Colegio BOLIVAR

ÁREA DE MATEMÁTICAS

Geometría Lady Arismandy Cohete - AVANZAR

GRADO

8

PRIMER PERIODO

2008

PRIMER periodo GEOMETRÍA

ALGEBRA

MATEMÁTICAS

PRESABERES • Aproximación histórica. La historia del origen de la geometría está asociada a la solución de problemas concretos, es decir, los conceptos de la geometría son consecuencia de las actividades prácticas que realizaba el hombre. Una de estas actividades era la medición de la Tierra, de allí el origen etimológico de la palabra geometría: geo, tierra y metrón tierra. Los egipcios son considerados los primeros geómetras de la historia, ellos se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes. La geometría se convierte en un sistema deductivo con los griegos, pero es sobre todo al matemático griego Euclides, a quien se deben las primeras demostraciones rigurosas y organizadas. Euclides es famoso por su obra titulada los Elementos, la cual está constituida por 13 libros que se han utilizado como textos de estudio por cerca de 2000 años. Otros matemáticos que han hecho aportes importantes a la geometría son: Pitágoras (580 a. de C), Arquímedes (287 a. de C.) Riemann (1826-1866).

PRESABERES Un ángulo es la unión de dos semirrectas con un punto común. Las semirrectas son los lados del ángulo y el punto común es el vértice. Para nombrar un ángulo, se ubican dos puntos sobre las semirrectas y se nombran los tres puntos de tal manera que el vértice quede en el centro: ∠ABC . Por ejemplo, el ángulo dibujado se nombra ∠ABC . También puede usarse la letra que corresponde al vértice ∠B o una letra griega como α .

102

Colegio BOLIVAR Para tener en cuenta: Dos ángulos que tienen la misma amplitud o abertura, se dice que son congruentes

MATEMÁTICAS

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS. Los ángulos se clasifican según su medida, según su suma, y según su posición. Ahora, según su medida los ángulos se clasifican de la siguiente manera:

ALGEBRA

Según su suma, los ángulos se clasifican de la siguiente manera: 103

Geometría

MATEMÁTICAS

PRIMER periodo

Según su posición los ángulos se clasifican en:

Para tener en cuenta: Complemento de un ángulo es lo que le falta para completar 90º. Suplemento de un ángulo es lo que le falta para completar 180º. Dos ángulos adyacentes son siempre suplementarios.

CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO

1. Construir con el transportador cada uno de los siguientes ángulos: a. 45º b. 76º c. 125º d.90º e. 36º f. 150º g. 176º h. 20º 2. De acuerdo con la siguiente figura nombrar ángulos para cada condición dada. a. agudo b. recto c. obtuso d. complementarios e. adyacentes. 104

Colegio BOLIVAR

MATEMÁTICAS

3. Medir los siguientes ángulos, luego, clasificarlos según su medida.

4. Construir el suplemento de cada uno de los siguientes ángulos.

Geometría

5. Escribir V, verdadero, F, falso, según corresponda. Para cada caso justifique su respuesta. a. Si dos ángulos son complementarios, entonces son agudos. b. Dos ángulos rectos son congruentes. c. Los complementos de ángulos congruentes son congruentes. d. Algunos ángulos adyacentes son suplementarios. e. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. 6. Los ángulos ∠PQR y ∠SQT son opuestos por el vértice. Hallar la medida de los cuatro ángulos indicados para cada condición. 105

Geometría

MATEMÁTICAS

PRIMER periodo

7. Resolver cada situación y justificar la respuesta. a. Dos ángulos son suplementarios y uno de ellos mide 40º más que el otro. ¿Cuál es la medida de cada ángulo? 2 b. la medida de un ángulo es de su complemento. ¿Cuál es la medida 3 de cada ángulo? CONCEPTUALIZACIÓN Una secante es una recta que corta dos o más rectas coplanarias (que están en un mismo plano) en puntos distintos. Rectas paralelas son aquellas que no tienen ningún punto en común, o son coincidentes. Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una secante, se forman ocho ángulos, los cuales se clasifican según posición. Ángulos determinados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal Dos rectas cualesquiera cortadas por una tercera determinan ocho ángulos.

106

Colegio BOLIVAR De acuerdo a la posición de los mismos se clasifican en: • Ángulos interiores y exteriores • Ángulos correspondientes • Ángulos alternos • Ángulos conjugados

MATEMÁTICAS

Ángulos interiores Los ángulos ubicados en la zona comprendida entre las rectas paralelas se llaman ángulos interiores.

Ángulos exteriores Los ángulos que no son interiores se denominan ángulos exteriores.

Geometría

Ángulos correspondientes Si dos ángulos están ubicados de un mismo lado de la transversal, uno es interior y el otro es exterior, se los llama ángulos correspondientes.

107

Geometría

MATEMÁTICAS

PRIMER periodo

Los ángulos correspondientes entre paralelas son iguales. Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos correspondientes iguales, las rectas son paralelas. Ángulos alternos internos Si dos ángulos están situados en distintos semiplanos con respecto a la transversal y ambos son internos, se los llama ángulos alternos internos.

Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales. Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos alternos internos iguales, las rectas son paralelas. Ángulos alternos externos Si dos ángulos están situados en distintos semiplanos con respecto a la transversal y ambos son externos, se los llama ángulos alternos externos

108

Colegio BOLIVAR

MATEMÁTICAS

Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales. Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos alternos externos iguales, las rectas son paralelas. PARA TENER EN CUENTA: • tes. • tes. •

Cada par de ángulos alternos interiores o internos son congruenCada par de ángulos alternos exteriores o externos son congruenCada par de ángulos correspondientes son congruentes.

CONCEPTUALIZACIÓN

Geometría

1. Señalar en cada gráfico, una pareja de ángulos con cada condición dada

109

PRIMER periodo

MATEMÁTICAS

2. En la siguiente figura, l II m, s y t son secantes. ∠1 = 35 º y ∠2 = 130º

Ahora, escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda

Geometría

3. En la figura l II m, t es una secante y ∠1 ≅ ∠2

Halla la medida de los siguientes ángulos y justifica la respuesta

110

Colegio BOLIVAR TRIÁNGULOS

MATEMÁTICAS

Un TRIÁNGULO es la región del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. Los puntos de intersección de las rectas son los vértices del triángulo. Los segmentos determinados por los vértices son los lados, los cuales se nombran con la misma letra del ángulo opuesto pero en minúscula.

Geometría

Según sus lados • Equilátero: tres lados iguales • Isósceles: dos lados iguales. • Escaleno: tres lados desiguales

Según sus ángulos • Acutángulo: tres ángulos agudos • Rectángulo: un ángulo recto • Obtusángulo: un ángulo obtuso

111

PRIMER periodo

Geometría

MATEMÁTICAS

Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. Disponiendo los ángulos del triángulo en forma consecutiva se obtiene un ángulo llano.

Propiedad del ángulo exterior

Teorema: Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos y se expresa de la siguiente manera:

a2 + b2 = c2

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente: El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

112

Colegio BOLIVAR

MATEMÁTICAS

Triángulo rectángulo Como se dijo anteriormente, el triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos. En este tipo de triángulo se llaman catetos a los lados que forman el ángulo recto, e hipotenusa al lado opuesto al ángulo recto. En el triángulo rectángulo se cumple un importante teorema, que es el Teorema de Pitágoras, el cual afirma:

Geometría

CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO

1. Nombrar todos los triángulos que aparecen en la siguiente figura

113

PRIMER periodo

3. En el triángulo ABC, ∠1 = 45 º y ∠2 = 128º . Hallar la medida de los tres ángulos interiores del triángulo ABC.

4. En el triángulo DEF, ∠F = 46 º y ∠E = 37 º . Hallar la medida de los siguientes ángulos: a. ∠D b. ∠1 c. ∠2 d. ∠3 e. ∠1 + ∠2 + ∠3

Geometría

MATEMÁTICAS

2. Verificar si puede construirse los triángulos con las características dadas. Justificar la respuesta.

5. Identificar las características de cada tipo de triángulo para completar la tabla.

114

Colegio BOLIVAR 6. Encontrar la medida de los ángulos sombreados en cada triángulo, a partir de la información dada en cada uno

MATEMÁTICAS

7. Una escalera de 3 metros de longitud se coloca contra la pared para alcanzar una ventana. Si el pie de la escalera está a 1 metro de la base de la pared. ¿A qué altura aproximadamente se encuentra la ventana?

BIBLIOGRAFIA

Geometría

http://www.escolar.com/avanzado/geometria008.htm http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/triangulos/ generalidades.asp http://www.mismates.net/matematicas/manipulables/geometria.htm http://www.escolar.com/avanzado/geometria010.htm http://www.comenius.usach.cl/webmat2/actividades/unidad7-actividades.htm http://carmesimatematic.webcindario.com/cuadernoactividadestercero. htm Álgebra y Geometría I. Autores: Mauricio Bautista, Diana Salgado y otros. Editorial Santillana. Matemática Constructiva 8. Autores: Gustavo Centeno, Hollman Centeno y otros. Editorial: Libros Y Libres S.A. 115