Clase 1. Simulaci´on de procesos estoc´asticos.

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Introducci´ on

De un modo muy general, podemos decir que la probabilidad es la disciplina que se ocupa del estudio de lo aleatorio (o estoc´astico) y que un proceso estoc´ astico es el estudio de lo aleatorio cuando se incorpora la variable tiempo. Por ejemplo, lo que sucede al lanzar una moneda no es un proceso estoc´astico; sin embargo, la secuencia de resultados obtenidos al lanzar una moneda varias veces seguidas s´ı que lo es. En el campo de las telecomunicaciones encontramos distintas ´areas que requieren del “control ”de lo aleatorio. Nos servimos de la teor´ıa de la se˜ nal para ilustrar el concepto de aleatorio en este campo. Una se˜ nal aleatoria es una onda en el tiempo que s´olo puede caracterizarse mediante la probabilidad. M´as concretamente, una se˜ nal de radio o televisi´on, cuya emisi´on est´a muy controlada, pues llegar al receptor con ciertas perturbaciones como pitidos de fondo o “nieve”en la imagen. La onda que se superpone a la emisi´on de la radio o de la televisi´on es una tensi´on que vista en el osciloscopio fluct´ ua aleatoriamente (sin un patr´on espec´ıfico) en el tiempo. Esta onda se denomina ruido. La se˜ nal anterior es inherente a cualquier emisi´on considerada en el campo de la telecomunicaci´on y no es en absoluto deseable, es un “mal”con el que se convive. Ahora bien, tambi´en hay se˜ nales aleatorias deseables, como puede ser la sucesi´on de ceros y unos (bits) que transmite un ordenador, la energ´ıa el´ectrica producida por un aerogenerador, la se˜ nal producida por un detector solar, etc. El hecho de que las se˜ nales anteriores sean aleatorias se debe a que hay fen´omenos aleatorios que las generan, como la fuente de informaci´on a la que accede el ordenador, la velocidad del viento o las condiciones meteorol´ogicas. Ejercicio 1: Generar un ruido con R. Consideramos el experimento de lanzar una moneda en el que asignamos el valor 1 al suceso “salir cara ”y el valor -1 al suceso “salir cruz ”. 1) ¿Qu´e distribuci´on sigue esta variable? 2) Si repetimos n veces el experimento, ¿qu´e distribuci´on sigue la variable “n´ umero de caras obtenidas”? 3) Genera 200 realizaciones de esta variable y gu´ardalas en un vector denominado “ruido”. 4) Representa la realizaci´on del proceso. 1

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Procesos estoc´ asticos

Antes de dar la definici´on conviene recordar que las distintas ocurrencias del azar para un experimento aleatorio concreto constituyen el espacio muestral, que se representa con la letra Ω y cada una de estas ocurrencias la denotamos con la letra ω. En el contexto de procesos estoc´asticos, no es necesario determinar, en general, qu´e elementos constituyen Ω simplemente se incluye por conveniencia notacional y por dejar constancia de que el azar act´ ua. Un proceso estoc´astico es una sucesi´on de variables aleatorias {X(t, ω)} que dependen de dos variables, t que representa su evoluci´on en el tiempo, y w, que es un suceso elemental de un espacio muestral Ω. As´ı, para cada valor ω se tiene una sucesi´on infinita de valores a lo largo del tiempo que se denomina realizaci´ on del proceso. Por otra parte, fijado un instante t, para distintas ocurrencias en Ω se tienen distintos valores de la variable X y esto se denomina muestra. En lo sucesivo, al igual que se hace con una variable aleatoria, se escribir´a un proceso estoc´astico {Xt } sin hacer expl´ıcita su dependencia con el azar. El espacio muestral Ω es desconocido en general y tampoco es necesario determinarlo para trabajar con procesos, su u ´nico papel es el de hacer presente la acci´on del azar. Ejemplo: Consideremos el lanzamiento de una moneda infinitas veces, esto es, una sucesi´on infinita de ensayos de Bernoulli. El resultado de este proceso es una sucesi´on infinita de ceros y unos (cero cruz, uno cara) que denotamos as´ı (Xn1 ). El super´ındice 1 se refiere a que es la primera realizaci´on de este proceso, porque ahora vamos a volver a empezar de cero y vamos a lanzar una moneda infinitas veces. Aunque el proceso es el mismo, la secuencia de ceros y unos no ser´ a la misma, obviamente, por efecto del azar. El resultado de este proceso lo denotamos (Xn2 ). Volvemos a repetir el lanzamiento infinito de monedas tantas veces como queramos, de esta manera estamos creando una sucesi´on de realizaciones del proceso lanzar una moneda infinitas veces: (Xn1 ), (Xn2 ), (Xn3 ), . . .

realizaci´on 1 : realizaci´on 2 : realizaci´on 3 : .. .

instante 1 X11 X12 X13 .. .

instante 2 X21 X22 X23 .. .

realizaci´on m : .. .

X1m .. .

X2m .. . 2

instante 3 · · · X31 ··· 2 X3 ··· X33 ··· .. .. . . X3m ··· .. .. . .

instante m · · · 1 Xm ··· 2 Xm ··· 3 Xm ··· .. .. . . m Xm ··· .. .. . .

Ejercicio 2: Generar distintas realizaciones de un proceso estoc´astico. Consideramos de nuevo el experimento del ejercicio 1. 1.- En primer lugar, realizaremos el estudio sin utilizar el ordenador a) Escribe y dibuja todas las realizaciones de tama˜ no 3 que puede generar este ruido. b) Calcula la distribuci´on de probabilidad de las variables Xi : “i-´esimo resultado del ruido” c) Estudia la independencia de las tres variables. 2.- Ahora repetiremos el estudio simulando en R. a) Genera 100 realizaciones de tama˜ no 200 del ruido anterior. Guarda la simulaci´on en una matriz, A, en la que las filas representen las realizaciones y las columnas los instantes de tiempo. b) Representa 4 de estas realizaciones en una misma pantalla. c) A partir de la definici´on frecuentista de la probabilidad, comprueba que se cumplen los resultados del apartado 1b) en un par de instantes, cualesquiera.

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Convergencia. Resultados l´ımite

La disposici´on de un proceso estoc´astico por filas y columnas presentada en la secci´on anterior junto con la simulaci´on realizada en el ejercicio 2 nos permitir´a escribir algunos resultados l´ımite fundamentales tanto desde el punto de vista te´orico como pr´actico. Observa que si fijas un instante de tiempo t, est´as tomando una columna de observaciones, esto es: (Xt (ω1 ), Xt (ω2 ), . . . , Xt (ωn )); donde n se refiere al n´ umero de realizaciones. Puesto que t es siempre el mismo valor y estos datos var´ıan seg´ un la realizaci´on del azar y supondremos que estas realizaciones son independientes entre s´ı, podemos escribir el vector anterior del siguiente modo: (X1 , X2 , . . . , Xn ). Esto es una muestra aleatoria simple de la variable X(t, w) que, en el contexto en el que nos encontramos ya la podemos denotar X. Por otra parte, de esta variable 2 , as´ aleatoria nos interesa conocer media µX , y varianza, σX ı como su distribuci´on. Recordar´as del curso de estad´ıstica b´asico algunos resultados importantes sobre muestras: 1. La variable X n =

n X

Xi /n es un “buen”estimador del par´ametro media.

i=1

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2. X n → µ: cuanto mayor es n, m´as se aproxima a la media, en dos sentidos: (a) Ley d´ebil: P (|X n − µ| > ε) → 0 (b) Ley fuerte: P (X n → µ) = 1 3. Teorema Central del l´ımite: Conforme n crece, X n ∼ N (µ, σ 2 /n). NOTA IMPORTANTE: Observa que si en lugar de fijar t, fijamos ω, estamos considerando una realizaci´on del proceso y el azar ha actuado una sola vez, los valores de la realizaci´on se deben tratar de modo determinista. Observa el siguiente cuadro: fijado t, X(t, ω) = Xt Xt es una variable aleatoria E[Xt ] tiene sentido

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fijado ω, X(t, ω) = x(t) x(t) es una realizaci´on Z T 1 A(t) = limT →∞ x(t)dt 2T −T

Clasificaci´ on de procesos

En estad´ıstica b´asica se distingue entre variables aleatorias discretas y continuas. Aunque el concepto de distribuci´on de probabilidad, esperanza y varianza es el mismo, el tratamiento matem´atico de las variables es distinto seg´ un la naturaleza de la variable. Con los procesos estoc´asticos sucede algo an´alogo, deberemos distinguir si la informaci´on que proporcionan es discreta o continua y si el tiempo es continuo o solo realizamos observaciones a intervalos regulares de tiempo. t/X discreto continuo

discreta secuencia aleatoria discreta lanzamiento de una moneda proceso aleatorio discreto corriente en un circuito

continua proceso discreto en el tiempo colesterol en sangre proceso aleatorio continuo ruido t´ermico de red

Ejercicio 3 Clasificaci´on mediante gr´aficos. Simula con R una realizaci´on de longitud 200 para cada uno de los siguientes procesos. Cada uno pertenece a uno de los cuatro grupos considerados previamente. a) El n´ umero esperado de llamadas telef´onicas que llegan por minuto a una centralita es de 10. Simula una realizaci´on del proceso que cuenta el n´ umero de llamadas hasta el minuto i, con i = 1, . . . , 100. Consideramos la hip´otesis 4

habitual de que el n´ umero de llamadas por unidad de tiempo se comporta como una Poisson. b) Un observatorio meteorol´ogico realiza mediciones cada 5 minutos de la temperatura en el exterior en un d´ıa caluroso de agosto en el que no hay grandes alteraciones climatol´ogicas. Simula una realizaci´on del proceso de 100 observaciones, sabiendo que en todo ese tiempo la temperatura tiene un comportamiento normal de media 36 y desviaci´on t´ıpica 1. c) Un parque e´olico tiene un potente anem´ometro que mide permanentemente la velocidad del viento en metros por segundo. Durante un seguimiento continuo de una hora, observamos velocidades que se comportan como una distribuci´on gamma de par´ametros α = 2 y β = 2. Simula una realizaci´on de este proceso. d) El sistema de alarma de un edificio tiene un sensor que transmite la se˜ nal 0 mientras no detecta una intensidad de corriente superior a 20 amperios, en el momento que lo detecta transmite un valor igual a uno. Suponemos que la intensidad de corriente, I, se comporta como una exponencial trasladada 15 unidades. Esto es, I = 15 + X, donde X ∼ ξ(0.25). Simula el proceso que representa la se˜ nal emitida durante una hora

Anexo: comandos de R para tratar distribuciones de probabilidad. Primeras instrucciones que permitan aprovechar sus posibilidades como lenguaje para programar problemas de simulaci´on. COMANDO rnorm(n, µ, σ) rbinom(m, n, p) rpois(n, λ) rexp(n, λ) rgamma(m, n, λ)

COMANDOS DE R ´ FUNCION genera n realizaciones de una v.a. N (µ, σ). genera m realizaciones de una Bi(n, p). genera n realizaciones de una v.a. ℘(λ). genera n realizaciones de una v.a. ξ(λ). genera n realizaciones de una v.a. E(n, λ).

Observa que el comando es el nombre abreviado de la distribuci´on precedido de la letra r. Existen otros tres comandos que se escriben precediendo las letras d, p y q al nombre abreviado de la distribuci´on y proporcionan, respectivamente, la funci´on de distribuci´on de masa o densidad, la funci´on de distribuci´on acumulada y el cuartil. En el siguiente cuadro escribimos su significado con expresiones probabil´ısticas, seg´ un la variable X sea discreta o continua (suponemos X ∼ Bi(20, 0.4) e Y ∼ N (0, 1) y z es un valor entre 0 y 1). 5

Figure 1: Ejercicio 3

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COMANDOS DE R DISCRETA CONTINUA dbinom(x, n, p) = P (X = x) dnorm(y, µ, σ) = f (y) pbinom(x, n, p) = P (X ≤ x) pnorm(y, µ, σ) = P (Y ≤ y) = P (Y < y) P (X ≤ qbinom(z, n, p)) = z P (Y ≤ qnorm(z, µ, σ)) = z Ejercicio 4 Indica qu´e se consigue con el siguiente programa en R repeticiones