CAPÍTULOS 9, 10 Y 11 DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES ORIGINADAS POR LOS DIFERENTES ESFUERZOS

¿Qué pretendemos en esta lección? y

Esfuerzos:

z

Equivalencia mecánica de los sistemas de esfuerzos, por un lado, y de las tensiones generadas, por otro:

N M Q

y

N=

Tensiones originadas:

x

τzy y

∫ σ dA z

Area

dA

Q= σz

∫τ

zy

dA

Area

z

M=−

∫ yσ dA z

Area

ESFUERZO AXIL: TRACCIÓN O COMPRESIÓN PURA

y

B

x G N z

Consideremos una barra prismática de sección arbitraria sometida a un esfuerzo axil N cuya recta de acción pasa por el centro de gravedad de la sección de la barra. Las tensiones normales, σ, producidas por el esfuerzo axil son constantes en cualquier punto de la sección.

y x N

N G

z

y

x

EQUIVALENCIA ENTRE N Y LA DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES: Momentos en G: dA

M x = 0 = ∫ σ ydA

y x

G

M y = 0 = − ∫ σ xdA N pasa por G

Igualdad de resultantes:

N N = ∫ σ dA = σ ∫ dA = σA ⇒ σ = A ESTADO DE DEFORMACIONES EN LA PIEZA PRISMÁTICA:

εz =

σz E

ε y = ε x = −νε z γ xy = γ xz = γ yz = 0

TRACCIÓN PURA

COMPRESIÓN PURA

En ambos casos, el esfuerzo axil pasa por el c.d.g de la sección

FLEXIÓN FLEXIÓN PURA, FLEXIÓN COMPUESTA Y FLEXIÓN SIMPLE y

B

y

B

My

G

x

P

x

r

Mx

G

N z

z

y (EJE DE SIMETRÍA)

B

Qy x G

Mx

z

y

P

x z

P

dz

a

Q

a

Q=0

P -P Zona de flexión simple

M

P.a Zona de flexión pura

FLEXIÓN PURA σ x = σ y = τ xy = τ xz = τ yz = 0 y

B

σ z = σ z (x , y )

My x G

σz ≠ 0

σ z = Ax + By + C

Mx

z

EQUIVALENCIA ENTRE Mx y My Y LA DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES: Igualdad de resultantes:

∫∫ σ Ω

z

dΩ =0 ⇒ C = 0

Igualdad de momentos en G:

r r r r ∫∫ Ω r ∧ σ z dΩ = M x i + M y j

A=− B=

σ z = Ax + By

M x Pxy + M y I x I x I y − Pxy2

M x I y + M y Pxy I x I y − Pxy2

y

B

My x G

Mx

σz z

⎡ yPxy − xI x ⎤ ⎡ yI y − xPxy ⎤ = Mx⎢ ⎥ ⎥ + My⎢ 2 2 ⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦ ⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦

⎡ yI y − xPxy ⎤ ⎡ yPxy − xI x ⎤ = Mx⎢ ⎥ ⎥ + My⎢ 2 2 ⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦ ⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦

σz

Si los ejes {x,y} fueran principales de inercia de la sección, Pxy=0, por lo que la expresión anterior se reduciría a: M y M x

σz =

y si

My = 0

, se obtendría:

x

Ix

y

−

Iy

Mxy σz = Ix σ2=

y

y

Μx h2 Ιx h2

G

Canto

Mx

x

x

h1

G

σ1=

Sección rectangular

SECCION

Μx h1 Ιx

ALZADO LATERAL

NOMENCLATURA EN PERFILES LAMINADOS:

ALA

ALMA

ALA

EJEMPLO: CALCULO DE LAS MÁXIMAS TENSIONES NORMALES EN LA VIGA DE LA FIGURA P=50kN

RA

2.5m

q=20kN/m

3.5m

h=0.7m b=0.22m

RB

h = canto b = ancho

P=50kN

q=20kN/m

Q=89,2kN Q

39,2kN

-10,8kN M=160,4kNm M

-80,8kN

1 3 Ix = b⋅h 12 y

h

σ máx.

0 G

x

h Mx ⋅ Mx 2 = = Ix W

Módulo resistente de la sección

b. 2 0,22 x0,7 2 W= h = = 0,018m 3 6 6 TENSIONES NORMALES MÁXIMAS:

M max 160,4kNm σC = − =− = −8,9 MPa 3 W 0,018m b

σ T = +8,9 MPa

TENSIONES Y DEFORMACIONES EN FLEXIÓN PURA Curva tensión-deformación

Tensiones σz

σ

y ε

directriz

Las deformaciones εz también varían linealmente

Deformaciones εz

FLEXIÓN PURA: M

M

Las caras que eran planas….

ρ

…siguen siendo planas

FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIÓN PURA Se denomina fibra o eje neutro al lugar geométrico de los puntos de la sección en los que σz es nula

σz

M x Pxy + M y I x y = x M x I y + M y Pxy

⎡ yI y − xPxy ⎤ ⎡ yPxy − xI x ⎤ = Mx⎢ ⎥ + My⎢ ⎥=0 2 2 ⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦ ⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦

Si los ejes {x,y} fueran principales de inercia:

y M yIx = x M xIy

que corresponde a una recta que pasa por el c.d.g de la sección. Si, además, My=0, la fibra neutra coincide con el eje x: y

x G

Fibra neutra

FLEXIÓN COMPUESTA Reduciendo N al c.d.g.:

y

B

x

P G

y

B

r N

x z

G

N

esfuerzo axil N en un punto P de coordenadas (a,b)

M z

v i r v M = rv ∧ N = a

v j b

0 0

r k r r r r 0 = bNi − aNj = M x i + M y j N

Aplicando el Principio de superposición:

σz

⎡ yPxy − xI x ⎤ ⎡ yI y − xPxy ⎤ = + b N⎢ ⎥ ⎥ − a N⎢ 2 2 Ω ⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦ ⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦ N

FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIÓN COMPUESTA σz =

I x I y − Pxy2

Ω

(

)

(

)

+ x aI x − bPxy + y bI y − aPxy = 0

En el caso de flexión compuesta, la fibra neutra no pasa por el c.d.g de la sección.

NUCLEO CENTRAL DE UNA SECCION TRABAJANDO A FLEXIÓN COMPUESTA Región de la sección en la que puede actuar un esfuerzo axil de compresión N sin que se produzcan tensiones de tracción en ningún punto de la sección. El centro de gravedad de la sección G debe pertenecer al núcleo central pues, si en él se aplicara un esfuerzo axil de compresión toda la sección se encontraría trabajando a compresión.

Si el esfuerzo axil de compresión actuase en el punto A de la sección, la recta (a) sería la correspondiente fibra neutra. Supongamos ahora que el esfuerzo axil actuase en el punto B y que (b) es la correspondiente fibra neutra. Si C es el punto de corte de las rectas (a) y (b), se puede demostrar que si el esfuerzo axil actuase en C la correspondiente fibra neutra (c) pasaría por los puntos A y B. y

A B

x (c)

C (a) (b)

EJEMPLO: NÚCLEO CENTRAL DE UNA SECCIÓN RECTANGULAR y D

C

P

e

h G

x

Supongamos actuando un esfuerzo axil N de compresión en el punto P de la sección, que se encuentra situado sobre el eje y a una distancia e del eje x. Reduciendo el esfuerzo N al centro de gravedad G, obtendríamos un esfuerzo axil del mismo valor y un momento flector de eje x de valor N.e

B

A c

Si aplicásemos N en G (e=0), toda la sección estaría sometida a compresión uniforme. Si va creciendo e, las tensiones de compresión van creciendo en el lado DC y disminuyendo en el AB. Cabría preguntarse: ¿Para qué valor de la distancia e la fibra neutra coincidiría con al lado AB?

e=h/6

y

Núcleo Central

R h 3

S x

A c 3

FLEXIÓN SIMPLE

y

(Eje de simetría)

y (EJE DE SIMETRÍA)

B

Qy

Qy x

G

G

Mx x

Mx

z

Las tensiones normales producidas por el momento flector ya han sido estudiadas con anterioridad, pero: ¿cuáles serán las tensiones tangenciales (contenidas en el plano de la sección) a que da lugar el esfuerzo cortante que estamos aplicando? Supondremos que dichas tensiones tangenciales sólo dependen de la ordenada “y”:

τ = τ (y)

REBANADA DE UNA PIEZA PRISMÁTICA rebanada B

D

directriz

A

B

C

ds

B

D

Mx A

Mx+d Mx

Mx

Qy D

C

Qy

c

A ds

Mx+d Mx

C

Qy+d Qy

Qy+d Qy

EQUILIBRIO DE LA REBANADA B

D

Mx+d Mx

Mx

C

Qy

C Qy+d Qy

A ds

M x − ( M x + dM x ) + Q y ds + dQ y ds = −dM x + Q y ds = 0

dM x Qy = ds

TENSIONES TANGENCIALES INDUCIDAS POR EL ESFUERZO CORTANTE

Q

τ

a(y) σ

y y yh

Mxy σz = Ix

τ

yc G

σ+dσ

x

dM x y dσ = Ix ds

a0

EQUILIBRIO HORIZONTAL: σ+dσ

σ

τ

∫

y = yh

y = yc

dσ (a( y ).dy ) = τ (ds ⋅ a0 )

∫

yh

yc

dM x dM x y (ady ) = Ix Ix

dM x M e Qy M e τ= = ds I x a0 I x a0

∫

yh

yc

y (ady ) = τ ⋅ ds ⋅ a0

Ejemplo: Distribución de tensiones cortantes sobre una sección rectangular sometida a Qy y y τ(y)

(h/2-y)/2 y

h

0 G

x

0

x

G

τ=

Qy M e I x a0

b ⎞ ⎛h ⎞ ⎛1⎛h ⎞ M e = ⎜ − y ⎟ ⋅ b ⋅ ⎜⎜ ⎜ − y ⎟ + y ⎟⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2⎝2 ⎠ ⎠

1 I x = b ⋅ h3 12

a0 = b

y

y

y

h

fibra x neutra

b

τ media

σmax z

τmax

σ

Tensiones de flexión

⎛ bh ⎞⎛ h ⎞ bh (M e )max = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = 8 ⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ 3 ⎛ Qy ⎞ τ max = ⎜⎜ ⎟⎟ = 1,5 τ media 2 ⎝ bh ⎠

Tensiones cortantes

2

τ