CATEGORÍAS PARA EL ANÁLISIS DE LA INICIACIÓN AL TRABAJO ALGEBRAICO EN LIBROS DE TEXTO DEL NIVEL PRIMARIO Fabiana Kiener Facultad de Humanidades y Ciencias – Universidad Nacional del Litoral [email protected] La educación matemática en la escuela primaria; Nivel primario

Resumen: El presente trabajo se enmarca en una investigación que tiene como objeto caracterizar la iniciación al trabajo algebraico en libros de texto y estudiar, paralelamente, las actividades propuestas para el desarrollo del tema. El análisis se enfoca en el modo en que se introduce el tema, en los procesos de exploración, producción de conjeturas, desarrollo de justificaciones, y en el tratamiento y conversión de registros de representación que se promueven en los diferentes textos. En esta comunicación se presentan algunos argumentos teóricos respecto de la importancia otorgada a la búsqueda de alternativas para mejorar la enseñanza del álgebra y al estudio de libros de textos en la investigación educativa, la metodología de la investigación, las categorías consideradas para el estudio de los libros y un ejemplo de aplicación de dichas categorías al to estudio de un libro de matemática para 6 grado de la escuela primaria. Finalmente, se expresan algunas reflexiones sobre la categorización presentada y sobre el libro estudiado. Teniendo en cuenta la significativa influencia de los libros de texto en las decisiones didácticas de un profesor y su constitución como una de las fuentes que intervienen en la elaboración del discurso docente, el estudio de los mismos ofrece información significativa acerca de cómo se aborda un concepto en el aula y permite realizar inferencias sobre las consecuencias que los distintos tipos de tratamientos pueden tener en el aprendizaje de los sujetos. 1. INTRODUCCIÓN El presente trabajo se enmarca en una investigación que tiene como objeto caracterizar la iniciación al trabajo algebraico en libros de texto y estudiar, paralelamente, las actividades propuestas para el desarrollo del tema. El análisis se enfoca en el modo en que se introduce el tema, en los procesos de exploración, producción de conjeturas, desarrollo de justificaciones, y en el tratamiento y conversión de registros de representación que se promueven en los diferentes textos. En esta comunicación se presentan algunos argumentos teóricos respecto de la importancia otorgada a la búsqueda de alternativas para mejorar la enseñanza del álgebra y al estudio de libros de textos en la investigación educativa (sección 2), la descripción de la metodología de la investigación (sección 3) y de las categorías generales consideradas para el estudio de los libros así como de los campos incluidos en cada una de ellas (sección 4) y un ejemplo de análisis de un to libro de matemática para 6 grado de de la escuela primaria, de acuerdo con la categorización establecida (secciones 5 y 6). Finalmente, se expresan algunas reflexiones sobre la categorización presentada y sobre el libro estudiado (sección 7). Teniendo en cuenta la significativa influencia de los libros de texto en las decisiones didácticas de un profesor y su constitución como una de las fuentes que intervienen en la elaboración del discurso docente, el estudio de los mismos ofrece información significativa acerca de cómo se aborda un concepto en el aula y permite realizar inferencias sobre las consecuencias que los distintos tipos de tratamientos pueden tener en el aprendizaje de los sujetos. 2. MARCO TEÓRICO Según Chevallard, Bosch y Gascón (2000) una buena reproducción por parte del alumno de la actividad matemática, exige que éste intervenga en la misma, que formule enunciados, pruebe proposiciones, construya modelos, lenguajes, conceptos y teorías, que los ponga a prueba e intercambie con otros, que pueda reconocer los que están conformes con la cultura matemática y que tome los que le son útiles para continuar con su actividad. Estos autores reconocen la dificultad para hallar o construir una situación en la que el alumno actúe, además de como alumno, como verdadero matemático, responsabilizándose de las respuestas que da a las cuestiones que se le plantean. Este tipo de actuación de los alumnos exige dejar de lado una tendencia clásica en la enseñanza de la matemática, según la cual recae sobre el profesor la responsabilidad de validar todas las afirmaciones y resultados que se trabajen. En relación con lo anterior, Carmen Sessa (2005) sostiene que el álgebra constituye una oportunidad esencial para estudiar propiedades y relaciones entre los números, elaborar

conjeturas, organizar y producir argumentos, por lo que ofrece una posibilidad para fomentar en los alumnos la justificación matemática de sus respuestas. Al mismo tiempo, la importancia del trabajo algebraico radica en que “está presente en toda la matemática, pues cualquier problema termina convirtiéndose en un cálculo más o menos algebraico” (Socas, Camacho, Palarea y Hernández, 1996, p. 38) y su enseñanza se establece en los documentos oficiales a partir de los últimos años de la escuela primaria (Núcleos de Aprendizaje Prioritarios y Diseños Curriculares Jurisdiccionales de la Provincia de Santa Fe). Sin embargo, varios autores acuerdan en que esta área de la matemática genera múltiples dificultades en los alumnos (Petich, 2010; Barrio, 2010; Ramírez García y Rodríguez Marcos, 2011; Sessa, 2005; Socas et al, 1996), por lo que resulta relevante buscar alternativas para su enseñanza que prevengan los errores frecuentes y favorezcan la construcción del sentido. Uno de los cambios conceptuales más importantes que se producen en el pasaje de la aritmética al álgebra es el “nuevo” significado del signo igual. No suele ser fácilmente interiorizado por los alumnos el sentido bidireccional, como indicador de equivalencia, porque lo asocian al significado que adquieren en los primeros años de escolarización, que es el de invitación a hacer algo, es decir, a resolver las operaciones planteadas, teniendo en cuenta además que la notación de dicho símbolo es compartida por el trabajo aritmético y algebraico (Ramírez García y Rodríguez Marcos, 2011; Socas et al, 1996) y que en muchos casos los ejercicios propuestos generan la idea de ecuación como igualdad numérica verdadera, de la cual se desconoce una parte (Sessa, 2005). También se diferencia la aritmética del álgebra en cuento al significado de las letras, donde el aspecto más relevante se da en la idea de la letra como variable. “Incluso cuando los alumnos interpretan letras que representan números hay una tendencia a considerar las letras como valores únicos y específicos, como en a+5=9, más que como números generalizados o como variables como en a+b=b+a o A=b.a” (Socas et al, 1996, p. 99). Esto se relaciona con lo mencionado en el párrafo anterior, respecto a la idea que puede generarse sobre el concepto de ecuación, que lleva a interpretar la letra como un número único y dado, lo cual dificulta la comprensión de ecuaciones sin solución o con varias (incluso infinitas) soluciones (Sessa, 2005). Con el objetivo de prevenir estas dificultades, Socas et al (1996) proponen, entre otras cosas, favorecer la comprensión algebraica en términos de traducción de lenguajes. Esta sugerencia se relaciona con la potente idea de Duval (2008) acerca de que el único modo de acceder a los objetos matemáticos es a través de las representaciones semióticas y que no sólo se debe pasar de un registro a otro que utilice la misma clase de signos (tratamiento) sino que se deben propiciar espacios para la conversión de un registro a otro, que utilice distintos tipos de signos. Socas et al (1996) también señalan que si bien actualmente hay unanimidad respecto a las competencias del álgebra en la escuela, dependiendo del concepto de variable involucrado en el tratamiento algebraico pueden aparecer diferentes tipos de currículos. Así, se puede considerar que el álgebra es: aritmética generalizada, resolución de ecuaciones, relación entre cantidades o se le otorga una interpretación más bien estructural, en la que “las letras constituyen entes pertenecientes a estructuras algebraicas tales como grupos, anillos, dominios de integridad o cuerpos” (Socas et al, 1996, p. 95). Sugieren combinar estos cuatro aspectos, pero coinciden con Sessa (2005) al proponer la iniciación del álgebra con la idea de generalización, puesto que favorece el desarrollo de los demás y posibilita la formulación de conjeturas y la elaboración de validaciones. En este caso, las letras representan números generales o genéricos y se pone en juego la noción de equivalencia al transformar las expresiones algebraicas. Esto prepararía mejor a los alumnos para abordar más adelante el concepto de ecuación (Sessa, 2005). Sin embargo, esta autora señala que en nuestro país suele iniciarse el trabajo algebraico con la resolución de ecuaciones. El tratamiento precoz de este concepto ocasiona serias dificultades en los alumnos, que muchas veces terminan memorizando “reglas prácticas” para su resolución, sin comprender el sentido de lo que están haciendo (Sessa, 2005; Moreno y Castellanos, 1997). Entre las cuestiones que suelen estar ausentes en la escuela durante el abordaje de este tema, menciona la explicitación del dominio numérico sobre el que se está trabajando, la resolución de ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones, el principio de necesidad (las ecuaciones aparecen como una complicación innecesaria), el estudio de distintos problemas que se resuelvan con la misma ecuación, o de un mismo problema que se pueda resolver con distintas ecuaciones (dependiendo de cómo se seleccionen las variables). Si a las características anteriores agregamos que un tratamiento temprano de ecuaciones no dispone de suficientes elementos como para explicitar diferencias entre las transformaciones efectuadas al resolverlas (entre las realizadas en un solo miembro y las efectuadas relacionando los dos miembros), por lo que se produce una simplificación que oculta la naturaleza del objeto

ecuación y ocasiona una pérdida de sentido, se presenta la necesidad de buscar otros caminos para iniciar el álgebra escolar (Sessa, 2005). De acuerdo con las consideraciones teóricas anteriores, una de las preocupaciones de los especialistas en didáctica de la matemática es la búsqueda de alternativas para la enseñanza del álgebra que propicien la construcción del sentido por parte de los alumnos. Para ello, consideramos relevante comenzar indagando el modo en el que se introduce el trabajo en esta área de la matemática en libros de texto del nivel primario. El hecho de focalizar el estudio en el tratamiento del tema en libros de texto, se debe a que este tipo de material didáctico ofrece una manera de obtener información significativa acerca de cómo se aborda un concepto en el aula, ya que reflejan, al menos en parte, el currículo diseñado (Villella, 2007; González Astudillo y Sierra Vázquez, 2004), constituyen uno de los factores que mayor influencia tienen en el aula (Schubring, 1987; Sessa y Cambriglia, 2007) y el soporte de circulación del saber que se considera oficialmente óptimo dentro de las instituciones (Villella, 2007). Además, el hecho de reflejar determinados aspectos de los conceptos puede influir en lo que los alumnos aprenden (qué y cómo), dado que proporcionan la mayor parte del contenido matemático que los estudiantes deben aprender y constituyen una de las principales fuentes de tareas (García y Llinares, 1995, citado en Villella, 2007). En relación con el estudio de libros de texto, el proceso de trasposición didáctica, es decir, el “conjunto de transformaciones adaptativas que sufre una obra para ser enseñada” (Chevallard et al, 2000, p.136) adquiere especial relevancia. Al respecto, Sanz Lerma (1994) sostiene que al no encontrarse publicado en ninguna parte el saber a enseñar, lo más próximo a él es el libro escolar, cuyo contenido y estructura reflejan las transformaciones efectuadas sobre el saber sabio. Según Kang y Kilpatrick (1992), la percepción del fenómeno de transposición didáctica puede ayudarnos a mejorar nuestra manera de tratar el conocimiento matemático escolar, teniendo en cuenta que el uso efectivo de los textos depende de la vigilancia epistemológica que se ejerza sobre ellos. Considerando la significativa influencia de los libros de texto en las decisiones didácticas de un profesor y su constitución como una de las fuentes que intervienen en la elaboración del discurso docente, el estudio de los mismos nos ofrece información significativa acerca de cómo se aborda un concepto en el aula. En particular, nos interesa caracterizar el modo en el que se inicia el trabajo algebraico en libros de texto del nivel primario, centrando el análisis en la idea de variable que subyace, el tratamiento y conversión de representaciones semióticas, la formulación de conjeturas y el desarrollo de validaciones que se ponen en juego en el texto. Este estudio posibilita la realización de inferencias sobre las posibles implicancias que los distintos abordajes pueden tener en el aprendizaje de los sujetos, en particular, en lo que concierne a la construcción del sentido del tema elegido. En esta comunicación presentaremos una primera aplicación de la categorización inicial para el análisis de los textos, en un libro de texto para 6to grado de la escuela primaria, con el fin de evaluar si las categorías establecidas permiten abordar en profundidad el objeto de estudio. 3. METODOLOGÍA Este estudio se enmarca en el paradigma interpretativo dado que, entre otros aspectos, se trata de un estudio a pequeña escala en el que se busca la comprensión de los fenómenos en lugar de determinar sus causas y no se pretende generalizar los resultados hallados. Se trata de una indagación de tipo descriptiva, puesto que el objetivo está en describir un fenómeno (Bisquerra, 1989). Según las fuentes utilizadas, la investigación es bibliográfica pues supone “la búsqueda, recopilación, organización, valoración, crítica e información bibliográfica” (Bisquerra, 1989, p.67) sobre un tema específico, a saber: el modo en el que se inicia el trabajo algebraico en libros de texto del nivel primario. Desde el punto de vista metodológico, la investigación es cualitativa. Una de las técnicas que se utilizará durante el estudio de los textos es el análisis de contenido, cuyo objetivo básico es tomar un documento no cuantitativo y transformarlo en datos cuantitativos, identificando categorías y unidades de análisis apropiadas que reflejarán la naturaleza del documento analizado y la finalidad de la investigación (Cohen y Manion, 1990). 4. BREVE DESCRIPCIÓN DE LA CATEGORIZACIÓN INICIAL Determinamos los siguientes puntos de interés para caracterizar los textos: Estructura de la obra y Caracterización de la Introducción al Álgebra.

Con el objetivo de llevar a cabo una adecuada sistematización del trabajo, definimos campos de análisis para cada punto de interés, teniendo en cuenta para ello la organización de la información propuesta por Maz Machado (2005). Para el estudio de la Estructura de la obra establecimos seis campos, agrupados en dos categorías genéricas denominadas: Caracterización General de la Obra y Caracterización del Contenido de la Obra. Para el foco de atención centrado en el Caracterización de la Introducción al Álgebra, definimos quince campos que permiten abordar algunas de las cuestiones mencionadas en el marco teórico. Cada campo de análisis se ha identificado con las iniciales de la denominación genérica a la que pertenece, seguida de un numeral. 5. APLICACIÓN DE LA CATEGORIZACIÓN INICIAL A continuación se presenta el análisis del texto seleccionado a través de la categorización inicial: 1.1. Caracterización General de la Obra CGO1: Año de edición, lugar donde se imprimió el texto e imprenta o editorial. CGO2: Número de páginas, forma como está dividido el texto y distribución de sus contenidos.

CGO3: Objetivos, intenciones o deseos explícitos que señala el autor.

1.2. Caracterización del Contenido de la Obra CCO1: Parte del texto dedicada al tratamiento del álgebra. Se indican también el tema previo y el posterior.

CCO2: Modo de aproximarse al álgebra de acuerdo con la clasificación de Socas et al (1996) CCO3: Aspectos de interés no considerados bajo ninguno de los campos definidos anteriormente. 2. Caracterización Introducción al Álgebra CIA1: Manera tratamiento del fragmenta en (introducción, sección de

de

la

de organizar el tema elegido: si se distintas secciones sección de teoría, práctica, ejercicios

TEXTO 1 2009, Buenos Aires, Ediciones sm. Tiene 176 páginas. Está dividido en 12 capítulos y dos secciones denominadas “Cuaderno Blog I” y “Cuaderno Blog II” (una se encuentra al terminar el 5to capítulo y la otra, al final del libro). Cada capítulo se divide en secciones enumeradas con subtítulos. Al final de cada capítulo, se incluyen las siguientes secciones “El repaso antes de la prueba”, “La integración después del repaso”, “La prueba” y “Aprender a hacer más”. En las dos primeras páginas del libro se describe brevemente lo que contiene cada sección. Además, se indica lo que se incluirá en los recuadros de “La Teoría”, “Educación en valores”, “Juegos Matemáticos”. En la primera página se muestra un diálogo entre alumnos y una maestra. En él se indica que el libro pertenece a la serie Aprendemos. Por eso un alumno pregunta a la maestra si les va a enseñar todo esto (contenido del libro) y ella responde “Yo los voy a orientar y juntos vamos a trabajar en matemáticas”. A continuación, se señala que cada capítulo se inicia con una situación problemática que pueden resolverla con lo que ya saben. TEXTO 1 El tratamiento del álgebra se presenta dentro del capítulo 1: “Operaciones con números naturales”, en la sección 5, denominada “Lenguaje simbólico”. Los temas previos son las cuatro operaciones básicas con números naturales y sus propiedades. Luego del desarrollo del tema, se incluyen las secciones finales de cada capítulo: “El repaso antes de la prueba”, “La integración después del repaso”, “La prueba” y “Aprender a hacer más”. En la última sección mencionada, el subtítulo es “Resolver problemas con ayuda de ecuaciones”. Resolución de ecuaciones.

TEXTO 1 El desarrollo del tema consiste en 9 ejercicios y dos recuadros de “La teoría” intercalados entre ellos. Al final del capítulo se proponen 4 ejercicios sobre ecuaciones en la sección “El repaso antes de la prueba”, una en la sección “La integración después del repaso” y dos en el apartado “La prueba”.

integrados); o si se combinan estas secciones para darle más dinamismo a la lectura del texto. CIA2: Forma de introducir el tema por primera vez en el texto, explicitando si se hace uso del principio de necesidad (Sessa, 2005).

CIA3: Rol del alumno en la resolución de la tarea inicial

CIA4: Tipo de definición explícita o noción implícita del concepto de ecuación involucrada en el tratamiento del tema. CIA5: Procedimientos de resolución sugeridos en el texto.

CIA6: Modo en que se establecen y/o explican los procedimientos de resolución en el texto.

CIA7: Tipo de justificación propuesta para cada procedimiento de resolución (siguiendo la la clasificación en pruebas pragmáticas, pruebas intelectuales y demostraciones de Balacheff, 2000). CIA8: Materiales propuestos en el texto durante el tratamiento del tema. CIA9: Letras o términos que se utilizan para identificar la variable.

La última página del capítulo se titula “Aprender a hacer más” y se muestra con un ejemplo cómo se puede resolver un problema con la ayuda de una ecuación. A continuación se propone al alumno resolver un problema similar. El tema se inicia con un diálogo entre un periodista y un arquero de fútbol de muy bajo rendimiento llamado José “Muralla” González. En el mismo el periodista establece una relación entre la cantidad de goles que le hicieron en este torneo con la cantidad de goles que le hicieron el año pasado: “¿Qué pasó “Muralla”, en este torneo te hicieron 5 goles más que el doble de los goles que te hicieron el año pasado?” y el arquero responde: “¿Si? En el último torneo me hicieron 77 goles; no me parecen tantos”. Luego se presenta la primera consigna que dice que se le llamará Número Buscado a la cantidad de goles que le hicieron al jugador el año pasado y se le pide al alumno que complete la expresión con los números que faltan: “Número buscado x …… + ……. = ………” A continuación se dirige el procedimiento para hallar el número buscado, mediante “el camino inverso”. El alumno debe completar los espacios en blanco que deja el texto en el procedimiento de resolución. La ecuación que se plantea no surge de una necesidad intrínseca de la situación inicial (tanto el periodista como el arquero conocen cuántos goles le hicieron el año pasado). En el texto se dirige el accionar del alumno en todo momento: Planteo: “llamando “número buscado” a la cantidad de goles que le hicieron a José […] el año pasado, completen la siguiente expresión con los números que faltan” Resolución: “El siguiente diagrama permite hallar el número buscado, realizando el camino inverso.[…]” Se define del siguiente modo: “Una ecuación es una igualdad en la que aparecen letras (incógnitas) y números. Resolver una ecuación significa hallar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad” (p. 14). En principio se plantea el “camino inverso” como procedimiento de resolución: “se efectúan las operaciones contrarias, en el orden inverso, a las que están indicadas en la expresión” (p. 12). En la tercera página del desarrollo del tema, cuando ya se utiliza el término ecuación se presenta, en un recuadro de “La teoría” otro procedimiento de resolución mediante un ejemplo resuelto. Este procedimiento consiste en aplicar la propiedad uniforme (aunque no se explicite el nombre de la propiedad en el texto, se explica lo que se va haciendo en cada paso). No se establecen relaciones entre ambos procedimientos de resolución. El “camino inverso” se establece mediante un esquema en el que el alumno debe completar los espacios en blanco para resolver la ecuación. El segundo procedimiento se explica mediante un ejemplo resuelto y la explicitación de lo que se hace en cada paso. A diferencia del anterior, este se enmarca en un recuadro de “La teoría”. No se presentan justificaciones de los procedimientos de resolución ni se proponen como ejercicio para el alumno.

No se propone la utilización de ningún material. Al comienzo se utiliza la expresión “número” o “número buscado” y en las restantes, la letra x (dos ejercicios) En una actividad las letras utilizadas son: x, y, z, t. En el resto de las actividades se utiliza la letra x.

CIA10: Clasificación de las tareas planteadas durante el tratamiento del tema. El criterio de clasificación utilizado es el objetivo que persigue cada tarea.

CIA11: Número de tareas que corresponden a tratamiento o a conversión de registros de representaciones semióticas.

CIA12: Tareas en las que se pide expresamente al alumno que analice el sentido de la/s solución/es obtenidas para un contexto determinado. CIA13: Dominio numérico (naturales, enteros, racionales,…) utilizado en las distintas tareas, durante el tratamiento del tema elegido.

CIA14: Contenido de recuadros y recordatorios incluidos durante el tratamiento del tema

CIA15: Otros. Cuestiones de interés que no corresponden a ninguno de los campos anteriores.

1. Resolución de una ecuación: 6 2. 1. Expresar una ecuación a partir de un enunciado coloquial: 4. 2.2.Expresar en lenguaje coloquial una ecuación dada: 2. 2.3 Unir con flechas enunciados coloquiales con ecuaciones: 1. 3.1 Expresar y resolver una ecuación a partir de un enunciado coloquial: 5. 3.2 Expresar y resolver una ecuación a partir de operaciones aritméticas incompletas. 1. 4. Identificar si un valor es o no solución de una ecuación:1. 5. Verificar una ecuación: 3. 6. Encontrar error en resolución de ecuación y luego resolver correctamente: 1. Todos los ejercicios planteados, excepto uno (40), corresponden a ecuaciones con una única solución y una única variable. En dos actividades se pide explícitamente que verifique las ecuaciones, luego de resolverlas. Tratamiento: Resolución combinadai (aritmética y coloquial): 1 Resolución aritmética: 3. ii Resolución algebraica : 9. Conversión: Registro combinadoiii (aritmético y coloquial) y coloquial: 2 Registro algebraico y coloquial: 8. Registro aritmético y algebraico: 1 Registro coloquial, geométrico y algebraico: 1. Ninguna.

Durante el tratamiento del tema, el dominio numérico es el de los Naturales (aunque no se explicite). En el mismo conjunto numérico se trabajan ecuaciones en el capítulo Potencias y Raíces. En las ecuaciones que aparecen durante el desarrollo de “Sistema sexagesimal”, los valores que intervienen son ángulos medidos en dicho sistema. A continuación de la tarea inicial se presenta un recuadro bajo el título “Teoría” que indica: “cuando en una expresión matemática aparecen números y letras, es preferible utilizar el signo . para la multiplicación, en lugar de x, a fin de evitar confusiones con la letra x”. Sin embargo, no se aclara qué papel juega la letra x en este tema ya que no aparece en ningún momento en esta primera página. Al comienzo del libro se informa que los recuadros de “Teoría” se utilizan para estudiar “los conceptos y procedimientos que surgen de las situaciones problemáticas” (p. 2). No queda claro en este caso cuál es el concepto o procedimiento al que se hace referencia y cuál es la relación con la situación problemática inicial. En la tercera página del tratamiento del tema, se presenta otro recuadro del mismo tipo en el que se indica lo que significa ecuación, resolver una ecuación, se muestra cómo resolver una ecuación particular y luego, cómo verificarla. Lo que sorprende de este recuadro es que el procedimiento de resolución que se ejemplifica hace uso de la propiedad uniforme (aunque no se explicite su nombre), mientras que anteriormente se había presentado el camino inverso como el modo de resolver “expresiones” que en realidad eran ecuaciones. No se explicita ninguna relación entre los dos métodos.

6. ALGUNAS CUESTIONES PARA DESTACAR SOBRE EL TEXTO ANALIZADO El texto seleccionado comienza el trabajo algebraico directamente con el planteo y la resolución de ecuaciones (ver CCO2 y CIA2). La decisión didáctica de introducir el álgebra de este modo puede conllevar a una serie de simplificaciones en el objeto ecuación y a la omisión de determinadas explicaciones de los procedimientos empleados, con la consiguiente pérdida de sentido (Sessa, 2005). La situación inicial presentada en el texto hace referencia a un contexto particular (un periodista entrevista a un arquero de fútbol) lo cual demuestra interés por generar algún tipo de motivación en los estudiantes. Sin embargo, la manera en la que surge la ecuación a partir de esta situación es totalmente forzada ya que el diálogo que mantienen los dos personajes no plantea ningún problema a resolver. Esto demuestra que no se hace uso del Principio de necesidad (Sesa, 2005). Esta cuestión también tiene peso en lo que concierne a la construcción del sentido del tema, porque la ecuación en este caso aparece como una complicación innecesaria que no responde a ninguna pregunta. Tanto el planteo como la resolución de la ecuación se desarrollan a través de tareas dirigidas. No se deja espacio para una resolución diferente ni se justifica la técnica empleada. Si bien en el texto se explica lo que significa verificar una ecuación y se propone resolver y verificar determinadas ecuaciones, demostrando interés por desarrollar la autonomía por parte del alumno para juzgar la validez de sus propias respuestas, la postura es diferente al momento de presentar las técnicas de resolución de ecuaciones, puesto que no incluyen ninguna justificación (ver CIA6 Y CIA7). El alumno debe aceptarlas por el principio de autoridad, lo cual limita las posibilidades de comprender por qué efectivamente “funcionan” dichas técnicas y por qué se eligen esas y no otras. Esta imposición de reglas se contrapone con la idea de otorgar mayor responsabilidad al alumno (Chevallard et al, 2000), porque se promueve de este modo una creencia ciega en lo que dice el texto. Además, se observa una desconexión entre las dos técnicas de resolución propuestas: una es la estrategia del “camino inverso” y la otra, utiliza implícitamente la propiedad uniforme. Sería interesante el establecimiento de relaciones entre ambas, porque generalmente los alumnos eligen la transposición de términos porque es más rápida pero desconocen de dónde se deduce: tratan de memorizarla, pero suelen cometer errores en el orden de las operaciones que deben realizar (Sessa, 2005; Moreno y Castellanos, 1997). Tal como lo señalamos en el primer párrafo, esta falta de explicitación de relaciones y justificaciones de las técnicas empleadas puede deberse a un tratamiento temprano del tema. En lo que concierne al significado del signo igual y de las letras en el álgebra, en el texto analizado esto se pone de manifiesto en la definición de ecuación dada (ver CIA4), ya que hace referencia a que se debe “hallar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad” (p. 14). Tal como lo mencionamos en el marco teórico, una cuestión recurrente es que los alumnos asocien incógnita con un valor único y dado (Sessa, 2005; Socas et al, 1996), noción que dificulta la comprensión del concepto de variable, de ecuaciones sin solución, con varias o infinitas soluciones o ecuaciones con más de una incógnita. Sin embargo, en el apartado “La integración después del repaso” que se encuentra al final del capítulo, los alumnos deben averiguar los números que faltan en determinadas operaciones mediante el planteo de ecuaciones. Uno de los casos es una división en la que sólo se conocen el dividendo y el resto. El mismo texto cuestiona acerca de la posibilidad de hallar los números que faltan en todos los casos y solicita una justificación de la respuesta dada. En verdad, la situación descripta conlleva la formulación de una ecuación con dos incógnitas (657=xy+6). Esta ecuación tiene infinitas soluciones (de hecho, gráficamente es una hipérbola por lo que todos sus puntos son solución). Esta es una ocasión propicia para ampliar el concepto “pobre” de incógnita del párrafo anterior, profundizar el significado bidireccional del signo igual, establecer conversiones a distintos registros semióticos (por ejemplo, un gráfico, una tabla numérica además del algebraico), analizar soluciones en distintos dominios numéricos, incluir restricciones sobre los valores que pueden tomar las dos variables, además de mostrar la imposibilidad de resolverla mediante la transposición de términos. Si bien la situación anterior no se profundiza en el texto analizado, cabe destacar que durante el tratamiento del tema elegido se demuestra cierto interés por la traducción entre los lenguajes coloquial, aritmético y algebraico (ver CIA11), aunque en una sola tarea se recurre al registro geométrico. Consideramos que debería evaluarse la posibilidad de incrementar las consignas que propongan el uso y conversión de este último lenguaje, puesto que favorece, por ejemplo, la construcción del sentido de la equivalencia entre expresiones algebraicas (Sessa, 2005) y una mejor aproximación al objeto matemático (Duval, 2008).

7. REFLEXIONES FINALES La categorización presentada en esta comunicación posibilitó describir de manera amplia y detallada la iniciación al trabajo algebraico en el texto analizado, estableciendo relaciones con los especialistas en didáctica del álgebra considerados. Esperamos que se constituya, del mismo modo, en una herramienta adecuada para las fases posteriores del trabajo que recién comienza, es decir, que posibilite describir y comparar los abordajes que proponen distintos libros de texto para el nivel primario. De todas formas, cabe señalar que la categorización inicial resultó insuficiente para el análisis exhaustivo del tratamiento del tema, por lo que fue necesaria su modificación, incorporando nuevos campos y redefiniendo algunos de los ya existentes. Por este motivo, las categorías expuestas en este trabajo no tienen carácter acabado, sino que están abiertas a posibles cambios que surjan en función del estudio del resto de los libros. En lo que respecta explícitamente al texto estudiado, si bien introduce el álgebra por medio de la resolución de ecuaciones, desconocemos si en los libros de la misma editorial correspondientes a años anteriores se realiza otro tipo de iniciación. Sin embargo, ese tipo de análisis excede los objetivos de esta comunicación, ya que sólo pretendíamos evaluar la adecuación de las categorías establecidas. En el trabajo que sigue aspiramos a realizar ese tipo de indagación, es decir, estudiar la progresión que presentan los textos de una misma editorial en relación con el trabajo algebraico, así como a definir con precisión los criterios de elección de los textos a analizar, con el fin de delimitar una muestra que nos permita obtener una descripción cabal de la iniciación al trabajo algebraico propuesta por los libros de texto en circulación. Consideramos positivo el interés evidenciado en el texto por efectuar conversiones de lenguajes (ver CIA9) e inclusive, el hecho de considerar otras letras, además de x, como representantes de la incógnita (ver CIA11). No obstante, tal como se describió en el apartado anterior, hay determinados aspectos que no coinciden con lo recomendado por los especialistas para promover la construcción del sentido, como ser: el principio de necesidad, la promoción de conjeturas y justificaciones, la construcción del “nuevo” significado del signo igual y de las letras en álgebra. Finalmente, se considera que la categorización establecida en este trabajo para el análisis de la iniciación al álgebra en libros de texto manifiesta de alguna manera el tipo de prácticas desarrolladas en torno al tema y permite, por lo tanto, la realización de inferencias acerca de las mismas. 8. BIBLIOGRAFÍA Balacheff, N. (2000). Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas. Bogotá: Una empresa docente, Universidad de los Andes. Barrio, E. (2010). Una mirada a las ecuaciones diofánticas lineales desde las producciones de los alumnos en E. Barrio, L. Lalanne y A. Petich Entre Aritmética y Álgebra: un camino que atraviesa los niveles primario y secundario: investigaciones y aportes. (pp. 149-221) Buenos Aires: Ediciones Novedades Educativas. Bisquerra, R. (1989). Métodos de investigación educativa. Guía práctica. Barcelona: Ediciones CEAC, SA. Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (2000). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y da aprendizaje (2 ed.). Barcelona: Horsori. Cohen, L. y Manion, L. (1990). Métodos de investigación educativa. Madrid: La Muralla. Duval, R. (2008). Eight problems for a semiotic approach in mathematics education. En L. Radford, G, Schubring y F. Seeger (Eds.), Semiotics in Mathematics Education. Epistemology, History, Classroom and Culture, (pp.49-62). Rotterdam: Sense Publishers. González Astudillo M. T. y Sierra Vázquez M. (2004). Metodología de análisis de libros de texto de matemáticas. Los puntos críticos en la enseñanza secundaria en España durante el siglo XX. Enseñanza de las ciencias, 22 (3), 389-408. Kang, W. & Kilpatrick, J. (1992). Didactic Transposition in Mathematics Textbooks. For the Learning of Mathematics, 12(1), 2-7. Maz Machado A. (2005) Números negativos en los siglos XVII y XIX. Tesis doctoral. Universidad de Granada. Mazzalomo, L. (Ed.) (2009) Matemática 6. Sm aprendemos. Buenos Aires: ediciones sm. Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología (2006). Núcleos de Aprendizaje Prioritarios. 3º Ciclo EGB/Nivel Medio 7º, 8º y 9º años. Disponible en http://www.me.gov.ar/curriform/nap.html. Moreno, I. y Castellanos L. (1997). Secuencia de enseñanza para solucionar ecuaciones de primer grado con una incógnita Revista EMA 2 (3), 247-258. Petich, A. (2010) Una mirada a las ecuaciones diofánticas lineales desde la epistemología en E. Barrio, L. Lalanne y A. Petich Entre Aritmética y Álgebra: un camino que atraviesa los niveles primario y secundario: investigaciones y aportes. (pp. 17-76) Buenos Aires: Ediciones Novedades Educativas.

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En esta categoría se cuentan aquellas actividades en las que el alumno debe completar con números los cuadraditos en blanco que se relacionan entre sí por medio de operaciones indicadas simbólica y coloquialmente. Se consideran en categoría “Resolución algebraica” a las tareas propuestas luego de la presentación del procedimiento de resolución de ecuaciones mediante la aplicación de la propiedad uniforme, con un ejemplo resuelto. iii Se consideran aquellos casos en los que el estudiante debe pasar del lenguaje coloquial (enunciado de un problema) al registro combinado (expresión que contiene palabras, símbolos aritméticos y cuadraditos en blanco que el alumno debe completar). ii