Medidas de Tendencia Central En cualquier análisis o interpretación, se pueden usar muchas medidas descriptivas que representan las propiedades de tendencia central, variación y forma para resumir las características importantes de un conjunto de dato. Si se calculan estas medidas descriptivas globales a partir de una muestra de datos, se denominan estadísticos, en cambio, si se calculan para toda la población de los datos se denomina parámetros. Lo mas común en estadística es utilizar muestras en lugar de toda la población es por lo que será mas común el uso de estadísticos antes que parámetros.

Medidas de Tendencia Central La mayor parte de los conjuntos de datos muestra una tendencia bien determinada a a agruparse o aglomerarse alrededor de cierto punto central. Así, para cualquier conjunto específico de datos, casi siempre se puede seleccionar algún valor típico, o promedio, para describir todo el conjunto. Este valor típico descriptivo es una medida de tendencia central o ubicación. Los cinco tipos de promedios que se utilizan con frecuencia como medidas de tendencia central son la moda, la media aritmética, la mediana, el rango medio (o centro de recorrido) y el eje medio.

Moda Es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Los valores extremos no afectan a la moda. La moda se utiliza para fines descriptivos, porque varía más entre muestras que otras medidas de tendencia central.

Media Aritmética Es conocida también con el nombre de media, es el promedio o medida de tendencia central que se utiliza con mayor frecuencia. Se calcula con la suma de todas las observaciones en un conjunto de datos, dividida entre el número de elementos involucrados. Así, para una muestra que contiene n observaciones, X1, X2, X3, X4, X5, …………., Xn, la media aritmética se puede describir como:

̅ De manera simplificada podemos representar la formula anterior de la siguiente manera:

Dónde:

Debido a que el cálculo de la media aritmética se basa en todas las observaciones, cualquier valor extremo afecta mucho a la media aritmética. En este caso, la media aritmética es una representación distorsionada de lo que trasmiten los datos; entonces, la media no es el mejor promedio para describir o resumir un conjunto de datos que tiene valores extremos.

Mediana Es el valor medio de un arreglo ordenado de datos. Si no hay empates, la mitad de las observaciones será menor y la mitad mayor. Ninguna observación extrema en un conjunto de datos afecta a la mediana. En consecuencia, siempre que una observación extrema esté presente, es adecuado usar la mediana en lugar de la media aritmética para describir el conjunto de datos. Para calcular la mediana de un conjunto de datos, primero se organizan en un arreglo ordenado. Entonces la mediana puede obtenerse como: La mediana es el valor tal que 50% de las observaciones son menores y 50% de ellas son mayores.

Esta ecuación se utiliza para encontrar el lugar de orden correspondiente a la mediana en el arreglo ordenado, según una de dos reglas siguientes: Regla 1.- Si el tamaño de la muestra es un número impar, entonces la mediana está representada por el valor numérico que corresponde a la posición encontrada con la ecuación anterior. Regla 2.- Si el tamaño de la muestra es número par, entonces la posición se encuentra entre las dos observaciones que están a la mitad del arreglo ordenado. La mediana es el promedio de los valores numéricos de estas dos observaciones.

Ejercicios de frecuencias y medidas de tendencia central Ejercicio 1. Con los siguientes datos encontrar las medidas de tendencia central. 15

12

16

19

20

18

17

14

17

18

15

18

17

16

18

17

14

17

16

17

19

Moda: Para encontrar la moda buscamos el valor que mas se repite, es decir el valor que tiene la mayor frecuencia relativa, este valor es el 17 ya que se repite 6 veces. Media Aritmética: La media aritmética la encontramos sumando todos los valores y dividiendo para el total de valores, es decir:

Mediana: Antes de encontrar la mediana debemos ordenar los datos en orden accedente : Dato

Orden

12

1º

14

2º

14

3º

15

4º

15

5º

16

6º

16

7º

16

8º

17

9º

17

10º

17

11º

17

12º

17

13º

17

14º

18

15º

18

16º

18

17º

18

18º

19

19º

19

20º

20

21º

Una vez ordenados los datos procedemos a encontrar el lugar de orden de la mediana con la formula siguiente:

Donde n es el número de datos, en este caso 21, por lo tanto:

Es decir la mediana tiene el lugar de orden 11º que corresponde al valor de 17, entonces la mediana es:

Ejercicio 2. Encontrar la mediana de los siguientes datos: 5

4

3

7

8

9

10

3

2

9

Ordenamos los datos en orden accedente. Dato

Orden

2

1º

3

2º

3

3º

4

4º

5

5º

7

6º

8

7º

9

8º

9

9º

10

10º

Como se trata de un caso que tiene 10 elementos y este es un número par, aplicamos la regla 2 de la mediana. Encontramos el lugar de orden de la mediana.

Esto nos indica que la mediana se encuentra entre el 5º y 6º lugar de orden es decir entre 5 y 7. Para encontrar la mediana realizamos la siguiente operación:

Ejercicio de medidas de tendencia central a partir de una tabla de frecuencias Con los datos de estatura dada en cm. en la siguiente tabla encontrar las medidas de tendencia central. Datos X

Frecuencia Relativa (f)

161

2

162

4

163

5

164

7

165

8

166

9

167

11

168

12

169

10

170

7

171

5

172

4

173

4

174

3

175

2

176

2

177

1

178

1

Total de datos n =

97

Moda: La moda es igual al valor que más se repite y es el de mayor frecuencia por lo tanto:

Media aritmética: Para encontrar la media aritmética tenemos que utilizar la siguiente formula:

Que es lo mismo que:

Por lo tanto deberemos sumar todos los datos es decir, dos 161, cuatro 162, cinco 163 y así sucesivamente hasta un 178 y este resultado dividirlo para el total de datos que es 97 y obtendremos la media aritmética. (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

Mediana: Para encontrar la mediana debemos encontrar el lugar de orden de esta de la siguiente manera:

Ya que los datos ya se encuentran ordenados en forma accedente en la tabla y con su respectiva frecuencia, es decir el 1º lugar corresponde a 161 cm., el 2º lugar también corresponde a 161 cm., el 3º lugar a 162 cm., el 4º a 162 cm., y así sucesivamente. Por lo tanto, para encontrar el valor correspondiente al 49º lugar es necesario encontrar la frecuencia absoluta de los datos.

)

Obteniendo la frecuencia absoluta tenemos: Datos X

Frecuencia Relativa (f)

Frecuencia Absoluta (F)

161

2

2

162

4

6

163

5

11

164

7

18

165

8

26

166

9

35

167

11

46

168

12

58

169

10

68

170

7

75

171

5

80

172

4

84

173

4

88

174

3

91

175

2

93

176

2

95

177

1

96

178

1

97

En la tabla anterior vemos que hasta el valor de estatura igual a 167 cm. tenemos 46 datos, por lo tanto, el dato 47º, 48º, 49º, etc. corresponden a un valor de estatura de 168 cm. Es decir, la mediana corresponderá a un valor de 168 cm.