CURSO Fracciones en el nivel primario Unidad 0 Introducción A partir del segundo ciclo de educación primaria, los alumnos se ven enfrentados al estudio de las fracciones como campo numérico. Los niños saben leer, escribir, ordenar, comparar y operar con números naturales lo que servirá como un punto de apoyo importante. Sin embargo estos conocimientos sobre los naturales se convierten al mismo tiempo en un obstáculo a vencer 1. Por ejemplo: - A diferencia de los números naturales, con las fracciones es posible que al multiplicar el producto sea menor que los factores y que al dividir, el cociente sea mayor que el dividendo. Los números ya no tienen siguiente, entre otras novedades. - Otra dificultad está referida a la amplia gama de significados: las fracciones pueden ser el resultado de un reparto, de una medición, de una relación entre parte y entero, pueden indicar un porcentaje, una constante de proporcionalidad, etc. El presente curso de capacitación busca profundizar en los docentes el campus teórico-práctico de la enseñanza de las fracciones en el nivel primario, (ampliando y profundizando la formación docente inicial) priorizando una didáctica de la matemática basada en la resolución de problemas, tal como lo señalan las actuales recomendaciones del diseño curricular de provincia de Bs As. ―Para que los alumnos/as puedan también involucrarse en la producción de conocimientos matemáticos, será necesario -aunque no suficienteenfrentarlos a diversos tipos de problemas. Un problema es tal en tanto y en cuanto permite a los alumnos/as introducirse en el desafío de resolverlo a partir de los conocimientos disponibles y les demanda la producción de ciertas relaciones en la dirección de una solución posible, aunque esta, en un principio, resulte incompleta o incorrecta.‖2 Otro de los temas a abordar en este curso es la integración de las TIC en las clases de matemática. Reconociendo el valor que tienen estas para desarrollar nuevas estrategias de intervención docente y de aprendizaje para los niños.

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Ponce, Héctor y Quaranta, María Emilia, “Las Fracciones”. Enseñar Matemática en la escuela primaria. Serie Respuestas. Ed. Tinta Fresca. 2009. Pág:103 2 Diseño Curricular para la Educación Primaria. Segundo Ciclo. Dirección General de Cultura y Educación - 1a ed. - La Plata. Dir. General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires, 2008. Pág: 36

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En una entrevista3 a Jordi Adell (especialista en educación y nuevas tecnologías) este expresaba: -¿Cómo podemos mejorar la calidad de la enseñanza mediante el uso de las nuevas tecnologías? Poniéndolas al servicio de la buena pedagogía. He aprendido que las nuevas tecnologías no hacen bueno o malo a un profesor, ya que éstas, por sí mismas, prácticamente no sirven para nada en las escuelas. -¿Cuál es la mejor forma de integrar las nuevas tecnologías en el aula? La mejor forma de integrarlas es que los profesores se auto formen y que entiendan cómo funcionan y qué pueden cambiar con ellas. Lo esencial es que estén convencidos del enriquecimiento que les pueden aportar. Si un profesor considera que lo que está haciendo ya es perfecto y que el currículum que tenemos es suficiente para preparar a los niños y a las niñas para esta sociedad, lo normal es que no esté motivado para introducir nuevos elementos para el aprendizaje. De esta forma buscamos que los docentes se familiaricen con ellas y logren paulatinamente incorporarlas a sus clases diarias, seguros de su elección y convencidos de su utilidad. Actividad de reflexión personal ¿Recuerda cómo aprendió “fracciones” en su paso por la escuela primaria? ¿Cuáles eran los principales obstáculos a los que se enfrentaba? Si Ud. es un directivo cuál es el enfoque de enseñanza que platean sus docentes para el tratamiento de las fracciones? De qué forma se utilizan las TIC en su institución para favorecer el aprendizaje de la matemática?

Síntesis del Curso En el presente curso, abordaremos el trabajo en torno a Fracciones, (sus propiedades, relaciones, etc), desde una perspectiva constructivista del aprendizaje, basándonos en el aprendizaje de la matemática por medio de la resolución de problemas, teniendo en cuenta que los problemas son una condición necesaria pero no suficiente para el aprendizaje de la matemática, el rol del docente, la gestión de la clase y las interacciones que se producen. Además conoceremos, analizaremos y reflexionaremos sobre diferentes recursos que ofrecen las TIC (Tecnologías de la Información y la Comunicación), disponibles en la web, respecto del aprendizaje de las fracciones, para poder llevarlos a nuestras aulas con criterio didáctico, fundamentado en el mencionado enfoque de enseñanza. 3

Jordi Adell: “Las TIC no hacen bueno o malo a un docente” http://blog.tiching.com/jordi-adell-las-tichacen-bueno-o-malo-un-docente/ Visto 20/01/2014

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Finalmente elaboraremos nuestros propios recursos educativos interactivos para la enseñanza y el aprendizaje de las fracciones, usando para ello el software libre EdiLIM.

Esquema del Curso

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Objetivos Generales del Curso Reflexionar y profundizar el enfoque de enseñanza y aprendizaje por medio de la resolución de problemas. Analizar diferentes estrategias de enseñanza en la construcción de los sentidos de uso de la fracción. Analizar el impacto de las nuevas tecnologías en la educación en relación al aprendizaje de la matemática Elaborar y Compartir recursos interactivos de aprendizaje para el aprendizaje de la matemática.

Contenidos Unidad 1: Qué es enseñar y aprender matemática? Los problemas como condición necesaria pero no suficiente para lograr aprendizajes matemáticos. Rol del Docente. Organización y Gestión de la clase. La puesta en común. La institucionalización. Estudiar matemática. Las fracciones en el 2° ciclo. Las fracciones. Sentidos. Rupturas con el campo de los números naturales. Límites en la definición usual de fracción y sus representaciones tradicionales. Propuesta de problemas y actividades para construir el sentido de las fracciones dentro del contexto de reparto y medida. Análisis de casos didácticos. Análisis de recursos interactivos de aprendizaje online: tablón de anuncios online. Unidad 2: Estrategias de cálculo mental para comparar fracciones. Fracciones equivalentes. Representación de fracciones en la recta numérica. Resolución de operaciones con fracciones usando estrategias de cálculo mental y algorítmico. Relaciones entre expresiones decimales y fracciones decimales. Recursos interactivos de aprendizaje online: análisis, selección y organización de recursos on line mediante una wiki. Unidad 3: Impacto de las nuevas tecnologías en la clase de matemática. Tipos de actividades para el uso de las TIC. Diseño y producción de objetos interactivos para el aprendizaje de fracciones empleando el software libre EdiLim. Compartir archivos en la Red: De consumidores a prosumidores.

Bibliografía para el alumno En las unidades se invita al alumno a visitar diferentes sitios web que permiten ampliar y enriquecer la mirada sobre los diferentes temas tratados en el curso

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UNIDAD 1

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Diseño Curricular para la Educación Primaria. Segundo Ciclo Volumen 2 / Dirección General de Cultura y Educación - 1a ed. - La Plata: Dir. General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires, 2008. [en línea] http://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/organismos/consejogeneral/disenio scurriculares/documentosdescarga/diseniocurricularparaeducacionprimaria2 ciclo.pdf Págs: 36-43, 172-185 Serie curricular: Cuadernos para el aula, Matemática 4, 5, 6 - 1a ed. Buenos Aires. Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, 2007. [en línea] http://www.me.gov.ar/curriform/cuadernos.html Obra Colectiva de los docentes de la Red de escuelas de Campana. Plan de Desarrollo Estratégico de Campana. Soñar Campana. “La enseñanza de las fracciones en el 2do ciclo de la Educación General Básica. Módulo 2. Serie Aportes al Proyecto Curricular Institucional Agosto 2001. [en línea] http://www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/fraccionesmodulo2.pdf. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretaría de Educación. Dirección de Currícula (1997). “Documento de actualización curricular N.° 4. Matemática” [en línea] http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/matematic a.php Págs: 53-78 “Tecnologías de la Información y la Comunicación. Estado del arte y orientaciones estratégicas para la definición de políticas educativas en el sector” Bs. As. IIIPE-UNESCO. Disponible en http://www.scribd.com/doc/87576/1-estadodelarte

UNIDAD 2

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Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Ministerio de Educación. Dirección de Currícula (2006). “Cálculo mental con números racionales. Apuntes para la enseñanza”[en línea] http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/pluri_mate.php?m enu_id=20709 Matemática. Fracciones y números decimales. Apuntes para la enseñanza (2005), Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula. [en línea] http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/pluri_mate.php?m enu_id=20709

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Pere Marqués Graells, ―Las TIC y sus aportaciones a la Sociedad‖. En www.pere,arques.pangea.org/tic.htm

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Tarasaw, F; Shwartzmam, G; Trech, M; ―Proyecto de Educación y nuevas tecnologías‖ Presentación en webinar 2010 ― La integración de las TIC en la Educación-Modelos 1 a 1‖, Flacso. Disponible en www.webinar.org.ar

UNIDAD 3

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EDUCALIM. EdiLim. http://www.educalim.com Labbé, C; Matala, C y Donoso. ―Midiendo el desarrollo digital de una escuelas: Una propuesta conceptual y empírica‖. Disponible en http://www.ciie2010.cl Vizcaíno, Adriana. Aritmética. Serie para la enseñanza en el modelo 1 a 1Buenos Aires, Ministerio de Educación de la Nación, 2011. Disponible en http://bibliotecadigital.educ.ar/uploads/contents/M-Aritmetica0.pdf

Bibliografía para el docente A la bibliografía para el alumno, el tutor del curso posee ampliaciones para el desarrollo de los temas:

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Ponce, H. (2000). Enseñar y aprender matemática. Propuestas para el segundo ciclo. Buenos Aires: Editorial Novedades Educativas. Ponce, H y Quaranta, M. E. (2007). “Fracciones y decimales”. En Enseñar Matemática en la escuela primaria. Serie Respuestas. Buenos Aires: Tinta Fresca. Itzcovivich, Horacio. La matemática escolar: las prácticas de enseñanza en el aula. Buenos Aires. Aique Grupo Editor, 2009. Aportes para el fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en la EGB. Proyecto Fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en la Educación General Básica. Dirección General de Cultura y Educación Subsecretaría de Educación. Buenos Aires. 2004 Agrasar Mónica, Chemello, Graciela y Díaz, Adriana. Matemática para todos. En el nivel primario. Notas para la enseñanza Operaciones con 6

números naturales Fracciones y números decimales. Ministerio de Educación. 2012

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Velázques, Cristina. Estrategias pedagógicas con TIC: recursos para entornos 1 a 1: aprender para educar. Bs As. Centro de Publicaciones Educativas y Material Didáctico, 2012.

Cronograma de cursado Tiempo: 3 Meses (12 semanas) Cantidad de horas 180 hacer en vez de semanas por horas. Tiempo Semana 0

Horas 3

Unidad Unidad 0

Semana 1

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Unidad 1

Semana 2

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Semana 3

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Semana 4

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Semana 5

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Semana 6

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Unidad 2

Actividades Acreditación. Exploración del aula. Uso del correo interno. Foro de Presentación. Lectura Unidad 0 Lectura Unidad 1 Análisis de problemas tendientes a conocer rupturas. Análisis de recursos TIC. Su adaptación al enfoque matemático propuesto. Análisis y reflexión sobre un registro de clases. Lectura Unidad 2 Desarrollo de problemas sobre fracciones usando estrategias de cálculo mental Análisis didáctico de un registro de clase filmado: Video Fracciones en la recta. Análisis y selección de recursos TIC. Su adaptación al 7

Semana 7

12

Semana 8 Semana 9

12 12

Semana 10 Semana 11

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Semana 12

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Unidad 3

Evaluación de los trabajos. Publicación en línea. Evaluación y calificación individual de los cursantes.

enfoque matemático propuesto.WIKI Lectura Unidad 3 Desarrollo y envío de un objeto en EdiLIM: Guía paso a paso. Trabajo final integrador: Actividad de producción individual: elaboración de un libro interactivo usando el software libre EdiLIM. Envío de trabajos integradores. Encuesta de satisfacción del cursado

Evaluación Final Presencial.

Evaluación Durante el desarrollo del curso se prevén diferentes instancias de evaluación (diagnóstica, de proceso, integradora) Diagnóstica El foro de presentación permitirá conocer a los cursantes, sus expectativas, trayectoria de formación, experiencias previas de formación, etc. Se realizará por medio de un simple cuestionario que el alumno virtual, enviará al tutor del curso por el correo interno de la plataforma. De Proceso Cada unidad prevé la participación activa de los alumnos en los foros de discusión, en función de la temática abordada. Así mismo las unidades poseen una instancia de AUTOEVALUACIÓN que permite al capacitando poner en juego los saberes adquiridos, y poder contrastarlos con las CLAVES DE CORRECCIÓN. Final Se prevé la elaboración de un cuestionario integrador del cursado, en la que se reunirán actividades de análisis, síntesis, construcción, aplicación, etc., basadas en los contenidos y bibliografía de cada una de las unidades. 8

BIENVENIDOS! ¡Bienvenid@s! Gracias por elegirnos y haber decidido compartir con nuestro equipo su propuesta de actualización docente. Si usted ha sido alumno nuestro con anterioridad, conocerá básicamente cuál es nuestra metodología de trabajo. Sin embargo, el permanente contacto con nuestros cursantes, nos permite proponer nuevas y mejores alternativas para el desarrollo de su cursado y la generación de un vínculo más fluido con los tutores responsables de cada curso. Para ello, lo invitamos a leer con especial atención la Metodología, a través de la cual compartimos los principales aspectos que deberá considerar para la realización de este curso. Destinatari@s El presente curso de actualización docente está pensado y diseñado para aquellos docentes pertenecientes al sistema educativo de la Provincia de Buenos Aires de educación primaria, brindando una instancia de ampliación y profundización de la formación docente inicial recibida en el área de matemática. También está diseñado para aquellos directivos que deseen reflexionar sobre su actividad de acompañante didáctico y logré profundizar en el análisis de prácticas docentes en el área de matemática La Metodología Al inscribirse el/la cursante se integra como persona y profesional a un grupo de pares y especialistas con quienes desarrollará un proceso de capacitación centrado en la reflexión acerca de su práctica cotidiana y en la superación de las desventajas que le impone el contexto. Así, el/la cursante se convierte en mucho más que un registro en nuestra base de datos: es la persona que encomendamos al cuidado y supervisión de nuestros tutores. Modalidad de Cursado El siguiente curso de actualización se brindará se manera virtual, a través de una plataforma e-learning, Moodle. Esto posibilitará que docentes de diferentes lugares y con distintas experiencias, puedan involucrarse en la propuesta, compartir sus experiencias y enriquecerse mutuamente. El curso presenta una única instancia de evaluación presencial, cuyo lugar y fecha se fija según los distintos distritos en los que se desarrolla la propuesta y en horarios a acordar. Las evaluaciones finales, con remitidas al equipo coordinador quien las califica y realiza la devolución correspondiente. Los docentes, estarán acompañados durante el cursado de un grupo de tutores especialistas en el área de matemática que los guiarán en la lectura del material, 9

aclararán sus dudas, realizarán la evaluación y devolución de las actividades propuestas, a la vez que participarán de los foros de reflexión y debate cuando lo crean conveniente. Estructura del Curso El curso posee 3 Unidades, más una Unidad 0 de introducción que permite al alumno por un lado familiarizarse con la modalidad a distancia y por otro conocer el enfoque didáctico de enseñanza en el que se basa el curso. Cada unidad para su aprobación tiene una Actividad de Integración, que permite poner en juego los contenidos trabajados y una actividad de Autoevaluación, con sus respectivas claves de corrección, para que pueda conocer su desempeño en el curso. Material Didáctico 4 Unidades didácticas (0-1-2-3) que se entregan al cursante en formato papel, y que también están disponibles en la plataforma para su descarga en formato digital (pdf) La bibliografía se puede descargar directamente desde internet. Función del Tutor en el aula virtual ¿Cuál es la función que cumplen los tutores? Acompañar a los cursantes en la búsqueda de respuestas para las inquietudes que se les presenten durante el desarrollo del Curso. Orientar el aprendizaje de los cursantes de acuerdo con sus necesidades e intereses. Orientar a los cursantes en el uso de las metodologías de estudio más convenientes para cada situación. Facilitar la adquisición de aprendizajes significativos. Orientar a los cursantes en la elaboración de los trabajos y la cumplimentación de las actividades. Aclarar dudas. Contribuir al logro del mejor proceso de aprendizaje posible. Modalidad de las Tutorías Las tutorías pueden ser presenciales o a distancia. Las tutorías presenciales se ofrecen durante encuentros en momentos destinados a tal fin. También se consideran de ese modo los intercambios que cursante y tutor establezcan a través del aula virtual en chateos o foros. Las tutorías a distancia podrán realizarse por teléfono, fax y también por correo convencional o cuenta Skype. Claro que estos medios resultan los más costosos y no siempre son los más rápidos o eficaces para el 10

transporte de trabajos. Por eso sugerimos a nuestros cursantes: 1) acceder al aula virtual y; 2) abrir una cuenta de correo electrónico a través de la cual puedan comunicarse rápidamente con sus tutores, enviarles los trabajos, recibirlos corregidos y despejar dudas respecto de alguna lectura o consigna y obtener muchos otros beneficios. IMPORTANTE: Solicitamos a nuestros cursantes que al menos una vez a la semana revisen su casilla de correo. En muchas oportunidades las casillas especialmente las de uso gratuito- agotan rápidamente su capacidad (se llenan) con mensajes de publicidad (spam) y los mensajes de tutores o colegas son devueltos a los remitentes (rebotan) por falta de espacio. Recursos con los que cuenta el Aula Virtual Foros Durante el desarrollo del curso, Ud. será invitado a participar de diferentes foros. La utilización del foro en entornos virtuales de enseñanza y aprendizaje brinda la posibilidad de favorecer la comunicación entre los sujetos promoviendo instancias de interacción. Así, el uso de foros ayuda a: La participación de los integrantes del curso, aproxima la discusión sobre un tema o varios simultáneamente. El intercambio de experiencias, reflexiones y análisis acerca de un tema determinado. La generación de nuevas formas de socialización entre los cursantes y los demás participantes de la situación educativa. La producción de conocimiento de manera colaborativa, es decir la coconstrucción de conocimiento. La reconfiguración de la propuesta comunicativa: el foro posibilita el intercambio y aprendizaje entre pares corriendo al profesor / tutor del centro de la escena (y de la comunicación radial) y habilitando la red. Tipos de Foros El foro de consultas técnicas: es un espacio destinado para el intercambio de consultas sobre cuestiones relacionadas a dudas que surgen al momento de realizar la actividad y que ayudan a desarrollarla. En estos espacios se concentran las consultas al respecto, de manera que todo el grupo pueda interactuar y colaborar en la resolución de dificultades. El foro de consultas académicas para abordar las cuestiones generales del curso o asignatura, en relación a fechas importantes, calendarios, utilización de materiales, actividades, etc. El foro como espacio de reflexión compartida, para abordar las cuestiones específicas del contenido concreto de la asignatura. El Foro de encuentro social: Es un espacio donde los participantes interactúan, dialogan, comparten, y reflexionan más allá de las consignas brindadas, como espacios de encuentro para el diálogo. 11

Mensajería interna A través de la mensajería interna, Ud podrá ponerse en contacto con su docente tutor (Consultas y entrega de trabajos prácticos o actividades). Su funcionamiento es igual al de un correo o cuenta pop (Hotmail, Gmail, otros). Se debe colocar un Asunto y el Cuerpo del Mensaje, también cuenta con la posibilidad de adjuntar archivos y realizar la edición del mensaje. Biblioteca En la biblioteca de la plataforma virtual encontrará material complementario al cursado, su descarga y lectura es optativa, salvo que el tutor del curso indique lo contrario.

Tipo de actividades que se presentan en el curso Las actividades de reflexión, análisis, diseño y debate están propuestas para que los docentes cursantes puedan reflexionar, ampliar y profundizar sus prácticas en el aula con sus niños. Se busca instalar capacidades de análisis didáctico de las propuestas de enseñanza se implementen en su aula o institución, en busca de promover aprendizajes significativos en los niños, articulando la teoría y la práctica a la luz del enfoque de enseñanza de la matemática a través de la resolución de problemas. Entrega de actividades y participación en foros Cada unidad posee dos tipos de actividades - de reflexión personal, que están dirigidas a pensar la práctica docente y no es requerida su entrega, pero si lo desea puede expresarse en el Foro de Consultas Generales. - de entrega, a través de los foros abiertos en la plataforma, para cada unidad, envío al correo del tutor (estas actividades pueden o no ser obligatorias) Tiempo de cursado El presente curso de actualización está pensado para ser desarrollado en 12 semanas (incluyendo la instancia de evaluación presencial) y se estima un tiempo de lectura semanal entre 5 y 6 hs, incluyendo la entrega de actividades y participación en los foros.

Algunas recomendaciones para un cursado eficaz No demore el inicio de las actividades. Apenas haya cumplimentado los requisitos de la inscripción, procure la conformación de un grupo de 12

trabajo de hasta 4 miembros. Una vez conformado como tal, establezcan días y horarios de reunión para compartir reflexiones acerca de las lecturas realizadas y para cumplimentar las actividades de aprendizaje. Tome contacto con nosotros y comience a relacionarse con su tutor y con otros colegas. Desde el 'contacto' del sitio, envíe un mensaje solicitando su usuario y contraseña para poder ingresar a la plataforma. Tenga en cuenta que no aceptaremos grupos integrados por más miembros que los permitidos. Es deseable -aunque no excluyente- que al menos un (1) integrante del grupo posea correo electrónico de modo tal que se agilice el proceso de intercambio y evaluación de actividades. Lea y comparta con su grupo el contenido de esta Guía de Curso. Si surge alguna duda de inmediato efectúe la consulta a su tutor. Cada unidad remite a la lectura de la bibliografía obligatoria y propone diferentes actividades de aprendizaje que son de resolución voluntaria y que no es necesario enviar al tutor. Sin embargo, recomendamos su realización puesto que pautan y acompañan el proceso de aprendizaje total. Trabaje unidad por unidad. Ingrese al menos una vez por semana al aula virtual; procure información acerca de los foros y chateos que estén en desarrollo o en programación. Ambas actividades le permitirán no sólo socializar con colegas de otras ciudades y/o escuelas, sino confrontar también sus opiniones con las de su tutor. Del mismo modo, recomendamos resolver la autoevaluación en forma individual para controlar la correcta apropiación de los contenidos trabajados. El trabajo final integrador podrá ser entregado grupalmente, indicando en todos los casos nombre y apellido de los integrantes y documentos de identidad respectivos. En el caso de que se conforme más de un grupo dentro de una misma institución, cada grupo presentará un trabajo diferente. No se aceptarán trabajos iguales provenientes de grupos diferentes. En esos casos, ambas producciones serán desestimadas. Las actividades podrán ser enviadas por correo electrónico. En ese caso se solicita la identificación de los remitentes en el cuerpo del mensaje. Las actividades que se envíen por correo convencional o fax deberán ser escritas a máquina o en forma manuscrita, con letra legible, y guardando las normas usuales de presentación. La asistencia a los encuentros presenciales que se organicen es obligatoria y aún más lo es la asistencia a la evaluación final presencial. De hecho, sólo se extenderá certificado a aquellos cursantes que hayan aprobado el examen y figuren en la planilla de asistencia.

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Criterios de Evaluación del Curso La evaluación es la instancia del proceso de capacitación que proporciona información al/la cursante y al tutor acerca del desarrollo de ese proceso y de las correcciones que es preciso llevar a cabo, tanto en las estrategias de aprendizaje de aquellos como en las de enseñanza del tutor. Para que estas dos funciones se cumplan, consideramos que la evaluación debe ser continua y acumulativa. Continua porque se prevén instancias diversas durante todo el proceso de capacitación; acumulativa porque las actividades de aprendizaje de cada unidad conducen al desarrollo exitoso de la evaluación final integradora. Complementariamente, las evaluaciones finales presenciales están destinadas a comprobar la claridad y precisión de los conceptos adquiridos, por lo tanto, estas evaluaciones se realizan sobre un formulario que proveemos en el momento del examen que, por supuesto, es a libro cerrado. Prevemos las siguientes instancias de evaluación: Evaluación diagnóstica vía correo electrónico o entregada al representante distrital de la organización. Evaluación de proceso a cargo del tutor del curso. Autoevaluación en cada una de las unidades. Evaluación final integradora. Evaluación final presencial. Los criterios de evaluación para lograr la acreditación son los siguientes: Descarga y lectura de las unidades Participación activa en el 80 % de los foros creados para cada una de las actividades presentadas en las unidades Presentación del trabajo integrador final del módulo 3 (Creación del recurso interactivo) 100% de asistencia al encuentro presencial. Evaluación final presencial, individual, formal y escrita aprobada, con sólo una instancia de recuperación posible. Instancias de evaluación del curso Nuestros cursos incorporan 4 instancias de evaluación de importancia para quienes diseñamos y tutoramos los cursos, cuyo objetivo consiste en conocer a los cursantes, sus preocupaciones, sus antecedentes de trabajo en la modalidad a distancia y sus aspiraciones, así como también relevar su opinión acerca de la realización del curso y las propuestas de mejora. El vínculo pedagógico con el tutor también se releva en una de dichas instancias. Es por esto que el material incorpora: -Una evaluación diagnóstica inicial, que se deberá realizar al inicio del curso. -Una evaluación del proceso, que se realiza a través del seguimiento que el tutor realiza de cada uno de los cursantes a través de una rúbrica de evaluación que evalúa la participación en los foros y la entrega de actividades. A su vez, cada 14

unidad posee actividades de autoevaluación, lo que permite al cursante tener una idea clara de su desempeño en el curso. Para nosotros es muy importante que el/la cursante complete ambas evaluaciones en el Aula Virtual. -Una evaluación final integradora que consiste en la resolución de una serie de consignas que se relacionan con los contenidos del curso en cuestión, a través de las cuales se busca promover la producción propia por parte del alumno o el equipo de trabajo. Es por ello, que no se aceptarán materiales copiados, o que utilicen otras fuentes sin que sean correspondientemente citadas. Las consignas que ponen el énfasis en la redacción libre (“justificar su pertinencia”, “diseñar proyectos”, “relacionar y describir”, entre otras), no podrán tener una extensión inferior a una carilla. La evaluación final integradora podrá ser entregada de manera grupal (respetando el número máximo de integrantes preestablecido). En todos los casos se deberá indicar el nombre, apellido, DNI y distrito del alumno que realizó o los miembros del equipo que realizaron la evaluación. Cuando en una misma institución educativa se conforme más de un grupo, cada uno presentará una evaluación diferente. No se aceptarán integradores iguales provenientes de grupos distintos. En esos casos, ambas producciones serán desestimadas. Las evaluaciones integradoras finales podrán ser enviadas por correo electrónico al tutor, o subidas al Aula Virtual, y sólo se recibirán hasta los 30 días anteriores a la fecha del examen final presencial. Sólo serán aceptadas este tipo de actividades por correo convencional o fax en situaciones excepcionales, para lo cual el alumno deberá informar su situación al tutor que corresponda. En este caso, los trabajos deberán ser escritos a máquina o en forma manuscrita, con letra legible, y guardando las normas usuales de presentación. Los tutores asumirán el compromiso de corregir las evaluaciones finales integradores recibidas, realizar sugerencias de mejora y profundización, pero quedará disponible al criterio del/ la cursante la presentación de un nuevo trabajo en el que hayan sido introducidas dichas mejoras. La presentación de segundas versiones de los trabajos por parte del alumno será absolutamente voluntaria. Obviamente, el tutor podrá pedir un mayor desarrollo de la actividad cuando la producción recibida impida su evaluación o no se corresponda con la consigna solicitada. -Una instancia de evaluación final presencial en la que se administra una prueba final a los cursantes, mediante la cual se pretende verificar el grado de conceptualización que han logrado los/as cursantes. Dichos exámenes incluyen consignas cuyos objetivos son: la construcción, la elaboración, la aplicación, el completamiento, la discriminación, entre otros, los cuales permiten la valoración integral del aprendizaje de cada uno/a de los alumnos. Las características de este examen son las siguientes: _ Es individual _ Es escrito y a libro cerrado _ Es presencial 15

El cursante deberá asistir obligatoriamente al encuentro presencial para rendir el examen final del curso. Esta instancia de evaluación es ineludible. De hecho, sólo se extenderá certificado a aquellos cursantes que, habiendo entregado las evaluaciones finales integradoras, hayan aprobado el examen y figuren en la planilla de asistencia. Para acceder a esta instancia de evaluación (que se administrará en fechas, horarios y sedes a convenir en cada caso, pero siempre procurando el menor desplazamiento posible para nuestros/as alumnas), será requisito que el/la cursante haya aprobado la evaluación final integradora. Reiteramos: NO ACEPTAREMOS la entrega de actividades finales integradoras en el examen final presencial. Las mismas deberán estar entregadas a cada tutor 30 días antes del presencial. SIN EXCEPCIÓN. Resultados de las evaluaciones Las calificaciones que se obtengan en las diferentes instancias de evaluación (integradores finales y exámenes presenciales) serán informadas a los cursantes a través del tutor de cada curso. Otras Consultas Desde el momento en que el alumno adquiere un curso nuestro equipo de tutores estará a su disposición para resolver todo tipo de dudas que surjan durante el trabajo. No demore el inicio de las actividades; comience inmediatamente después que haya resuelto los aspectos formales para comenzar a trabajar. Realmente es nuestro deseo que disfrute de este proceso y se apropie de cada una de las herramientas que construimos a diario pensando en usted. ¡Suerte! Y nuevamente… Bienvenid@s.

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Evaluación Diagnóstica Inicial Apellido y Nombre: ……………………………………………………………………….. DNI: ……………………………………………………………………………………… Email: ……………………………………………………………………………………….. Institución: ………………………………………………………………………………….. Distrito Escolar: ……………………………………………………...…………………….. Lo invitamos a completar el siguiente cuestionario, a manera de evaluación inicial. Su respuesta es muy importante para poder realizar los ajustes convenientes y lograr de esa forma sacar el máximo provecho de esta instancia de formación. Podrá completar la misma en el foro abierto en la clase 0. 1. ¿Ha participado antes de cursos de formación en Matemática y TIC? Cuándo y dónde? 2. Cuáles cree Ud. son las mayores dificultades que tienen los alumnos para el aprendizaje de las fracciones? 3. Cómo cree Ud. que aprenden matemática los alumnos? 4. Cuál cree Ud. es el rol del docente en las clases de matemática? 5. Qué hace Ud. cuando un alumno le muestra una estrategia de resolución errónea? 6. ¿Considera importante la incorporación de las TIC en las prácticas de enseñanza? 7. ¿Utiliza las TIC en sus clases? Puede brindar un pequeño ejemplo de uso? 8. ¿Utiliza las TIC en su vida cotidiana? Puede brindar un pequeño ejemplo de uso? 9. Tiene Ud. internet en su hogar? en su teléfono celular? 10. Ha realizado alguna vez un curso de formación a distancia? Por correo postal? por email? mediado por una plataforma? 11. Qué le gustaría aprender en este curso de formación? 12. Otras dudas, miedos, comentarios o sugerencias que desee realizar. Podrá encontrar esta evaluación en el aula virtual

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CURSO Fracciones en el nivel primario Unidad 1 Introducción Iniciaremos este curso retomando los principales lineamientos que sobre el enfoque de enseñanza de la matemática propuesto en el Diseño Curricular de provincia de Buenos Aires. ¿Qué es enseñar y aprender matemática? Aprender matemática es “resolver problemas”4 Hemos mencionado en la introducción que la enseñanza de la matemática (y en nuestro caso las fracciones) estaba marcada por la resolución de problemas. Los invitamos a leer un fragmento del documento ¿Qué entendemos por hacer matemática en la escuela? 5 en el que se desarrollan las características mencionadas anteriormente acerca de los problemas: ―Son numerosos los factores que han incidido en la construcción del saber matemático, pero es indudable que uno de los principales ha sido la resolución de problemas de distinta índole: problemas cotidianos, problemas de otras ciencias y problemas de la matemática. Indefectiblemente, los problemas han sido y son el motor del desarrollo de la matemática. Pero no siempre el saber matemático ha sido elaborado de manera sencilla, hubo errores, dificultades, marchas y contramarchas que exigieron un estilo de trabajo ante cada problema: investigación, búsqueda, experimentación, respuestas, demostraciones, nuevas preguntas, así hasta formalizar un conocimiento. Este recorrido entre un problema y su formalización no es en absoluto lineal ni espontáneo, y en algunos casos ha llevado miles de años. Se plantea entonces que la actividad de enseñar matemática en el aula esté relacionada, de alguna forma, con el quehacer matemático anteriormente descripto, aunque sea muy difícil precisar los límites entre una y otra actividad. Pero indefectiblemente implica que los alumnos 4

Enfoque propuesto para la enseñanza de la matemática por los Diseños Curriculares de la Provincia de Buenos Aires. 2008 5

¿QUÉ ENTENDEMOS POR HACER MATEMÁTICA EN LA ESCUELA? Subsecretaría de Educación Dirección Provincial de Educación de Gestión Estatal Dirección de Educación General Básica Gabinete Pedagógico Curricular – Matemática Año 1997Provincia de Buenos Aires Dirección General de Cultura y Educación

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puedan desplegar diferentes estrategias para resolver un problema, poner en juego ideas, buscar diversos caminos de resolución, formular respuestas (aunque sean erróneas), tener la oportunidad de corregirlas, debatir sobre una afirmación, poder probarla o rechazarla, analizar la conveniencia o no de determinados caminos elegidos, analizar la razonabilidad de un resultado, etc. En definitiva, permitir a los alumnos entrar en las características del pensamiento matemático, permitirles vincularse a la forma de producción del conocimiento matemático, asumiendo lo complejo y prolongado de esta tarea. Esto será posible si se opta por un enfoque que ponga la resolución de problemas en el centro del trabajo. A su vez, son también los problemas los que permiten que un saber tenga sentido. En cierta forma este es uno de los desafíos para los docentes: encontrar situaciones, actividades, juegos, enunciados, cuentas, etc. que permitan a los alumnos construir el significado de un conocimiento matemático, establecer el para qué sirve, como así también los límites de su utilización. Ahora bien, no cualquier problema permitirá a los alumnos entrar en el ―hacer matemática‖. Dichos problemas (situaciones, actividades, juegos, enunciados, cuentas, etc.) tendrán que tener ciertas características que permitan a los alumnos desplegar los conocimientos que poseen, pero que a su vez ofrezcan cierta resistencia para que la respuesta no sea inmediata. Que involucre una nueva búsqueda y permita desarrollar diferentes estrategias por parte de los alumnos. Pero que asimismo no resulte tan dificultoso de manera que los chicos no puedan siquiera empezar a trabajar. En tanto un conocimiento aparezca como la solución óptima (no la única) a un problema, es que adquirirá sentido para los alumnos. Pero, a su vez, será necesario ampliar las posibilidades de uso de ese conocimiento. Para ello se deberán presentar una variedad de problemas que permitan poner en funcionamiento dicho conocimiento y realizar un análisis en torno a las características que adquiere en cada uno de ellos.‖ De estos párrafos, podemos comenzar a distinguir estrategias de enseñanza, que respondan al modelo de “Enseñanza por resolución de Problemas” En él, se propone a los alumnos realizar “un trabajo matemático” que implique, a partir de un problema: - explorar - investigar - buscar soluciones - experimentar - ensayar, equivocarse y volver a empezar - reflexionar sobre el error - argumentar una estrategia de solución encontrada - comunicar la solución a otros, etc

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Para ello el rol del docente, no se limitará a brindar problemas y soluciones tipo. Sino por el contrario, deberá ser capaz de seleccionar los problemas de tal forma que estos permitan que el contenido a enseñar tenga sentido para el alumno. Síntesis de la Unidad En esta unidad se estudiará el conjunto de problemas que permiten que la fracción cobre sentido como herramienta de resolución de situaciones problemáticas: mediante actividades de reparto equitativo o medición que no pueden ser resueltas en el campo de los números naturales. Se analizarán algunas rupturas o dificultades, en relación con los números naturales. A la vez se proponen algunas estrategias de entrada o vía, para introducir el concepto de fracción, anticipando las posibles estrategias de resolución empleadas por los alumnos, a través del análisis de diferentes problemas. Finalmente se analizarán didácticamente algunos recursos u objetos interactivos de aprendizaje que se brindan en la web, mediante herramientas colaborativas de comunicación. Esquema conceptual de la unidad

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Objetivos Reflexionar sobre el enfoque de enseñanza y aprendizaje por medio de la resolución de problemas. Analizar diferentes estrategias de enseñanza de las fracciones, permitiendo la construcción de sentidos. Contenidos Unidad 1 1. Los problemas como condición necesaria pero no suficiente para lograr aprendizajes matemáticos. 1.1 Rol del Docente. 1.2 Organización y Gestión de la clase. 1.3 La puesta en común. 1.4 La institucionalización. 1.5 Estudiar matemática. 1.6 Las fracciones en el 2° ciclo. 2. Las fracciones: Rupturas con el campo de los números naturales. 3. Las fracciones: Sentidos. 3.1Límites en la definición usual de fracción y sus representaciones tradicionales. 4. Propuesta de problemas y actividades para construir el sentido de las fracciones dentro del contexto de reparto y medida. 4.1 Uso de Objetos o recursos interactivos de enseñanza 5. Análisis de casos didácticos. Uso de recursos interactivos de aprendizaje: tablón de anuncios online.

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1. Los problemas como condición necesaria pero no suficiente para lograr aprendizajes matemáticos. Qué es un problema? Un problema es toda situación que lleve a los alumnos a poner en juego los conocimientos de los que disponen pero que, a la vez, ofrece algún tipo de dificultad que torna insuficientes dichos conocimientos y fuerza a la búsqueda de soluciones en la que se producen nuevos conocimientos modificando (enriqueciendo o rechazando) los conocimientos anteriores 6 Los problemas seleccionados deben poseer ciertas características, como ser: -poder resolverlos a partir de los conocimientos disponibles que poseen los alumnos, -que los alumnos reconozcan lo que podría ser una posible solución, aunque esta, en un principio, resulte incompleta o incorrecta, -que posibiliten un trabajo de exploración matemática, -los problemas son ricos, involucrando una red de conceptos -el conocimiento es el recurso para responder eficazmente al problema planteado 1.1 Rol del Docente Este tipo de “trabajo matemático” involucra del docente un nuevo compromiso didáctico con sus alumnos y el problema en cuestión. Al plantear la situación es importante que se asegure que ha sido básicamente comprendida y que la consigna quede clara para todos y así puedan comenzar a trabajar. Es importante brindar el tiempo suficiente para que los alumnos puedan comenzar a desarrollar procedimientos de resolución (más o menos eficaces, más o menos pertinentes), mientras el docente observa y circula por los diferentes grupos, animándolos, ayudándoles a organizar la puesta en común o decidir continuar en otro momento si una síntesis en ese momento parece demasiado precoz. En el momento de puesta en común el docente organiza la confrontación, precisa en qué condiciones pueden intervenir los alumnos para explicar su solución, para preguntar, para contestar. En el debate relativo a los resultados el maestro ayuda eventualmente en las reformulaciones, pero, en general, sin poner en evidencia cuál es la solución correcta, porque de hacerlo los alumnos podrían descansar en que “el maestro es quién dice si está bien” y no involucrarse en el análisis. Forma parte esencial de la actividad matemática el juzgar la corrección y adecuación del resultado obtenido. El maestro tiene una gran tarea por hacer para lograr que los alumnos acepten esa responsabilidad y desarrollen las capacidades y actitudes pertinentes.

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Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretaría de Educación. Dirección de Currícula (1997). “Documento de actualización curricular N.° 2. Matemática” Pág: 4.

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―Para que esta clase de práctica esté presente en el aula, se promoverá que los /as alumnos/as se involucren en la determinación de los alcances de los recursos y resultados que se van produciendo, por ejemplo: ¿pasará siempre?, ¿servirá para todos los casos?, ¿habrá algún caso donde no se cumpla?, etc. Se trata de analizar el carácter más general de ciertas ideas que han circulado, llegando en algunas ocasiones a establecer relaciones válidas para cualquier caso, y en otras, a establecer los límites en la posibilidad de generalizar dichas relaciones‖7 1.2 Organización y Gestión de la clase Un trabajo matemático como el que se sugiere se ve potenciado cuando los alumnos pueden formar grupos, lo que posibilita la confrontación de procedimientos y formar de abordar el problema, en función de los conocimientos de los que disponga cada uno. Surgen así nuevas actitudes en el grupo de alumnos, por ejemplo: escucharse, argumentar, valorar la palabra del compañero, cambiar de opinión, formular acuerdos, registrar el trabajo, comunicarlo, asumir la responsabilidad en el proceso y en su evaluación. 1.3 La puesta en común Luego de la etapa de exploración, y habiendo los alumnos registrado su procedimiento de resolución en función del problema abordado es importante que los alumnos confronten las respuestas elaborados por el grupo. Este momento de puesta en común, favorece, la confrontación de respuestas y comprendan las divergencias eventuales para llegar a una respuesta única, también posibilita la comunicación de un método o su solución y la defensa contra preposiciones diferentes si se cree necesario. Adriana Díaz (2009), menciona que la función de la puesta en común depende en parte del objeto asignado a la tarea propuesta: - En una situación de exploración abierta y nueva para los alumnos, la puesta en común consiste en poner el acento sobre la riqueza y la diversidad de procedimientos empleados. El maestro puede armar un inventario de procedimientos utilizados para mostrar la multiplicidad y la originalidad, y así propiciar modos de pensar “divergentes”, indispensables para la creatividad matemática. - En una situación que busca estabilizar una noción o un procedimiento, la puesta en común es el momento de la institucionalización de ese saber. La atención de todos debe enfocarse sobre ese saber, siendo el eje del pensamiento convergente el que determina el estilo de esta puesta en común.

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Diseño Curricular para la Educación Primaria. Segundo Ciclo Volúmen 2/ Dirección General de Cultura y Educación. Pág: 37

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1.4 La institucionalización Siguiendo a Adriana Díaz, diremos que la institucionalización otorga un estatus oficial a un conocimiento particular. No es una formalización, sino una identificación del saber que puede usarse en otras ocasiones. La institucionalización devuelve a los alumnos el producto de su trabajo pero también les señala lo que se ha enseñado y que empezará a ser requerido por el docente. La institucionalización permite que el conocimiento sea reconocible, reutilizable y desprendido del contexto en el que surgió. 1.5 Estudiar Matemática Estudiar significa mucho más que resolver ejercicios de la carpeta o similares, aunque esta actividad está incluida en el estudio. Sabemos que estudiar un concepto involucra, entre otras cosas, relacionarlo con otros conceptos, identificar qué tipos de problemas se pueden resolver y cuáles no con esta herramienta, saber cuáles son los errores más comunes que se han cometido en la clase como parte de la producción y por qué. Como es sabido, cada disciplina tiene una especificidad en su quehacer, tiene formas particulares de producir, de comunicar y validar conocimientos. Estas formas específicas deben estar incluidas en el momento del estudio; es decir, el alumno no puede estudiar desconociendo, por ejemplo, las maneras de establecer la verdad en matemática. Estas formas específicas de producir conocimiento, de validarlo y de comunicarlo deben estar incluidas en el estudio del alumno. Estudiar supone, pues, resolver problemas, construir estrategias de validación, comunicar y confrontar con otros el trabajo producido y reflexionar sobre el propio aprendizaje.8 Actividad de análisis Pregunte a sus alumnos, colegas o familiares cómo estudian o estudiaban matemática. Realice una lista de las estrategias o técnicas mencionadas. Lea el documento ―La formación de los alumnos como estudiantes. Estudiar Matemática, serie: Apoyo a los alumnos de primer año en los inicios del nivel medio.‖ disponible en en: www.buenosaires.esc.edu.ar/areas/educacion/curricula/d2web01.pdf y realice un punteo de las estrategias que se sugieren para el 2° ciclo de educación primaria: - Libros y carpeta: Instrumentos para el estudio - Actividad de Evocación - Repasos Si Ud. es un directivo, lo invitamos a tratar el tema en una mesa de reflexión con sus docentes, realizando primero una indagación sobre cómo enseñan ellos a 8

“La formación de los alumnos como estudiantes. Estudiar Matemática, serie: Apoyo a los alumnos de primer año en los inicios del nivel medio.” Documento curricular de la Secretaría de Educación del GCBA. Pág. 11. Disponible en: www.buenosaires.esc.edu.ar/areas/educacion/curricula/d2web01.pdf

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estudiar matemática, o cómo preparan una instancia de evaluación con sus alumnos, posteriormente puede leer el punteo de las estrategias sugeridas.

1.6 Las fracciones en el 2° ciclo, a lo largo de la escolaridad. En el trabajo con las fracciones se debe pensar en evocar sus múltiples puntos de vistas a lo largo de la escolaridad de los niños. De esta manera la fracción9: -

puede ser el resultado de una medición, y por lo tanto remitirnos a establecer una relación con la unidad ¿Cuánto mide la parte sombreada, si el rectángulo mide 1?

-

puede ser el resultado de un reparto Se tienen cinco chocolates para repartir en partes iguales entre tres chicos ¿cuántos chocolates le corresponderá a cada chico? puede expresar una constante de proporcionalidad He confeccionado un plano de mi casa en que 2 cm representan 3m de mi casa. Mi cocina es un rectángulo de 4m de largo por 5m de ancho ¿Cómo la representaré en mi plano? ¿Cuáles son las dimensiones del galpón que en el plano queda representado por un rectángulo de 5cm por 10 cm?

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-

puede ser la manera de indicar la relación entre partes que forman un todo Para hacer naranjada, mezclé 2 cucharadas de jugo concentrado con 5 vasos de agua. Ahora quiero hacer menos jugo, pero conservando el mismo gusto. ¿Cómo podré prepararlo? ¿Y si quiero hacer más jugo? puede expresar el porcentaje de una población, la probabilidad de un suceso, la densidad de un material, etc.

En todas las situaciones planteadas se evoca el estudio de las fracciones, y se establece como solución un cociente entre números naturales. Es entonces importante reconocer que el estudio de los números fraccionarios atraviesa muchos años de escolaridad y debemos ir procurando que el concepto “crezca” (en complejidad, en sentidos posibles, en formas de representación) a medida que los niños avanzan en su escolaridad. El trabajo en torno a las fracciones, en algunas ocasiones se inicia en el 1° ciclo, al enfrentar a los alumnos a problemas para partir o repartir en el que aparecen medios y cuartos. En 4° grado, es recomendable retomar lo que los alumnos ya saben y ampliar las estrategias y formas de representación mediante problemas de reparto y partición 9

Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretaría de Educación. Dirección de Currícula (1997). “Documento de actualización curricular N.° 4. Matemática” Pág: 53.

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y agregando problemas de medida (al comparar longitudes): Problemas de medida en los cuales las relaciones entre partes o entre partes y el todo pueden expresarse usando fracciones - Problemas de proporcionalidad directa en los que una de las cantidades o la constante es una fracción Familias de fracciones: , , (mitad, mitad de la mitad y mitad de la mitad de la mitad); , (tercera parte y mitad de la tercera parte); , la quinta parte).

(quinta parte y mitad de

En 5° grado, a las anteriores (4°grado), incorporaremos algunos criterios de comparación de fracciones. Más adelante, se avanzará en extender y generalizar esas relaciones y dar razones sobre su funcionamiento. En este sentido ―Formular leyes para comparar números, establecer la verdad o la falsedad de enunciados, analizar la equivalencia de expresiones numéricas sin apelar al cálculo efectivo, comparar diferentes procedimientos realizados por otros, delimitar el alcance de diferentes propiedades (esta regla vale en tales casos) son tareas que, al ubicar al alumno en un plano de reflexión sobre el trabajo llevado a cabo, le permiten comprender aspectos de la organización teórica de la disciplina, le posibilitan acceder a las razones por las cuales algo funciona de una cierta manera. Lograr que los alumnos adquieran cierto nivel de fundamentación para los conceptos y propiedades con los que tratan, es un propósito de la educación matemática que la escuela tiene que brindar‖10 Se introducirá también el trabajo con la recta numérica. Por ejemplo: Indicá en las siguientes rectas los números que corresponden a la posición de los puntos P y Q:

Operaciones de suma y resta de fracciones usando equivalencias. Problemas de división en los que tiene sentido repartir el resto y se ponen en juego relaciones entre fracciones y división Familias de fracciones: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16; 1/3, 1/6, 1/9; 1/5, 1/10, 1/100. Respecto de las relaciones entre las fracciones, trabajaremos la mitad, la tercera parte y la décima parte de cualquier fracción. En 6° grado, avanzaremos incorporando nuevamente la comparación de fracciones entre sí y con números naturales, priorizando que los alumnos elaboren 10

Matemática. Fracciones y números decimales. Apuntes para la enseñanza (2005), Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula.

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sus propias estrategias y el planteo de diferentes tareas, como ser ordenar fracciones, ubicar fracciones entre naturales o intercalar fracciones entre otras dadas. Problemas que requieren considerar a la fracción como una proporción. Finalmente se incorporarán las operaciones de multiplicación y división de fracciones entre sí en el contexto de medida. Recomendaciones finales11 Recomendaciones generales para la enseñanza del tema fracciones: - Presentar situaciones variadas que impliquen los distintos usos de las fracciones en base a distintos contextos. No centrarse en la enseñanza de la relación partetodo - Dejar que los alumnos se expresen en forma oral y escrita con el lenguaje coloquial e incentivar el dibujo como apoyo para la comprensión de los conceptos implicados en las situaciones dadas. No apresurar el uso de la simbolización al comienzo del ciclo. - Comenzar a trabajar fracciones con las fracciones más usuales y sus equivalencias. No empezar por las más complicadas. - No imponer los algoritmos de las operaciones, sino que hay que cargar de sentido las mismas a través de problemas variados

2. Las fracciones 2.1 Rupturas de los números racionales respecto de los números naturales Qué tipo de obstáculos enfrentan los alumnos al introducirse a los racionales? A partir del 2° ciclo, se introduce a los alumnos, paulatinamente al uso de los números fraccionarios. Los alumnos en 1° ciclo, construyeron ciertas certezas sobre el conjunto de los números naturales, manejan (aunque intuitivamente) muchas propiedades, y desarrollaron diferentes estrategias de cálculo mental, algorítmico, estimativo y con calculadora, al operar. Sin embargo muchas de estas certezas se ven amenazadas, al momento de enfrentarse al trabajo con las fracciones. Por ejemplo: Dada la suma: + = Es habitual que los alumnos, respondan , como resultado Al tener que comparar

y , mencionen que es mayor.

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Plan de Desarrollo Estratégico de Campana.. “La enseñanza de las fracciones en el 2do ciclo de la Educación General Básica. Módulo 2. Serie Aportes al Proyecto Curricular Institucional Agosto 2001

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Se sorprendan que = = , al realizar una representación gráfica, tomando la misma unidad de medida. Suelen mencionar por ejemplo que es el siguiente de No pueden responder que número multiplicado por 2, da por resultado 7. Les cuesta entender por qué a veces al multiplicar un número natural por una fracción, el producto “no se agranda” sino que por el contrario se achica: x 6 = 3, por ejemplo. Y que al dividir fracciones, a veces, el cociente sea un número mayor, que el dividendo: 10 : = 20

Debemos recordar que en el Diseño Curricular, dentro de las orientaciones generales para el trabajo con números racionales, se menciona: ―Los números racionales se crearon en el intento de resolver problemas que no podían ser resueltos utilizando números naturales. Estos campos numéricos tienen características diferentes. Iniciar su estudio en el 2° Ciclo implica enfrentar a los niños/as a ciertas rupturas con respecto a las ―certezas‖ construidas en torno a los naturales, que hacen de éste un contenido complejo cuya construcción llevará varios años de escolaridad.‖12 A continuación se sugiere en el mismo documento: ―El estudio de los números racionales supone presentar una gama muy variada de situaciones que permiten a los alumnos/as identificar sus diferentes usos y sentidos.‖ En esta unidad vamos a introducirnos en ese grupo de problemas que no pueden ser resueltos usando los números naturales, y necesitan de los números fraccionarios para su resolución, y lograr de esa forma que el alumno construya de esta forma el sentido de las fracciones. A su vez analizaremos los obstáculos más habituales a los que se enfrentan los alumnos. Iniciar el trabajo con fracciones, implica que el alumno deje de lado algunas certezas construidas alrededor de los números naturales, y conserve otras. Así tenemos que: en el conjunto de números racionales, los números ya no tienen anterior y siguiente; debido a que, entre dos números racionales puede haber infinitos números; en los números decimales, la cantidad de cifras no es útil al comparar números; la multiplicación sólo en algunos casos puede ser interpretada como una suma reiterada; 12

Diseño Curricular Provincia de Buenos Aires, Pág. 172

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el producto de dos números racionales, en muchos casos, es menor que cada uno de los factores; el resultado de una división, a veces, puede ser mayor que el dividendo. Estas cuestiones son muy importantes, y deberemos tenerlas en cuenta al momento de planificar secuencias de aprendizaje sobre fracciones, para anticipar posibles respuestas y no sorprendernos ante los errores, sino por el contrario poder realizar una intervención didáctica que permita al alumno, aprender del error. Es importante también recordar que: ―Muchas veces, cuando los alumnos de 4° o 5° año/grado aprenden reglas para comparar fracciones, para simplificarlas, para pasar de una fracción a número mixto, para escribir un número mixto como fracción y también para operar con fracciones o con decimales, las olvidan después de un tiempo. Los niños se confunden, pierden la posibilidad de aplicar esas reglas a la resolución de problemas y difícilmente se vuelven aprendizajes útiles para adquisiciones posteriores. Para evitar estas dificultades, proponemos abordar el trabajo con los números racionales, priorizando la construcción de sentido y avanzando en la comprensión de los distintos significados de estos números, de sus distintas representaciones y de las posibles formas de cálculo.‖13

3. Las Fracciones. Sentidos Problemas que ayudan a la construcción de sentidos Hemos mencionado que las fracciones, surgen como una necesidad del hombre al no poder resolver problemas dentro del campo de los números naturales, en particular dentro de las mediciones. Es por ello que son numerosos los problemas en los que las fracciones pueden servir como herramienta de solución, y permiten que esta cobre sentido para los alumnos. Qué tipos de problemas pueden resolverse usando fracciones? 14 1. Problemas de reparto equitativo 2. Problemas para determinar una medida, a partir de lo cual se establece una relación con una unidad de medida.

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Cuadernos para el aula, Matemática 4 - 1a ed. - Buenos Aires. Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, 2007. Pág. 49-50 14 Documento N° 4. Fracciones (2001) Buenos Aires. GCBA. Secretaria de Educación. Dirección de Currícula.

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3. Problemas de proporcionalidad directa (escalas, porcentajes, velocidad, constantes de proporcionalidad, etc.) 4. Problemas para establecer relaciones entre cantidades enteras y las partes en que pueden ser subdivididas, así como entre dichas partes y la cantidad entera. Veamos algunos ejemplos. 1. Problemas de Reparto: a- Guido tiene 3 pizzas para repartir entre sus 4 hermanos. ¿En cuántas partes deberá dividir las pizzas para que cada uno coma la misma cantidad? Dentro de los números naturales, este problema sería imposible de resolver, ya que no es posible realizar el cociente 3:4, sin embargo esto sí es posible dentro del conjunto de los números racionales, en la que una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, con b≠0, representada como Los alumnos dentro de las estrategias que pueden emplear para resolver la situación, pueden recurrir al dibujo, realizar las particiones y efectuar el reparto.

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En este caso cada alumno recibe 3 porciones de pizza, en las que cada porción equivale a de cada pizza. Esta conclusión no es inmediata en los niños. Ellos pueden emplear diferentes formas (y es recomendable que así sea en un principio) de representación para referirse al cuarto. El docente puede en otras instancias de trabajo introducir, el vocabulario y representación correspondiente, previo acuerdo con sus alumnos. Esta forma de reparto permite la entrada a la definición de fracción, en la que desde un primer momento y en líneas generales una fracción se denomina cuando n partes como estas equivalen a un entero. (Se utiliza el término para comunicar la generalidad pero no para ser transmitido a los niños) Otra forma posible que surja por parte de los alumnos en relación al reparto podría ser:

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En este caso los niños reciben solo 2 porciones (una grande y otra pequeña, suelen decir los alumnos). Es importante detenerse a analizar las equivalencias que surgen en este tipo de reparto, haciendo notar que “una parte grande” equivale a “dos parte pequeñas”, a través de las relaciones entre dobles y mitades. b- Susana desea repartir 25 alfajores, entre sus 4 amigas, en partes iguales. ¿Cuántos alfajores recibirán cada una? En este problema se puede realizar la división de 25 en 4, y obtener cociente 6 y resto 1. Pero al tratarse de alfajores (elemento fraccionable) el resto puede ser fraccionado, y surge así una fracción que acompaña al cociente. Volveremos más adelante sobre estos casos, al trabajar sobre las estrategias de resolución que puedan emplear los alumnos al enfrentarse a un problema de esta naturaleza. 2. Problemas para determinar una medida, a partir de lo cual se establece una relación con una unidad de medida. a.-Cuántas veces entra la tira U, en la tira R? R U En este problema, se toma a la tira U como unidad de medida y debemos ver cuántas veces entra en la tira R. Según la medida que le asignemos a las tiras, puede entrar un número entero de veces o puede entrar un número entero de veces y aun sobrar una parte de la tira R por cubrir. Para ello la unidad deberá ser subdividida, para indicar las veces que cabe. Si las tiras están sueltas y pueden ser manipulables, los alumnos pueden resolver este problema por superposición y verificar cuántas veces la tira U entra en la tira R. Si las tiras no pueden ser manipulables, los niños intentan usar la regla graduada, y “medir” la tira U y luego ir trasladando la medida sobre la tira R. Sabemos los problemas que esta estrategia acarrea, ya que no siempre la medida (en cm) es un número natural, por lo que los niños mencionan que “sobra o falta” para cubrir la tira R. Otros niños pueden usar una regla no graduada o bien un compás para trasladar el segmento U, sobre el R y responder así a la pregunta planteadas. Si la tira U, no entra un número entero de veces surge el problema de indicar la cantidad que sobra o falta, por lo que es necesario recurrir a la expresión fraccionaria que los niños pueden indicar de forma coloquial o numérica. b- Si la siguiente tira representa

de la tira original. Dibujar la tira original.

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En este caso, no conocemos la medida de la tira original pero podemos obtenerlo a partir de las medidas de una parte. En este caso como la tira representa 1/4, debemos tener cuatro de para obtener el entero. Cualquier propuesta en la que el entero esté formado por 4 partes iguales a la dada, es correcta. Este es el punto central que debe analizarse con los niños y una de las conclusiones que pueden registrar en sus cuadernos. La separación entre forma y medida es uno de los asuntos que está en juego en el problema. Sin duda, será necesario plantear otros problemas similares para que los niños puedan manejar con comodidad este concepto. Este trabajo que exige poner en juego la definición de fracción de diferentes maneras, intenta superar las limitaciones que se producen cuando la única propuesta de trabajo consiste en pedirles a los niños que, para establecer una medida, “miren” un dibujo de un rectángulo partido en partes iguales con algunas de esas partes sombreadas. Este tipo de problemas son más complejos que los anteriores. c- Indica la parte de la figura sombreada.

Aquí la figura completa representa el entero. Este problema busca nuevamente poner en juego la definición de fracción, que los alumnos comienzan a construir intuitivamente. Es importante señalar que en este problema las partes en la que fue dividido el entero son iguales, lo cual colabora con la definición antes mencionada. 3. Problemas de proporcionalidad directa (escalas, porcentajes, velocidad, constantes de proporcionalidad, etc.) a- Completa la siguiente tabla que relaciona el precio de manzanas por kilo. Kg 1 1 Precio

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b- Si para preparar una torta para 6 personas se necesitan 8 huevos. ¿Cuántos huevos utilizaré para preparar una torta para 10 personas? c- En una clase de 30 alumnos, 18 son varones. ¿Qué parte del total de la clase son mujeres? d- En el plano de una casa, la piscina está representada por un rectángulo de 2x3 cm. Si la escala marca 1:100. ¿Cuáles son las medidas reales de la piscina? ¿Qué medida tendrá en el plano la habitación principal que mide realmente 4,5 x 3 metros? 33

e- Andrea desea comprar con tarjeta de crédito una heladera que cuesta $2500. Si le hacen un recargo del 10%. ¿Cuál es el precio que abonará finalmente? f- Un automóvil recorre 250 km en 2 horas. ¿A qué velocidad promedio se desplaza? En todos estos problemas, intervienen números fraccionarios, ya sea como respuesta o como estrategia para el cálculo. En algunos casos la fracción representa una constante de proporcionalidad como en el problema b); puede ser una razón, como en el problema c); En los problemas d), e) y f) intervienen nuevos sentidos de la fracción y representan un mayor nivel de abstracción, debido a que las fracciones aparecen con diversas representaciones y significados. Actividad de análisis Respecto del trabajo con fracciones dentro del contexto de proporcionalidad, los invitamos a leer el análisis propuesto en el documento Fracciones y números decimales 7º grado. Apuntes para la enseñanza (http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/plan_plurianual_o ct07/matematica/m7_docente.pdf ) páginas 34 a 38, en el que desarrollan estrategias de enseñanza y análisis de estos problemas.

4. Problemas para establecer relaciones entre cantidades enteras y las partes en que pueden ser subdivididas, así como entre dichas partes y la cantidad entera. a- Lucy quiere comprar 3 kg de fideos. Los paquetes vienen por kg. ¿Cuántos paquetes llevará? ¿Y si los paquetes fueran de kg? b- En una panadería se prepararon 200 pancitos saborizados. Si son de orégano. ¿Cuántos panes de orégano se prepararon? c- Augusto leyó 160 páginas de un libro, que representan . ¿Cuántas páginas tiene el libro? Cuántas aún le quedan por leer? d- De un libro de 300 páginas, Belén leyó 240. ¿Qué parte del libro leyó? e- Calcular de 500. Como podemos notar es muy amplia la gama de problemas por lo que deben atravesar los alumnos en su escolaridad, para construir el concepto de fracción. Como docentes, debemos ser capaces de seleccionar y secuenciar año a año estos problemas, para que se amplíe significativamente el sentido del concepto.

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No es la intención complejizarlos todos a la vez. Lo que se propone es tomar distintos sentidos en distintos momentos de la escolaridad y complejizar cada uno de ellos.

Actividad En el Diseño Curricular de Provincia de Buenos Aires para el 2° ciclo, disponible en http://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/organismos/consejogeneral/disenioscurric ulares/documentosdescarga/diseniocurricularparaeducacionprimaria2ciclo.pdf (haga click en el link seleccionado) se propone el estudio de las fracciones en función de las clases de problemas: (Páginas 177 a 180) -Usar las fracciones en diferentes clases de problemas Les proponemos leer las páginas mencionadas y realizar un listado de los problemas que se proponen para cada grado/año escolar.

3.1 Límites en la definición usual de fracción y sus representaciones tradicionales Durante mucho tiempo, los docentes iniciaban el tema fracciones, partiendo de una definición: Una fracción es el cociente entre a y b, y se lo escribe , con b ≠ 0. A continuación indican las partes de una fracción y brindaban un ejemplo:

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Además agregan: el denominador ―indica las partes en la que se divide el entero‖ y el numerador ―indica las partes que se toman (o pintan)‖

Luego seguía una serie de problemas para representar gráficamente fracciones: Representar gráficamente: , , , etc. Indica la fracción que representa:

En ningún momento de esta secuencia (tradicional) se hace mención a los problemas, ni mucho menos a las diferentes representaciones o significados de una fracción. Se puede observar que representar la fracción o indicar la fracción, responde sólo a uno de los tipos de problemas por los que el alumno debe enfrentar (Problemas para determinar una medida, a partir de lo cual se establece una relación con una unidad de medida.) El principal inconveniente en este tipo de tratamiento del tema fracciones, es que se construye un sentido equivocado de fracción, al considerarse a la misma como dos números enteros, que cumplen funciones diferentes, cuando en realidad debemos trabajar con la fracción a/b como un número, en su globalidad, como una nueva forma de representar una cantidad. Actividad de análisis Le proponemos a continuación visitar los siguientes recursos interactivos disponibles en internet y responder a qué sentido de las fracciones responde cada uno. (Haga click en cada uno de los títulos, ya que los mismos son hipervínculos que los llevarán a las páginas elegidas) Fracciones I http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_103_g_1_t_1.html 36

Fracciones II http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_104_g_1_t_1.html Fracciones III http://ntic.educacion.es/w3/recursos/primaria/matematicas/fracciones/menu u2.html ¿Considera que estos recursos, colaboran o no, en la construcción del sentido de una fracción?

4. Propuesta de problemas y actividades para construir el sentido de las fracciones dentro del contexto de reparto y medida. Cómo podemos comenzar a construir el sentido de fracción en los alumnos? En el Diseño Curricular, se sugiere iniciar a los alumnos dentro de dos contextos principales: A. Las fracciones como resultado de un reparto B. Las fracciones como resultado de una medición De esta forma podremos comenzar nuestras clases planteando, la siguiente situación problemática (Sin necesidad de brindar ningún tipo de definición previa, ni argumento alguno sobre el tema fracciones), para ser resuelta en grupos: a- Guido tiene 3 pizzas para repartir entre sus 4 hermanos, en partes iguales. ¿Cuánta pizza comerá cada uno? Entre las estrategias que pueden surgir, tenemos: Los alumnos pueden dividir cada pizza en 4 partes y repartirlas a los 4 hermanos, usando gráficos como los siguientes:

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Aunque el procedimiento parece algo “engorroso”, es totalmente válido desde el punto de vista del alumno. Otra estrategia posible, podría ser:

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Ambas estrategias responden a diferentes estrategias para repartir. Luego de haber recorrido los grupos, el docente puede observar las diferentes estrategias de reparto y producciones de los alumnos. Posteriormente se realizará la puesta en común de las estrategias encontradas: -En el 1° caso, cada pizza es dividida en 4 partes, y cada niño recibe un cuarto de cada pizza. El docente ayudará o introducirá, el lenguaje y la representación: un cuarto + un cuarto + un cuarto

Cuántos cuartos recibe cada hermano entonces? 3 de

o lo que es lo

mismo Otra pregunta a realizarles a los alumnos es cuántos

forman cada pizza?

De esta forma se comienza a introducir implícitamente la idea, de que una fracción se denomina , cuando n partes iguales forman el entero. (Esta definición no es necesario que el alumno la conozca, pero sí que la vaya manejando y construyendo durante la resolución de los diferentes problemas.) Tampoco produce ningún inconveniente colocar el signo +, ya que los alumnos de 2° ciclo, son conscientes que se están sumando “partes” de una pizza. Así podremos escribir: + +

=

-En el 2° caso, los alumnos partieron por la mitad, dos de las tres pizzas, y partieron en cuartos la tercera pizza. Nuevamente el docente, ayudará o introducirá en caso de ser necesaria la representación correspondiente: + , respecto de lo que recibe cada hermano. Ambas representaciones son correctas e indican que los hermanos, comen la misma cantidad. Además estas representaciones habilitan la entrada a reconocer fracciones equivalentes. Podríamos preguntarle a los alumnos, cuántos hacen ?

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Es importante que en estas primeras aproximaciones, se trabajen con medios, cuartos y octavos para realizar los repartos equitativos. Y comenzar a reconocer las relaciones entre los mismos. Luego introduciremos problemas, para reconocer tercios y sextos, o quintos y décimos. Es conveniente recordar que no bastará un solo problema para construir el sentido de fracción dentro de situaciones de reparto. Será necesario preparar secuencias de problemas en las cuales los alumnos vayan realizando diferentes repartos, de manera gráfica: Por ejemplo: - Repartir 3 en 5 - Repartir 3 en 6 - Repartir 5 en 4

Problemas para el aula: Sugerimos a continuación, una pequeña secuencia de problemas tomada del Libro APRENDER CON TODOS Tareas de acompañamiento para alumnos y alumnas de 4to. y 5to. Grado, http://repositorio.educacion.gov.ar:8080/dspace/bitstream/handle/123456789/5575 3/Para_seguir_aprendiendo_4_y_5_Matematica%20D.pdf?sequence=1 (haga click en el título subrayado, el mismo es un hipervínculo que lo llevará a la página seleccionada en internet) cuya lectura recomendamos y se trabajan problemas de repartos.

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41

Otras situaciones de reparto: Podemos plantearles a los alumnos la siguiente situación problemática para ser resuelta en parejas: Susana desea repartir 25 alfajores de entre sus 4 amigas, en partes iguales. ¿Cuántos alfajores recibirán cada una? Luego de que el docente haya recorrido el aula, es probable que hayan surgido estrategias gráficas y analíticas. Por ejemplo: Algunos niños podrían haber realizado la gráfica de los 25 alfajores, repartirlos entre 4 e indicar que sobra 1 Otros realizan la división: 25 1

4 6

Y también indicar que le corresponden 6 alfajores a cada amiga, y sobra 1. Pero dada la naturaleza del elemento a repartir (alfajores) este puede aun seguir dividiéndose, para completar el reparto. Surge así la siguiente representación, del alfajor dividido en 4

En el trabajo colectivo, durante la puesta en común, el docente puede ayudar a introducir la notación correspondiente e indicar que cada parte del alfajor representa un cuarto, e indicar . Ya que se necesitan 4 partes para volver a obtener el entero. Al repartir 25 alfajores entre 4, le corresponde a cada uno, lo que es lo mismo que 6 y . (Si con 4 de , formo el entero, al tener 24 cuartos obtengo 6 enteros y sobra 1/4) =

+

=6+ De esta manera surgen naturalmente fracciones mayores que la unidad. (Sin necesidad de introducir el concepto de fracciones impropias)

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En este tipo de problemas es importante tener en cuenta, el resto de la división y que se puede obtener la fracción, debido a que los alfajores pueden seguir partiéndose. No sucedería lo mismo si se tratase de lápices, figuritas, vasos, etc (elementos que no se pueden fraccionar) ―A partir de las situaciones de reparto, se trata de reflexionar sobre el significado de las cantidades involucradas. Si una cantidad es, por ejemplo: 1/2, con 2 de esas cantidades se obtiene el entero, o bien, que 1/4 es una cantidad que repetida 4 veces permite obtener el entero, etc. Este tipo de análisis podrá elaborarse también a partir de problemas que demanden relacionar las partes con el entero, por ejemplo: Cada niño/a comió un cuarto de chocolate. Si eran 4 niños/ as, ¿cuántos chocolates había?‖ 15 A partir de 5° o 6° año/grado es importante que los alumnos comiencen a identificar que una fracción es un cociente entre números naturales. Así al repartir 3 pizzas entre 4 amigos, los alumnos deberían reconocer a la fracción . Luego se deberán proponer secuencias de problemas, para familiarizar a los alumnos con la estrategia de reparto y con diferentes fracciones. Por ejemplo: - Repartir 32 en 6, se obtiene 5 y - Repartir 46 en 5, se obtiene 9 y - Etc Intentando familiarizar a los alumnos con todo tipo de fracciones. Sugerimos a continuación, el análisis de dos actividades, propuestas en el documento Matemática para Todos. En el nivel Primario. Notas para la enseñanza. http://es.calameo.com/books/0002279094177600a0465 (haga click en el título subrayado para dirigirse a la página seleccionada en internet) cuya lectura y actividades recomendamos, llevar al aula:

15

Diseño Curricular Provincia de Buenos Aires. 2008. Pág. 178

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44

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B. Las fracciones como resultado de una medición Este tipo problemas, promueve comparar y determinar longitudes y áreas, usando diferentes unidades de medida. Podemos comenzar la clase, proponiendo la resolución en parejas o en grupo de la siguiente situación: a.-Cuántas veces entra la tira U, en la tira R? R U En un primer intento es habitual que los alumnos recurran al uso de la regla, para medir la tira U. En el caso de que eso suceda, podemos dejarlos probar y ensayar, para que se den cuenta que no interesa el valor de las longitudes. Otros podrán optar por utilizar el compás para trasladar la longitud de la tira U, y ver cuántas veces entra en la tira R. De esta manera podrán observar que la tira U entra 3 veces en la tira grande, la tira U es de la tira grande, ya que 3 tiras U, equivalen al entero (tira R). También es posible que los alumnos mencionen que la tira R es 3 veces más grande que la tira pequeña. + + = 1, tira R Podremos a continuación proponer otras situaciones para trabajar con , , , etc y comenzar a descubrir relaciones de equivalencia. Por ejemplo: Cuántas veces entra la tira T en la tira R? T Cuántas veces entra la tira T en la tira U? La tira T es , de la tira R, ya que cabe 6 veces, y equivale a la mitad de la tira U, así: + = de la tira R En otras situaciones la tira tomada como unidad, no entra un número entero de veces. Por ejemplo: Usando la tira A, como unidad de medida, determinar la longitud de la tira B A B 46

En este caso los alumno podrán tomar con un compás o una regla no graduada, la longitud de la tira A, y trasladarla a la tira B. Notarán que la tira A entra 2 veces en la B, pero aún queda parte de la tira B sin medir. Deberán entonces plegar la tira A, por la mitad para cubrir toda la longitud de la tira B. Durante la puesta en común, los alumnos podrán mencionar los diferentes procedimientos o estrategias que utilizaron, y surgirán respuestas como: - La tira B, mide 2 tiras A y un poco más - La tira B, mide 2 tiras A y sobra - La tira B, mide 2 tiras A y una mitad o medio - La tira B, mide 2 tiras A Es importante ir registrando todas las respuestas, y ayudar a los alumnos a poner en lenguaje matemático aquello que dicen con palabras cotidianas. Al igual que en el caso anterior, podemos agregar una tercera tira C C Y pedir a los estudiantes que establezcan relaciones con las tiras A y B ¿Cuántas veces cabe la tira C, en la tira B? En este caso la tira C, cabe 3 veces y , para lo que deberán plegar la tira en 3 partes. A continuación se podrán proponer problemas como los siguientes, en los que también se establecen relaciones de medidas. Si la siguiente tira representa de la tira original. Dibuja la tira original.

Indica la parte de la figura sombreada.

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Otros problemas similares, podemos tomarlos del documento antes mencionado Matemática para Todos. En el nivel Primario. Notas para la enseñanza. http://es.calameo.com/books/0002279094177600a0465 (haga click en el título subrayado para dirigirse a la página seleccionada en internet) cuya lectura y actividades recomendamos, llevar al aula.

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Son las situaciones de reparto y las situaciones de medida, las que se recomiendan desde el Diseño Curricular, para introducir a los alumnos en el tema de números fraccionarios ya que posibilitan el surgimiento de las fracciones, a partir de una situación problemática. Propuesta Didáctica http://www.uruguayeduca.edu.uy/UserFiles/P0001/File/FRACCIONES.pdf (haga click en el título subrayado para dirigirse a la página seleccionada en internet) La fracción en situaciones de reparto. Composición de cantidades con fracciones. Autor: Uruguay Educa; Revista Nova Escola y Anep, PMEM (Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática) Este documento en línea tiene como propósito: -Trabajar la fracción en uno de sus significados: reparto. -Promover el razonamiento en actividades en las que la cantidad a repartir, por no ser múltiplo de la cantidad de partes, impide la realización de un reparto exhaustivo, si no se elaboran estrategias más complejas.

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Actividad de Reflexión Reúnase con un colega docente que no esté participando de este curso, e indague sus ideas sobre la “forma de enseñar fracciones”. Confróntelas con las ideas expuestas en esta unidad. Si Ud. es directivo, lo invitamos a recuperar su carpeta de “Observación de Clases” y volver a leer alguna observación de alguna clase sobre fracciones, y confróntela con las ideas expuestas en este módulo. Qué sugerencias se pueden brindar a la luz de este enfoque a ese docente observado? En la educación de adultos, los alumnos suelen tener mayor contacto con las fracciones. Lo invitamos a realizar una lista de los contextos en los que estos usan las fracciones y relacionarlos con los problemas que permiten la construcción del concepto de fracción. ¿Cuáles son los problemas que aún no abordaron y les ayudaría a ampliar o rechazar sus conceptos sobre números fraccionarios?

4.1 Uso de Objetos o recursos interactivos de enseñanza En el trabajo Uso de objetos de aprendizaje interactivos para las matemáticas por maestros de secundaria-http://ixil.izt.uam.mx/pd/lib/exe/fetch.php/art9tatoaje4to.pdf de Galaviz y otros (2006) se rescata la importancia de los medios tecnológicos para apoyar la enseñanza: ―La enseñanza apoyada con los medios tecnológicos actuales ofrece grandes posibilidades, en el campo de la educación, para elevar el nivel de aprovechamiento de los alumnos. La tecnología computacional y de comunicaciones provee recursos valiosos y herramientas para apoyar los procesos de enseñanza y aprendizaje, produciendo cambios significativos en las prácticas pedagógicas, metodologías de enseñanza y la forma en que los estudiantes acceden a los conocimientos e interactúan con los conceptos matemáticos que tratan de exponer.‖ A lo largo de esta unidad hemos ido proponiendo la visita y uso de diferentes recursos de aprendizaje, con la principal intención de que como docente les pierda el miedo y logre reconocer el potencial de transformación de sus prácticas que ofrecen las herramientas TIC, a la vez que estimula el aprendizaje de los conceptos a sus alumnos. Cada uno de los recursos presentados, involucra algunos de los problemas que sirven para la construcción del sentido de fracción. Es importante que en sus clases con niños, el uso no caiga únicamente en el simple juego o “diversión”. El uso de estos recursos debe funcionar en el aula, dentro de una gestión de clase, en la que prime el trabajo matemático. (tal como lo expusimos en la Unidad 0) buscando que los problemas presentados poseen las 51

características enunciadas en dicho módulo. Se permita la discusión grupal de las soluciones, se analicen los errores cometidos, se realice una puesta en común de aquellas estrategias que permitieron “ganar”. En algunos problemas, la posibilidad de puntaje o jugar contra el tiempo, habilita que el alumno vaya afinando sus estrategias, y en otras instancias recurra al lápiz y papel antes de “arriesgar” una respuesta. Posteriormente a los “juegos” es importante abrir una instancia de reflexión colectiva, en el que se expliciten y socialicen las estrategias exitosas y las erróneas, las pautas para ganar siempre, o como se relacionan esos juegos con los problemas que se resuelven habitualmente en el grado.

Actividad Optativa Busque en internet algunas páginas web sobre fracciones y mencione los principales tipos de problemas a los que hacen referencia (si es posible). Puede compartir sus hallazgos (o no) en el foro general de la clase.

5. Actividad de Integración Unidad 1 A continuación vamos a transcribir un segmento de una clase real, para leer y reflexionar sobre la misma. Para ello vamos a tener en cuenta: ¿Qué tipo de problema o sentido de fracción desea trabajar la docente? ¿Cuál es el objetivo de la clase? ¿Lo alcanza? ¿En qué momento interviene el docente? ¿Para qué? ¿Cómo es la forma de corrección y de devolución? ¿Qué hace el docente ante el error? ¿Cuál es el rol del alumno en la clase? ¿Qué lugar se le da a las respuestas de los alumnos? ¿En qué momentos se la recupera? ¿Por qué fases o momentos atraviesa la clase? ¿Cómo es el agrupamiento? ¿De qué forma se manejan los tiempos? No es necesario responder las preguntas una por una, es suficiente con escribir brevemente una reflexión personal sobre el registro de la clase. 1° Volcaremos nuestras impresiones en un ―Tablón de anuncios‖, http://aplicacionticalaula.blogspot.com.ar/2009/05/hemos-encontrado-una-nuevaherramienta.html (haga click para dirigirse al tablón de anuncios en internet) que el docente tutor creará y compartirá en la clase. 2° Cada uno (o en grupos, de no más de 3) deberá responder a la siguiente pregunta: ¿Creen Uds. que es posible mejorar esta clase? ¿cómo? ¿de qué forma intervendrían? ¿qué cambios sugieren? Subirán la propuesta de mejora Foro de la Unidad 1 del cur 52

Caso de análisis didáctico: Escuela: IGNACIO COLOMBRES Localidad: Lules – Tucumán – Agosto/2012 La docente F, entra al aula y saluda a los niños. M: -Saquen la carpeta de matemática. A: -¿Qué vamos a ver? M: -Un problema para que cada uno lo resuelva en su carpeta. A: -¡Que no sea difícil seño! M: -Copien el siguiente problema. (La docente lo escribe en el pizarrón) Para el cumpleaños de Ramiro, su mamá compró cinco chocolates e invitó a Manuel, Alejo y Franco. Si quiere repartir los chocolates de manera tal que cada uno de los chicos reciba la misma cantidad y no sobre nada, ¿cuánto le corresponde a cada uno? M: -¿Qué hacemos cuando tenemos un problema? A: -Lo leemos todos. M: -Bueno, leamos. Los alumnos leen el problema, algunos a dúo, otros en silencio. M: -Cada uno lo resuelve en su carpeta como crea conveniente, yo voy a ir mirando sus trabajos y colaborando en las dudas. Un alumno llama a la docente y le dice: -le doy uno a cada uno y al último lo divido en cuatro partes. M: -Haga en su carpeta lo que me está diciendo. Otro alumno, se acerca a la docente y le dice: - le toca un chocolate y un cuarto a cada uno. M: -¿Será? ¡Escríbalo en la carpeta! La docente recorre los bancos mirando lo que hacen, sin decir si está bien o mal lo que están haciendo sus alumnos. A: -Seño, seño, le toca cinco cuartos a cada uno. M: ¿Cómo es eso? A: -Si un entero es cuatro cuartos, y a eso le agrego un cuarto, entonces es cinco cuartos. M: Bueno, escribí todo en tu carpeta. Un alumno llama a la docente y le dice: - no lo entiendo. M: -Leamos el problema juntos, le dice a ese alumno. A: Yo entiendo que le doy uno a cada uno pero no sé cómo seguir. M: A ver, hacé de cuenta que esta hoja es tu chocolate ¿cómo la partirías en cuatro partes iguales? A: Así El alumno partió por la mitad la hoja y luego de nuevo por la mitad. M: -Muy bien y cómo se llama cada parte. A: -Un cuarto M: -Bueno ¿quién va a pasar a resolverlo en el pizarrón? Pasa al pizarrón Catalina, y escribe: para cada uno 53

Ramiro Manuel Alejo Franco Pasa Diego y escribe: Ramiro 1 chocolate más Alejo

1 chocolate más

Manuel

1 chocolate más

Franco

1 chocolate más , o sea

Pasa Carlos, y explica: -Yo partí mi chocolate en ocho partes y le di dos pedacitos a cada uno de cada chocolate, entonces le toco a cada uno diez pedacitos M: -¿Cómo es eso? El alumno dibuja: Ramiro Manuel

Alejo

Franco

M: -¿Ustedes creen que lo que hizo el compañero está bien? A: No, no, no. Catalina: -Hizo otra división, pero creo que está bien. M: -¿Por qué será que le da distinto el resultado? C: Porque lo partió en partes más chiquititas M: -Bien, muy bien, o sea que las fracciones y y 1 son iguales? C: No son iguales, representan lo mismo. M: ¡Muy bien Catalina! Estos tipos de fracciones que se escriben distinto pero representan lo mismo, se llaman fracciones equivalentes. Tocaron el timbre y los chicos salen al recreo.Actividad de reflexión personal ¿Qué usos didácticos, podría darle al ―Tablón de anuncios‖ (on line) en su clase? 54

Autoevaluación Unidad 1 1. Mencione las principales rupturas u obstáculos que deben enfrentar los alumnos al trabajar con los números racionales en el 2° ciclo de la EPB. 2. ¿Qué tipos de problemas pueden resolverse usando fracciones? 3. Dados los siguientes problemas, indique a qué sentido de fracción corresponde cada uno. a) Para la fiesta de Melina, la mamá calculó kg para cada invitado. Si son 16 invitados. ¿Cuántos kg deberá comprar? b) La siguiente tira representa

de la unidad. Dibuje la tira unidad.

c) Un abuelo, compró 6 chocolates para repartir entre sus 8 nietos. Si quiere que todos coman la misma cantidad. ¿Cuánto le dará a cada uno? d) Colorea de la siguiente figura:

4. Resuelva los problemas del punto anterior. 5. Busque en libros de textos o revistas que circulan con actividades para los alumnos. Intente clasificar las propuestas o actividades de acuerdo al sentido de las fracciones que prioriza, visto en esta unidad.

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Clave de corrección 1. Ingresar al conjunto de los números fraccionarios o decimales, implica que el alumno deje de lado algunas certezas construidas alrededor de los números naturales, y conserve otras. Así tenemos que: en el conjunto de números racionales, los números ya no tienen anterior y siguiente; debido a que, entre dos números racionales puede haber infinitos números; en los números decimales, la cantidad de cifras no es útil al comparar números; la multiplicación sólo en algunos casos puede ser interpretada como una suma reiterada; el producto de dos números racionales, en muchos casos, es menor que cada uno de los factores; el resultado de una división puede ser mayor que el dividendo. 2 Problemas de reparto equitativo Problemas para determinar una medida, a partir de lo cual se establece una relación con una unidad de medida. Problemas de proporcionalidad directa (escalas, porcentajes, velocidad, constantes de proporcionalidad, etc.) Problemas para establecer relaciones entre cantidades enteras y las partes en que pueden ser subdivididas, así como entre dichas partes y la cantidad entera. 3. a) Problema de proporcionalidad directa b) Problemas para determinar una medida. c) Problema de reparto equitativo d) Problema para establecer relaciones entre el entero y las partes 4. a) Como 4 de forman el entero. La mamá de Melina deberá comprar que cada 4 de , tengo un 1 kg, al necesitar 16 de

kg. Dado

, deberá comprar 4 kg.

b) La tira contiene 5 segmentos de , por lo tanto deberemos partir la tira en 5 y tomar únicamente 4. c) Se puede realizar una representación gráfica de la situación. Dibujando 6 alfajores y 8 niños. Como respuesta cada niño recibirá: 6 de , o 3 de , o + , de acuerdo a como se realice la partición. d)

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5. Respuesta de desarrollo personal. Puede enviar los problemas seleccionados al tutor, con la clasificación propuesta.

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Evaluación Parcial del desarrollo del Curso Apellido y Nombre: DNI: Email: Institución: Distrito Escolar: Lo invitamos a completar el siguiente cuestionario, a manera de evaluación procesual del desarrollo del curso. Su respuesta es muy importante para poder realizar los ajustes convenientes y lograr de esa forma sacar el máximo provecho de esta instancia de formación. Siendo: 1 No o Nunca y 5 Si o Siempre 1 1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15

2

3

4

5

Considera que los temas abordados son útiles para su función docente? Considera que los temas abordados cumplen con sus expectativas e intereses? Considera que los temas abordados cumplen con los objetivos del curso? El desarrollo de los temas se realizó de manera gradual, espiralada, y teniendo en cuenta al sujeto de enseñanza? Considera que el material de lectura es fácilmente comprensible? Las actividades de reflexión, de análisis u obligatorias sirvieron para lograr mayores aprendizajes? Los ejemplos TIC son adecuados y comprensibles? Los tiempos establecidos para la lectura, participación en foros y desarrollo de actividades son los adecuados? Considera que puede aplicar lo aprendido en sus clases fácilmente? Las propuestas de Autoevaluación son pertinentes y le permitieron aprender más? El tutor despertó y mantiene el interés en la propuesta? El tutor responde a sus dudas e inquietudes de manera adecuada? El tutor responde sus preguntas dentro de las 48 hs? Considera que la preparación del tutor es la adecuada para llevar adelante el desarrollo del curso? Otros comentarios, críticas, o sugerencias que permitan mejorar la cursada:

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CURSO Fracciones en el nivel primario Unidad 2 Introducción En la unidad anterior hemos podido conocer y abordar un conjunto de problemas, que permiten que el concepto de fracción cobre sentido para el alumno, en especial en aquellos problemas de reparto equitativo y medida. Sin embargo la construcción de relaciones, propiedades y operaciones dentro del campo de los números fraccionarios, debe trascender estos dos tipos de problemas y abordar toda la gama de situaciones propuestas en la Unidad 1: Problemas de reparto equitativo Problemas para determinar una medida, a partir de lo cual se establece una relación con una unidad de medida. Problemas de proporcionalidad directa (escalas, porcentajes, velocidad, constantes de proporcionalidad, etc.) Problemas para establecer relaciones entre cantidades enteras y las partes en que pueden ser subdivididas, así como entre dichas partes y la cantidad entera. Pero poder enfrentarse a este tipo de situaciones, requiere del conocimiento de otros aspectos respecto del funcionamiento de las fracciones. Al respecto el Diseño Curricular, menciona: ―¿Qué enseñar respecto del funcionamiento de las fracciones? Son varios los aspectos que se proponen abordar de manera tal que los alumnos/as puedan tener una mayor comprensión del funcionamientos de estos números. Por un lado se deberá favorecer la resolución de problemas que impliquen comparar fracciones…la noción de equivalencia… El uso de la recta numérica será un recurso para profundizar este tipo de análisis y poder producir nuevas relaciones entre fracciones, y entre el entero y las fracciones, ya que ubicar fracciones o decimales en la recta demanda interpretar cómo están relacionados los números a ubicar y los que se presentan como datos.‖16

16

Diseño Curricular para la Educación Primaria. Segundo Ciclo Volúmen 2 / Dirección General de Cultura y Educación - 1a ed. - La Plata. Dir. General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires, 2008.

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Es así como en esta unidad desarrollaremos estrategias para comparar y ordenar fracciones, encontrar fracciones equivalentes y operar con ellas. Al hablar de estrategias, lo hacemos pensando en estrategias de cálculo mental, entendiendo por él, un cálculo más personal, menos algorítmico o mecánico, como tradicionalmente se presentaron las fracciones en la escuela primaria, para poder desarrollar de esta forma habilidades matemáticas de cálculo con los niños. La propuesta de esta unidad se basa en el trabajo de análisis matemático y didáctico de los diferentes tipos de problemas que se proponen en el Diseño Curricular de Provincia de Buenos Aires, para el 2° ciclo, respecto del funcionamiento de las fracciones. De esta manera el docente puede llevar propuestas concretas al aula, según el grado de avance y comprensión que vayan obteniendo los niños y del año escolar correspondiente.

Síntesis En esta unidad se analizan diversas estrategias de enseñanza para comparar y ordenar fracciones, encontrar fracciones equivalentes y operar con ellas. Dicho abordaje se realiza pensando en estrategias de cálculo mental, entendiendo por él, un cálculo más personal, menos algorítmico o mecánico, a como tradicionalmente se presentan las fracciones en la escuela primaria, para poder desarrollar de esta forma habilidades matemáticas de cálculo. La propuesta se basa en el trabajo de análisis matemático y didáctico de los diferentes tipos de problemas que se proponen en el Diseño Curricular de Provincia de Buenos Aires, para el 2° ciclo, respecto del funcionamiento de las fracciones. De esta manera el docente puede llevar propuestas concretas al aula, según el grado de avance y comprensión que vayan obteniendo los niños y del año escolar correspondiente. Se analizan además, diversos recursos interactivos de aprendizaje disponibles en la web, para poder llevarlos al aula, desde un criterio pedagógico y matemático.

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Esquema conceptual de la unidad

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Objetivos Analizar diferentes estrategias de enseñanza en la construcción de los sentidos de uso de la fracción. Reflexionar sobre la producción de estrategias diversas de cálculo en la búsqueda de resultados en los diferentes tipos de problemas que involucren números fraccionarios Analizar el impacto de las nuevas tecnologías en la educación en relación al aprendizaje de la matemática

Contenidos Unidad 2 1. Estrategias de cálculo mental para comparar fracciones. 2. Fracciones equivalentes. 3. Representación de fracciones. La recta numérica. 4. Resolución de operaciones con fracciones usando estrategias de cálculo mental y algorítmico. 4.1 Sumar y restar con fracciones 4.2 Multiplicación con fracciones 4.3 Dividir con fracciones Recursos interactivos de aprendizaje online: análisis, selección y organización de recursos on line mediante una wiki.

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1. Estrategias de cálculo mental para comparar fracciones Podemos comenzar este apartado, a partir del análisis de una situación problemática sencilla: Hugo comió de pan dulce y Lucy sólo

¿Cuál de los dos comió más?

En este problema los alumnos suelen decir que es mayor que , porque tal como hemos visto, tienden a extrapolar lo que saben sobre los números naturales a los números racionales. (4 > 3) Sin embargo podemos vencer este obstáculo propiciando en los niños un trabajo de reflexión matemática, a través de preguntas que orienten una determinada manera de pensar: ¿Cuántos cuartos forman el entero? ¿Cuántos tercios forman el entero? Así los alumnos pueden darse cuenta que necesitan 4 partes de para formar el entero, al partir el pan en 4 y que se necesitan 3 de para formar el entero, al partir en pan en 3. Concluyendo que se necesitan menos “partes” al partirlo en 3, por lo tanto es mayor que . Este tipo de razonamiento recupera la definición implícita que debemos formar en nuestros alumnos respecto de fracción: Una fracción se denomina , cuando n partes iguales forman el entero. -Otra estrategia a la que podrían recurrir los alumnos, para resolver esta situación es el uso de una representación gráfica:

Notemos que para que esta estrategia sea válida, ambas tiras deben tener la misma longitud. Este también suele ser un error frecuente en los alumnos, al dibujar o realizar representaciones para comparar, sin tener en cuenta que lo deben hacer usando la misma unidad.

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Comparación de fracciones con la unidad En una segunda etapa, podremos proponer a los estudiantes, la comparación de fracciones mayores o menores que la unidad: Se sugiere proponer a los alumnos, por ejemplo, tener que comparar y . Si los estudiantes se apoyan en la definición de fracción, logran pensar que si con 4 de forman el entero, al tener 5 de , esta fracción es mayor que , ya que a aun faltan 2 de para llegar a 1. Sugerimos no hablar de fracciones propias, impropias o aparentes, sino de fracciones mayores, menores o iguales a 1 Este tipo de problemas intramatemáticos, en los que se comparan fracciones sin necesidad de un contexto (no se hace mención a panes, alfajores, pizzas, etc) permite un trabajo de abstracción matemático propio a desarrollar en el 2° ciclo de educación primaria. Tampoco se hace necesario, como docentes, recurrir a la clasificación de fracción en propias, impropias o aparentes que implica la introducción de “reglas” para comparar. Solo necesitamos enseñar cuando la fracción es mayor, menor o igual que 1. Propuesta para el aula Podemos continuar el análisis de comparación de fracciones proponiendo otras actividades Indica si las siguientes fracciones son mayores o menores que la unidad: a) d) b)

e)

c)

f)

Si bien esta actividad los alumnos pueden resolver de manera gráfica, es importante recuperar con ellos la definición de fracción: - a ) como a le faltan 3 de para llegar a 1, por lo tanto es menor -

b) si con 3 de llego a 1, al tener 4 de , la fracción es mayor que 1 Similares razonamientos podemos seguir para los otros ítems.

Luego de haber propuesto este tipo de actividades y de haber debatido las respuestas con los alumnos, el docente puede proponer el análisis de la relación entre numerador y denominador, para poder concluir entre todos como ―darnos cuenta rápidamente‖ cuáles fracciones son mayores, menores o iguales a la unidad. 64

Se sugiere crear un “machete” con la participación de todos los alumnos, puede ser un afiche para colgar en el aula: Si el numerador es mayor que el denominador entonces…… Si el numerador es menor que el denominador entonces… Si el numerador es igual al denominador entonces….

-

De esta forma logramos construir algunas certezas y estrategias de cálculo respecto de la comparación de fracción, sin necesidad de recurrir a definiciones de antemano. Privilegiando así el “trabajo matemático” por parte de los alumnos. Propuesta para el aula: La siguiente actividad tiene el propósito de enriquecer con los alumnos el análisis de los numeradores y denominadores al tener que comparar fracciones con la unidad. Completa el numerador o denominador de las siguientes fracciones, para que se cumpla la condición establecida a)

1

d)

>1

e)

. A qué se debe este frecuente error? De qué forma se puede ayudar a los alumnos? 2) Complete el numerador y el denominador de las siguientes fracciones para que se cumple la condición establecida. Analice la cantidad de soluciones en cada caso. a) 1 c) 1

e)

>1

f)

4) Sin embargo podemos evitar este error de algunas maneras: -Si pensamos que se necesitan 5 partes de para formar el entero, y que se necesitan 4 de para formar el entero. Llegamos a concluir que se necesitan menos “partes” al partirlo en 4, por lo tanto

es mayor que .

2) a) 1 Los denominadores que cumplen con la condición, deben ser menores que 3: 2,1. Solo existes 2 soluciones. c) 1 Los numeradores deben ser mayores que 6 e)

>1 Los numeradores deben ser mayores que 5

f)