MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. MEDIA ARITMÉTICA. Es la medida más conocida y también es llamada “promedio” se obtiene sumando todos los valores de la muestra o población, dividida entre el total de elementos que contiene la muestra o población. _ Para representar esta operación usaremos la notación algebraica x , algunas veces será para una muestra y otras para una población. El procedimiento es el mismos, sólo cambia la notación. La fórmula para calcular la media aritmética de una muestra es:

n xi ∑ _ i = 1 x= n

xi =Indica un valor específico.

∑ = Letra griega “sigma” indica la operación de suma.

Donde: −

x = Media aritmética.

∑xi = Indica la suma de todas las “x”. n = Es el número total de valores en la muestra.

La fórmula para calcular la media de una población es: N

∑ xi i µ = =1 N Donde:

µ = Media poblacional. xi =Indica un valor específico.

∑ = Letra griega “sigma” indica la operación de suma. ∑xi = Indica la suma de todas las “x”. N = Es el número total de valores en población.

Ejemplo 1: Se tiene una muestra de cinco observaciones que representan las edades de personas que acuden a un teléfono público durante una hora (10, 54, 21, 33, 53). Calcular la edad promedio Solución: n

_

x=

∑ xi i =1

n

=

x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 5

=

10 + 54 + 21 + 33 + 53 171 = = 34.2 años. 5 5

Donde: x1 = 10, x2 = 54, x3 = 21, x4 = 33, x5 = 53

5

_

x=

∑ xi i =1

5

Ejemplo 2: Los datos de la siguiente tabla, representan los valores de la glucosa contenida en la sangre extraída a 10 niños en ayunas. Xi

Valor Xi

Valor

1

56

6

65

2

62

7

65

Calcular la media aritmética 10

_

3

63

8

68

4

65

9

70

5

65

10

72

x=

∑ xi i =1

10

=

56 + 62 + 63 + 65 + 65 + 65 + 65 + 68 + 70 + 72 651 = = 65.1 10 10

Ejemplo3: Los honorarios de cinco médicos que ejercen en cierta área de la ciudad, reportan los siguientes valores: 150, 180, 200, 250 y 300 pesos. Calcular el valor promedio. 5

_

x=

∑ xi i =1

5

=

150 + 180 + 200 + 250 + 300 1080 = = 216 Pesos. 5 5

MEDIA PONDERADA. Una empresa comercial paga a sus vendedores, $ 6.50, $ 7.50 ó $ 8.50 (Dólares) por hora. Podría llegarse a la conclusión de que la media de los sueldos (por hora), es de $ 7.50, obtenido al calcular ($ 6.50 + $ 7.50 + $ 8.50) / 3. Esto es cierto sólo si hay el mismo número de vendedores que perciben $6.50, $7,50 $8.50. Sin embargo supóngase que 14 empleados ganan $6.50, 10 empleados se les paga $7.50 y 2 empleados obtienen $8.50. Para encontrar la media ponderada, $ 6.50 se pondera (multiplica) por 14, $7.50 se pondera por 10 y $8.50 se pondera por 2, se suman estos tres productos y se dividen entre 26 =(14+10 +2) trabajadores. En general la media ponderada de un conjunto de números denotados por: x1….x2….x3……….xn, con las ponderaciones correspondientes a w1….w2….w3…………wn, por lo que la media se calcula en la siguiente forma. En forma simplificada:

x w + x 2w 2 + x3w3 + x 4w 4 + x5w5 x= 1 1 w1 + w 2 + w 3 + w 4 + w 5

n

_

_

x=

∑ xiw

i

i =1 n

∑w i =1

i

Solución al problema anterior: w1 = 14

x1 = 6.50

w2 = 10

x2 = 7.50

w3 = 2

x3 = 8.50

De acuerdo a la fórmula: _

x=

14(6.50) + 10(7.50) + 2(8.50) 183 = = $7.038 14 + 10 + 2 26

La media aritmética de una muestra presenta la desventaja de ser afectada de manera importante por la presencia de datos (xi) que sean muy grandes o muy pequeños respecto a los restantes datos de la muestra, por tal razón la media aritmética es una medida de tendencia central poco confiable. Existe otra medida de tendencia central que no tiene la desventaja de ser afectada por los datos extremos de la población, esta es la mediana.

MEDIANA. La mediana de una muestra x1, x2, x3...xn, es el número que se encuentra en el centro o punto medio, una vez que los datos han sido ordenados de manera creciente. Propiedades de mediana. 1ª.- La mediana es única. 2ª.- Es fácil de calcular. 3ª.- No es afectada por los valores extremos de la muestra (grandes o pequeños).

Para determinar la mediana de la muestra x1, x2, x3...xn se tienen dos casos: Primer caso. Si el número de observaciones es impar. Se deberá elegir al término que divide a la muestra en dos partes iguales. Ejemplo: A continuación se muestra del número de minutos utilizados para realizar una llamada en un teléfono móvil; 7min, 2min, 4min, 8min y 15min. Calcular el valor de la mediana. Solución: Ordenando los valores de menor a mayor obtenemos: 2, 4, 7, 8, 15 min. Para localizar la mediana utilizamos la siguiente expresión: Mediana =

n +1 2

Donde “n” es el número de elementos de la muestra. Por lo tanto en nuestro caso n = 5 5 +1 6 = =3 2 2 Observando la muestra vemos que la posición 3 le corresponde a 7min, el cual es el valor de la mediana. Mediana =

Segundo caso. Si el número de observaciones es “par” Se eligen dos valores centrales y se calcula la media de estos dos valores.

Mediana =

n1 + n2 2

Donde:

n1 Es el primer valor central. n 2 Es el segundo valor central.

Ejemplo: La siguiente muestra contiene los minutos que duro una revisión médica en un hospital del gobierno 35, 29, 30, 25, 32, y 35 (en minutos). ¿Cuál es la mediana? Solución: Procedemos a ordenarlos, recordando que la mediana es el número que se encuentra en el centro o punto medio, una vez que los datos han sido ordenados de manera creciente. 25, 29, 30, 32, 35 y 35.

n1 =30 y n 2 =32 n + n2 Mediana = 1 2

la mediana se localiza entre los números 30 y 32, por lo que:

Mediana =

30 + 32 62 = = 31 2 2

MODA. Es el valor que más veces se repite en una muestra o población, pero si existen dos valores que se repiten igual número de veces, decimos que la muestra es bimodal y si son tres veces entonces es trimodal…etc. Propiedades de la moda. 1ª.- No es afectada por los valores extremos. 2ª.- Puede utilizarse como medida central. 3ª.- Cuando no hay valores repetidos “no existe Moda”.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (EN DATOS AGRUPADOS). Para datos agrupados estas medidas no se pueden calcular exactamente, sin embargo a partir de las tablas de distribución de frecuencia es posible efectuar una estimación adecuada de las medidas de tendencia central. La media aritmética se puede calcular de la siguiente manera:

n n ( fi )( mi ) (fi)(mi) ∑ ∑ _ = i 1 i = 1 x= n = n ∑ (fi) i=1 Donde: −

x = Media aritmética.

∑ = Letra griega “sigma” indica la operación de suma. n = Es el número total de valores en la muestra. fi= frecuencia de la clase i. mi= marca de clase i. La mediana se puede calcular de la siguiente manera: Caso 1 impar:

si “n” es un número

Mediana = Lri M +

Ac  n + 1  − fa M   fM  2 

Donde: La clase mediana es aquella categoría que contiene n +1 al dato cuyo índice es si el número de datos es 2 n impar y si el número de datos es par. 2

Lri M es el límite real inferior de la clase mediana. Ac es la amplitud de la clase mediana. Caso 2 si “n” es un número par:

Mediana = Lri M +

Ac  n   − fa M  fM  2 

f M es la frecuencia de la clase mediana.

fa M es la frecuencia acumulada de las clases que se encuentran antes de la clase mediana.

La moda se puede calcular de la siguiente manera:  ∆f 1  Mo = Lri Mo + Ac   ∆f 1 + ∆f 2 

Donde: La clase modal se encuentra en la categoría donde fi es máxima.

LriMo es el límite real inferior de la clase modal. Ac es la amplitud de la clase modal. ∆f 1 es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase contigua anterior. ∆f 2 es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase contigua posterior.

Ejemplo resuelto 1. La siguiente tabla muestra los datos correspondientes al número de clientes que acudieron al “CAFÉ INTERNET INN” durante 40 días. Tabla de distribución de frecuencias

Clase N° 1 2 3 4 5 6

Límites de clase Li Ls 10 14 15 19 20 24 25 29 30 34 35 39

Límites reales de clase Lri Lrs 9.5 14.5 14.5 19.5 19.5 24.5 24.5 29.5 29.5 34.5 34.5 39.5

Frecuencia fi 7 5 11 2 10 5 40

Frecuencia relativa fri 0.175 0.125 0.275 0.05 0.25 0.125

marca de clase mi 12 17 22 27 32 37

frecuencia acumulada fai 7 12 23 25 35 40

frecuencia relativa acumulada frai 0.175 0.3 0.575 0.625 0.875 1

Determinar la media, la mediana y la moda. Media aritmética.

n _ ∑ (fi )(mi) x = i=1 n _ (7)(12) + (5)(17) + (11)( 22) + ( 2)( 27) + (10)(32) + (5)(37) 84 + 85 + 242 + 54 + 320 + 185 x= = 40 40 _ 970 x= = 24.25clien tes. 40

La mediana. Como “n” es el número total de valores de la muestra n=40, entonces utilizaremos la fórmula para un número par:

Mediana = Lri M +

Ac  n   − fa M  fM  2 

n 40 = = 20 , en la frecuencia acumulada el veinteavo dato se encuentra en la clase 3 y esta 2 2 representa la clase mediana.

Mediana = Lri M +

Mediana = 19.5 +

Ac  n   − fa M  fM  2  5  40

5 40   − 12  = 19.5 + ( 20 − 12) = 19.5 + = 19.5 + 3.63 = 23.13 11  2 11 11 

Mediana=23.13 clientes.

La moda. Como la moda se encuentra en la categoría de mayor fi, en este caso será la clase 3 ya que es la de mayor fi=11

 ∆f 1  Mo = Lri Mo + Ac   ∆f 1 + ∆f 2 

  11 − 5  6  6  = 19.5 + 5 Mo = 19.5 + 5  = 19.5 + 5  = 19.5 + 2 = 21.5 6 + 9  15   (11 − 5) + (11 − 2) 

Moda=21.5 clientes.