Capítulo VII CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE 7.1

INTRODUCCIÓN Todo cuerpo que se halla en las inmediaciones de la tierra interactúa con ella y como

resultado de esta interacción actúa sobre el cuerpo una fuerza resultante que tiene dirección radial y que está dirigida hacia el centro de la tierra. Esta fuerza es de naturaleza gravitatoria porque es originada por el campo gravitatorio que rodea a la tierra y recibe el nombre de FUERZA DE LA GRAVEDAD. La magnitud de esta fuerza se determina aplicando la ley de Gravitación Universal de Newton, que dice: “Dos cuerpos cualesquiera en el universo se atraen con una fuerza cuya magnitud es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa los centros de masa de los cuerpos”. Estos cuerpos cualesquiera podrían ser el planeta tierra y un objeto ubicado sobre él.

La fuerza de la gravedad al actuar sobre un cuerpo o partícula que se halla en el interior de un campo gravitatorio produce una aceleración denominada aceleración de la gravedad. Esta aceleración tiene la misma dirección de la fuerza de la gravedad y su valor depende de la posición del cuerpo, es decir de la distancia que haya entre el cuerpo y el centro de la tierra. Para un cuerpo ubicado en las cercanías de la superficie terrestre, la aceleración de la gravedad tiene un valor promedio de 9,81 m/s2 o 32,2 pie/s2.

La aceleración de la gravedad y la fuerza de la gravedad son medidas vectoriales de los efectos producidos por la acción del campo gravitatorio o campo gravitacional; y éste es el resultado de una propiedad de la materia denominada GRAVEDAD.

7.2

CENTRO DE GRAVEDAD (G) Es aquel punto de un cuerpo o partícula donde actúa la fuerza resultante de la gravedad.

Esta fuerza es ejercida por el campo gravitatorio donde se halla inmerso dicho cuerpo o partícula y su magnitud o intensidad dependerá de las masas del cuerpo y del planeta (la tierra, por ejemplo), así como de la distancia que haya entre el centro del planeta y el cuerpo. Se considera que en el centro de gravedad se halla concentrado el peso total de un cuerpo o partícula.

113

Las coordenadas del centro de gravedad

z

x, y, z

G: dV

se

hallan

mediante

un

proceso de integración, a partir de un diferencial de peso “dW”.

G

Se cumple: dW

W x

 x dW  dW

z

z

y

x y

 y dW

y

;

 dW

 dW

Donde: dW   dV ;  = peso específico

x

Reemplazando dW obtenemos:

x

y

x

 x  dV

V

  dV

;

 y  dV

y

V

V

7.3

z

;

 z dW

  dV

V

;

z

 z  dV

V

  dV

V

CENTRO DE MASA (C.M.) Es aquel punto donde actúa la fuerza neta, a fin de determinar el movimiento de traslación

del cuerpo como un todo. * Cuando un cuerpo está en movimiento, hay un punto que se mueve en la misma trayectoria que seguiría una partícula si se sujetara a la misma fuerza neta, a este punto se llama centro de masa. Las coordenadas del centro de masa:

se determinan reemplazando    g

x, y, z ,

(  = densidad) en las ecuaciones del centro de gravedad, y como “g” se cancela, queda:

 x  dV

 y  dV

x V

;

  dV

y V

 z  dV

;

  dV

z V

  dV

V

V

V

donde:  dV  dm . Si se reemplaza está equivalencia en las ecuaciones anteriores, queda:

x

 x dm 

dm

;

y

 y dm  dm

;

z

 z dm  dm

Nota.- Para fines prácticos se considera que el centro de masa y el centro de gravedad están en el mismo punto. Sin embargo, si el cuerpo es lo suficientemente grande, la gravedad tiene valores distintos en diferentes partes del cuerpo, en este caso el centro de masa y el centro de gravedad son diferentes.

114

7.4

CENTROIDE (C).Es el centro geométrico de un cuerpo u objeto. Si el material que constituye el cuerpo u objeto es uniforme y homogéneo, las ecuaciones

para calcular el centroide dependen sólo de la geometría del cuerpo. Se consideran tres casos específicos. 1er Caso: Centroide de volumen z

Para calcular el centroide de un volumen, dV

primero se elige un diferencial de volumen “dV”,

C

el cual puede ser un disco circular de espesor

z

pequeño, un cascarón cilíndrico u otro elemento diferencial,

y

mediante

un

proceso

de

integración

se

halla

coordenadas

del

las

centroide de dicho volumen.

y

x x

y

Si C ( x ; y ; z ) es el centroide del volumen, donde x ; y ; z son las coordenadas de C, estas coordenadas se determinan mediante las siguientes ecuaciones:

x

 x dV

V

 dV

O también

x

 x dV

V

V

V

 y dV

 y dV

y V

 dV

O también

y V

O también

z

V

V

z

 z dV

V

 dV

 z dV

V

V

V

Donde: x , y , z , son las coordenadas del centro de gravedad del elemento diferencial utilizado.

115

2do Caso: Centroide de área Para calcular el centroide de un área, primero se elige un diferencial de área “dA”, que generalmente es un rectángulo, y mediante un proceso de integración se halla las coordenadas del centroide de dicha área.

z

dA

z

C

Si C ( x ; y ; z ) es el centroide del área, las coordenadas

x; y; z

se determinan en forma

similar que en el caso del volumen. Es decir: 

y



 x dA

x

A

 dA

x

O también

 x dA

x

A

A

A

y

x





 y dA

y

A

 dA

O también

 y dA

y

A

A

A





 z dA

z

A

 dA

O también

 z dA

z

A

A

A

3er Caso: Centroide de línea Para calcular el centroide de una línea, primero se elige un diferencial de longitud “dL” y se procede igual que en los casos anteriores.

z

Las coordenadas x ; y ; z para el centroide de una línea se determinan utilizando las ecuaciones siguientes:

dL

C x

 x dL L

 dL

z

O también

x

 x dL L

L

L

y

x y x

 y dL L

 dL

y

O también

y

 y dL L

L

L

z

 z dL L

 dL

O también

z

 z dL L

L

L

116

Nota: El centroide de un objeto puede ubicarse dentro o fuera del objeto. Asimismo, si la figura del objeto es simétrica, respecto a uno o más ejes, su centroide se halla en uno de los ejes o en la intersección de los ejes (ver las figuras siguientes). y

z

C

x

y

x

7.4.1 Centroide en cuerpos compuestos Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos de forma sencilla y que están conectados. Estos cuerpos sencillos pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares, etc. Los cuerpos compuestos pueden descomponerse en sus partes y analizar cada parte por separado.

Método para hallar el centroide de un objeto geométrico compuesto

1. Se divide el objeto o cuerpo en un número finito de partes componentes que tengan formas más sencillas. Si una parte componente tiene un agujero, o una región geométrica donde no exista material, ésta se toma como una componente adicional pero con signo negativo. 2. Se determina las coordenadas x, y, z del centroide de cada parte. 3. Se calcula las coordenadas x ; y ; z del centroide del objeto o cuerpo, utilizando las siguientes ecuaciones:

En líneas:

x

xL L

;

y

yL L

;

z

zL L

x A A

;

y

yA A

;

z

z A A

En áreas:

x

117

En volúmenes:

x

 xV V

;

y

 yV V

z

;

 zV V

7.4.2 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS TEOREMA I: “El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie”.

* Recordar que una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una curva plana con respecto a un eje fijo. Por ejemplo (ver figura siguiente), se puede obtener la superficie de una esfera rotando un arco semicircular ABC con respecto al diámetro AC; se puede producir la superficie de un cono rotando una línea recta AB con respecto a un eje AC. B B

C

A

C

A

Esfera

Cono

TEOREMA II: “El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo”.

* Recordar que un cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje fijo. Como se muestra en la siguiente figura, se puede generar una esfera o un cono rotando la forma apropiada con respecto al eje que se indica. B B

C

A

Esfera

C

A

Cono

118

7.5

TABLA 7.1 – Situación del centroide en algunas líneas, superficies y volúmenes.

119

TABLA 7.1 – Situación del centroide en algunas líneas, superficies y volúmenes (Continuación).

Fuente: RILEY W. y STURGES L. Estática. Editorial Reverté. 2005

120

7.6

PROBLEMAS RESUELTOS DE CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE.

PROBLEMA Nº 1 Determine el centroide del área limitada por la parábola y 2  4ax y las rectas y  b y x  0 . Resolución Para calcular el centroide del área mencionada, primero hago las gráficas correspondientes a la parábola y 2  4ax y a las rectas y  b y x  0 . y

y b

4a x

y b

dy 

yy

x

b2 4a



x

x

x0

Cálculo de x , y (coordenadas x e y) del centroide del área mostrada en la figura En este tipo de problemas, primero se elige un elemento diferencial y luego se aplica las ecuaciones siguientes: 

x 

 x dA  dA



;

y

 y dA  dA



Donde: x y y son las coordenadas del centroide del elemento diferencial utilizado. PRIMER MÉTODO DE RESOLUCIÓN: UTILIZANDO UNA FRANJA HORIZONTAL COMO ELEMENTO DIFERENCIAL De la figura anterior observamos que: 

x

x 2



;

y  y  4a x

;

dA  x dy  a x dx 121

Reemplazando en las ecuaciones de x e y , tenemos: b2 / 4a



x

0

x 2

a x dx

2

b / 4a



x

3b 2 40 a

y

3 b 4

a x dx

0 b2 / 4a



y

4a x ( a x dx)

0

2

b / 4a



a x dx

0

SEGUNDO MÉTODO DE RESOLUCIÓN:

UTILIZANDO UNA FRANJA VERTICAL COMO

ELEMENTO DIFERENCIAL y

y1 

dx b

4a x

y2  b



y

x

b2 4a



x

x0

De la figura anterior se observa que: 



xx

;

y

4a x  b y1  y 2  2 2

Se sabe que las coordenadas

x e y

;

dA  ( y2  y1 ) dx  (b  4 a x ) dx

del centroide de área se calculan con las ecuaciones

siguientes: 

x

 x dA  dA



;

y

 y dA  dA

122





Luego, al reemplazar x , y y dA , tenemos: b2 / 4a

x

x

(b  4a x ) dx x

0

b2 / 4a

 (b 

4 a x ) dx

3b 2 40 a

0

b2 / 4a

y

 0

 4a x  b    (b  4 a x ) dx   2  

y

b2 / 4a

 (b 

4 a x ) dx

3 b 4

0

TERCER

MÉTODO

DE

RESOLUCIÓN:

UTILIZANDO

UN

ELEMENTO

DIFERENCIAL

RECTANGULAR y

b

dy

y b

dx



x  y2 / 4a

y2  4a x

y

x

b2 4a



x

x0

De la figura anterior observamos que: 



xx

yy

; 

Sabemos que las coordenadas

;

dA  dx dy



x e y del centroide de área se calculan con las ecuaciones

siguientes: 

x

 x dA  dA



;

y

 y dA  dA

123





Reemplazando x , y y dA , tenemos: b2 / 4a

b

x

  0

x dx dy x

0

b

b2 / 4a

0

0

  dx dy b2 / 4a

b

x

3b 2 40 a

  0

y dx dy y

0

2

b

b / 4a

0

0

  dx dy

3 b 4

PROBLEMA Nº 2 La pieza de máquina en forma de L que se muestra en la figura está compuesta por dos barras homogéneas. La barra 1 es de una aleación de tungsteno con densidad de 14 000 kg/m3. La barra 2 es de acero, con densidad 7 800 kg/m3. Determine las coordenadas x e y del centro de masa de esta pieza. y

1 40 mm 240 mm 80 mm

2 x 80 mm

240 mm

z

124

Resolución Las coordenadas x e

y del centro de masa para el cuerpo compuesto mostrado en la figura,

están dadas por las ecuaciones siguientes:

x

x1 m1  x2 m2 m1  m2

;

y

y1 m1  y 2 m2 m1  m2

Donde:

x1 y x 2 son las coordenadas “x” de los cuerpos componentes (1) y (2). m1 y m2 son las masas de los cuerpos componentes (1) y (2). Cálculo de x (coordenada “x” del centro de masa del cuerpo compuesto en forma de L): Para calcular x , primero necesito conocer los valores de las coordenadas x1 y x 2 , así como de las masas m1 y m 2 . Las coordenadas x1 y x 2 , de acuerdo al sistema de coordenadas mostrado en la figura, tienen los siguientes valores:

x1  40 mm

x2  200 mm

;

Las masas m1 y m 2 se determinan utilizando la ecuación: m   V . Dado que la densidad del cuerpo (  ) es dato del problema, y el volumen V se halla multiplicando las tres dimensiones del cuerpo, entonces tenemos:

m1  1 V1  14000 kg / m3 (240 80  40 10 9 m3 )

m1  10,75 kg

m2   2 V2  7800 kg / m3 (240 80  40 10 9 m3 )

m2  5,9904 kg

Al reemplazar los valores de x1 , x 2 , m1 y m 2 , tenemos que:

x

40 10,75  200  5,9904 mm 10,75  5,9904

x  97,2545 mm

Cálculo de y (coordenada “y” del centro de masa del cuerpo compuesto en forma de L): Para calcular y , primero necesito conocer los valores de y1 y y 2 , así como de m1 y m 2 . Las coordenadas y1 y y 2 , de acuerdo al sistema de coordenadas mostrado en la figura, tienen los siguientes valores:

y1  120 mm

;

y2  40 mm

Las masas m1 y m 2 ya se hallaron anteriormente y son: m1  10,75 kg y m2  5,9904 kg Al reemplazar los valores de y1 , y 2 , m1 y m 2 , tenemos que:

y

120 10,75  40  5,9904 mm 10,75  5,9904

y  91,37 mm 125