CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________

Capítulo 9 Cargas no aplicadas en los nudos 9.1- Cargas en el interior de un tramo Hasta ahora sólo se consideraron casos en que las cargas exteriores están aplicadas sobre los nudos; en el caso que actúen cargas concentradas sobre las barras como en la Figura 9.1, se podría definir un nudo en los puntos donde están aplicadas las cargas y aplicar el procedimiento visto hasta ahora.

Figura 9.1 De esta manera se agregarían en este ejemplo seis nuevas incógnitas, tres por cada nuevo nudo que se ha introducido. Evidentemente este tratamiento del problema no es conveniente a menos que el número de cargas en el interior de los tramos sea reducido. Tampoco resulta adecuado en el caso de _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -1-

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cargas distribuidas, las cuales, para ser aproximadas, deberían ser descompuestas en un conjunto de cargas concentradas que sean equivalentes. Suponiendo que, como se lo ha venido haciendo hasta aquí, el sistema es lineal se puede descomponer el estado de cargas de la Figura 9.1 en la suma de dos estados:

Figura 9.2

En el Estado I se supone que los nudos no se desplazan ni giran, condición que se denomina como “empotramiento perfecto”. Para lograr esta situación resulta necesario agregar

en los extremos de cada barra (no sobre los nudos), fuerzas iguales a las reacciones de empotramiento perfecto que no forman parte de las verdaderas cargas exteriores aplicadas a los nudos. El análisis de los esfuerzos en este Estado I debe realizar en forma separada para cada barra. En el caso de la barra vertical 1-2 se tiene:

Figura 9.3 Las fuerzas que se aplican en los extremos de la barra se denominan "fuerzas de

empotramiento". Para el caso de la barra horizontal 2-3 se procede de manera similar:

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -2-

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F V .l 8 Fh 2

FV 2

F V .l 8 V

F 2

Fh 2

Figura 9.4 Las reacciones de apoyo de una viga biempotrada para los tipos habituales de cargas están disponibles en tablas y manuales de cálculo de estructuras, por lo que en general no es necesario efectuar el análisis local de cada barra (por ejemplo, con la solución de la ecuación diferencial de la elástica del tramo en estudio). En algún caso particular que no figure en tablas ni pueda expresarse como combinación de casos que figuren en ellos, deberá resolverse la ecuación diferencial de la elástica con las cargas dadas y los nudos fijos. Como ya fue indicado al deducir la matriz de rigidez una barra genérica en coordenadas locales, el efecto axial está desacoplado y es un problema de una sola incógnita que puede resolverse en forma independiente del problema de flexión para las cargas transversales al eje de la barra. Para la solución de la parte flexional se requiere calcular las fuerzas transversales y los momentos en los extremos de la barra, que se denominan habitualmente “fuerzas de empotramiento perfecto”. Una vez conocidas las fuerzas de empotramiento perfecto, el trazado de los diagramas de esfuerzos internos resulta de aplicar las reglas conocidas de la estática. Para la barra horizontal 2-3 se tiene:

Figura 9.5 En el Estado II se aplican sobre los nudos cargas iguales y opuestas a las agregadas en el Estado I, de manera que, al superponer ambos estados, se anulan las cargas nodales que no existen en el problema inicial y sólo quedan las fuerzas exteriores aplicadas. De esta manera se ha transformado el problema inicial de cargas en el interior de los tramos en otro problema de

cargas equivalentes en los nudos, pero que requiere la superposición de los Estados I y II para obtener los esfuerzos finales en cada barra.

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CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________

P.h F V .l  8 8

FV Q 2

F V .l 8

FV 2

h

P F  2 2

P 2

Fh 2

P.h 8

Figura 9.6

Solución del Estado I: Resulta importante reconocer que una vez determinadas por cualquier método (tablas, trabajos virtuales, etc.) las "fuerzas de empotramiento", los diagramas se reducen a un problema de estática. Cada barra queda "biempotrada" y no transmite al nudo ninguna fuerza, por lo que los desplazamientos nodales del Estado I son todos nulos.

Solución del Estado II: El Estado II sólo contiene cargas en los nudos. Éstas resultan las fuerzas nodales del problema original, a las que deben sumarse las fuerzas equivalentes en los nudos. Las fuerzas equivalentes en un nudo se determinan como la suma, cambiada de signo, de todas las fuerzas de empotramiento de los extremos de las barras que concurren a dicho nudo. La solución del Estado II se determina mediante el procedimiento descrito en el capítulo anterior, es decir resolviendo un sistema de ecuaciones simultáneas de equilibrio del conjunto de la estructura con las condiciones de vínculo originales. Una vez calculados los desplazamientos nodales de la solución del Estado II, se determinan barra por barra las fuerzas en sus extremos, y con esos valores se trazan los diagramas de esfuerzos correspondientes a este estado. Las reacciones se calcular sumando las fuerzas de extremo de barra de todas las barras que concurren al apoyo.

Solución del problema original: Se obtiene superponiendo las soluciones de los Estados I y II.

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a) Los desplazamientos nodales son directamente los correspondientes al Estado II, dado que en el Estado I son todos nulos. b) Los diagramas finales de esfuerzos internos se obtienen sumando los diagramas del Estado II (del tipo de las Figura 8.11, Figura 8.12 y Figura 8.14) con los diagramas de barras biempotrados del Estado I (del tipo de las Figura 9.3 y Figura 9.5 de este capítulo). Como ejemplo considérense los diagramas de esfuerzos de la barra horizontal 2-3.

Figura 9.7

9.2- Efectos térmicos Las estructuras están sometidas frecuentemente a variaciones de temperatura. Los efectos que provocan dichos cambios de temperatura dependen tanto de su magnitud como también del material de la estructura y, fundamentalmente, del grado de hiperestaticidad. Ya se ha visto que las estructuras hiperestáticas pueden sufrir esfuerzos por cambios térmicos al estar impedidas de deformarse libremente. En el caso de la estructura hiperestática de la Figura 9.8.a, un aumento uniforme de temperatura Δt en la barra 2-3 produce la deformada indicada en línea de trazos, además de tensiones en todas las barras. Por el contrario, para el caso particular de la Figura 9.8.b, sólo se produce un alargamiento (no restringido) de las barras verticales que no genera tensiones.

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t

t

Figura 9.8 La forma de analizar este fenómeno es idéntica a la ya vista para el caso de cargas en el interior de tramos. Se debe primero determinar las "fuerzas de empotramiento" causadas por el cambio de temperatura, y aplicar las fuerzas equivalentes en el Estado II de una manera similar a la utilizada para las cargas en el interior de las barras. Un procedimiento tentativo para encontrar las fuerzas de empotramiento en coordenadas locales consiste en: empotrar el nudo "i" y resolver el problema por el Método de las Fuerzas. En el Estado 0, sólo se generan distorsiones térmicas   t ,  t , etc  , y es necesario luego resolver las ecuaciones de compatibilidad asociadas al empotramiento en el nudo "j". 11 X 1  12 X 2  13 X 3  10  0   21 X 1   22 X 2   23 X 3   20  0  X   X   X    0  31 1 32 2 33 3 30

Con los resultados de esas ecuaciones se obtienen las reacciones en el apoyo "i" a través de las ecuaciones de equilibrio. El estado final resulta: _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -6-

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X3 X1 X2

Existe un caso muy frecuente que consiste en una variación térmica uniforme a través de la longitud de la barra, debido a la diferencia de temperatura entre las caras superior e inferior de la viga (asumida de variación lineal en altura).

ts

ts

ti

ti

ts  ti tm  0 Figura 9.9 Donde:

  t   ti  F   . s  . A.E 2  

;

 t  ti M   . s h 

  . E. I 

(Ec. 9.1)

En el caso de la Figura 9.9 , la viga no presenta ninguna deformación transversal a causa de que el momento flector es constante, y por lo tanto la curvatura por flexión es igual y opuesta a la curvatura térmica, también constante. Por lo tanto, el efecto del gradiente térmico constante en toda la barra no produce curvatura en la misma para la condición de nudos fijos o empotrados. En la Figura 9.10 se presenta un ejemplo ilustrativo.

ts (  )

Figura 9.10 Las fuerzas de empotramiento de la (Ec. 9.1) se encuentran en un sistema local, y deben transformarse al sistema global para tener las fuerzas equivalentes en el Estado II  P  RT Pl  .

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De aquí en más, el procedimiento es exactamente igual al caso de cargas en el interior de los tramos.

Efectos térmicos en un reticulado: En el caso de la Figura 9.11, en donde la diagonal que se indica sufre un aumento de temperatura t , no hay restricción al alargamiento de la barra. El estado final de deformación es el correspondiente al Estado II y no hay tensión en ninguna barra en el estado original. FV FH

t FH

FV

Figura 9.11 En el Estado I sólo se tiene la barra indicada comprimida por una fuerza F   t AE , y en el Estado II, esta fuerza es totalmente absorbida por la diagonal traccionada por la fuerza F. t

FV FH FH FV

Figura 9.12 Por el contrario, en el caso de la Figura 9.12, la carga equivalente en los nudos es absorbida por todo el marco cerrado indicado en la Figura 9.13 y por lo tanto hay esfuerzos en todas las barras de dicho marco. La barra que sufre el t está comprimida en el Estado I y traccionada en el Estado II. En este caso particular, luego de la superposición estará comprimida.

Figura 9.13

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -8-

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9.3- Desplazamientos prefijados Aunque las estructuras están básicamente diseñadas para resistir cargas, puede ocurrir que ciertos desplazamientos impuestos, aunque pequeños, produzcan esfuerzos importantes. A los nudos cuyos desplazamientos son conocidos se los conoce normalmente como “apoyos”, y en ellos no se conoce a priori la fuerza (reacción de apoyo). Los nudos restantes donde se conoce la fuerza exterior se llaman nudos libres, y en ellos no se conoce a priori el desplazamiento. Los desplazamientos prefijados se originan por diversas causas. Por ejemplo, en caso del cedimiento de un apoyo de la fundación de un edificio, se estima el desplazamiento máximo producido por el mismo, pudiendo analizarse si la deformabilidad de la estructura permite ese desplazamiento sin fallar. En el caso de una viga continua, se estiman los desplazamientos relativos máximos que podrían sufrir los apoyos. La mayoría de las veces, el desplazamiento prefijado no es algo que necesariamente vaya a ocurrir, sino que se pretende tener una idea de los esfuerzos que se generan si un "cierto desplazamiento" llegara a producirse. El procedimiento de superposición desarrollado en este capítulo también permite tratar el problema de desplazamiento prefijado. Sólo deben desplazarse los nudos cuyo desplazamiento se "conoce", empotrando todos los restantes nudos de la estructura para obtener el Estado I. Obsérvese que la aplicación del procedimiento descripto para este caso requiere que se "relaje" la condición de empotramiento perfecto de los nudos en el planteo del Estado I.

M2

 3V P2 y

12.

E .I V . 3 l3

6.

E .I V . 3 l2

 3V M3 P3 y

Figura 9.14 Las fuerzas de empotramiento de una barra con desplazamientos prefijados en alguno de sus nudos se obtienen fácilmente empleando las ecuaciones fuerza-movimiento de dicha barra ((Ec. 8.22), (Ec. 8.33) y (Ec. 8.34)). A manera de ejemplo, considerando desacoplado el efecto axial en la barra 2-3 de la Figura 9.14, y empleando la (Ec. 8.22), se obtiene el siguiente sistema: _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -9-

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 K1  K  2   K1   K2

K2

 K1

K3

 K2

K2

K1

K3 2

 K2

K 2   0   P2 y  K1  3V    K 3 2   0   M 2  K 2  3V  .   K 2    3V   P3 y   K1  3V       K 3   0   M 3  K 2  3V 

(Ec. 9.2)

En el caso de una barra inclinada, conviene usar la (Ec. 8.22) que corresponde a coordenadas locales para facilitar el trazado de los diagramas de esfuerzos del Estado I. Las fuerzas de extremo se transforman luego al sistema global para obtener las fuerzas equivalentes del Estado II. Debe destacarse que una vez obtenidos los desplazamientos del Estado II, se obtienen los esfuerzos barra por barra en la forma habitual (recordar que, en el Estado II, U 3 y  0 ), y luego se superponen los esfuerzos del Estado I (causados por U 3 y   3V ). Un procedimiento alternativo para abordar el caso de un desplazamiento prefijado sin recurrir al principio de superposición se logra generalizando la (Ec. 8.42). En efecto, el sistema global de ecuaciones de equilibrio se puede particionar en tres, reordenando filas y columnas, quedando de la siguiente forma:  K11   K 21 K  31

K12 K 22 K 32

K13  U   P       K 23  .      R  K 33   0   R 

(Ec. 9.3)

   : Desplazamientos prefijados  R  : Reacciones de apoyo asociadas a esos desplazamientos  R  : Reacciones en los puntos con desplazamiento nulo Desarrollando la (Ec. 9.3) se obtienen tres sistemas de ecuaciones de equilibrio: K11U  K12   K13 0  P



K11U  P  K12 

(Ec. 9.4)

K 21U  K 22   K 23 0  R



K 21U  K 22   R

(Ec. 9.5)

K 31U  K 32   K 33 0  R



K 31U  K 32   R

(Ec. 9.6)

En primer lugar se resuelve el sistema de la (Ec. 9.4) donde se observa que el efecto de los desplazamientos prefijados  introduce una modificación del término de cargas. Una vez calculados los U , se calculan las reacciones de apoyo efectuando los productos indicados en (Ec. 9.5) y (Ec. 9.6). Este procedimiento, que resulta más directo, requiere almacenar la matriz completa antes de aplicar las condiciones de contorno, además de las técnicas de partición, por lo que debe realizarse un ordenamiento sistemático de la información. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -10-

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La diferencia entre ambas técnicas radica en que la primera determina las fuerzas de empotramiento barra por barra según la ecuación fuerza-desplazamiento de cada barra (como en la expresión (Ec. 9.2)), y se agregan al vector de cargas, cambiadas de signo, mientras que la segunda modifica el vector de cargas utilizando la submatriz K12 . A modo de ejemplo, se desarrolla el segundo procedimiento para el pórtico de la Figura 9.14. Por simplicidad, no se consideran los apoyos con desplazamiento nulo, es decir que no se tienen en cuenta las últimas filas y columnas de la (Ec. 9.3).

 Aa  K b  Ba    Ca   K b  0    0 

Ba D a  K1b

Ca  E a  K 2b

K b 0

0  K1b

 E a  K 2b

K 3 a  K 3b

0

 K 2b

0  K1b

0  K 2b

Kb 0

0 K1b

K 3b 2 0  K 2b

K 2b

K 3b 2

0

 K 2b

K 3b

0 K 2b

   U x  0    2y      U 2  0      0   . 2       U 3 x  0    V      3  0    3  0   

(Ec. 9.7)

Intercambiando las filas quinta y sexta, lo mismo que las columnas quinta y sexta, se llega a la partición (Ec. 9.3). El sistema del tipo (Ec. 9.4) a resolver resulta:       

K11

 U 2 x   0    y   K b V   U 2   1 3   .  2     K 2b  3V    x    U 3   0    3    K 2b  3V 

(Ec. 9.8)

Nótese que el vector de carga en la (Ec. 9.8) coincide con las cargas en el Estado II de la Figura 9.14, que son las fuerzas de empotramiento calculadas en (Ec. 9.2) cambiadas de signo. Para calcular la reacción vertical en el apoyo 3 se utiliza la (Ec. 9.5) : K 21U  K 22   K 23 0  R

 0  K1b

 K2b

U 2 x   y U 2  b 0  K 2   2    K1b    3V    R3 y   x U 3     3 

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -11-

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9.4- Defectos de montaje Durante la fabricación y montaje de los elementos estructurales suelen ocurrir errores inevitables que pueden ocasionar esfuerzos internos o deformaciones iniciales. Si la estructura es hiperestática, el montaje en tales condiciones producirá la aparición de esfuerzos internos y/o externos para compensar los errores o imprecisiones geométricas. En el caso (b) de la Figura 9.15, donde una barra resultó corta, sólo se altera la geometría teórica pero no se producen esfuerzos.

Figura 9.15

En el caso (c), aparecerán esfuerzos además de las distorsiones geométricas. Se puede descomponer el problema de una barra "larga" en un Estado I, en que la misma está comprimida con una fuerza tal que la lleve a su longitud teórica, y un Estado II en el que se transforman las fuerzas de empotramiento del Estado I en fuerzas exteriores actuando en los nudos que une dicha barra. Estas cargas tendrán el mismo módulo y dirección que las del Estado I, pero de sentido contrario.

Figura 9.16

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -12-

CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________

Ejercicio Nº 1: En la barra de la figura se pide trazar los diagramas de  M , Q y N  sabiendo que: a) El nudo 1 está empotrado. b) Mediante una fuerza vertical P2 y y un momento M 2 aplicados en el nudo 2 se desplaza dicho nudo hasta 2*.

  0, 2

P2 x  0

A  2 cm 2

P2 y  ??

M 2  ??

I  4 cm4

;

E  2,1 106

;

kg cm 2

Cálculo de los coeficientes de la matriz de rigidez en coordenadas globales.

2 1 1/ 2

L   802  602  K

 100

;

1 

80  0,8 100

;

2 

60  0, 6 100

A.E E.I E.I E.I  42000 ; K1  12. 3  100,8 ; K 2  6. 2  5040 ; K 3  4.  336000 l l l l

A  26916 ; B  20111 ; C  3024 ; D  15184 ; E  4032

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -13-

CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________

Cálculo del giro del extremo 2:



 60    arctan    36,87º  80 

2  35  36,87 (horario) 2  0, 03264rad

Cálculo del desplazamiento horizontal U 2 * : Si se conoce la fuerza P2 x  0 entonces se desconoce el desplazamiento U 2 x .

        

// // // // // //

// // // // // //

// // // // // //

// // // // // // 26916 20111 // // // //

//   0  ?    ? //   0     ? //   0 .   x 3024   U 2  0  / /   0, 2   ?       / /   0, 03264   ? 

 26916. U 2 x   0  20111 0, 2  3024   0, 0326  U 2 x  0,14577

Cálculo de las fuerzas de extremo (coordenadas globales):         

// // // // // //

// // // // // //

// // // // // //

26916 20111 3024   0   0      237  20111 15184 4032   0      6730  3024 4032 168000   0  .   26916 20111 3024   0,1457   0  20111 15184 4032   0, 2   237       3024 4032 336000   0, 03264  12213

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -14-

CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________

Fuerzas de extremos en el sistema local: R P  Pl  0,8 0, 6  0  142   0, 6 0,8  .  237   189       

Fuerzas de extremo de barra:

Sistema Global

Diagramas:

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -15-

CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________

Ejercicio Nº 2: Analizar la estructura del croquis bajo la acción de un efecto térmico en la cara superior de las dos barras.

ts

I1  I 2  1000cm 4 A1  A2  60cm 2

; ts  30º C ;

h  30cm

;

;

E  2,1 106

  1,1105

kg cm 2

1 ºC

Fuerzas de empotramiento en el Estado I:

ts

ts

F   .tm . A.E  20790 kg

 t M   . s  h

  .E.I  23100 kg.cm 

Cargas nodales equivalentes en el Estado II:

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -16-

CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________

Matriz de rigidez de la barra 1 - Sistema Global: K

A.E E.I E.I E.I  315000 ; K1  12. 3  393, 75 ; K 2  6. 2  78750 ; K 3  4.  21000000 l l l l 2

1

  1      2  

// // // // // //

// // // // // //

// // // // // //

// // // 315000 0 0

// // // 0 393, 75 78750

//   //   //  0  78750   21000000

Matriz de rigidez de la barra 2 - Sistema Global: K

A.E E.I E.I E.I  252000 ; K1  12. 3  201, 6 ; K 2  6. 2  50400 ; K 3  4.  16800000 l l l l

 1  0, 6

;

 2  0,8

A  90849, 02 ; B  120863, 23 ; C  40320, 00 ; D  161352, 57 ; E  30240, 00 3

2

 90849  120863 2   40320  //   // 3  // 

120863 161352 30240 // // //

40320 30240 16800000 // // //

// // // // // //

// // // // // //

// // // // // //

        

Sistema de ecuaciones de equilibrio, una vez impuestas las condiciones de borde de apoyos empotrados 1 y 3. x  405849, 02 120863, 23 40320  U 2  8316   (*) 120863, 23 161745,98 48510  . U 2 y    R2 y   40320 48510 37800000  2   0 

Al imponer la condición de apoyo U 2 y  0 se obtiene un sistema de 2 x 2.  405849, 02 40320  U 2 x  8316  .   40320 37800000   2   0   U 2 x   0, 0204925498      2   0, 0000218587 

El cálculo de la reacción vertical en el apoyo 2, puede obtenerse empleando la segunda ecuación del sistema (*). _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -17-

CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________

R2 y  120863.(0, 02049)  48510.(0, 00002186)  2475, 7

Cálculo de las fuerzas en el extremo de la barra (1) en coordenadas locales.         

// // // // // //

// // // // // //

// // // // // //

315000 0 0 315000 0 0

// // // // // //

0 0     6455, 2    1,7  78750   0      229,5  10500000   0  .   0   0,020492   6455, 2    1,7  78750   0      21000000   0,00002185  459,0 

El cálculo de las fuerzas de extremo de la barra (2) en coordenadas locales se realiza transformando los desplazamientos del nudo 2 al sistema local de la barra (2). RU  U l  0, 6 0,8  0, 0204925  0, 0122955   0,8 0, 6  .     0, 0163904  0        252000  0   0   252000  0  0 

0

0

//

//

//

201, 6

50400

//

//

//

50400

16800000

//

//

//

0 201, 6

0 50400

// //

// //

// //

50400

8400000

//

//

//

  0, 0122955   3098,5    0, 0163940   2, 2        0, 000021858  459  .   0     3098,5      2, 2  0      0     642, 6 

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -18-

CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________

642,6

El equilibrio del nudo 2 en el sistema global se verifica transformando las fuerzas de extremo de la barra (2) al sistema global. R T Pl  P  0, 6 0,8 3098,5 1860,8   0,8 0, 6  .  2, 2    2477,5      

Equilibrio del nudo 2:

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -19-

CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________

Ejercicio Nº 3: Calcular los desplazamientos en el pórtico de la figura y trazar los diagramas de M y Q .

Barra 1 : l1  300cm

; I1  600cm 4

; A1  5cm 2

; I 2  400cm 4

; A2  4cm 2

Barra 2 : l2  200cm

P  200 kg kg q  50 m

Matriz de rigidez de las barras: Barra 1: K

A.E E.I E.I E.I  35000 ; K1  12. 3  560 ; K 2  6. 2  84000 ; K 3  4.  16800000 l l l l 1

 35000  0 1   0   35000  0 3  0 

0 560 84000 0 560 84000

3

0 84000 16800000 0 84000 8400000

35000 0 0 35000 0 0

0 560 84000 0 560 84000

0  84000  8400000   0  84000   16800000 

Barra 2: K

A.E E.I E.I E.I  42000 ; K1  12. 3  1260 ; K 2  6. 2  126000 ; K 3  4.  16800000 l l l l 2

 1260  0 2   126000   1260  0 3   126000

0 42000 0 0 42000 0

3

126000 0 16800000 126000 0 8400000

1260 0 126000 1260 0 126000

0 42000 0 0 42000 0

126000   0  8400000   126000   0  16800000 

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -20-

CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________

P.l  7500kg .cm 8

P.l 8

q.l 2

P  100kg 2

P.l 8

P 2

q.l 2  1666, 67kg.cm 12

q.l 2 24

q.l  50 Kg 2

16800000  126000   0   8400000

126000

0

36260

0

0 126000

42560 84000

8400000   2  1667, 67  126000  U 3x   50  .  84000  U 3 y   100       33600000   3   5833, 3 

 2   0, 0000303655  U x   0, 002070815   3   U 3 y   0, 002016577       3   0, 000168743 

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -21-

CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________

Diagramas de M y Q :

1666,67

1666,67

1666,67

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -22-