UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES Y MATERIALES TRABAJO FIN DE MÁSTER

CARACTERIZACIÓN MECÁNICA DE INJERTOS DE AORTA ASCENDENTE DE DACRON®

ALUMNO: DANIEL CALVO AGUILAR TUTOR: GUSTAVO VÍCTOR GUINEA TORTUERO

MADRID, SEPTIEMBRE DE 2013

Para Miriam, fuerza y corage

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Agradecimientos En estas líneas quiero agradecer a todas las personas que con su ayuda me han apoyado en la realización de este trabajo fin de máster. En primer lugar me gustaría agradecer a mi Director de Tesis, Gustavo Víctor Guinea, por brindarme la oportunidad de trabajar en el grupo de Biomateriales, apoyarme y estar siempre dispuesto a prestar sugerencias y correcciones. Quisiera agradecer también a Francisco Javier Rojo, por toda su ayuda en la realización de los ensayos y en la corrección del documento. Gracias al personal del taller mecánico del Departamento de Ciencia de Materiales, por su constante ayuda en los diseños de las piezas utilizadas en los ensayos. A todos los compañeros del Departamento de Ciencia de Materiales y del Centro de Tecnología Biomédica les quiero dar las gracias, por su ayuda, compañía y amistad ofrecida. Quisiera agradecer a mis padres y a mi hermana, por su apoyo incondicional y por darme tan buenos momentos en toda mi carrera universitaria. Mi último agradecimiento va dirigido a Miriam, por entender el tiempo que he empleado en la realización del trabajo, y por su apoyo y ánimo día tras día.

ii

Resumen El presente trabajo fin de máster tiene como objetivo caracterizar los injertos de Dacron®, que se utilizan para reparar patologías de la aorta ascendente, para comparar el comportamiento mecánico con el que presenta la aorta ascendente. Se han realizado ensayos uniaxiales de tracción, de relajación y con una historia de cargas variable, tanto en probetas extraidas en la dirección circunferencial al tubo del injerto como en dirección longitudinal. Posteriormente, se han obtenido los parámetros necesarios para que los datos se ajusten a un modelo mecánico basado en el modelo de Maxwell generalizado. Por último, los datos obtenidos de los ensayos y los parámetros del modelo se han comparado con los ensayos y modelos de la aorta, obtenidos de la literatura.

iii

Índice general Agradecimientos

II

Resumen

III

Índice de figuras

VI

Índice de cuadros

VIII

1. Introducción 1.1. Introducción y motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Estructura del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Teoría 2.1. La aorta ascendente . . . . . . . . 2.1.1. Anatomía . . . . . . . . . 2.1.2. Fisiología . . . . . . . . . 2.1.3. Histología . . . . . . . . . 2.1.4. Comportamiento mecánico 2.1.5. Aneurismas . . . . . . . . 2.2. Injertos . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Injertos biológicos . . . . . 2.2.2. Injertos sintéticos . . . . . 2.2.2.1. Dacron® . . . . . 3. Materiales y métodos 3.1. Materiales . . . . . . . 3.2. Métodos . . . . . . . . 3.3. Ensayos de tracción . . 3.4. Ensayos de relajación . 3.5. Ensayos con historia de

. . . . . . . . . . . . . . . . cargas iv

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . variables .

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1 1 3

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4 4 4 4 6 7 8 9 9 10 10

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13 13 15 16 17 18

ÍNDICE GENERAL

v

4. Resultados 4.1. Ensayos de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ensayos de relajación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Ensayos con historia de cargas variables . . . . . . . . . . . . .

20 20 22 22

5. Modelo constitutivo 5.1. Ecuaciones constitutivas . . . 5.2. Ensayos de relajación . . . . . 5.3. Ensayos con historia de cargas 5.4. Análisis de los parámetros . .

26 26 28 32 35

. . . . . . . . . . . . variables . . . . . . .

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6. Comparación con la aorta ascendente 36 6.1. Modelo independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.2. Modelo dependiente del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7. Discusión 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Curva tensión-deformación . . . . . . 7.2.1. Tensiones residuales . . . . . 7.2.2. Método de corte . . . . . . . . 7.2.3. Zonas de debilidad . . . . . . 7.2.4. Distorsión de la imagen . . . . 7.3. Ensayos mecánicos . . . . . . . . . . 7.3.1. Ensayos de tracción . . . . . . 7.3.2. Ensayos de relajación . . . . . 7.3.3. Ensayos con historia de cargas 7.4. Modelo constitutivo . . . . . . . . . . 7.5. Comparación con la aorta ascendente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . variables . . . . . . . . . . . .

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40 40 41 41 42 42 42 43 43 44 44 45 46

8. Conclusiones y trabajo futuro

48

A. Pruebas de corte de las probetas

50

B. Curva tensión-deformación

52

C. Cuantificación de los errores del modelo

54

D. Solución de las ecuaciones del modelo

55

Bibliografía

59

Índice de figuras 1.1. Dibujo de la aorta desde el corazón hasta las arterias iliacas comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Aorta ascendente . . . . . . . . . . . . . Sección de la pared de la aorta torácica . Comportamiento no lineal de las arterias Diferentes tejidos de Dacron® . . . . . .

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.

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Tubo de Dacron® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extracción de las probetas del tubo . . . . . . . . . . . . . . Dimensiones de las probetas utilizadas en los ensayos . . . . Sección transversal de la probeta grande . . . . . . . . . . . Circuito cerrado para la realización de los ensayos mecánicos Probeta pintada con puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Historia de carga de los ensayos realizados con las probetas circunferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Historia de carga de los ensayos realizados con las probetas longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 5 . 6 . 8 . 10 . . . . . .

13 14 14 15 15 16

. 18 . 19

4.1. Curva tensión-deformación de los ensayos de tracción uniaxial 4.2. Rectas obtenidas a partir de las curvas tensión-deformación . . 4.3. Historia de tensiones en los ensayos de relajación en dirección circunferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Historia de tensiones en los ensayos de relajación en dirección longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Historia de tensiones en los ensayos de relajación. Gráficas adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Historia de tensiones y deformaciones en dirección circunferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Historia de tensiones y deformaciones en dirección longitudinal vi

2

21 21 23 23 24 24 25

ÍNDICE DE FIGURAS

vii

4.8. Curva tensión-deformación de los ensayos de cargas variables y curva tensión deformación inferida . . . . . . . . . . . . . . 25 5.1. Representación del muelle y el amortiguador . . . . . . . . . 5.2. Modelod de Maxwell y Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Parámetros de los ensayos de relajación en dirección circunferencial. N = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Parámetros de los ensayos de relajación en dirección longitudinal. N = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Parámetros de los ensayos de relajación en dirección circunferencial. N = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Parámetros de los ensayos de relajación en dirección longitudinal. N = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Historia general de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Curvas experimentales y curvas del modelo. Ensayo de carga variable en dirección circunferencial . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Curvas experimentales y curvas del modelo. Ensayo de carga variable en dirección longitudinal . . . . . . . . . . . . . . .

. 27 . 28 . 30 . 30 . 31 . 31 . 32 . 33 . 33

6.1. Comparación de los ensayos de tracción del Dacron® y aorta ascendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.1. Estado de la probeta al comienzo de los ensayos . . . . . . . . 42 7.2. Diferencias entre probetas pequeñas y grandes . . . . . . . . . 43 A.1. Corte realizado con el parámetro elegido . . . . . . . . . . . . 50 B.1. Curva tensión-deformación elegida . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Índice de cuadros 3.1. Áreas de las secciones transversales de las probetas . . . . . . 15 3.2. Características de los ensayos de tracción . . . . . . . . . . . . 17 3.3. Características de los ensayos de relajación . . . . . . . . . . . 18 4.1. Módulos de elasticidad de la curva tensión-deformación . . . . 22 4.2. Valores medios de las pendientes . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

Parámetros Parámetros Parámetros Parámetros Parámetros Parámetros

del modelo para el del modelo para el del modelo para el del modelo para el medios del modelo del modelo . . . .

ensayo VC1 . . ensayo VC2 . . ensayo VL1 . . ensayo VL2 . . en cada ensayo . . . . . . . . .

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33 34 34 34 35 35

6.1. Comparación de parámetros entre aorta y Dacron® . . . . . . 38 6.2. Deformaciones máximas en aorta y Dacron® . . . . . . . . . . 39 A.1. Prueba de parámetros de la grabadora láser . . . . . . . . . . 51 A.2. Parámetros de corte escogidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

viii

Capítulo 1 Introducción 1.1.

Introducción y motivación

La aorta es la arteria cuya función es transportar la sangre oxigenada desde el corazón hasta las células de los diferentes tejidos del organismo. La geometria y las propiedades mecánicas de la aorta ascendente tienen un importante impacto en las características del flujo sanguíneo, afectando al comportamiento mecánico del resto de las arterias [28]. En la figura 1.1 se puede observar la disposición de la aorta desde el ventrículo izquierdo del corazón hasta su ramificación en las arterias iliacas comunes. Las diferentes patologías asociadas al sistema cardiovascular afectan al resto del organismo y son la principal causa de mortalidad en los países desarrollados. Se estima que 17.5 millones de personas murieron por enfermedades cardiovasculares en 2005, representando el 30 % del total de defunciones. En España, en 2007, fueron la primera causa de muerte, representando el 32,2 % del total de defunciones [12]. Entre las patologías cardiovasculares destacan las relacionadas con la aorta. El aneurisma es una de las patologías que afectan a la aorta. Consiste en la dilatación de las paredes arteriales, produciendo cambios en las características hidromecánicas del flujo sanguíneo. Si no se trata adecuadamente, el aumento progresivo del aneurisma puede producir la rotura de la aorta, ocasionando una muerte súbita en el 94 % de los casos [9]. Los aneurismas pueden formarse en cualquier zona de la red cardiovascular, si bien en la mayoría de las situaciones tiene lugar en la aorta abdominal[78]. Los aneurismas de aorta ascendente son poco frecuentes ya que están presentes en un 0,0059 % de la población [9]. No obstante, la tasa de mortilidad es considerable: para pacientes con dilataciones de menos de seis centímetros la tasa de mortalidad es del 39 % en el transcurso de cinco 1

2

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Aorta ascendente

Aorta descendente

Aorta abdominal

Arteria iliaca común

Figura 1.1: Dibujo de la aorta desde el corazón hasta las arterias iliacas comunes. Elaboración propia a partir de [51].

años, mientras que para aneurismas de más de seis centímetros de diámetro máximo la tasa asciende al 62 % de los pacientes [29]. En la mayoría de los casos el paciente es de avanzada edad, excepto en los aneurismas originados por un desorden del tejido conectivo, como por ejemplo el síndrome de Marfan o el síndrome de Ehlers Danlos [14][78]. Para reparar los aneurismas de aorta ascendente se realiza la técnica quirúrgica conocida como «técnica de Bentall-Bono», que consiste en la sustitución de la válvula aórtica y toda la aorta aneurismática por un conducto artificial. Los injertos artificiales más utilizados están formados por fibras de Teflon®(ePTFE) o Dacron®(PET). Desde la introducción de los injertos de Dacron® en 1951, se han llevado a cabo estudios que demuestran la poca variabilidad de las propiedades mecánicas del injerto con el tiempo y el poco rechazo producido por el organismo [47][60]. No obstante, las propiedades mecánicas del injerto de Dacron® son diferentes a las presentes en la pared arterial, lo que da lugar a cambios en las características del flujo sanguíneo [85]. Diversos estudios han mostrado que la introducción de un injerto de Dacron® en la aorta aumenta la presión del pulso sistólico, altera la forma de la onda de presión e incrementa la presión en el ventrículo izquierdo del corazón [3][28][50]. El objetivo del presente trabajo fin de máster es caracterizar in vitro el comportamiento mecánico de injertos de aorta ascendente, en concreto de Dacron®, y compararlo con el comportamiento mecánico de la aorta ascendente, con el fin de estimar sus efectos sobre el sistema cardiovascular.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

1.2.

3

Estructura del trabajo

En el capítulo 2 se explica de forma resumida las características más importantes de la aorta ascendente y de los injertos vasculares. Asimismo, se ha descrito la interacción de los injertos de aorta ascendente en el sistema circulatorio, principal motivación para realizar el trabajo fin de máster. En el capítulo 3 se describe el protocolo seguido para la realización de los ensayos, así como las características de cada uno de ellos. En el capítulo 4 se muestran los resultados obtenidos con cada ensayo. Posteriormente, en el capítulo 5 se obtiene un modelo constitutivo del material. Los parámetros del modelo consitutivo y los resultados de los ensayos se comparan con las características mecánicas de la aorta en el capítulo 6. La repercusión y la validez de los resultados se comentan en el capítulo 7 y, por último, se exponen las conclusiones del trabajo fin de máster en el capítulo 8, donde se propondrán trabajos futuros. Se han incluido una serie de apéndices donde se aclaran aspectos expuestos en los diferentes capítulos.

Capítulo 2 Teoría En este capítulo se repasan las principales características de los materiales comparados en el presente trabajo fin de máster: la aorta ascendente y los injertos vasculares, en particular el Dacron®.

2.1. 2.1.1.

La aorta ascendente Anatomía

La aorta ascendente es la zona de la aorta comprendida desde la unión con el corazón, en el anillo valvular aórtico, hasta el tronco braquiocefálico (figura 2.1). La longitud media es de 50 mm, el diámetro medio de 25 mm y el espesor de la pared arterial es aproximadamente de 1,5 mm. No obstante, tanto la longitud como el diámetro varían en función de la edad, el género y los condicionantes fisiológicos. Así, la longitud de la aorta ascendente aumenta con la edad, debido al aumento de la velocidad de la onda del pulso cardiaco [76]. Del mismo modo, el diámetro aumenta un 24 % entre los 25 y los 70 años de edad [74].

2.1.2.

Fisiología

Una de las funciones principales de los vasos de mayor calibre, entre los que se encuentra la aorta ascendente, es la regulación del flujo cardiovascular. Para lograrlo, la aorta ascendente se expande en cada contracción del corazón (sístole) para acomodar el volumen de sangre liberado por el ventrículo izquierdo. Cuando la válvula aórtica se cierra comienza el período de relajación (diástole), momento en que la arteria ascendente sufre una recuperación elástica, liberando la sangre almacenada, de forma que el flujo sanguíneo se 4

5

CAPÍTULO 2. TEORÍA

Figura 2.1: Aorta ascendente. Obtenido de [17]. uniformiza con el tiempo [25][51]. Si no existiera la regulación, el corazón necesitaría emplear más energía para acelerar y desacelerar la sangre entre cada ciclo cardiaco, lo que iría en contra del principio de optimización. El mecanismo por el cual la aorta ascendente regula el flujo cardiovascular es dilatándose mediante un aumento de presión y contrayéndose cuando el aumento de presión cesa, debido a la liberación de la energía elástica almacenada durante la dilatación [88]. Una medida de la dilatación de la aorta durante el período de sístole es el módulo elástico, que relaciona la presión y la deformación [59]. EP =

Psistolica − Pdiastolica Dsistolico −Ddiastolico Ddiastolico

(2.1)

donde Psistolica y Pdiastolica son la presión en el período de sístole y en el período de diástole, respectivamente y Dsistolico y Ddiastolico son el diámetro de la aorta ascendente en el período de sístole y en el período de diástole. Debido a la dependencia del módulo con el rango de presiones fisiológico, Hayashi et al definieron una rigidez que presenta menor dependencia con el rango de presiones fisiológico y puede ser utilizada para medir la dilatación de la aorta ascendente [31]. Rigidez(β) =

ln(Psistolica /Pdiastolica ) Dsistolico −Ddiastolico Ddiastolico

(2.2)

6

CAPÍTULO 2. TEORÍA

Figura 2.2: Sección de la pared de la aorta torácica. La elastina aparece teñida. Obtenido de [91].

La capacidad de dilatación respecto a una variación de presión es la compliancia y, una posible definición es: [31] C=

Rigidez(β) EP

(2.3)

La expansión de la aorta ascendente durante el período de dilatación es aproximadamente dos tercios de su volumen durante el período de relajación. La presión media de una persona joven sana sistólica es aproximadamente 120 mmHg, mientras que la distólica esta alrededor de 80 mmHg; ambas mediciones tomadas en la arteria braquial. [19][51][71]. Las compliancia de la aorta ascendente y sus dimensiones definen las características de la compliancia en el resto de las arterias. La compliancia volumétrica de la aorta ascendente es aproximadamente la mitad que la del total de la aorta [28]. La aorta se vuelve más grande y rígida con la edad, disminuyendo la compliancia [56].

2.1.3.

Histología

La pared vascular de la aorta ascendente presenta diferentes capas (figura 2.2). A continuación se explican las características de cada una de las capas [67].

CAPÍTULO 2. TEORÍA

7

La túnica íntima, es la capa más interna y consta a su vez de tres componentes: - El endotelio, la capa en contacto con el flujo sanguíneo. Está formada por células epiteliales planas o escamosas. - La lámina basal. Es una matriz extracelular cuya función es separar las células del endotelio de otros tipos de células. Está compuesta principalmente de colágeno tipo IV. - La capa subendotelial. Es la capa de transición entre la túnica íntima y la túnica media. Está compuesta por tejido conjuntivo laxo donde, a veces, se pueden encontrar células musculares lisas. En las arterias y arteriolas contiene una lámina de material elástico fenestrado llamada membrana elástica interna. La túnica media, está ubicada entre la túnica íntima y la túnica adventicia. Consiste en estratos circunferenciales de células musculares lisas, elastina, fibras reticulares y proteoglucanos. En las arterias esta capa es más gruesa que en las venas, extendiéndose desde la membrana elástica interna hasta la membrana elástica externa, ambas membranas formadas por elastina. La túnica adventicia. Se trata de la capa más externa de los vasos. Está compuesta principalmente por colágeno y algunas fibras elásticas. En la aorta ascendente esta capa es delgada. Las grandes arterias contienen una alta proporción de elastina, mientras que las venas presentan menos elastina y mayor contenido de colágeno. Como se explica en el apartado siguiente, esta es la razón por la que la aorta ascendente presenta la mayor compliancia de todos los vasos [72].

2.1.4.

Comportamiento mecánico

El comportamiento mecánico global de la aorta ascendente depende directamente del comportamiento de cada uno de sus componentes: el colágeno, la elastina y, en menor medida, las células del músculo liso. En el rango de funcionamiento fisiológico, la elastina presenta un comportamiento elástico y lineal, con un modulo elástico aproximadamente de 1 MPa. Por su parte, el colágeno presenta también un comportamiento cuasilineal en el rango fisiológico, con un módulo elástico aproximado de 100 MPa [71]. Debido a la orientación de las fibras de colágeno en la pared arterial, el comportamiento mecánico es anisótropo [27]. La deformación inicial de la pared arterial se

8

CAPÍTULO 2. TEORÍA Colágeno y elastina

Presión n

Músculo liso y elastina

120 mmHg Rango g fisiológico

Arteria Colágeno

80 mmHg Elastina Deformación

Figura 2.3: Comportamiento no lineal de las arterias. Elaboración propia a partir de [93]

debe a la elasticidad de la elastina. A medida que la pared se deforma, las fibras de colágeno entran en carga, disminuyendo la compliancia [7][71]. En la figura 2.3 se aprecia el comportamiento de cada componente y el comportamiento global de la arteria. Desde el punto de vista termodinámico, los componentes que forman la pared arterial presentan un comportamiento similar al que tienen los polímeros, calentándose al extenderse y enfriándose cuando se contraen. Debido al intercambio de calor con el medio circundante el comportamiento en carga y descarga es diferente, efecto que se conoce como histéresis [68].

2.1.5.

Aneurismas

El aneurisma es una patología vascular, consistente en la dilatación localizada que se produce en un vaso sanguíneo. Las causas de la aparición de los aneurismas no es del todo conocida. En 1928 Gsell afirmó que la causa de la aparición de aneurismas era la degeneración de la túnica media como consecuencia de la pérdida de células de músculo liso [23]. Por su parte, Cellina en 1931, propuso que la causa primera en la aparición de los aneurismas era la lesión de la elastina, y por lo tanto era independiente de las células del músculo liso presentes en la túnica media [77]. En la actualidad se cree que la causa de los aneurismas se debe a los dos mecanismos [75]. No obstante, se han encontrado casos de aortas

CAPÍTULO 2. TEORÍA

9

no dilatadas con fragmentación en la elastina y pérdida de músculo liso, lo que apunta a que la túnica media se regenera. No obstante, la degeneración progresiva de la túnica media juega un papel importante en la patogénesis de la aorta ascendente en personas de edad avanzada [70][78]. La pérdida de tejido en la túnica media está relacionada con proteinasas elastolíticas producidas por infiltración de leucocitos y células vasculares, como la metaloproteinasa de la matriz. La actividad de estas enzimas, que degradan la matriz, está modulada por activadores, como la plasmina, e inhibidores como el tejido inhibidor de metaloproteinasas, que se encuentra en el microambiente aneurismático[20][46][64][81]. La dilatación que se produce en los aneurismas está directamente relacionada con el diámetro que tienen, por lo que, una vez producidos, tienden a aumentar[90]. Debido a que el coste de reparación es muy alto, conviene conocer el comportamiento del aneurisma, para disponer de criterios fijos que determinen el momento para reparar el aneurisma, siempre y cuando el riesgo de rotura sea mayor que el riesgo de la reparación [63]. La aparición de aneurismas de gran tamaño está relacionada con la edad[49], debido al aumento del diámetro y la rigidez del vaso, aumentando la presión sistólica y disminuyendo la diastólica [30][56].

2.2.

Injertos

Los injertos vasculares son utilizados para sustituir un vaso cardiaco cuando su comportamiento es insuficiente. Los tipos de injertos vasculares se pueden dividir en dos categorías principales: injertos biológicos e injertos sintéticos. Los injertos biológicos pueden ser a su vez autólogos, homólogos o heterólogos. La mayoría de los injertos son sintéticos[92].

2.2.1.

Injertos biológicos

Los vasos autólogos se utilizan como injerto vascular, siendo la vena safena y la arteria interna mamaria las más utilizadas, especialmente para remplazar las arterias coronarias [16][34][35][41]. . Existen varios problemas relacionados en la implantación de venas autólogos. Cabe destacar la degradación que sufren cuando cuando están expuestos a la circulación, y el limitado número de venas disponibles para su uso sin afectar la circulación sanguínea [35][36][55][82]. Los vasos homólogos y heterólogos presentan inconvenientes que los autólogos; por lo que su uso ha disminuido a favor de la utilización de injertos sintéticos [92].

CAPÍTULO 2. TEORÍA

10

Figura 2.4: Diferentes tejidos de Dacron®, (a) tipo knitted y (b) tipo woven, con microscopio electrónico. Obtenido de [92]

2.2.2.

Injertos sintéticos

El primer conducto vascular sintético lo desarrolló Voorhees en 1952 [89]. El tejido estaba formado por Vinyon N, una fibra proveniente del vinilo y utilizada principalmente en paracaidismo. Posteriormente se utilizaron otros materiales como el Nylon [73]. Estos materiales están en desuso ya que no resisten bien las deformaciones y presentan inestabilidades estructurales [2]. Desde 1957 el Dacron® está disponible clínicamente [79]. Posteriormente apareció el Teflon®, el cual dejó de utilizarse pronto por considerarse rígido y difícil de manejar. En 1972 apareció un Teflon® modificado con un anillo de soporte (politetrafluoretileno expandido), que se sigue utilizando en la actualidad [87]. El injerto de Dacron® se utiliza comunmente en grandes arterias, mientras que el Teflon® es comunmente usado en vasos de tamaño medio. También se han realizado estudios para desarrollar injertos con propiedades mecánicas similares a las del tejido nativo, por medio de ingeniería de tejidos y la utilización de nuevos materiales [65][80][83]. 2.2.2.1.

Dacron®

El Dacron®, que originalmente fue una marca de la casa comercial DuPont, se ha utilizado comunmente en el lenguaje médico, en vez de polietileno teraftalato, material del que están hechas sus fibras[87]. Los filamentos de Dacron® se agrupan en tiras (de 20 a 54 filamentos cada una). Las tiras se pueden distribuir tipo woven, con un entrelazado en ángulos rectos y baja porosidad, o tipo knitted, con un entrelazado pobre y mayor porosidad [53]. En la figura 2.4 se puede observar los dos tipos de tejidos de Dacron®. El tejido de Dacron® tipo knitted presenta mayor compliancia y facilidad

CAPÍTULO 2. TEORÍA

11

de manejo que el tipo woven. Ademas, presenta mayor porosidad, del orden de 1500 ml/cm2 /min, lo que promueve el anclaje al tejido adyacente. No obstante, muestran mayor pérdida de resistencia que los tejidos woven, ya que retienen peor la fuerza que se produce en la sutura [43][57]. Una importame mejora de los injertos de Dacron® se produce añadiendo recubrimientos (velour coation), que proporciona a los filamentos un tacto suave y mejora la adhesión de la neoíntima y la cápsula exterior [24][69]. Actualmente todas las prótesis están recubiertas o impregnadas por un sellante (colágeno, albúmina, o gelatina) [92]. Inconvenientes de los injertos de Dacron® Uno de los inconvenientes de los injertos de Dacron® son los fallos intrínsecos que presenta. Los fallos intrínsecos de injertos vasculares se definen como la incapacidad del injerto de mantener su función e integridad estructural despúes de la implantación [53]. Estos fallos ocurren aproximadamente despúes de siete años aproximadamente; sin embargo las probabilidades de ocurrencia son bajas, entre el 0,5 % y el 3 %. Los injertos de Dacron® tipo Woven son más resistentes y presentan menos fallos estructurales, con incidencias del 2 %[8][87]. El típico fallo estructural es la aparición de aperturas y, en algunos casos, rotura total con pseudoaneurismas localizadas en mitad del injerto [45][52]. Casi todos los injertos de Dacron® se dilatan una media de un 18 % justo despúes de la inserción [54]. Estos cambios son inherentes al material y pueden ser predecibles por medio de ensayos mecánicos, por lo que si la dilatación es moderada (entre el 10 % y el 20 %), no se define como fallo estructural[61]. Pese a todas las cifras, es imposible determinar la frecuencia exacta de degeneración de las prótesis vasculares. Una causa de que se reporten menos casos de los que realmente ocurren es que el fallo del injerto origina defectos trombóticos, ignorándose la posible causa debida a la prótesis. Además, existe una continua evolución en la fabricación de injertos, por lo que es difícil realizar comparaciones [87]. Las incidencias de fallos estructurales en prótesis modernas de Dacron® son raras; no obstante, puede ser raro porque los cambios son observados desde hace cinco años o menos [52]. Otra causa de los fallos estructurales es la fatiga producida por el flujo sanguíneo, produciendo fisuras [8]. También la diferencia en compliancia entre el tejido y los recubrimientos, ya que los pseudoaneurismas se producen entre ellos [1]. Además, la degradación del polímero puede causar fallos estructurales. Es posible que después de años de implantación la composición macromolecular del polietileno se fragmente por causas hidrolíticas. Estos cambios podrían

CAPÍTULO 2. TEORÍA

12

provocar el rechazo del injerto por parte del organismo, acumulándose células multinucleadas en la vecindad del injerto defectuoso [22][48]. También se producen daños en la fabricación del injerto, debido al sobrecalentamiento, estiramiento excesivo o esterilización por medio de rayos gamma o beta [62]. Sin embargo los daños debidos a la fabricación son cuestionables, ya que la fabricación está estandarizada y controlada por ordenador; además, las propias compañías prefieren esterilizar con óxido de etileno, para mantener la integridad del material [62]. Las zonas de mayor debilidad de los injertos es la unión del injerto con el tejido adyacente y el área de marcada con un color diferente, que sirve para mantener la alineación en el momento de la implantación [8][11]. Por otra parte, las propiedades mecánicas del Dacron® diferen de la aorta, afectando la hemodinámica del sistema circulatorio [85] y promoviendo la aparición de hiperplasia íntima [5][6]. La hiperplasia íntima se debe a una variedad de efectos relacionados con el daño del endotelio [39]. El componente de la hiperplasia íntima es un 20 % células musculares lisas vasculares, que han migrado desde la túnica media a la túnica íntima y han proliferado y depositado matriz extracelular, que ocupa entre el 60 y el 80 % del área íntima. La superficie puede estar formada por células endoteliales, dependiendo del tiempo y la magnitud desde que se inició el daño [39]. La hiperplasia íntima es la mayor causa de complicaciones de trombos en un período entre dos y cuatro meses después de una intervención vascular [10][13][39]. Se ha mostrado que los cambios en esfuerzo cortante y las interacciones entre el esfuerzo cortante y la deformación circunferencial pueden ser causantes de hiperplasia íntima [4][32][35][39]. El injerto de Dacron® en la aorta ha mostrado un incremento en la reducción de la compliancia de la arteria [33][38]. Además, aumenta el pulso sistólico, altera la forma de la onda de presión e incrementa la carga ventricular [4][28][50]. A la vista de los inconvenientes, el injerto ideal de Dacron® debe estar disponible con facilidad, durar más que la arteria que la acoge, resistir deformaciones, no producir infecciones y no producir rechazo. Además, las características mecánicas deben ser similares a las del vaso donde se coloca. Se han realizado investigaciones para incorporar en el injerto sustancias como factores de crecimiento, anticoagulantes y antibióticos, así como capas celulares que se asemejen al endotelio de la aorta[48].

Capítulo 3 Materiales y métodos 3.1.

Materiales

Todas las probetas utilizadas en los ensayos se han extraido a partir de un tubo de Dacron® hilado tipo Woven con doble cobertura, de poliester y colágeno bovino (Hemashield Platinum, Boston Scientific Corporation), suministrado por el Hospital Puerta de Hierro de Majadahonda (figura 3.1). El diámetro interior y exterior del tubo es, respectivamente, 33, 00 ± 0, 05 mm y 34, 70±0, 05 mm, medido con un calibre cuya resolución es de 0, 05 mm. Asimismo, se ha hallado la densidad del Dacron® con una balanza de precisión (Precisa XT220A), midiendo la masa de la probeta seca y sumergida en un líquido de densidad conocida, obteniéndose un valor de 0, 97 ± 0, 01 gr/cm3 . El tejido de Dacron® presenta dos direcciones principales de hilado, una en dirección longitudinal al tubo y otra en dirección circunferencial [88]. Por esta razón se ha hecho la hipótesis de que las direcciones principales de tensiones y deformaciones coinciden con la dirección radial, circunferencial y longitudinal.

Figura 3.1: Tubo de Dacron®. 13

14

CAPÍTULO 3. MATERIALES Y MÉTODOS

CIRCUNFERENCIAL LONGITUDINAL

Figura 3.2: Extracción de las probetas del tubo. 5.0

15.0 2.5

7.5

3.0 4.0

8.0

R1.5

1.5

R3.0 4.5 9.0

Figura 3.3: Dimensiones de las probetas utilizadas en los ensayos. En milímetros.

Se han realizado ensayos en las direcciónes circunferencial y longitudinal. En la figura 3.2 se muestra de forma esquematizada la extracción de las probetas del tubo. Se han diseñado las probetas con dos tamaños diferentes, de forma que se pueda evaluar la influencia de la geometría en los resultados finales. De aquí en adelante a la probeta de menor tamaño se la denominará, pequeña, y a la probeta de mayor tamaño, grande. La forma de las probetas es de «hueso de perro» (dog-bone) para conseguir tensiones uniformes en el centro de la probeta [42]. Las dimensiones de cada probeta aparecen en la figura 3.3. Las probetas se han cortado con una grabadora láser (8010 Trotec Speedy 100 ). Se han realizado varias pruebas para obtener los parámetros de corte que menos afectan a las propiedades mecánicas del Dacron®. Las distintas pruebas se encuentran explicadas en el apéndice A. Debido a la forma del tubo de Dacron®, la sección transversal de la probeta presenta una geometría distinta dependiendo de la dirección de extracción. En la figura 3.4, aparecen las medidas de las secciones transversales en cada dirección, para la probeta grande. Todas las medidas de las dimensiones de la sección transversal se han realizado con un perfilómetro de 0,001 mm de resolución. El espesor del tubo es de 0, 50 ± 0, 02 mm. En el cuadro 3.1 aparecen las áreas en la sección transvesal del centro de las probetas. Para realizar los ensayos mecánicos se ha utilizado una máquina electromecánica Instron 5543A. Asimismo,se han utilizado dos células de carga Instron para ensayos estáticos, de 100 N y de 5 N , dependiendo del ensayo realizado.

15

CAPÍTULO 3. MATERIALES Y MÉTODOS Circunferencial

Longitudinal

1.4

0.5 0.9

0.5 3.0

3.0

Figura 3.4: Sección transversal de la probeta grande. En milímetros. Dirección Probeta Circunferencial (mm2 ) Longitudinal (mm2 ) Pequeña 1,20±0,06 0,75±0,04 Grande 2,4±0,1 1,50±0,07 Cuadro 3.1: Áreas de las secciones transversales de las probetas.

3.2.

Métodos

En todos los ensayos realizados, las probetas se han introducido en un recipiete lleno de suero fisiológico (vitulia 0,9 %) y se han mantenido a una temperatura de 37 ± 1 ◦ C. Para tal fin, se situó la probeta en un recipiente estanco, conectado a un agitador magnético con calefacción y termómetro (J.P. Selecta Agimatic N ) mediante un circuito cerrado (figura 3.5). Como indica la figura 3.5, se colocó una cámara digital (U-eye) para medir los desplazamientos entre dos puntos de la probeta. Los puntos se marcaron en las probetas con un rotulador para piel (Devon® Skin Marker). Posteriormente, las cabezas de las probetas se colocaron en unas mordazas

BÁSTIDOR MÓVIL CÉLULA DE CARGA CIRCUITO CERRADO DE SUERO FISIOLÓGICO A 37 ± 1 ºC

DATOS DE FUERZA CÁMARA

PROBETA

DATOS DE DESPLAZAMIENTO

Figura 3.5: Circuito cerrado para la realización de los ensayos mecánicos. Elaboración propia a partir de [21]

CAPÍTULO 3. MATERIALES Y MÉTODOS

16

Puntos

Figura 3.6: Probeta pintada con puntos sujeta por las mordazas. Señalados con flechas.

y se fijaron por medio de tornillos y con pegamento de base de cianoacrilato (figura 3.6). Las mordazas se colocaron en barras verticales según la dirección de desplazamiento de la máquina electromecánica. Para asegurar que la fuerza se transmita en dirección axial a la probeta se ha dispuesto una rótula en la barra superior. Los ensayos realizados, que se explican en los apartados siguientes, son ensayos de tracción, ensayos de relajación y ensayos con historia de cargas variables.

3.3.

Ensayos de tracción

Los ensayos de tracción uniaxial tienen como objetivo conocer el comportamiento mecánico del Dacron® en una dirección de tensiones y deformaciones bajo condiciones termodinámicas constantes (ensayo cuasiestático). Se han realizado ensayos a distintas velocidades del bastidor, distintas direcciones principales y distintos tamaños de probeta, hasta la rotura del material. Durante los ensayos de tracción se midieron la fuerza y los desplazamientos en el sentido axial de la probeta. La fuerza se registró con una célula de carga de 100 N . La cámara digital se configuró para capturar diez imágenes por segundo. Para hallar la fuerza neta que presenta la probeta en sentido axial se tuvo en cuenta la fuerza ejercida por las barras y mordazas y el empuje del suero, que se obtuvo mediante un ensayo sin probeta bajo las mismas condiciones que el ensayo mecánico. Con la curva que relaciona la fuerza con la deformación entre las mordazas se obtuvo la curva tensióndeformación del material. En el cuadro 3.2 se muestran los ensayos realizados y las características de cada uno.

CAPÍTULO 3. MATERIALES Y MÉTODOS Nombre Probeta TGC1 Grande TGC2 Grande TGL1 Grande TGL2 Grande TPC1 Pequeña TPC2 Pequeña TPL1 Pequeña TPL2 Pequeña

17

Dirección Velocidad (mm/s) Circunferencial 0,03 Circunferencia 0,03 Longitudinal 0,03 Longitudinal 0,03 Circunferencial 0,03 Circunferencial 0,01 Longitudinal 0,03 Longitudinal 0,01

Cuadro 3.2: Características de los ensayos de tracción. La tensión y la deformación se han definido, respectivamente: σ=

F A

=

l l0

(3.1)

donde F es la fuerza aplicada sobre la probeta, A es la sección transversal de la probeta cuando la fuerza sobre la probeta es nula, indicada en el cuadro 3.1, l es la longitud de la probeta entre dos puntos, l0 es la longitud de la probeta entre dos puntos cuando la fuerza neta aplicada sobre la probeta es nula. Para hallar la deformación se ha utilizado la longitud entre mordazas y la longitud mostrada por la cámara. El proceso de obtención de la curva tensión-deformación de las probetas está explicado en el apéndice B.

3.4.

Ensayos de relajación

Los ensayos de relajación tienen como objetivo medir la pérdida de tensión que experimenta la probeta cuando la deformación es constante. Constan de una rampa de tracción hasta alcanzar una deformación constante, momento en que la fuerza es máxima; y un período de relajación hasta un tiempo determinado. El control sobre los ensayos se realiza imponiendo la velocidad del desplazamiento y la fuerza máxima en la célula de carga. Los ensayos se han realizado con la probeta pequeña y la célula de carga de 5 N . El procedimiento para obtener la curva tensión-deformación ha sido el mismo que el utilizado en los ensayos de tracción. En el cuadro 3.3 se explican las características de los ensayos realizados, donde la fuerza máxima indica la fuerza neta máxima sobre la probeta.

18

CAPÍTULO 3. MATERIALES Y MÉTODOS Velocidad Fuerza máxima Nombre Dirección (mm/s) (N ) RC1 Circunferencial 0,03 1,14 RC2 Circunferencial 0,01 3,77 RL1 Longitudinal 0,03 1,92 RL2 Longitudinal 0,01 2,91

tiempo (s) 2000 7000 1700 6600

Cuadro 3.3: Características de los ensayos de relajación. VC1 Dirección circunferencial Velocidad de desplazamiento = 0,001 mm/s

VC2 Dirección circunferencial Velocidad de desplazamiento = 0,0001 mm/s 5.5

Distancia entre mordazas (mm)

Distancia entre mordazas (mm)

5.5

5

4.5

4

5

4.5 0

500

1000

1500

2000

Tiempo (s)

2500

3000

3500

0

2000

4000

6000

8000

1 10

4

1.2 104

Tiempo (s)

Figura 3.7: Historia de carga de los ensayos realizados con las probetas circunferenciales.

3.5.

Ensayos con historia de cargas variables

Los ensayos uniaxiales con historia de cargas variables consisten en la aplicación de una serie de cargas seguidas de períodos de relajación. El control sobre el ensayo se realiza imponiendo el tiempo de relajación de cada tramo, la velocidad del desplazamiento y las fuerzas a alcanzar sobre la célula de carga. La curva tensión-deformación se ha hallado por el mismo procedimiento que el utilizado en los ensayos de tracción. Todos los ensayos se han realizado con la probeta pequeña y una célula de carga de 5 N . En las figuras 3.7 y 3.8 aparece la distancia entre las mordazas mordazas en función del tiempo.

19

CAPÍTULO 3. MATERIALES Y MÉTODOS

VL1 Dirección longitudinal Velocidad de desplazamiento = 0,001 mm/s

VL2 Dirección longitudinal Velocidad de desplazamiento = 0,0001 mm/s 10.5

Distancia entre mordazas (mm)

Distancia entre mordazas (mm)

12

11

10

9

8

7

10 9.5 9 8.5 8 7.5 7

0

500

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Tiempo (s)

0

4 4 4 4 2000 4000 6000 8000 1 10 1.2 10 1.4 10 1.6 10

Tiempo (s)

Figura 3.8: Historia de carga de los ensayos realizados con las probetas longitudinales.

Capítulo 4 Resultados En el capítulo 3 se han explicado los materiales y métodos empleados en cada tipo de ensayo mecánico realizado. El objetivo de este capítulo es mostrar los resultados obtenidos una vez que se han hallado las tensiones y deformaciones, según lo explicado en el apéndice B. Los ensayos de tracción uniaxial han servido para determinar el comportamiento del Dacron® en distintos rangos de tensiónes. Por su parte, los ensayos de relajación y con cargas variables se han realizado en rangos de tensiónes cercanos a los que tendría la probeta en condiciones fisiológicas. En el capítulo 5 se hace uso de los resultados de los ensayos de relajación y con cargas variables para obtener un modelo constitutivo del material. Todas las discusiones a los resultados mostrados en este capítulo se encuentran en el capítulo 7.

4.1.

Ensayos de rotura

La figura 4.1 muestra los resultados de los ensayos uniaxiales de traccion realizados en dirección circunferencial y longitudinal, respectivamente. La leyenda corresponde con los nombres de los ensayos mostrados en el cuadros 3.2. Para comprobar la repititividad de los resultados se ha simplificado la curva en tres tramos y se ha hallado la recta que se aproxima a la curva en esos tres tramos mediante el algoritmo de Levenberg -Marquardt. En la figura 4.2 se observa de forma equematizada los tramos escogidos para hallar las rectas. En el cuadro 4.1 se muestra la pendiente de la recta en los tres tramos analizados. Los parámetros medios se encuentran en el cuadro 4.2. 20

21

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

Ensayos de tracción Dirección circunferencial

Ensayos de tracción Dirección longitudinal

30

30 TGC1 TGC2 TPC1 TPC2

TGL1 TGL2 TPL1 TPL2

25

20

Tensión (MPa)

Tensión (MPa)

25

15

10

5

20

15

10

5

0

0 1

1.5

2

2.5

3

1.2

Deformación (L/Lo)

1.6

2

2.4

2.8

Deformación (L/Lo)

Figura 4.1: Curva tensión-deformación de los ensayos de tracción uniaxial.

Rectas obtenidas 30

Tensión (MPa)

25

20

E3

15 E2 10

5

E1

0 1

1.5

2

2.5

3

Deformación (L/Lo)

Figura 4.2: Situación de las pendientes halladas en las curvas tensión-deformación.

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

22

Nombre E1(M P a) E2(M P a) E3(M P a) TGC1 57 12 36 TGC2 58 11 34 TGP1 62 12 32 TGP2 55 9 35 TGL1 33 10 29 TGL2 32 10 26 TPL1 35 9 25 TPL2 31 10 27 Cuadro 4.1: Módulos de elasticidad de la curva tensión-deformación. Dirección E1(M P a) E2(M P a) E3(M P a) Circunferencial 58 ± 1 11, 0 ± 0, 7 34, 7 ± 0, 8 Longitudinal 32, 7 ± 0, 8 9, 7 ± 0, 2 26, 7 ± 0, 8 Cuadro 4.2: Valores medios de las pendientes en las curvas tensión-deformación.

4.2.

Ensayos de relajación

En las figuras 4.3 y 4.4 se muestran la historia de tensiones y deformaciones a lo largo del tiempo para los ensayos en dirección circunferencial y longitudinal, respectivamente. También se han realizado gráficas adimensionales, situando el tiempo inicial en el momento en que la deformación es constante (figura 4.5).

4.3.

Ensayos con historia de cargas variables

Los ensayos con historia de cargas variables tienen dos objetivos: por un lado mostrar la relajación que experimente la tensión de una probeta para distintos valores de deformación; por otro lado, inferir la curva tensióndeformación del material cuando se encuentra en todo momento en condiciones de equilibrio termodinámico. Los ensayos se han nombrado según la nomenclatura mencionada en el capítulo 3. En las figuras 4.6 y 4.7 se observa la historia de tensiones y deformaciones para distintas probetas. A partir de las curvas tensión-deformación se ha estimado la curva en situación de equilibrio termodinámico, bajo la suposición de que el material a tiempo infinito se comporta de forma elástica (figura 4.8).

23

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

Ensayo de relajación RC1

Ensayo de relajación RC2 2

1.15

1.35

4 3.5

1.05

Deformación

Tensión

0.5

3

1.25

2.5 1.2 2 1.15

Deformacion

Tension

1.1

1

1.05 1 0

500

1000

1500

2000

0 2500

1.5

Tensión (MPa)

1

Deformación (L/Lo)

1.5 1.1

Tensión (MPa)

Deformación (L/Lo)

1.3

0.5

1 0

1000

2000

Tiempo (s)

3000

4000

5000

6000

0 7000

Tiempo (s)

Figura 4.3: Historia de tensiones en los ensayos de relajación en dirección circunferencial.

Ensayo de relajación RL1 1.6

2.5

1.5

1.5 1.2 1

Deformacion

1.1

1 500

1000

Tiempo (s)

4

1.4 3 1.3 2 Deformación

1.2

Tensión

Tension 0.5

0

5

1500

0 2000

Tensión (MPa)

2 1.3

Tensión (MPa)

Deformacion (L/Lo)

1.4

Ensayo de relajación RL2 3

Deformación (L/Lo)

1.5

1

1.1

1 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 7000

Tiempo (s)

Figura 4.4: Historia de tensiones en los ensayos de relajación en dirección longitudinal.

24

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

Ensayos de relajación en dirección circunferencial

Ensayos de relajación en dirección longitudinal 1

RC1 RC2

0.8

Tensión relativa (s/smax)

Tensión relativa (s/smax)

1

0.6

0.4

0.2

RL1 RL2

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0

7000

1000

2000

3000

Tiempo (s)

4000

5000

6000

7000

Tiempo (s)

Figura 4.5: Historia de tensiones en los ensayos de relajación. Gráficas adimensionales.

Ensayo VC1 Deformación

Ensayo VC2 Tensión

1.16

1.08

1.5

1.06

1

1.04 0.5

1.02 1 0

500

1000

1500

2000

Tiempo (s)

2500

3000

0 3500

1

1.1 0.8 1.08 0.6 1.06 0.4

Tensión (MPa)

2

Deformación (L/Lo)

1.12 1.1

1.2

1.12

2.5

Tensión (MPa)

Deformación (L/Lo)

1.14

3

1.14

Tensión

Deformacion

1.04 0.2

1.02 1 0

2000

4000

6000

8000

1 10

4

0 1.2 104

Tiempo (s)

Figura 4.6: Historia de tensiones y deformaciones en dirección circunferencial.

25

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

Ensayo VL2

Ensayo VL1 Deformación

Tensión

1.4

2

1.3

1.5

1.2

1

1

1.1

0.5

0 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

1

Deformación (L/Lo)

1.4 3 1.3 2 1.2

1.1

500

Deformación (L/Lo)

4

0

Tensión (MPa)

2.5

Tensión (MPa)

1.5

1.5

0

Tensión

5

1.6

1

Deformación

0 2000 4000 6000 8000 1 104 1.2 1041.4 1041.6 104

Tiempo (s)

Tiempo (s)

Figura 4.7: Historia de tensiones y deformaciones en dirección longitudinal.

Curva tensión-deformación Direccion circunferencial

Curva tensión-deformación Dirección longitudinal 5

3 VC1 VC2 CURVA DE EQUILIBRIO

VL1 VL2 CURVA DE EQUILIBRIO

4

2

Tensión (MPa)

Tensión (MPa)

2.5

1.5

1

3

2

1

0.5

0

0 1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

Deformación (L/Lo)

1.12

1.14

1.16

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

Deformación (L/Lo)

Figura 4.8: Curva tensión-deformación de los ensayos de cargas variables y curva tensión-deformación inferida.

Capítulo 5 Modelo constitutivo El objetivo de este capítulo es obtener un modelo constitutivao del Dacron® a partir de los resultados del capítulo 4. Para realizar el modelo se han asumido las siguientes suposiciones: El tejido de Dacron® no experimenta cambios de temperatura en el interior del cuerpo humano. El tejido de Dacron® no experimenta cambios de masa cuando está implantado en el cuerpo humano. Por lo tanto, no se tiene en cuenta la formación de células endoteliales ni pérdida de tejido [94]. En el rango de presiones fisiológicas el tejido del Dacron® se comporta de forma lineal.

5.1.

Ecuaciones constitutivas

Se ha supuesto que las tensiones que experimenta el Dacron® a lo largo del tiempo varían tanto con la deformación aplicada como con la velocidad de deformación [84]. Para simular este efecto los modelos más utilizados se basan en dos sistemas físicos: el muelle y el amortiguador (figura 5.1). El muelle simula la relación lineal entre las tensiones y las deformaciones; mientras que el amortiguador simula la relación lineal entre la tensión y la velocidad de deformación. El comportamiento del muelle queda definido por la relación directa entre la tensión y la deformación (fórmula 5.1). σ = k

(5.1)

donde σ es la tensión  es la deformación y k es un parámetro, conocido como el módulo de elasticidad, que depende del material. 26

CAPÍTULO 5. MODELO CONSTITUTIVO

27

Figura 5.1: Representación del muelle (izquierda) y el amortiguador (derecha). Obtenido de [18].

Por su parte, el comportamiento del amortiguador viene definido por una constante y la derivada de la deformación frente al tiempo. (fórmula 5.2) σ=η

d dt

(5.2)

donde σ es la tensión  es la deformación η es un parámetro conocido como coeficiente de viscosidad, que depende de cada material. Existen experimentos en la literaturaque muestran que los polímeros se ajustan al modelo formado por la combinación de elementos de muelles y amortiguadores colocados en serie y en paralelo [40][44] . La unión en serie del amortiguador y del muelle es un modelo conocido como modelo de Maxwell, mientras que la unión en paralelo denomina modelo de Voigt (figura 5.2). La ecuación constitutiva del modelo de Maxwell viene definida por la ecuación 5.3; mientras que la ecuación constitutiva del modelo de Voigt se muestra en la ecuación 5.4 d η dσ =η (5.3) σ+ k dt dt σ = k + η

d dt

(5.4)

Observando la ecuación 5.3 y la ecuación 5.4, es posible construir un modelo generalizado, donde aparecen derivadas de mayor orden, que se rige por la siguiente ecuación: p0 σ +

N X k=1

pk

M X dk σ dk  = q  + q 0 k dtk dtk k=1

(5.5)

CAPÍTULO 5. MODELO CONSTITUTIVO

28

Figura 5.2: Modelo de Maxwel (izquierda) y modelo de Voigt (derecha). Obtenido de [18].

Cada uno de los coeficientes pk y qk dependen del material estudiado y se determinan por ensayos mecánicos. El número de parámetros que se tienen que obtener para caracterizar el material depende de los valores N y M de la fórmula 5.5 y son N + M + 1, ya que se puede dividir la ecuación por uno de los parámetros, de forma que una de las variables se encuentre libre. La deformación presente en la fórmula 5.5 está definida de forma que se anula cuando la tensión es nula, según la fórmula intrínseca del muelle y del amortiguador; por lo tanto se ha definido la deformación como la dada en la fórmula 3.1 menos la unidad. En los siguientes apartados se obtendrán los coeficientes necesarios para ajustar el modelo generalizado a cada uno de los ensayos realizados. Se ha utilizado la desviación típica como error de los parámetros del material y el coeficiente de correlación de Pearson como medida de la precisión del modelo (apéndice C). Solamente se han admitido los modelos con un coeficiente de correlación de Pearson mayor a 0,95.

5.2.

Ensayos de relajación

En una primera aproximación se ha supuesto que la historia de tensiones que experimenta el material durante la relajación no depende de la velocidad de deformación durante el período de carga. Asimismo, se ha establecido el tiempo inicial como el momento en que la deformación es constante. La ecuación general, suponiendo que la influencia de la velocidad de deformación

29

CAPÍTULO 5. MODELO CONSTITUTIVO en el período de carga es despreciable, es la siguiente: p0 σ +

N X

pk

k=1

dk σ = q0  dtk

(5.6)

La solución general de la ecuación 5.6 viene desarrollada en el apéndice D y es la siguiente: N X q0 (5.7) σ= Ak erk t +  p0 k=1 donde rk son cada una de las raíces de la siguiente ecuación: p0 σ +

N X

pk r k = 0

(5.8)

k=1

y los parámetros Ak se obtienen mediante la siguiente operación matricial:         

A1 A2 A3 .. . AN





       

       

=

1 r1 r1 2 .. .

1 r2 r2 2 .. .

1 r3 r3 2 .. .

... ... ... .. .

1 rN rN 2 .. .

r1 N −1 r2 N −1 r3 N −1 . . . rN N −1

−1         

       

σ|t=0 − pq00  dσ | dt t=0 d2 σ | dt2 t=0 .. . dN −1 σ | dtN −1 t=0

        

(5.9) En una primera aproximación se ha resuelto la ecuación para N igual a la unidad, cuya solución es: "

#

p q0 q0 − 0t σ = σ0 −  e p1 +  p0 p0

(5.10)

Los parámetros obtenidos son los mostrados en la figura 5.3 para los ensayos en dirección circunferencial y en la figura 5.4 para los ensayos en dirección longitudinal. Debido a que el coeficiente de correlación de Pearson es menor a 0,95, se ha realizado el ajuste de parámetros para un valor de N igual a dos. La fórmula obtenida y la respectiva solución es: 2

+ p2 ddt2σ = q0  po σ + p1 dσ dt (5.11) σ = A1 er1 t + A2 er2 t +

q0  p0

donde r1 y r2 son las soluciones a la ecuación 5.8 de segundo orden, y A1 y A2 las soluciones a la ecuación 5.9. En las figuras 5.5 y 5.6 se observan las curvas experimentales y las curvas del modelo del material en los ensayos de relajación en dirección circunferencial y longitudinal.

30

CAPÍTULO 5. MODELO CONSTITUTIVO

Ensayo de relajación en dirección circunferencial Deformación = 1,14 (L/Lo)

Ensayo de relajación en dirección circunferencial Deformación = 1,33 (L/Lo)

2

4 EXPERIMENTO MODELO

3.5 3

Tensión (MPa)

Tensión (MPa)

1.5

EXPERIMENTO MODELO

1

0.5

Valor 139,74000 5,838 0,866

p1/p0 (s) q0/p0 (MPa) Correlación de Pearson

Error 2e-5 0,003

2.5 2 1.5 1 0.5

0

Valor 179,70000 6,471 0,796

p1/p0 (s) q0/p0 (MPa) Correlación de Pearson

Error 2e-5 0,001

0 0

500

1000

1500

2000

2500

0

1000

2000

Tiempo (s)

3000

4000

5000

6000

7000

Tiempo (s)

Figura 5.3: Obtención de los parámetros que mejor se ajustan a las curvas de los ensayos de relajación en dirección circunferencial (N = 1).

Ensayo de relajación en dirección longitudinal Deformación = 1,44 (L/Lo)

Ensayo de relajación en dirección longitudinal Deformación = 1,51 (L/Lo)

3

5 EXPERIMENTO MODELO

2

1.5

1

Valor p1/p0 (s) 79,73200 q0/p0 (MPa) 3,363 Correlación de Pearson 0,811

0.5

EXPERIMENTO MODELO

4

Tensión (MPa)

Tensión (MPa)

2.5

Error 7e-5 0,002

3

2

p1/p0 (s) q0/p0 (MPa) Correlación de Pearson

1

0

Valor 204,32000 4,792 0,764

Error 2e-5 0,001

0 0

500

1000

Tiempo (s)

1500

2000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Tiempo (s)

Figura 5.4: Obtención de los parámetros que mejor se ajustan a las curvas de los ensayos de relajación en dirección longitudinal (N = 1).

31

CAPÍTULO 5. MODELO CONSTITUTIVO

Ensayo de relajación en direccion circunferencial Deformación = 1,14 (L/Lo) Tangente inicial = -0,07 (MPa/s)

Ensayo de relajación en dirección circunferencial Deformación = 1,33 (L/Lo) Tangente inicial = -0.13 (MPa/s)

2

4 EXPERIMENTO MODELO

3.5 EXPERIMENTO MODELO

3

Tensión (MPa)

Tensión (MPa)

1.5

1

Valor Error p1/p0 (s) -407,1500 0,0002 p2/p0 (s^2) 2231,800000 5e-6 q0/p0 (MPa) 5,616 0,001 Correlación de Pearson 0,993

0.5

2.5 2 1.5

Valor Error p1/p0 (s) -832,140000 2e-6 p2/p0 (s^2) 6377,40000 9e-5 q0/p0 (MPa) 6,3189 0,0005 Correlación de Pearson 0,982

1 0.5

0

0 0

500

1000

1500

2000

2500

0

1000

2000

Tiempo (s)

3000

4000

5000

6000

7000

Tiempo (s)

Figura 5.5: Obtención de los parámetros que se ajustan a las curvas de los ensayos de relajación en dirección circunferencial (N = 2).

Ensayo de relajación en dirección longitudinal Deformación = 1,44 (L/Lo) Tangente inicial = -0,15 (MPa/s)

Ensayo de relajación en dirección longitudinal Deformación = 1,51 (L/Lo) Tangente inicial = -0,12 (MPa/s)

3

5 EXPERIMENTO MODELO

2

1.5

Valor Error p1/p0 (s) -394,0200 0,0003 p2/p0 (s^2) 1680,80000 1e-5 q0/p0 (MPa) 3,153 0,001 Correlación de Pearson 0,986

1

0.5

EXPERIMENTO MODELO

4

Tensión (MPa)

Tensión (MPa)

2.5

3

2

p1/p0 (s) p2/p0 (s^2) p3/p0 (MPa) Correlación de Pearson

1

0

0 0

500

1000

1500

2000

0

Tiempo (s)

1000

2000

3000

Valor Error -1198,000000 1e-6 10950,00000 7e-5 4,6113 0,0005 0,984 4000

5000

6000

7000

Tiempo (s)

Figura 5.6: Obtención de los parámetros que se ajustan a las curvas de los ensayos de relajación en dirección longitudinal (N = 2).

32

CAPÍTULO 5. MODELO CONSTITUTIVO Deformación

eN

de dt N

de2 e2 dt

de1 e1 dt

( s 0)

e0

t1

t1’

t 2 t 2’

tN tN’

t

Tiempo

Figura 5.7: Historia general de deformaciones

5.3.

Ensayos con historia de cargas variables

En este apartado se ha utilizado el modelo general de muelles y amortiguadores del apartado 5.1 para simular los ensayos con cargas variables. Debido a la existencia de rampas de deformación se ha considerado tenerlas en cuenta en el modelo. No obstante, no se ha tenido en cuenta la derivada segunda de la tensión con el tiempo, ya que no ha sido necesario para ajustar la curva de manera satisfactoria, ya que se ha obtenido una correlación de Pearson mayor a 0,95 en más de un 95 % de los ensayos. La fórmula utilizada para modelizar los ensayos de historia de cargas variables es la siguiente: p0 σ + p1

d dσ = q0  + q1 dt dt

(5.12)

Asumiendo una historia de cargas donde la aceleración de la deformación es nula en todo instante (figura 5.7), la solución para una historia de cargas cualquiera, en un instante donde la deformación es constante, es la siguiente (apéndice D). p

σ(t)

− p0 t

= σ0 e +e

1

+

p − p0 (t−tk ) 1

q0  p0 0

h

q0 p0



+

PN

p

k=1 e

p1 d | p0 dt k

− p0 (t−tk0 ) d 1 | dt k



− 0 −

q1 d | p0 dt k

i



q1 p0

+

−

q0 p0

q0 p1 p0 2



+

(k − k−1 ) (5.13)

En los ensayos con historia de cargas variables, se ha utilizado la ecuación 5.13 teniendo en cuenta únicamente la rampa de carga anterior a cada tramo. En las figuras 5.8 y 5.9 muestran los distintos períodos de relajación analizados y las curvas del modelo. Los parámetros de ajuste se recogen en los cuadros 5.1, 5.2,5.3 y 5.4.

33

CAPÍTULO 5. MODELO CONSTITUTIVO Ensayo con historia de cargas variables en dirección circunferencial. Ensayo VC1

Ensayo con historia de cargas variables en dirección circunferencial. Ensayo VC2 1.2

3 EXPERIMENTO

3

EXPERIMENTO

2 2

1.5

4 1 1

3

1

MODELO

Tensión (MPa)

Tensión (MPa)

2.5

MODELO

0.8 2 0.6

4

0.4 1

5

0.5

5

0.2

0

0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0

3500

2000

4000

Tiempo (s)

6000

1 104

8000

1.2 104

Tiempo (s)

Figura 5.8: Curvas experimentales y curvas del modelo del material para ensayos de carga variable en dirección circunferencial. Ensayo con historia de cargas variables en dirección longitudinal. Ensayo VL1

Ensayo con historia de cargas variables en dirección longitudinal. Ensayo VL2

5

2.5 EXPERIMENTO

EXPERIMENTO

MODELO

4

MODELO

2

Tensión (MPa)

Tensión (MPa)

3 3 2 2

4

3 1.5

6

2 1

4

1

1

1

5

0.5 5

0

0 0

500

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Tiempo (s)

0

2000 4000 6000 8000 1 104 1.2 104 1.4 104 1.6 104

Tiempo (s)

Figura 5.9: Curvas experimentales y curvas del modelo del material para ensayos de carga variable en dirección longitudinal.

Tramo 1 2 3 4 5

Ensayo p1 /p0 (s) q0 /p0 (M P a) 129,5 ± 0,4 4,618 ± 0,002 169 ± 1 10,050 ± 0,004 154 ± 1 14,310 ± 0,005 98,5 ± 0,6 8,085 ± 0,001 220 ± 2 4,322 ± 0,004

VC1 q1 /p0 (M P a·s) Correlación de Pearson 1000 ± 2 0,995 1,4e5 ± 2000 0,985 1,5e7 ± 7e5 0,983 4e11 ± 5e10 0,979 3e8 ± 2e10 0,982

Cuadro 5.1: Parámetros del modelo para el ensayo VC1.

34

CAPÍTULO 5. MODELO CONSTITUTIVO

Tramo 1 2 3 4 5

Ensayo VC2 p1 /p0 (s) q0 /p0 (M P a) q1 /p0 (M P a·s) 606 ± 2 1,778 ± 0,001 2912 ± 6 386 ± 1 4,514 ± 0,001 1,9e6 ± 3000 544 ± 2 6,705 ± 0,002 3,7e7 ± 8e5 2e4 ± 3000 10 ± 1 1,9e6 ± 6e4 750 ± 3 1,911 ± 0,001 3e8 ± 1e10

Correlación de Pearson 0,992 0,989 0,991 0,970 0,987

Cuadro 5.2: Parámetros del modelo para el ensayo VC2.

Tramo 1 2 3 4 5

p1 /p0 (s) 154,7 ± 0,9 159,3 ± 0,8 118,8 ± 0,7 150,3 ± 0,6 274 ± 2

Ensayo VL1 q0 /p0 (M P a) q1 /p0 (M P a·s) Correlación de Pearson 2,156 ± 0,001 789 ± 2 0,986 4,014 ± 0,002 3,7e6 ± 1e5 0,988 6,043 ± 0,002 2,2e10 ± 2e9 0,983 3,0830 ± 0,0007 1,0e11 ± 7e9 0,993 1,405 ± 0,001 6,5e8 ± 3e7 0,996

Cuadro 5.3: Parámetros del modelo para el ensayo VL1.

Tramo 1 2 3 4 5 6

p1 /p0 (s) 582 ± 1 461 ± 1 718 ± 4 404 ± 2 562 ± 5 149,4 ± 0,6

Ensayo q0 /p0 (M P a) 1,2730 ± 0,0002 2,3200 ± 0,0005 3,170 ± 0,002 1,8730 ± 0,0002 0,3810 ± 0,0002 2,6100 ± 0,0002

VL2 q1 /p0 (M P a·s) Correlación de Pearson 1554 ± 2 0,994 3,6e7 ± 9e5 0,990 8,6e7 ± 4e6 0,983 5.4e12 ± 6e11 0,965 3,8e10 ± 7e9 0,922 3,0e40 ± 1e40 0,956

Cuadro 5.4: Parámetros del modelo para el ensayo VL2.

CAPÍTULO 5. MODELO CONSTITUTIVO

5.4.

35

Análisis de los parámetros

En este apartado se han hallado los parámetros medios del modelo del material de Dacron® . Las curvas de relajación con N igual a dos presentan un coeficiente de correlación de Pearson próximo a la unidad, pero necesitan dos condiciones de contorno: la deformación y la pendiente iniciales. La pendiente de la curva en el momento inicial no se puede obtener de forma precisa debido a la no linealidad de la curva de relajación y al ruido proveniente de la célula de carga. Por esta razón se ha seleccionado el modelo general con dependencia de la velocidad de deformación y N = 1 como modelo constitutivo del material. Se han escogido los resultados de todos los ensayos que presentan un coeficiente de correlación de Pearson mayor a 0,95 y los parámetros con un error relativo menor al 1 %. Los valores medios de cada ensayo se recogen en el cuadro 5.5 y los valores medios finales son los recogidos en el cuadro 5.6. En el capítulo 7 se realiza un análisis estadístico de los datos. Para analizar de una manera más precisa el comportamiento del material es necesario realizar ensayos de relajación a distintias velocidades de deformación, distintas deformaciones constantes y distintos tiempos de relajación; así como ensayos de fatiga y de fluencia. Ensayo p1 /p0 (s) q0 /p0 (M P a) q1 /p0 (M P a·s) VC1 154 8,277 1001 VC2 570 3,727 2912 VL1 171 3,340 789 VL2 462 2,249 1554 Cuadro 5.5: Parámetros medios del modelo en cada ensayo.

p1 /p0 (s) q0 /p0 (M P a) q1 /p0 (M P a·s) 325 ± 15 4, 4 ± 0, 2 1570 ± 70 Cuadro 5.6: Parámetros finales del modelo.

Capítulo 6 Comparación con la aorta ascendente En este apartado se comparan los resultados obtenidos en los capítulos 4 y 5 con las características mecánicas de la aorta ascendente, obtenidas de la literatura. Se han comparado, por una parte, los ensayos de tracción en condiciones cuasiestáticas; y por otra, los parámetros del material que dependen del tiempo. Se han obtenido de la literatura los valores medios de la densidad y espesor de la pared de la aorta ascendente, siendo la densidad aproximada de 1 gr/cm3 y el espesor medio aproximado de 1,5 mm [51]. Los valores del espesor y la densidad del injerto de Dacron® se encuentran en el capítulo 3.

6.1.

Modelo independiente del tiempo

Los datos de la aorta ascendente presentes en esta sección se han obtenido a partir de los trabajos de Claudio García Herrera [21]. Los injertos de Dacron® se implantan en pacientes cuya patología es principlamente el presentar aneursimas aórticos. Por esta razón se han seleccionado únicamente los datos procedentes de pacientes con aneurismas y con aortas en estado sano. Asimismo, se ha escogido la media de los resultados para el grupo de pacientes entre 38 y 62 años. En la figura 6.1 se observan los resultados de los ensayos de tracción. La definición de tensión y deformación es la dada en la fórmula 3.1. Se ha realizado un análisis del módulo de elasticidad de las curvas presentes en la figura 6.1. Debido a que las curvas no son rectas se han obtenido valores aproximados. De este modo, en el caso de la dirección circunferencial, el Dacron® presenta un módulo elástico en torno a 20.000 kP a, la arteria 36

37

CAPÍTULO 6. COMPARACIÓN CON LA AORTA ASCENDENTE Ensayos de tracción Dirección circunferencial

Ensayos de tracción Dirección longitudinal 1000

1600 TGC1 TGC2 TPC1 TPC2 AORTA CON ANEURISMA AORTA SANA

Tensión (kPa)

1200 1000

TGL1 TGL2 TPL1 TPL2 AORTA CON ANEURISMA AORTA SANA

800

Tensión (kPa)

1400

800 600

600

400

400 200 200 0

0 1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

1

2.4

Deformación (L/Lo)

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Deformación (L/Lo)

Figura 6.1: Comparación de los ensayos de tracción de Dacron® y aorta ascendente.

con aneurisma en torno a 1.300 kP a y la arteria sana en torno a 3.300 kP a. En el caso de los ensayos en dirección longitudinal, el módulo elástico del Dacron® está en torno a 10.000 kP a y el de la aorta en torno a 1.300 kP a, tanto en estado sana como con aneurisma. A partir de los datos obtenidos, se han estimado las tensiones y deformaciones que presentan el injerto de Dacron® y la aorta ascendente cuando están sometidos a esfuerzos fisiológicos. Se ha supuesto que el radio del injerto de Dacron® es el mismo que el de la aorta adyacente. Para obtener las tensiones circunferenciales en la pared de la aorta o el Dacron® , a partir de la presión interna, se ha utilizado la fórmula de Laplace: pR (6.1) e donde p es la presión interna del tubo, R es el radio y e es el espesor. Aplicando la fórmula 6.1 se obtiene que la tensión es tres veces mayor en el injerto de Dacron® que en la aorta. Al ser el módulo de elasticidad alrededor de seis veces mayor, la deformación final es aproximadamente el doble en la probeta de aorta que en la probeta de Dacron®. También se ha obtenido una aproximación de la velocidad de la onda de presión originada por el latido cardiaco. Se ha utilizado la fórmula de Moens-Korteweq [58], cuya expresión es: σ=

s

c0 =

Eh 2Rρ

(6.2)

donde E es el módulo elástico en sentido circunferencial, h es el espesor medio de la pared, R es el radio del tubo y ρ es la densidad del material. Con

CAPÍTULO 6. COMPARACIÓN CON LA AORTA ASCENDENTE Material Dacron® Aorta

p1 /p0 (s) 325 ± 15 2, 96

q0 /p0 (M P a) 4, 4 ± 0, 2 0, 103

38

q1 /p0 (M P a·s) 1565 ± 65 0, 616

Cuadro 6.1: Comparación de parámetros entre aorta y Dacron®. los datos de los módulos elásticos comentados anteriormente y, aplicando la fórmula 6.2, se obtiene que la velocidad de la onda es del orden de 1,5 veces más rápida en el Dacron® que en la aorta en estado sano, independientemente del radio del tubo.

6.2.

Modelo dependiente del tiempo

En este apartado se comparan los valores del modelo dependiente del tiempo obtenido en el capítulo 5 con los valores obtenidos en la literatura por D. Valdez-Jasso et al [86]. En el cuadro 6.1 se observan los parámetros obtenidos con el Dacron® en el capítulo 5 y los hallados de la aorta en la literatura. Del cuadro 6.1 y la fórmula del modelo constitutivo (fórmula 5.13) se deduce que, debido principalmente al término q0 /p0 , la aorta presenta un porcentaje de relajación mayor que el Dacron® para un tiempo dado. Si se supone que el pulso cardiaco impone tensiones senoidales cada segundo (σ = σmax sen(2πt)) en el tubo aórtico y el Dacron® , la ecuación general 5.12 puede escribirse de la siguiente forma: σmax sen(2πt) +

q0 q1 d p1 σmax cos(2πt) =  + p0 p0 p0 dt

(6.3)

La solución a la ecuación 6.3 se encuentra explicada en el apéndice D y es la siguiente: q0

t

 = (0 − B) e q1 + A sen(2πt) + B cos(2πt)

(6.4)

donde A y B se obtienen de resolver la siguiente operación matricial: A B

!

=

q0 p0

q1 2π p0

− pq10 2π q0 p0

!−1

σmax p1 2πσ max p0

!

(6.5)

Imponiendo un valor de σmax igual a la unidad para la aorta e igual a tres para el Dacron®, según lo visto en el apartado anterior, y sustituyendo los parámetros del material en 6.5, se obtienen las siguientes ecuaciones

CAPÍTULO 6. COMPARACIÓN CON LA AORTA ASCENDENTE Material Dacron® Aorta

39

Tiempo (s) Deformación(l − l0 )/l0 0,251 0,600 0,255 4,926

Cuadro 6.2: Deformaciones máximas en aorta y Dacron®. aproximadas para el Dacron® y la arteria, respectivamente. D = (0 + 0, 000009) e−0,01t + 0, 2 sen(2πt) − 0, 000009 cos(2πt) A = (0 + 0, 13) e−0,17t + 4, 8 sen(2πt) − 0, 13 cos(2πt)

(6.6) (6.7)

En el cuadro 6.2 se muestran las deformaciones máximas que sufre el Dacron® y la aorta bajo las suposiciones tomadas en el presente apartado. Se observa que existe un desfase de cuatro milisegundos entre el Dacron® y la aorta. La deformación para una misma tensión es aproximadamente 8,3 veces mayor en la aorta que en el Dacron®. De esta forma, comparando los parámetros obtenidos en este apartado con los obtenidos en el apartado anterior, se deduce que la diferencia de deformación entre la aorta y el Dacron®, para una misma tensión, es mayor en situaciones fisiológicas que en condiciones cuasiestáticas, donde el Dacron® presenta mayores similitudes mecánicas con la aorta. No obstante, es necesario realizar modelos más precisos y un mayor tipo y número de ensayos para poder aseverar conclusiones.

Capítulo 7 Discusión 7.1.

Introducción

El presente trabajo fin de máster muestra resultados de ensayos realizados en probetas extraidas de un injerto de Dacron®. Con los resultados se ha obtenido un modelo que simula el comportamiento del material y, posteriormente, se han comparado los resultados con los encontrados de la aorta en la literatura. Cabe destacar que toda comparación rigurosa debe hacerse con datos hallados bajo los mismos métodos. A modo de ejemplo, la densidad del politereftalato de etileno (PET), componente fundamental del tejido de Dacron®, es de 1,455 gr/cm3 [84], mientras que la densidad obtenida del tejido de Dacron® en este trabajo es de 0,97 gr/cm3 . Si se supone que la diferencia entre los valores de las densidades se debe a la porosidad del Dacron®, ésta tendría un valor del 33 % respecto al volumen total del tejido. Por otra parte, si se observan los valores del módulo elástico del PET, aproximadamente 3000 M P a, y el tejido de Dacron®, aproximadamente 50 M P a, y suponiendo que la variación es debida a la porosidad del tejido del Dacron®, se obtiene una porosidad del 98 % respecto al volumen total. La discrepancia en los valores analizados puede deberse a que en la medida de las tensiones se ha considerado el área medida por un perfilómetro, mientras que la medida del volumen, realizada para medir la densidad, se basa en el empuje de un líquido sobre el tejido de Dacron®, dependiente de la permeabilidad. Otra razón puede ser que, debido al tratamiento del Dacron® al fabricar el tejido, se hayan modificado sus propiedades mecánicas [87]. Por lo tanto, debido a la multitud de variables que están presentes, es necesario establecer unos criterios comunes para realizar ensayos mecánicos. 40

CAPÍTULO 7. DISCUSIÓN

41

En este capítulo se comentan los criterios y resultados obtenidos en este trabajo fin de máster, en los siguientes apartados: Curva tensión-deformación. Ensayos mecánicos. Modelo constitutivo. Comparación con la aorta.

7.2.

Curva tensión-deformación

Los ensayos mecánicos realizados obtienen la fuerza que detecta la célula de carga, las imágenes tomadas por la cámara de video y los desplazamientos del bastidor. A partir de los datos proporcionados por los tres dispositivos se ha obtenido la curva tensión-deformación, según se explica en el apéndice B. En el proceso se han seguido las siguientes suposiciones: Las probetas extraidas del tubo no presentan tensiones residuales. El método de corte no afecta al material. No existe ninguna zona de debilidad en el tubo. No existe distorsión de la imagen que graba la cámara.

7.2.1.

Tensiones residuales

Debido a la geometría del tubo, las probetas extraidas circunferencialmente tienden a recuperar su forma original. Cuando se ensayan en la máquina electromecánica es necesario aplicar una fuerza para que la probeta adquiera una forma plana. Dicha fuerza no se ha tenido en cuenta en los cálculos ya que se ha supuesto despreciable. No obstante, futuros estudios requieren tener en cuenta la fuerza necesaria para mantener plana la probeta, ya que la definición de deformación y tensión dadas en la fórmula 3.1 dependen del momento donde la fuerza que actúa sobre la probeta es nula. En la figura 7.1 se muestra el estado de la probeta en el momento que la tensión residual es nula. Cuando la máquina electromecánica comienza a cargar (F ), la fuerza se descompone en una fuerza que deforma la probeta axialmente (Fd ) y una fuerza que deforma la probeta para adquerir su forma plana (Ff ). A medida que la probeta disminuye sus dimensiones el efecto de las tensiones residuales se hace menor. En los ensayos realizados en este trabajo fin

42

CAPÍTULO 7. DISCUSIÓN Ff

Ff

F

F a

Fd

Fd

Figura 7.1: Estado de la probeta al comienzo de los ensayos. de máster, el efecto que presentan las tensiones residuales sobre la probeta pequeña es la mitad que sobre la probeta grande, por lo que los resultados obtenidos de la deformación difieren, al variar el criterio para obtener la longitud inicial.

7.2.2.

Método de corte

El método de extracción de las probetas consiste en el empleo de una grabadora láser, que quema el tejido localmente. Al quemar el tejido se producen tensiones y deformaciones locales, además de cambiar las características del material [62]. Cuanto más grande es la probeta, menor es el efecto de la zona quemada en relación a la sección total de la probeta. Por lo tanto, existen variaciones entre los resultados obtenidos mediante las probetas grandes y las pequeñas ya que el área de la sección transversal se ve afectada por la grabadora láser.

7.2.3.

Zonas de debilidad

La franja utilizada para alinear los injertos de Dacron® en las cirugías, puede ser una zona de debilidad si se ha realizado por medio de un tratamiento térmico [87]. La posible afección no se ha tenido en cuenta en el presente trabajo fin de máster, pero ha de tenerse en cuenta en futuras investigaciones.

7.2.4.

Distorsión de la imagen

La imagen de la probeta proporcionada por la cámara de vídeo puede estar distorsionada como consecuencia del efecto óptico del suero fisiológico. El posible error no se ha tenido en cuenta en este trabajo fin de máster. Para contrastar resultados es conveniente, en futuros ensayos, realizar medidas de la longitud inicial por otros medios.

43

CAPÍTULO 7. DISCUSIÓN Ensayos de tracción Dirección longitudinal

Ensayos de tracción Dirección circunferencial 400

250

TGL2

200

TPL1

Tensión (kPa)

300

Tensión (kPa)

TGL1

TGC1 TGC2 TPC1 TPC2

350

250 200 150

150

100

100 50 50 0

0 1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

Deformación (L/Lo)

1

1.05

1.1

1.15

1.2

Deformación (L/Lo)

Figura 7.2: Diferencias entre probetas pequeñas y grandes.

7.3. 7.3.1.

Ensayos mecánicos Ensayos de tracción

En los ensayos de tracción se aprecian diferencias entre los ensayos realizados con probetas grandes y los realizados con probetas pequeñas. En la figura 7.2 se observan las diferencias en los primeros tramos de carga. No se ha incluido el ensayo TPL2 porque no presenta valores para el rango observado. Se observa que el módulo elástico es mayor en las probetas pequeñas que en las grandes en la dirección circunferencial, del orden de tres veces mayor. En el caso de la dirección longitudinal, el módulo elástico es del orden de dos veces más pequeño en las probetas pequeñas. Las diferencias se deben a los errores en la obtención de la curva tensión-deformación y a las diferencias en la velocidad del ensayo, que afectan primordialmete al primer tramo de la curva tensión deformación, antes de alcanzar la pendiente E1 definida en el capítulo 4. Para tramos posteriores, según muestra el cuadro 4.2, no se aprecia diferencia entre los ensayos realizados con la probeta grande y los realizados con la probeta pequeña. Además, en la figura 4.1 se aprecia que la rotura de las probetas pequeñas se produce antes que en las grandes. Este efecto puede ser debido a los daños producidos por la grabadora láser. Para obtener una cuantificación del error que se produce por cada efecto en los primeros tramos es necesario realizar posteriores ensayos variando controladamente las fuentes de error.

CAPÍTULO 7. DISCUSIÓN

7.3.2.

44

Ensayos de relajación

Para obtener los parámetros del material, sin dependencia de la velocidad del ensayo, es necesario que el material se encuentre en todo momento en equilibrio termodinámico. El estado de equilibrio termodinámico no es alcanzable en la práctica, por lo que solamente se alcanza de forma asintótica. En las gráficas 4.5 se observa que las curvas tensión-deformación presentan una asíntota aproximada, cuando la tensión es la mitad que la tensión máxima. Este resultado es similar en las probetas ensayadas en distintas direcciones, distintas velocidades de carga y distintas deformaciónes, por lo que indica que se trata de un parámetro interno del material. No obstante, es necesario realizar más ensayos que corroboren los resultados.

7.3.3.

Ensayos con historia de cargas variables

Los ensayos con historia de cargas variables se han realizado suponiendo que el material se comporta de forma elástica en el rango de tensiones analizado. La figura 4.8 muestra la curva de carga y descarga de los ensayos realizados con historia de cargas variables. En el gráfico del ensayo en dirección longitudinal se muestran dos rangos de tensión. En el ensayo VL2 se observa la tendencia a que las deformaciones presentes en la probeta sean las mismas cuando la tensión es nula, tanto en la carga como en la descarga. No obstante, en el ensayo VL1 se observa deformación con carga nula. La deformación permanente se produce en el tramo donde la pendiente E1 cambia a E2 en los ensayos de tracción. Se deduce que a partir del cambio de pendiente de E1 a E2 el material presenta algún tipo de daño. Cabe señalar que dicho rango se encuentra fuera del rango fisiológico, tal como muestra la figura 6.1, donde se observan los rangos de funcionamiento fisiológicos de la aorta ascendente. No obstante, se requiere la utilización de ensayos de ciclos a distintos rangos de tensiones para conocer las deformaciones permanentes del material. La curva inferida mostrada en las figura 4.8 representa la curva tensióndeformación, independiente de la velocidad del ensayo por encontrarse la probeta cercana al equilibrio termodinámico. Esta curva es propicia para realizar compararaciones con otros materiales, ya que se evita la incertidumbre proporcionada por la velocidad del ensayo y el efecto Mullins [66]. A conocimiento del autor, no existe ningún estudio con estas características realizado con pared arterial.

CAPÍTULO 7. DISCUSIÓN

7.4.

45

Modelo constitutivo

El modelo constitutivo utilizado consiste en una serie de muelles y amortiguadores cuyo comportamiento mecánico está definido en el capítulo 5. Se ha supuesto que el comportamiento del material es lineal en los límites establecidos, entre 200 y 1000 kPa. El coeficiente de correlación de Pearson, explicado en el apéndice C, en esa zona es mayor a 0,99, por lo que la suposición de linealidad está justificada. Se han utilizado varios modelos a partir del modelo general expuesto en la fórmula 5.5. En los ensayos de relajación donde no se ha tenido en cuenta la deformación, se ha utilizado un modelo que requiere como dato la pendiente inicial de la curva tensión-tiempo (figuras 5.5 y 5.6). Dicho modelo se ajusta de manera satisfactoria a la curva, con un coeficiente de correlación de Pearson mayor que 0,98; no obstante, no se ha considerado incluirlo en comparaciones con la aorta, debido a la dificultad de hallar de forma precisa la pendiente de la curva inicial. En los modelos que no se tiene en cuenta la derivada segunda de la tensión con el tiempo, se ha tenido que considerar la velocidad de deformación para obtener un coeficiente de correlación de Pearson mayor a 0,95, situación analizada en los ensayos con cargas variables (figuras 5.8 y 5.9). Los resultados de los parámetros presentan un error relativo menor al 0,5 %, excepto en el parámetro q1 /p0 , donde el error relativo alcanza valores del 8000 %. Este hecho sugiere la necesidad de hallar el parámetro por otros métodos u otros tipos de ensayos. Para estudiar la variabilidad de la velocidad de carga y del tamaño de las probetas se ha realizado un contraste de hipótesis basado en la distribución t-Student, considerando que valores de resultados son significativamente iguales cuando el valor de la distribución t-Student es mayor a 0,95. Los valores p1 /p0 son significativamente iguales en los dos tamaños de probeta (p = 0, 97), pero sí dependen del tiempo de relajación y la velocidad de deformación (p < 0, 001). El valor q0 /p0 depende significativamente del tamaño de la probeta (p = 0, 05) y del tiempo de relajación y la velocidad de deformación (p = 0, 15). El valor q1 /p0 depende del tamaño de la probeta (p = 0, 56) y del tiempo de relajación y la velocidad de deformación (p = 0, 19). De estos resultados se deduce la necesidad de obtener un modelo donde los parámetros obtenidos no dependan de ningún factor externo, ya que el objetivo del modelo constitutivo es buscar parámetros que dependan únicamente del material empleado en los ensayos. En la literatura existen modelos uniaxiales que se adaptan de forma satisfactoria a curvas de relajación. Destacan aquellos que utilizan derivadas fraccionarias en la ecuación constitutiva. Con este modelo se ha analizado la

CAPÍTULO 7. DISCUSIÓN

46

pared de la aorta mediante ensayos de relajación [15]. Cabe destacar que se han analizado los tramos de relajación teniendo en cuenta únicamente la rampa de carga precedente, teniéndose que obtener los valores de la tensión inicial en cada período de rampa. Para mejorar el ajuste es necesario tener en cuenta la historia de deformaciones completa, trabajo que no se ha realizado en el presente trabajo fin de máster. Para obtener el comportamiento global de cualquier material, es necesario establecer la relación que tienen las tensiones y deformaciones en una dirección del material en el resto de direcciones. Teniendo en cuenta que todos los ensayos son intrínsecamente tridimensionales y, suponiendo que los ensayos se han realizado en una de las direcciones principales del material, es necesario medir las tensiones y las deformaciones en las otras direcciones principales. Las tensiones en la dirección del espesor y el ancho de la probeta son conocidas, mientras que las deformaciones deben ser medidas. Por lo tanto, es necesario medir los desplazamientos de los puntos de la probeta en sentido transversal, de forma que se pueda establecer en el modelo la influencia entre las deformaciones y tensiones entre las direcciones principales. Los resultados obtenidos de ese modo deben contrastarse con ensayos donde se aplique carga en dos direcciones (ensayos biaxiales) o en tres direcciones (ensayos triaxiales). Ese trabajo se escapa de los objetivos del presente trabajo y se realizará en un futuro.

7.5.

Comparación con la aorta ascendente

En el capítulo 6 se ha realizado una comparación de los resultados obtenidos en el trabajo fin de máster con resultados obtenidos de la literatura con la pared aórtica. Los primeros ensayos que se han comparado han sido los ensayos de tracción. Los datos obtenidos de la literatura ([21]) presentan la tensión real frente a la deformación. La deformación está definida de igual manera que está definida en el presente trabajo, mientras que la tensión la define como la fuerza que actúa en un momento dado dividida por el área de la sección transversal en ese momento. Para hallar el área transversal, Claudio Herrera se basa en el hecho de que el tejido aórtico puede considerarse incompresible, ya que su mayor componente es el agua, material incompresible [37]. En el presente trabajo fin de máster no se han realizado medidas de la sección transversal a medida que se realizan los ensayos. Si se obtiene la curva-tensión deformación de las aortas con las tensiones reales, (datos originales expuestos en [21]) el módulo de elasticidad en sentido circunferencial de la aorta en estado sano es de unos 6500 kP a y de la aorta con aneurisma de unos

CAPÍTULO 7. DISCUSIÓN

47

3000 kP a. El módulo de elasticidad en sentido longitudinal se encuentra en 3000 kP a tanto en el aneurismo aórtico como en la aorta sana. En este caso el módulo de elasticidad en sentido circunferencial en la aorta sana es del orden de tres veces menor que en el Dacron®, cuyo valor es alrededor de 20000 kP a. Como el área de la sección transversal es tres veces menor en el Dacron®, las deformaciones producidas en el tubo y la velocidad de la onda de presión sería similar en la aorta sana y en el Dacron®, según se deriva de las fórmulas 6.1 y 6.2. De esta forma, la condición para que las deformaciones y la velocidad de la onda de presión sean similares en la aorta sana y en el injerto de Dacron® es que el área de la sección transversal de las probetas de Dacron® no cambie mientras se produce el ensayo, de forma que la tensión definida en el presente trabajo fin de máster y la tensión real coincidan. En el modelo dependiente del tiempo se han comparado los datos proporcionados por D.Valdez-Jasso et al [86], con los datos del modelo obtenido en el presente trabajo fin de máster. Como se aprecia en la fórmula 5.13, el término p1 /p0 es el término que influye en la relajación con el paso del tiempo. El término q0 /p0 determina las tensiones a las que se aproximan las curvas de forma asintótica. De los datos mostrados en el cuadro 6.1 se deduce que la relajación es mayor en la aorta que en el Dacron®. Este hecho es confirmado por resultados encontrados en la literatura [26].

Capítulo 8 Conclusiones y trabajo futuro El objetivo del presente trabajo fin de máster ha sido la obtención de un modelo constitutivo de un injerto de aorta ascendente (Dacron ®), con el fin de comparar el comportamiento mecánico con el comportamiento mecánico de la aorta ascendente. Se ha mostrado que los parámetros del material que dependen del tiempo presentan mayores diferencias en la aorta ascendente y el injerto de Dacron®que los estáticos. Asimismo, se ha realizado un nuevo tipo de ensayo sobre el injerto de Dacron®, con historia de cargas variables, para evaluar el comportamiento mecánico sin que sea neceario tener en cuenta la velocidad de deformación. Existe en la literatura estudios clínicos que muestran que las diferencias en el comportamiento mecánico de ambos materiales afecta la hemodinámica, pudiendo originar patologías cardiacas. El conocimiento riguroso del comportamiento mecánico del injerto de Dacron® y de la aorta ascendente servirá para saber el momento y la gravedad de las patologías formadas, de forma que se puedan tratar y prevenir, al mismo tiempo que se aproveche la vida útil de los injertos en su totalidad. Este trabajo sirve como inicio de una serie de ensayos, donde se tendrá en cuenta las tensiones residuales de las probetas, los errores derivados de los métodos de ensayo y las zonas de debilidad. Cabe destacar los siguientes ensayos: - Ensayos de evaluación de tensiones residuales. - Ensayos de fluencia. - Ensayos de fatiga con carga cíclica. Con el fin de asemejarse más al injerto situado en el cuerpo humano, los 48

CAPÍTULO 8. CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO

49

ensayos se realizarán, no solamente con probetas, sino con el tubo del injerto en su totalidad, midiendo la variación de diámetro con la presión aplicada. Además de los ensayos que caracterizan el material mecánicamente, los ensayos futuros deberán medir cómo varían los componentes del injerto con el tiempo. Para eso, convendrá analizar el grado de cristalinidad del material después de estar sometido a diferentes esfuerzos. Por último, se realizarán ensayos donde se analice la interacción del flujo sanguíneo con el injerto, con el fin de evaluar, no solo el comportamiento mecánico, sino las características biológicas, como el estado de cicatrización y la formación y adhesión de células endoteliales en la pared del injerto. Estos ensayos servirán de base para futuros ensayos mecánicos, donde se ensaye el injerto de una forma más semejante a como se encuentra en el interior del cuerpo humano. Para finalizar, se realizará un modelo constitutivo, que se resolverá mediante métodos numéricos por ordenador, como el método de los elementos finitos, y servirá para prever el comportamiento conjunto de la aorta ascendente y el injerto de Dacron® bajo distintas condiciones. Además, a este modelo se le podrán añadir datos de estudios realizados en otras partes del cuerpo humano, para predecir la influencia que tienen unas partes sobre otras. Esta serie de ensayos, comenzando por los realizados en este trabajo fin de máster, ayudarán a entender la hemodinámica de una forma global y particularizada a cada paciente.

Apéndice A Pruebas de corte de las probetas En este apéndice se muestran las pruebas de corte realizadas con la grabadora láser Trotec Speedy 100 para ajustar los parámetros óptimos que produjeran el mínimo daño en las probetas, es decir, que cortaran la probeta completamente produciendo la mínima quemadura en el material. Los parámetros de corte modificables son la potencia, la velocidad de corte, los pulsos por segundo y el número de pasadas. La potencia y la velocidad de la grabadora se ajustan en porcentaje de la potencia y velocidad máxima del láser. El número de pasadas se ha elegido igual a la unidad, variando el resto de los parámetros. Los cortes se observaron con un microscopio óptico (Optech Jenoptik), (figura A.1) y se seleccionó la prueba con corte completo que menos quemadura presentaba. En el cuadro A.1 aparecen las distintas pruebas realizadas y los parámetros seleccionados. Los parámetros escogidos fueron los recogidos en el cuadro A.2.

Figura A.1: Corte realizado con el parámetro elegido. Señalado con flecha. 50

APÉNDICE A. PRUEBAS DE CORTE DE LAS PROBETAS

Prueba Potencia ( %) 1 45 2 40 3 35 4 35 5 30 6 35 7 10 8 40 9 42 10 10 11 45 12 45 13 45 14 45

Velocidad ( %) 2 2 2 2,5 2 2 1 2 2 2 1,5 2,2 2,3 2,4

Pulsos (Hz) 1500 2000 1500 1500 1500 1000 10000 1500 1500 10000 1500 1500 1500 1500

Cuadro A.1: Prueba de parámetros de la cortadora láser.

Prueba Potencia( %) 14 45

Velocidad( %) 2,4

Pulsos(Hz) 1500

Cuadro A.2: Parámetros de corte escogidos.

51

Apéndice B Curva tensión-deformación En este apéndice se describe el proceso realizado para la obtención de las curvas tensión-deformación. Para explicar el proceso se ha tomado como ejemplo el ensayo TPC1 (cuadro 3.2). Los datos proporcionados por la máquina electromecánica Instron 5543A es el desplazamiento del bastidor y la fuerza registrada por la célula de carga. La medida del desplazamiento se establece en base a un referencia arbitraria. En los ensayos realizados se ha seleccionado como desplazamiento nulo cuando la distancia entre la base de las mordazas es de 10 mm. El primer paso realizado ha sido la obtención de la fuerza neta ejercida sobre la probeta, descontando la fuerza debida al empuje del suero fisiológico y del peso de la mordaza y barra superior. Obtenida la fuerza neta, se ha hallado la tensión mediante la definición dada por la ecuación 3.1. La deformación se ha definido de forma que sea nula cuando la tensión es nula, según la siguiente fórmula: =

l − l0 l0

(B.1)

donde l0 es la longitud de la probeta cuando la fuerza que actúa es nula y l es la longitud de la probeta en un momento dado. Existe una relación biunívoca entre la definición dada en B.1 y la dada en la fórmula 3.1. La longitud de la probeta puede ser la longitud entre mordazas o la longitud entre dos puntos situados en la zona central de la probeta. En la figura B.1 se observa la curva tensión-deformación para los dos casos expuestos y la curva tensión-deformación elegida, explicada más adelante. Como se puede apreciar en la figura B.1, para una tensión dada la deformación observada entre dos puntos en el video es menor que entre la mordaza, lo que contradice el comportamiento teórico. La explicación se debe a que en todos los ensayos de tracción se produce la rotura en la zona curva de la 52

53

APÉNDICE B. CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓN Ensayo TPC1 16

L video L mordazas

14

L elegida

Tensión (MPa)

12 10 8 6 4 2 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Deformación (L-Lo)/Lo

Figura B.1: Curva tensión-deformación elegida, en comparación con la curva de tensión-deformación entre mordazas y la curva tensión-deformación entre puntos.

probeta, debido a debilidades ocasionadas durante el corte de las probetas o debidas al deshilachado, especialmente en las probetas de menor tamaño, ya que el daño por el corte se produce en mayor proporción que en las probetas grandes. Por lo tanto, la deformación se produce en mayor medida en los extremos de las probetas. Para obtener la curva tensión-deformación que mejor se ajusta comportamiento del material, se ha considerado que la longitud entre mordazas no se ve afectada por el lugar donde se produce la rotura en la probeta. Por esta razón, para evitar variaciones debidas a la zona de rotura, el numerador de la parte de la derecha de la fórmula B.1 se ha obtenido mediante la diferencia entre la longitud en un instante cualquiera y la longitud inicial medida entre mordazas. La longitud inicial que aparece en el denominador de la fórmula B.1 es la longitud entre dos puntos medidos en la probeta, que corresponde con los puntos donde comienza la transición curva de la probeta. Esta longitud se ha obtenido en el momento en que la carga sobre la probeta es nula, a partir de las imágenes proporcionadas por la cámara. En la figura B.1 se observa la curva tensión-deformación obtenida por este procedimiento, que se describe matemáticamente de la siguiente forma: =

lmordazas − l0 mordazas l0 video

(B.2)

En todos los ensayos realizados, el método descrito produce menor dispersión de resultados que utilizando solamente la longitud medida entre mordazas o con las imágenes del video.

Apéndice C Cuantificación de los errores del modelo En este apéndice se describen los errores descritos en el capítulo 5 referentes a los parámetros y a la precisión de la curva obtenida. El error de los parámetros es la desviación típica, definida como: s=

v uN  uX t A

k

2

−A

(C.1)

k=1

donde Ak son los distintos valores obtenidos para un parámetro y A es la media de todos los valores. Para cuantificar la precisión de la curva del modelo se ha utilizado el coeficiente de correlación de Pearson, definido como: R=

v u PN u t1 − k=1 (yi PN

− xi )2 2 k=1 (yi − y)

(C.2)

donde xi son cada uno de los valores de la tensión hallados de forma experimental, yi son los valores obtenidos con el modelo e y es la media de los valores obtenidos de forma experimental.

54

Apéndice D Solución de las ecuaciones del modelo En este apéndice se detalla la resolución de las ecuaciones presentes en el capítulo 5.

Ensayos de relajación La ecuación que no tiene en cuenta la variación de la deformación con el tiempo es: N X dk σ (D.1) p0 σ + pk k = q0  dt k=1 La solución de la ecuación D.1 se ha obtenido sumando la solución de la ecuación homogénea y una solución particular. La ecuación homogénea es: p0 σ +

N X

pk

k=1

dk σ =0 dtk

(D.2)

Si se prueba una solución de la forma σ = Aert , siendo A constante, se obtiene la siguiente expresión: p0 σ +

N X

pk r k = 0

(D.3)

k=1

La solución particular buscada es de la forma σ = B, donde B es una constante, por lo que la solución particular queda de la siguiente forma: p0 B = q0 

⇒ 55

B=

q0 p0

(D.4)

APÉNDICE D. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL MODELO

56

Para resolver la ecuación es necesario disponer de N condiciones iniciales, cuando el tiempo es nulo. σ |t=0 =

N X

Ak +

k=1

q0  p0

N X dm σ | = rkm Ak t=0 dtm k=1

,

(D.5)

Agrupando los términos m en filas y los términos k en columnas, la ecuación D.5 se puede escribir matricialmente.         

1 r1 r1 2 .. .

1 r2 r2 2 .. .

1 r3 r3 2 .. .

... ... ... .. .

1 rN rN 2 .. .

r1 N −1 r2 N −1 r3 N −1 . . . rN N −1

        

A1 A2 A3 .. . AN





       

       

=

σ|t=0 − pq00  dσ | dt t=0 d2 σ | dt2 t=0 .. . dN −1 σ | dtN −1 t=0

        

(D.6)

Resolviendo la ecuación matricial D.6 resulta la expresión buscada, dada en la ecuación 5.9.

Ensayos con historia de cargas variables En la ecuación D.7 se recuerda el modelo utilizado para la obtención de la tensión cuando el material se ha sometido a una historia de deformaciones. σ+

p1 dσ q0 q1 d = + p0 dt p0 p0 dt

(D.7)

Si la notación es la mostrada en la figura 5.7, la historia de deformaciones y velocidades de deformación se pueden expresar según las siguientes fórmulas. !

!

d d  (t) = 0 + |1 u (t − t1 ) + 1 − 0 − |1 u (t − t10 ) + · · · dt dt

(D.8)

d d d d (t) = |1 u (t − t1 ) − |1 u (t − t01 ) + |2 u (t − t2 ) · · · (D.9) dt dt dt dt donde u(t) es la función escalón de Heaviside, cuyo valor es la unidad si el argumento de la función es mayor que cero; y nulo si es menor. Mediante operaciones algebraicas sobre la ecuación D.8 y D.9 se obtienen las siguientes expresiones para la deformación y la velocidad de deformación.  (t) = 0 +

N X

d |k (t − tk ) [u (t − tk ) − u (t − tk0 )] k=1 dt

(D.10)

APÉNDICE D. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL MODELO N X d d (t) = |k u (t − tk ) − u (t − tk0 ) dt dt k=1

57

(D.11)

Llamando Ψ a la transformada de Laplace y siendo la variable τ la variable transformada de la variable tiempo, y s la función transformada de la función tensión, la ecuación D.7 queda de la siguiente forma. p1 q0 q1 d s + (τ s − σ0 ) = Ψ + p0 p0 p0 dt

!

(D.12)

De la ecuación D.12 se puede despejar la función s: s=

Ψ



q0  p0

+ 1



q1 d p0 dt + pp10 τ

+

p1 σ p0 0

(D.13)

Al ser la transformada de Laplace una aplicación biyectiva, existe una aplicación inversa. La aplicación inversa de la función s(τ ) es σ(t), cuyo desarrollo es el presentado en el capítulo 5: p

σ(t)

− p0 t

= σ0 e +e

1

+

p − p0 (t−tk ) 1

q0  p0 0

h

q0 p0



+

PN

p

k=1 e

p1 d | p0 dt k

− p0 (t−tk0 ) d 1 | dt k



− 0 −

q1 d | p0 dt k

i



q1 p0

+

−

q0 p0

q0 p1 p0 2



+

(k − k−1 ) (D.14)

Onda de presión senoidal En el capítulo 6 se ha estudiado el comportamiento del tubo de Dacron® y de la aorta a partir de la fórmula 5.13, imponiendo que las tensiones presentan forma senoidal: σ = σmax sen(2πt) (D.15) Para simplificar los resultados se ha elegido σmax igual a la unidad. Sustituyendo D.15 en 5.13 resulta: σmax sen(2πt) +

p1 q0 q1 d σmax cos(2πt) =  + p0 p0 p0 dt

(D.16)

La solución buscada es suma de una solución homogénea y una solución particular. La solución homogénea se ha obtenido de forma similar a lo explicado en el apartado anterior, siendo la solución: q0 t

H = Ce q1

(D.17)

Para obtener una solución particular, se ha buscado una función trigonométrica: P = A sen(2πt) + B cos(2πt) (D.18)

APÉNDICE D. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL MODELO

58

Sustituyendo la ecuación D.18 en la ecuación D.16 se obtiene: "

#

"

#

q0 q1 q0 q1 p1 sen(2πt) A − 2πB − 1 + cos(2πt) B + 2πA − 2π = 0 p0 p0 p0 p0 p0 (D.19) Como la ecuación D.19 debe cumplirse para cualquier valor del tiempo, tanto el término que multiplica a sen(2πt) como el que multiplica a cos(2πt) deben ser nulos. Agrupando matricialmente los términos se obtiene: A B

!

=

q0 p0

q1 2π p0

− pq10 2π q0 p0

!−1

σmax p1 2πσmax p0

!

(D.20)

Las condiciones de contorno se aplican sobre la solución general de la ecuación: (t = 0) = C + B ⇒ C = 0 − B (D.21) Por lo que se llega a la solución final encontrada en el capítulo 6: q0

t

 = (0 − B) e q1 + A sen(2πt) + B cos(2πt)

(D.22)

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