CARGA Y DESCARGA DE UN CAPACITOR. OBJETIVOS: El alumno: • Observara la variación de la diferencia de potencial del capacitor al transcurrir el tiempo. • Usará el análisis de mediciones para determinar el comportamiento de la diferencia de potencial del capacitor respecto al tiempo. • Al comparar el resultado experimental con el modelo teórico, podrá calcular la resistencia interna del instrumento de medición. INTRODUCCIÓN TEORICA. El capacitor es un dispositivo que almacena energía en un campo electrostático. Una lámpara de destello o de luz relámpago, por ejemplo, requiere una breve emisión de energía eléctrica, un poco mayor de lo que generalmente puede proporcionar una batería. Podemos sacar energía con relativa lentitud (más de varios segundos) de la batería al capacitor, el cual libera rápidamente (en cuestión de milisengundos) la energía que pasa al foco. Otros capacitores mucho más grandes se emplean para proveer intensas pulsaciones de láser con el fin de inducir una fusión termonuclear en pequeñas bolitas de hidrógeno. Los capacitores se usan también para producir campos eléctricos como es el caso del dispositivo de placas paralelas que desvía los haces de partículas cargadas. Los capacitores tienen otras funciones importantes en los circuitos electrónicos, especialmente para voltajes y corrientes variables con el tiempo. La propiedad para almacenar energía eléctrica es una característica importante del dispositivo eléctrico llamado Capacitor. Se dice que un capacitor está cargado, o sea cuando el capacitor almacena energía, cuando existe carga eléctrica en sus placas o cuando existe una diferencia de potencial entre ellas. La forma más común para almacenar energía en un capacitor es cargar uno mediante una fuente de fuerza electromotriz fem; de ésta forma y después de un tiempo relativamente corto, el capacitor adquiere una carga eléctrica Qo y por lo mismo tendrá una diferencia de potencial Vo entre sus placas.

y que

............................(1) De lo anterior se tiene;

1

Integrando ambos lados de la ecuación:

utilizando la operación inversa al logaritmo,

Cuando el capacitor se carga completamente, se tiene de la ec.(1) dq/dt =0 entonces Qo la carga total adquirida está dada por Qo= CE. Por lo tanto la ecuación anterior resulta como:

................................................(2) La ecuación anterior expresa la carga eléctrica q que adquiere el capacitor al transcurrir el tiempo t, iniciando sin carga eléctrica (t = 0 ) y terminando con una carga Qo, ademas se tiene:

pero , entonces se tiene:

......................................(3) Donde es el voltaje en las terminales del capacitor cuando adquiere su carga total . 2

Pero se sabe que , entonces derivando ec. (2):

Pero al inicio , la corriente en circuito es;

, finalmente se tiene

la cual expresa la disminución de la corriente eléctrica en el circuito al transcurrir el tiempo. Al estar el capacitor C cargado, éste tiene una carga total y una diferencia de potencial ; en estas condiciones, al cambiar el interruptor S se observa inmediatamente una disminución en la diferencia de potencial entre las terminales del capacitor, entonces se dice que el capacitor se está descargando. Este efecto de descarga es provocado por la existencia de la resistencia R que cierra el circuito. La disminución del voltaje en el capacitor C se puede analizar utilizando las leyes de Kirchoff en la rama derecha del circuito, de tal forma que se puede establecer la ecuación siguiente:

Se debe considerar que debido a que la corriente se genera al disminuir la carga eléctrica en el capacitor, de tal forma que la ecuación que representa la descarga del capacitor está dada por:

Con un procedimiento análogo al efectuando en la ec. (1), reacomodando términos e integrando ambos lados de la ecuación, es posible expresar la carga eléctrica del capacitor en función del tiempo, considerando que el capacitor tiene inicialmente una carga , se tiene:

..................................................(4) La ecuación anterior expresa que el capacitor inicia con una carga y termina su carga eléctrica, después de un tiempo relativamente grande (depende de R). Si se considera que, 3

entonces se obtiene:

y como , entonces:

...............................................(5) Esta última ecuación representa la disminución de la diferencia de potencial (V) en las terminales del capacitor al transcurrir el tiempo. Se puede aprovechar la forma muy particular de la disminución de la diferencia de potencial en las terminales de un capacitor de valor conocido (C) para determinar la resistencia (R) por la cual se descarga dicho capacitor en los términos siguientes: si el tiempo t que ha transcurrido después de que se inicia la descarga de un capacitor, es igual a RC, entonces la ec. (5) resulta;

esto indica que en dicho tiempo la diferencia de potencial en las terminales del capacitor es solo un 36.78% de su valor original, es decir que su voltaje disminuyó un 63.22% de su valor original . A este tiempo se le denomina constante de tiempo del capacitor. Utilizando este concepto de constante de tiempo, se mide el tiempo que tarda el capacitor en disminuir su diferencia de potencial un 63.22% y como se conoce el valor de la capacitancia (C), entonces el valor de la resistencia es:

PRIMER EXPERIMENTO: FASE DE CARGA DEL CAPACITOR. • Arme el circuito que indica la figura, dejando la fuente desactivada y el interruptor abierto.

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Figura 1. Arreglo experimental para la fase de carga de un capacitor. Casi − E = Interfase, Fuente de Alimentación 0 − 20 V, I = Interruptor de navaja, C = Capacitor y . • Encienda la PC y vaya a MS − DOS. • Teclee CD CASSY . • Teclee Ld . • En el menu de selección de programa, teclee F1 (multimetro) . • En el menu principal teclee F3 (selección de magnitud) ; elegir canal B . • Elegir tensión CC . • Teclee . • En el menu principal elegir F4 (autom/param/formula) . • Teclee 1 seg. . • Regresar al menu principal con . • Elegir F1 (iniciar de nuevo). • Encender la fuente y calibrar a 10 volts, utilizando el multimetro. 5

• Simultáneamente cierre el interruptor y . • Teclee F1 (para detener la medicion). • Teclee (para regresar el menú principal). Tabla de tiempos y voltajes de carga y descarga de un capacitor de 40 usando como instrumento de medición la PC. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

t[s] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

U[V] 0.307 2.67 3.98 4.83 5.38 5.74 5.98 6.14 6.25 6.32 6.37 6.4 6.42 6.43 6.44 6.43 6.43 6.44 6.44 6.44 5.86 4.56 3.55 2.75 2.154 1.683 1.316 1.029 0.804 0.633 0.497 0.391 0.308 0.2436 0.1929

43 44 45 46 47 48 49 50 51

42 43 44 45 46 47 48 49 50

0.0335 0.0275 0.0228 0.0189 0.0159 0.0135 0.0116 0.0099 0.0087

6

36 37 38 39 40 41 42

35 36 37 38 39 40 41

0.153 0.1218 0.0972 0.0778 0.0626 0.0506 0.0411

La grafica muestra claramente cuando el capacitor tiene su mayor carga y se matiene constante solo se analisara el tiempo de descarga y en este punto el tiempo se tomara como el inicial igual a cero. CALCULOS.

Para linealizar la grafica se obtendra Ln de U (LnU) quedando la tabla de la siguiente manera. N 1 2 3

t[s] 0 1 2

ln U [v] −1.1809 0.982 1.3812

30 11 −0.4572 31 12 −0.6991 32 13 −0.939 7

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.477 1.6826 1.7474 1.7884 1.8148 1.8325 1.8437 1.8515 1.8562 1.8594 1.8609 1.8625 1.8609 1.8609 1.8625 1.8625 1.8625 1.7681 1.5173 1.2669 1.0116 0.7673 0.5205 0.2745 0.0285 −0.0218

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

−1.1776 −1.4122 −1.6455 −1.8773 −2.1053 −2.3309 −2.5536 −2.7709 −2.9838 −3.1917 −3.3962 −3.5935 −3.7809 −3.9685 −4.1414 −4.305 −4.4567 −4.6152 −4.7444

NOTA: Recordemos que solo se considera el tiempo apartir de la descarga del capacitor. Esta grafica fue realizada con los nuevos valores de U es decir con LnU es así como se linealizo la grafica. Se prosigue a calcular m y b .

Obteniendo de los datos nuevos: Esto nos lleva a:

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Donde: es la ordenada será el voltaje inicial. es la pendiente es el voltaje

esta será la ecuación empírica. Esta ecuación explica el comportamiento de la grafica. Es posible expresar la carga eléctrica del capacitor en función del tiempo, considerando que el capacitor tiene inicialmente una carga , se tiene:

La ecuación anterior expresa que el capacitor inicia con una carga y termina sin carga eléctrica, después de un tiempo relativamente grande (depende de R). Si se considera que:

entonces se onbtiene:

y como entonces:

es así como llegamos a esta ley física. Ahora para calcular la R podemos usar el concepto de constante de tiempo: Se mide el tiempo que tarda el capacitor en disminuir su diferencia de potencial un 63.22% y como se conoce el valor de la capacitancia (C) , entonces el valor de la resistencia es: 9

Haciendo los cálculos necesarios tenemos:

así tenemos entonces: C = 40 = CONCLUSIONES. En el desarrollo de la practica se pudo ver que un capacitor se dice cargado cuando existe diferencia de potencial en el y que fue el caso en particular que se estudio. Al estar el capacitor cargado, éste tenia una carga total y una diferencia de potencial, al cambiar el interruptor se observo inmediatamente una disminución en la diferencia de potencial entre las terminales del capacitor así fue como se presento el fenómeno de descarga del capacitor. También se constato de forma visible y teórica por medio de cálculos la existencia de la resistencia que cierra el circuito esta fue determinada por el tiempo que tarda en descargarse por completo el capacitor. GRAFICA DE VOLTAJE CONTRA EL TIEMPO EN EL PROCEDIMIENTO DE CARGA Y DESCARGA.

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