MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

8.1.1 y 8.1.2

Medidas de tendencia central son los números que sitúan o se aproximan al “centro” de un conjunto de datos, es decir, un valor “típico” que describe el conjunto de datos. La media y la mediana son las medidas más comunes de tendencia central. (Modo no será cubierto en este curso.) La media es el promedio aritmética de un conjunto de datos. Sume todos los valores de un conjunto y divida esta suma por el número de valores en el conjunto. La mediana es el número intermedio de un grupo de datos organizados en orden numérico. Un valor atípico es un número que es mucho más pequeña o más grande que la mayoría de los otros en el conjunto de datos. El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre los valores más altos y más bajos del conjunto de datos. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 8.1.2 del texto Core Connections en español, Curso 1.

La media se calcula hallando la suma del conjunto de datos y dividiéndolo por el número de elementos en el conjunto.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Halle la media de este conjunto de datos: 34, 31, 37, 44, 38, 34, 42, 34, 43 y 41.

Halle la media de este conjunto de datos: 92, 82, 80, 92, 78, 75, 95 y 77.

•

•

•

34 + 31 + 37 + 44 + 38 + 34 + 42 + 34 + 43 + 41 = 378 378 10

= 37.8

La media de este conjunto de datos es 37.8.

•

92 + 82 + 80 + 92 + 78 + 75 + 95 + 77 = 671 671 8

= 83.875

La media de este conjunto de datos es 83.875.

Problemas Halle la media de cada conjunto de datos. 1.

29, 28, 34, 30, 33, 26 y 34.

2.

25, 34, 35, 27, 31 y 30.

3.

80, 89, 79, 84, 95, 79, 78, 89, 76, 82, 76, 92, 89, 81 y 123.

4.

116, 104, 101, 111, 100, 107, 113, 118, 113, 101, 108, 109, 105, 103 y 91.

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Core Connections en español, Curso 1

La mediana es el número intermedio de un conjunto de datos organizados en orden numérico. Si hay un número par de valores, la mediana es la media (promedio) de los dos números centrales.

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Halle la mediana de este conjunto de datos: 34, 31, 37, 44, 38, 34, 43 y 41.

Halle la mediana de este conjunto de datos: 92, 82, 80, 92, 78, 75, 95, 77 y 77.

•

Ponga los datos en orden: 31, 34, 34, 37, 38, 41, 43, 44.

•

Ponga los datos en orden: 75, 77, 77, 78, 80, 82, 92, 92 y 95.

•

Halle el valor intermedio(s): 37 y 38.

•

•

Puesto que hay dos valores intermedios, encuentre su media: 37 + 38 = 75, 75 = 37.5. Por lo tanto, la mediana de 2 este conjunto de datos es de 37.5.

Halle el valor intermedio(s): 80. Por lo tanto, la mediana de este conjunto de datos es 80.

Problemas Halle la mediana de cada conjunto de datos. 5. 29, 28, 34, 30, 33, 26 y 34.

6. 25, 34, 27, 25, 31 y 30.

7. 80, 89, 79, 84, 95, 79, 78, 89, 76, 82, 76, 92, 89, 81 y 123.

8. 116, 104, 101, 111, 100, 107, 113, 118, 113, 101, 108, 109, 105, 103 y 91.

El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el valor más alto y el valor más bajo.

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Halle el rango de este conjunto de datos: 114, 109, 131, 96, 140 y 128.

Halle el rango de este conjunto de datos: 37, 44, 36, 29, 78, 15, 57, 54, 63, 27 y 48.

• El valor más alto es 140.

• El valor más alto es 78.

• El valor más bajo es 96.

• El valor más bajo es 27.

• 140 – 96 = 44.

• 78 – 27 = 51.

• El rango de este conjunto de datos es 44.

• El rango de este conjunto de datos es 51.

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Core Connections en español, Curso 1

Problemas Halle el rango de cada conjunto de datos en problemas 5 a 8. Los valores atípicos son números en un conjunto de datos que sea mucho mayor o mucho menor que los otros números en el conjunto.

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Halle el valor atípico de este conjunto de datos: 88, 90 96, 93, 87, 12, 85 y 94.

Halle el valor atípico de este conjunto de datos: 67, 54, 49, 76, 64, 59, 60, 72, 123, 44 y 66.

• El valor atípico es 12.

• El valor atípico es 123.

Problemas Identifique el valor atípico en cada conjunto de datos. 9. 70, 77, 75, 68, 98, 70, 72 y 71.

10. 14, 22, 17, 61, 20, 16 y 15.

11. 1376, 1645, 1783, 1455, 3754, 1790, 1384, 1643, 1492 y 1776.

12. 62, 65, 93, 51, 55, 14, 79, 85, 55, 72, 78, 83, 91 y 76.

Respuestas 1.

30.57

2.

30. 3

3.

86.13

4.

106. 6

5.

mediana: 30; rango: 8

6.

mediana: 28.5; rango: 9

7.

mediana: 82; rango: 47

8.

mediana: 107; rango: 27

9.

98

10.

61

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11.

3754

12.

14

Core Connections en español, Curso 1

REPRESENTACIONES GRAFICAS DE LOS DATOS

8.1.4 y 8.1.5

DIAGRAMAS DE CAJAS Otra forma de mostrar una distribución de datos numéricos de una variable es con un diagrama de cajas. Un diagrama de cajas es la única indicación de los datos que muestra claramente la mediana, cuartiles, rango y los valores atípicos de un conjunto de datos. Para obtener información adicional, consulte los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 8.1.4 y 8.1.5 del texto Core Connections en español, Curso 1. Para ejemplos y prácticas adicionales, vea los materiales del Punto de comprobación 9A en Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Muestre estos datos en un diagrama de cajas: 51, 55, 55, 62, 65, 72, 76, 78, 79, 82, 83, 85, 91 y 93.

Muestre estos datos en un diagrama de cajas: 62, 65, 93, 51, 12, 79, 85, 55, 72, 78, 83, 91 y 76.

•

Dado que esta información ya está en orden de menor a mayor, el rango es 93 – 51 = 42. Así, se comienza con una recta numérica con intervalos iguales de 50 a 100.

•

Coloque los datos en orden de menor a mayor: 12, 51, 55, 62, 65, 72, 76, 78, 79, 83, 85, 91, 93. El rango es 93 – 12 = 81. Así que quieres una recta numérica con intervalos iguales de 10 a 100.

•

La mediana del conjunto de datos es 77. Un segmento vertical se dibuja en este valor por encima de la recta numérica.

•

Encuentre la mediana del conjunto de datos: 76. Dibuje el segmento de recta.

•

Encuentre el primer cuartil: 55 + 62 = 117; 117 ÷ 2 = 58.5. Dibuje el segmento de recta.

•

Encuentre el tercer cuartil: 83 + 85 = 168; 168 ÷ 2 = 84. Dibuje el segmento de recta.

•

Dibuje la caja que conecta el primer y tercer cuartiles. Coloque un segmento de recta en el valor mínimo (12) y un segmento de recta en el valor máximo (93). Conecte los valores máximo y mínimo a la caja.

•

La mediana de la mitad inferior de los datos (el primer cuartil) es 62. Un segmento vertical se dibuja en este valor por encima de la recta numérica.

•

La mediana de la mitad superior de los datos (el tercer cuartil) es 83. Un segmento vertical se dibuja en este valor por encima de la recta numérica.

•

Una caja se dibuja entre el primer y el tercer cuartil.

•

Coloque un segmento vertical en el valor mínimo (51) y en el valor máximo (93). Utilice un segmento de recta para conectar el mínimo a la caja y el máximo a la caja. 10 20

50

60

70

80

30 40

50 60

70 80

90 100

90 100

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Core Connections en español, Curso 1

Problemas Haga un diagrama de tallo y hojas y un diagrama de cajas para cada conjunto de datos en los problemas 1 a 4. 1.

45, 47, 52, 85, 46, 32, 83, 80 y 75.

2.

75, 62, 56, 80, 72, 55, 54 y 80.

3.

49, 54, 52, 58, 61, 72, 73, 78, 73, 82, 83, 73, 61, 67 y 68.

4.

65, 35, 48, 29, 57, 87, 94, 68, 86, 73, 58, 74, 85, 91, 88 y 97.

5.

Dado un conjunto de datos: 265, 263, 269, 259, 267, 264, 253, 275, 264, 260, 273, 257 y 291.

6.

a.

Haga un diagrama de tallo y hojas de estos datos.

b.

Encuentre la media y la mediana de estos datos.

c.

Encuentre el rango de estos datos.

d.

Haga un diagrama de cajas para estos datos.

Dado un conjunto de datos: 48, 42, 37, 29, 49, 46, 38, 28, 45, 45, 35, 46.25, 34, 46, 46.5, 43, 46.5, 48, 41.25, 29 y 47.75. a.

Haga un diagrama de tallo y hojas de estos datos.

b.

Encuentre la media y la mediana de estos datos.

c.

Encuentre el rango de los datos.

d.

Haga un diagrama de cajas para estos datos.

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Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 1.

2. 3 4 5 7 8

2 5 6 7 2 5 0 3 5

30 40 50 60 70 80 90

3.

5 6 7 8

4 5 6 2 2 5 0 0

2 3 4 5 6 7 8 9

9 5 8 7 5 3 5 1

|

|

|

|

50

60

70

80

4. 4 5 6 7 8

9 2 1 2 2

4 8 1 7 8 3 3 3 8 3

40 50 60 70 80 90

8 8 4 6 7 8 4 7

| | | | | | | | | 20 30 40 50 60 70 80 90 100

5. 25 26 27 28 29

379 0344579 35

media: 266.15 mediana: 264 rango: 38

250

270

300

1

6. 2 3 4

899 4578 1.25 2 3 5 5 6 6 6.25 6.5 6.5 7.75 8 8 9

media: 41.4405 mediana: 43 rango: 21

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25 30 35

40 45 50

Core Connections en español, Curso 1

RESOLVER ECUACIONES EN CONTEXTO

8.3.1

Inicialmente, las ecuaciones se resuelven aplicando hechos matemáticos (por ejemplo, 4x = 12 ya que 4 ⋅ 3 = 12, x = 3) o por medio de combinar cantidades iguales, simplificando la ecuación y usando hechos matemáticos, como se muestra en el ejemplo a continuación. Las ecuaciones a veces se escriben en el contexto de una situación geométrica.

Escriba una ecuación que representa cada situación y encuentre el valor del variable.

Ejemplo 1

x

10

Ejemplo 2 2x

x

32

8

44

x + 10 = 32 x = 22

x + 2x + 8 = 44 x + 2x = 36 3x = 36 x = 12

Ejemplo 3

Ejemplo 4 y

y

25

2x y

y

3y = 25 + y 2y = 25 y = 12.5

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3x

40º

2x + 3x + 40 = 180 2x + 3x = 140 5x = 140 x = 18

Core Connections en español, Curso 1

Problemas Escriba una ecuación que represente cada situación y encuentre el valor del variable. 1.

2. x

x

3

x x

25 3.

x

2x

x

7

16

4. n

n

25

n

12

n

2n

5.

4

28

6.

x x

122°

x 40°

Resuelva cada ecuación. 7.

x + 7 = –9

8.

9.

–3y = 24

10.

11.

3x + 2 = 11

12.

4x + x + 5 = 25

13.

m + 2m + 7 = m + 11

14.

x + 9 + x + x = 30

15.

3–y=9

16.

4k + 1 = –7

17.

x + 3x + x + 7 = 52

18.

3m + 7 = m + 11

19.

2(y + 3) = –12

20.

3(c + 2) + c + 1 = 57

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y – 2 = –3 m 2

= –6

Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 1.

2x + 3 = 25; x = 11

2.

2x + 4 = x + 16; x = 12

3.

3x + 7 = 25; x = 6

4.

4n + 12 = 2n + 28; n = 8

5.

122 + x = 180; x = 58º

6.

2x + 40 = 180; x = 70º

7.

x = –16

8.

y = –1

9.

y = –8

10.

m = –12

11.

x=3

12.

x=4

13.

m=2

14.

x=7

15.

y = –6

16.

k = –2

17.

x=9

18.

m=2

19.

y = –9

20.

c = 12.5

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Core Connections en español, Curso 1

DISTANCIA, TASA Y TIEMPO Distancia (d) es igual al producto de la tasa de la velocidad (r) y el tiempo (t). Se muestra esta relación a continuación de tres formas: d = r ⋅ t          r = dt          t = dr Es importante que las unidades de medida sean consistentes. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 8.3.2 del texo Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1 Calcule la tasa de un coche de pasajeros, si la distancia recorrida es de 572 millas y el tiempo transcurrido es de 11 horas. 572 millas 572 millas = r ⋅ 11 millas ⇒ 11 horas = r ⇒ 52 millas/hora = tasa

Ejemplo 2 Encuentre la distancia recorrida por un tren a 135 millas por hora durante 40 minutos. Las unidades de tiempo no son los mismos así que tenemos que cambiar los 40 minutos a horas. 40 2 60 = 3 hora d = (135 millas/hora)( 23 hora) ⇒ d = 90 millas

Ejemplo 3 La corrida de hámsters de Central Middle School se acerca rápidamente. Fred dijo que su hámster viajó 60 pies en 90 segundos y Wilma dijo que midió el tiempo por un minuto y su hámster viajó 12 yardas. ¿Cuál hámster tiene la tasa más rápida? tasa = r = distancia pero todas las mediciones tienen que estar en las mismas unidades. En este tiempo ejemplo, usamos pies y minutos. El hámster de Fred:

tasa =

El hámster de Wilma:

tasa =

60 pies 1.5 minutos ⇒ tasa = 40 pies/minuto 36 pies ⇒ tasa = 36 pies/minuto 1 minuto

El hámster de Fred es más rápido.

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Core Connections en español, Curso 1

Problemas Resuelve los siguientes problemas. 1. Halle el tiempo si la distancia es de 157.5 millas y la velocidad es de 63 mph. 2. Halle la distancia si la velocidad es de 67 mph y el tiempo es de 3.5 horas. 3. Halle la tasa si la distancia es de 247 millas y el tiempo es de 3.8 horas. 4. Halle la distancia si la velocidad es de 60 mph y el tiempo es de 1 hora y 45 minutos. 5. Halle la tasa en mph si la distancia es de 3.5 millas y el tiempo es de 20 minutos. 6. Halle el tiempo en minutos si la distancia es de 2 millas y la velocidad es de 30 mph. 7. ¿Qué tasa es más rápido? A: 60 pies en 90 segundos o B: 60 pulgadas de 5 segundos 8. ¿Cuál distancia es más larga? A: 4 pies/segundo durante un minuto o B: 3 pulgadas/minuto durante una hora 9. ¿Qué tiempo es más corto? A: 4 millas a 60 mph o B: 6 millas a 80 mph

Respuestas 1.

2.5 hora

2.

234.5 mi

3.

65 mph

4.

105 mi

6.

4 min

7.

B

8.

A

9.

A

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5.

10.5 mph

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