Cátedra de Ingeniería Rural

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real

Tema 3: FORMULAS DE LA FLEXION − Fórmula general de la flexión: Momento de inercia y módulo resistente. − Efecto de la forma de la sección transversal. − Variación de la sección en el sentido longitudinal. − Esfuerzo cortante en la flexión. Momento estático. − Influencia de la forma de la sección transversal.

1

Cátedra de Ingeniería Rural

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real

FORMULA GENERAL DE LA FLEXION

Después de la deformación, los planos de las dos secciones laterales adyacentes mn y pq se cortan en O. Designando por dθ el ángulo que forman estos planos se observa que: dx = ρ ⋅ dθ 1 dθ = ⋅ dx ρ

siendo

1 la curvatura del eje neutro. ρ

Se traza por el punto b del eje neutro una recta p’q’ paralela a mn para indicar la orientación primitiva de la sección transversal antes de la flexión. El segmento cd de una fibra distante y de la superficie neutra se alarga una magnitud dd’ ( dd' = y ⋅ dθ ). Como la longitud inicial de dd’ era dx, la deformación correspondiente es: εx =

δ dd' y ⋅ dθ = = l dx dx y εx = ρ

Fibras cara convexa: alargamiento → TRACCION Fibras cara cóncava: acortamiento → COMPRESION La tensión de cada fibra será directamente proporcional a su deformación longitudinal:

σx = εx ⋅ E =

E ⋅y ρ 2

Cátedra de Ingeniería Rural

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real

DETERMINACION DEL EJE NEUTRO

El fuerza que actúa sobre un elemento de área dA es σx⋅dA Aplicando la ecuación σ x = ε x ⋅ E =

E ⋅y ρ

se tiene que el elemento de fuerza que actúa sobre el área dA es: E  σ x ⋅ dA =  ⋅ y  ⋅ dA ρ 

Puesto que NO debe haber fuerza normal resultante Nx (FLEXION PURA)

∑F = 0 ∫σ A

x

E  E ⋅ dA = ∫  ⋅ y  ⋅ dA = ⋅ ∫ y ⋅ dA = 0 A ρ ρ A  

Como

E ≠ 0 se deduce que ρ

Recordando que se tiene

∫

A

yc =

∫

A

∫

A

y ⋅ dA = 0

y ⋅ dA A

y ⋅ dA = y c ⋅ A = 0

Como A =/ 0 yc=0, lo que indica que el EJE NEUTRO de la sección recta pasa por su centro de gravedad.

3

Cátedra de Ingeniería Rural

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real

Las tensiones distribuidas en la sección recta deben originar un par resistente M. σx⋅dA

El momento de la fuerza elemental sección es dM=σx⋅dA⋅y.

respecto al eje neutro de la

La suma de los momentos elementales en el área total debe producir el momento de flexión M en esta sección. Así: M = ∫ y ⋅ σ x ⋅ dA = A

E ⋅ ∫ y 2 ⋅ dA ρ A

I = ∫ y 2 ⋅ dA A

1 M = ρ E ⋅I

E⋅I se denomina rigidez de la flexión de la viga. σx = ε x ⋅ E =

Combinando las expresiones tiene que σx =

Cara inferior (convexidad) Cara superior (concavidad)

E ⋅y ρ

y

1 M = , ρ E ⋅I

se

M⋅ y I

TRACCION COMPRESION

Llamando c1 y c2 a las distancias a las fibras extremas en tracción y compresión, respectivamente: σT =

M ⋅ c1 I

σC =

M⋅c2 I

Si la sección transversal es simétrica con respecto a su eje de gravedad, c1=c2=c y las tensiones de las fibras extremas en tracción y compresión son iguales.

4

Cátedra de Ingeniería Rural

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real

Introduciendo las notaciones

W1 =

I c1

y

W2 =

I c2

llamados

MODULOS DE RESISTENCIA o MOMENTOS RESISTENTES de la sección, se tiene: σT =

M W1

σC =

M W2

• En el caso de una sección rectangular de anchura b y altura h c1 = c 2 =

I=

h 2

b ⋅ h3 12

b ⋅ h3 I b ⋅ h2 12 W1 = W2 = = = h c 6 2

• En el caso de una sección circular de diámetro d c1 = c 2 =

I=

d 2

π ⋅ d4 64

W1 = W 2 =

π ⋅ d3 32

• En el caso de una sección trapecial Si c1W2 → σT