Story Transcript
COLEGIO DE BACHILLERES SECRETARÍA ACADÉMICA COORDINACIÓN DE ADMINISTRACIÓN ESCOLAR Y DEL SISTEMA ABIERTO COMPENDIO FASCICULAR
MATEMÁTICAS I FASCÍCULO 1. ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA FASCÍCULO 2. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS FASCÍCULO 3. ECUACIONES: MODELOS GENERALIZADORES
DIRECTORIO Roberto Castañón Romo Director General Luis Miguel Samperio Sánchez Secretario Académico Héctor Robledo Galván Coordinador de Administración Escolar y del Sistema Abierto
Derechos reservados conforme a la Ley © 2000, COLEGIO DE BACHILLERES Prolongación Rancho Vista Hermosa núm. 105 Col. Ex Hacienda Coapa Delegación Coyoacán, CP 04920, México, D.F. ISBN 970-632-202-7 Impreso en México Printed in México Primera edición:3000
PRESENTACIÓN GENERAL
El Colegio de Bachilleres en respuesta a la inquietud de los estudiantes por contar con materiales impresos que faciliten y promuevan el aprendizaje de los diversos campos del saber, ofrece a través del Sistema de Enseñanza Abierta este compendio fascicular; resultado de la participación activa, responsable y comprometida del personal académico, que a partir del análisis conceptual, didáctico y editorial aportaron sugerencias para su enriquecimiento y así aunarse a la propuesta educativa de la Institución. Por lo tanto, se invita a la comunidad educativa del Sistema de Enseñanza Abierta a sumarse a este esfuerzo y utilizar el presente material para mejorar su desempeño académico.
P RE S E NTACI Ó N DE L CO M P E NDI O FAS CI CULAR
.
Estudiante del Colegio de Bachilleres te presentamos este compendio fascicular que servirá de base en el estudio de la asignatura “Matemáticas I” y funcionará como guía en tu proceso de Enseñanza-Aprendizaje. Este compendio fascicular tiene la característica particular de presentarte la información de manera accesible, propiciando nuevos conocimientos, habilidades y actitudes que te permitirán el acceso a la actividad académica, laboral y social. Cuenta con una presentación editorial integrada por fascículos, capítulos y temas que te permitirán avanzar ágilmente en el estudio, comprensión y aplicación de los diferentes métodos y lenguajes matemáticos, enfocados al estudio y solución de fenómenos o problemas, así como en el descubrimiento de la utilidad de las matemáticas para conocimiento de la realidad.
COLEGIO DE BACHILLERES
MATEMÁTICAS I
FASCÍCULO 1. ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
Autores: Raúl E. de la Rosa Macías Ma. Guadalupe Lucio Javier Páez Alejandro Rosas Snell Juan Zúñiga Contreras
1
2
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
5
SIMBOLOGÍA
7
CAPÍTULO 1. ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
9
PROPÓSITO
11
1.1 OPERANDO CON LOS NÚMEROS REALES
13
1.1.1 ORÍGENES DE ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
13
1.1.2 MÉTODOS Y ALGORITMOS PARA OPERAR CON NÚMEROS DE DIFERENTES SISTEMAS
19
1.1.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES Y ALGORITMOS DE LOS NÚMEROS REALES (R )
23
1.1.4 LOS NÚMEROS ENTEROS (Z ) 1.1.5 LOS NÚMEROS RACIONALES (Q )
31 41
1.1.6 LOS NÚMEROS IRRACIONALES (Q’ )
55
1.2 OPERACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN
59
3
RECAPITULACIÓN
66
ACTIVIDADES INTEGRALES
67
AUTOEVALUACIÓN
69
CAPÍTULO 2. DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA
71
PROPÓSITO
73
2.1 MÉTODOS ARITMÉTICOS
75
2.1.1 MÉTODO POR ENSAYO Y ERROR 2.1.2 RAZONES Y PROPORCIONES 2.1.3 DIAGRAMAS DE OPERACIONES 2.2 MODELOS ALGEBRAICOS
76 80 87 93
RECAPITULACIÓN
102
ACTIVIDADES INTEGRALES
103
AUTOEVALUACIÓN
104
RECAPITULACIÓN GENERAL ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
106 107
AUTOEVALUACIÓN
111
ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN
114
GLOSARIO
115 116 4
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
INTRODUCCIÓN
La Aritmética, como elemento de la cultura matemática se desarrolló a partir de la necesidad de operar con números, si bien es imposible establecer con exactitud el momento en el cual esta necesidad se generalizó podemos afirmar que, en la actualidad, una gran parte de las disciplinas científicas y de las actividades cotidianas tiene que ver con el conocimiento matemático, por lo menos en sus aspectos básicos, sólo por mencionar algunos ejemplos: en el cálculo de áreas, si queremos construir una casa, en los estados financieros y contables de las empresas, en las estadísticas de distintos fenómenos, en la información periodística, de noticias en la radio y televisión, etc. Al plantear las reflexiones anteriores, nos introducimos al desarrollo de algunos métodos, algoritmos y procedimientos que nos permite comprender la importancia de adquirir un nivel eficaz de operatividad con los números, para facilitar así la resolución de problemas aritméticos y algebraicos, para este fascículo se estudiará. En el primer capítulo una breve semblanza sobre el origen de algunos sistemas de numeración, además aprenderás a desarrollar la operatividad de los números reales con signos de agrupación con base enlas experiencias que tienes sobre el conocimiento y manejo de las operaciones fundamentales de la aritmética. En el segundo capítulo estudiarás Métodos Aritméticos y Algebraicos que te ayudarán en la solución de problemas. A continuación encontrarás un diagrama temático estructural cuya función es que conozcas e identifiques los puntos que vas a estudiar.
5
NÚMEROS REALES para resolver operaciones
APLICANDO LAS PROPIEDADES DE CAMPO
SUPRIMIENDO SIGNOS DE AGRUPACIÓN
y resolver PROBLEMAS ARITMÉTICOS
para generalizar LOS MODELOS ALGEBRAICOS
6
SIMBOLOGÍA
A continuación se enlistan los símbolos que vas a utilizar para este fascículo: FR = Conjunto de números reales Q = Conjunto de los números racionales Q= Conjunto de los números irracionales Z = Conjunto de los números enteros Z+= Conjunto de números enteros positivos Z-= Conjunto de números enteros negativos IN = Conjunto de los números naturales
7
8
CAPÍTULO 1
ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA 1.1 OPERANDO CON LOS NÚMEROS REALES 1.1.1 Orígenes de Algunos Sistemas de Numeración 1.1.2 Métodos y Algoritmos para Operar con Números de Diferentes Sistemas. 1.1.3 Propiedades de las Operaciones y Algoritmos de los Números Reales (R ) 1.1.4 Los Números Enteros (Z ) 1.1.5 Los Números Racionales (Q ) 1.1.6 Los Números Irracionales (Q’)
1.2 OPERACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN
9
10
PROPÓSITO
Con el estudio de este capítulo operarás con los números reales y aplicarás las propiedades de sus operaciones que ya conoces. ¿QUÉ APRENDERÁS? A identificar métodos, técnicas y procedimientos que te faciliten resolver problemas de carácter numérico. ¿CÓMO LO LOGRARÁS? Por medio de un breve bosquejo histórico del surgimiento de algunos sistemas numéricos y su relación con la necesidad de contar y medir que la humanidad ha enfrentado, además conocer las características principales de estos sistemas nos permitirá observar las ventajas de utilizar el sistema decimal para presentar y operar con los números reales. ¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR? Para resolver operaciones con mayor rapidez y eficacia, esto con la finalidad de que reflexiones acerca del uso de las propiedades de las operaciones, como éstas que simplifican el trabajo operativo, y además nos permiten establecer algoritmos. También desarrollarás habilidades que te ayudarán a iniciar el estudio del álgebra.
11
12
CAPÍTULO 1 ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
1.1 OPERANDO CON LOS NÚMEROS REALES En este tema estudiarás las principales características de algunos sistemas numéricos como: El egipcio, el romano, el maya y el decimal, así como algunos métodos y algoritmos para ejercitar las propiedades de los números reales y la elaboración de operaciones con el conjunto de los números enteros, racionales, irracionales y reales. 1.1.1 ORÍGENES DE ALGUNOS SISTEMAS NUMÉRICOS ¿Te has preguntado alguna vez cuántas operaciones aritméticas has realizado desde que ingresaste a la escuela primaria?, o más fácil, ¿cuántas habrás hecho durante este día? Quizá te parezca ocioso calcular. ¿Cuántas veces late nuestro corazón durante nuestra vida? o, ¿cuántos Kilómetros habremos recorrido desde que aprendimos a caminar? y ¿cuántas preguntas hemos planteado en este párrafo? Es extraño para ti que un escrito comience con tantas preguntas; en realidad lo que pretendemos es que reflexionemos juntos acerca de que el proceso de operar con números, aun sin darnos cuenta, forma parte de nuestra experiencia diaria. Los símbolos numéricos que conoces y utilizas en tu vida diaria surgieron, en primera instancia, como una necesidad de expresar cantidades, así como las palabras expresan objetos o ideas.
13
Para ello el hombre utilizó símbolos muy rudimentarios como marcas en troncos de árboles o sobre bastoncillos, cuerdas con nudos, etc.; el manejo de estos símbolos fue inoperante por ejemplo: para representar el 10 lo hacían de la siguiente manera (IIIIIIIIII) o agrupaban (|||| |||| ). Al enfrentar la necesidad de representar con pocos símbolos un mayor número de objetos hizo posible el surgimiento de los sistemas de numeración.
1o. Contar y medir Expresar con símbolos
Los sistemas de numeración de la antigüedad más conocidos fueron el egipcio (a base de punto y rayas), el romano (que utilizaba signos en forma de cuña o cuneiformes) y el maya (con puntos y rayas), de los cuales te damos algunos ejemplos en el siguiente cuadro. Indo-arábigo
Egipcio
Griego
Maya
Romano
I
1
2
II
3
III
4
IV
__
V
F
.
VI
..
VII
...
VIII
....
IX
5 6 7 8
III II III III IIII III IIII IIII
9 10
X
100
P
C
En el sistema maya, como se observa en el cuadro, cada símbolo representa un valor y de éstos se conservan dos características importantes: primero el valor que representa el símbolo y, segundo, el agrupamiento de los símbolos, para denotar cantidades mayores; ejemplos: En el sistema maya se agrupaba en forma vertical así cinco
y uno para obtener
seis
en esta forma de agrupar se suman los valores de los símbolos. 14
Numerales indoarábigos: Los símbolos numéricos que utilizamos actualmente se originaron en la India, pero se atribuye a los árabes su difusión por Europa, por lo cual se le conoce con el nombre de sistema indoarábigo. Originalmente el sistema hindú contaba con los dígitos del uno al nueve, pues el concepto de cero apareció mucho después; sólo dos culturas antiguas denotaron al cero con un símbolo especial: el maya y la hindú, ésta última utilizó un símbolo llamado Sunya para expresar lugares vacíos; los árabes tradujeron la palabra Sunya por Sifer, la cual al ser latinizada cambió a Céfiro, de donde se originó la palabra Cero. Actualmente, el sistema indoarábigo que se utiliza usa diez símbolos (dígitos) para representar los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Estos dígitos se combinan en un sistema posicional para representar cualquier cantidad; esto quiere decir que se le asigna un valor al dígito según la posición que ocupa, y, viceversa, por la posición del dígito se sabe cuántas unidades, decenas, centenas, etc., contiene la cantidad representada por un número. Además del valor que se le asigna a un dígito, este sistema (indoarábigo) se caracteriza por agrupar de diez en diez; en este sentido, 10 unidades forman una decena, 10 decenas forman una centena, 10 centenas forman una unidad de millar y así, sucesivamente; por esta razón se dice que nuestra numeración es decimal o de base 10 y posicional. Otros sistemas existentes son: sistema binario o de base 2, sistema de base 4, 5, 7. . . . . En el siguiente ejemplo veremos cómo se le asigna valor a un dígito según su posición. El número 5555 está formado por un mismo símbolo en diferentes lugares; es decir, tiene 5 unidades, 5 decenas, 5 centenas y 5 unidades de millar. 5 5 5 5 5x1 5 x 10 5 x 100 5 x 1000
= 5 = 50 = 500 = 5000
total = 5555 = 5000 + 500 + 50 + 5. Usualmente los números naturales se escriben representados en esta forma 4375, 408, 59. Si nos preguntamos, ¿realmente qué significa 4375?, lo averiguaremos al leer el número así: cuatro mil trescientos setenta y cinco. Este número 4375 puede escribirse en forma desarrollada: 4375 = 4 x 1000 + 3 x 100 + 7 x 10 + 5 ó bien 4375 = 4000 + 300 + 70 + 5.
15
La posición del 4 indica que se le asocia un valor de 4000 unidades, la del 3 indica 300 unidades, el 7, 70 unidades, y el 5, 5 unidades. Esta última forma puede simplificarse aún más si se emplean exponentes para escribir los múltiplos de 10; por ejemplo: 1000
= 10 x 10 x 10 = 103
100
= 10 x 10 = 102
10 4375
= 101 = 4 x 103 + 3 x 102 + 7 x 101 + 5 x
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Escribe los siguientes números en forma desarrollada 8427 47531 6541 19479 En los siguientes ejemplos se presenta una cantidad y su organización en unidades, decenas y centenas. 236 6 =6 3 x 10 = 30 2 x 100 = 200 236 1269 9 6 x 10 2 x 100 1 x 1000
16
= 9 = 60 = 200 =1000 1269
Observa la siguiente operación +
1235 987 2222
(1 x 1000) + (2 x 100) + (3 x 10) + 5 (0 x 1000) + (9 x 100) + (8 x 10) + 7 (1 x 1000) + (11 x 100) + (11 x 10) + 12 1000 + 1100 + 110 + 12 = 2222 Observa que el dígito 2 tiene distintos valores según su posición, por ejemplo, el segundo de izquierda a derecha representa dos centenas. Una vez que se llegó a la utilización de símbolos para representar números se pudo operar con ellos; pensamos que la necesidad del hombre para calcular es antiquísimo. Los cálculos más complejos practicados por el hombre primitivo eran, al parecer, los destinados a señalar el paso de los días y meses. 2o. Calcular Operar con números
En algunos sistemas de numeración aparecen las operaciones de la multiplicación y la adición, pero no en todos se puede operar fácilmente, como se observa en el siguiente ejemplo:
Suma
CMXCVIII CCXXV__ MCCXXIII
Si no lo lograste prueba con la utilización de los números que conoces 998 + 225 El sistema de numeración egipcio tiene como características el sistema de base 10 y cada símbolo podía repetirse hasta nueve veces y escribirse en columna de derecha a izquierda, además no es posicional. Para multiplicar los egipcios utilizaban otro procedimiento. Este procedimiento apareció en un papiro que compró en 1858, en Egipto, Alexander Henry Rhind 1833-1863, por lo que se llama “Papiro de Rhind”, en el cual se explica que la multiplicación se efectúa por duplicaciones sucesivas. 17
Hagamos el siguiente ejemplo para mostrar este procedimiento: Multipliquemos 19 por 7. multiplicando por multiplicador Los egipcios solían tomar el número mayor (multiplicando) y duplicarlo sucesivamente (19 + 19 = 38;. 38 + 38 = 76); por otra parte, para el número menor se toma la unidad y se duplica sucesivamente (1 + 1 = 2 2 + 2 = 4), posteriormente procedían a sumar, es decir: Sumar los números de 1 base 2 y sumarlos hasta 2 obtener el valor del multiplicando 4 7
19 + 19 Se suman los correspondientes 38 + 38 del multiplicando para obtener 76 el resultado. 133
Observa que los números que sumamos son aquellos con los que se obtiene el menor elemento de la multiplicación el multiplicador; como en este caso el menor es el 7 sumamos 1 + 2 + 4 = 7. La marca se utilizó para designar estos elementos. Realicemos la siguiente multiplicación por duplicación; multiplica 17 por 5: + +
1 2 4 5
17 34 68 85 total
17 68 85
Observa que los números que se deben sumar son los que tienen marca ¿Cómo harías para colocar las marcas? Utilicemos nuevamente este procedimiento para multiplicar 27 por 22:
1 2 4 8 16 22
27 54 + 108 216 432 594 total
54 108 432 594
Para que aclares posibles dudas y te familiarices con este procedimiento, realiza las siguientes operaciones de multiplicación por duplicación. multiplica 36 por 8 multiplica 41 por 5 multiplica 75 por 7
multiplica 43 por 9 multiplica 68 por 1 multiplica 79 por 6
18
Si te interesan estos tipos de multiplicación, se te sugiere investigar el método llamado Multiplicación por Mediación y Duplicación, también utilizado por los egipcios. (Consulta la bibliografía). ¿Te das cuenta de la ventaja que tiene utilizar sistemas de numeración posicional? Esto nos ha permitido desarrollar métodos para facilitar operaciones, por ejemplo:
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Realiza la siguiente operación
+
123456789 987654321 123456789 987654321 2
. ¿Por qué empezaste a sumar por el lado derecho? . ¿Qué hiciste con los números que “llevabas”? . ¿Qué características tiene el resultado? . ¿Recuerdas qué significa el valor posicional? Ahora que conoces algunas características del sistema decimal, enfocaremos nuestra atención en algunos algoritmos y métodos que facilitan las operaciones. 1.1.2 MÉTODOS Y ALGORITMOS PARA OPERAR CON NÚMEROS DE DIFERENTES SISTEMAS a) Algoritmo de la Adición Tomemos por ejemplo la operación siguiente: Notación desarrollada. 28 = 20 + 8 = 2 decenas + 8 unidades 1 Ponemos 7 y (Llevamos 1, + 9 = 9 = 9 unidades 28 porque convertimos 10 = 20 + 17 = 2 decenas +17 unidades + 9 unidades a una decena) sumamos unidades 37 = 20 + (10 + 7) = (20 + 10) + 7 = 30 + 7 37 = 3 decenas + 7 unidades
19
En el ejemplo anterior mostramos el hecho de llevar una decena. Este método se aplica cuando llevamos centenas, millares, etcétera. Observa el siguiente ejemplo: 1
+
+
57 64 121
57 64
= =
5 decenas 6 decenas
+ +
=
11 decenas
+
121
= = =
7 unidades 4 unidades (Recuerda que 10
unidades son una decena y que
11 unidades 10 decenas son una centena)
(1 centena + 1 decena) + (1 decena + 1 unidad) 1 centena + (1 decena + 1 decena) + 1 unidad 1 centena + 2 decenas + 1 unidad = 121
Así como existe un algoritmo para sumar se ha desarrollado uno para multiplicar. b)
Algoritmo de la multiplicación
Realiza la siguiente multiplicación:
Método de Scaciero
8 2
5
4
0
8 x 5 = 40
1
6
0
8 x 20= 160
2
0
0
25 x 8
Total
Seguramente multiplicaste 8 x 5, anotaste el 0 y llevaste 4, después multiplicaste 8 x 2 y al resultado le sumaste el 4 que llevabas 4
x
25 8 200
20
Analiza el siguiente ejemplo: x
69 25 345 1380 1725
= 5 x 69 = 20 x 69 = (20 + 5) x 69
. ¿Por qué cuando multiplicamos la segunda cantidad dejamos un espacio al principio? . ¿Por qué tomamos el número de abajo para multiplicar el de arriba? . ¿Por qué iniciamos de derecha a izquierda? . ¿Qué pasará si invertimos las cantidades de la operación? x
25 69
Realiza esta multiplicación igual que el procedimiento anterior. Así como existe un algoritmo para sumar y multiplicar existe uno específico para dividir. ¿Lo recordarás? Podemos concluir que: Algoritmo: Es el procedimiento empleado para obtener el resultado de una operación. La palabra algoritmo es una deformación de ALKHOWARIZMI, nombre de un célebre matemático árabe que vivió en el siglo IX a.C. y que fue el primero que manejó estos procedimientos.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Ahora que conoces el algoritmo de la suma, ¿podrías encontrar un método eficaz para encontrar el resultado de la suma de los primeros 100 números naturales 1+2+3´+....+98+99+100=? Seguramente lo primero que se te ocurre pensar es, ¡qué suma tan grande!, pero trata de resolverla y luego lee la siguiente anécdota: En una pequeña escuela de Brunswick, Alemania, en 1785, asistía un niño de ocho años de edad, Carlos F. Gauss, discípulo del maestro Büttner. Cierto día en que el maestro deseó tomarse un buen descanso, pensó tener a sus alumnos ocupados en realizar un problema bastante laborioso, como el de obtener la suma de los 100 primeros números naturales.
21
No había transcurrido ni tres minutos cuando, con sorpresa no muy agradable, Büttner fue interrumpido por el pequeño Gauss, quien le informó haber terminado. El resultado es 5050; el profesor tuvo que aceptar que el resultado era correcto. ¿Cuál fue el método empleado por Gauss? pon atención: Gauss observó que el primer número más el último dan 101; que el segundo número más el penúltimo dan 101; que el tercero más antepenúltimo dan 101: ALGORITMO 1 + 2 + 3 + 4 ....... ..... + 97 + 98 + 99 + 100 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 =
101 101 101
101. . . . Se formarían así, reflexionó Gauss, cincuenta de esas parejas cuyas suma es 101, por lo que la suma pedida se obtiene con una simple multiplicación del valor de la suma por el número de parejas formados (101 x 50 = 5050). Con los conocimientos aritméticos adquiridos hasta el momento ya puedes resolver problemas más complicados. Se te sugiere resuelvas los siguientes problemas: ¿Puedes obtener el número mayor que se escribe, si usas tres veces la cifra 2 sin utilizar signos aritméticos? Para saber cuál es el número mayor que utiliza tres dígitos 2, pensaremos ¿cuál será la disposición adecuada para hallar este número? ¿Qué te parece si lo anotamos de la siguiente manera (22)2 el resultado es (22)2 = 24 = 16. También podemos escribir 222 ó 222(222 = 484), pero el mayor número lo obtendremos con la disposición 222(222 = 4194,304) En el ejemplo anterior observamos claramente que para obtener el número mayor deben anotarse los números (2) en la forma 222, ¿ocurriría lo mismo si tuviéramos tres dígitos 9? Para contestar esta pregunta, apoyémonos en el ejemplo anterior: (99)9 = 981 = 1.966270505 x 1077 ahora 999(9.1351725 x 1017) ó 999(2.9512665 x 1094) ¿Te das cuenta que el número mayor se obtiene con la disposición 999?
22
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Realiza los siguientes ejercicios: Usa tres dígitos 3 y escribe el número mayor que puedas obtener: (33)3 = Utiliza tres dígitos 4 y escribe el número mayor que puedas obtener: (44)4 = Para resolver estos problemas necesitaste utilizar algunas características de los números reales; a estas características se les llama propiedades. 1.1.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES Y ALGORITMOS DE LOS NÚMEROS REALES (R) Los Números Naturales (N) Uno de los conjuntos de números que conoces es el conjunto de los números naturales (N = 1,2,3,...). Este conjunto de números ha sido muy importante para la humanidad, los primeros 10 los puedes encontrar en los dedos de tus manos. Ver figura 1.
Figura 1. He aquí la calculadora de menor costo para principiantes .
23
Recuerda que los algoritmos permiten realizar las operaciones con números. ¿Cómo se multiplica cualquier número por 10?
Observa los siguientes ejemplos: 4 x 10 = 40
3891 x 10 = 38910
Para multiplicar un número por 10 solamente es necesario anotar un cero a la derecha del número; comprobemos que esto es cierto mediante el algoritmo de la operación 26 x 10 = 260. Comprueba este algoritmo y utiliza las propiedades. Forma desarrollada: 26 x 10 = (20 + 6) x 10 notación desarrollada = (2 x 10 x 10) + (6 x 10) propiedad distributiva = (2 x 100 ) + (6 x 10) = propiedad asociativa = 260 notación posicional Ahora intenta sumar los primeros 10 números naturales: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. ¿Recuerdas el método de Gauss? Solución: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 11 11 11 11 11 11 X 5 = 55 ¿Cuánto sumarán los primeros doce números naturales pares?
24
Solución: 2 +4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 +18 + 20 + 22 + 24 26 26 26 26 26 26 26 x 6
Solución:
= = =
(20 + 6)6 120 + 36 156
¿Cuánto sumarán los primeros doce números naturales impares? 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 1 + 23 = 24 3 + 21 = 24 . . . . 11 + 13 = 24 24 x 6 = (20 + 4) · 6 = 120 + 24 = 144
En los ejemplos anteriores observaste que el método de Gauss para la suma de números naturales es una herramienta útil para calcular el resultado y también viste que existen números naturales pares e impares. Recuerda que el conjunto de los números naturales pares = {x/x=2n, n N} y el conjunto de los números naturales impares = {x/x=2n+1, n N} Por otra parte, para calcular el producto (26) (6) se utilizó una técnica que frecuentemente es usada por todos nosotros, que consiste en descomponer en forma desarrollada la primera cantidad en la suma de (20 + 6) y luego multiplicamos por 6: 26 x 6 = (20 + 6) · 6 = 120 + 36 = 156
25
¿Será posible aplicar esta técnica para multiplicar mentalmente? Haz la prueba con algunos números. Observa que los resultados de la adición y la multiplicación son números naturales, entonces podemos decir que el conjunto de los números naturales es cerrado cuando se trata de una adición o una multiplicación. Esto quiere decir que si el conjunto dado es el de los números naturales y la operación es la adición o la multiplicación, el resultado será otro número natural. Por ejemplo: 4+5=9 y
2 x 6 = 12
Todos son números naturales
1. PROPIEDAD DE LA CERRADURA Por tanto: Si sumamos o multiplicamos dos números naturales el resultado es un número natural, entonces se dice que el conjunto de los números naturales es cerrado conforme a la operación dada. Sin embargo, es importante aclarar y reflexionar que el conjunto de los números naturales no siempre es cerrado conforme a la sustracción (resta) o la división; por ejemplo:
4 10 6 6 1.5 4 20 2 10 38 8 30
no es un número natural no es un número natural sí es un número natural sí es un número natural
2. PROPIEDAD CONMUTATIVA Otra propiedad observable al sumar o multiplicar los números naturales es el orden en el cual se realiza la operación y no afecta el resultado, de tal forma que: 4+5=5+4=9
y
4 x 5 = 5 x 4 = 20
A estas dos expresiones se les describe al decir que las operaciones de la adición y multiplicación tienen una propiedad conmutativa; entonces: Si sumamos o multiplicamos dos números naturales y les cambiamos el orden, el resultado no se altera.
26
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Lee cuidadosamente cada uno de los problemas e intenta resolverlos correctamente. 1. En una reunión de amigos hay cuatro mujeres y tres hombres. Si cada uno de los asistentes saluda de beso a los del sexo opuesto y de apretón de mano a los de su mismo sexo, ¿Cuántos saludos tienen lugar? 2. Ahora se trata de verificar si aprendiste a contar con números naturales ¿cuántos rectángulos hay en la siguiente figura?
3. Para solucionar algunos problemas es muy útil llegar a conocer una regla general. Encontrar el n-ésimo termino de una sucesión es encontrar dicha regla para todos los términos de la sucesión. ¿Puedes completar la sucesión y encontrar la regla? a) 2,4,6,8,10, __, __, __, ..._________________________________________________ b)1,3,5,7,9, __, __, __,...___________________________________________________ - Aplica el principio posicional del sistema decimal y señala el valor del dígito indicado para cada caso. a) 2345; 3 b) 10004;1 c) 23456;5
d) 2335489;4 e) 9378954;7 f) 9254361;2
4. Realiza el cálculo de las siguientes multiplicaciones, utiliza la técnica que se empleó en la sección anterior. a) (28) (15) = b) (65) (123) =
c) (32) (19) d) (25) (17)
5. Aplica el método de Gauss para la suma de números naturales, calcula la suma de la siguientes series. a) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ... + 27 + 30 b) 5 + 10 + 15 + 20 + 25 ... + 60 + 65 c) 7 + 14 + 21 + 28 + 35 + ... + 77 + 84
27
3. PROPIEDAD ASOCIATIVA Otra propiedad que se manifiesta es cuando se trata de sumar o multiplicar más de dos números; por ejemplo: 6 + 7 + 8. Por lo regular se suman dos números a la vez. Surge la pregunta acerca de si se debe sumar 6 + 8 y al resultado sumarle 7, entonces (6 + 8) + 7 = 14 + 7 = 21, o si se suma 6 al resultado de la suma de 8 y 7, esto es, 6 +(8 + 7) = 6 + 15 = 21. Al multiplicar (6) (7) (8) lo podemos hacer (6 7) (8) = 42 8 = 336 ó también (6) (7 8) = 6 56 = 336. Si te das cuenta no importa qué números se sumen o multipliquen primero, es decir: Pueden asociarse los números en una u otra forma y obtener el mismo resultado. A esta propiedad de la adición y multiplicación se le llama propiedad asociativa. 4. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA Existe otra propiedad de la adición y multiplicación de enorme importancia. Imagina que se quiere realizar el producto de 6 (12 + 7), lo cual se expresa como 6(12 + 7), donde el punto indica o denota una multiplicación. El resultado se puede obtener de dos maneras diferentes: a) suma 12 y 7, así: 6(12 + 7) = 6(19) = 114 b) multiplica primero por 6, así: 6(12 + 7) = 6(12) +6(7) = 72 + 42 = 114 A la propiedad anterior se le llama propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la adición. PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NÚMEROS NATURALES EN LAS OPERACIONES Adición Multiplicación
Cerradura: Si a y b son números naturales, Cerradura: Si a y b son números naturales, entonces a + b también es un número natural. entonces a b también es un número natural. Conmutividad: entonces: a+b=b+a
Si a, b, son números naturales, Conmutividad: Si a y b son números naturales, entonces: a b = b a.
Asociatividad: Si a, b, c son números naturales, Asociatividad: Si a, b, c son números entonces: naturales, entonces: (a + b) + c = a + (b + c) a (b c) = (a b) c Distributividad: Si a, b, c son números naturales, entonces: a (b + c) = (a b) + (a c)
En los ejercicios anteriores utilizaste algunas propiedades; identifica cuáles fueron. Dentro del conjunto de los números naturales existen números que sólo tienen dos divisores exactos, a estos números se les llama números primos, es decir sólo se dividen entre la unidad o entre sí mismos; pero si dividimos 60 entre 5, tendremos 12; por lo que podemos decir que 5 es divisor exacto de 60, pero también podemos decir que 60 es múltiplo de 5. Trata de encontrar cuántos divisores tiene 16. 28
Tu respuesta será 5 con toda seguridad 1, 2, 4, 8, 16; pero si se te ocurre preguntarte por los divisores de 154, quizá digas que algunos pueden ser 1, 7, 11 y el mismo 154. Resulta un poco difícil encontrar los divisores 7 y 11, no así, el 1 y el 154, los cuales resultan valores fáciles de hallar. De manera semejante, ¿puedes contestar cuántos y cuáles son los divisores del número 19? Si tu respuesta es: son dos, el 1 y el 19, acertaste. Con base en el desarrollo anterior, el número 1 no es primo, porque solamente tiene un divisor, él mismo. Si se excluye el 1, diremos que: un número natural es primo si y sólo si tiene dos divisores, él mismo y la unidad (1). El matemático griego Eratóstenes (siglo III a.C.) ideó un método conocido con el nombre de “criba de Erastóstenes”; este método permite encontrar los números primos que están entre el 2 y el 50. ¿Podrías hallar esos números con la definición de número primo? Inténtalo. Recuerda que los números primos los has utilizado para obtener el mínimo común múltiplo (factores primos) y para hallar el común denominador, cuando aprendiste a sumar y restar racionales (fracciones). ¿Cuál es el procedimiento? Más adelante encontrarás el procedimiento o podrás consultar con tu asesor
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Lee cuidadosamente cada uno de los problemas e intenta resolverlos correctamente, una vez que encuentres la solución trata de encontrar una más directa 1. Este ejercicio requiere de un poco de atención ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente figura?
29
2. Observa detenidamente la figura que a continuación te mostramos. Según parece tiene algo muy especial pues en algunos monumentos de la Grecia Antigua aparece. Trata de reproducirla con un trazo ininterrumpido, sin que cruces las líneas y sin levantar el lápiz, la única restricción adicional es que hagamos menos de 10 giros.
3. ¿Cuál es la regla general que nos permite hallar todos los términos de los siguientes casos? 3,6,9,12,15,__,__,__,__; 10,13,16,19,__,__,__ 4. Trata de explicar con tus propias palabras por qué ocurre que las sumas horizontales y verticales dan el mismo resultado. 1 7 5 3
+ + + +
3 5 3 5
+ + + +
5 3 7 1
+ + + +
7= 1= 1= 7=
16 16 16 16
1 + 2 + 3 + 4 = 10 5 + 6 + 7 + 8 = 26 9 + 10 + 11 + 12 = 42 15 + 18 + 21 + 24 = 78
16 + 16 + 16 + 16 = 64
5. ¿Qué puede decirse acerca de la suma de dos números naturales impares? 3+5=8 13 + 19 = 32
3 + 17 = 20 7 + 11 = 18
6. Considera la suma de los números naturales impares consecutivos. Encuentra un patrón y considera los 10 primeros números impares consecutivos. 3+ 5= 8 5 + 7 = 12 7 + 9 = 16 9 + 11= 28
11 + 13 = 24 13 + 15 = 28 15 + 17 = 32 17 + 19 = 36 19 + 21 = 40 30
7. Para los griegos que estudiaron la naturaleza de los números, principalmente los pitagóricos, resultó sorprendente encontrarse con una sucesión llamada de los números triangulares (observa la figura), cuyos primeros elementos son: 1,3,6,10,15,...¿Cuál será la regla que gobierna a estos números? La figura que se muestra es un apoyo visual para encontrar el n-ésimo término de la sucesión.
1
* ** 3
* ** *** 6
* ** *** **** 10
1,3,6,10,15,__,__,__, 8. En la siguiente figura anota correctamente los dígitos del 1 al 8 de tal manera que dígitos consecutivos no queden en casillas adyacentes (juntas).
9. Quizás ya conoces algunos cuadrados mágicos, se les llama así porque al sumarse sus elementos numéricos horizontal, vertical y diagonalmente dan como resultado el mismo número, trata de realizar un cuadrado 4 x 4 cuya suma sea 34.
1.1.4 LOS NÚMEROS ENTEROS (Z) Te has preguntado alguna vez: ¿cómo se expresa una deuda o una cuenta de cheques sobregirada?, ¿cómo se representa la temperatura cuando cae abajo de 0º?, ¿sabes qué tipo de números fueron tus respuestas? Los números enteros. (Z) Cheques Uno Dos Tres Totales
Disponible 1,000.00 2,000.00 3,000.00 6,000.00
¿Cuánto está sobregirada la cuenta? 31
Cuenta
pagó 1,500.00 3,000.00 5,000.00 9,500.00
Ciudad
Temperatura C en invierno -4ºC 35ºC -10ºC 0ºC -15ºC
Monterrey Mérida Mexicali D.F Chihuahua
A continuación utilizaremos nuevamente la regla de Gauss para calcular el valor de la suma de las series propuestas. ¿Cuánto sumarán los primeros veinticinco números enteros negativos? (Z) (-1) + (-2) + (-3) + (-4) + (- 5) + (-6) .... + (-23) + (-24) + (-25) - 26 - 1 + (- 25) = -26 - 2 + (- 24) = -26 - 3 + (- 23) = -26 : - 12 + (- 14) = - 26 Por lo tanto:
Como el (- 25) es un número impar es necesario sumarle al resultado que obtuvimos el número que queda sólo (sin pareja), en este caso el (- 13)
(- 26) (12) = (- 20 - 6) (10 + 2) = - 200 - 60 - 40 - 12 = - 312
(- 1) + (- 2) ...+ (- 24) + (-25)= (- 26) (12) + (- 13) = - 312 - 13 = - 325
¿Cuánto sumarán los primeros cien números enteros negativos? (- 1) + (- 2) + (- 3) + .... + (- 98) + (- 99) + (- 100) - 101 - 1 + (- 100) - 2 + (- 99) - 3 + (- 98) (- 101) (50) Suma:
= - 101 = - 101 = - 101 = - (100 + 1) (50) = - (5000 + 50) = - 5050
¿Cuál es la suma de la siguiente serie? 32
0+1+0+0+0+2+0+0+0+3+0+0 +0+4 4 1 3 2 5. PROPIEDAD NEUTRO O IDÉNTICO DE LA ADICIÓN 0+0+0 0+4 1+0 0+3 2+0
=0 =4 = 1 4 + 1 + 3 + 2 = 10 =3 =2
En los ejemplos anteriores nuevamente se utilizó la herramienta del método gaussiano, pero ahora con unas series que incluyen números enteros negativos; por otra parte, el tercer ejemplo de esta serie se utilizó una propiedad que intuitivamente manejas desde la secundaria, se trata de la suma de número entero con el cero. a+0=a Es momento para recordar que este elemento cero lo conoces como elemento idéntico o neutro, para la suma ¿Cuál es la suma en la siguiente serie? (- 5) + (- 1) + 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23
- 5 + (-1) = - 6
3 + 23 = 26 7 + 19 = 26 11 + 15 = 26
(26) (3) = 78
Suma: - 6 + 78 = 72 ¿Cuál es la suma en la siguiente serie?
33
1 + (- 1) + 2 + (- 2) + 3 + (- 3) + 4 + (- 4) + 5 0
0
0
0
0+0+0+0+5=5 0
0+5=5
Para realizar la suma asociamos cada número positivo con su opuesto, lo que hace recordar que al sumar un número con su opuesto el resultado es: cero. a + (- a) = 0 A este número opuesto se le llama inverso aditivo ¿Cuál es el resultado de la suma? 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 0 1 0 1 0 Suma: 0 ¿Cuál es la suma en la serie siguiente? 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 0 1 0 1 0 1 Suma: 1
34
En estos ejercicios podemos ver que al restar y sumar secuencialmente el número 1 obtenemos en el primer caso una suma igual a 0, mientras que en el segundo caso la suma es igual a 1, esto nos hace reflexionar acerca de esta situación; trata de explicar con tus propias palabras por qué es así. Ya estudiaste uno de los sistemas numéricos más sencillos, el conjunto de los enteros junto con las operaciones de adición. Si realizamos la siguiente multiplicación, 4375 por 1 = 4375, vemos que el resultado es el mismo que el número propuesto (4375). ¿Habrá otro número que al multiplicarlo por otra cantidad dé la misma cantidad? La respuesta es no. Entonces el único número del conjunto de los naturales que al multiplicarlo con cualquier número de los naturales da como resultado otra vez el mismo número es el número 1, es decir: 1 a = a Neutro Multiplicativo ¿Crees que existe un número que al sumarlo con otra cantidad dé como resultado dicha cantidad?, es decir, ¿existe un número de tal modo que al realizar a + p = a para el conjunto dé los números naturales? La respuesta es no. Entonces, al conjunto de los números naturales está limitado para realizar operaciones aritméticas, por tal razón debemos aumentar al conjunto de los naturales y añadirle un nuevo número o elemento. Este elemento lo representamos por medio del cero (0) y se le llama identidad aditiva, el cual tiene la propiedad siguiente: Neutro Aditivo o Idéntico a+0=0+a=a y 0+0=0 El conjunto de los número enteros positivos se denota por Z+ Cuando tratamos de resolver la expresión x + 10 = 0 y abarcamos sólo el conjunto de los números enteros positivos no tenemos solución, pues aquí no existe el - 10, entonces es necesario ampliar el conjunto de los Z+ de forma que resulte un nuevo conjunto, que contenga a los números enteros positivos y a todos sus inversos aditivos (números enteros negativos), a este nuevo conjunto se le llamará genéricamente conjunto de los números enteros, denotado por Z y formado por ...- 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... Por tanto, el conjunto de los números enteros abarca los siguientes números o elementos:
Z
enteros positivos ( Z+): 1, 2, 3, ... también son naturales el número cero: 0 enteros negativos (Z-): .... - 3. - 2 - 1
35
Recuerda que el producto del número cero y cualquier otro número entero siempre es cero, por ejemplo: 40=04=0 Al generalizar tendremos que si a pertenece a los Z, entonces 0 a = 0
En este conjunto de los números enteros (Z) se define dos operaciones básicas la de la adición y la multiplicación con las propiedades de los números. Al presentar el conjunto de los números enteros en la recta numérica retomamos un concepto importante como es el de sentido. Esto lo ilustramos con la recta numérica que tú conoces, en la cual se le asigna una posición con respecto al número cero (origen); a la izquierda del cero están todos los enteros negativos y a la derecha del cero, todos los enteros positivos. La siguiente gráfica ilustra el conjunto de los números enteros.
-4
-3
-2
-1
enteros negativos
0 cero
1
2
3
4
enteros positivos
En el servicio meteorológico dijeron que la temperatura más alta fue de 8º y la más baja fue de -8º, ¿por qué se dice que la temperatura promedio fue de 0º? ¿Qué relación hay entre el 8 y el -8? Observa en la recta numérica que para cada número positivo existe uno negativo. En la gráfica anterior es fácil observar que el simétrico de 4 es -4; como recordarás, a este simétrico se le llama inverso aditivo; por lo que decimos que cualquier número entero a, tiene su inverso aditivo que es un entero que está n unidades de otro lado del cero; sobre la recta numérica esto es el entero -a. ¿Cómo aplicarías el concepto de sentido para realizar operaciones? Este concepto de sentido, hacia la izquierda del cero (negativo) o hacia la derecha del cero (positivo), lo podemos comprobar con la operación de la sustracción. Por ejemplo, al realizar 4 - 6 llegamos al resultado fácilmente, al utilizar la recta numérica de la siguiente forma: hacemos un movimiento hacia la derecha (sentido positivo) a partir del cero de cuatro unidades, seguido de otro movimiento de seis unidades hacia la izquierda (sentido negativo a partir del cuatro, el punto final es - 2, como se ilustra: 36
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-6 ¿Te resulta fácil entender el ejemplo anterior? Si no fue así, ilustra sobre la recta numérica la siguiente operación - 5 - 2: ADICIÓN DE DOS NÚMEROS NEGATIVOS -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
La operación la haces con un movimiento de 5 unidades a la izquierda del cero, seguido por 2 unidades más , a la izquierda. El resultado es -7; de ahí que - 5 - 2 = 7, entonces: (- 5) + (- 2) = - (5 + 2) = - 7
-8
-7
-6
-5
-4
-2
-3
-2
-1
0
1
-5
Con base en lo anterior, observarás que la operación de sustracción puede ser considerada como la opuesta de la adición, por tanto, cualquier problema de sustracción puede transformarse en un problema de adición, por ejemplo: problemas de sustracción
problemas equivalentes en la adición
4-2 11 - 5 -5-3 3 - (-4)
4 + (- 2) 11 + (- 5) (- 5) + (- 3) 3+4
Resuelve los ejemplos anteriores y representándolos en la recta numérica.
37
Por tanto, definimos que, si a y b son dos enteros cualesquiera, entonces: a - b = a + (- b) Veamos otro ejemplo para mostrar el procedimiento anterior: realiza la adición equivalente de 6-4 e ilústralo sobre la recta numérica:
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
6- 4 = 6 + (- 4) = 2
6
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-4 El resultado que muestra la gráfica es 2. Al retomar estos conceptos mencionaremos las reglas para la multiplicación de números enteros: a) El producto de dos enteros positivos es positivo. b) El producto de un entero positivo y un entero negativo es negativo. c) El producto de dos enteros negativos es positivo.
38
Propiedades de los Números Enteros Adición Multiplicación Cerradura: La adición de cualesquiera dos Cerradura: El producto de dos enteros números enteros a y b es siempre un entero. a y b siempre es un entero. Conmutatividad: Para cualesquiera dos Conmutatividad: Para cualesquiera enteros a y b; a + b = b + a. dos enteros a y b; a b = b a. Asociatividad: Para cualesquiera tres Asociatividad: Para cualesquiera tres enteros a, b y c; a + (b + c) = (a + b) + c. enteros a, b y c; a (b c) = (a b) c. Identidad de la Adición. El número cero Identidad de la Multiplicación: El (0) es la identidad para la adición. número 1 es la identidad para la a + 0 = 0 + a = a. multiplicación; 1 a = a 1 = a. Inverso aditivo: Todo número entero tiene Distributividad: Para cualesquiera un inverso aditivo, a + (- a) = 0 tres enteros; a, b y c; a (b + c) = a b + a c y (a + b) c = a c + b c.
En los ejemplos siguientes se muestran algunas propiedades de la multiplicación de números enteros. ¿Cuál es el valor de la suma? (1 2) + (1 3) + (1 4) + (1 5) + (1 6) + (1 7 ) + (1 8) Solución: Al multiplicar el término común con cada uno de los sumandos tenemos: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 3(10) + 5 por el método Gauss) = 30 + 5 = 35 ¿Cuál es el valor de la suma? (12 1) + (12 2) + (12 3) + (12 4) + ... + (12 19) + (12 20) = 12 + 24 + 36 + 48 + ... + 228 + 240 10(12 + 240) = 120 + 2400 (propiedad es distributiva) = 2520 Analiza los siguientes ejemplos: ¿Cuál es el producto? 39
( -1) (3) (1) (-4) (-1) (5) (1) (- 6) -3 -3 12 -12 -60 -60
360 Producto = 360
¿Observaste cuándo el producto sucesivo de números enteros es positivo? Ahora revisa éste:
¿Cuál es el producto? (2) (5) (-3) (-4) (-2) 10 - 30 120 -240
Producto - 240
¿Observaste cuándo el producto de números enteros es negativo? ¿Cuál es el producto?
(0) (0) (0) (0) (0) 0 0 0 0
Producto: 0
En los ejemplos anteriores observaste algunas características propias de la multiplicación de números enteros. Debes recordar las leyes de signos de la multiplicación que aprendiste en la secundaria; sí aún no te queda claro, fija tu atención en el número de factores con signo negativo y explica tus propias conclusiones.
40
1.1.5 LOS NÚMEROS RACIONALES (Q) Analiza las siguientes situaciones: a) Un automóvil recorre 400 km. en 5 hr. b) El promedio de goleo de Hugo Sánchez es de 3 por cada 2 partidos c) Compre 3 llantas y lleve otra gratis a) Distancia 100 km 200 km 400 km 800 km
Tiempo 1 hr. 15 min 2 hrs. 30 min 5 hrs. 10 hrs.
Goles 3 6 9 12
Partidos 2 4 6 8
b)
c) Núm. llantas Compradas 3 6 9 12 15 18
Gratis 1 2 3 4 5 6
En cada una de estas afirmaciones existe la comparación cuantitativa de dos cantidades. a) 400/5
b) 3/2
c) 3/1
Estas expresiones representan una división. La división de dos números enteros no siempre es exacta, esto produce fracciones como 1/2, 4/5, 8/7, etc. Entonces el conjunto de los números enteros se extiende para incluir dichas fracciones, dando como resultado los números racionales, denotado por: Q ...- 4/2, - 2/2, 0/2, 1/1, 4/2.... 41
Un número racional es aquel que puede escribirse en la forma a/b, donde a y b son números enteros, a a se le llama numerador, a b se le llama denominador y b es diferente de cero (no se permite dividir entre cero). Un número racional se puede escribir como a/b ¿Conoces otras formas de representar un racional? Al hacer la conversión
2 0.666 , resulta que también es un número racional. 3
Al introducir en el conjunto de los números enteros fracciones de la forma hablar de igualdad de fracciones o números racionales. Por ejemplo, concluir
a , podemos b
5 1 y representa n el mismo número racional, por lo que podemos 25 5
a c si y sólo si ad = bc b d
Realicemos la operación:
1 5 1 25 5 5 25 25 5 25
Si utilizamos la igualdad de números racionales podemos probar el siguiente resultado, a que te permitirá reducir resultados en la forma , entonces: b
a (ak) ,k 0; b (bk) entonces:
a(bk) b(ak)
Para que este concepto sea más claro, vamos a reducir
20 (2 10) 2 30 (3 10) 3 Ahora inténtalo tú, reduce
La solución es:
6 36
6 6 1 1 36 6 6 6
42
20 . 30
Hagamos otro ejemplo: encuentra un número racional que tenga un denominador 45 y 7 sea igual a . 9 La solución es:
7 7 5 35 9 9 5 45
A continuación definiremos las operaciones con los números racionales. a c El producto de dos números racionales se define como: y b d
a c a c ac b d b d bd Por ejemplo: multiplica
4 7 4 7 4 7 28 por : 5 9 5 9 5 9 45
La suma de dos números racionales
a c y está definida como: b d
a c ad bc b d bd y cuando: d = b se tiene:
Por ejemplo suma:
a c ac b b b 3 4 3 4 3974 y : 7 9 7 9 79
La diferencia de dos números racionales
27 28 55 63 63
a c y está definida como: b d
a c a c ad bc b d b d bd por ejemplo, realiza
1 1 1 1 1 1 5 6 5 6 5 6 43
1 6 1 5 6 5 1 56 30 30 Para definir la división debemos conocer el recíproco de un número. El recíproco de b a b a a es 0 ; lo anterior se observa cuando multiplicamos cuando por , donde b a b b a el resultado es 1. Por lo que podemos decir, el producto de cualquier número racional distinto de cero por su recíproco es 1, por tal razón, el recíproco de un número racional también se le llama inverso multiplicativo, entonces: El cociente de dos números racionales
a c y está definida como: b d
a b a d ad , c 0 c b c bc d d Con base en la expresión anterior, se permite en la división de dos números racionales invertir el divisor y pasarlo como multiplicador, por ejemplo:
2 3 2 8 16 3 6 18 9 5 y 4 3 5 3 15 5 4 5 20 10 8 6 Las operaciones con números racionales o fracciones constituyen un avance en el manejo de cantidades que no son enteras, por ejemplo cuando vamos de compras a la tienda podemos solicitar un kilo y medio de frijol, lo podemos traducir al lenguaje aritmético como: 1 1 2
En los ejemplos que a continuación se muestran observarás que las operaciones con frecuencia requieren del manejo de las operaciones con números enteros, de las operaciones básicas con fracciones y de la intuición que has desarrollado.
a)
1
1 1
1
1
1 2
4 3
44
b)
c)
d)
3
1
1 1
1
1 2
1
2
3 4 3
40 11
1
1
1 13
1 3
1 1 8 3 2 1 7 1 1 1 3 2
Con el objeto de retroalimentar tu conocimiento acerca de las operaciones con fracciones, resolveremos un ejemplo que te servirá de base para contrastar lo que ya sabes con el algoritmo que se te muestra. Adición de Números Racionales. ¿Cuál es el valor de la suma?
1 1 1 2 4 8 Recuerdas que había que calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. 2,4,8 2 1,2,4 2 1,1,2 2 1,1,1 (2)(2)(2) = 8
1 1 1 4 21 7 2 4 8 8 8 Este proceso utiliza tres de las primeras cuatro operaciones: suma, división y multiplicación de números enteros. 45
¿Te has preguntado por qué se utiliza este algoritmo? ¿Habrá algún otro que nos conduzca al mismo resultado? Quizás el siguiente proceso conteste en parte las preguntas anteriores. Este algoritmo está basado en el concepto de fracción equivalente. ¿Cuándo se dice que dos fracciones son equivalentes? Ejemplo:
1 2 ¿Por qué? 2 4
Son equivalentes por principio básico de la proporcionalidad. (1)(4) = (2)(2) 4=4 ¿Ya te acordaste? Bien, resolvamos el ejemplo: Paso 1. Hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m) 2,4,8 2 1,2,4 2 1,1,2 2 1,1,1 (2)(2)(2) = 8
46
Paso 2 Encuentras las fracciones equivalentes:
1 ? ? 2 8 1 (4) 4 2 4 8
1 ? ? 2 8 1 4 4 2 4 8
1 ? ? 8 2
1 ? ? 8 4 1 2 2 4 2 8
1 1 8 8
1 1 8 8
¿Cuál es la suma de las fracciones?
1 1 1 2 3 4 Paso 1. Calcular el mínimo común múltiplo. 2,3,4 entonces (m.c.m.) = 12 Paso 2. Calcular las fracciones equivalentes.
1 6 6 1 4 4 1 3 3 ; ; 2 6 12 3 4 12 4 3 12 Sumamos equivalentes:
6 4 3 6 4 ( 3) 7 12 12 12 12 12 ¿Cuál es el valor de la suma?
1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 10 12 47
sumamos:
4 2 1 7 8 8 8 8
Paso 1 Calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) 2, 4, 6, 8, 10, 12
2
1, 2, 3, 4, 5,
6
2
1, 1, 3, 2, 5,
3
2
1, 1, 3, 1, 5,
3
3
1, 1, 1, 1, 5,
1
5
1, 1, 1, 1, 1,
1 (23)(3)(5) = (8)(3)(5) = 120
Paso 2 Calcula las fracciones equivalentes:
1 60 60 1 30 30 1 20 20 ; ; 2 60 120 4 30 120 6 20 120 1 15 15 1 12 12 1 10 10 ; ; 8 15 120 10 12 120 12 10 120 Sumemos las fracciones equivalentes
60 30 20 15 12 10 37 120 120 120 120 120 120 120 A continuación observarás unos ejemplos que te harán recordar cómo se multiplican las fracciones o números racionales. ¿Cuál es el producto de números racionales? 3 2 1 3 6 1 3 4 3 5 7 12 5 7 6 3 60 7
18 3 420 70 48
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Si recordaste cómo se resuelve la suma de números racionales (fracciones), ahora podrás comparar ese conocimiento con el algoritmo mostrado anteriormente que utiliza el concepto de fracción equivalente; trata de encontrar las analogías o semejanzas entre ambos métodos, de tal manera que puedas utilizarlos cuando se requiera. Respecto a la multiplicación, trata de contestar las siguientes preguntas: ¿Cuándo el producto de fracciones es negativo? ¿Cuándo el producto de fracciones es igual a la unidad? a a ¿Se cumple para todo número racional (fracción) la proposición (1) para b b b0?
a b
¿Un número racional ( a) para b 0 puede interpretarse como cociente? Ejemplo: a)
1
1
1 1
1 1
1
1
1 1 2
0 1 2
0
1
1 0 1 2
1
1 0 1
porque: 1
porque:
1 1 0 00
49
1 1 2 2
1 1 2 1 1 2 1 2
Ejemplo: b)
3
3
3
1 1
1 1
1
3 4
1
1 1
1 7 4
4 7
40 11
40 11
porque: 1
40 11
porque:
1 4 7 7 4 4 11 porque: 1 7 7
1 40 11 11 7 7 40 3 11 11
3
porque:
33 7 40 11 11 11
porque:
Ejemplo: c)
1
2 1
2
3
1
1
3 7 4 4
1 13
1 3
50
1 7 11 11 7 40 40 11 11
1
2 1
1
2
2
1
1
2 1
1
1
3
2
3 7 2
2 1
3
6 7
1 13
porque: 1
1 13
porque:
1 2 3
3 2 1 13
porque: 2
1 13
porque:
1
14 1 13 13
1 1 13 13
porque:
1 1 3 2 1 8 7 1 1 1 3 2 51
3 7 2 2
3 6 7 7 2
porque: 1
Ejemplo:
d)
1 3 2 2 3
2 1 13 13 7
1 2 3 3
6 13 7 7
2 14 13 13 7
1 1 3 2 1 8 1 7 1 6 1 1 1 porque: 3 2 6 1 6 1 8 1 7 1 6 1 1 23 1 porque: 3 2 6 6
1 6 1 8 7 7 6 1 7 porque: 1 6 6
1 8 1 7 7
1 1 6 porque: 6 7 7
porque
1 8 1 7 7
52
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Lee cuidadosamente cada uno de los problemas e intenta resolverlos correctamente; una vez que encuentres la solución, trata de encontrar una más directa. Observa en cada ejercicio las propiedades que utilizas. 1. ¿Cuál es la regla que nos permite encontrar el n-ésimo término de la sucesión?
3 1 1 ,1, ,0, , .........., ........,......., ______________ 2 2 2
2. Una diagonal de un polígono es un segmento de recta que une dos vértices no adyacentes. Aquí n representa el número de lados de un polígono. ¿Cuál es la regla general para determinar cuántas diagonales tiene un polígono de 50 lados sin dibujarlo?
3. Sin levantar el lápiz y sin cruzar los segmentos de recta resuelve los problemas siguientes. a)
b)
Con tres segmentos une los 4 puntos
Con cuatro segmentos une los 9 puntos
53
Problemas 1. Aplica las propiedades de las operaciones con números enteros y racionales, además resuelve los problemas.
2.
a)
3(3 3) 3
b)
24 10 5 15 40 8
c)
1 6 15 2 5 9
d)
1 1 3 2 4 3 4 3
e)
1 1 3 6 4 3 4 8
f)
1
2 5 2 3 6 3
Usa las propiedades de la multiplicación y división de fracciones. Resuelve.
a)
3 1 2 2 2
b)
3 1 1 3 2 2 4
c)
1 1 3 2 41 4 2
d)
1
2 2 1 3 4 4
54
3. A las fracciones siguientes deberás reducirlas hasta encontrar el resultado. a)
b)
c)
d)
2
1 1
3 4
1 2 4 3 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 3 1 3 1 1 (2)(3)
4. Si una pelota se deja caer desde una altura de 10 m y rebota aproximadamente la mitad de la distancia en cada caída, calcula la distancia recorrida por ésta después de tres rebotes. 1.1.6 LOS NÚMEROS IRRACIONALES. (Q’) Los griegos (600 años a.C.) descubrieron la existencia de números que no eran racionales, a este conjunto de números lo llamamos “Conjunto de los números irracionales” denotado por Q’. Este descubrimiento hecho por miembros de una sociedad secreta fundada por Pitágoras muestra que los números irracionales no se pueden expresar como cociente de dos enteros y tienen una representación decimal infinita no periódica; por ejemplo:
2,
3 , o, 6.101001000....
Con base en la clasificación de los números, la unión del conjunto de los números racionales con el de los números irracionales se le conoce como el conjunto de los números reales, denotado por RQ unión Q’ = R. De esta manera podemos recordar que los números racionales son aquellos que se expresan como el cociente de dos enteros y tienen expansión decimal finita o infinita periódica. Los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como cociente de dos enteros y su presentación decimal es infinita no periódica.
55
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Resuelve los siguientes ejercicios: 1) Establece en cada uno de los siguientes problemas qué propiedades se aplican. a)
5+7=7+5
b)
(8 + 4) + 2 = 8 + (4 + 2)
c)
8 + (4 + 2) = 8 + (2 + 4)
d)
5(3 +8) = 5(8 + 3)
e)
4(6 7) = 4(7 6)
f)
5 (3 8) = 5 (8 3)
2) Ilustra sobre la recta numérica la operación indicada. a)
4-5
d)
-4- 3
g)
5-3
b)
4+6
e)
-6+5
h)
6-6
c)
8-5
f)
4 + (- 6)
i)
7 + (- 4)
3) Obtén el producto de cada multiplicación. a)
(- 4) (5) =
c) (- 12) ( - 11) =
e) (0) x (- 10) =
b)
(6) (- 7) =
d) (-0) (0) =
f)
7x0=
4) Realiza las siguientes operaciones y reduce el resultado (si es posible).
a) b)
c)
1 7 3 4
1 4 4 7
1 1 4 7 56
d) e) f) g) h) i) j) k)
4 3 7 5 4 2 5 8 3 1 1 8 4 8 1 1 3 5 4 7 1 1 1 2 8 4
1 7 7 2 8 5 1 7 7 2 8 5 3 4
1 2 7 5
57
EXPLICACIÓN INTEGRADORA Hasta aquí se han revisado las operaciones con los números reales sus propiedades y los algoritmos, el siguiente diagrama muestra la clasificación de los números reales y las relaciones entre los diferentes subconjuntos de números.
NÚMEROS REALES
( FR )
NÚMEROS RACIONALES (Q )
NÚMEROS IRRACIONALES (Q’ )
Q'
NÚMEROS ENTEROS (Z)
EL NÚMERO CERO: 0
ENTEROS POSITIVOS Z+
ó NATURALES (N) Z+ ó N (1, 2, 3, ...)
ENTEROS NEGATIVOS Z-
Z- (...- 3, - 2 -1,)
58
2, 3 ,6.101001000...
1.2 OPERACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN Como ya sabes, el conjunto de los números reales en sus operaciones de adición y multiplicación cumplen con las propiedades de campo; la utilización de estas propiedades así como los algoritmos de las operaciones te permiten resolver situaciones como las siguientes: 1) Si cobraras por realizar un trabajo $100000.00, y el material que empleaste costó $13000. ¿Cuánto ganarías por horas si el trabajo lo terminas en seis horas? Para contestar la pregunta, primero tendrías que restar el costo del material a la cantidad que cobrarías y en seguida dividir ese resultado entre el número de horas trabajadas para obtener el monto por hora, o sea: 100000 - 13000 = 87000 costo real del trabajo, entonces: 87000/6 = 14500 ganancia por hora Como observas, para obtener el resultado realizaste dos operaciones, las cuales se representan de la siguiente manera: En donde la sustracción de 100000 y 13000 se debe dividir entre 6 para encontrar el resultado. 2) Si un comerciante compra 80 piezas de lechuga a $300 cada una y vendió 75 de ellas a razón de $600 la pieza y desechó el resto, ¿cuánto obtuvo de ganancia? Para resolver este problema tendrás que determinar el costo de las 80 lechugas, restárselo al total de la venta de las 75 lechugas vendidas y a este resultado restarle el costo de las 5 de desecho, o sea: 80 x 300 = 24000 ..... costo de la compra 75 x 600 = 45000 ...... total de la venta 5 x 300 = 1500 ...... total del desecho ganancia = (75) (600) - (80) (300) - 5 (300) = 45000 - 24000- 1500 = 21000 - 1500 = $19,500 Como observas en los dos ejemplos anteriores, se realizó más de una operación aritmética, las cuales se agruparon y utilizaron algunos símbolos para representarlas. Estos símbolos son los paréntesis ( ), los corchetes y las llaves, se les llama símbolos de agrupación y se usan para señalar de una manera más sencilla más de una operación, al indicar el orden preciso en que se deben efectuar. Cuando se escribe 300 + 25 como (300 + 25), se considera la suma de 300 + 25 como una cantidad; la expresión 500 - (60 + 70) significa que la suma de 60 y 70 se va a restar de 500. ¿Cómo expresarías el enunciado tres veces la suma de 3 y 7 menos cuatro veces la suma de 5 y 40?
59
Solución: 3(3 + 7) - 4(5 + 40) = donde el resultado se puede obtener de la siguiente manera: a) Si utilizas la propiedad distributiva, tendrás: 3(3 + 7) - 4(5 + 40)
= = = =
(3) (3) + (3) (7) - (4) (5) - (4) (40) 9 + 21 - 20 - 160 30 - 180 - 150
3(3 + 7) - 4(5 + 40)
= = =
3(10) - 4(45) 30 - 180 - 150
b) o bien
De los ejemplos anteriores se pueden mencionar algunas sugerencias prácticas para realizar operaciones con números reales donde se involucren signos de agrupación. Las cantidades o números agrupados se deben considerar como todo Ejemplo:
6 + (2 5)
Indica que la multiplicación 2 por 5 se efectúa primero y el producto se suma con 6 y da como resultado 16. 6 + (25)
= =
6 + (25)=6+10 16
Por lo regular, la multiplicación de los números reales se representan con un punto intermedio o con los signos de agrupación. Ejemplo: 4(3 + 6) = 4(3 + 6) = 4(9) = 36 Cuando un signo de agrupación está precedido por un signo positivo (más), los signos de los términos no se alteran, cuando va precedido por un signo negativo (menos) los términos si cambian de signo.
60
Ejemplos: a)
42 6
(1) (7) (4) + (7 - 5) - (12 - 6) +
= 28 + 2- 6 + 7
= 28 + 2 - 6 + 7 = 31 b)
5 - 6 - (6 - 2) - (4 - 0) - 6(1 + 3 - 0) + (- 2) (6 - 3)= 5 - 6 - 4 - 4 - 6 (4) + (- 2) (3) 5 - 6 - 0- 24 - 6 = 5 - 6 - 0 - 24 - 6 = 5 - 6 + 0 + 24 + 6 = 29
Utiliza las sugerencias para eliminar signos de agrupación y vamos a resolver los siguientes ejemplos: c)
5 - 2(8 - 3) = 5 - 2(5) simplifica el paréntesis primero. = 5 - 10 realiza primero la multiplicación antes de restar. =-5
Nota: Pudiste eliminar el paréntesis al utilizar la propiedad distributiva y luego restar. 5 - 2(8 - 3) = 5 - 16 + 6 =-5 Es muy frecuente en este tipo de ejemplos que cometas el siguiente error. 5 - 2(8 - 3) = 3(8 - 3) = 3(5) = 15 El error como observas es en restar el 2 de 5, esto no se puede hacer ya que el 2 multiplica al resultado de la operación del paréntesis.
61
Tienes que distinguir entre operaciones como: d) 6 - 3(4 + 8) y e) 6 - 3 + (4 + 8) La primera expresión te indica que a 6 le vas a sustraer el producto de 3 por la suma de 4 y 8. Mientras que la segunda expresión te indica simplemente 6 menos 3 más la suma de 4 y 8, al resolver las expresiones tendrás: 6 - 3(4 + 8)
f)
= = =
6 - 3(12) 6 - 36 - 30
6 - 3 + (4 + 8)
= = =
6 - 3 + (12) 6 - 3 + 12 15
5 - 2 3 - (6 - 2) = 1o. Resolver (6 - 2) = 5 - 2 3 - (4) 2o. Eliminar paréntesis = 5 - 23 - 4 3o. Resolver 3 4 = 5 - 2 - 1 4o. Eliminar corchetes = 5 + 2 5o. Resolver 5 + 2 = 7
Multiplica antes de restar y acuérdate de los ejemplos anteriores. Nota: Puedes aplicar la propiedad distributiva para encontrar el resultado y empezar a simplificar primero los paréntesis, luego los signos de corchetes y al final, si existen, las llaves.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Multiplica antes de restar y acuérdate de los ejemplos anteriores. Puedes aplicar la propiedad distributiva para encontrar el resultado y empezar a simplificar primero los paréntesis, luego los signos de corchetes y al final, si existen, las llaves. Problemas 1. En los siguientes problemas anota en el cuadro el número que corresponda a una respuesta correcta. a) 6 + 2 b) - 3 c)
2
=0 2 = 18 - 2 - 3 = 0 62
d)
42 +
e)
6 3+
f)
7
= 20 =-6 - 2 + 5 = - 42
2. Coloca signos de operación ( +, -, x, ) y paréntesis de tal forma que las siguientes operaciones sean correctas. Ejemplo: (3
1)
2=1
(3 - 1) 2 = 1 a)
__ 12 __ __ 4 __ 2 __ 2 __ = 4
b)
__ 4 __ 10 __ __ __ 2 __ __ 3 __ __ = 36
c)
__ __ 2 __ __ 7 __ 6 __ __ 3 __ __ __ 8 __ 10 __ = 3
d)
8 __ __ __ 6 __ 4 __ __ 2 __ = 4
e)
__ 8 __ 6 __ __ __ 4 __ 2 __ = 7
Potencias Como recordarás, en secundaria calculaste operaciones con potencias y con esto conociste algunas propiedades de esta operación. Por ejemplo: 23 = (2) (2) (2) = 8 34 = (3) (3) (3) (3) = 81 Los elementos que componen la utilización de potencias son: base
23
exponente
Ahora extenderemos la utilización de potencias con base negativa Ejemplo: (- 2)3 = (- 2) (- 2) (- 2) (- 3)4 = (- 3) (- 3) (- 3) (- 3) (- 6) (- 6) (- 6) = (- 6)3 (- 4) (- 4) (- 4) (- 4) = (- 4)4 63
=-8 = 81 = - 216 = 256
¿Cuándo una potencia resulta negativa? Si la base es negativa, ¿cuándo la potencia es positiva? Ahora, ¿recuerdas cómo se calcula la potencia de un número racional?
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Realiza los siguientes ejercicios: ¿Cuál es el número mayor que puedes formar con tres números? Solución: Problemas 1. Compara los valores obtenidos al calcular las potencias y encuentra la mayor potencia. a) con cuatro números 2 b) con cuatro números 3 c) con cuatro números 5 d) con tres números 9 2. Sigue los pasos y aplica los conocimientos que tienes sobre potencias. - Elige cualquier número impar. - Encuentra los dos números consecutivos que sumados componen ese número. - Eleva esos dos números al cuadrado - Calcula la diferencia entre esos dos cuadrados ¿Qué fue lo que obtuviste? ¿Puedes repetir el proceso para otro número impar? Explica lo que observaste. 3. Calcula las potencias que siguen a continuación. a) b)
c)
25 24 4 3 53
22 3 2 42
64
d)
e)
f)
4 5 33
6 2 22 32 210 2 9 24
Si aprendiste a utilizar adecuadamente las propiedades de campo de los números reales, los signos de agrupación y los procedimientos algoritmos de solución de las operaciones básicas adición, sustracción, producto y cociente, realizarás problemas de nivel de abstracción más elevados que te permitirán lograr el objetivo del tema que es Operar con números reales.
EXPLICACIÓN INTEGRADORA Hasta aquí estudiaste: Los símbolos de agrupación los cuales son: los paréntesis ( ), los corchetes y las llaves y se usan para señalar de una manera sencilla más de una operación, al indicar el orden preciso en que deben efectuarse. Y no olvides que las cantidades o números agrupados se pueden considerar como un todo.
65
RECAPITULACIÓN
En el siguiente esquema te presentamos una síntesis de los aspectos más relevantes del capítulo que acabas de estudiar, con la intención de que obtengas una idea clara de la secuencia que seguiste en tus aprendizajes, para que puedas entender y manejar estos conocimientos.
Necesidad de contar y medir en todas las culturas. Orígenes de Algunos Sistemas Numéricos
Surgimiento de los sistemas numéricos (sistema decimal, fundamentado en los conceptos de base y posición). Método de multiplicación por duplicación de los egipcios.
Operando con los números reales
Métodos y algoritmos
Procedimiento de Gauss. Solución de problemas.
Conjunto de números naturales (N), enteros (Z), racionales (Q), irracionales (Q)
Los números reales (R)
Asociativa, distributiva, conmutativa, cerradura.
Propiedades de las operaciones
Incluyen los signos de agrupación.
66
ACTIVIDADES INTEGRALES
Después de haber revisado los contenidos de este tema realiza las siguientes actividades, para que verifiques tu aprendizaje. 1. Si realizas una rifa de una libreta estilo francés con 90 números de 1 al 90, ¿cuál sería el monto de la venta de estos números si su precio es el indicado por el número del boleto? Por ejemplo, si eligen el número 35, su valor será de $35, y así respectivamente. 2. En las siguientes expresiones, establece las propiedades que se aplican. a)
25 + 35 = 35 + 25
b)
(17 + 13) + 20 = 17 + (13 + 20)
c)
16(2 x 15) = (16 x 2) x 15
d)
8(11 x 13) = 8(13 x 11)
e)
100 + 0 = 100
3. Con base en el significado de la propiedad asociativa, plantea distintas formas de realizar las siguientes operaciones y argumenta por qué los resultados son los mismos: 250 + 375 + 220 + 40 = 13 x 5 x 7 x 4 = 126 - 200 - 14 - 18 = 4. Justifica cada paso en la siguiente operación y nombra la propiedad que se emplea: (5 + 8) + (6 + 2) =
67
(5 + 8) + 6 + 2
=
5 + (8 + 6 + 2
=
5 + (6 + 8) + 2
=
5 + (6 + 8) + 2
=
5 + 6 + (8 + 2)
=
21
5. Realiza las siguientes operaciones con números reales: a)
(- 1) (- 3) =
b)
( - 4) (- 7) =
c)
(- 3 ) (+ 8) (9)
d)
- (-5) (- 3) (- 1) (12) =
e)
- 6 (6 + 8) + 8 - 32 + 16 =
f)
3 + 48 - 16 - 3 + 57 =
g)
(3 + 45) =
h)
(4 + 3) 2 =
i)
2 4 (2 5) 1 =
j)
4 + (25) =
k)
(- 3) + ( - 7) + (- 1) + (4) + (9) + (- 15) =
l)
(0) + (1) + (- 1) + (- 16) + (16) =
ll)
- - (- 2) + 3(6 - 8) 4 - 5 (5 + 2) =
m)
- (- 2) - 4 (4 - 6) 3 + (7 - 3) =
n)
3 - 7(5 - 6) - 3( - 2) - 5(- 4) - 6 + (5 - 7) =
o)
9 3 1 5 9 8
p)
2 5 5 5 4 6 2 5 5 3 4 6
q)
67 + 4(3 + 5) + 2(7 - 2)3 =
r)
(- 5) (- 2) 3 +2(1 - 1) - 7 (3 + 5) =
68
AUTOEVALUACIÓN
A continuación se presentan las respuestas de los ejercicios realizados, compáralas con las que obtuviste y rectifica aquellas que sean diferentes. 1. Tu respuesta debe ser (45) (91) = 4095 2. Las propiedades que aplicaste son: a)
Conmutativa de la adición
b)
Asociatividad de la adición
c)
Asociatividad de la multiplicación
d)
Conmutatividad de la multiplicación
e)
Identidad aditiva.
3. Si la propiedad asociativa permite asociar o agrupar cantidades de diferente manera, algunas de las formas en que puedes realizar dichas operaciones son las siguientes: 250 + 375 + 220 + 40
13 x 5 x 7 x 4
126 - 200 - 14 - 18
4.
=
(250 + 375) + (220 + 40)
=
250 + (375 + 220) + 40
=
(250 + 375 + 220) + 40
=
(13 x 5) (7 x 4)
=
13 x (5 x 7) x 4
=
13 x (5 x 7 x 4)
=
(126 - 200) - 14 - 18
=
(126 - 200 - 14) - 18
= Asociativa Asociativa Conmutativa Asociativa Asociativa Cerraduras de la adición
126 + (- 200 - 14 - 18)
69
5.
a)
3
b)
28
c)
-216
d)
180
e)
- 92
f)
89
g)
48
h)
14
i)
29
j)
14
k)
-13
l)
0
ll)
-124
m) n) o)
70 - 2080
3 40
p)
3 5
q)
349
r)
-26
Nota: De las respuestas k) a la r) se te sugiere poner atención en la eliminación correcta de los signos de agrupación y el orden de las operaciones. Recuerda cómo se eliminan los signos.
70
CAPÍTULO 2
DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA 2.1
MÉTODOS ARITMÉTICOS 2.1.1 Método por Ensayo y Error 2.1.2 Razones y Proporciones 2.1.3 Diagramas de Operaciones
2.2
MODELOS ALGEBRAICOS
71
72
PROPÓSITO
En el capítulo anterior operaste con los números reales, y aplicaste las propiedades de sus operaciones. Para este capítulo:
¿QUÉ APRENDERÁS?
¿CÓMO LO APRENDERÁS?
Al valorar la importancia del álgebra para la solución de problemas que con la aritmética son más laboriosos de resolver.
Comparando los métodos aritméticos y los algebraicos; analizando los ejemplos que se incluyen en el contenido, y desarrollando las actividades que se proponen.
¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR? Para identificar los modelos algebraicos como una herramienta que nos ahorran tiempo y esfuerzo en la solución de problemas concretos.
73
74
CAPÍTULO 2 DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA
2.1 MÉTODOS ARITMÉTICOS Generalmente aprendemos matemáticas como un proceso mecánico, donde lo único que se requiere es sumar, restar, multiplicar o dividir dos cantidades; sin embargo, las matemáticas son la base del razonamiento y toma de decisiones en muchas de nuestras actividades, simplemente si tuviéramos prisa, ¿cómo tomaríamos la decisión de aplicar un procedimiento u otro para concluir una actividad, sin calcular el tiempo que nos lleva cada alternativa? en este caso nos auxilia la aritmética, que es una área de las matemáticas con las que te has relacionado desde que conociste los números para realizar operaciones con ellos. Ahora bien, en ocasiones nos enfrentamos a problemas que con la aritmética es muy laborioso solucionar, porque no tenemos todos los datos, y por consecuencia no podemos tomar una decisión certera. En estos casos nos auxilia el álgebra, por ejemplo: Imagínate que te ofrecen trabajo de vendedor en dos compañías; en la primera te ofrecen un sueldo base de $ 500.00 mensuales, más el 4% de comisión sobre las ventas totales del mes; y en la segunda únicamente el 7% de comisión sobre las ventas totales del mes. Además sabes que el promedio de ventas en un mes supera los $10,000.00 por vendedor y que tú eres muy hábil en este tipo de trabajos. ¿Por qué compañía te decidirías? Si no sabes álgebra seguramente aceptarías la oferta de la primer compañía, pero si tienes conocimientos algebraicos, antes de decidir harías algunos cálculos, que te ayudarían a tomar la decisión más certera.
75
Pero iniciemos analizando las ventajas del álgebra, para lo cual es necesario conocer los alcances de los métodos aritméticos como son: El Método de Ensayo y Error que nos permitirá ejercitar las operaciones aritméticas, aplicadas a la resolución de problemas. El Método de Razones y Proporciones nos ayudará a rescatar nuestros conocimientos de proporcionalidad. Finalmente el Método de Diagramas de Operaciones que establece el puente para llegar al álgebra. 2.2.1 MÉTODO POR ENSAYO Y ERROR Para solucionar un problema por el método de ensayo y error, necesitamos intentar encontrar el valor correcto resolviéndolo con cantidades aproximadas, si con la primera el resultado es mucho menor del que esperamos, debemos aumentarla y si se excede, debemos disminuirla.También es indispensable que leamos, las veces que sea necesario el planteamiento del problema para definir: qué datos tenemos, qué es lo que necesitamos encontrar, y qué procedimiento podemos aplicar. Recuerda también que para resolver un problema aritmético, únicamente requieres de las operaciones básicas y analizarlo correctamente. EJEMPLO Se tiene un terreno cuadrado cuyos lados miden 30 metros y se tiene bardeada una porción rectangular de 20 metros de largo por 8 de ancho. Si se quiere ampliar el área bardeada a 364 m 2, además aumentar la misma longitud en su largo como en su ancho, ¿qué longitud se debe ampliar la barda en cada lado? Para tener una mejor idea del problema que se plantea, podemos recurrir a la figura 2. 20m
?
8m
30m
?
Figura 2. El área sombreada corresponde a la actualmente bardeada. La línea punteada delimita el área deseada. ¿A cuánto corresponde la longitud ampliada?
Antes de continuar, recuerda que para calcular el área de un rectángulo, multiplicamos la longitud del largo por la del ancho. Así, el área que actualmente está bardeada es de 160 m2 y el área que deseamos obtener, es 364 m 2. Como debemos obtener estas nuevas longitudes al sumar la misma cantidad al ancho y largo actuales, para resolver el problema tenemos que encontrar un número tal, que al sumarlo a 20 y 8, el producto de los resultados respectivos sea 364.
76
Podemos enfrentar este problema de diversas maneras, por el momento lo vamos a hacer con el método de ensayo y error que consiste en ir probando o ensayando varios valores hasta llegar al resultado correcto. Sumemos 1 a cada una de las longitudes y multipliquemos los resultados obtenidos: (20 + 1) x (8 + 1) = 21 x 9 = 189 Esta cantidad es menor a la deseada. Sumemos entonces 2 a cada una de las longitudes y multipliquemos los resultados obtenidos: (20 + 2) x (8 + 2) = 22 x 10 = 220 que es todavía menor que la cantidad requerida. Sumemos ahora 10 a cada una de las longitudes y multipliquemos los resultados obtenidos nuevamente: (20 + 10) x (8 + 10) = 30 x 18 = 540 que es mayor que la cantidad requerida. Esto es, si aumentamos 2 metros a cada lado, obtenemos un área de 220 m 2 y si aumentamos 10 metros a cada lado obtenemos un área de 540 m 2. Como al aumentar la longitud de los lados aumenta el área y el área que buscamos está entre 220 y 540, el número que buscamos debe estar entre 2 y 10. Hagamos la prueba con 5: (20 + 5) x (8 + 5) = 25 x 13 = 325 que es todavía menor que 364, así que probaremos con otro número que sea mayor que 5 y menor que 10. Ya que 325, el valor correspondiente a 5, está más cercano a 364 que lo está 540, el valor correspondiente a 10, probaremos con un número que sea más cercano a 5 que a 10. Hagámoslo con 6: (20 + 6) x (8 + 6) = 26 x 14 = 364 que es el área que buscamos. Así, para resolver el problema se requiere de aumentar 6 metros a la longitud del largo y del ancho, respectivamente.
77
EJEMPLO Una compañía arrendadora de automóviles cobra por la renta de un auto $120.00 pesos diarios, más $ 2.00 pesos por kilómetro recorrido; otra compañía cobra por la renta del mismo auto $ 80:00 pesos diarios, más $ 2.50 pesos por kilómetro recorrido. ¿Cuántos kilómetros se deben recorrer diariamente para que la renta del automóvil sea la misma en la dos compañías? Resolveremos el problema nuevamente por el método de ensayo y error. Consideremos varios valores, correspondientes a kilómetros recorridos para calcular el costo respectivo en cada una de las compañías. Con 50 kilómetros: Costo en la primera compañía: 120.00 + 50 x 2.00 = 120.00 + 100.00 = 220.00 Costo en la segunda compañía: 80.00 + 50 x 2.5 = 80.00 + 125.00 = 205.00 En este caso el costo en la primera compañía es mayor que en la segunda. Con 60 kilómetros: Costo en la primera compañía: 120.00 + 60 x 2.00 = 120.00 + 120.00 = 240.00 Costo en la segunda compañía: 80.00 + 60 x 2.5 = 80.00 + 150.00 = 230.00 En este caso, nuevamente, el costo es mayor en la primera compañía que en la segunda. Con 70 kilómetros: Costo en la primera compañía: 120.00 + 70 x 2.00 = 120.00 + 140.00 = 260.00 Costo en la segunda compañía: 80.00 + 70 x 2.50 = 80.00 + 175.00 = 255.00 Todavía el costo es mayor en la primera compañía que en la segunda. Para tener una mejor visión del problema resumiremos los datos en una tabla.
78
Kilómetros Recorridos 50 60 70
Costo en la Primera Compañía 220.00 240.00 260.00
Costo en la Segunda Compañía 205.00 230.00 255.00
Tabla 1. La primera columna corresponde a los kilómetros recorridos, la segunda el costo de rentar el automóvil en la primer compañía al recorrer el número de kilómetros indicado en cada renglón, y la tercera, el costo que tiene rentarlo en la segunda compañía al recorrer, también, el número de kilómetros indicado en cada renglón.
Como puedes observar, el tener concentrados los datos relevantes del problema en la tabla nos puede ayudar a analizarlos. De estos datos observamos que cuando crece el número de kilómetros recorridos, los dos costos también crecen. Asimismo vemos que el costo en la primer compañía es mayor que en la segunda, aunque la diferencia entre los dos costos disminuye cuando aumentamos el número de kilómetros. Si analizas con cuidado la tabla te darás cuenta que por cada 10 kilómetros que se aumenta, los costos para la primera compañía aumenta 20.00 pesos y los de la segunda 25.00 pesos. De esta manera podemos obtener calcular valores, sin tener que hacer tantos cálculos. Consideremos nuevos valores para los kilómetros recorridos, 80, 90, 100 y 110 por ejemplo, calculemos los dos costos correspondientes para cada uno de ellos, al aumentar de 20.00, en 20.00 en la primera columna y de 25.00 en 25.00 en la segunda concentremos los datos en la tabla y aumentemos cuatro renglones a la tabla anterior. Kilómetros Recorridos 50 60 70 80 90 100 110
Costo en la Primera Compañía 220.00 240.00 260.00 280.00 300.00 320.00 340.00
Costo en la Segunda Compañía 205.00 230.00 255.00 280.00 305.00 330.00 355.00
Tabla 2. Se aumentaron los renglones correspondientes a 80, 90, 100 y 110 km recorridos. Se calculó el costo para la primer compañía al aumentar de 20 en 20 pesos, y para la segunda de 25 en 25.
Como puedes observar, el kilometraje que se requiere para que el costo de la renta sea igual en las dos compañías es 80. Además, observa que cuando el número de kilómetros es mayor que 80, el costo de la renta en la segunda compañía es ahora mayor que en la primera y que la diferencia crece. Ahora observa que el método de ensayo y error, nos sirve para solucionar problemas donde nos hace falta un dato, y lo que tenemos que hacer es aproximarnos con diversos valores y comparar los resultados obtenidos hasta encontrar el correcto ¿Te pareció muy complicado el procedimiento? ¿Crees que exista una forma más sencilla para solucionarlos? 79
2.1.2 RAZONES Y PROPORCIONES El método de razones y proporciones se aplica como un auxiliar del método de ensayo y error, en problemas donde dos datos están relacionados, y se pueden expresar como una fracción, para obtener un tercer dato que también está relacionado y se conoce como constante o coeficiente de proporcionalidad. Recuerda que antes de analizar el procedimiento de resolución para los ejemplos que se plantean, debes intentar solucionarlos y comparar el procedimiento que realizaste con el que aparece en el fascículo. EJEMPLO La inflación en los últimos tres años fue de 35%, 20% y 13 % respectivamente ¿Cuál era el precio de un artículo hace tres años si ahora cuesta $338.66? si suponemos que su precio ha crecido al mismo ritmo que la inflación. Para aclarar el problema revisa la tabla 3. INFLACIÓN A HACE
DE HACE 3 años 2 años 1 año
2 años 1 año A la actualidad
%
35 20 13
Tabla 3. Los últimos tres años abarcan el actual, el anterior y el de hace dos. La inflación se determina en función del año anterior.
Este problema lo podemos solucionar desde diversos métodos, sin embargo, primero lo abordaremos desde el método de ensayo y error, para lo cual se calcula la devaluación de 100 y 200 pesos de hace 3 años, considerando los porcentajes inflacionarios. Para calcular la inflación de $100.00 analiza la siguiente tabla: TIEMPO
Hace 3 años Hace 2 años Hace 1 año Actualmente
VALOR DE $100.00
$100.00 100.00 + 35% (100.00 + 35%) + 20% (100.00 + 35%) + 20%+ 13%
Tabla 4. En la segunda columna aparece como se incrementó el valor de los $100.00 de acuerdo a la inflación.
Hace dos años: Para obtener el valor que conforme a la inflación tomaron hace dos años los 100.00 pesos de hace tres años, le sumamos la cantidad correspondiente al porcentaje de inflación de ese año (35%). 100.00 + 0.35 (100.00) = 135.00 80
(1)
reagrupamos, en vista de la propiedad distributiva*, (1 + 0.35) (100.00) = 135.00
(1’)
Hace un año: De la misma manera, para obtener el equivalente que conforme a la inflación tomaron hace un año los 135,000 pesos de hace dos, sumamos la cantidad correspondiente al porcentaje de inflación de ese año (20%). 135.00 + 0.20 (135.00) = 162.00
(2)
(1 + 0.20) (135.00) = 1.20 (135.00) = 162.00
(2’)
* Recuerda que para sumarle un X% a una cantidad, se multiplica la cantidad por 1.X dado que 1 corresponde 100% y X al porcentaje que se le suma. Este año: Para calcular el valor actual procederemos en forma análoga. 162.00 + 0.13(162.00) = 183.06 (1 + 0.13) (162.00) = 1.13 (162.00) = 183.06
(3) (3’)
Se hicieron los cálculos cuando se multiplicaron las cantidades por 1.35, 1.20 y 1.13 respectivamente. Ahora procedamos a calcular el costo actual de 200 pesos. Así para calcular a cuánto eran equivalentes hace dos años, de acuerdo con el índice de inflación, 200.00 de hace tres, multiplicamos 200.00 por 1.35. Observamos que:
1.35(200.00)
(4)
200.00 = 2(100.00)
(5)
Entonces: 1.35(200.00) = 1.35 (200.00) = 1.35 (2(100.00))
81
(6)
Al reagrupar: 1.35 (2(100.00)) = 2(1.35(100.00)
(7)
O sea, que el valor correspondiente de hace dos años, de acuerdo a la inflación, de los 200.00 pesos de hace tres años, es el doble del correspondiente a 100.00 Para calcular los valores para hace un año y para este año, duplicamos los encontrados para 100.00 respectivamente. Hace un año: 2(162.00) = 324.00 Este año: 2(183.06) = 366.12 Al resumir los resultados anteriores diremos que 200.00 es el doble de 100.00 y que también los valores correspondientes a 200.00, respecto a la inflación (270; 324.00; 366.12) son el doble de los que toma 100.00 (135.00; 162.00; 183.06) respectivamente. Decimos entonces que los dos conjuntos de valores son proporcionales y los escribimos: Hace tres años
200.00 = 2(100.00)
Hace dos años
270.00 = 2(135.00)
Hace un años
324.00 = 2(162.00)
Este año
366.12 = 2(183.06)
O bien: 200.00 270.00 324.00 366.12 2 100.00 135.00 162.00 183.06
En este caso al número dos le llamamos el coeficiente de proporcionalidad. Al repetir el proceso anterior veremos que si en lugar de 200.00 tomamos otra cantidad, los valores obtenidos también serán proporcionales con los correspondientes a 100.00. Por ejemplo, sabemos que 50.00 es la mitad de 100.00, luego, 50.00 pesos de hace tres años equivalen según la inflación a:
82
Hace dos años:
1 (135.00) 67.50 2
Hace un año:
1 (162.00) 81.00 2
Este año:
1 (183.06) 9153 . 2 En este caso
1 es el coeficiente de proporcionalidad. 2
Retomemos el problema original, que era encontrar el valor que tenían 338.66 pesos actuales, hace tres años. Apoyándonos en los valores que hemos encontrado podemos calcular el coeficiente de proporcionalidad. Para tener una mejor visión del problema resumimos los datos en la siguiente tabla: HACE TRE AÑOS $ 50.00 100.00 ? 200.00
HACE DOS AÑOS $ 67.50 135.00 ? 270.00
HACE UN AÑO $ 81.00 162.00 ? 324.00
ESTE AÑO $ 91.53 183.06 338.66 366.12
Tabla 5
Para calcular el coeficiente de proporcionalidad para 338.66 pesos actuales, podemos dividir dicha cantidad entre cualquier valor de este año. Calculemos el coeficiente de proporcionalidad: 338.66 = 1.85 183.06 o sea que:
338.66 = 1.85 (183.06)
Como los valores del segundo y tercer renglón deben ser proporcionales y por la igualdad anterior sabemos que el coeficiente de proporcionalidad es 1.85, para calcular los valores del tercer renglón basta con multiplicar por 1.85 los del segundo: 185.00 = 1.85(100.00) 249.75 = 1.85(135.00) 299.70 = 1.85(162.00) 83
y para completar la tabla 6 con estos valores tenemos: HACE TRES AÑOS
HACE DOS AÑOS
HACE UN AÑO
ESTE AÑO
$ 50.00
$ 67.50
$ 81.00
$ 91.53
100.00
135.00
162.00
183.00
185.00
249.75
299.70
338.66
200.00
270.00
324.00
366.12
Tabla 6
Hemos visto como la proporcionalidad nos ayudó a resolver el problema. Tal vez en este momento te puede parecer, que sin usarla hubiera sido más fácil; esto se debe en parte a que, en el curso del mismo, se introdujo el concepto de proporcionalidad, pero para llegar a que los $338.66 son equivalentes a $185,00 de hace tres años, tendríamos que haber hecho muchos más cálculos si únicamente hubiéramos aplicado el método de ensayo y error. Resolveremos ahora el siguiente problema con el método de ensayo y error, nos apoyaremos en el concepto de proporcionalidad. Puedes observar cómo su uso nos ahorra mucho trabajo. EJEMPLO En 1980 la población del estado de Sonora tenía aproximadamente 1’500,000 habitantes. si suponemos que la tasa media de crecimiento de 1975 a 1980 fue el 5% anual. ¿Cuántos habitantes tenía en 1975 y cuál fue el último año que tuvo este estado menos de 1’250,000? Calcularemos el crecimiento de diferentes poblaciones, con la misma tasa de crecimiento que la enunciada en el problema. Si partimos de una población de 1’000,000 habitantes en 1975, tendremos: 1976: 1’000,000 + 0.05 (1’,000,000) = 1’000,000 + 50,000 = 1’050,000
84
Antes de continuar, obtengamos una forma más simple de hacer los cálculos: 1’000,000 + 0.05 (1’000,000)
= (1 + 0.05) (1’000,000) = = 1.05 (1’000,00) = 1’050,000
Así, para calcular la población después de un año, si la tasa de crecimiento es de 5% anual, se multiplica el número de pobladores por 1.05. 1977: 1.05 (1’050,000) = 1’102,500 1978: 1.05 (1’102,500) = 1’157,625 1979: 1.05 (1’157,625) = 1’215,506.2 1980: 1.05 (1’215,506.2) = 1’276,281.5 A pesar de que para los dos últimos años el resultado fue un número no entero y de que no podemos tener un número no entero de personas, para efectuar los cálculos usaremos estos números. Aunque solamente tengamos los valores correspondientes a una población de 1’000,000 habitantes en 1975, empecemos a construir la tabla para tener mayor claridad, en ella no consignamos la parte decimal de los números correspondientes a 1979 y 1980. 1975 1,000,000
1976 1,050,000
1977 1,102,500
1978 1,157,625
Tabla 7
1979 1,215,506
1980 1,276,281
Añadimos un renglón en la tabla, aquél que corresponde al valor 1’500,000 en 1980. 1975 1,000,000 ?
1976 1,050,000 ?
1977 1,102,500 ?
1978 1,157,625 ?
Tabla 8
1979 1,215,506 ?
1980 1,276,281 1,500,000
Los valores del segundo renglón son proporcionales a los del primer renglón (¿por qué?), por lo tanto, si calculamos el coeficiente de proporcionalidad calcularemos los valores que hacen falta. 85
1500 , ,000 1175 . 1276 , ,281 La constante de proporcionalidad es entonces 1.175. Para conocer cuántos habitantes había en 1975, multiplicamos 1,000,000 por 1.175: 1.175 (1,000,000) = 1,175,000 Si solamente quisiéramos saber cuantos habitantes había en 1975, ya hubiéramos terminado; pero como también queremos saber cuándo fué el último año que hubo menos de 1,250,000; efectuamos entonces los demás cálculos: 1.175 (1,050,000) = 1,233,750 1.175 (1,102,500) = 1,295,437 En este momento ya podemos responder la segunda pregunta, por lo que no necesitamos seguir calculando. El último año que hubo menos de 1’250,000 habitantes fue en 1976, no fue necesario por tanto, terminar de llenar la tabla. 1975 1,000,000 1,175,000
1976 1,050,000 1,233,750
1977 1,102,500 1,295,437
1978 1,157,625 ?
Tabla 9
1979 1,215,506 ?
1980 1,276,281 1,500,000
En la resolución del problema anterior, viste que efectivamente el uso de la proporcionalidad nos ahorró bastante trabajo, de hecho solamente hubo que ensayar con un valor y después hicimos uso de ella, para calcular directamente, por medio de la constante de proporcionalidad, los valores que buscábamos. Puedes ahora preguntarte, ¿podemos aplicar la proporcionalidad para resolver todos los problemas que hemos visto?, y si no es así, ¿cómo podremos saber cuándo hacer uso de ella? Observe el siguiente ejemplo: EJEMPLO Se tiene un terreno cuadrado cuyos lados miden 30 metros, se tiene bardeada una porción rectangular de 20 metros de largo por 8 de ancho. si se quiere ampliar el área bardeada a 364 m 2 y aumentar la misma longitud en su largo como en su ancho, ¿qué longitud se debe ampliar la barda en cada lado?
86
LARGO 20 21 22 25 26 30
Para ello calculamos los cocientes
ANCHO 8 9 10 13 14 18
ÁREA 160 189 220 325 364 540
20 8 160 , , 26 14 364 20 0.769 26
8 0.571 14 160 0.439 364
Ya que los cocientes no son iguales, los renglones no son proporcionales y no podemos, por tanto, resolver este problema usando la proporcionalidad. Observa que el método de razones y proporciones, únicamente lo podemos aplicar cuando se determina el coeficiente de proporcionalidad. ¿Te pareció más sencillo este método que el de ensayo y error? ¿Cuál es la razón? 2.1.3 DIAGRAMAS DE OPERACIONES Hasta ahora hemos visto como resolver aritméticamente ciertos problemas con el método de ensayo y error. Nos apoyamos en ocasiones, cuando el problema lo permite, en la proporcionalidad. Es importante insistir en que estos problemas tienen una importante diferencia, con aquellos que estábamos acostumbrados a resolver. Por lo general, siempre teníamos que calcular o encontrar una cierta cantidad y era claro qué operaciones había que realizar con los datos numéricos del problema. Por ejemplo: si nos encontrábamos de viaje en alguna ciudad de los Estados Unidos de Norteamérica y el costo de una comida fue de 23 dólares, es claro que, para saber cual fue su costo en pesos mexicanos, bastaría con multiplicar 23 por el número de pesos que cuesta comparar un dólar (lo que usualmente se conoce como el tipo de cambio pesodólar).
87
Esto es, operábamos con cantidades conocidas y nos interesábamos por el resultado de operar con ellas. En los problemas que hemos planteado en este fascículo, conocemos los resultados de ciertas operaciones y lo que nos interesa es saber la cantidad de que partimos. Por ello en los problemas que ahora queremos resolver, no es tan claro qué operaciones aritméticas debemos realizar con los datos numéricos del problema, para encontrar la cantidad de que partimos. De hecho, como se vio, tuvimos que hacer “algo más” que operaciones aritméticas. Este “algo” adicional fue la implementación de un método para resolverlos. Este método, como ya hemos dicho, se conoce usualmente como el método de prueba y error o ensayo y error. como te podrás dar cuenta, el nombre del método es muy descriptivo, máxime si recuerdas que para encontrar la cantidad deseada, probábamos con algunos valores hasta que encontrábamos aquel que satisficiera las condiciones del problema, es decir, hasta que ya no hubiera error. Aún cuando en algunos casos este método puede resultar seguro, en algunos otros puede ser inútil o cuando menos excesivamente laborioso. El siguiente es un ejemplo donde se determinarán las operaciones que hay que realizar con los datos numéricos, para llegar a la cantidad de que partimos, no es tan sencillo y resolverlo por el método de ensayo y error es tardado y, como ya se ha dicho, laborioso. EJEMPLO Pedro pensó un número, que multiplicó por 2; al resultado le sumó 5 para después dividir por 5, restar 1, multiplicar por 8 y, finalmente, sumar 7. El resultado que obtuvo fue el número 39. ¿Cuál es el número que pensó Pedro? Resuelve el problema por el método de ensayo y error. Una vez que lo hayas hecho, lee el método de solución que te proponemos. Para resolver este problema pensaremos lo siguiente: ¿podemos saber cuál es el número que obtuvo Pedro antes de realizar la última operación (sumar 7) y cuyo resultado le dio 39? Es decir, ¿cuál es el número que al sumarle 7 da 39? No cuesta mucho trabajo convencerse de que, para obtener este número, basta con que a 39 le restemos 7 (lo inverso de sumar 7). Así pues, como 39 - 7 = 32, ya sabemos que el resultado que obtuvo Pedro, después de haber realizado las primeras cinco operaciones fue 32. Ahora nos preguntaremos: ¿cuál es el número que Pedro obtuvo antes de multiplicar por 8 y cuyo resultado le dio 32? Es decir, ¿cuál es el número que multiplicado por 8 da 32? Como en el caso anterior, es fácil darse cuenta que, para encontrar este número, basta con que a 32 lo dividamos por 8 (lo inverso de multiplicar por 8) de modo que, como 32/8 = 4, llegamos a la conclusión de que 4 fue el resultado que Pedro obtuvo después de realizar las primeras cuatro operaciones con el número que pensó. Seguramente a estas alturas, ya te diste cuenta del método que empleamos para encontrar cada uno de los números que Pedro obtuvo conforme realizó las operaciones, y de este modo llegar al número inicial. De hecho, nuestro problema queda ilustrado gráficamente de la siguiente manera:
88
x2
?
+5
?
5
?
-1
?
x8
?
+7
?
39
y el método que usamos para resolverlo es de la siguiente forma:
10
2
-5
20
x5
25
+1
5
8
4
-7
32
39
Como podrás observar, de esta manera es fácil determinar cuales son las operaciones, que hay que realizar con los datos numéricos del problema. A los diagramas construidos les llamaremos diagramas de operaciones. Compara ahora la manera en que solucionamos el problema por medio de los diagramas de operaciones, con la manera en que lo hiciste con el método de ensayo y error. Podrás darte cuenta, en primer lugar, de que el número de operaciones que tuviste que realizar fue bastante menor, a menos que el primer número que hayas escogido para probar haya sido 10, lo cual sería realmente una casualidad. En segundo lugar, verás que la manera de resolver el problema se aplica a cualquier otro número, para el cual el problema tenga solución. Así, si se tiene el número 55 como resultado de efectuar las operaciones descritas con un número, que se pensó al aplicar el método del diagrama de operaciones se obtiene:
15
2
30
-5
35
x5
7
+1
6
8
48
-7
55
Desafortunadamente, con el método anterior no es posible resolver una buena variedad de los problemas, que enfrentamos. Más aún, si hacemos una pequeña modificación al ejemplo te darás cuenta que el método que empleamos ya no funciona. EJEMPLOS Pedro pensó un número al cuál multiplicó por 2, al resultado le sumó 5, para después dividir por 5, sumar el número que pensó, multiplicar por 8 y finalmente restar 3 y obtendrás como resultado el número 61. ¿Cuál es el número que pensó Pedro? Si aplicamos el método empleado en el problema anterior, llegamos a un punto en el cual ya no podemos avanzar.
89
Esto se ve más claramente en el siguiente diagrama: ?
2
?
-5
?
x5
?
?
8
8
64
+3
61
El método de diagramas de operaciones únicamente requiere saber cuál es la operación inversa que corresponde ¿Crees que exista una forma más sencilla de resolver este tipo de problemas? ¿Cómo te imaginas que podrías plantearlos?
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Para que ejercites los tres métodos que analizamos en este tema, resuelve los siguientes problemas por el método que se indica. POR ENSAYO Y ERROR: 1) Dos trenes salen de la estación al mismo tiempo, uno hacia el norte y otro hacia el sur ¿cuánto tiempo tardan en distanciarse 845 km entre ambos, si la velocidad del primero es de 100 km/h, y el segundo va a 95 km/h? Respuesta: ____________________ Para resolver este problema, deberás aumentar las horas. Si con esto no llegas al resultado exacto, transforma las horas a minutos. Para dar la respuesta, vuelve a transformar los minutos a horas.
845 km t = ? 2
1
N
E 2) ¿Qué número habrá que sumar a 25 y 30, para que el producto de los resultados sea 1974? Respuesta: ______________ Recuerda que cuando hablamos de producto, nos referimos al resultado de una multiplicación.
90
3) Se invierten $1,000.00 en el banco a un interés de 10% anual ¿cuántos años tendrán que pasar para obtener más de $ 5,000.00 si se reinvierten los intereses? Recuerda que para sumarle el 10% a una cantidad se multiplica la cantidad por 1.1. POR RAZONES Y PROPORCIONES 4) Una compañía arrendadora de automóviles cobra por la renta de un auto $120.00 diarios, más $2.00 por kilómetro recorrido; otra compañía cobra por la renta del mismo auto $80.00 diarios, más $2.50 por kilómetro recorrido ¿cuántos kilómetros se deben recorrer diariamente para que la renta del automóvil sea la misma en las dos compañías? Respuesta: ________________ Para solucionar este problema, primero aplica el método de ensayo y error para dos valores; después encuentra el coeficiente de proporcionalidad; con éste, calcula el valor que se solicita. Si no lo puedes solucionar por este método, escribe en media cuartilla las razones. 5) Dos trenes salen de la estación al mismo tiempo, uno hacia el norte y otro hacia el sur ¿cuánto tiempo tardan en distanciarse 768 km entre ambos, si la velocidad del primero es de 80 km/h y del segundo de 90 km/h? Inicia la resolución de este problema por ensayo y error; después obtén el coeficiente de proporcionalidad y calcula el valor que se solicita. Si no puedes resolverlo por este método explica las razones en media cuartilla. POR DIAGRAMAS DE OPERACIONES 6) Juan abrió una cuenta de cheques con una cierta cantidad el día primero de enero. El día 5 hizo un depósito de $200.00; el 10 extendió un cheque por una cantidad igual a la mitad de su saldo del día 5; el día 15 hizo un depósito por una cantidad que le triplicó su saldo del día 10 y el día 25 hizo un retiro de $ 50.00 ¿Cuál es la cantidad inicial con la que abrió Juan su cuenta de cheques, si el banco le informa que a fin de mes tiene un saldo de $400.00? Respuesta: ______________________ Lee con cuidado el problema, al tiempo que haces el diagrama original una vez que lo tengas terminado, realiza las operaciones. 7) José compra un cierto producto cada año. En 1988 le costó una cierta cantidad. Para 1989 lo compró $50.00 más barato; en 1990 era cuatro veces más caro que en 1989; en 1991, en una oferta, lo compró a mitad de precio del año anterior y en 1992 compró el producto en $400.00, lo que representa $100.00 más que en 1991. ¿Cuál fue el precio del producto en 1989? Respuesta: ______________________ Lee con cuidado el problema, no te confundas con los años, el procedimiento es exactamente el mismo que en el caso anterior. 91
EXPLICACIÓN INTEGRADORA
Hasta aquí hemos revisado tres métodos aritméticos que nos sirven para solucionar problemas donde nos hace falta un valor. Las operaciones que aplicamos en la mayoría de los casos, fueron las básicas: suma, resta, multiplicación y división, también aplicamos el por ciento, en los problemas que solucionamos por razones y proporciones. En el siguiente mapa conceptual podrás observar la síntesis de este tema: MÉTODOS ARITMÉTICOS permiten solucionar PROBLEMAS por
ENSAYO Y ERROR
con
VALORES APROXIMADOS
DIAGRAMAS DE OPERACIONES que se apoya en
con
RAZONES Y PROPORCIONES
OPERACIONES INVERSAS
con
COEFICIENTE DE PROPORCIONALIDAD
También incluimos que cuando no contamos con dos datos en un problema no podemos solucionarlos con los métodos aritméticos. Este tipo de problemas se resuelven con los modelos algebraicos que abordaremos en el siguiente tema, con la finalidad de reconocer su lenguaje.
92
2.2 MODELOS ALGEBRAICOS Los modelos algebraicos son una herramienta que nos ayuda a solucionar problemas cotidianos, cuando no contamos con dos datos o más. Para construir este tipo de modelos, debemos traducir el lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico, para lo cual representamos las incógnitas con una literal; formamos una expresión, y hacemos uso de la igualdad “=“ para así establecer la ecuación a resolver. EJEMPLOS Queremos saber qué número le tenemos que sumar a 10 y restar al 18 para obtener la misma cantidad. Para iniciar la construcción de un modelo algebraico, debemos precisar el valor (o valores) que deseamos encontrar, sin recurrir al ensayo y error; a éste valor le llamaremos incógnita. En el problema planteado, la incógnita es el número que le tenemos que sumar a 10 y restar a 18 para obtener la misma cantidad. Posteriormente, es necesario representar la incógnita con una letra o literal x. Al sustituir el valor que deseamos encontrar por la literal “x”, en el ejemplo que estamos analizando, formaríamos la expresión 10 + x, así como 18 - x. Si decimos que los resultados de estas expresiones deben ser iguales entonces podemos representarlas con la siguiente expresión: 10 + x = 18 - x Encontrar el número buscado, se reduce entonces, a encontrar un número tal, que al ser sustituido por la literal x, en la expresión anterior, haga que en ambos lados se obtenga el mismo valor. No ha sido una casualidad que usemos la palabra expresión para referirnos a 10 + x, 18 x, así como a 10 + x = 18 - x. El concepto expresión está relacionado al lenguaje o lengua. Es muy común usar como sinónimos expresión y oración. En el siguiente cuadro podemos ver como las expresiones x; 10 + x; 18 - x, así como 10 + x = 18 - x son semejantes a una oración, a través de las cuales comunicamos una idea concreta.
93
LENGUAJE COMÚN Queremos saber qué número le tenemos que sumar a 10 y restar a 18 para obtener la misma cantidad
EXPRESIÓN x 10 + x 18 - x 10 + x = 18 - x
Tabla 10. En la columna izquierda, aparecen oraciones o ideas en el lenguaje cotidiano. En la columna derecha, puedes observar una forma de representar esas ideas al substituir el valor que queremos encontrar por “x”.
Las expresiones que aparecen en la columna de la derecha de la tabla 10, son oraciones de un lenguaje cotidiano, el cual es traducido a un lenguaje algebraico. Ahora bien cuando dos expresiones involucran el signo igual ( = ), son llamadas igualdades ó ecuaciones. Las expresiones que aparecen a cada lado del signo =, se llaman miembros de la ecuación. Es necesario aclarar que en este capítulo, únicamente estamos analizando como se construyen los modelos algebraicos, por lo que no abordaremos el procedimiento para resolverlos. Dichos procedimiento lo estudiarás en los siguientes fascículos de esta asignatura. Con la única finalidad de que compruebes que la ecuación tiene el mismo valor en ambos miembros, te proporcionamos el valor de “x”, el cual es 4. Entonces, sustituyendo las incógnitas por el valor de 4, encontramos que dicha igualdad se cumple: 10 + 4 = 18 - 4 14= 14 EJEMPLO Actualmente, mi padre tiene 46 años y yo tengo 17. ¿Dentro de cuántos años, mi edad será exactamente la mitad de la edad que tendrá mi padre? Es claro que actualmente mi edad (17 años), es menor que la mitad de la de mi padre (23 años). En este ejemplo, es importante destacar la dificultad para determinar cuáles son las operaciones aritméticas que se realizarán con los datos numéricos, para encontrar el valor que requerimos (el número de años que tienen que pasar para que, en ese momento, mi edad sea la mitad de la de mi padre). Independientemente de que este ejemplo parezca más complicado que el anterior, procederemos de la misma forma. Primero determinemos nuestra incógnita, que en este caso es el número de años que tiene que transcurrir para que mi edad sea la mitad de la de mi padre.
94
Ahora sustituyamos la incógnita, por la literal x, para así formar las expresiones que solucionarán este problema. Observa la tabla 11, en la que aparece la traducción del problema del lenguaje común, al lenguaje algebraico: LENGUAJE COMÚN
Edad actual de mi padre Mi edad actual Después de ciertos años La edad de mi padre será Yo tendré De tal forma que la mitad de la de mi padre. Será igual a la mía
EXPRESIÓN 46 17 x 46 + x 17 + x 46 x 2
17 x
46 x 2
Tabla 11. Con esta tabla hemos traducido el problema del lenguaje común al lenguaje algebraico, hasta obtener la ecuación que le dará solución.
Así, las expresiones algebraicas que obtenemos son: x;46 x; como 17 x
46 x . 2
46 x , así 2
Y a su vez, esta última es la ecuación que dará respuesta a nuestro problema. Igual que en el ejemplo anterior , te daremos el valor de “x” para que compruebes que en ambos miembros de la ecuación se obtiene la misma cantidad, cumpliéndose de esta forma la igualdad. El valor de “x” es 12, y al sustituirlo en la ecuación encontramos que:
17 12
46 12 2
29
58 2
29 29 Lo cual quiere decir que dentro de 12 años mi edad (29 años) será exactamente la mitad de la de mi padre (58 años).
95
Antes de dar otros ejemplos y como una prueba de la utilidad y amplia aplicabilidad de la herramienta que hasta aquí hemos desarrollado, haremos uso de ella para resolver el ejemplo. EJEMPLO Pedro pensó un número al cual multiplicó por 2, a cuyo resultado le sumó 5, para después dividir por 5, sumar el número que pensó, multiplicar por 8, finalmente restar 3 y obtener como resultado el número 61. ¿Cuál es el número que pensó Pedro? Como dijimos en el problema anterior, el primer paso consiste en identificar las cantidades que deseamos conocer. En este problema, es claro que esta cantidad es el número. Al hacer uso de esta letra, el resto de los elementos del problema quedarían expresados de la siguiente manera: Pedro pensó un número x al cuál multiplicó por dos (2x), a cuyo resultado le sumó cinco (2x + 5), para después dividir por cinco 2x 5 , sumar el número que penso 5
2x 5 x , y finalmente restar tres 8 2x 5 x 3 , y 2x 5 x , multiplicar por ocho 8 5 5 5 obtenemos como resultado el número
61; 8
resumido en la tabla 12. LENGUAJE COMÚN Pedro pensó un número el cual multiplicó por 2 a cuyo resultado le sumó 5 para después dividir por 5
2x 5 x 3 61 . 5
Todo esto queda
LENGUAJE ALGEBRAICO x 2x 2x + 5 2x 5 5 2x 5 x 5
sumar el número que pensó multiplicar por 8
2x 5 x 5
8
para finalmente restar 3
2 x 5 x 3 5
8
obteniendo el número 61
2 x 5 x 5
8
3 61
Tabla 12. En esta aparece la traducción del problema del lenguaje común al algebraico.
96
Así la ecuación:
2x 5 x 3 61 5
8
representa el problema planteado en lenguaje algebraico. A partir de aquí empezaremos a realizar operaciones, de tal forma que obtengamos diferentes ecuaciones equivalentes, hasta lograr despejar la incógnita x. Por ahora ya no haremos este trabajo. Sin embargo, te podrás dar cuenta que tomando x = 5 en la ecuación anterior, obtienes la igualdad 61 = 61. Es decir, el número que pensó Pedro fue 5. EJEMPLO Un caballo y un mulo caminaban juntos y llevaban pesados sacos sobre sus lomos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía”. ¿Cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el mulo? En este problema necesitamos dos datos: el número de sacos que lleva el caballo y el número de sacos que lleva el mulo. Para diferenciarlos, debemos asignarles literales que no sean iguales. Representemos con la letra “x” el número de sacos que lleva el caballo y con la letra “y” el número de sacos que lleva el mulo. Expresemos ahora el resto de los elementos del problema haciendo uso de estas letras. El mulo dice: “Si yo te tomara un saco”, de modo que el caballo quedaría ahora con x - 1 sacos, “mi carga”, que ahora sería igual a y + 1 sacos, “sería el doble que la tuya”, es decir, tendríamos la ecuación: 2(x - 1) = y + 1 y el mulo continua diciendo: “Y si yo te doy un saco”, de modo que su carga sería ahora de y - 1 sacos, “tu carga”, que ahora sería de x + 1 sacos, “se igualará a la mía”, es decir, tendríamos la ecuación: y-1=x+1
97
Lo hecho anteriormente quedaría resumido en el siguiente cuadro: LENGUAJE COMÚN Si de tu carga tomara un saco y a mi carga se le agregara mi carga sería el doble de la tuya y si te doy un saco tu carga se igualará a la mía
LENGUAJE ALGEBRAICO x x-1 y y+1 y + 1 = 2 (x - 1) y-1 x+1 y-1 = x+1
Tabla 13 Observa que para solucionar este problema debemos encontrar el valor de “x” así como el de “y”. Además que se forman dos ecuaciones.
Como te habrás dado cuenta, este problema tiene algunas diferencias sustanciales con los anteriores. En este caso el número de cantidades a determinar son dos y por lo tanto hay dos incógnitas. En segundo término, el problema queda modelado por dos ecuaciones en las que aparecen ambas incógnitas, a saber: y + 1 = 2(x - 1)
y-1=x+1
En este caso decimos que para encontrar la solución del problema, tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas. Observa que en este caso, la solución debe estar dada por un par de números que, al ser sustituidos por x y y en estas ecuaciones, en ambas debemos de obtener una igualdad. De hecho, puedes verificar fácilmente que, al tomar y = 7 y x = 5 igualdades.
obtienes estas
El siguiente ejemplo nos permitirá dar una clasificación más precisa de las ecuaciones.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Realiza lo siguiente: A un terreno de forma cuadrada se le quitó una franja de 3 km de ancho de su costado oriental y una franja de 4 km de ancho de su costado norte, con lo cual su superficie quedó reducida a la mitad. ¿De qué dimensiones era el terreno original?
98
Como en los dos problemas anteriores, lo primero que tenemos que hacer es determinar cuál es o cuáles son las cantidades que hay que encontrar. Ya que el problema pide determinar las dimensiones de un terreno de forma cuadrada, basta con encontrar cuánto mide uno de sus lados (el resto de los lados medirán lo mismo). Digamos que la letra x representa la longitud de cada lado del cuadrado. A fin de poder expresar el resto de los elementos del problema en términos de la incógnita x, nos auxiliaremos de un dibujo que nos represente la situación descrita en el problema (este es un recurso muy útil siempre que el problema lo permita).
N x
Figura 3. El terreno completo.
El cuadrado de arriba representa nuestro terreno. A la superficie original del terreno xx, se le quita una franja de 3 km de ancho en su parte oriental y una franja de 4 km de ancho en su costado norte.
x
N
x- 3
3
Figura 4. El terreno señalando los 3 km y 4 km que se le quitará del lado oriente y norte.
99
Por lo que la superficie del nuevo terreno, ahora representada por (x - 3) (x - 4) queda igual a la mitad de la superficie original, es decir. (x-3) (x-4) =
x x 2
Al desarrollar la expresión del primer miembro de la ecuación obtendríamos el siguiente modelo algebraico. x
2
7 x 12
x
2
2
Escrita la ecuación de esta manera, es fácil distinguir sus semejanzas y sus diferencias con la ecuación del problema de las edades. Esta ecuación y la de ese problema tienen en común la propiedad de que en ambas aparece una sola incógnita. Sin embargo, en esta última ecuación la incógnita aparece elevada al cuadrado, mientras que en la primera la incógnita aparece elevada a la potencia 1. Esta diferencia hace que las ecuaciones reciban nombres distintos. en el caso de la ecuación del problema de las edades decimos, que tenemos una ecuación de primer grado (dado que la incógnita sólo aparece elevada a la 1 con una incógnita, mientras que en el problema del terreno cuadrado se dice que la acuación es de segundo grado (dado que la incógnita aparece elevada al cuadrado) con una incógnita.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Traduce al lenguaje algebraico los siguientes problemas: 1) Una compañía arrendadora de automóviles cobra por la renta de un auto $120.00 diarios, más $2.00 por kilómetro recorrido. Otra compañía cobra por la renta del mismo auto $80.00 diarios más $2.50 pesos por kilómetro recorrido. ¿Cuántos kilómetros se deben recorrer diariamente para que la renta del automóvil sea la misma en las dos compañías? Modelo Algebraico: ____________________ 2) La inflación en los últimos tres años fue de 35%, 20% y 13% respectivamente. ¿Cuál era el precio de un artículo hace tres años si ahora cuesta $338.66? Si suponemos que su precio ha crecido al mismo ritmo que la inflación. Modelo Algebraico: ____________________ Recuerda que nuestro objetivo es traducir del lenguaje común al algebraico, por lo que no es necesario que llegues a la solución a través del modelo algebraico.
100
EXPLICACIÓN INTEGRADORA En este tema aprendiste a traducir sin problema del lenguaje común al lenguaje algebraico, para formar modelos algebraicos; que no son mas que una forma de representar los problemas que queremos resolver. En el siguiente mapa conceptual aparecen los conceptos más importantes del tema y sus relaciones. MODELO ALGEBRAICO sus elementos son
LETRA O LITERAL
LA INCÓGNITA (S)
por ejemplo
EXPRESIONES ALGEBRAICAS por ejemplo
xóy
64 + x
lo que se quiere obtener del problema
ECUACIÓN que es
DE PRIMER GRADO
DE SEGUNDO GRADO por ejemplo
CON UNA INCÓGNITA por ejemplo
CON DOS INCÓGNITAS por ejemplo
10 + x = 18 - x
y + 1 = 2(x +1)
101
x2 3x 2
RECAPITULACIÓN
En este capítulo te presentamos algunas ideas para resolver un tipo de problemas, aquéllos en los que conocemos los resultados de cierto tipo de operaciones, además nos interesa conocer la cantidad de que partimos. Usamos para su resolución el método de ensayo y error, el cual por lo general involucra procedimientos largos y laboriosos, y nos hemos apoyado, cuando el problema lo admitió, en el concepto de proporcionalidad, para hacer más eficientes estos procedimientos. Vimos también un primer modelo de algunos de ellos los diagramas de operaciones y establecimos así procedimientos más generales que los de ensayo y error. Finalmente propusimos el uso del lenguaje algebraico, para establecer modelos algebraicos generales de estas situaciones, que nos permitirán establecer procedimientos también generales para la resolución de estos problemas. Esto es, buscamos a través de la utilización de los métodos descritos para la resolución de estos problemas, los más generales y eficientes. Hasta este momento hemos propuesto el lenguaje algebraico para establecerlos, por medio del uso de modelos algebraicos, en particular, del establecimiento de ecuaciones.
102
ACTIVIDADES INTEGRALES
Con la finalidad de que compares los procedimientos para solucionar problemas para los diferentes métodos que hemos analizado en este capítulo resuelve los siguientes problemas: 1.La suma de 3 números consecutivos es 186. a) Determinar esos 3 números aplicando el método de ensayo y error. b) Interpreta el enunciado en un modelo algebraico. 2.La señora Arzate invierte en el banco $4,500.00 y le da un rendimiento de $720.00 mensuales. ¿Cuánto deberá invertir para ganar $740.00; $780.00 y $880.00 a) Resuelve el problema mediante el método de ensayo y error. b) Resuelve el problema aplicando razones y proporciones c) Interpreta el problema en un modelo algebraico. 3) Una industria textil que fabrica hilos de algodón, tiene un gasto semanal de mano de obra para la elaboración de su producto de $15,820.00 En el departamento de batientes se gasta una cierta cantidad. En el departamento de cardas gasta $280.00 más que en el de batientes. En el departamento de estiradores gasta $1,680.00 menos que en el segundo departamento. En el de troziles gasta $560.00 más que en el departamento de estiradores y en el departamento de coneras se gasta una cantidad igual a la de cardas. a) Intenta resolver el problema aplicando diagramas de operaciones y si no lo lograste, indica por qué. b) Interpreta el problema mediante el modelo algebraico.
103
AUTOEVALUACIÓN A fin de que compruebes que los procedimientos que aplicaste para resolver los problemas de las actividades integrales, te presentamos a continuación los resultados a los que debiste llegar. 1.
La suma de 3 números consecutivos es 186. a) El número inicial es 61; ya que 61+62+63=186 b) El modelo algebraico es: x + (x + 1) + (x + 2) = 186
2.La señora Arzate invierte en el banco $4,500.00 y le da un rendimiento de $720.00 mensuales. a) Debiste buscar el tanto por ciento de intereses que recibe la señora Arzate, hasta encontrar 16% y posteriormente buscar las cantidades que al obtenerles el 16% dé como resultado, los valores planteados b) En este caso no es necesario determinar el % de interés de 4500.00, ya que podemos obtener las cantidades desconocidas obteniendo el coeficiente de proporcionalidad de la siguiente manera. 4500 1 2 3
720 740 780 880 Paso 1:
740 ? 1.0277 4624.6 4625 720 4500
Paso 2:
780 ? 1.0833 4874.8 4875 720 4500
Paso 3:
880 ? 1.2222 5499.9 5500 720 4500
104
c) Debiste establecer una ecuación para cada valor dado: 4500 (x)
= 720
x1x = 740 x2x = 780 x3x = 880 3. Una industria textil que fábrica hilos de algodón, tiene un gasto semanal de mano de obra para la elaboración de su producto de $15820.00
a)
?
- - 280
C
+ 1680
- 560
?
C
?
15820
Este problema no se puede resolver aplicando este método, ya que existen varias incógnitas que tenemos que obtener. b)
x + (x + 280) + (x + 280 - 1680) + (x + 280 - 1680 + 560) + (x + 280) = 15820 ó x + (x + 280) + (x - 1400) + (x - 840) + (x + 280) = 15820 Resolviendo el modelo, obtenemos como solución x = 3500
105
RECAPITULACIÓN GENERAL En el siguiente esquema te presentamos una síntesis de los aspectos más relevantes de este fascículo, para que tengas la posibilidad de repasar los temas que ya estudiaste. ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
CAPÍTULO 1
CAPÍTULO 2
OPERANDO CON LOS NÚMEROS REALES (R)
BOSQUEJO HISTÓRICO
NECESIDAD Y MEDIR EN TODAS LAS CULTURAS
SEGUIMIENTO DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS. SISTEMA DECIMAL FUNDAMENTADO EN EL CONCEPTO DE BASE Y POSICIÓN
MÉTODOS Y ALGORITMOS
MÉTODO DE MULTIPLICACIÓN POR DUPLICIDAD DE LOS EGIPCIOS
MÉTODO ARITMÉTICO
LOS NÚMEROS REALES (R)
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES (N) ENTEROS (Z) RACIONALES (Q) IRRACIONALES (Q’)
CERRADURA ASOCIATIVA CUNMUTATIVA DISTRIBUTIVA ELEMENTO NEUTRO Ó IDÉNTICO ELEMENTO INVERSO
PROCEDIMIENTO DE GAUSS
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
MODELO ALGEBRAICO
MÉTODO POR ENSAYO Y EEROR
VALORES APROXIMADOS
RAZONES Y PROPORCIONES
COEFICIENTE DE PROPORCIONALIDAD
DIAGRAMAS DE OPERACIONES
INCÓGNITAS
OPERACIONES INVERSAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
ECUACIONES
PRIMER GRADO
CON UNA VARIABLE
106
SEGUNDO GRADO
CON DOS VARIABLES
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
Resuelve los siguientes problemas considerando lo que estudiaste en el fascículo y si tienes dudas, revisa los ejemplos y ejercicios que trabajaste. 1.
Escribe en forma desarrollada y en potencias de diez las siguientes cantidades. a) 2897 b) 53,915 c) 234,756
= = =
2. Aplica el método que se te indica para resolver los siguientes ejercicios: a) Determina el resultado del producto 98 x 67 por duplicación de los egipcios. b) Escribe la expresión y el resultado de la siguiente serie de números aplicando el método de Gauss. (- 40) + (- 37) + (- 34) + .......+ 29 + 32 + 35 3. Justifica las propiedades que se están aplicando en cada paso de las siguientes operaciones. a)
b)
4.
(3 + 2) + (5 + 8)
(7 + 6 ) + 3(2 + 8)
=
(2 + 3) + (8 + 5)
=
2 + (3 + 8 + 5)
=
18
=
(6 + 7) + 3(8 + 2)
=
(6 + 7) + (24 + 6)
=
(6 + 7 + 24 + 6)
=
43
Realiza las siguientes operaciones con números reales. a)
(5 + 8)2
=
b)
- 3 + 5(6 - 1) - 2 - 2 + 5 (2) =
c)
- - (-3) + 4 (7 - 9) 5 - (6 + 3) =
d)
2 - 6 (4 - 5) - 2(- 1) - 4( - 3) - 5 + (4 - 6) 107
=
e)
2 3 1 = 5 2 5
f)
g)
8 1 2 7 3 5
h)
3 1 2 3 1 1 3 2 5 11 18 5 10 8
i)
4
j)
1 6 8 2 3 3 5 15 3 7
1
3 1 8
1 3 2 3 2 1 5
5. Resuelve los siguientes problemas, aplicando el método de ensayo y error. a) ¿Qué número habrá que sumar a 4 y 11 para que el producto de ambos sea el mínimo común múltiplo de 10 y 24? b) Un individuo dispone de un terreno cuadrado que mide 18 m por lado, en el cual desea cultivar verdura en una parte cuadrada cuya área sea de 132.25 m 2 como lo muestra la figura. La condición que el quiere es que el área cultivada quede centrada en el terreno, con el fin de que exista un camino alrededor. ¿Cuánto debe medir cada lado de la parte cultivada?
108
¿Cuánto debe medir el ancho del camino que rodea la parte cultivada?
ANCHO D E L ÁREA CULTIVADA
C A M I N O
18 m
18 m 6. Resuelve los siguientes problemas aplicando el método de proporcionalidad. a) El precio de venta de un engrane actualmente es de 27.6 dólares y hace un año costaba 24 dólares. Si un rodillo metálico actualmente cuesta 43.7 dólares ¿Cuánto costaba hace un año considerando que el aumento de ambos productos fue en la misma proporción. b) Don Arnulfo dejó una herencia de $750,000.00 para sus 4 hijas; a Lulú le tocó la mitad, a Bety la cuarta parte, a Ema la quinta parte y a Cata el resto. El hermano de Arnulfo cuando se muera pretende dejar una cierta cantidad de herencia, la cual se deberá repartir a sus cuatro sobrinas en la misma proporción que la herencia de Arnulfo. Si a Bety le pretende dejar $420,000.00 ¿Qué cantidad de herencia dejará su tío? 7. Plantea el modelo algebraico que permite obtener la solución de cada enunciado que a continuación aparece. a) Un puente tiene una determinada longitud de largo, la cual está compuesta por tres secciones, la central tiene 100 mts. de largo y cada sección de los extremos representa una sexta parte de la longitud total del puente. Con base a lo anterior, construye el modelo algebraico que representa la longitud del puente.
109
b) La suma de dos números enteros nos da como resultado 24 y la diferencia del triple de cada uno de ellos nos da el mismo resultado de la suma. ¿Cuáles son esos números? c) Una habitación rectangular tiene de largo tres veces su anchura y su área mide 432 m2. Construye el modelo algebraico que representa el valor del área.
110
AUTOEVALUACIÓN 1. A continuación te presentamos los resultados de los problemas anteriores para que puedas comparar tus resultados, y así conocer los avances de lo que has aprendido. a) 2 x 1000 + 8 x 100 + 9 x 10 + 7 2 x 103 + 8 x 102 + 9 x 101 + 7 x 1 b) 5 x 10,000 + 3 x 1000 + 9 x 100 + 1 x 10 + 5 5 x 104 + 3 x 103 + 9 x 102 + 1 x 101 + 5 x 1 c) 2 x 100,000 + 3 x 10,000 + 4 x 1000 + 7 x 100 + 5 x 10 + 6 2x 105 + 3 x 104 + 4 x 103 + 7 x 102 + 5x 101 + 6 x 1 2. a)
1 2 4 8 16 32 64
98 196 392 784 1568 3136 6272
98 + 196 + 6272 = 6566
b)
Expresión: ( - 5) x 13 Resultado: - 65
a)
Conmutativa Asociativa Cerradura
b)
Conmutativa Distributiva Asociativa Cerradura
3.
111
4.
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
26 8 - 20 - 784 17/10 23/315 - 16/105 - 241/79200 28/5 27/14
5. a) (4 + 4) x (11 + 4) = 120 M.C.M de 10 y 24 es 120 El número que habrá que sumar es “4” b) Lado = 11.5 x 11.5 = 132.25 m2 Cada lado debe medir 11.5 mts. Ancho = 3.25 mts. 6. a)
K
PRODUCTO ENGRANE
HACE UN AÑO 24
ACTUAL 27.6
RODILLO
¿ ?
43.7
43.7 . 1583 27.6 Precio del rodillo hace un año = 1583 . ( 24 ) = 38 dólares
b) PERSONA
HERENCIA
LULÚ
BETY
EMA
CATA
ARNULFO
750,000
375,000
187,500
150,000
37,500
HERMANO
¿ ?
420,000
112
K
420,000 2.24 187 ,500
Herencia del hermano = 2.24 (750,000) = $ 1,680,000.00 7. a) x 100
1 1 x x 6 6
b) x + y = 24; 3x - 3y = 24
ó
c) (3x) (x) = 432
113
x y 24 3 x 3 y) 24
ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN
Al aplicar los conocimientos que adquiriste realiza las siguientes situaciones, esto te servirá para reforzar tu aprendizaje sobre este tema. A. Trata de conseguir un ticket de las compras en una tienda de autoservicio, una nota de remisión cuando se compran varios artículos de diferentes especies un recibo de luz o de teléfono o cualquiera de ellos cuando tiene crédito a su favor. B. Identifica en estos documentos cómo las personas, una máquina registradora o en su caso una computadora utilizan algunas propiedades de los números reales para facilitar las operaciones. . ¿Las identificaste? . ¿Te das cuenta de la importancia que tienen estas propiedades? . ¿Te habrás imaginado que estas propiedades fueran utilizadas constantemente en nuestra vida cotidiana? Pregunta a tu asesor si lo anterior es factible y, si lo es pide su ayuda para encontrar otros ejemplos. Ahora que conoces, trata de utilizarlas de manera que faciliten tus actividades cuando tratas de operar con números.
114
GLOSARIO
En este apartado encontrarás algunos términos que se vieron a lo largo del fascículo y que podrás consultar su significado. ALGORITMO.
Es el procedimiento empleado para obtener el resultado de una operación. La palabra algoritmo es una deformación de ALKHOWARIZMI, nombre de un célebre matemático árabe que vivió en el siglo IX a C.
NÚMERO.
Expresión de la cantidad con relación a una unidad.
INVERSO ADITIVO. Es un número opuesto de signo contrario. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES: Es el conjunto de los números que se pueden asociar con puntos R situados sobre una línea recta de tal manera que cada punto está a una distancia r del punto fijo 0. NÚMERO PRIMO.
Son los números naturales mayores que la unidad que sólo tienen dos divisores exactos, es decir sólo se dividen entre la unidad y entre sí mismos.
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO. El valor absoluto o valor numérico de un número real negativo es el número mismo positivo.
115
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
ALARCÓN et al.: Matemáticas 1. Enseñanza Media Básica. FCE, México, 1990. ALARCÓN et al.: Matemáticas 2. Enseñanza Media Básica. FCE, México, 1991. BARNETT Y NOLASCO: Álgebra Elemental. Estructura y Aplicaciones. Editorial Mc. Graw-Hill. México, 1986. BRITON Y BELLO: Matemáticas Contemporáneas. 2a. Edición. Harla México, 1982. GAUSS Carlos F. El Develador de las Incógnitas. Editorial Pangea. GRIJALBO: El Parque. Biblioteca Juvenil, México, 1975. PERELMAN et al: Álgebra Recreativa. Ediciones Quinto Sol, Harla, México, 1983. PHILIPS ET AL: Álgebra con Aplicaciones. Harla, México, 1983. ROBLEDO Y CRUZ: Matemáticas uno Primer Grado. 4a. reimpresión. Trillas, México. TONDA Y NOREÑA: Los Señores del Cero. Editorial Pangea.
116
COLEGIO DE BACHILLERES
MATEMÁTICAS I
FASCÍCULO 2. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO:EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Autores: Rosa Ma. Espejel Mendoza Mario Luis Flores Fuentes Rolando Pous Villalpando Pedro Romo Altamirano Estela Ruiz Hernández Andrés Sosa Estrada
1
2
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
7
CAPÍTULO 1. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
9
PROPÓSITO
11
1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRÁICA
13
1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
22
1.2.1 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
22
1.2.2 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
28
1.2.3 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
38
1.2.4 DIVISIÓN DE POLINOMIOS
64
RECAPITULACIÓN
78
ACTIVIDADES INTEGRALES
79
AUTOEVALUACIÓN
82
CAPÍTULO 2. LENGUAJE ALGEBRAICO: PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES. PROPÓSITO
87 89
3
2.1 PRODUCTOS NOTABLES
91
2.1.1 PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
91
2.1.2 PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS
94
2.1.3 EL CUADRADO DE UN BINOMIO
97
2.1.4 EL CUBO DE UN BINOMIO
100
2.1.5 EL BINOMIO DE NEWTON
102
2.2. FACTORIZACIÓN
111
2.2.1 FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN
111
2.2.2 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
114
2.2.3 FACTORIZACIÓN DE UN TRIMONIO CUADRADO PERFECTO
115
2.2.4 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS
119
2.2.5 FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA DE CUBOS
120
2.2.6 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS
125
2.2.7 FACTORIZACIÓN DE LOS TRINOMIOS DE LA FORMA x² +bx + c y ax² + bx + c
126
2.3 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
135
2.3.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
135
2.3.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
153
4
RECAPITULACIÓN
170
ACTIVIDADES INTEGRALES
171
AUTOEVALUACIÓN
173
RECAPITULACIÓN GENERAL
175
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
176
AUTOEVALUACIÓN
179
ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN
182
GLOSARIO
183
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
184
5
6
INTRODUCCIÓN
Son muchas y muy diversas las actividades del ser humano en las que es suficiente usar procedimientos aritméticos para resolver problemas; sin embargo, son también muchas en las que éstos no bastan. A partir de este fascículo veremos otro tipo de ejemplos más específicos y estudiaremos procedimientos más generales para resolver problemas. El método algebraico, de hecho presente en toda la matemática puesto que la solución de gran número de problemas requieren del cálculo algebraíco. El álgebra tiene su propio lenguaje, el lenguaje algebraico, por medio del cual se puede obtener expresiones generales que pueden operarse y aplicarse en muchas y muy variadas situaciones particulares. Aunque en el fascículo uno estudiaste algunos elementos de este método algebraíco y su importancia, para este fascículo estudiarás la operatividad de las expresiones algebráicas, utilizando los conocimientos que tienes sobre expresiones y operaciones aritméticas y retomando problemas sobre este tema, para que puedas manejar ejemplos y des solución a problemas.
7
El siguiente esquema indica los temas y subtemas que estudiarás y la vinculación que existe entre ellos.
FASCÍCULO 2
OPERATIVIDAD EN EL ÁLGEBRA
CAPÍTULO 2
CAPÍTULO 1
LENGUAJE ALGEBRAÍCO: PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
8
CAPÍTULO1
OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRAICA 1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1.2.1 Reducción de Términos Semejantes 1.2.2 Adición y Sustracción de Polinomios 1.2.3 Multiplicación de Polinomios 1.2.4 División de Polinomios
9
10
PROPÓSITO
Al finalizar el estudio de este fascículo conocerás con mayor detalle la terminología que se emplea en álgebra, así como la notación que se usa comúnmente, gracias a la cual podrás operar con las expresiones algebraicas. ¿QUÉ APRENDERÁS? Diversos métodos para resolver problemas, además conocer las ventajas del método consistente en establecer modelos algebraicos para la solución de problemas. ¿CÓMOLO APRENDERÁS?
¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?
A través de la elaboración de operaciones algebraicas tal como; la suma, la sustracción, multiplicación y división de polinomios, aplicando las propiedades de los números reales y las leyes de los exponentes.
Para encontrar la solución de ecuaciones que te ayudarán a resolver un gran número de problemas diarios.
11
12
CAPÍTULO 1 OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRAICA. En el fascículo 1 estudiaste diversos métodos para resolver problemas, además de conocer las ventajas del método consistente en establecer modelos algebraicos para la solución de los problemas, modelos que has empleado, aunque no les llamaras así; por ejemplo: la fórmula que se utiliza para calcular el área de un triángulo. A = bh 2 Si conocemos la medida b de la base y la medida h de la altura de un triángulo y queremos obtener su área, sustituimos en la fórmula las letras por los datos númericos. Así, si la base mide 12 metros y la altura 8, el área del triángulo es: A = (12m) ( 8m) = 48m 2 2 Otros ejemplos que has visto son los siguientes:
f =ma
A=
r2
a = Vf - Vo t
Estas igualdades, que expresan ciertos fenómenos o Leyes de la Física y la Geometría, son expresiones algebraicas de las que iniciaremos su estudio, pues éstas nos permitirán operar de una manera fluida y se facilitará con ello la resolución de problemas
13
Como ejemplo de expresiones algebraicas tenemos: a) 3a + 2b
c) 8x2 - y3
b) 2x + 6y - 3z
d)
e)
6x
3
f) x
6x 5a
A las letras, que en las expresiones algebraicas representan a números reales cualesquiera, se le llaman literales. Si en una expresión algebraica se sustituyen las literales por números reales y se efectúan las operaciones indicadas, se obtiene como resultado un número real, llamado valor numérico de la expresión para esos valores. En los casos en que las literales aparezcan en el denominador hay que tener cuidado de que el valor del denominador sea distinto de cero al efectuar la sustitución. Cuando se trate de raices, se debe tener cuidado de que al sustituir las literales por números no resulten raíces pares de números negativos, porque sus resultados no son números reales. Observa el siguiente ejemplo: Ejemplo: Calcular el valos numérico de la expresión algebraica
x 3 x 5 Para los siguientes valores de x: a) x = 7;
b) x = 12,
y
c) x = -5.
Solución: a) Al sustituir a x por 7 obtenemos:
7 3 4 7 5 12 =
2 12
1 = b) Si sustituimos6 a x por 12 resulta: 14
12 3 12 5
9 17
3 17
.
c) Si x = -5, obtenemos: 5 3 5 5
8 0
¡?
Mientras por una parte 8 no es un número real, por otra no es posible dividirlo entre cero; por lo tanto, si x toma el valor de -5, la expresión no simboliza un número real. Cuando en una expresión algebraica aparece únicamente la operación de multiplicación de números y potencias positivas enteras de las literales, ésta recibe el nombre de término, como se muestra a continuación:
b
2
,
3x
2
5
,
2x, 2
ax 2 y 3 z 4 .
Ahora revisaremos los elementos que conforman un término, para lo cual tomaremos el ejemplo de la expresión
3 4 5 a b 2 Como ya sabes, un término es el producto de dos o más factores (los factores son elementos de la multiplicación). En este caso los factores son:
3 4 , a y b5 . 2
15
Al factor numérico se le conoce como coeficiente numérico del término y se acostumbra escribirlo al principio del término.
3 2
a4 ,b5
factores literales
factor numérico
coeficiente numérico Por otra parte, cada uno de los factores es coeficiente del producto de los otros. Así:
a4
es coeficiente de
3 5 b 2
b5
es coeficiente de
5 4 a 2
Entonces podemos decir un factor es un número, una letra o la combinación de números y letras que indican cuantas veces entra la literal como sumando. Al producto de los factores literales se le llama parte literal del término.
3 2 coeficiente numérico
a 4b 5 parte literal
Un factor literal está compuesto por base y exponente. En el siguiente cuadro se muestra la base y el exponente de los factores literales de
3 4 5 a b . 2 Factor literal
Base
Exponente
a4
a
4
b5
b
5
16
¿Cómo se puede determinar el grado de un término algebraico? Recuerda que a 4 indica un producto de cuatro factores iguales y b 5 un producto de cinco factores iguales:
a4 a a a a b5 b b b b b Observa que en el ejemplo anterior significa multiplicación y que no se usa el signo de x para no confundir con la literal x que en algunas expresiones se utiliza. ¿Qué producto indicaría X8? Otro elemento del término es el signo (positivo o negativo), que corresponde al signo del coeficiente numérico. Así, si tenemos que en la expresión 3x 2 su signo es positivo y en la expresión 4y 6 el signo es negativo, puedes observar que en los casos con signo positivo no se acostumbra anotar éste. Otro elemento es el grado de un término, el cual puede ser absoluto o en relación a una literal. El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de las literales o variables, de ahí tenemos que: Término
Grado absoluto del término 2
a2 5y
1 3
3xy 2 6x y
6
9x n y n
2n
2 4
Observa que el exponente 1 no se escribe, además de que el término 7x 2 y 4 es de grado 6 por la suma de los exponentes (2+4) de los factores literales. Por otro lado, el grado de un término con respecto a una literal corresponde a su exponente, es decir, en 7x 2 y 4 el grado del término con respecto a x es 2 y con respecto a y es 4.
17
Con el propósito de comprender los conceptos vistos se presenta el siguiente cuadro: Término
Coeficiente númerico
Factores literales
Grado absoluto
Grado respecto ax
4x2y3
-4
x2 y3
5
2
Grado respecto a y 3
3x3y4
3
x3 y4
7
3
4
2
-1
xy
3
1
2
6 2
xy
2
x y
8
6
2
x
3 4
1
x
1
1
0
8
8
0
0
0
0
3 6 2 x y 4
Al clasificar los elementos de cada una de las expresiones siguientes se cometieron 4 errores, encuéntralos.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
5x 4 y coeficiente -5 base x, y exponente 4,1 6a
coeficiente 6 base exponente no tiene
x2
coeficiente no tiene; base x___ exponente 2
a 3xy2 coeficiente 3 base x exponente 1,2
En las expresiones algebraicas los términos están separados los signos de más (+) o menos(-). 1) 5x 2 2x 3 Esta expresión tiene tres términos : 5x 2 ; 2x ; 3 . 2) 9m 2 4n 2 Esta expresión tiene dos terminos: 9m 2 ; 4n 2 . 3) 5 Esta expresión tiene un término: 5. 18
Como puedes ver, estas expresiones algebraicas están compuestas por un término o la suma de dos o más términos. A este tipo de expresiones se les llama monomios o polinomios según sea el caso. A los polinomios los podemos clasificar según el número de términos que contengan. Si una expresión algebraica tiene un término se le llama monomio, si tiene dos, binomio; si tiene tres términos, trinomio, y así consecutivamente. Observa los siguentes ejemplos: “Expresiones Algebraicas” 1) 3x 2y2 6xy5 2) 6x 2 3) 6a2b 2a 6 4) 6y
Clasificacion binomio binomio trinomio monomio polinomio
5) 6 xy 2 3 xy 4 x 8
Los polinomios, como los términos, tiene grado, que puede ser grado del polinomio o grado con respecto a la variable. Así, en el ejemplo 1 3x 2y2 6xy5
el grado del polinonio es seis (6), que corresponde al grado del término de mayor grado, en este caso 6xy5 . El grado del polinomio respecto a x es dos ya que corresponde al mayor exponente de esa variable en el polinomio 3x 2 y 2 - 6xy5
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Realiza las siguientes actividades: 1. De los siguientes términos señala la parte literal, el coeficiente numérico y el grado absoluto del término. a) 3x3y5 b) 4ab3 c)
2 2 xy 3
d) a
19
1 Término a)
Coeficiente numérico
Parte literal
Grado absoluto
3
x3 y 2
5
3x3 y 2
2. Clasifica los polinomios por su número de términos y señala su grado absoluto y con respecto a una variable. a) 3x2 3x 2 b)
8x6 y1 3x5 y2 6x3 y3 8
c) x2 16 d)
x2 2xy y 2
e) x 8 f) 6 1
Expresión Algebraica
Clasificación por el núm. de términos
Grado absoluto
a)
3x 2 3x 2
trinomio
2
20
Grado con respecto ax 2
EXPLICACIÓN INTEGRADORA Hasta el momento hemos visto que en el lenguaje algebraico se utilizan letras para representar números reales y que las expresiones algebraicas están conformadas por una serie de elementos tales como: TERMINO, COEFICIENTE, LITERAL, EXPONENETE, GRADO y que se clasifican en MONOMIO (un término), en BINOMIO (dos términos), TRINOMIO (tres términos) y POLINOMIO (cuando son dos o más términos).
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
UN TÉRMINO
DOS O MÁS TÉRMINOS
MONOMIO
BONOMIO, TRINOMIO, POLINOMIO
COEFICIENTE NUMÉRICO
LITERALES
EXPONENTES
GRADO ABSOLUTO GRADO CON RESPECTO A UNA LITERAL
21
1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS En este tema estudiarás las expresiones algebraicas como el elemento de las operaciones matemáticas, por ejemplo, la Adición y Sustracción de polinomios, la Multiplicación de Polinomios así como, la División de polinomios, para lo cual se consideran las propiedades y condiciones que se establecieron en el tema anterior. 1.2.1 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Como en el tema anterior aprendiste a distinguir cuáles expresiones algebraicas son términos y que elementos constituyen a estos últimos, ahora operarás con ellos. En el estudio de las Matemáticas se encuentran con frecuencia expresiones como 3x, 4x2 , 2x3 . Representamos a x por un segmento de longitud x, a x2 por un cuadrado de lado x, y a x3 por un cubo de arista x como se ve en la siguiente figura: 1
x x2
x
x3 x
x
x
x Figura 1
De acuerdo con la interpretación anterior, ¿cuáles de las siguientes sumas crees que pueden expresarse como un solo término?: a) 2x + 3x2 ;
c) 2x + 5x ;
b) 4x3 + 2x3 ;
d) 6x - 2x2
Para saber cuándo podemos reducir la suma de dos o más términos a un solo término necesitamos observar su conformación. ¿Recuerda cuáles son los componentes de un término? Considera la expresión -3 x2 y3 exponentes
-3
x2 y3
coefieciente numérico
literales
22
parte literal
Analicemos los términos de cada uno de los siguientes grupos: a) -3x2 ; 4x2 Estos dos términos tienen la misma parte literal, es decir, las literales y sus respectivos exponentes son iguales. b) 5a 3 ; -2a2 . Las partes literales de estos términos son diferentes aun cuando se trata de la misma literal porque tienen diferentes exponentes: c) 2 x 3 y 2 ,
-3x 3 y 2 4
Los dos términos tienen la misma parte literal. d) .0.5 x 2 y 4 ,
1.2y 4 x 2 ,
-3.5 x 4 y 2 .
Únicamente los dos primeros términos coinciden en la parte literal ya que por la propiedad conmutativa. x2 y 4 = y 4 x2 .
e)
3 4 m , 4
-5m4n ,
2 4 m n, 3
1 4 m , 2
1 4 m . 3
Aquí tienen la misma parte literal el primero, el tercero y el quinto y por otra parte, el segundo y el cuarto términos. Hemos encontrado que algunos términos coinciden en su parte literal. Éstos reciben el nombre de términos semejantes y su importancia es muy grande en la simplificación de expresiones algebraicas. Por lo tanto términos semejantes son dos o más términos cuyas partes literales son iguales.
23
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Identifica los terminos semejantes en cada uno de los siguientes incisos. a) 2x2 y , b) 3 v 1 ,
-3xy 2 , 2v 2 ,
4y 2 x , -4v1 ,
-x 2 y . 5 v 2* .
c) 2 r 2 ,
4r ,
r2 ,
-3r en donde =3.141592
En expresiones como V1, V2 los números 1 y 2 son subíndices. Se usan para indicar que V1 es la velocidad de un móvil y V2 la del otro. Las expresiones algebraicas son un conjunto de número y/o letras que representan números reales; por lo tanto cumplen con todas las propiedades conmutativa y asociativa de la adición y de la multiplicación, y la distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, puede extenderse a más de dos sumandos o factores según sea el caso, esto es: 1) La suma o el producto de un número finito de números reales no es afectado por la forma en que se ordenen o asocien. por ejemplo:
[(a + c) + (b + d )] + (f + e) = (a + b) + [(c + d ) + (e + f )] = a + b + c + d + e + f . 2) El producto de un número real a, por la suma de un número finito de números reales, es igual a la suma de los productos de a, por cada uno de los sumandos. Por ejemplo:
a(b + c + d + e) = ab + ac + ad + ae. La más sencilla de las operaciones con expresiones algebraicas es la suma de términos semejantes. Se acostumbra llamar a esta operación reducción de términos semejantes, y la forma de llevarla a cabo se observa en los siguientes ejemplos: 1) Reducir los términos 8x 2 + 6x 2 . Solución:
8x 2 + 6x 2 = 14 x 2 .
24
Este resultado se obtuvo al aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición en su modalidad ax+bx=(a+b)x a nuestro ejemplo, como vemos en seguida: 8x 2 + 6x 2 = ( 8 + 6) x 2 = 14 x 2 .
Observa que hemos sumado los coeficientes numéricos de los términos dejando intacta la parte literal. 2) Simplificar la expresión 8y3 - 7y3 Solución: 8y3 - 7y3 = (8 - 7) y3 = 1 y3 = y3 3) Simplificar la expresión 3ab + 7ab - 11ab Solución:
3ab + 7ab - 11ab = (3 + 7 - 11)ab = -1ab = -ab Recuerda que -1(a) = -a para todo número real a. Veamos otros ejemplos en donde no todos los términos son semejantes. Simplificar la siguiente expresión: 1) 3b 2 + 2b . Solución: Esta suma no se puede reducir porque los términos no son semejantes. Recuerda la interpretación geométrica que le dimos a x, y x 2, en la que la primera se representa una línea mientras que la segunda se refiere a una superficie. 2) a+b-a+b. Trata de identificar qué propiedad utilizarías antes de ver la solución. Solución: Aquí conmutamos y asociamos a los términos semejantes: a+b-a+b=(a-a)+(b+b) =(1-1)a+(1+1)b =0a+2b = 0+2b =2b. 25
3) 6.5h + 2.5k +6-1.7h + 3.4k Solución: 6.5h + 2.5k + 6-1.7h + 3.4k = (6.5h - 1.7h) + (2.5k + 3.4k) + 6 = (6.5 - 1.7)h + (2.5 + 3.4)k + 6 = 4.8h + 5.9k + 6. Con la práctica puedes suprimir algunos pasos del proceso, como se ve en los siguientes ejemplos: 1)
1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 x x2 x2 x x3 x x2 x3 3 2 4 3 2 3 3 2 4 2 5 1 2 1 3 = x+ x + x 3 4 2
2) 3E+2D-F-4E+3D-F=-E+5D-2F. Una de las finalidades del aprendizaje de las operaciones con expresiones algebraicas es el llegar a resolver diversos problemas que se presentan cotidianamente o en algunos casos relacionados con diferentes ciencias. Por el elemento únicamente llevaremos a cabo uno de los pasos que se siguen en la resolución de esos problemas: la obtención de la expresión algebraica para una cierta cantidad. Observa los siguientes ejemplo: 1) Escribe la expresión algebraica que se utiliza para obtener el perímetro de un triángulo tal que, uno de sus lados mide x unidades, otro 4 de éste y el tercero la mitad del 5
primero. Solución:
23 x. 10 2) Expresar algebraicamente el precio total de un pantalón cuyo precio es x pesos más el 10% del IVA.
El perímetro solicitado es
Solución: El 10% de x es 0.1x, así que el precio total del pantalón es x+0.1x=(1+0.1)x=1.1x Observa que la expresión1.1x es el precio con el IVA incluido, de cualquier artículo de precio x.
26
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Identifica los términos semejantes en los siguientes incisos. a) 1.8c , 2
-mv 5 c) 3x2 , b)
2.5c 2 , 2mv 4xy
-2c .
3.4c 2 , mv 2 3 -2xy
-mv . 2 5y 2
2. Simplifica las siguientes expresiones además de reducir los términos semejantes. a) x 2 + 2xy - 2xy + y 2 b) a2 + 2ab + 2ab + b2 c) 27a3 - 18a2b + 12ab2 + 18a2b + 12ab2 + 8b3 d)
1 3 1 2 2 1 2 8 3 a + a b + ab 2 - a 2 b - ab 2 b 8 6 9 6 9 27
e) a1b 2 + a 2 b 3 + a 3 b1 + a 2 b1 - a 3 b 2 - a1b 3 f) 8a2 + 6ab - 12b + 9b2 RECUERDA: El estudio de las expresiones algebraicas como elementos de las diferentes operaciones matemáticas, se hace tomando en cuenta en todo momento las propiedades y condiciones establecidas en el tema anterior. Esto es muy comprensible, porque las letras únicamente simbolizan valores, y en consecuencia, los cálculos matemáticos aplicados a esos símbolos se hacen con los valores del coeficiente y del exponente de los términos en las expresiones algebraicas.
27
1.2.2 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS En la solución de problemas como el siguiente se observa la utilidad de denominar procedimientos para resolver operaciones con polinomios. Se tiene una mesa rectangular a la que se desea poner como adorno en la orilla cinta metálica. Si las dimensiones de la mesa son las que muestra la siguiente figura. 2 ¿Cuál es la cantidad de cinta que se usa?
3x-4 2y+5
2y+5 3x-4
Figura. 2
Para determinar la cantidad de cinta a usar, necesitamos resolver operaciones con polinomios. A partir de este momento llamaremos polinomio a expresiones algebraicas como: 0, 7, 3x 4 3 (monomios); 5 y 2 - 7 , -4xy + 3x (bonomios); 6x y 2 x z 8w (trinomio), los cuales podemos escribir en forma general como:
P( x) an xn an1 xn1 ...a1 x a o , con n Z , n 0 y a FR
de lo que concluimos que
1 y 7 + x no son polinomios. x
Ahora vamos a iniciar con las operaciones básicas de adición y sustracción de polinomios. En vista de que las literales de las expresiones algebraicas representan números reales, los polinomios representan numeros reales, por lo que en las operaciones con ellos se aplican las propiedades de los números reales.
28
Para hacer más fácil el trabajo con polinomios es conveniente ordenarlos ya sea de forma creciente a decreciente, de esta menera:
P( x) 4x3 2x 8 6x2 P( x) 4x3 6x2 2x 8
P( x) 8 2x 6x2 4x3
En forma decreciente es la manera más utilizada. En forma creciente.
P( x) 9x4 3x 4 P(x) = -9x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 3x - 4 utilizada
En forma decreciente, que es la manera más
términos agregados P ( x ) = -4 + 3 x + 0 x 2 + 0 x 3 - 9 x 4 En forma creciente
Para ilustrar el proceso que se emplea para sumar polinomios, utilizando las propiedades de los números reales, observa los siguientes ejemplos: Sumar los monomios 5 x 3 y - 9x 3 . 5 x 3 + (-9 x 3 ) = 5 x 3 - 9 x 3 = (5 - 9) x 3 por propiedad distributiva.
= -4x 3 . Observa que para sumar monomios simplemente se reducen términos semejantes. Ejemplos: Para resolver la suma de los polinomios
( 8x 7x4 6x2 ) ( 4x2 3 7x), se realizan los siguientes pasos: 1. ordenar en forma decreciente los exponentes de los términos de cada polinomio.
(7x 4 6x 2 8x) ( 4 x 2 7 x 3) por conmutatividad.
29
2. Hacer que los polinomios sean completos.
(7x4 0x3 6x2 8x 0) (0x4 0x3 4x2 7x 3) 3. Agrupar los términos semejantes
(7x4 0x4 ) (0x3 0x3 ) (6x2 4x2 ) ( 8x 7x) (0 3) por propiedad asociativa y conmutativa. 4. Reducir términos semejantes:
7x 4 2x 2 x 3. 5. Así el resultado de la suma de los polinomios originales queda de la siguiente manera: (-8x + 7x4 + 6x2) +(-4x2 - 3 + 7x) = 7x4 + 2x2 - x - 3 Observa que los términos cuyo coeficiente es cero no se escriben. Ejemplo: Efectúa la suma de los polinomios (4x3y + 5x2y2 + 9xy3 + 8) + (3xy3 + 7 - 10x3y) Observa que en estos polinomios algunos términos tienen dos literales pero la forma de resolver esta suma es igual: (4x3y + 5x2y2 + 9xy3 + 8) + (-10x3y+3xy3 +7) ¿Notaste que los polinomios han sido ordenados con respecto a la literal x en forma decreciente? (4x3 y - 10x3 y) + (5x2 y2+0x2 y2) + (9x y3 + 3xy3) + (8+7) = -6x3 y + 5x2 y2 +12 xy3 + 15 Por lo tanto: (4x3 y +5x2 y2 + 9x y3 + 8) + (3xy3 + 7 - 10x3 y) = -6x3 y + 5x2 y2 +12 xy3 + 15 Ejemplo: 1 2 1 7 3 Suma los polinomios x 3 x 2 x x 2 . 5 2 3 4 2
30
Observa que los coeficientes son racionales, sin embargo, en éste ejemplo el procedimiento es el mismo: 2 1 1 7 3 a) x 3 x 2 x 2 x 5 3 2 4 2 2 1 1 7 3 b) x 3 x 2 0 x 0 x 3 x 2 x 5 3 2 4 2 1 3 2 1 7 c) x 3 0 x 3 x 2 X 2 0 x x 5 3 2 2 4
5 2 3 2 1 1 7 3 x x3 d) 0 x 3 x 2 0 1 x x 3 5 3 4 2 2 5 12
Por lo tanto:
1 2 7 3 3 5 2 3 3 1 2 2 x x x x = x x x 3 12 5 2 3 4 2 5 Ejemplo:
Suma los polinomios
5 4 3 5 2 8 3 4 3 4 3 2 2 7 2 6 2 xy x y x y x y x y x y xy . 3 4 5 2 9 2 5
En este ejemplo se tienen coeficientes racionales y dos literales; sin embargo, el procedimiento para sumar es igual.
7 2 3 4 3 8 3 4 5 2 2 2 5 4 3 6 2 x y x y xy x y x y x y xy ; 2 2 5 3 9 4 5 6 2 7 2 3 4 3 8 3 4 5 2 2 2 5 4 3 3 4 x y 0 x y x y xy x y x y x y xy 2 2 5 3 9 4 5
5 2 7 2 2 2 5 4 3 3 4 3 8 3 4 6 2 3 4 x y x y x y 0 x y x y x y xy xy 2 9 5 3 2 4 5
31
5 3 4 3 8 3 4 6 5 2 7 2 2 x y 0 x y x y xy 2 2 9 5 4 3 5
x4 y 3
8 3 4 49 2 41 2 x y x y xy 9 20 15
Por lo tanto:
7 2 6 2 5 4 3 5 2 8 3 4 3 4 3 2 2 4 3 8 3 4 49 2 41 2 xy x y x y x y x y x y xy x y x y x y xy 3 4 5 2 9 2 5 9 20 15 Por lo tanto en la suma de tres o más polinomios que incluyen dos o más literales se emplea el mismo procedimiento. Para restar polinomios se debe recordar que por definición a-b=a+(-b). Esto significa que en la resta de números reales al minuendo se le suma el inverso aditivo del sustraendo. sustraendo
a-b
minuendo Por lo consiguiente, es importante que identifiques el inverso aditivo de cualquier polinomio. ¿Recuerdas cómo se localizan en la recta numérica los inversos aditivos de los números reales? Polinomios 2
3x 6x 4 2
6y 3y 2 12 xy 6xy 2 8
Inverso aditivo
6y 3y 2 6y 3y 2 12 xy 6xy 8 12 xy 6xy
3x 2 6x 4 3x 2 6x 4 2
2
2
32
2
8
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Ahora puedes realizar la sustracción de polinomios. Resuelve las siguientes operaciones:
x
5 3 8 7 2 x 4 5 3 8 7 2
4
El procedimiento aritmético que utilizaste para realizar la operación anterior se utiliza para restar polinomios; por ejemplo, para restar los polinomios.
7 x
3
8x 4 6x 2 x 6x 3 4 x 2 8x 4
se
obtiene
el
inverso
aditivo
del
sustraendo. sustraendo
inverso aditivo
2x 6x3 4x2 8x4
2x 6x3 4x2 8x4
Una vez obtenido éste se procede a efectuar la suma de polinomios, aplicando el procedimiento adecuado.
8x 7x 6x 8x 6x 4x 2x 8x 7x 0x 6x 8x 6x 4x 2x 8x 8x 7 x 6x 0x 4 x 6x 2 x 4
3
4
3
4
4
2
4
3
3
3
2
4
3
2
2
2
8 8x4 7 6x3 0 4x2 6 2x.
7 x
3
8x 4 6x 2 x 6x 3 4 x 2 8x 4 16x 4 x 3 4 x 2 8x.
Observa que en la sustracción de polinomios lo que realmente se hace es sumar al minuendo, el inverso aditivo del polinomio correspondiente al sustraendo. Si en la solución de la siguiente sustracción de los polinomios.
3x
2
2 x 6 x 2 6x 8 .
se obtiene como resultado 2x2 - 4x + 2, se estaría cometiendo un error, realiza en tu cuaderno la operación, ¿Cuál es el error?
33
Resta los siguientes polinomios:
7 x y 8x y 7 x y 8x y
a)
6 4 x y 6x y
2
3
3
5xy 4 6 4 x 2 y 6x 4 y 2 5 3x 3 y 3 .
2
3
3
5xy 4
2
4
2
5 3x 3 y 3 .
inverso aditivo del sustraendo ordenando los polinomios:
8x y 3
b)
3
7 x 2 y 5xy 4 6 6x 4 y 2 3x 3 y 3 4 x 2 y 5 .
completando los polinomios:
0x y 4
c)
2
8x 3 y 3 7 x 2 y 5xy 4 6 6x 4 y 2 3x 3 y 3 4 x 2 y 0xy 4 5
Agrupando términos semejantes:
4
2
4
d) 0x y 6x y
2
8x y 3
3
3x 3 y 3 7 x2 y 4 x 2 y 5xy 4 0xy 4 6 5
Sacando factor común:
0 6x4 y2 8 3x3 y3 7 4x2 y 5 0xy4 6 5.
e)
Efectuando operaciones:
2
3 3
4
2
4
2
3 3
f) 7 x y 8x y 5xy 6 4 x y 6x y 5 3x y
6x y 4
2
5x 3 y 3 3x 2 y 5xy 4 11.
Otra manera de resolver las adiciones y sustracciones de polinomios es colocándolos en forma vertical, aunque se debe cuidar que en la misma columna queden los términos semejantes. Ejemplo: Suma de polinomios:
8x
3
3x 2 7 y 2x 2 3x 4
8x 3 3x 2 0x 7 3 2 + 0x 2x 3x 4 8x3 x2 3x 11
34
Ejemplo: Si se tiene la sustracción:
7 x
3
8x 4 6x 2 x 6x 3 4 x 2 8x 4 .
Recuerda que en la sustracción, al minuendo se le suma el inverso aditivo del sustraendo, por lo que se le cambia de signo a todos y cada uno de los términos del sustraendo y se suman los polinomios.
8x4 7x3 0x2 6x 4 3 2 + 8x 6x 4x 2x 16x4 x3 4x2 8x. Ejemplo: Realiza la operación de :
1 2 7 3 3 1 2 2 x x x x . 5 2 3 4 2 3 3 2 2 1 x x 0x 5 3 2 1 7 0x 3 x 2 x 4 2 3 3 11 2 x x x 4. 5 12
+
Ejemplo: Resta los polinomios:
7 x y 8x y 2
3
3
5x 4 y 6 4 x 2 y 6x 4 y 2 5 3x 3 y 3
0x4 y 2 8x3 y 3 7x2 y 5x4 y 6 +
6x4 y 2 3x3 y 3 4 x2 y 0x4 y 5 6x 4 y 2 5x 3 y 3 3x 2 y 5x 4 y 11
Cuando se realizan operaciones de adición y sustracción es necesario trabajar, en algunos casos, con signos de agrupación, por lo que a continuación te presentamos algunos ejemplos tomando en cuenta las siguientes reglas:
35
REGLAS: Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo (+) se deja el signo que tenga cada término que se halle dentro de él. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo (-) se cambia el signo a cada término que se halle dentro de él. Ejemplo:
6ab 3a 4a 8ab 2a. Recuerda que para restar se suma el inverso aditivo. Se inicia con la eliminación del signo de agrupación que contiene menor número de términos. (Paréntesis.)
6ab 3a 4a 8ab 2a. Se continúa con el signo de agrupación que contiene menor número de términos, después de los paréntesis. (Corchete.)
6ab 3a 4a 8ab 2a. Después se aplica el procedimiento para la solución de la adición y la sustracción de polinomios:
6 8ab 3 4 2a Así, el resultado de suprimir signos de agrupación es:
6ab 3a 4a 8ab 2a 2ab a Ejemplo:
2 x 5x 2 y x 3y
Al aplicar el mismo procedimiento, obtenemos: 2x 5x 2y x 3y 2x 5x 2y x 3y
2 x 5x 2 y x 3y
2 x 5x x 2y 3y
6x y
36
Ahora retomemos el problema de la mesa rectangular. Recordemos que las dimensiones de esta mesa son 3x-4 y 2y+5. Como ya sabes el perímetro es la suma de los lados de la figura, por lo tanto hay que obtener la suma de los polinomios.
3x 4 3x 4 2y 5 2y 5. 3x 4 3x 4 2y 5 2y 5
Con lo que al hacer la adición tenemos: = 3x 4 3x 4 2y 5 2y 5 = 3 3x 2 2y4 4 5 5 = 6x 4y 2
La expresión algebraica que representa la cinta metálica a utilizar es 6x 4y 2
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Resuelve las siguientes operaciones: a)
3x
b)
14 2 9 7 3 8 2 6 3 3 x x x x x 4 3 5 5 3 7 2
c)
8x
d)
3x y 8 4xy 5xy
e)
8 2 3 4 2 3 2 2 5 3 2 3 x y x y xy xy x y 7 4 3 5 7 4
f)
2
9 x 3 1 2 x 3x 7 x 3 4
3
2
5x 2 x 2 9 x bx 3 5 2
2
2x2 y 9
2a x a 1 a x 63
37
1.2.3 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Como ya se tiene conocimiento de los polinomios y en particular se aprendió la forma de sumarlos, iniciaremos ahora el estudio de la multiplicación de polinomios. Para efectuar el producto de polinomios haremos uso de las operaciones de los números reales. Empezaremos nuestro estudio con la multiplicación de dos potencias de la misma base: Ejemplo: Multiplicar
x 2 por x 3 .
Solución: 2 factores
x2 x3 x2 x3
3 factores
x x 2 factores
x x x 3 factores
x x
x x x
es decir, x 5 factores
23
x5 :
x x x x x.
Se observa en el ejemplo que se han sumado los exponentes. Ejemplo: Multiplica xm por x 2 . Solución: m factores
xm x 2
x x x....... x
2 factores
x x ,
m+2 factores es decir,
x...... x xm2 .
En general, si a es un número real distinto de cero y m y n son números enteros no negativos, entonces:
am an
m factores
n factores
a a a....... a
a a.....a , m+n factores
es decir,
a m a n a mn . 38
Esto nos conduce a lo que llamamos la primera ley de los exponentes, la cual se enuncia de la siguiente manera: El producto de dos potencias de la misma base, es igual a la base elevada a la suma de sus exponentes. Ejemplo: Multiplicar y5 y2 y5 2 y7
5a2 por 4a ?
¿Cómo multiplicarías
Observa que en este ejemplo hacemos uso de las propiedades asociativa y conmutativa del producto.
5a 4a 5 4a a. 2
2
Sustituimos las factores 5 y 4 por su producto, es decir:
5a 4a 20a a; 2
2
5a 4a 20a 2
2 1
20a 3
Ejemplos:
2m 5m (2 5)m
2 1
5x 6x 5 6x
2
2
2
5
3a 8a 24a 2
6
10m 3: ,
x 5 30x 2 5 30x 7 ;
26
24a 8 ;
7y8y 5 7 8 y y 5 56y 15
3b 6b 36b 2
8
2
56y 6
b8 18b 2 8 18b10
39
Ejemplo: La siguiente figura representa la cubierta de una mesa.
2m 4m figura. 3
El área de la figura se obtiene a través de una multiplicación de monomios, es decir, A=(4m)(2m)=8m2 . Se observa en el ejemplo, que la solución resulta ser otro monomio en el cual ha cambiado no sólo el coeficiente, la expresión de la variable (concretamente, su exponente) y el grado del monomio, sino también su característica esencial ya que al multiplicar longitudes se obtienen superficies. Esto nos muestra que la multiplicación de expresiones algebraicas produce cambios importantes; por ejemplo, al multiplicar una potencia por un tiempo, se obtiene trabajo; si se multiplica una masa por una aceleración, se obtiene fuerza, etc. De esta manera, se puede comprender mejor el carácter de la multiplicación algebraica y su importancia.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Mediante las propiedades de los números reales, las leyes de los exponentes y la regla de los signos se ha obtenido el producto de monomios. En los ejercicios que se dan a continuación deberás obtener el producto de monomios con la aplicación de las propiedades y leyes correspondientes. Indica como en los ejemplos planteados cuáles propiedades o reglas utilizaste. 1) (8mn)(m2) 2) (-6x2 y)(3xy)
6) xp1 xp x
3) (-5ab)(-4a2b)
8) xm 2xy ym
4) (x3 y2 z6)(2x2 y3 z3 )(5xyz) 5) (-6x2yz)(2x3 yz2 )
7)
x y 2n y n y n
9) x2 3x2 5x2 2x2 10) 8m7 n2 2m3 n7
40
Sabemos que el área de una figura como la siguiente, se obtiene por medio de una multiplicación de los monomios. Determina cuál es el monomio resultante de la región sombreada.
y
3y
3y figura. 4
a) Monomio resultante del cuadro mayor: __________________________. b) Monomio resultante del cuadro menor: __________________________. c) Monomio resultante de la región sombreada: ______________________. Una vez que te haz familiarizado con potencias de la misma base, determinaremos la potencia de otra potencia Ejemplo: (34)5 = 34 34 34 34 34 , y por la primera ley de los exponentes: 5 Factores 5 Sumandos (34)5 = 34+4+4+4+4 = 320 , Se observa en el ejemplo que se han multiplicado los exponentes. Ejemplo: (b2)n = b2 b2........b2 ; n factores n sumandos (b2)n = b2+2+2+..........+2 , esto es, (b2)n = b2 n 41
En general, si a es un número real distinto de cero y m y n son números enteros positivos entonces. (am)n = am am am ......... am ; n factores n sumandos (am)n = am+m+m+.........+m Por lo tanto, (am)n =am n . Esto nos conduce a la que llamaremos segunda ley de los exponentes: La potencia de otra potencia de la misma base, es igual a la base elevada al producto de los exponentes. Ejemplo: (x2 )3 = x2 x2 x2 ; 3 factores 3 sumandos (x2 )3 = x2+2+2 = x6, es decir, (x2)3 = x6. Observa que se han multiplicado los exponentes. El siguiente ejemplo nos servirá para mostrar cómo obtener el producto de monomios. Ejemplo: Multiplicar (5a2)3 por (2a)2. (5a2)3 (2a)2 Al aplicar la segunda ley de los exponentes se obtiene: (5a2)3
(2a)2 = (53a6)(22a2).
42
Por la propiedad conmutativa de la multiplicación cambiamos el orden de los factores 53 a6 22 a2 y asociamos de diferente manera. (5a2)3 (2a)2 = (53 22)(a6 a2). Efectuamos operaciones: (125 4) = 500. es decir, (5a2)3 (2a)2 = 500 (a6a2). Por la primera ley de los exponentes, se tiene: 500(a6a2) = 500(a6+2)= 500a8; por lo tanto. (5a2)3 (2a)2 = 500a8
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Obten los siguientes productos: a) (3x2)3 (x)2 b) (-8a3)(2a2)2 c) (-6a5)2(-2a)3 d) (3y5)(-6y2)3 A continuación determinaremos la potencia de un producto. Ejemplo: (a b)5 = (a b) (a b) (a b) (a b) (a b). 5 factores Al continuar los factores y asociar de diferente manera: (a b)5 = (a a a a a) (b b b b b). 5 factores
5 factores
es decir, (a b)5 = a5 b5.
43
Ejemplo: (xy)n = (xy)
(xy)
(xy)
..............
(xy)
n factores Al conmutar los factores y asociar de diferente manera: (xy)n =(x · x · x · x ...... · x) (y · y · y · y ...... · y). n factores
n factores
(xy)n = xn · yn En general, si a y b son dos números reales y m es un número entero positivo, entonces: (a · b)m =(ab)(ab).....(ab) m factores = a · a · a · ....... · a
b · b · b ....... · b
m factores
m factores
(a · b)m = ambm La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevados a la misma potencia. Ejemplo: a) (xy)m = xm · ym · b) (3 · 4)2 = 32 · 42 = 9 · 16 = 144. c) (a2 · b3)3 = a2·3 b3 · 3 = a6 b9. d) (5a2)3 = 53a2·3 = 125a6 . La ley anterior también podemos utilizarla para obtener el producto de un monomio; por ejemplo: Multiplicar (3a2)2 por (5b)3.
44
Por la tercera ley de los exponentes, se tiene: (3a2)2 (5b)3 = (32a4)(53b3). Por la propiedad conmutativa, combinamos el orden de los factores 32, 53, a4,b3 y asociamos de diferente manera: (3a2)2(5b)3 = (3253)(a4b3). Efectuamos el producto y se tiene: (3a2)2(5b)3 = (1125)(a4b3)
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Obtener el producto de los siguientes monomios. a) (-3x)3 (ab)2 b) (a2b2)3 (3a3b)2
c) (4y5)2 (x3y2)5 d) (m2n)3 (-8xy2)2
e) (-a2b5)2 (-3a2b2)3 f ) -(3x2y3)5 (2x3y)2
A continuación se determinará la forma de elevar una fracción a un exponente. Para ello veamos el siguiente ejemplo: x y
3
x x x . y y y
3 factores Asociado: x x x xxx x3 3 . = y y y yyy y
Se observa en el ejemplo que tanto el numerador x, como el denominador y se elevan al exponente 3. En general, si a y b son dos números enteros diferentes de cero y m es un número entero positivo entonces:
45
a b
m
a a a a • a••a b b b b • b• b • m factores
a es decir, b
m
m factores
am bm
Esto nos conduce a la cuarta ley de los exponentes la cual se enuncia de la siguiente manera: Para elevar una fracción a un exponente, tanto el numerador como el denominador se elevan a dicho exponente. Ejemplos: a)
x y
5
x5 y5
b) 4 3 43 64 3 3 b b b c)
a2 3 b
3
a6 b9
d) b 5 b5 2 a a10 Ahora trataremos la división de potencias de la misma base distinta de cero. El cociente de dos potencias de la misma base distinta de cero, presenta tres casos, los cuales dependen de que el exponente del dividendo (numerador) sea mayor, igual o menor que el del divisor (denominador), es decir.
am an
a m n si m n 1 si m n 1 si m n. a n m 46
Primer caso:
am an
amn sim n
Ejemplo:
85 8
3
8•8•8•8•8 85 3 82; 8•8•8
85
8•8•8 • 8 • 8 1 • 82 82; 8•8•8 8 m factores
ó
3
am a
n
a • a • a••a am n a • a • a••a
n factores Por lo tanto,
am
a los exponentes.
n
am n
si m>n, lo cual nos muestra el primer caso de la quinta ley de
Ejemplos: a)
b)
10 5 10
m8 m3
2
105 2 10 3
c)
m8 3 m5
d)
Ahora, obtengamos el producto de monomios. Ejemplos:
Multiplicar
6 x 4 6 x 2
3 y • 3 y 2 2
5 3
47
68 6
4
68 4 6 4
y4 y 4 1 y 3 y
Para la ley de los exponentes se tiene:
3y 6x 3y • 3 y 6 x 3 y 2
6 x4 6 x2
2
2 2
5
2
2
3
2
2 4
62 , x 2 ,32 , y 4 , es decir,
Por la propiedad conmutativa se cambia el orden de los factores
6 x4 6 x2
3 y • 3 y 2 2
5 3
6 2 • 3 2 x2 • y4
Se sustituyen los factores
6
2
62 y 32 por su producto, esto es:
3 2 x 2 y 4 324 x 2 y 2
Por lo tanto:
6x 4 6x 2
3 y • 3 y 2 2
5 3
324 x 2 y 4
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Obtén el producto de los siguientes monomios aplicando las propiedades de los números reales y las leyes de los exponentes. Justifica la respuesta.
4 x 8 • 2x 3 a) 4 x 3 2x
3a b) 3a
2x d) 2 x
x e) x
3
3
5 2
2
2
5
6
7
c)
5
8b 6 8b 5
4a f) 4a
3
2
2
2
48
2 3
am
Segundo caso
an
1 si m = n.
Aquí el cociente es igual a uno ya que una cantidad dividida entre sí misma da la unidad. Ejemplo:
32 32
3• 3 1. 3• 3
En general, si a es un número real diferente de cero y m y n son números enteros no negativos, entonces: m factores
am a • a • a • a••a 1, n a • a • a • a••a a
ya que m = n.
n factores
am 1, lo cual demuestra el segundo caso de la quinta ley de los exponentes. am
es decir,
Ejemplos:
a)
m3 1, m3
b)
82 1, 82
c)
n5 1, n5
En el tercer caso de la quinta ley de los exponentes,
d)
b10 1. b10
am 1 n m , donde mn. n a a
Ejemplo:
63 6
6
6•6•6 6•6•6 1 1 1 • 1• 3 3 6•6•6•6•6•6 6•6•6 6•6•6 6 6
Ejemplo:
2x 2x 2x 2x 2x • 1 1 1 1• 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2
2
2
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
49
2
2
2
3
2
3
1 8 x6
En general, si a es un número real diferente de cero y m y n números enteros no negativos en donde m