación debido al envejecimiento de la batería. Pero para tener una idea clara de su importancia se debe expresar dicho error en función de las variaciones perturbadoras ∆V y ∆Ri. Para ello se recurre a la expresión de ajuste V V I gp = ⇒ R OS = R OS I gp Tomando incrementos: ∆V ∆R OS = I gp y reemplazando en la expresión (50) se tendrá: ∆R X 1 ∆V ∆V = . = (51) RX I gp R OS V Se observa que si por envejecimiento de la batería su f.e.m. disminuye en un 10 % la indicación del óhmetro es de 10 % en exceso. Este error es excesivo y para disminuirlo se busca un método nuevo para verificar la condición de ajuste. La clave consiste en buscar una disposición circuital tal que permita variar la corriente en el dispositivo final, con los bornes del óhmetro cortocircuitados, sin modificar sensiblemente la resistencia de entrada del instrumento; pues así la expresión (50) asegura que el error de indicación no tomará valores demasiado elevados. La solución es obtener la condición de ajuste con una resistencia variable conectada en paralelo con el dispositivo final. El circuito de la figura Nº 1 se transforma en el de la figura Nº 6. Igp, Rg

La resistencia de entrada vale ahora: Rg . Ra R OS = R S + R i + Rg + Ra

Ig RS

Ri

Ib

1 Ra

V

RX 2

(52)

En la expresión anterior Ri es despreciable frente a RS y se verá más adelante que siempre puede lograrse condiciones de diseño tales que el paralelo Rg//RS sea pequeño frente a RS.

Fig. Nº 6 En estas condiciones la resistencia de entrada del óhmetro está determinada preponderantemente por el valor de la resistencia RS, y las variaciones que se realicen sobre Ra para compensar el envejecimiento de la batería no influirán sensiblemente sobre el valor de la resistencia de entrada, con lo cual de acuerdo a la expresión (50), el error se mantendrá dentro de límites admisibles. Del circuito se desprende que:   Ra Ra V V  (53) pero I b = Ig = Ib . ∴ Ig = .  R OS + R X Rg + Ra R OS + R X  R g + R a  Para R = 0 se deduce la condición de ajuste, es decir Ig = Igp. Ra V . Ig = R OS R + R

(

g

a

)

(54)

Si se relacionan las expresiones (53) y (54) se encuentra para la deflexión relativa una expresión idéntica a la del óhmetro anterior, y valen todas las consideraciones hechas en esa oportunidad, en particular que la resistencia que indica el instrumento a media escala es igual a su resistencia de entrada. Procedimiento para el diseño del óhmetro y cálculo del error de indicación por envejecimiento de la batería: Datos: Rm: resistencia a media escala deseada. Rg, Igp: características del dispositivo final. Incógnitas: V: f.e.m. de la batería. RS: resistencia serie. Ra: resistencia de ajuste. Se calcula su valor nominal para una batería nueva, luego será un potenciómetro para poder efectuar la condición de ajuste.

E-16

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Hipótesis: se supone Ri despreciable, igual a cero, frente a las demás resistencias. Las expresiones que se utilizan son: ROS = Rm (55) Ra V Ig = . R OS R + R

(

g

a

)

Como se tienen tres incógnitas y sólo dos ecuaciones se puede adoptar arbitrariamente una de ellas. a) Se adopta el valor de V, con la restricción que se verá en el punto b. b) De la expresión (54), y teniendo en cuenta la expresión (55) se despeja el valor Ra. Rg Ra = (56) V - 1 I gp . R m Como Ra debe ser positiva surge la condición: V -1 > 0 ∴ I gp . R m

(

)

V > I gp . R m (57)

Si la última desigualdad se cumple con holgura, Ra puede hacerse suficientemente pequeña; y en consecuencia el paralelo Ra//Rg de valor pequeño frente a RS. c) Cálculo de R: de las expresiones (52) y (55) se deduce que: Rg . Ra RS = R m (58) Rg + Ra d) Cálculo del error de indicación: la expresión (50) sigue siendo válida en este caso, y si se realiza el análisis para determinar el error en función de las variaciones intrínsecas ∆V y ∆Ri se obtiene la siguiente expresión:  Rg . Ra  ∆R X 1 ∆V = .  . - ∆R i  (59) RX Ri + RS  Rg + Ra V  Nótese que si se verifica que el paralelo Ra//Rg es pequeño frente a RS, la variación ∆V/V se ve atenuada por la relación entre dicho paralelo y el valor de RS. A su vez la variación de la resistencia interna aparece dividida por el valor de RS, y su efecto sobre el error es despreciable. 3. Ohmetro paralelo o derivación: el circuito básico es Ib

Ig 0

RP

Rp: resistencia paralelo. Ri: resistencia interna de la fuente de alimentación. RX: resistencia incógnita. Igp: intensidad de corriente a plena escala. Rg: resistencia interna del dispositivo final. L: interruptor que evita que se descargue la batería cuando no se usa el instrumento. V: f.e.m. de la batería.

1 Igp, Rg

RX

Ri 2

V

Si RX = 0 resulta Ig = 0. Si R = ∞ resulta Ig = Igp.

L

Fig Nº 7 Por lo tanto el cero está a la izquierda y el infinito a la derecha. Además la escala también es alineal. Para el esquema de la figura Nº 7 la resistencia de entrada vale: R od =

(

Rg . Rp + Ri

)

Rg + Rp + Ri

(60)

Determinación de la condición de ajuste: la intensidad de corriente Ib para una resistencia RX cualquiera es: V Ib = Rg . RX Ri + Rp + Rg + RX siendo la intensidad de corriente por el dispositivo final:

E-17

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Voltímetros, Amperímetros y multímetros pasivos V

Ig =

Ri + Rp + Ig =

.

Rg . RX

RX = Rg + RX

Rg + RX

V . RX

(

RX . Ri + Rp + RX

) + R (R g

Ig =

i

+ Rp

)

=

(R

i

) (

V . RX

+ Rp . Rg + RX

V . Ri + Rp + Rg

  RX V  . R i + R p + R g  R X + R od 

)+R

. RX

g

RX RX +

(

Rg . Rp + Ri

)

Rg + Rp + Ri

(61)

para R = ∞ corresponde Ig = Igp y de la expresión (61) se obtiene: V I gp = (62) Ri + Rp + Rg Cálculo de la deflexión relativa y representación de la curva universal: la deflexión relativa se define igual que para el óhmetro serie: Ig k. θ θ = F = = θp k . θp I gp y teniendo en cuenta las expresiones (61) y (62), se tendrá: RX RX ρ F = o F = (63) con ρ = R X + R od 1 + ρ R od De la expresión (63) se obtienen los siguientes puntos característicos: Para ρ = 0, RX = 0; corresponde F = 0; extremo izquierdo de la escala. Para ρ = 1, RX = Rod; corresponde F = 0; el instrumento deflexiona a media escala. Para ρ = ∞, RX = ∞; corresponde F = 1; extremo derecho de la escala. Los puntos típicos de la escala y la curva universal de deflexión para los óhmetros paralelo se representan a continuación:

0

½e

sca la

1

0

F= θ θρ

0,5

RX

=

Rod = Rm

½

ala esc =

1

Fig Nº 8 Las expresiones para el diseño son:

RX Rod

Fig. Nº 9

Rod = Rm (64) con R dada por la expresión (60) y la condición de ajuste definida por la expresión (62). Secuencia para el cálculo y determinación del error relativo de indicación por envejecimiento de la batería: Datos: Rm: resistencia a media escala, característica del óhmetro. Rg, Igp: características del dispositivo final. Incógnitas: V: f.e.m. de la batería. Rp: resistencia paralelo. Hipótesis: se supone Ri despreciable frente a las demás resistencias. a) De la expresión (64), teniendo en cuenta la (60) para Rod; se despeja el valor de Rp. Rg . Rm Rp = (65) Rg - Rm b) De la condición de ajuste (62), se determina V:

(

V = I gp . R g + R p

)

(66)

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c) Para calcular el error de indicación por envejecimiento de la batería sigue siendo válido el razonamiento realizado para obtener la expresión (50), basado en la utilización de curvas universales, y la expresión del error para este caso adopta la forma: ∆R X ∆R od = (67) RX R od y a partir de esta expresión se puede demostrar que: Rg ∆R X ∆V = . (68) RX Rp + Ri V Si se utiliza como dispositivo final un voltímetro electrónico que posee impedancia interna muy elevada, a los efectos del cálculo infinita, y sensibilidad variable, o sea que el valor de plena escala es ajustable mediante un control del panel del instrumento. En estas condiciones el esquema del óhmetro paralelo es el que indica la figura Nº 10.

RP

Para este caso la resistencia de entrada es: R od = R p + R i (69)

0 1

Rg =>

RX

Ri 2

La condición de ajuste se obtiene variando la sensibilidad del voltímetro electrónico, de tal manera que si la batería disminuye su tensión, por ejemplo de 1,5 V a 1,4 V, se modifica el alcance del dispositivo final de modo que para RX = ∞ deflexione a plena escala.

V

Fig Nº 10 Para el error de indicación sigue siendo válida la expresión (67), pero lo único que varía en la resistencia de entrada es, en este caso, el valor de Ri, y la expresión final del error debido al envejecimiento de la batería es: ∆R X ∆R i ∆R i = = (70) RX R od Rm Este error es muy pequeño puesto que las variaciones de la resistencia interna de la batería, durante su vida útil, son pequeñas frente a Rm. El esquema de un óhmetro paralelo real realizado con voltímetro electrónico se muestra la figura Nº 11.

0 Rg => 10 MΩ

0,1 MΩ

10 Ω

1 KΩ

Nótese que la relación de los diferentes alcances es decimal, esto se realiza para que una escala sirva para todos los alcances, afectando las lecturas por factores de 10n. Se comprende la preferencia de los fabricantes de voltímetros electrónicos por el óhmetro paralelo si se observa la simplicidad del circuito.

V= 1,5 V

Fig. Nº 11 4. Ohmetro potenciométrico: este es el tipo de circuito que se utiliza en la mayoría de los multímetros comerciales que utilizan como dispositivo final un instrumento de imán permanente y bobina móvil. Su esquema general se indica en la figura Nº 12. Ig

RS

Rb

0

Ib 1

RP

RX

Igp, Rg 2

V

Igp: intensidad de corriente a plena escala. Rg: resistencia interna del dispositivo final. Rp, Rb, RS: resistencias de las ramas del óhmetro potenciométrico. De la observación del circuito se deduce: Si RX = 0 resulta Ig = Igp; por condición de diseño. Si R = ∞ resulta Ig = 0.

Ri

Fig. Nº 12 E-19

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En consecuencia el cero del instrumento está a la derecha y el infinito a la izquierda, con una escala alineal. La resistencia de entrada para el circuito será:

(R

g

)

+ RS . R p

(71) Rg + RS + R p Determinación de la condición de ajuste: las intensidades de corrientes I e I para una resistencia incógnita cualquiera vale: Rp V ; Ig = Ib . Ib = R op + R g Rg + RS + R p reemplazando: Rp V . (72) Ig = R op + R X R g + R S + R p R op = R i + R b +

La condición de ajuste se verifica para RX = 0: Rp V . Ig = R op Rg + RS + R p

(73)

Determinación de la deflexión relativa: si se dividen las expresiones (72) y (73), con las mismas definiciones que para los óhmetros tratados anteriormente, se obtiene: RX 1 θ F = = (74) con ρ = 1 + ρ R op θp Resulta la misma expresión que para el óhmetro serie y valen todas las consideraciones realizadas en aquella oportunidad, incluyendo la curva universal de deflexión. Por conveniencia y a los efectos del cálculo, se realizará las siguientes transformaciones: ' R S : resistencia total de la rama que contiene el dispositivo final: R S' = R g + R S (75) R: es la resistencia equivalente paralelo entre R S' y Rp. R eq =

R p . R S'

(76) R p + R S' con esta notación la condición de ajuste puede escribirse: R S' . R p Rp V V . ' = I gp = . R op R S' + R p RS + R p R op . R S' V I gp = . R eq (77) R op . R S' y la resistencia de entrada vale: R op = R i + R b + R eq (78) Error por envejecimiento de la batería: sigue teniendo validez la expresión (50) y si se realiza el cálculo, suponiendo como resistencia de ajuste a RS, en función de ∆V y ∆Ri se obtiene:  R 2p ∆R X 1 ∆V    = .  ∆R i + . (79) 2 RX Rg + RS + R p V  Rp  R op + Rg + RS + R p Debe observarse que en este caso el error de indicación por envejecimiento de la batería se mantiene siempre dentro de límites razonables. Para comprender esto cualitativamente debe tenerse presente la expresión (67) que nos asegura que siempre que se verifique la condición de ajuste sin alterar sensiblemente la resistencia de entrada del óhmetro el error de indicación no tomará valores exagerados. Si se trata de un óhmetro que mide a media escala un valor relativamente pequeño de resistencia, por ejemplo 10 o 20 Ω a media escala, como la resistencia de entrada debe ser igual al valor de la resistencia de media escala los valores de Rb y Req también deben ser pequeños (razonar sobre la base de la expresión (78) suponiendo Ri = 0). En ese caso el valor de Rp está gobernado preponderantemente por R por tener la otra rama que contiene al dispositivo final, un valor relativamente elevado de resistencia. En estas condiciones si se modifica el valor de RS para verificar la condición de ajuste, como se altera la rama de mayor resistencia del paralelo, el efecto sobre Req es muy pequeño y su influencia sobre la resistencia de entrada es menor aún debido a la presencia de la resistencia fija Rb. Si el óhmetro mide E-20

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valores relativamente elevados de resistencia a media escala, el valor de la resistencia de entrada está determinado por fundamentalmente por Rb, y en esas condiciones las variaciones de Req debidas a que se modifica el valor de RS tienen un efecto despreciable sobre la resistencia de entrada. Si se reemplazan valores prácticos en la expresión (79) puede comprobarse esta análisis. Secuencia del cálculo para diseñar un óhmetro potenciométrico de varios alcances: Datos: Rmi: valores a media escala, característica de los distintos alcances del óhmetro; siendo el subíndice i un número natural que varía entre 0 y n, donde n es el número total de alcances. Rg, Igp: características del dispositivo final. Incógnitas: V: f.e.m. de la batería para los distintos alcances. Rpi, Rbi, RSi: resistencias de las distintas ramas del óhmetro para cada uno de los alcances. Hipótesis: para el diseño se supone Ri = 0. Se supone que los distintos alcances están especificados en forma creciente, siendo Rm1 el menor alcance, es decir Rm1 < Rm2 < Rm3 … Para el diseño se cuenta con las siguientes expresiones: R pi V V . (81) o I gp = . R eqi (82) Rmi = Ropi (80) ; I gp = R opi R g + R Si + R pi R opi . R Si' utilizándose la que más convenga según el caso. Además se dispone también de las siguientes expresiones auxiliares, suponiendo Ri = 0: R pi . R Si' (84) ; R Si' = R gi + R Si (85) R opi = R bi + R eqi (83) ; R eqi = R pi + R Si' Alcance Rm1: se comienza el diseño por el alcance más bajo y debe notarse que se tiene cuatro incógnitas: V1, Rb1, Rp1 y RS1 y sólo dos ecuaciones la (80) y la (73) u (81). Es evidente que pueden elegirse dos incógnitas arbitrariamente, en consecuencia: a) Se adoptan valores para V1 y Rb1. V1 se elige con el criterio que sea una batería fácil de obtener en el comercio y económica. Para Rb1 puede adoptarse inclusive el valor cero, con lo cual se ahorra una resistencia en el diseño. Pese a esta observación algunos fabricantes eligen para Rb1 un valor no nulo con la única restricción que debe ser menor a Rm1, como resulta evidente. b) Se calcula R a partir de la expresión (83), teniendo en cuenta la (80): R eq1 = R m1 - R b1 (86) En esta expresión es evidente que Rb1 debe ser menor que Rm1 para que el problema tenga solución. c) Se despeja R de la expresión (82) reemplazando Rop1 por Rm1: V1 ' R S1 = R eq1 . (87) R m1 . I gp d) De la expresión (85) se despeja el valor de RS1: ' R S1 = R S1 - Rg (88) e) A partir de la expresión (76) se determina Rp1: ' R S1 . R eq1 R p1 = ' R S1 - R eq1

(89)

Alcance Rm2: antes de desarrollar la secuencia de cálculo para los siguientes alcances se va a encontrar las relaciones entre los elementos del óhmetro para distintos alcances, relaciones que van a permitir determinar la configuración más simple para el óhmetro potenciométrico de varios alcances. Para ello se va a escribir la condición de ajuste (73) para dos alcances cualesquiera, designando con el subíndice i a un alcance y denominando por j al otro. R pi R pj V V . . I gp = ; I gp = R opi R g + R Si + R pi R opj R g + R Sj + R pj Como el dispositivo final es único, la corriente a plena escala es independiente del alcance, los segundos miembros de las ecuaciones escritas deben ser iguales. Reemplazando la igualdad directa por dos igualdades tal como se indica a continuación: ∴ R g + R Si + R pi = R g + R Sj + R pj R Si + R pi = R Sj + R pj (90) E-21

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Voltímetros, Amperímetros y multímetros pasivos Vi . R pi

Vj . R pj

(91) R opi R opj Es evidente que si se verifican las expresiones (90) y (91) también se verifica la condición de ajuste para los distintos alcances. Debe notarse, entonces, que reemplazando la condición de ajuste por dos ecuaciones, las (90) y (91), se dispondrá de tres ecuaciones en vez de dos y como hay cuatro incógnitas V2, Rb2, Rp2 y RS2 para el alcance Rm2 sólo podrá elegirse una arbitrariamente. Esto puede parecer artificial, pues la tercera condición surgió de descomponer una ecuación en dos. Pero antes de abrir juicio definitivo se debe interpretar en el esquema eléctrico el significado de la expresión (90). Ella dice que los valores de resistencias Rp y RS necesarias para los distintos alcances pueden obtenerse disponiendo varias resistencias, de valores adecuados, en serie formando una malla con el dispositivo final y derivando en los puntos correspondientes para completar el circuito, tal como se ve en la figura Nº 13.

Rb3

V’3

0

3

Rs2 RS1

Rb2

Igp, Rg

V’2

RX

2

Rb3

RP2

1 RP1

V

=

Puede observarse que con esta disposición circuital la expresión (90) se verifica automáticamente y ello justifica reemplazar la condición de ajuste por otra ecuación deducida de ella, la expresión (91), mientras que la (90) sólo es la expresión analítica de una condición impuesta por el esquema eléctrico adoptado para el óhmetro de varios alcances. También se nota la simplicidad del circuito completo del óhmetro para varios alcances.

Fig. Nº 13 En cuanto a las baterías V2' y V3' , nótese que V2 = V2' + V1 y V3 = V3' + V1, son opcionales en el sentido de que es deseable utilizar una misma fuente, V1, para todos los alcances; cuando se realice el cálculo se verá si es factible o no. Volviendo al cálculo de los elementos correspondientes al segundo alcance se tendrá: a) Se adopta un valor V2 = V1, para utilizar la misma batería que en el primer alcance. b) Se determina el valor de R a partir de la expresión (91), escrita para los alcances 1 y 2, teniendo en cuenta la expresión (80): V1 R m2 R m2 R p2 = . . R p1 = . R p1 (92) V2 R m1 R m1 c) Se calcula RS2 con la expresión (90): R S2 = R p1 + R S1 - R p2

(93)

d) Mediante la expresión (76) se determina Req2: ' R p2 . R S2 ' (94) con R S2 R eq2 = = R S2 + R g ' R p2 + R S2 e) Se despeja R de la expresión (83): R b2 = R m2 - R eq2 (94) Alcance Rm3 y siguientes: se procede con la misma secuencia que para el segundo alcance, pero conviene aclarar que al calcular R con una expresión análoga a la (90) puede encontrarse un resultado negativo, esto también podría haber sucedido en el segundo alcance. Esto indica que no puede verificarse la condición de ajuste con la batería adoptada, pues sería necesario una resistencia R negativa que produjera una caída de potencial opuesto a la real para poder llevar al dispositivo final a plena escala cuando se cortocircuitan los bornes del óhmetro. En otras palabras, la tensión de la batería es insuficiente. Esto se soluciona adoptando un valor V3 > V1, es decir eligiendo una batería adicional, V3' en el circuito de la figura Nº 13, con el mismo criterio con que se adoptó V1, fácil de obtener y económica. Luego puede calcularse Rp3 con la expresión deducida de las expresiones (91) y (80): V1 R m3 R p3 = . . R p1 (95) V3 R m1 Se comprende que el valor de Rp3 así calculado va a resultar menor que si se lo determina con la hipótesis V3 = V1. Se determina a continuación RS3: R S3 = R p1 + R S1 - R p3 (95) y se incluye el cálculo como en el alcance anterior. Se entiende que si aún así Rp3 da un resultado negativo debe adoptarse un valor mayor de V3.Para calcular el error de indicación por envejecimiento de la batería en cada uno de los alcances se utilizará la expresión (79). E-22