Circuitos Eléctricos I

II

Circuitos Resistivos

Circuitos Resistivos

Objetivos: o Definir la ley de Ohm o Analizar y comprender lo que son mallas y nodos o Cultivar la importancia y el fundamento de las leyes de Kirchhoff en los circuitos eléctricos o Interpretar los métodos de divisor de voltaje y divisor de corriente o Discutir sobre la resistencia equivalente en las redes resistivas o Memorizar el código de colores de la Resistencia de un Resistor o Practicar a medir voltaje, diferencia de potencial y corriente eléctrica Introducción Las leyes importantísimas en el análisis de circuitos eléctricos son presentadas en este capítulo, como son la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff, que no olvidarán durante toda su carrera profesional. Tratamos ahora con circuitos resistivos, cuyo elemento de red es el Resistor y su característica importante que lo identifica como es la resistencia. También explicaremos como saber distinguir cuando los elementos se encuentran en serie y en paralelo, al mismo tiempo aprenderemos a encontrar la resistencia equivalente entre dos terminales de un circuito resistivo. También veremos como utilizar los métodos de divisor de voltaje y divisor de corriente. Incluimos una explicación sobre las transformaciones de estrella (Y) a delta (∆) y de delta (∆) a estrella (Y). También explicaremos como analizar problemas con fuentes dependientes y un importe principio de medición de Resistencias como es el Puente de Wheatstone.

2.1

Ley de OHM

La ley de Ohm establece que la intensidad de la corriente eléctrica que circula por un dispositivo es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo. También puede ser dicho que el voltaje a través de una Resistencia es directamente proporcional a la corriente que fluye a lo largo de esta. La Resistencia es medida en Ohms (Ω) y es la constante proporcionalidad entre el voltaje y la corriente.

Georg Simon Ohm (1787-1854), físico alemán conocido sobre todo por su investigación de las corrientes eléctricas.

i(t) = (1/R)v(t) para R≥0, que escrita de otra forma v(t) = Rv(t). La Figura 2.1 ilustra la ley de Ohm para un Resistor, con dos símbolos para R

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Circuitos Resistivos I A

IR =

V A − VB , o V A − VB = R I R R

+ V -

R

R

B

Figura 2.1.1

2.1.1 Elementos de circuito El rasgo distintivo de un elemento de circuito es que su comportamiento eléctrico esta descrito en términos de alguna relación corriente-voltaje entre sus terminales. También llamada ley del elemento, esta relación puede ser matemáticamente derivada a través de las leyes de la física, o puede ser determinada experimentalmente vía mediciones punto apunto. En ambos casos, esta relación puede ser graficada en un papel o puede ser mostrada en un tubo de rayos catódico para una visualización fotográfica del comportamiento del elemento.

Algunos Elementos de circuitos

La característica i-v de un dispositivo Esta característica informa sobre la relación que existe entre i y v en un dispositivo y constituye todo lo que hay que saber de un dispositivo para poder estudiar su comportamiento y efectos al insertarlo en un circuito dado. Esta relación puede presentarse en forma de tabla, dando pares de valores v-i. También puede presentarse en forma gráfica dando i como función de v o viceversa. Una ley del elemento puede ser expresada como i = i(v) donde v es referido como la variable independiente e i como la variable dependiente. Físicamente nos referimos a v como la causa e i como el efecto, puesto que el voltaje produce un campo eléctrico, y el campo eléctrico transforma, el grupo de cargas en movimiento, vÆ EÆi. La ecuación i = i(v) es llamada la característica i-v del elemento. Cuando es graficado en el plano i-v, esta característica será una curva de cualquier forma. Mientras procedemos, encontramos que un parámetro de significado particular es la pendiente de esta curva g=

di dv

Puesto que sus dimensiones son amperios/voltios, o Siemens, las cuales son dimensiones de conductancia, g es llamada la conductancia dinámica del elemento bajo consideración. La pendiente es frecuentemente expresada como el recíproco de un parámetro denotado como r, 21

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Circuitos Resistivos

1 di = r dv

Claramente i = 1/g . Puesto que sus dimensiones voltios/amperios, u Ohms, las cuales son dimensiones de resistencia, r es llamada la resistencia dinámica del elemento. Como una regla general, la pendiente de una curva i-v es siempre el recíproco de alguna resistencia llamada la resistencia dinámica. Como una regla general, la pendiente de la curva i-v es siempre el recíproco de alguna resistencia llamada la resistencia dinámica. i

La figura 2.1.2 muestra un circuito para encontrar experimentalmente la característica i-v de un elemento X desconocido, así como v también la curva i-v del elemento.

+ -

i

1/r

X

0

v

0

Figura 2.1.2 La característica v-i de un dispositivo Como las variables del circuito, el voltaje y la corriente pueden ser intercambiables en el sentido que a veces puede resultar ser más conveniente para considerar voltaje como la causa y corriente como el efecto, también puede considerarse la corriente como la causa y el voltaje como el efecto. Al seguir el segundo punto de vista, expresamos una ley del elemento como v = v(i) donde ahora i es la variable independiente y v la variable dependiente. La ecuación v = v(i) es llamada la característica v-i del elemento. Note que la pendiente de la curva v-i es el recíproco de la curva i-v. v

1 dv r= = g di

+ i

La figura 2.1.3 muestra un circuito para encontrar experimentalmente la característica v-i de un elemento X desconocido, así como también la curva i-v del elemento

v

r

X

0 0

Figura 2.1.3 En general la característica i-v o v-i será una curva de cualquier forma y la pendiente variará de un punto a otro punto sobre la curva. Cuando este es el caso ,se dice que el elemento es no-lineal. Ejemplos comunes de dispositivos no-lineales son los diodos y transistores, que son elementos básicos de los equipos electrónicos modernos.

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i

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Circuitos Resistivos

2.1.2 El Resistor (Resistencia) Un Resistor es un elemento de circuito que consiste de un rodo de material conductivo tal como la composición de carbón, aunque son comunes una variedad de otros materiales (Figura 2.1.4.a). La Figura 2.1.4.b muestra el símbolo de circuito para la Resistencia, a lo largo sus polaridades para la corriente y el voltaje los cuales son los de la convención de signo pasivo. R

A

A

+

l

I

V

(a)

B -

Algunos Resistores

(b) Figura 2.1.4

La Resistencia denotada como R, es la característica del resistor que representa la habilidad para oponerse al flujo de corriente. Los elementos de circuito específicamente diseñados para proveer esta función son llamados Resistores. (R) = (V/A) IR = (VA – VB) / R o (VA – VB) = R(IR) Par un cortocircuito R = 0 y para un circuito abierto R = ∞ Para un conductor rectilíneo con sección transversal uniforme (A) y longitud (l) su Resistencia R es: R = ρ*l / A donde ρ (Ω*m) es la resistividad. La ley de Ohm también puede escribirse como: I = G V donde G es el recíproco de la Resistencia y se le llama Conductividad. (G) 0 (Siemens, S) o mhos. Entonces la potencia disipada por un Resistor es dada por: P = V*I = (I*R)*I = I2 * R, así: P = I2 * R También P = V*I = V*(V / R) = V2 / R así P = V2 / R La característica i-v para un resistor es una línea recta ya que en este dispositivo la corriente es linealmente proporcional a la tensión aplicada a sus extremos (o, a la inversa, el voltaje

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desarrollado entre los extremos del elemento es proporcional a la corriente que lo atraviesa, esto puede ser visto en la figura 2.1.5

Figura 2.1.5 El Código de colores para un Resistor de 4 bandas se muestra a continuación: Color de la banda

Valor de la Valor de la Coeficiente 1°cifra 2°cifra Multiplicador Tolerancia de significativa significativa temperatura

Negro

-

0

1

-

-

Marrón

1

1

10

±1%

100ppm/ºC

Rojo

2

2

100

±2%

50ppm/ºC

Naranja

3

3

1 000

-

15ppm/ºC

Amarillo

4

4

10 000

-

25ppm/ºC

Verde

5

5

100 000

±0,5%

-

Azul

6

6

1 000 000

-

10ppm/ºC

Violeta

7

7

-

-

5ppm/ºC

Gris

8

8

-

-

-

Blanco

9

9

-

-

1ppm/ºC

Dorado

-

-

0.1

±5%

-

Plateado

-

-

0.01

±10%

-

Ninguno

-

-

-

±20%

-

La forma de cómo utilizar el código se muestra a continuación

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Circuitos Eléctricos I 2.2

Circuitos Resistivos

Definiciones de malla y nodo

-

Ramas:

+ Cada elemento de un circuito en una red V1 constituye una rama.

I2

V2 + X2

X1 I1

+ I4

+ V3

X3

-

I3

V4 X4

I5

+ V5 -

X5

+ V6 -

I6 X6

Figura 2.2.1 La red mostrada en la figura 2.2.1 tiene 6 ramas, etiquetadas X1 hasta X6. El rasgo distintivo de cada rama es que a cualquier instante hay algunas corrientes a través de esta, llamada la corriente de rama y algún voltaje a través de este, llamado voltaje de rama. Es buena práctica siempre etiquetar los voltajes y corrientes de interés. Ejemplo: iR, vR, vis o ivs. Puesto que los voltajes y corrientes son cantidades orientadas, además de las etiquetas, debemos también usar flechas para indicar la dirección de la corriente y signos “+” y “-“ para indicar polaridades de los voltajes. Nodos o Nudos: A

La unión de dos o más elementos a través de sus X2 hilos se le llama nodo. El circuito anterior ha X1 sido redibujado en la figura 2.2.2 para mostrar que este tiene 4 nodos etiquetados A, B, C y D. Si solo dos hilos convergen a un nodo, como es el caso del nodo A entonces tenemos un nodo simple. Si el número de hilos es más grande que 2, entonces enfatizaremos las conexiones con puntos.

C

B X4 X3

X5

Figura 2.2.2

D

El rasgo distintivo de un nodo es que todos los hilos convergiendo a éste, están al mismo potencial llamado potencial del nodo. Es buena práctica etiquetar todos los nodos en un circuito antes de comenzar a analizarlo. Esto también le ayudará a identificar nodos redundantes (como el nodo D). Nodo de Referencia: Debido a que solo las diferencias de potencial o voltajes tienen sentido, es conveniente referir todos los potenciales del nodo en un circuito al potencial de un nodo común llamado nodo de referencia o nodo dato. Este nodo es identificado por el símbolo y su potencial es cero por definición. Cuando los potenciales del nodo son referenciados al nodo dato, son referidos simplemente como voltajes de nodo. Dada nuestra tendencia para visualizar el potencial alto, una lógica de escogencia para el nodo de referencia es el nodo de la parte baja de un diagrama de circuito, tal como el nodo D de la figura anterior. Sin embargo, algunas veces podría resultar más conveniente designar el nodo con el mayor número de conexiones como el nodo de referencia porque esto puede

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X6

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Circuitos Resistivos

simplificar el análisis del circuito. Esto es también consistente con el hecho de que los circuitos prácticos incluyen un blindaje de tierra al cual muchos elementos son conectados A + VAB -

Ejemplo: Observemos el circuito mostrado + en la Figura 2.2.3 VA -

VA

B

X2

X2

+

X3

X1

VB

X3

X1

VB

-

(b)

(a) Figura 2.2.3 No se debe confundir voltaje de rama con voltaje de nodo. vAB = vA – vB quiere decir el voltaje del nodo A referido al voltaje del nodo B vBA = vB – vA quiere decir el voltaje del nodo B referido al voltaje del nodo A

Es importante comprender que no más que un nodo en un circuito puede ser seleccionado como nodo de referencia, y que los voltajes de rama no son afectados por esta escogencia. Ejemplo 2.2.1

A

Para el circuito de la Figura 2.2.4, Muestre los voltajes de nodo si el nodo dato es: a) el nodo D b) el nodo C

+ 1V

- 4V + X2

+

X4

5V

X1

-

+ 3V -

B

C

X3

-

X5

D

- 2V +

Figura 2.2.4

Solución:

5V

1V

(a) Como el nodo de referencia es el nodo D, entonces los voltajes de los nodos restantes serán: Para el nodo C 2V, para el nodo B 5V, para el nodo A 1V, esto esta ilustrado en la Figura 2.2.5 (b) Como el nodo de referencia es el nodo C, entonces los voltajes de los nodos restantes serán: Para el nodo D -2V, para el nodo B 3V, para el nodo A -1V, esto esta ilustrado en la Figura 2.2.6

X2 X1

X4 2V

X3 X5

Figura 2.2.5 3V

-1V X2 X1

X4 X3 X5 -2V

Figura 2.2.6 Lazos y Malla: Un lazo es una ruta cerrada tal que ningún nodo es atravesado más que una vez. Una malla es un lazo que no contiene otros lazos. Lazos son conocidos en otras literaturas como 26

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Circuitos Resistivos

supermallas, de las cuales hablaremos más adelante. Lazos y mallas son identificados en términos de las ramas que ellos atraviesan. X4

X2

La red de la figura 2.2.7 tiene 6 lazos: 1 X1X2X3 2 X3X4X5 3 X5X6 4 X1X2X4X5 5 X1X2X4X6 6 X3X4X6

X1

1

X3

4

2

6

X5

3

X6

5

Figura 2.2.7

De estos solo los tres primeros son mallas.

2.3

Leyes de Kirchhoff

También referidas como las leyes del circuito o las leyes de conexión, leyes de Kirchhoff llamadas así por el físico Alemán Gustav Kirchhoff (1824-1887), establece una relación entre todas las corrientes de rama asociadas con un nodo y una relación de todos los voltajes de rama asociados con un lazo. Estas leyes contienen los principios de conservación de carga y conservación de energía respectivamente. Ley de Kirchhoff de las corrientes (LKC por las siglas en español y KCL por las siglas en inglés)

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) físico alemán

Considera las corrientes de rama asociadas con un nodo n dado. En cualquier instante algunas de estas corrientes fluirán al nodo, otras saldrán del nodo. Estas corrientes obedecen a lo siguiente: En cualquier instante la suma de todas las corrientes entrando a un nodo deben ser igual a la suma de todas las corrientes saliendo de ese nodo.

∑i

ENTRANDO

n

= ∑ i SALIENDO n

Otras literaturas enuncian esta ley de otra manera, como sigue: A cualquier instante la suma algebraica de todas las corrientes asociadas con un nodo debe ser cero, que expresada matemáticamente es:

∑i

ENTRANDO

∑i

SALIENDO

n

n

− ∑ i SALIENDO = 0 , de otra manera n

− ∑ i ENTRANDO = 0 n

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Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

Ambas expresiones matemáticas son iguales que la primera expresión, sin embargo en las dos últimas, se les pone signos negativos a las corrientes que salen (como se puede apreciar en la primera ecuación) o a las corrientes que entran (como se puede apreciar en la segunda ecuación). En lo personal recomiendo utilizar la primera definición, puesto que a ninguna de las corrientes se le pone un signo, lo cual facilitará el aprendizaje a los principiantes en esta materia. De la experiencia hemos aprendido que la mayoría de los errores cometidos por los estudiantes de Circuitos Eléctricos I se encuentran en los signos de las ecuaciones formadas por las leyes de Kirchhoff, por esta razón recomiendo utilizar la primera definición. Para aplicar exitosamente KCL, primero debemos etiquetar todas las corrientes de rama de interés e indicar sus direcciones de referencia por medio de flechas. Vamos a tomar el siguiente ejemplo, Veamos el circuito de la Figura 2.3.1: X2

A

Aplicando LKC al nodo: A: B: C: D:

X4

B

I4

I2 X1

I1 = I2 I2 = I3 + I4 I4 = I5 + I6 I3 + I5 + I6 = I1

I1

C

X3

I3

X5

I5

X6

D

Figura 2.3.1

Si una corriente es desconocida, su magnitud y dirección debe ser encontrada. Hasta ahora, nosotros asumimos arbitrariamente una dirección de referencia para la corriente desconocida y aplicamos LKC para encontrar su valor. Si este resultado produce un valor positivo, nuestra escogencia de la dirección de referencia fue verdaderamente correcta; por el contrario si el valor resultó ser negativo, la corriente realmente fluye en sentido opuesto a la dirección asumida. Para hacer que un valor de corriente negativo se vuelva positivo, simplemente se invierte la flecha en el diagrama del circuito. Ejemplo: Consideremos el circuito anterior en las siguientes condiciones: a) Si I2 = 5A e I3 = 2A entonces I4 = ¿Cuánto vale? b) Si I2 = 6A e I3 = 7A entonces I4 = ¿Cuánto vale? Solución: a) Aplicando LKC al nodo B obtenemos: I2 = I3 + I4 despejando I4 obtenemos: I4 = I2 - I3 y sustituyendo valores I4 = 5 – 2 = 3A Este resultado indica que la dirección de la corriente, es la correcta. b) Como es el mismo caso anterior, procedemos de igual manera y entonces I4 = 6 – 7 = 1A

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I6

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

Este resultado indica que la dirección de la corriente, no es la correcta y que su dirección es contraria. Aquí podemos proceder de dos maneras, si el resultado va ha ser utilizado más adelante: 1) podemos dejar la dirección que tiene y conservamos el signo de la respuesta (es decir el signo negativo); 2) podemos cambiar la dirección de la corriente en el circuito y por ende su signo (es decir, el valor se vuelve positivo).

Ley de Kirchhoff de los voltajes (LKV por las siglas en español y KVL por las siglas en inglés) Considera los voltajes de rama asociados a un lazo dado. Mientras recorremos el lazo, los voltajes a través de cada uno de sus ramas pueden aparecer como una subida de voltaje (es decir, si en el recorrido pasamos de un potencial mas bajo “-” a un potencial más alto “+”) o como una caída de voltaje (es decir, si en el recorrido pasamos de un potencial mas alto “+” a un potencial más bajo “-”). Por ejemplo, si VA = 3V y VB = 7V, si nos movemos de A hacia B entonces experimentamos una subida 4V. Inversamente, si VA = 6V y VB = 1V, si nos movemos de A hacia B ahora experimentamos una caída de 5V. Los voltajes de rama alrededor del lazo obedecen la siguiente ley: A cualquier instante la suma de todas las subidas de voltaje alrededor de un lazo debe ser igual a la suma de todas las caídas de voltajes alrededor de ese lazo.

∑V

SUBIDAS

l

= ∑ VCAIDAS l

Otras literaturas enuncian esta ley de otra manera, como sigue:

∑V

SUBIDAS

l

∑V

CAIDAS

l

− ∑ VCAIDAS = 0 , de otra manera l

− ∑ VSUBIDAS = 0 l

Ambas expresiones matemáticas son iguales que la primera expresión, sin embargo en las dos últimas, se les pone signos negativos a las caídas de voltaje (como puede ser visto en la primera ecuación) o a las subidas de voltaje (como puede ser visto en la segunda ecuación). En lo personal recomiendo utilizar la primera definición, puesto que a ninguno de los voltajes se le pone un signo, lo cual facilitará el aprendizaje a los principiantes en esta materia. Al igual que la definición de la ley de Kirchhoff de las corrientes, de la experiencia hemos aprendido que la mayoría de los errores cometidos por los estudiantes de Circuitos Eléctricos I se encuentran en los signos de las ecuaciones formadas por las leyes de Kirchhoff, por esta razón recomiendo utilizar la primera definición. Para aplicar exitosamente LKV, primero debemos etiquetar todos los voltajes de rama de interés e indicar sus polaridades de referencia por medio de los signos “+” y “-“. Vamos a tomar el siguiente ejemplo Veamos el circuito mostrado en la Figura 2.3.2: 29

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Circuitos Resistivos

-

Apli8cando LKV al lazo: 1 2 3 4 5 6

X1X2X3: X3X4X5: X5X6: X1X2X4X5: X1X2X4X6: X3X4X6:

+ V1 -

V1 + V2 = V3 V3 = V4 + V5 V5 = V6 V1 + V2 = V4 + V5 V1 + V2 = V4 + V6 V3 = V4 + V6

V2 + X2

X1

+

+ V3

V4 X4

X3

-

+ V5 -

X5

+ V6 -

Figura 2.3.2

La dirección en la cual sea atravesado un lazo no importa mientras esté sobre el lazo entero (es decir, no importa si se hace en sentido horario o en sentido antihorario). Si un voltaje es desconocido, su magnitud y polaridad debe ser encontrado. Como con las corrientes, arbitrariamente asumimos una polaridad y entonces usamos LKV para encontrar el valor del voltaje desconocido. Si el resultado produce un valor positivo, indica que nuestra escogencia de la polaridad de referencia fue verdaderamente correcta; por el contrario si el valor resultó ser negativo significa que la polaridad de referencia del voltaje es sentido opuesto a la asumida. Para hacer que un valor de voltaje negativo se vuelva positivo, simplemente se invierte la polaridad del voltaje en el diagrama del circuito. Ejemplo: Consideremos el circuito anterior en las siguientes condiciones: a) Si en un cierto instante V1 = 7V y V3 = 9V entonces V2 = ¿Cuánto vale? b) Si en otro instante V1 = 8V y V3 = 5V entonces V2 = ¿Cuánto vale? Solución: a) Aplicando LKV alrededor del lazo X1X2X3: obtenemos V1 + V2 = V3 y despejando V2 obtenemos: V2 = V3 - V1 y sustituyendo valores V2 = 9 – 7 = 2V Este resultado indica que la polaridad del voltaje asumida, es la correcta. b) Como es el mismo caso anterior, procedemos de igual manera y entonces V2 = 5 – 8 = 3V Este resultado indica que la polaridad del voltaje, no es la correcta y que su polaridad es contraria. Aquí podemos proceder de dos maneras, si el resultado va ha ser utilizado más adelante: 1) podemos dejar la polaridad que tiene y conservamos el signo de la respuesta (es decir el signo negativo); 2) podemos cambiar la polaridad del voltaje en el circuito y por ende su signo (es decir, el valor se vuelve positivo). Para aplicar las leyes de Kirchhoff es importante recordar que los voltajes tienen polaridades y las corrientes tienen direcciones. Ya que es indiferente el uso de signos es una de las causas más frecuentes de error en el análisis de circuitos, es importante no dar importancia a los valores de voltajes y corrientes como puros números, sino como números precedidos de signos.

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X6

Circuitos Eléctricos I 2.4

Circuitos Resistivos

Conservación de Potencia

En un circuito algunos elementos entregarán potencia y otros absorberán potencia. Debido a que la energía y por lo tanto la potencia no puede ser creada o destruida, la suma de todas las absorciones de potencia deben a cualquier instante ser igual a la suma de todas las entregas de potencia.

∑P

ABSORBIDA

= ∑ PENTREGADAS

Frecuentemente usamos esta ecuación para chequear los cálculos involucrados con voltajes y corrientes de rama.

+ 6V -

Ejemplo 2.5.1

En el circuito mostrado en la figura 2.4.1, se supone que X2 entrega potencia y PX2 = 20W y que X3 absorbe 1A potencia y PX3 = 18W, a) Calcule todos los voltajes y corrientes de rama, b)use el chequeo de potencia para verificar sus cálculos.

X3 X1

X2

X4

Figura 2.4.1

Solución: Puesto que X3 absorbe potencia, su corriente debe fluir hacia la derecha y su valor será: I X3 =

PX 3 VX3

=

18W = 3A 6V

Aplicando LKC al nodo de arriba, donde unen los tres elementos, IX2 = IX1 + IX3 = 1 + 3 0 4A con dirección hacia arriba, puesto que X2 entrega potencia, y la polaridad de su voltaje debe ser positivo arriba. Consecuentemente, VX2 =

PX 2 I X2

=

20W = 5V con el terminal positivo arriba. 4A

Luego aplicando LKC al nodo donde se unen los elemento 3 y 4, IX3 = IX4 = 3A hacia abajo. Si aplicamos un LKV lo largo de la malla X2X3X4 y nos movemos en sentido horario encontramos una subida de voltaje de 5V en el elemento X2 VX2 = 5V y luego una caída de voltaje de 6V en elemento X3 VX3 = 6V, entonces el voltaje a través del elemento 4 VX4 debe ser una subida de voltaje con valor VX4 = VX3 - VX2 = 6 – 5 = 1V con el terminal

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Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

positivo hacia abajo. Resultado que se obtiene de despejar de la ecuación: VX2 + VX4 - VX3. Los resultados pueden ser vistos en la Figura 2.4.2

+ 6V -

+ 1A

b) Puesto que X1 esta conforme con la convención de signo pasivo, este absorbe potencia y

X1 5V -

3A X3 X2 4A

1V +

X4

Figura 2.4.2 PX1 = VX1*IX1 = 5*1 = 5W y como X4 esta conforme con la convención de signo activo, este entrega potencia y PX4 = VX4*IX4 = 1*3 = 3W

Así aplicando la ley de conservación de potencia, PX1 + PX3 = PX2 + PX4 5 + 18 = 20 + 3 23 = 23 Por tanto el chequeo de potencia es satisfactorio. I

2.5

Método del Divisor de Voltaje R1

Veamos el circuito mostrado en la figura 2.6.1, trataremos de V encontrar los voltajes de cada Resistor, para ello aplicamos KVL a la única malla

R2

Figura 2.5.1

V = VR1 + VR2 = R1I + R2I = I(R1 + R2) Si ahora despejamos I, obtenemos: I=

V , y la sustituimos en la ecuación de VR1 obtenemos: R1 + R 2

V R1 = R1 I =

R1 R2 V y V R 2 = R2 I = V R1 + R2 R1 + R2

La fuente de voltaje V esta dividida entre las resistencias R1 y R2 en proporción directa a sus resistencias. Para generalizar este concepto mostraremos dos circuitos; en el primer circuito tendremos varias fuentes de voltajes que pueden reducirse a una sola fuente y en el segundo circuito tendremos varias resistencias que pueden reducirse a una equivalente en serie en una sola malla. Para el circuito mostrado en la Figura 2.5.2.a trataremos de demostrar que podemos reducirlo al circuito de la figura 2.5.2.b

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3A

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos V2

VR1 V1

I

I

V3

V5

R1

⇒

V R2

VR2

V4

(a)

(b) Figura 2.5.2

Si aplicamos un LKV alrededor de la malla obtenemos: V1 + V3 = VR1 + V2 + VR2 + V4 + V5 = IR1 + IR2 + V2 + V4 + V5 Si V = V1 - V2 + V3 - V4 - V5 entonces obtenemos V = I(R1 + R2) que es equivalente al circuito de la figura 2.5.2.b Ahora consideremos el otro circuito mostrado en al Figura 2.5.3 en el cual V puede ser una fuente equivalente, como la del ejemplo anterior, trataremos de encontrar el voltaje a través de una resistencia V cualquiera.

I

+VR1-

+VR2-

+VR3-

R1

R2

R3

R5

RN

Al aplicar LKV al circuito mostrado en la figura obtenemos:

R4

+ VR4 + VR5 -

-VRN+

Figura 2.5.3

V = VR1 + VR2 + VR3 + … + VRN = IR1 + IR2 + IR3 +… + IRN V = I(R1 + R2 + R3 +… + RN) V = IRS donde RS = R1 + R2 + R3 +… + RN así I = V / RS Por lo tanto el voltaje a través del resistor Ri es:

VRi =

Ri V RS

Esta es la propiedad del divisor de voltaje para múltiples Resistencias en serie. La que puede ser explicado como, el voltaje a través de la Resistencia Ri es igual a la razón de la Resistencia Ri donde se quiere el voltaje, entre la Resistencia equivalente serie Rs multiplicado por el voltaje de la fuente V.

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Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

Ejemplo 2.5.1

100Ω

560Ω

Para el circuito mostrado en la figura 2.5.4, encuentre el voltaje Vo, es decir el voltaje a través del resistor de 24V 330Ω.

330Ω

+ Vo -

220Ω

Solución:

Figura 2.5.4 Como tenemos una sola malla, y se nos esta pidiendo el voltaje a través de un resistor, podemos aplicar el método del divisor de voltaje, así Vo será: 330 ⎛ ⎞ Vo = ⎜ ⎟ 24 = 6.55V ⎝ 100 + 560 + 330 + 220 ⎠

2.6

Método del Divisor de Corriente

+

Veamos el siguiente circuito mostrado en la Figura 2.6.1 y I tratemos de encontrar la corriente a través de cualquier Resistor, para ello apliquemos LKC al nodo de arriba.

R2

V

I1

I2

-

Figura 2.6.1

I = I1 + I2 I=

R1

1 ⎞ V V ⎛1 V donde Rp es + = ⎜⎜ + ⎟⎟V = R1 R2 ⎝ R1 R2 ⎠ Rp

1 1 1 = + , o bien R p R1 R2 R R R1 R2 , entonces V = IRp, o V = 1 2 I , por lo tanto I1 e I2 son: R1 + R2 R1 + R2 R2 R1 I1 = I , e I2 = I R1 + R2 R1 + R2 Rp =

Que son las ecuaciones que demuestran el divisor de corriente. I2

Ejemplo 2.6.1 Para el circuito mostrado en la figura 2.6.2 0.9mA encontremos I1, I2, y Vo

40KΩ +

I1 60KΩ

80KΩ

Vo -

Figura 2.6.2

34

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

Solución:

I2

Este circuito puede ser redibujado de la siguiente forma, como es mostrado en la Figura 2.6.3

I1 40KΩ 0.9mA

40 K + 80 K ⎤ ⎡ I1 = ⎢ ⎥ (0.9m ) = 0.6mA ⎣ 60 K + 40 K + 80 K ⎦

60KΩ 80KΩ

60 K ⎡ ⎤ I2 = ⎢ ⎥ (0.9m ) = 0.3mA ⎣ 60 K + 40 K + 80 K ⎦

+ Vo -

Figura 2.6.3

Vo = (80K)(I2) = (80K)(0.3m) = 24V Para generalizar el concepto de divisor de corriente utilizaremos dos circuitos; el primero un circuito con varias fuentes de corrientes en paralelo, como el mostrado en la Figura 2.6.4 que pueden reducirse a una sola fuente equivalente y el segundo circuito con N Resistores conectados en paralelos o reducidos a un equivalente paralelo, mostrado en la Figura 2.6.1 I5

I2 + V -

I1

I3

R1

I4

R2

I6

Figura 2.6.4 Aplicando LKC al nodo de arriba obtenemos: I1 + I4 = I2 + I3 + I5 + I6 despejando y sustituyendo obtenemos: I1 + I 4 − I 3 − I 6 =

V V , si hacemos I = I1 - I3 + I4 - I6, obtenemos: + R1 R2

⎛1 1 ⎞ I = ⎜⎜ + ⎟⎟V ⎝ R1 R2 ⎠ Esta ecuación es idéntica a la del circuito de la figura 2.6.1 donde definimos el divisor de corriente. Ahora consideremos el circuito, mostrado en la Figura 2.6.5, con una fuente de corriente que puede ser una fuente equivalente, como la del caso anterior en paralelo con N Resistores y trataremos de encontrar la corriente en el Resistor j (es decir cualquier resistor), para generalizar el divisor de corriente.

+ V -

I1 I

R1

I2 R235

IN RN

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

Si aplicamos LKC al nodo de arriba obtenemos: I = I1 + I2 + … + IN ⎛1 1 1 ⎞⎟ 1 1 ⎛⎜ 1 1 1 ⎞⎟ N 1 +L+ = + +L+ I =⎜ + V = V , donde = ⎜R R ⎟ ⎜ R1 R ⎟ ∑ R R R R p N 1 N p ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i =1 Ri Entonces la corriente en el elemento j será:

Ij =

Rp V = I , que también puede escribirse como: Rj Rj

Ij =

Gj Gp

I , donde G p =

1 es la conductancia equivalente del paralelo. Rp

Esta ecuación representa la propiedad del divisor de corriente para múltiples Resistencias en paralelo. Esto puede ser expresado como la corriente en el Resistor Rj será igual a la razón de la Resistencia equivalente del Paralelo Rp entre la Resistencia donde se quiere la corriente Rj multiplicado por la corriente de la fuente. O dicho en términos de conductancia, la corriente en la Resistencia Rj es igual a la razón de conductancias Gj entre la conductancia Gp (del equivalente paralelo) multiplicado por la corriente de la fuente. Ejemplo 2.6.2 Para el circuito mostrado en la figura 2.6.6, encuentre IL usando el principio del divisor de corriente. IL 18KΩ

1mA

9KΩ

4mA

12KΩ

2mA

RL = 12KΩ

Figura 2.6.6

Solución: 36

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

Si las tres fuentes de corrientes la reducimos a una sola fuente y las tres resistencias a una sola, sin meter la carga, entonces tendremos el siguiente circuito, mostrado en la Figura 2.6.7: IL

IL 18KΩ

1mA

9KΩ

12KΩ

RL = 12KΩ

1mA

4KΩ

12KΩ

Figura 2.6.7 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 , entonces Rp = 4K por lo tanto IL será: =⎜ + + ⎟= R p ⎝ 18 K 9 K 12 K ⎠ 4 K 4K ⎛ ⎞ I L = −⎜ ⎟ 1m = −0.25mA . ⎝ 4 K + 12 K ⎠

Si se observa aparece un signo negativo, ya que cuando obtuvimos la ecuación del divisor de corriente, la fuente de corriente estaba con la flecha hacia arriba y ahora el caso es contrario, la fuente de 1mA se encuentra con la flecha hacia abajo, entonces se procede a cambiar de signo.

2.7

Conexiones Serie y Paralelo de Resistores (Resistencia equivalente)

Conexión serie A

Dos o más elementos de circuito se dice que están conectados en serie si ellos llevan la misma corriente. Para estar en serie, dos elementos deben compartir un nodo simple, como puede ser visto en la figura 2.7.1.

X1

i

X2

Figura 2.7.1

Se ha demostrado anteriormente que las Resistencias en serie se suman, es decir, si tenemos N Resistencias en serie, la podemos sustituir por una sola y la denominamos Resistencia equivalente serie Rs Rs = R1 + R2 + …+ RN

A

Conexión paralelo X1

37

+ v

X1

-

C.R. Lindo Carrión B Figura 2.3.2

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

Dos o más elementos de circuito se dice que están conectados en paralelo si ellos están expuestos al mismo voltaje. Para estar en paralelo, los elementos deben compartir el mismo par de nodos, como puede ser visto de la figura 2.3.2. También fue demostrado que las Resistencias en paralelo pueden ser sustituidas por una sola Resistencia equivalente paralelo Rp, en donde Rp, será igual al inverso de la sumatoria de los inversos de cada Resistencia en paralelo. 1 ⎛⎜ 1 1 1 ⎞⎟ N 1 = + +L+ =∑ R p ⎜⎝ R1 R RN ⎟⎠ i =1 Ri Ejemplo 2.7.1 Determine la Resistencia equivalente entre las terminales AB de la red que se muestra en la figura.2.7.1

2KΩ

2KΩ

A

6KΩ

4KΩ

RAB

10KΩ

6KΩ

B

1KΩ

6KΩ 2KΩ

9KΩ

Figura 2.7.1 Solución: Las resistencias 2K y 1K están en serie y el resultado 3K se encuentra en paralelo con la resistencia de 6K, entonces como resultado tenemos 3K⎪⎪6K = 2K, esa resultante de 2K queda en serie con la resistencia de 2K, entonces tendremos 2K + 10K = 12K, esta resultante queda en paralelo con la resistencia de 6K, entonces tenemos 12K⎪⎪6K = 4K, esa resultante de 4K se encuentra en serie con la resistencia de 2K y obtenemos 4K + 2K = 6K y esa resultante de 6K queda en paralelo con la resistencia de 6K, entonces tenemos 6K⎪⎪6K = 3K y esa resultante queda en serie con la resistencia de 9K, así 3K * 9K = 12K, ahora 12K queda en paralelo con la resistencia de 4K, entonces 12K⎪⎪4K = 3K y esa resultante queda en serie con la resistencia de 2K entre las terminales A-B, así obtenemos 3K + 2K = 5K, que es la resistencia equivalente entre las terminales A-B.

Ejemplo 2.7.2

I1

9KΩ

Encuentre todos los voltajes y corrientes etiquetados en la red de 12V escalera que se muestra en la figura 2.7.2.

I3 +

I2

Va -

6KΩ

I5

3KΩ + Vb -

9KΩ

I4

+

4KΩ

Vc -

3KΩ

Figura 2.7.2 Solución:

38

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

Para resolver este tipo de redes en escalera, es necesario reducir el circuito, haciendo resistencias equivalentes series y paralelo, hasta obtener un circuito al cual si se le pueda calcular alguna variable desconocida, para este caso es reducir el circuito hasta la forma de la figura 2.7.3.b. I1

I3

9KΩ

I2

+ 12V

6KΩ

Va -

I1

3KΩ

9KΩ

+ Vb

3KΩ

+ Va -

12V

-

(a)

Figura 2.7.3

3KΩ

(b)

Para ese circuito más pequeño tenemos dos variables que si podemos calcular, los cuales son: la corriente I1 y el voltaje Va. Para calcular I1 podemos hacer uso de LKV y encontraremos I1 en función del voltaje de la fuente conocido y las resistencias conocidas, así: Aplicando LKV a la única malla tenemos: 12 = I1 ( 9K) + I1 ( 3K) = I1 (9K +3K) entonces I1 = 12 / 12K = 1mA y tenemos la primera respuesta, hora ya conociendo I1, podemos conocer Va aplicando la ley de Ohm: Va = I1 (3K) = (1m)(3K) = 3V, obteniendo así la segunda variable buscada. Sin embargo, pudimos haber decidido encontrar primero Va a través de un divisor de voltaje y luego I1 aplicando la ley de Ohm. Esto lo haremos ahora: 3K 12 = 3V que el valor que obtuvimos, del análisis anterior. Luego como I1 es 3K + 9 K la misma corriente que pasa por 3K, entonces aplicando la ley de Ohm, tenemos que: Va =

I1 = Va / 3K = 1mA, que es el resultado que obtuvimos anteriormente con el otro análisis. Para continuar con nuestro análisis del circuito, ahora haremos uso del circuito mostrado en la figura 2.8.3.b, que es una ampliación del circuito del análisis anterior o una reducción del circuito original. Como anteriormente encontramos el voltaje Va, podemos directamente calcular la corriente I2, aplicando la ley de Ohm, así tenemos: Va 3 1 = = mA , obteniendo así la tercera variable buscada. Luego podemos 6K 6K 2 calcular I3, aplicando LKC al nodo donde se unen las tres resistencias (9K, 6K. y 3K), así tenemos que I1 = I2 + I3, donde I1 e I2 son conocidos y despejamos I3, I2 =

39

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

1 1 I 3 = I1 − I 2 = 1m − m = mA , obteniendo de esta forma la cuarta variable buscada. Luego 2 2 podemos calcular Vb usando la ley de Ohm, ya que I3 es la misma corriente que pasa por la resistencia de 3K, así Vb será: 3 Vb = I 3 (3K ) = V , obteniendo así la quinta variable desconocida. Sin embargo pudimos 2 haber calculado Vb usando un divisor de voltaje, ya que Va es conocido, es decir: 3K 3 3 Va = (3) = V , que es el mismo resultado que se obtuvo usando la ley de 3K + 3K 6 2 ohm. Luego para hacer el resto de cálculos, utilizaremos el circuito original. Podemos calcular I4, aplicando la ley de ohm,, ya que el voltaje Vb es conocido, así tenemos: Vb =

3 Vb 3 = 2 = mA , así obtenemos la sexta variable desconocida. Luego aplicando 4K 4K 8 LKC al nodo donde se unen las tres resistencias (3K, 4K. y 9K), podemos calcular I5, así tenemos que I3 = I4 + I5, donde I3 e I4 son conocidos y despejamos I5, I4 =

1 3 1 m − m = mA , obteniendo así la séptima variable desconocida y ahora 2 8 8 podemos calcular el voltaje Vc, haciendo uso de la ley de Ohm, ya que I5 es la misma corriente que pasa por la resistencia de 3K, entonces, I5 = I3 − I4 =

1 3 m (3K ) = V , de esta manera obtenemos la octava y última variable 8 8 desconocida en la red. Sin embargo pudimos haber calculado Vc usando un divisor de voltaje, ya que Vb es conocido, es decir: Vc = I 5 (3K ) =

3K 3 3 3 Vb = ( ) = V , que es el mismo resultado que se obtuvo usando la ley de 3K + 9 K 12 2 8 Ohm. Podemos concluir que para resolver este tipo de redes en escalera, hay que reducir la red al mínimo circuito equivalente, donde podamos calculara alguna de las variables y luego las variables restantes desconocidas, se obtienen de manera similar a las obtenidas previamente. Vc =

2.8

Circuitos con fuentes dependientes I1

Ejemplo 2.8.1 12V

40

3KΩ

2000I1

5KΩ

+ Vo -

Figura 2.8.1 C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

Para el circuito mostrado en la figura 2.8.1 encuentre el voltaje de salida Vo

Solución: Para resolver estos tipos de problemas con fuentes dependientes, se procede de la misma manera que como si fueran independientes y luego se sustituye el valor de la variable en la fuente controlada. Para el circuito mostrado observemos que el circuito consta de una sola malla, podemos aplicar LKV y de allí encontrar el valor de I1 para luego encontrar a través de la ley de Ohm nuestro objetivo que el voltaje Vo Así aplicando LKV obtenemos: 12 + 2000I1 = I1 (3K) + I1 (5K) = I1 (8K) entonces despejando tenemos: 12 = I1 (8K – 2K) = I1 (6K) entonces I1 = 12 / (6K) = 2mA, ahora podemos calcular Vo Vo = I1 (5K) = (2m) (5K) = 10V obteniendo así nuestro resultado.

Ejemplo 2.8.2

Para el circuito mostrado en la figura 10 mA 2.8.2 encuentre el voltaje Vo

3KΩ 4KΩ

Solución:

+

2KΩ + Vo -

4 Io

Io

Vs -

Figura 2.8.2

Observemos primero detenidamente durante unos pocos minutos el circuito, podremos observar que estamos en presencia de una red paralelo y que si obtenemos el valor de Vs, a través de un divisor de voltaje tendremos nuestro objetivo el voltaje Vo Así Vo será: Vo =

4K 2 Vs = Vs 4K + 2K 3

Para calcular Vs aplicaremos LKC al nodo de arriba de la red y entonces obtenemos: 4 I o = 10m + I o +

Vs V , que puede ser reducida a: 3I o = 10m + s 6K 6K

luego aplicando la ley de ohm para obtener Io = Vs / 3K y sustituyéndola en la ecuación del LKC, obtenemos: 41

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

Vs V = 10m + s , entonces multiplicando por 1K y sacando factor común se obtiene: 1K 6K ⎡ 1⎤ Vs ⎢1 − ⎥ = 10 , resolviendo la resta y despejando obtenemos Vs = 12V ⎣ 6⎦

Ahora estamos dispuestos para calcular Vo, insertando el valor de Vs, así Vo =

2.9

2 2 Vs = (12) = 8V , que es lo que necesitamos encontrar. 3 3

Transformaciones Y - ∆ y ∆ - Y R2

R

1 Consideremos el circuito de la figura 2.9.1, cuando intentamos reducir el circuito a una R3 R resistencia equivalente R, encontramos que en ningún lado hay una resistencia en serie o en paralelo con otra. Por tanto, no podemos R4 resolver el problema directamente usando las R5 técnicas que hasta aquí hemos aprendido. Podemos sin embargo, reemplazar una parte de la red con un circuito equivalente, y esta Figura 2.9.1 conversión nos permitirá, con facilidad reducir la combinación de resistencias a una sola resistencia equivalente. Esta conversión se llama Y a delta (∆) o delta a Y, Como puede ser apreciado en las Figuras 2.10.2 (a) y (b)

a

a Ra

R1 Rc

R2

Ra

R1 Rc

Rb b (a)

Rb R3

R3 c

R2

c

b (b)

Figura 2.9.2

De ambos circuitos tomemos las siguientes resistencias: Rab = Ra + Rb =

R2 (R1 + R3 ) R2 + R1 + R3

Rbc = Rb + Rc =

42

R3 (R1 + R2 ) R3 + R1 + R2

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I Rca = Rc + Ra =

Circuitos Resistivos

R1 (R2 + R3 ) R1 + R2 + R3

Ahora si resolvemos este conjunto de ecuaciones para Ra, Rb y Rc, obtenemos: Ra =

R1 R2 R1 + R2 + R3

Rb =

R2 R3 R1 + R2 + R3

Rc =

R1 R3 R1 + R2 + R3

Una forma sencilla para recordar este procedimiento para pasar de ∆ - Y es: insertar la Y dentro de la ∆ y la resistencia que se busca, será igual al producto de la resistencia entre las cuales se encuentra (en la ∆) dividido entre la suma de las tres resistencias. De manera similar, si resolvemos ahora para R1, R2 y R3 obtenemos: R1 =

Ra Rb + Rb Rc + Ra Rc Rb

R2 =

Ra Rb + Rb Rc + Ra Rc Rc

R3 =

Ra Rb + Rb Rc + Ra Rc Ra

Al igual que en el caso anterior, una forma sencilla para recordar este procedimiento para pasar de Y -∆ es: insertar la ∆ en la Y y la resistencia que se busca, será igual a la suma de los producto de las combinaciones de dos resistencias (de la Y) dividido entre la resistencia del lado opuesto a la que se esta encontrando (de la Y). Para el caso balanceado en que Ra = Rb = Rc y R1 = R2 = R3 entonces RY =

1 R∆ y R∆ = 3 RY 3

Ejemplo 2.9.1

20KΩ

Encuentre la Resistencia equivalente para el circuito mostrado en la Figura 2.9.3

a 6KΩ

18KΩ

12KΩ

R

b

c

Solución: 12KΩ

Tenemos dos opciones, transformar la delta de arriba (nodos a,b,c) o la delta de abajo (nodos b,c,d) a Y como se muestra en la figura 2.9..4. 20KΩ

12KΩ d

Figura 2.9.3 20KΩ

a 3KΩ

2KΩ

a 6KΩ

18KΩ

b

c

6KΩ R

R b

c

12KΩ

43

4KΩ

4KΩ

C.R. Lindo Carrión

12KΩ 4K

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

Si tomamos el delta de arriba y convertimos de delta a Y, como se muestra en la Figura 2.9.4.a, obtendremos: Ra =

(6 K ) (18 K ) (18 K ) (12 K ) (6 K ) (12 K ) = 3K Rb = = 6 K Rc = = 2K 6 K + 18 K + 12 K 6 K + 18 K + 12 K 6 K + 18 K + 12 K

Ahora si podemos calculara la resistencia equivalente R R = 20 K + 3K +

(2 K + 12 K )(6 K + 12 K ) = 30.875 KΩ 2 K + 12 K + 6 K + 12 K

También pudimos haber escogido transformar el delta de abajo a Y, como se muestra en la Figura 2.10.3.c, que era la manera más fácil ya que las tres resistencias son iguales, eso daría como resultado que Ra = Rb = Rc = 4K y el resultado sería: R = 20 K + 4 K +

2.10

(6 K + 4 K )(18K + 4 K ) = 30.875 KΩ 6 K + 4 K + 18 K + 4 K

Puente Wheatstone

Es un dispositivo preciso para medir resistencia, donde las resistencias R1, R2 y R3 son conocidas y Rx es la resistencia desconocida.

R1

R2

I1

I2

Vs

G IG

I3

Ix

R3 Rx

El dispositivo central es un Galvanómetro utilizado para medir corriente.

Figura 2.10.1

El puente se usa de la siguiente manera: la resistencia desconocida Rx se conecta como es mostrado en la figura 2.10.1 y entonces se ajusta R3 hasta que no hay corriente en el Galvanómetro. En este punto se dice que el puente esta balanceado. Bajo esta condición balanceada, IG = 0 y de aquí aplicando LKC en los nodos centrales del puente I1 = I3 e I2 = Ix

44

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

Además, como IG = 0, no hay caída de voltaje a través del Galvanómetro y por lo tanto aplicando LKV tenemos que: I1*R1 = I2*R2 e I3*R3 = Ix*Rx, luego dividiendo ambas expresiones, obtenemos I1 R1 I 2 R2 , ahora retomando que I1 = I3 e I2 = Ix y despejando para Rx, obtenemos = I 3 R3 I x Rx

⎛R ⎞ Rx = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ R3 ⎝ R1 ⎠ Como puede ser observado Rx no depende de la fuente de voltaje. Este puente es usado por los Ingenieros para medir la deformación en un material sólido.

2.11 Problemas Resueltos Ejemplo 2.11.1:

a

- 1V + - Vx=2V + c b

Para el circuito mostrado en la figura 2.11.1, 4Vx encuentre: Vad y el Vce.

12V

e

Solución:

+ 1V -

d

Figura 2.11.1

Para encontrar el voltaje Vad tenemos dos caminos: uno recorriendo el camino a-b-c-d ó haciendo el recorrido a-e-d. Aplicando LKV al recorrido a-b-c-d, tenemos: Vad + 1 + 2 = 12, entonces Vad = 12 -3 = 9V Ahora aplicando LKV al recorrido a-e-d, tenemos: 4Vx + 1 = Vad, como Vx = 2V, entonces Vad = 9V Para encontrar el voltaje Vce tenemos también dos caminos: uno recorriendo el camino c-ba-e ó haciendo el recorrido c-d-e. Aplicando LKV al recorrido c-b-a-e, tenemos: Vce = 2 + 1 + 8 = 11V Ahora aplicando LKV al recorrido c-d-e, tenemos:

45

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Circuitos Resistivos

Vce + 1 = 12, entonces Vce = 11V Obviamente debemos escoger el camino corto para llegar obtener la respuesta.

Ejemplo 2.11.2:

10KΩ b 20KΩ

a

c

Para el circuito mostrado en la figura 2.11.2, 6V encuentre el voltaje Vac.

30KΩ d

Solución:

Figura 2.11.2

Si observamos el circuito, para encontrar el voltaje Vac, podemos reducir la resistencia de 10K con la 20K ya que están en serie y luego aplicar un divisor de voltaje para encontrar el voltaje buscado, así: Vac =

30 K (6) = 3V 30 K + 30 K

Ejemplo 2.11.3 6mA

Para el circuito mostrado en la figura 2.11.3 8KΩ encuentre la corriente Io.

4KΩ Io

4KΩ

8KΩ

Solución: Figura 2.11.3

Si observamos bien el circuito podremos notar que Io se puede calcular de un simple divisor de corriente de la fuente de corriente de 6mA, así: Io =

4K ( −6m) = −2mA 4 K + 8K 12KΩ

Ejemplo 2.11.4: Para el circuito mostrado en la figura 2.11.4, encuentre la Resistencia equivalente entre las terminales A-B

A RAB

6KΩ

6KΩ

9KΩ

18KΩ

B

Solución:

Figura 2.11.4 46

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Circuitos Resistivos

Para comenzar debemos buscar los elementos que podemos reducir, en el circuito mostrado, las resistencias de 9K y 18K se encuentran en paralelo y podemos reducirlas a una equivalente: 9K||18K = (9K*18K)/(27K) = 6K, así el circuito queda como el que se muestra en la figura 2.11.4.1.a 12KΩ 6KΩ

6KΩ

6KΩ 3KΩ

6KΩ 6KΩ

(b)

(a)

(c)

Figura 2.11.4.1 Ahora las dos resistencias de 6K se encuentran en serie y se pueden reducir a una sola de 12K, la cual queda en paralelo de con la de 12K de arriba, entonces 12K||12K = 6K, ahora el circuito queda como el que se muestra en la figura 2.11.4.1..b, como vemos las dos resistencia de 6K se encuentran en paralelo y la resultante será: 6K||6K = 3K, por lo tanto la resistencia equivalente entre las terminales A-B, es de 3KΩ como se muestra en la figura 2.11.4.1.c.

Ejemplo 2.11.5

a

Para el circuito mostrado en la figura 2.11.5, I1 encuentre el valor de la corriente I1.

I

b 4mA

12mA

c

Solución:

2mA

Figura 2.11.5 Para encontrar la corriente I1 haremos uso de la LCK aplicado al nodo a, así 12m = I + I1 Pero como no sabemos el valor de I hacemos uso de la LKC en el nodo b, así I = 4m + 2m = 6mA Por lo tanto I = 12m – I = 12m – 6m = 6mA. Sin embargo una alternativa rápida de solución y es en lo que nosotros estamos interesados es, hacer LKC en el nodo c, así I1 + 4m +2m= 12m, entonces despejamos I1, I1 = 12m – 2m -4m = 6mA 47

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Circuitos Resistivos

8mA

Ejemplo 2.11.6 Para el circuito mostrado en la figura 2.11.6 encuentre a la corriente Io.

b

c I2

I1 4mA

2mA

Io

Solución:

d

Como andamos buscando Io, hacemos LKC al nodo a, así

Figura 2.11.6

Io + I1 = 8m, pero desconocemos I1, entonces aplicamos LKC al nodo b, así I2 = 4m + I1, pero desconocemos I2, entonces aplicamos LKC al nodo c, así 8m = 2m + I2, así I2 = 8m – 2 m = 6mA, entonces I1 = 6m – 4m = 2mA, por lo tanto Io es: Io = 8m – 2m = 6mA. Sin embargo una alternativa de solución rápida y es la que nosotros estamos interesados es, aplicando LKC al nodo d, así Io = 4m + 2m = 6mA

2.12

Problemas Propuestos

2.12.1 Para los circuitos mostrados en la figura 2.12.1, encuentre la potencia que es absorbida o suministrada por los elementos del circuito. 2A + 16V -

1A + 4V 1 12V

2

1A + 8V -

2A

1 24V

1A

Figura 2.12.1

8V

2A

Respuesta: Circuito de la izquierda P1 = 4W, absorbida P2 = 8W, absorbida Pf12V = 12W, suministrada

Circuito de la derecha P1 = 32W, absorbida Pf8V = 16W, absorbida Pf24V = 48W, suministrada

48

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2.12.2 Para los circuitos mostrados en la figura 2.12.2, encuentre la potencia que es absorbida o suministrada por lo elementos del circuito. 24V 2A + 16V -

Ix = 2A + 8V - 2A

Ix = 2A

2A

1 12V

2Ix

+ 12V -

2Ix

2A 2A

Figura 2.12.2 Respuesta: Circuito de la izquierda P1 = 16W, absorbida Pfdep = 8W, absorbida Pf12V = 24W, suministrada

Circuito de la derecha P1 = 32W, absorbida P2 = 24W, absorbida Pfdep = 8W, suministrada Pf24V = 48W, suministrada 24V

2A + 12V -

2.12.3 Para el circuito mostrado en la Figura 2.12.3 encuentre el voltaje Vx

+ Vx -

+ 16V 18V

6V

Respuesta: Vx = 8V Figura 2.12.3 2A

2.12.4 Encuentre Vx en la red que se muestra en la figura 2.12.4 Respuesta: Vx = 8V 6A

8V 1

24V

4A 2

3

3A

Io 5

4Ix 6

4

16V

1

Vx

3

2

- 8V + + 4V 6A

4A

4

6V +

Figura 2.12.4

Ix = 2A

10V

6V

2V +

6V

2.12.5 Encuentre Io en la red mostrada en la figura 2.12.5

6V 1A

Respuesta: Io = 3A

8V

2A

Figura 2.12.5

2.12.6 Dados los valores de corrientes de rama del circuito que se muestra en la figura 2.12.6 use la LKC para encontrar las magnitudes y direcciones de las corrientes de rama restantes del circuito.

B

A

1

4 13A

10A C

Respuesta:

8

5

3 2

D

7

E

9

49

5A

C.R. Lindo Carrión Figura 2.12.6

6

F

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

I2 = 3A, sentido de D hacia A I3 = 1A, sentido de A hacia B I4 = 6A, sentido de B hacia E I6 = 7A, sentido de F hacia E I9 = 12A, sentido de C hacia F

1A

A

2.12.7 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.7: + (a) Encuentre todos los voltajes y corrientes de rama 1V desconocidos. (b) Verifique sus datos con la conservación de potencia.

3A

6

+ 6V 4 -

2 3V + 3

C

Respuesta:

1

5

-

B

D

2A

Figura 2.12.7

I2 = 6A, sentido de C hacia A I5 = 5A, sentido de A hacia D I6 = 4A, sentido de B hacia C

+ -3V -

+ 2V -

V1 = VBA = 5V V3 = VDC = 4V V4 = VBD = 2V

Pentregada (32W) = Pabsorbida (32W) 2.12.8 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.8. Diga: ¿Cuál es la potencia entregada al elemento a? y ¿Cuál es la potencia entregada al elemento b?

1A

a

+ 4V -

+ b 1V -

3A

-2A

Figura 2.12.8 Respuesta: Pa = 1W, absorbida

Pb = 8W, suministrada

2Ω

2Ω

2.12.9 Examine el divisor de voltaje que muestra la figura 2.12.9. Se desea que la potencia absorbida por R = 4Ω sea 8W. Vf Calcule Vf necesario en la fuente

R 4Ω

Respuesta: Vf = 16.97V

Figura 2.12.9

110Ω + 24V

180Ω

220Ω

250Ω

Vsal -

2.12.10 Calcule el voltaje Vsal aplicando el principio del divisor de voltaje al circuito mostrado en la figura 2.12.10. Respuesta: Vsal = 6.09V

Figura 2.12.10

2.12.11 Use el método de divisor de voltaje o corriente para encontrar la señal desconocida indicada en el circuito mostrado en la figura 2.12.11 20Ω 15Ω

20Ω

Respuesta: Ix = 2.5A, Vx = 0.666V

Ix 5A

20Ω

10Ω

+ 5V

10Ω

5Ω

Vx -

6.7Ω C.R. Lindo Carrión

50 Figura 2.12.11

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

2.12.12 Use el método de divisor de voltaje o corriente para encontrar la señal desconocida indicada en el circuito mostrado en la figura 2.12.12. 1Ω 60Ω

1Ω

Respuesta: Vx = 2.5V, Ix = 0.6A

Ix +

5A

1Ω

1.5Ω

100V

Vx

30Ω

20Ω

28Ω

-

Figura 2.12.12 A

2KΩ 12KΩ

4KΩ RAB

2.12.13 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.13, encuentre la resistencia equivalente entre las terminales A-B.

3KΩ 6KΩ

Respuesta: RAB = 18KΩ

B 12KΩ

Figura 2.12.13 A

2.12.14 Encuentre la resistencia equivalente entre las terminales A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, y C-D para el circuito que se muestra en la figura 2.12.14.

80Ω

B

Respuesta: RAB = 100Ω, RAC = 70Ω, RAD = 65Ω, RBC = 90Ω, RBD = 85Ω, RCD = 55Ω

30Ω

C

80Ω 60Ω 25Ω

Figura 2.12.14 D

2.12.15 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.15, si la Resistencia equivalente Req es 15Ω, encuentre el valor de R

4Ω

A 12Ω Req

R

24Ω 8Ω

Respuesta: R = -12Ω B

51

5Ω

C.R. Lindo Carrión Figura 2.12.15

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

6Ω

a 3Ω

2.12.16 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.16, determine la Resistencia 2Ω equivalente entre a-b (Req a-b) y la corriente I si el voltaje Vab = 40V

5Ω

12Ω Req a-b

20Ω

b

I

Respuesta: Req a-b = 8Ω, I = -(5/6)A. Figura 2.12.16 2.5Ω

2.12.17 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.17, encuentre la potencia 100V absorbida para cada uno de los resistores..

6Ω

30Ω

Respuesta: P2.5 = 250W, P30 = 187.5W, P6 =337.5W, P5 = 180W, P20 = 45Ω.

Is

4Ω

2Ω 1Ω

3Ω

5Ω

+ Vx -

5Ω

20Ω

Figura 2.12.17

2.12.18 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.18, encuentre: a) Is si Vx = 10V, b) Vx si Is = 50A, c) la razón Vx/Is. Respuesta: a) Is = 42A, b= Vx = 11.90V, c) Vx/Is = 0.238Ω.

Figura 2.12.18

2.12.19Para el circuito mostrado en la figura 2.12.19 encuentre: V1, I2, y la potencia disipada por la fuente de 7V.

4A

I2 7V

3V

4Ω

1Ω

3A

2A

2Ω

+ V1 -

7A

2Ω

10Ω

Respuesta: V1 = 8V, I2 = -6A, P7V = 42W. Figura 2.12.19

2.12.20ara el circuito mostrado en la figura 2.12.20encuentre Io. Respuesta: Io = -(8/3)mA.

2KΩ

12KΩ 6KΩ

6mA

12mA

Io

12KΩ

Figura 2.12.20 52

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

4V

1.5KΩ

2.12.21Para el circuito mostrado en la figura 2.12.21 encuentre Vs.si Vo =2V

+ 2KΩ

6KΩ

Vs

Vo=2V

Respuesta: Vs = 9V.

-

Figura 2.12.21

2.12.22 ara el circuito mostrado en la figura 2.12.22 encuentre Vs.si Vo =4V Vs

Respuesta: Vs = 36V.

6V

2KΩ

3KΩ

+ 12KΩ

3KΩ

I

12V

Vo=4V -

Figura 2.12.22

6Ω

2.12.23 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.23, encuentre las corrientes I e I1.

I1

4Ω

1KΩ

2mA

4Ω 6Ω

1Ω

Respuesta: I = 2A, I1 = -(3/4)A.

10Ω 3Ω

Figura 2.12.23

6Ω

2.12.24 Para el circuito mostrado en 20V la figura 2.12.24 encuentre el valor del Resistor R si V=2V.

-

2.4V

2S

I

V

+

Figura 2.12.24

6S

3S

15Ω

R

Respuesta: Vo = 2Ω.

8S

10Ω

8Ω

12S

2.12.25 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.25 encuentre la corriente I.

Respuesta: I = 1.6A. 2.12.26 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.26, encuentre: el voltaje Vo y la 2mA 6KΩ 2KΩ corriente I. Figura 2.12254

12KΩ

Respuesta: I = -2/3mA, V = -8/3V

9KΩ

3KΩ

I

Figura 2.12.26 53

C.R. Lindo Carrión

4KΩ

+ Vo -

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

6V + Vo -

4KΩ

4KΩ 3KΩ

2.12.27 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.14, encuentre el voltaje Vo.

4KΩ 12KΩ

Respuesta:. Vo = 2V

6KΩ 12V

Figura 2.12.27

Ix 20Ω

2.12.28 Para el circuito mostrado en la 2A figura 2.12.28, encuentre el voltaje Vx e Ix.

2.2KΩ

Vx 1.5KΩ 3.3KΩ

1KΩ

Vx

15Ω

-

Figura 2.12.28

1KΩ Vy

2.12.29 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.29, encuentre el voltaje Vx y Vy.

-

Respuesta:. Vx = 3.09V, Vy = 9.21V

+ 12V

+

30Ω

10Ω

Respuesta:. Vx = 3.33V, Ix = 0.444A +

15Ω

3.3KΩ

Figura 2.12.29 + Vx -

2.12.30 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.30, determine el voltaje Vx y la corriente Ix.

20Ω

10Ω

20Ω 5A

20Ω

20Ω

10Ω

Ix

Respuesta:. Vx = -12.5V, Ix = -1.25A Figura 2.12.30

2.12.31 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.31, encuentre el voltaje Vx y la corriente Ix.

1Ω 2Ω

+

1Ω

Ix

Vx

Respuesta:. Vx = 1.67V, Ix = 0.833A

5V -

2Ω

1.5Ω

Figura 2.12.31 54

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

4V

8Ω

I

2.12.32 Para el circuito mostrado en figura 2.12.32, encuentre: el voltaje V, V corriente I y la potencia absorbida por - elemento desconocido, si la potencia de fuente de 16V es 8W.

+ 16V

12Ω

la la el la

Figura 2.12.22 Respuesta: V = 8V, I = -1/6A, P = 4/3W entregada

+ V -

2.12.33 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.16, encuentre el valor de R1 cuando la razón Vf V/Vf = 0.5

R1

Respuesta: R1 = 5,028.3Ω

Figura 2.12.33

8.2KΩ

13KΩ

2.12.34 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.34 encuentre la corriente I y la potencia absorbida por el Resistor de 12KΩ. I

20Ω

Respuesta: I = 2.178mA, 8V P12K = 6.326mW

50mA

12KΩ

6KΩ

90mA

4KΩ

Figura 2.12.34 2.12.35 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.35, encuentre la potencia absorbida por el circuito. 6KΩ

Respuesta: P = 63mW

21V

6KΩ

12KΩ 2KΩ

18KΩ

Figura 2.12.35

2.12.36 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.32, encuentre el voltaje V1.

4mA

5V

+ 1KΩ

55 Vo -

Figura 2.12.37

2V1mA

Figura 2.12.36

2KΩ Vo 2K

-

1KΩ 9mA

Respuesta: V1 = 3V.

6KΩ

+ V1

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I 2.12.37

Circuitos Resistivos

Para el circuito mostrado en la figura 2.12.37 encuentre el voltaje Vo.

Respuesta: Vo = 4V. 2.12.38 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.38, encuentre la potencia absorbida por el resistor de 12KΩ. Respuesta: P12 = 0.75mW.

4KΩ 6mA

12KΩ

Vx 2K

2KΩ

+ Vx

+ Vo

3KΩ

-

-

Figura 2.12.38 2KΩ

1KΩ

2/5 V1 mA

+ V1 -

3KΩ

4KΩ

2.12.39 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.39, encuentre los voltajes V1 y V.

2KΩ

Respuesta: V1 = 4V, V = 5V

- V + 1.4mA

Figura 2.12.39 2.12.40

Para el circuito mostrado en la figura 2.12.40, encuentre al razón Vo/Vs. Rs

Respuesta: Vo/Vs = -160

2KΩ Rent 8KΩ

Vs

+ V -

+ V/100

Ro 100KΩ

RL 25KΩ

Vo -

Figura 2.12.40 2.12.41 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.41, encuentre la razón Vo/Vs. 5KΩ

100Ω

Respuesta: Vo/Vs = -56.81

Vs 250mV

5KΩ

35*105Ib

500Ω Ib

50Ω

+ Vo -

Figura 2.12.41

56

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos Resistivos

2.12.42 Determine la Resistencia de carga Rc si v = 6 V en el circuito de mostrado en la figura 2.12.42. Este circuito es un modelo de un amplificador de transistores con una carga Rc. 20Ω 30Ω

Respuesta: Rc = 10Ω

+ v1

15V

80Ω

v1 60

-

v +

120Ω

Rc

Figura 2.12.42 2.12.43 En la figura 2.12.43 aparece el modelo de un amplificador de transistores de Emisor Común. Calcule el voltaje vsal si el voltaje vf = 1mV. 20Ω -

Respuesta: Vo = 4V

vf

Ib

44Ib

20KΩ

2KΩ

vsal +

Figura 2.12.43

57

C.R. Lindo Carrión