CÍRCULOS – CIRCUNFERENCIA Y ÁREA

9.1.1 y 9.1.2

ÁREA DE UN CÍRCULO En clase, los estudiantes han hecho exploraciones con círculos y objetos circulares para descubrir la relación entre la circunferencia, diámetro y pi (π). Para leer más acerca de la exploración de área en su clase, vea problemas 9-22 a 9-26 (especialmente 9-26) en el texto Core Connections en español, Curso 2. Con el fin de encontrar el área de un círculo, los estudiantes tienen que identificar el radio del círculo. El radio es la mitad del diámetro. A continuación van a obtener el cuadrado del radio y multiplicar por π. Dependiendo de la preferencia del maestro o del texto, los estudiantes pueden usar 22 7 para π cuando el radio o el diámetro es una fracción, 3.14 para π como una aproximación, o el botón π en una calculadora. Cuando se utiliza el botón π, la mayoría de los maestros quieren que los estudiantes redondeen a la décima o la centésima más cercana. La fórmula para el área de un círculo es: A = r2π.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Encuentre el área de un círculo con r = 17 pies.

Encuentre el área de un círculo con d = 84 cm. r = 42 cm A = (42)2π = (42 ⋅ 42) (3.14) = 5538.96 centímetros cuadrados

2

A = (17) π = (17 ⋅ 17) (3.14) = 907.46 pies cuadrados

Problemas Encuentre el área de los círculos con las siguientes longitudes, radios o diámetros. Utiliza 3.14 para el valor de π. Redondee a la centésima más cercana. 1.

r = 6 cm

5.

d=

9.

d = 14.5 pies

4 5

cm

1 2

2.

r = 3.2 pulgadas

3.

d = 16 pies

4.

r=

m

6.

r = 5 pulgadas

7.

r = 3.6 cm

8.

r = 2 14 plg

10. r = 12.02 m

Respuestas 1.

113.04 cm2

2.

32.15 plg2

3.

200.96 pies2

4.

11 14

m2

5.

88 175

6.

78.5 plg2

7.

40.69 cm2

8.

51 o 15.90 plg2 15 56

9.

165.05 pies2

10.

453.67 m2

cm2

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Core Connections en español, Curso 2

CIRCUNFERENCIA radio

El radio de un círculo es un segmento de recta desde su centro a cualquier punto en el círculo. El término también se utiliza para la longitud de estos segmentos. Una cuerda de un círculo es un segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de un círculo. Un diámetro de un círculo es una cuerda que pasa por su centro. El término también se utiliza para la longitud de estas cuerdas. La longitud de un diámetro es dos veces la longitud de un radio. La circunferencia de un círculo es similar al perímetro de un polígono. La circunferencia es la longitud de un círculo. La circunferencia le diría cuánto cordel se necesitaría para ir alrededor de un círculo una sola vez.

diámetro cuerda s

Circunferencia se explora mediante la investigación de la razón de la circunferencia a el diámetro de un círculo. Esta razón es un número constante, pi (π). Circunferencia se encuentra multiplicando π por el diámetro. Los estudiantes pueden usar 22 7 , 3.14 o el botón π en su calculadora, según las instrucciones del maestro o del libro. C = 2πr o C = πd Para más información vea los recuadros de Apuntes matemáticas de las Lecciones 8.3.3 y 9.1.2 del texto Core Connections en español, Curso 2.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Halle la circunferencia de un Halle la circunferencia de un círculo con un diámetro de círculo con un radio de 5 pulgadas. 10 unidades.

Halle el diámetro de un círculo con una circunferencia de 163.28 pulgadas.

d = 5 pulgadas

r = 10, así d = 2(10) = 20

C = πd = π(5) o 3.14(5) = 15.7 pulgadas

C = 3.14(20) = 62.8 unidades

C 163.28 163.28 d

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= πd = πd = 3.14d = 163.28 3.14 = 52 pulgadas

Core Connections en español, Curso 2

Problemas Halle la circunferencia de cada círculo dado los siguientes longitudes de radios o diámetros. Redondee su respuesta a la centésima más cercana. 1.

d = 12 plg

2.

d = 3.4 cm

3.

r = 2.1 pies 4.

d = 25 m

5.

r = 1.54 mi

Halle la circunferencia de cada círculo mostrado a continuación. Redondee su respuesta a la centésima más cercana. 6.

7. 4' 10 cm

Halle el diámetro de cada círculo según la circunferencia. Redondee su respuesta a la décima más cercana. 8.

C = 48.36 yardas

9.

C = 35.6 pies

10.

C = 194.68 mm

Respuestas 1.

37.68 pulgadas

2.

10.68 cm

3.

13.19 pies

4.

78.5 m

5.

9.67 mi

6.

25.12 pies

7.

31.40 cm

8.

15.4 yardas

9.

11.3 pies

10.

62 mm

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Core Connections en español, Curso 2

ÁREA DE POLÍGONOS Y FIGURAS COMPLEJAS

9.1.3

El área es el número de unidades cuadradas no superpuestas necesarios para cubrir la región interior de una figura bidimensional o el área de superficie de una figura tridimensional. Por ejemplo, el área es la región que está cubierta por azulejos del piso (bidimensional) o pintura en una caja o un balón (tridimensional). Para más información acerca de las formas específicas, consulte los siguientes recuadros. Para más información general, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 1.1.2 del texto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica vea los materiales del Punto de comprobación 1 en Core Connections en español, Curso 2.

ÁREA DE UN RECTÁNGULO Para hallar el área de un rectángulo, siga los siguientes pasos. 1.

Identifique la base.

2.

Identifique la altura.

3.

Multiplique la base por la altura para encontrar el área en unidades cuadradas: A = bh.

Un cuadrado es un rectángulo en el que la base y la altura son de igual longitud. Halle el área de un cuadrado multiplicando la base por la misma base: A = b2.

Ejemplo base = 8 unidades 4

32 unidades cuadradas 8

altura = 4 units A = 8 ⋅ 4 = 32 unidades cuadradadas

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Core Connections en español, Curso 2

Problemas Halle las áreas de los rectángulos (figuras 1-8) y los cuadrados (figuras 9-12) a continuación. 1.

2. 2 mi

3. 5 cm

4 mi

4.

6 cm

3 plg

2 millas

2m

7. 3 unidades

6. 5.5 millas

5.

8m

7 plg

8. 6.8 cm

7.25 millas

8.7 unidades 3.5 cm

2.2 millas

9.

10.

11.

12. 8.61 pies 1.5 pies

8 cm

2.2 cm

Respuestas 1.

8 millas2

2.

30 cm2

3.

21 pulgadas2

4.

16 m2

5.

11 millas2

6.

26.1 pies2

7.

23.8 cm2

8.

15.95 millas2

9.

64 cm2

10.

4.84 cm2

11.

2.25 pies2

12.

73.96 pies2

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Core Connections en español, Curso 2

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO Un paralelogramo se cambia fácilmente a un rectángulo mediante la separación de un triángulo a partir de un extremo del paralelogramo y moviéndolo hasta el otro extremo como se muestra en las tres figuras siguientes. base

base

base

altura

altura

altura

base

base

base

paralelogramo Paso 1

mover el triángulo Paso 2

rectángulo Paso 3

Para hallar el área de un paralelogramo, multiplique la base por la altura como lo hizo con el rectángulo: A = bh.

Ejemplo base = 9 cm 6 cm

altura = 6 cm A = 9 ⋅ 6 = 54 cm cuadrados

9 cm

Problemas Halle el área de cada paralelogramo a continuación. 1.

2.

3. 8 cm

6 pies

4m

10 cm

8 pies

4.

5. 3 cm

6. 7.5 plg

11.2 pies

13 cm 12 plg

7.

11 m

15 pies

8. 9.8 cm

8.4 cm

11.3 cm

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15.7 cm

Core Connections en español, Curso 2

Respuestas 1.

48 pies2

2.

80 cm2

3.

44 m2

4.

39 cm2

5.

90 plg2

6.

168 pies2

7.

110.74 cm2

8.

131.88 cm2

ÁREA DE UN TRAPECIO Un trapecio es otra forma que se puede transformar en un paralelogramo. Cambie un trapecio en un paralelogramo siguiendo los tres pasos siguientes.

base (b)

base (b)

base (b) altura

tapa (t) altura

altura

base (b) altura

tapa (t)

altura

tapa (t)

tapa (t)

base (b)

tapa (t)

Trapecio

duplique el trapecio y gire

ponga los dos trapecios juntos para formar un paralelogramo

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Para encontrar el área de un trapecio, multiplique la base del paralelogramo grande en el Paso 3 (base y tapa) por la altura y luego tome la mitad del total del área. Recuerde sumar las longitudes de la base y la tapa del trapecio antes de multiplicar por la altura. Tenga en cuenta que algunos textos llaman la longitud superior la base superior y la base la base inferior. A=

1 2

(b + t)h

o A=

b+t 2

⋅h

Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 6.1.1 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo

8 plg

tapa = 8 pulgadas 4 plg

base = 12 pulgadas altura = 4 pulgadas

12 plg

A=

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8+12 ⋅ 4 2

=

20 2

⋅ 4 = 10 ⋅ 4 = 40 pulgadas2

Core Connections en español, Curso 2

Problemas Halle las áreas de los trapecios a continuación. 1.

2.

3 cm

3.

10 plg

2 pies

1 cm 4 pies

8 plg

5 cm

5 pies 15 plg

4.

5. 11 cm

6.

7 plg

8 cm

5 plg

11 m

8m

15 cm 10 plg

8m

7.

8.

7 cm

4 cm

8.4 cm

3 cm 10.5 cm

6.5 cm

Respuestas 1.

4 cm2

2.

100 pulgadas2

3.

14 pies2

4.

104 cm2

5.

42.5 pulgadas2

6.

76 m2

7.

35 cm2

8.

22.35 cm2

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Core Connections en español, Curso 2

ÁREA DE UN TRIÁNGULO El área de un triángulo es igual a la mitad del área de un paralelogramo. Este hecho puede demostrarse fácilmente mediante la división de un paralelogramo en el medio a lo largo de una diagonal (ver más abajo).

altura

altura

altura

altura

base

base paralelogramo

base dibuje una diagonal

Paso 1

Paso 2

base Empareje triángulos cortanto o doblando Paso 3

Mientras empareje los triángulos cortanto el paralelogramo o plegando a lo largo de la diagonal, el resultado es de dos triángulos congruentes (del mismo tamaño y forma). Por lo tanto, el área de un triángulo tiene la mitad del area del paralelogramo que puede ser creado de dos copias del triángulo. Para hallar el área de un triángulo, siga los pasos a continuación. 1.

Identifique la base.

2.

Identifique la altura.

3.

Multiplique la base por la altura.

4.

Divida el producto de la base por la altura por 2: A =

Ejemplo 1

A=

16⋅8 2

=

128 2

o

1 2

bh

Ejemplo 2

base = 16 cm altura = 8 cm

bh 2

8 cm 16 cm

= 64 cm2

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base = 7 cm

4 cm

altura = 4 cm A=

7⋅4 2

=

28 2

7 cm

= 14 cm2

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Problemas 1.

2. 6 cm

3. 12 pies 13 cm 14 pies

8 cm

6 cm

4.

5.

6.

8 plg

1.5 m

5 pies

17 plg

7 pies

7.

5m

8. 2.5 pies

9 cm 7 pies

21 cm

Respuestas 1.

24 cm2

2.

84 pies2

3.

39 cm2

4.

68 pulgadas2

5.

17.5 pies2

6.

3.75 m2

7.

94.5 cm2

8.

8.75 pies2

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Core Connections en español, Curso 2

CALCULAR ÁREAS COMPLEJAS UTILIZANDO SUBPROBLEMAS Los estudiantes pueden utilizar su conocimiento de las áreas de los polígonos para encontrar el área de figuras más complicadas. El uso de subproblemas (es decir, la resolución de problemas más pequeños con el fin de resolver un problema más grande) es una manera de hallar las áreas de figuras complicadas.

Ejemplo 1

9"

Halle el área de la figura a la derecha.

8" 4" 11"

Método #1

Método #2

Método #3

9"

9"

9"

8"

A

B

A

8" 4"

B

11"

Subproblemas: 1. Halle el área del rectángulo A: 8 ⋅ 9 = 72 pulgadas2 2. Halle el área del rectángulo B: 4 ⋅ (11 – 9) = 4 ⋅ 2 = 8 pulgadas2 3. Sume el área del rectángulo A al área del rectángulo B: 72 + 8 = 80 pulgadas2

8" 4"

4"

11"

Subproblemas: 1. Halle el área del rectángulo A: 9 ⋅ (8 – 4) = 9 · 4 = 36 pulgadas2 2. Halle el área del rectángulo B: 11 ⋅ 4 = 44 pulgadas2 3. Sume el área del rectángulo A al área del rectángulo B: 36 + 44 = 80 pulgadas2

11"

Subproblemas: 1. Haga un gran rectángulo encerrando la esquina superior derecha. 2. Halle el área del nuevo rectángulo más grande: 8 ⋅ 11 = 88 pulgadas2 3. Halle el área del rectángulo sombreado: (8 – 4) ⋅ (11 – 9) = 4 ⋅ 2 = 8 pulgadas2 4. Reste el área del rectángulo sombreado del área del rectángulo más grande: 88 – 8 = 80 pulgadas2

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Core Connections en español, Curso 2

Ejemplo 2 10 cm

Halle el área de la figura de la derecha.

10 cm 6 cm 8 cm

Subproblemas:

1. Haga un rectángulo de la figura encerrando la parte superior. 2. Halle el área de todo el rectángulo: 8 ⋅ 10 = 80 cm cuadrados 10 cm

3. Halle el área del triángulo sombreado. Utilice la fórmula A = 12 bh. b = 8 y h = 10 – 6 = 4, así que

6 cm

A=

8 cm

1 2

(8 ⋅ 4) =

32 2

= 16 cm cuadrados.

4. Reste el área del triángulo de la área del rectángulo: 80 – 16 = 64 cm cuadrados

Problemas Halle las áreas de las figuras a continuación. 1.

2.

7'

10'

3.

7m

15"

18 m

19"

6'

11 m 9"

20'

4.

16 m

5.

6 yds

17"

6.

8m

2 yds

5m 10 m

15 m 8m

3 yds 10 yds

15 m

14 m

7.

8.

7'

9. 2'

5 cm

7 cm 3 cm

12 cm

10 cm

20'

6 cm 8'

24 cm © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.

7 cm

10 ' 2 cm

4 cm

22' Core Connections en español, Curso 2

10.

11.

Halle el área de la región sombreada.

12.

Halle el área de la región sombreada.

12 m 14' 16 m

8m

9"

18 m

12" 12'

8'

7'

7" 15"

Respuestas 1.

158 pies cuadrados

2.

225 metros cuadrados

3.

303 pulgadas cuadradas

4.

42 yardas cuadradas

5.

95 metros cuadrados

6.

172.5 metros cuadrados

7.

252 centímetros cuadrados

8.

310 pies cuadrados

9.

23 centímetros cuadrados

10.

264 metros cuadrados

11.

148.5 pulgadas cuadradas

12.

112 pies cuadrados

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Core Connections en español, Curso 2

PRISMAS – VOLUMEN Y ÁREA DE SUPERFICIE

9.2.1 a 9.2.4

ÁREA DE SUPERFICIE DE UN PRISMA El área de superficie de un prisma es la suma de las áreas de todas las caras, incluyendo las bases. El área de superficie se expresa en unidades cuadradas. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 9.2.4 del texto Core Connections en español, Curso 2.

Ejemplo 10 cm

Encuentre el área de la superficie del prisma triangular a la derecha. Paso 1: Área de las 2 bases: 2[ 12 (6 cm)(8 cm)] = 48 cm2

7 cm

Paso 2: Área de las 3 caras laterales Área de cara 1: (6 cm)(7 cm) = 42 cm2 Área de cara 2: (8 cm)(7 cm) = 56 cm2 Área de cara 3: (10 cm)(7 cm) = 70 cm2

6 cm

8 cm

Paso 3: Área de superficie de prisma = suma de las bases y las caras laterales: AS = 48 cm2 + 42 cm2 + 56 cm2 + 70 cm2 = 216 cm2

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Core Connections en español, Curso 2

Problemas Calcule el área de superficie de cada prisma. 1.

2.

3.

5' 12'

5 mm 10 cm

5'

8 mm

9 mm

4 cm

4.

4 cm

5. El pentágono es equilátero. 6. 10 cm

10 cm

6 cm 6 cm

52 pies 6 pies 8 cm

8 pies

2 cm

2

10 cm 6 cm

6 cm

Respuestas 1.

314 mm2

2.

192 cm2

3.

210 pies2

4.

192 cm2

5.

344 pies2

6.

408 cm2

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VOLUMEN DE UN PRISMA El volumen es un concepto tridimensional. Mide la cantidad de espacio interior de una figura tridimensional basado en una unidad cúbica, es decir, el número de 1 por 1 por 1 cubos que caben dentro de una figura. El volumen de un prisma es el área de cualquier base (B) multiplicado por la altura (h) del prisma. V = (Área de la base) ⋅ (altura) o V = Bh Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 9.2.4 del texto Core Connections en español, Curso 2.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Halle el volumen del prisma cuadrado a continuación.

Halle el volumen del prisma triangular a continuación.

8

5

8

7 9

5

La base es un cuadrado con área (B) = 8 ⋅ 8 = 64 unidades2. Volumen = B(h) = 64(5) = 320 unidades3

La base es un triángulo rectángulo con área (B) = 12 (5)(7) = 17.5 unidades2. Volumen = B(h) = 17.5(9) = 157.5 unidades3

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Halle el volumen del prisma trapezoidal a continuación. 7

Halle la altura del prisma con un volumen de 132.5 cm3 y área de base de 25 cm2.

8

10 15

La base es un trapecio con área 12 (7 + 15) ⋅ 8 = 88 unidades2.

Volumen = B(h) 132.5 = 25(h) h = 132.5 25 h = 5.3 cm

Volumen = B(h) = 88(10) = 880 un3

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Core Connections en español, Curso 2

Problemas Calcule el volumen de cada prisma. La base de cada figura está sombreada. 1.

Prisma rectangular

2.

Prisma triangular recto

3.

5 plg

6 cm

4 pies

Prisma rectangular 6 plg

8 cm

3 pies 1 pie

4.

Prisma triangular recto

8.5 plg

7 cm

5.

Prisma trapezoidal

6.

7.2 cm

Prisma triangular con B = 15 12 cm2

6'

4.5 cm

10' 6'

4 cm

15

8

cm2

cm

8'

7.

Halle el volumen de un prisma con área de base de 32 cm2 y altura de 1.5 cm.

8.

Halle la altura de un prisma con área de base de 32 cm2 y volumen de 176 cm3.

9.

Halle el área de base de un prisma con volumen de 47.01 cm3 y altura de 3.2 cm.

Respuestas 1.

12 pies3

2.

168 cm3

3.

240 plg3

4.

64.8 cm3

6.

127 87 cm3

7.

48 cm3

8.

5.5 cm

9.

14.7 cm2

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5.

324 pies3

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