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CINEMÁTICA DEL PUNTO Índice 1. Mecánica y sistemas materiales 1.1. Sistemas objeto de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2
2. Objeto de la Cinemática 2.1. Definición de Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Aparición de la Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2 2
3. Reposo y Movimiento. Sistemas de referencia
2
4. Cinemática del punto 4.1. Posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Trayectoria y ley horaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Ecuaciones horarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 3 3
5. Vector velocidad
3
6. Vector aceleración
4
7. Hodógrafa del movimiento
4
8. Acotaciones Prácticas
4
9. Coordenadas polares y cilíndricas 9.1. Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5 6
10.Velocidad Areolar
6
11.Movimientos centrales y Fórmulas 11.1. Definición de movimiento central 11.2. Planteamiento . . . . . . . . . . . 11.3. Fórmulas de Binet . . . . . . . .
de . . . . . .
Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Coordenadas curvilíneas en E3 A.1. Posición espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Superficies coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Líneas o curvas coordenadas . . . . . . . . . . . . . A.4. Base de vectores tangentes a las líneas coordenadas A.5. Factores de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6. Base de versores coordenados tangentes . . . . . . . A.7. Desplazamiento elemental o infinitesimal . . . . . . A.8. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . A.8.1. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.8.2. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.8.3. Rotacional o rotor . . . . . . . . . . . . . .
6 6 7 7
. . . . . . . . . . .
8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 10
B. Estructura cuatrimestral de la Mecánica B.1. Mecánica I: Introducción a la Mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2. Mecánica II: Aplicaciones de la Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 12 12
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1.
Mecánica y sistemas materiales
Un sistema material es un conjunto de partículas de masa conocida. La Mecánica es la parte de la Física que se encarga del estudio del movimiento de un sistema material (efecto) debido a las fuerzas que actúan sobre el mismo (causa). La Mecánica es una ciencia que considera un comportamiento de la naturaleza de carácter determinista, es decir, que asume que para unas causas dadas el efecto producido va a ser único y predecible.
1.1.
Sistemas objeto de estudio
Los sistemas materiales más sencillos son aquellos que tienen un número finito de grados de libertad: punto, sólido rígido y conjuntos de ambos. Los sistemas de un numero infinito de grados de libertad (sólidos deformables y fluidos) no serán objeto de estudio de la asignatura.
2. 2.1.
Objeto de la Cinemática Definición de Cinemática
La Cinemática es la parte de la Mecánica que se encarga del estudio del movimiento de los sistemas materiales independientemente de las causas que lo producen. Estudia la posición y los cambios de posición en el tiempo de los sistemas, es decir, las propiedades intrínsecas del movimiento (aquellas que se pueden expresar mediante las magnitudes fundamentales longitud y tiempo). No consideran otras magnitudes fundamentales. Es, en cierta medida, una prolongación de la Geometría a la que se añade la variable tiempo. Su objetivo es expresar los atributos o propiedades cinemáticas de los sistemas como funciones de la variable temporal.
2.2.
Aparición de la Cinemática
La Cinemática como disciplina se desglosa de la Mecánica para independizar el estudio de las propiedades puramente geométricas de los sistemas del resto de propiedades mecánicas.
3.
Reposo y Movimiento. Sistemas de referencia
El ámbito natural de la Cinemática es el espacio afín euclídeo tridimensional E3 . Los conceptos estudiados en la Cinemática, tanto la posición como los cambios de posición, necesitan de un marco al que referirse. Sólido rígido (o simplemente sólido, a partir de ahora) es un sistema en el que las distancias entre sus puntos permanecen invariables. Unido al sólido se considera un sistema de referencia al que se asocian todos los puntos del espacio euclídeo (incluidos los que no tienen masa asociada). Se dice que un punto está en reposo respecto a un sólido o sistema de referencia cuando no varían sus distancias a todos los puntos del sólido y se dice que está en movimiento cuando al menos una varía. Se dice que un sólido está en reposo respecto a otro de referencia cuando todos sus puntos están en reposo y se dice que está en movimiento cuando al menos uno está en movimiento. El sólido de referencia (referente del movimiento) es fundamental en esta concepción física del espacio.
4.
Cinemática del punto
La Cinemática del punto es la parte de la Cinemática que analiza el movimiento de un punto respecto a una referencia dada. Esta referencia no posee ninguna característica especial.
4.1.
Posición
Se denomina posición de un punto en un instante al punto geométrico del espacio que ocupa. Se describe mediante el vector que une el origen del sistema de referencia y el punto, que se denomina vector de posición o radio-vector. r¯ = OP
4.2.
[¯ r] = L
Trayectoria y ley horaria
El movimiento del punto tiene dos componentes: 1. La componente geométrica, que es la curva que describe el punto y que se denomina trayectoria. 2. La componente temporal, que es la manera de describirla. Esta última se puede definir de distintas formas, aunque la más conveniente desde el punto de vista teórico es expresar el parámetro longitud de arco en función del tiempo, lo que se denomina ley horaria.
4.3.
Ecuaciones horarias
Se denominan ecuaciones horarias a las funciones temporales que describen la evolución de las coordenadas que determinan el vector de posición del punto. Cuando se usan, por ejemplo, coordenadas cartesianas éstas son: x = x(t) y = y(t) z = z(t) Desde el punto de vista geométrico son una representación paramétrica de la trayectoria con el parámetro privilegiado de la Cinemática, el tiempo. En ellas se contiene la información completa del movimiento.
5.
Vector velocidad Se denomina velocidad al vector1 : v¯ =
d¯ r = r¯˙ dt
[¯ v ] = LT −1
Por ejemplo, si se tienen las ecuaciones horarias en coordenadas cartesianas su cálculo se realiza mediante: r¯ = x~ı + y~ + z~k
d dt →
v¯ = x~ ˙ ı + y~ ˙ + z˙~k
Cuando se usa el parámetro longitud de arco como variable intermedia se obtiene la proyección en la base de las coordenadas intrínsecas de la trayectoria, una interpretación geométrica de su significado: v¯ = 1
d¯ r d¯ r ds ds ~ = = t = s˙ ~t = v ~t dt ds dt dt
En Mecánica se adopta el convenio de denotar con punto encima la derivada temporal de una variable. No se debe confundir con la derivación respecto al parámetro longitud de arco en una curva propia de la Geometría Diferencial, que en Mecánica debe indicarse explícitamente.
donde v es le valor algebraico de la velocidad. Nótese que el módulo de la velocidad es el valor absoluto del valor algebraico: |¯ v| = |v| y que el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria en cada punto de la misma. La ley horaria del movimiento se calcula de la siguiente forma: Z t ds ~ v = v¯ · t = ⇒ s(t) = v(ξ)dξ dt t0
6.
Vector aceleración Se denomina aceleración al vector: γ¯ =
d 2 r¯ = r¨¯ = v¯˙ dt 2
[¯ γ ] = LT −2
Por ejemplo, si se tienen sus ecuaciones horarias en coordenadas cartesianas su cálculo se realiza mediante: r¯ = x~ı + y~ + z~k
d dt →
γ¯ = x¨~ı + y¨~ + z¨~k
Cuando se usa el parámetro longitud de arco como variable intermedia, se obtiene una interpretación geométrica de su significado: d ds ~ d2 s ~ ds d~t d2 s ~ ds 2 d~t d2 s ~ ds 2 dv ~ v 2 d¯ v γ¯ = = ( t) = 2 t + = 2 t+( ) = 2 t + ( ) k~n = t + ~n dt dt dt dt dt dt dt dt ds dt dt dt ρ El vector aceleración en cada punto de la trayectoria está contenido en el plano osculador. Las componentes de la aceleración en coordenadas intrínsecas reciben nombres especiales. Se llama aceleración tangencial al vector: γ¯t =
v¯ v¯ dv ~ t = ( · γ¯ ) dt v v
Se llama aceleración normal al vector: γ¯n =
v2 v¯ v¯ v¯ v¯ ~n = ( ∧ γ¯ ) ∧ = ∧ (¯ γ∧ ) ρ v v v v
Ejercicio: Demostrar la validez de las últimas igualdades de las expresiones anteriores.
7.
Hodógrafa del movimiento
Se denomina hodógrafa del movimiento a la curva que describen los afijos de los vectores velocidad de un punto cuando sus orígenes se sitúan en el origen del sistema de referencia del movimiento. Las ecuaciones paramétricas de la hodógrafa cuando se utilizan coordenadas cartesianas son: X = x(t) ˙ Y = y(t) ˙ Z = z(t) ˙
8.
Acotaciones Prácticas Hay dos tipos de problemas básicos en Cinemática del punto:
Tipo 1 Cuando se dan las ecuaciones horarias del movimiento o una forma sencilla de calcularlas y se pide algún atributo cinemático restante. La resolución sigue un procedimiento algorítmico cerrado:
1. cálculo del vector velocidad por derivación de las ecuaciones horarias: v¯ = r¯˙ 2. cálculo del vector aceleración por derivación del vector velocidad: γ¯ = v¯˙ 3. elección para la trayectoria de un origen de arcos (s = s0 , t = t0 ) y de una orientación (~t0 = |~~vv00 | ) para poder definir el versor tangente. 4. cálculo del valor algebraico de la velocidad: v = v¯ · ~t
5. cálculo de la aceleración tangencial por derivación del resultado de 4: γ¯t =
dv ~ t. dt
6. cálculo de la aceleración normal por diferencia: γ¯n = γ¯ − γ¯t 7. cálculo del radio de curvatura: ρ =
v2 . |¯ γn |
8. cálculo de la hodógrafa con el resultado de 1. Tipo 2 Cuando se imponen condiciones sobre los atributos cinemáticos del movimiento y se pide obtener las ecuaciones horarias. Este tipo es más complejo que el anterior. Suele ser típico de puntos con trayectoria plana o con una proyección plana sencilla. El paso de variables intrínsecas a cartesianas en el plano se realiza analizando la geometría local de una curva. dx = ds cos ϕ dy = ds sin ϕ Las variables están ligadas por las fórmulas: dv γt = dt
ds v= dt
9.
v2 γn = ρ
ds ρ= dϕ
q γ = γt2 + γn2
Coordenadas polares y cilíndricas
9.1.
Coordenadas Polares
Versores de la base propia: r¯(r, θ) = r(cos θ~ı + sin θ~) ~ur = ~uθ =
∂ r¯ ∂r | ∂∂rr¯ | ∂ r¯ ∂θ ∂ r¯ | ∂θ |
∂
= cos θ~ı + sin θ~
∂θ → ∂
∂θ = − sin θ~ı + cos θ~ →
∂~ur = − sin θ~ı + cos θ~ = ~uθ ∂θ ∂~uθ = − cos θ~ı − sin θ~ = −~ur ∂θ
Atributos cinemáticos: vectores de posición, velocidad y aceleración.
d(1) dt
→
d(2) dt
→
r¯ = r~ur
(1)
˙ uθ v¯ = r~ ˙ ur + r θ~
(2)
˙ 1 d(r 2 θ) ¨ uθ = (¨ γ¯ = (¨ r − r θ˙ 2 )~ur + (2r˙ θ˙ + r θ)~ r − r θ˙2 )~ur + ~uθ r dt
(3)
Atributos geométricos: longitud de arco d¯ r = dr ~ur + rdθ ~uθ ⇒ ds = |d¯ r| =
√
dr 2 + r 2 dθ2
Atributos geométricos: ángulo entre el radio-vector y la tangente a la trayectoria: tan V =
r θ˙ r = dr r˙ dθ
Como la ecuación explícita de la trayectoria es r = r(θ) se demuestra que es una característica geométrica de la curva. Ejercicio: Calcular la componentes intrínsecas de la aceleración en coordenadas polares.
9.2.
Coordenadas Cilíndricas
Versores de la base propia: ~ur , ~uθ , ~k. Atributos cinemáticos: vectores de posición, velocidad y aceleración. r¯ = r~ur + z~k
(4)
→
˙ uθ + z˙~k v¯ = r~ ˙ ur + r θ~
(5)
→
¨ uθ + z¨~k γ¯ = (¨ r − r θ˙ 2 )~ur + (2r˙ θ˙ + r θ)~
(6)
d(4) dt d(5) dt
Atributos geométricos: longitud de arco d¯ r = dr~ur + rdθ~uθ + dz~k ⇒ ds = |¯ r| =
10.
√
dr 2 + r 2 dθ2 + dz 2
Velocidad Areolar
Area elemental barrida: dA¯ =
1 r¯ ∧ d¯ r 2
¯ = L2 [A]
Interpretación del vector: * carácter elemental o diferencial * módulo: area del triángulo que forman dos radio-vectores muy próximos * dirección: perpendicular al plano que definen dos radio-vectores muy próximos Velocidad areolar: v¯ar =
dA¯ 1 = r¯ ∧ v¯ dt 2
[¯ var ] = L2 T −1
Interpretación del vector: * carácter finito * módulo: area del triángulo que forman el vector velocidad y el radio-vector * dirección: perpendicular al plano que definen radio-vector y velocidad Aceleración areolar: γ¯ar =
d¯ var 1 = r¯ ∧ γ¯ dt 2
[¯ γar ] = L2 T −1
Interpretación del vector: * carácter finito * módulo: area del triángulo que forman el vector aceleración y el radiovector * dirección: perpendicular al plano que definen radio-vector y aceleración
11. 11.1.
Movimientos centrales y Fórmulas de Binet Definición de movimiento central
La recta soporte del vector aceleración pasa siempre por un punto fijo del espacio (polo de aceleraciones).
11.2.
Planteamiento
Se elige una referencia con origen en el polo de aceleraciones. r¯ k γ¯ ⇒ γ¯ar =
d¯ var 1 = r¯ ∧ γ¯ = ¯0 dt 2
R
→
v¯ar =
¯ 1 h r¯ ∧ v¯ = (constante vectorial) 2 2
¯ La trayectoria esta contenida en un plano que pasa por O y es perpendicular a h: ¯ = 0, r¯ · h
∀¯ r
Se elige un sistema de coordenadas polares en dicho plano con centro en el polo de aceleraciones. ˙uθ ) = r 2 θ˙~k = h ¯ r¯ ∧ v¯ = r~ur ∧ (r~ ˙ ur + r θ~ ¯ · ~k (constante escalar) r 2 θ˙ = C = h
11.3.
⇒
(7)
Fórmulas de Binet
La condición de movimiento central (constancia de velocidad areolar) impone que conocida la trayectoria del mismo y la velocidad en uno de sus puntos esta última queda determinada en el resto. Es decir, la velocidad y la aceleración son solo función de la posición. i h d¯ r d¯ r ˙ (7) C h dr d~ur i C h dr d 1 1 i r¯ = r~ur → v¯ = = θ= 2 ~ur + r = 2 ~ur + r~uθ = C − ~ur + ~uθ dt dθ r dθ dθ r dθ dθ r r (8) h d 1 1 2 i v2 = C 2 ( )2 + Primera fórmula de Binet (9) dθ r r d dt
d¯ v d¯ v ˙ (7,8) C 2 h d2 1 d 1 d~ur d 1 1 d~uθ i θ = 2 − 2 = ~ur − + ~uθ + = dt dθ r dθ r dθ r dθ dθ r r dθ C2 h d2 1 d 1 d1 1 d~uθ i = 2 − 2 ~ur − ~ u + ~ u + ⇒ θ θ r dθ r dθ r dθ r r dθ C 2 h d2 1 1 i γ¯ = − 2 + ~ur Segunda fórmula de Binet r dθ2 r r γ¯ =
(10)
Ente estas fórmulas existe la siguiente relación: γ¯ · v¯ =
d¯ v 1 d(v 2 ) (2,3) dr dr · v¯ = = γ~ur · ~ur = γ dt 2 dt dt dt
⇒
γ=
1 d(v 2 ) 2 dr
(11)
Apéndices A.
Coordenadas curvilíneas en E3
Un sistema de coordenadas curvilíneas en E3 es una terna de familias uniparamétricas de superficies, tales que la intersección de tres superficies cualesquiera tomadas una de cada familia sea un único punto. Llamemos (q1 , q2 , q3 ) respectivamente a los parámetros de cada familia, que serán las coordenadas curvilíneas.
A.1.
Posición espacial
La posición de un punto genérico P en el espacio E3 quedará definida por la función vectorial continua radio-vector en términos de los citados parámetros: r¯ = r¯(q1 , q2 , q3 ) ∈ C0 (R3 , R3 ) P (q1 , q2 , q3 ) = O + r¯(q1 , q2 , q3 ) ∈ E3
A.2.
Superficies coordenadas
La superficie coordenada qk = qk0 (qk0 constante, k ∈ {1, 2, 3}) queda definida por: Sk (qk0 ) = {¯ r (q1 , q2 , q3 ) ∈ E3 | qk = qk0 , k ∈ {1, 2, 3}}
A.3.
Líneas o curvas coordenadas
La curva coordenada asociada a la coordenada qk , k ∈ {1, 2, 3} queda definida por: Ck = {¯ r = r¯(q1 , q2 , q3 ) ∈ E3 | qi = qi0 , qj = qj0 , (i, j, k) ∈ IP({1, 2, 3})}
A.4.
Base de vectores tangentes a las líneas coordenadas
e¯j =
∂¯ r ∂qj
(j = 1, 2, 3)
Si los vectores {¯ ej , j = 1, 2, 3} son ortogonales se dirá que el sistema de coordenadas es ortogonal.
A.5.
Factores de escala
hj = |
A.6.
∂¯ r | (j = 1, 2, 3) ∂qj
Base de versores coordenados tangentes ∂ r¯
e¯j ∂q = ∂ r¯j ~uj = hj | ∂qj |
(j = 1, 2, 3)
A.7.
Desplazamiento elemental o infinitesimal
Como se tiene que: d¯ r = ∂¯ r ∂qj
3 X ∂¯ r dqj ∂q j j=1
= hj ~uj
(j = 1, 2, 3)
es muy sencillo obtener la expresión del desplazamiento elemental: d¯ r=
3 X
hj dqj ~uj
j=1
A.8.
Operadores diferenciales
A.8.1.
Gradiente
El gradiente de una función escalar φ(q1 , q2 , q3 ) es una función vectorial que se denota mediante ∇φ ó grad(φ) y queda definido por la siguiente relación: dφ = ∇φ · d¯ r Como se tiene que: 3 X ∂φ dφ = dqj ∂qj j=1
d¯ r =
3 X
hj dqj ~uj
j=1
es muy sencillo obtener la expresión del gradiente: 3 X 1 ∂φ ∇φ = ~uj h ∂qj j=1 j
A.8.2.
Divergencia
La divergencia de una función vectorial F¯ (q1 , q2 , q3 ) es una función escalar que se denota mediante ∇ · F¯ ó div(F¯ ) y define mediante la siguiente relación: R F¯ · dS¯ ∇ · F¯ = l´ım S S→0 V V →0
donde V es el volumen contenido en la superficie cerrada S. Llamemos (para simplificar la notación): q1− = q1 −
∆q1 − ∆q2 + ∆q2 − ∆q3 + ∆q3 ∆q1 + , q1 = q1 + , q2 = q2 − , q2 = q2 + , q3 = q3 − , q3 = q3 + 2 2 2 2 2 2
Tomemos un volumen de control ∆V (que contiene al punto P (q1 , q2 , q3 )) limitado por las superficies coordenadas: S1− = S1 (q1− ), S1+ = S1 (q1+ ), S2− = S2 (q2− ), S2+ = S2 (q2+ ), S3− = S3 (q3− ), S3+ = S3 (q3+ )
Flujo por la cara q3 = q3+ del volumen anterior (~n = ~u3 , dS = h1 h2 dq1 dq2 ): ZZ ZZ ∆q3 ¯ ¯ F · dS = (h1 h2 F3 )(q1 , q2 , q3 + ))dq1 dq2 ≈ 2 S3+ S3+ ≈ (h1 h2 F3 )(q1 , q2 , q3 )∆q1 ∆q2 +
∆q3 ∂(h1 h2 F3 ) (q1 , q2 , q3 )∆q1 ∆q2 ∂q3 2
Flujo por la cara q3 = q3− del volumen anterior (~n = −~u3 , dS = h1 h2 dq1 dq2 ): ZZ ZZ ∆q3 ¯ ¯ F · dS = −(h1 h2 F3 )(q1 , q2 , q3 − ))dq1 dq2 ≈ 2 S3− S3− ≈ −(h1 h2 F3 )(q1 , q2 , q3 )∆q1 ∆q2 +
∂(h1 h2 F3 ) ∆q3 (q1 , q2 , q3 )∆q1 ∆q2 ∂q3 2
Sumando para ambas caras: ZZ
∂(h1 h2 F3 ) F¯ · dS¯ = (q1 , q2 , q3 )∆q1 ∆q2 ∆q3 ∂q3 S3+ ,S3−
Análogamente para el resto: ZZ
∂(F1 h2 h3 ) F¯ · dS¯ = (q1 , q2 , q3 )∆q1 ∆q2 ∆q3 ∂q1 S1+ ,S1−
ZZ
∂(h1 F2 h3 ) F¯ · dS¯ = (q1 , q2 , q3 )∆q1 ∆q2 ∆q3 ∂q2 S2+ ,S2−
Sumando el flujo completo Z ∂(F h h ) ∂(h F h ) ∂(h h F ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 + + ∆q1 ∆q2 ∆q3 F¯ · dS¯ = ∂q1 ∂q2 ∂q3 S Como el volumen encerrado es: V = h1 h2 h3 ∆q1 ∆q2 ∆q3 es muy sencillo aplicar la definición para obtener: 1 ∂(F1 h2 h3 ) ∂(h1 F2 h3 ) ∂(h1 h2 F3 ) ∇ · F¯ = + + h1 h2 h3 ∂q1 ∂q2 ∂q3 A.8.3.
Rotacional o rotor
El rotacional o rotor de una función vectorial F¯ (q1 , q2 , q3 ) en un punto P (q1 , q2 , q3 ) es una función vectorial que se denota mediante ∇ ∧ F¯ ó rot(F¯ ) y está definido por la siguiente relación: R F¯ · d¯ r Cj ¯ (∇ ∧ F )j = l´ım Cj →0 Sj Sj →0
donde Sj es el area de Sj (qj ) contenida en la curva cerrada Cj ⊂ Sj (qj ) que tiene en su interior al punto P ∈ Sj (qj ). Componente del rotacional según ~uj : {i, j, k} ∈ IP(1, 2, 3). Llamemos (para simplificar la notación): qi− = qi −
∆qi + ∆qi − ∆qk + ∆qk , qi = qi + , qk = qk − , qk = qk + 2 2 2 2
(i 6= j 6= k 6= i)
Para facilitar la integración se toma la curva cerrada Cj delimitada las intersecciones de la superficie coordenada Sj (qj ) con las cuatro superficies coordenadas siguientes: Si− = Si (qi− ), Si+ = Si (qi+ ), Sk− = Sk (qk− ), Sk+ = Sk (qk+ )
Z
Cj
b(qj ,qi+ ,qk+ )
Z
a(qj ,qi+ ,qk− )
Z
d(qj ,qi− ,qk− ) c(qj ,qi− ,qk+ )
Z Z
F¯ · d¯ r=
F¯ · d¯ r= F¯ · d¯ r=
Z
b(qj ,qi+ ,qk+ ) a(qj ,qi+ ,qk− )
d(qj ,qi− ,qk− )
+
a Sj ∩Si+
Z
c(qj ,qi− ,qk+ )
b
Z
Z
c
Z
+
b Sj ∩Sk+
F¯ · d¯ r=
Z
d Sj ∩Sk−
(Fk hk )(qj , qi −
∆qi ∂(Fk hk ) ∆qi , qk )dqk ≈ (−Fk hk + )∆qk 2 ∂qi 2
qi−
qi+ qi+ qi−
(Fi hi )(qj , qi , qk +
∂(Fi hi ) ∆qk ∆qk )dqi ≈ (−Fi hi − )∆qi 2 ∂qk 2
(Fi hi )(qj , qi , qk −
∂(Fi hi ) ∆qk ∆qk )dqi ≈ (Fi hi − )∆qi 2 ∂qk 2
Z
Cj
(∇ ∧ F¯ )j = l´ım
Cj →0 Sj →0
R
Cj
F¯ · d¯ r
S1
a
∆qi ∂(Fk hk ) ∆qi , qk )dqk ≈ (Fk hk + )∆qk 2 ∂qi 2
qk−
F¯ · d¯ r=
Z
(Fk hk )(qj , qi + qk−
qk+
+
c Sj ∩Si−
qk+
Z
d
= l´ım
Cj →0 Sj →0
∂(Fk hk ) ∂qi
−
F¯ · d¯ r ≈
∂(Fi hi ) ∆qi ∆q k ∂qk
hi hk ∆qi ∆q k
∂(Fk hk ) ∂(Fi hi ) − ∆qi ∆qk ∂qi ∂qk
=
1 ∂(Fk hk ) ∂(Fi hi ) − hi hk ∂qi ∂qk
y análogamente para las otras componentes, con lo que resulta la siguiente expresión compacta: h1~u1 h2~u2 h3~u3 1 ∂ ∂ ∂ ∇ ∧ F¯ = ∂q2 ∂q3 h1 h2 h3 ∂q1 h1 F1 h2 F2 h3 F3
B. B.1.
Estructura cuatrimestral de la Mecánica Mecánica I: Introducción a la Mecánica Cinemática • Cinemática del punto • Cinemática del sólido • Composición de movimientos • Movimiento plano Dinámica • Geometría de masas • Cinética • Contacto entre sólidos • Trabajo • Ecuaciones Generales de la Dinámica Estática • Estática del punto • Estática de sistemas
B.2.
Mecánica II: Aplicaciones de la Dinámica Dinámica del punto • Movimiento rectilíneo • Punto libre • Punto sometido a ligaduras (curvas y superficies) Dinámica relativa Dinámica impulsiva Dinámica Analítica (Lagrangiana) Dinámica del sólido • Sólido con eje fijo • Sólido con punto fijo • Sólido libre