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COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL NAUCALPAN ÁREA DE MATEMÁTICAS TURNO MATUTINO
GUIA DE ESTUDIO PARA MATEMÁTICAS II PROGRAMA MODIFICADO y = - x2 + 2
60
90
a b ; cos c c a tan b sen
130 c
a 2 b2 c 2
a
b
ELABORARON: CARRILLO CASTREJÓN ALBERTO LÓPEZ ESPINOSA MARIA INÉS LUZ JIMÉNEZ FLORES JUAN CRISTINO TERRAZAS CASTRO JUAN MANUEL ZARAGOZA RAMÍREZ JOSÉ GUADALUPE MARZO 2005 JEFE DE ÁREA: ALBERTO CARRILLO CASTREJÓN
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INTRODUCCIÓN Esta guía de Matemáticas II, del programa modificado que entró en vigor a partir de Agosto de 2003, fue realizada por un grupo de profesores del Área de Matemáticas, para apoyar en la preparación a todos aquellos alumnos que adeuden esta asignatura y pretendan presentarse a los exámenes extraordinarios de dicha materia, así como también a los de cursos ordinarios. En la guía se inicia con un desglose de los contenidos temáticos de cada unidad que aparece en el programa de estudios, posteriormente una serie de referencias bibliográficas, en las cuales se pueden consultar los temas de la asignatura para complementar los conocimientos adquiridos en el curso y finalmente se proporciona para cada una de las cinco unidades, un conjunto de ejercicios y problemas (en algunos de ellos se da un desarrollo, que muestra como se resuelven y se llega al resultado)para que el alumno tenga más elementos que le permitan darle respuesta al ejercicios propuestos, sea con el apoyo de sus profesores o de sus compañeros. Vale la pena aclarar que esta guía, le da a los alumnos elementos básicos para presentar su examen extraordinario cuando en verdad se prepara adecuadamente para el mismo, ello implica trabajo y compromiso por parte de los educandos y no solamente de los profesores que participaron en ella o que dan asesorias para los exámenes. Es el presente material una primera versión, la cual se irá mejorando con las diversas aportaciones y comentarios de los profesores del Área y alumnos que la utilicen.
Marzo de 2005
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CONTENIDO TEMATICO
CONTENIDO TEMÁTICO UNIDAD I FUNCIONES CUADRÁTICAS Problemas que den origen a funciones cuadráticas. Estudio gráfico y analítico de la función cuadrática: y ax 2 bx c Casos particulares y ax 2
y ax 2 c y a x h
2
y a x h k 2
Transformación de y ax 2 bx c , hacia y a x h k y viceversa. 2
Intersecciones de la gráfica de una función cuadrática con el eje " x ". Intersección de la gráfica de una función cuadrática con el eje " y ". Comparación de la función cuadrática con la función lineal. Concavidad, máximo o mínimo. Problemas de máximos y mínimos (resolución algebraica).
UNIDAD II CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS CONTRUCCIONES CON REGLA Y COMPAS Segmentos congruentes. Ángulos congruentes. Mediatriz y determinación del punto medio de un segmento. Bisectriz de un ángulo dado. Perpendicular a una recta dada que pasa por un punto: - Que pertenece a la recta - Fuera de ella
TRIÁNGULOS. Reproducción de un triángulo a partir de condiciones dadas (LAL, LLL, ALA) Desigualdad del triángulo. Rectas notables en el triángulo: Mediatriz, Bisectriz, Mediana y Altura. Puntos notables de un triángulo: Circuncentro, Incetro, Baricentro y Ortocentro. Reproducción de polígonos por triangulación.
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CONTENIDO TEMATICO
CIRCUNFERENCIA. Rectas y segmentos. Rectas tangentes a una circunferencia - Desde un punto sobre ella - Desde un punto fuera de ella Localización del centro de una circunferencia dada.
UNIDAD III: CONGRUENCIA Y SEMEJANZA. Congruencia de complementos y suplementos de ángulos congruentes. Congruencia de ángulos opuestos por el vértice. Justificación. Construcción de la recta paralela a otra por un punto dado. Postulado de las rectas paralelas. Congruencia de ángulos entre recta paralelas cortadas por una secante. Ángulos internos y el ángulo externo de un triángulo. Relación entre el ángulo externo y el ángulo interno. Justificación. Suma de ángulos interiores de un triángulo. Justificación. Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono regular. Congruencia de triángulos. Criterios de congruencia de triángulos. Justificación de las construcciones de: Bisectriz de un ángulo Mediatriz de un segmento Perpendicular a una recta Teorema del triángulo isósceles y su recíproco. Justificación. Relación entre el ángulo central e inscrito en una circunferencia. Justificación. SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS. División de un segmento en n partes iguales. Construcciones. Teorema de Tales y su recíproco. Criterios de semejanza de triángulos. Teorema de la altura de un triángulo rectángulo. Justificación. Teorema de Pitágoras y su recíproco. Justificación.
UNIDAD IV: PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES. Medida en geometría. ¿Qué es medir longitudes, áreas y volúmenes? Perímetro de un polígono regular. Medida aproximada de la longitud de la circunferencia. Obtención empírica de la fórmula. Área del rectángulo. Volumen de un prisma recto.
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CONTENIDO TEMATICO
Cálculo de áreas por descomposición y recomposición de figuras. Obtención de la fórmula del área del: Triángulo, Trapecio, Rombo y Paralelogramo. Obtención de la fórmula del área de un polígono regular dado la apotema. Cálculo aproximado del área del círculo. Obtención empírica de la fórmula. Razón entre perímetros y entre áreas de triángulos semejantes. Problemas de longitudes y áreas que involucren semejanza, congruencia y teorema de Pitágoras. Problemas que involucren áreas y volúmenes de prismas, cilindros rectos y conos rectos, donde sea necesario aplicar conocimientos de congruencia: semejanza y teorema de Pitágoras.
UNIDAD V: ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA. Razones Trigonométricas Seno, Coseno y Tangente, para ángulos agudos. Valores inversos de las razones seno, coseno y tangentes. Solución de triángulos rectángulos: Conociendo un ángulo y un lado. Conociendo dos lados. Razones seno, coseno y tangente de los ángulos de 30, 45 y 60. Las razones recíprocas del seno, coseno y tangente. Resolución de problemas. Ángulo de elevación Ángulo de depresión Problemas de aplicación Identidades trigonométricas fundamentales Las recíprocas Las de división Las pitagóricas. Resolución de triángulos oblicuángulos. Ley de los senos y de los cósenos Problemas donde intervienen triángulos oblicuángulos.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS FUNCIONES CUADRÁTICAS. FLEMING, Walter y VARBERG, Dale. Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica. Prentice Hall, México, 1991. GOBRAN, Alfonse. Álgebra elemental. Iberoamericana, México, 1990. LARSON, Ronald y HOSTETLER, Robert. Álgebra. Cultural, México. 1996 MILLER, Charles et. al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Addison Wesley Logman, México, 1999. SMITH, Stanley A., et. al. Álgebra trigonometría y Geometría Analítica. Addison-Wesley Longman, México, l998.
GEOMETRÍA. CLEMENS, Stanley A., et. al. Geometría con Aplicaciones y Solución de Problemas. Adison Wesley, México, 1989. FILLOY, Eugenio y ZUBIETA, Gonzalo. Geometría. Grupo Editorial Iberoamericana, México, 2001. Fleming, Walter y VARBERG, Dale. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Prentice Hall, México, 1991. GARCIA, Jesús y BERTRÁN, Celesti. Geometría y Experiencias. Recursos. Didácticos Alambra. Addison-Wesley Longman, México, 1998. GARCÍA Marco y LÓPEZ Gonzalo, Geometría y Trigonometría. Editorial Esfinge, 2003. MILLER, Charles et. al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Addison Wesley Logman, México, 1999. ORTIZ, CAMPOS. Geometría y Trigonometría. Publicaciones Cultural, 2003
TRIGONOMETRÍA. FLEMING, Walter y VARBERG, Dale. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Prentice Hall, México, 1991.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
FLORES, Homero y Victoria, Susana, Introducción a la Geometría con el Geométra. Iberoamericana, México, 2001. MILLER, Charles et. al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Addison Wesley Longman, México, 1999. RIVAUD, Juan José. Trigonometría. Ed. Limusa, México, 1992. SMITH, Stanley A., et. al. Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Addison-Wesley Longman, México, 1998.
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
EJERCICIOS DE LA UNIDAD I FUNCIONES CUADRÁTICAS En los siguientes cinco ejercicios, exprese lo que se pide mediante una función cuadrática. 1.- La suma de dos números es igual a 87 , exprese su producto en función de alguno de estos números. 2.- El producto de dos números es igual a 156 , exprese su suma en función de uno de estos números. 3.- Se tienen 100 m de malla y se quiere cercar un terreno rectangular, exprese el área del terreno en función de su ancho y o su largo x .
y x Respuesta: El perímetro del terreno será igual a cercarlo, esto significa que, 2x 2 y 100 .
100 , ya que se tiene esta cantidad de malla para
Además el área del terreno rectangular que expresada como: Si despejamos a
A xy
" y " de la primera ecuación y 50 x y sustituimos en la ecuación para el área
tenemos que A x 50 x 50 x x . 2
Por lo tanto, el área puede quedar expresada en términos de
" x " como: A x2 50x
4.- La función para la demanda de un producto que fabrica una empresa esta dada por y 1200 3x , donde y es el precio (en dólares ) por unidad, cuando se tiene una demanda semanal de " x " unidades. Escriba el ingreso semanal total, en términos de " x" . 5.- Para construir seis jaulas de un zoológico se necesitan 1000 m de enrejado. El diseño se muestra en la figura. Exprese el ancho " y " como función de la longitud " x " . Exprese el área total " A " limitada por el enrejado como función de " x "
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
GRAFICACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS 6.- Dibuje la gráfica de cada función cuadrática. a) y x 2 f) y x 2 b) y 2 x 2
g) y 2 x 2
c) y 3 x 2
h) y 3 x 2
d) y 0.5 x 2
i) y 0.5 x 2
e) y 0.25 x 2
j) y 0.25 x 2
7.- Dibuje la gráfica de cada función cuadrática, escriba las coordenadas del vértice e indique si es un máximo ó un mínimo. a) y x 2 3 b) y x 2 2 c) y x 2 1 d) y x 2 2 e) y 2 x 2 1 Respuesta al inciso d): Vértice V ( 0 , – 2 ) ; es un máximo, su gráfica aparece en la figura.
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Gráfica de y = -x - 2
8.- Dibuje la gráfica de cada función cuadrática y escriba la ecuación del eje de simetría. 2 a) y x 3
b) y x 3
2
c) y x 3
2
d) y x 3 Respuesta del inciso b): Ecuación del eje de simetría
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2
x 3 ; su gráfica aparece en la figura.
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
9.- Obtenga las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y dibuje la gráfica de cada función cuadrática. a) y ( x 3) 2 1 b) y ( x 3) 2 2 c) y ( x 3) 2 1 d) y ( x 3) 2 2 e) y ( x 3) 2 1 f) y ( x 3) 2 2 g) y ( x 3) 2 1 h) y ( x 3) 2 2 Respuesta al inciso d): Vértice V 3, 2 ; eje de simetría
x 3 ; Su gráfica aparece en la figura.
10.- Para cada función cuadrática que se da a continuación, obtenga: 1) Su forma estándar. 2) Las coordenadas del vértice. 3) La ecuación del eje de simetría. 4) Las intersecciones con los ejes. 5) Su valor máximo ó mínimo. 6) Su gráfica. a) y x 2 6 x 5 b) y x 2 8 x 7 c) y x 2 8 x 12 d) y x 2 6 x 7 e) y x 2 6 x 5 f) y x 2 8 x 7 g) y 2 x 2 12 x 10 h) y 2 x 2 4 x 6 i) y 3 x 2 24 x 42 j) y x 2 6 x k) y 2 x 2 4 x 3
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
Respuesta al Inciso c) 1) y x 8 x 12 2
y 1 x 2 8 x 12 ; factorizamos el número 1 de los términos cuadrático y lineal.
y 1 x 2 8x 42 42 12 ; completamos un trinomio cuadrado perfecto (T. C. P. ) y 1 x 4 16 12 ; expresamos el T. C. P. como un binomio al cuadrado. 2
y 1 x 4 4 ; ésta es la forma estándar de la función cuadrática. 2
2) Vértice
V h, k 4, 4
3) La ecuación del eje de simetría es
x4
4) Las intersecciones con los ejes coordenados se obtienen al darle el valor de cero a la variable " x " , por un lado, y por el otro a la variable " y " . Como se muestra a continuación.
x 0 , tenemos que al sustituir en la función cuadrática, nos queda, y 12 . 0,12 Esto nos indica que el punto de intersección con el eje " y " es 0,12 Si
0 1 x 42 4, 2
Si
y 0 , entonces al sustituir en la forma estándar tenemos 0 1 x 4 2 4 , resolviéndola 4 x 4 ;
4 x 4 ; sacamos 2 x 4, raíz cuadrada 2
2 4 x. a " x " 2 x 4 ; despejamos Los valores de " x " son: x 2 ; x x6 2 ; x 6 Esto nos indica que los puntos de intersección con el eje " x " son 2,0 , 6, 0 5) Su valor mínimo es -4 y su punto mínimo es 4, 4 6) Su grafica aparece en la siguiente figura:
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
Respuesta al inciso g) 1) y 2 x 12 x 10 2
y 2 x 2 6 x 10 ; factorizamos de los términos cuadrático y lineal el 2.
y 2 x 2 6 x 32 32 10 ; completamos un T. C. P. y 2 x 3 18 10 2
y 2 x 3 8 Esta es la forma estándar de la función cuadrática. 2
2) Las coordenadas del vértice son: V 3, 8 . 3) la ecuación del eje de simetría es x 3 . 4) Las intersecciones con los ejes coordenados.
x 0 , entonces, y 10 , es decir el punto de intersección con el eje " y " es 0,10 Si y 0 , entonces, Si
0 2 x 3 8 2
8 2 x 3 4 x 3 Luego de aquí se tiene que
1, 0 y 5, 0 .
2
2
2 x 3 x 1 ; x 5 , es decir los puntos de intersección con el eje " x " son:
5) Su valor mínimo es 8 . 6) La gráfica aparece en la siguiente figura:
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UNIDAD I
11.- A partir de la gráfica, obtenga la forma estándar de la función cuadrática.
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UNIDAD I
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UNIDAD I
Respuesta al inciso 5) La función cuadrática en su forma estándar es valores de los parámetros
y a x h k , aquí el objetivo es hallar los 2
" a " , " h " y " k " . Usando la información de la figura.
Como el vértice es V 1, 0 , entonces, al sustituir en la forma estándar se tiene Solo falta obtener el valor de parábola, es decir,
y a x 1 0 . 2
" a " , para ello usamos el hecho de que el punto 0, 1 esta en la
x 0 ; y 1. Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos 1 a 0 1 .
Despejando el parámetro
2
" a " : 1 a
Por lo tanto, la forma estándar queda como: y - 1 ( x - 1)
2
Respuesta al inciso 15) El vértice es V 1, 3 , luego parámetro
y a x 1 3 , usamos el punto 0, 1 para hallar el valor del 2
" a " . Sustituyendo x 0 , y 1; 1 a 0 1 3 2
1 a 3 1 3 a 2a
Por lo tanto, la forma estándar es y 2 ( x 1)
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2
- 3
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS (PLANTEE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA) 12.- Hallar el producto mínimo de dos números cuya diferencia sea igual a seis, ¿Cuáles son estos números? 13.- Hallar el producto máximo de dos números cuya suma sea igual a catorce, ¿Cuáles son estos números? 14.- Un granjero esta cercando una superficie rectangular con perímetro fijo de 76m ¿Cuáles son las dimensiones que le darían el área máxima?, ¿Cuál es el área máxima que puede cercar? 15.- La función para la demanda de un artículo que fabrica una empresa esta dada por y 1200 3x donde " y " es el precio (en pesos) por artículo, cuando se tiene una demanda semanal de " x " artículos. Calcule el nivel de producción que maximiza el ingreso semanal del fabricante y determine el ingreso máximo. (Recuerde que el ingreso es el producto de la demanda con el número de artículos producidos).
RESOLVER CADA PROBLEMA (PUEDE HACER USO DE LAS FÓRMULAS PARA h y k ) b b2 4ac b2 Las fórmulas son: h ; k c 2a 4a 4a 16.- Una empresa comercializadora estima que en " x " meses después de la introducción de un producto nuevo, " y " millares de hogares lo estarán utilizando, en donde,
y 109 x 12 x
Calcular el número máximo de casas en las que se empleará dicho producto. 17.- Algunos biólogos estudiaron los efectos nutricionales en ratas que se alimentaron con una dieta que contenía 10% de proteínas. El grupo de investigadores estimó que el aumento promedio en peso (gramos) de un animal durante cierto período de tiempo " x " horas, fue " y " , en donde
y 501 x2 2 x 20 Halle el aumento máximo de peso promedio y en el número de horas que deben transcurrir.
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
Respuesta al inciso 17): Como piden el aumento máximo promedio solo debemos recurrir a la fórmula para y k , es decir
yk
1 4 50 20 2 1 4 50
2
4
80 50 4 50
280 70 4
Para obtener la cantidad de horas que deben transcurrir, usamos la fórmula para
h
2
2
1 50
100 50 2
" h " , es decir,
Por lo tanto, el aumento máximo promedio es de 70 gramos, en 50 horas. 18.- La altura " y " de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por la función cuadrática: y 4.9 x 2 58.8 x en donde " y " está en metros, " x " es el tiempo transcurrido en segundos. ¿A los cuántos segundos alcanza la pelota la altura máxima? ¿Cuál es dicha altura? 19.- Un jugador de balompié realiza un despeje desde su área, la trayectoria del balón se describe con la función cuadrática y 160 x 2 x a) Obtenga la altura máxima que alcanza el balón. b) Calcule la distancia que recorre el balón desde que se despeja hasta que toca otra vez el campo. 3
2
3
20.- Un fabricante tiene un negocio de elaboración de pequeñas réplicas de la estatua de la libertad. Determina que el costo diario en pesos, para producir " x " estatuas está expresado por la función y x 2 120 x 4200 ¿Cuántas estatuas debe producir para tener costos mínimos diarios? ¿Cuál es el costo diario mínimo?
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
21.- La ganancia diaria P ,de una empresa, está dada por medio de una función cuadrática P 2x2 120x 800 , siendo " x " el número de artículos cada día. Encuentre el valor de " x " , para el cuál la ganancia diaria es máxima. 22.- El peso de un tramo de puente colgante está distribuido uniformemente entre dos torres gemelas colocadas a una distancia de 120m. una de la otra y su altura de cada una de ellas es de 27m. (ver figura). El cable que pende entre los extremos de las dos torres tiene forma de parábola y su punto central más bajo está a una altura de 3m. sobre el camino. a) Obtenga la ecuación de la parábola. b) Para soportar el puente se usan 9 cables verticales igualmente espaciados, obtener la longitud total de estos cables.
120m
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CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
UNIDAD II
EJERCICIOS DE LA UNIDAD II CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
Construcciones con regla y compás. En las siguientes actividades realiza lo que se te pide y en la tabla adjunta escribe paso a paso lo que vas efectuando. (Nota: pueden ser menos de diez pasos)
1) Construye un segmento perpendicular al Pasos segmento dado que pase por el punto 1 medio.
DESCRIPCIÓN
2 3 4 5 6 7 8 9
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2) Construye un segmento perpendicular al Pasos DESCRIPCIÓN segmento dado que no pase por el punto 1 medio. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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UNIDAD II
3) Construye un segmento perpendicular al Pasos DESCRIPCIÓN segmento dado que pase por uno de sus 1 extremos. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4) Construye la bisectriz del ángulo dado.
Pasos
DESCRIPCIÓN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5) Construye una recta perpendicular al Pasos DESCRIPCIÓN segmento dado que pase por el punto que 1 se indica. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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UNIDAD II
6) Construye un triángulo congruente triángulo bajo las condiciones dadas. LAL
al
Pasos DESCRIPCIÓN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7) Construye un triángulo congruente triángulo bajo las condiciones dadas. ALA
al
Pasos DESCRIPCIÓN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8) Construye un triángulo congruente triángulo bajo las condiciones dadas. LLL
al
Pasos DESCRIPCIÓN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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UNIDAD II
9) Construye con regla y compás el Circuncentro Pasos DESCRIPCIÓN del triángulo dado. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10) Construye con regla y compás el Incentro del Pasos DESCRIPCIÓN triángulo dado. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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UNIDAD II
11) Construye con regla y compás el Baricentro Pasos DESCRIPCIÓN del triángulo dado. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12) Construye con regla y compás el ortocentro del triangulo dado
Pasos
DESCRIPCIÓN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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UNIDAD II
13) Escribe dentro del paréntesis la letra que corresponde B
A
Radio
Porción de circunferencia comprendida entre Dos puntos.
D
F
Cuerda mayor de un círculo. Superficie plana circunferencia.
limitada
por
Ángulo inscrito
una
Segmento Circular
Circunferencia H
Ángulo cuyo vértice es el centro del círculo.
I
G
Ángulo cuyos lados son dos cuerdas y cuyo vértice está en un punto de la circunferencia.
Ángulo circunscrito
Recta perpendicular al radio en el punto de contacto con la circunferencia.
Circulo
KK
Tangente
L
Equivale a la mitad del diámetro. Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. Porción del radio comprendido entre una cuerda a la que es perpendicular, y la circunferencia.
Porción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas.
Porción del plano limitada por un arco y por dos radios de una circunferencia.
Porción del plano limitada por un arco y por una cuerda que subtiende dicho arco.
Es un ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia; además, uno de sus lados es una cuerda, y el otro, tangente a la misma.
Es un ángulo cuyos lados son secantes de una circunferencia y cuyo vértice es exterior a esta última.
Diámetro
Curva cerrada equidistante de un punto Llamado centro.
Arco E
J
C
Cuerda
Flecha
Sector Circular
M
N
Angulo central
Circunferencias secantes O
Ñ
P
Angulo semi-inscrito Q
Corona
Circunferencias concéntricas R
Circunferencias tangentes interiores
S
Es un ángulo cuyos lados y cuyo vértice están dentro del círculo. Es un ángulo cuyos lados son tangentes a una circunferencia.
Circunferencias exteriores
Angulo exterior
T
U
Circunferencias tangentes exteriores
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V
Circunferencias interiores excéntricas
Ángulo interior
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UNIDAD II
14) En las siguientes ternas de números, decida justificando su respuesta cuales de ellas representan las medidas de un triángulo. Se debe utilizar la desigualdad de triángulo, en la cual se afirma que en todo triángulo se cumple que la suma de las medidas de cualquier par de lados, es mayor que el tercero.
b
a c
ab c ac b bc a
a)2,3, 4 ; b)5,5,9 ; c)4,5,10 ; d )9, 4, 5 ; e)3,4,5 f )3,3,3 ; g )1, 2,3 ; h)7,9, 6 ; i)25, 24, 23 ; j )5,8, 2
15) Escribe la definición de 1) Ángulos adyacentes:____________________________________________ 2) Ángulos complementarios:________________________________________ 3) Ángulos suplementarios:_________________________________________ 4) Ángulo llano:___________________________________________________ 5) Ángulos opuesto por su vértice:____________________________________ 16) Plantea y resuelve cada uno de los siguientes ejercicios. 1) Obtener dos ángulos complementarios cuya diferencia sea igual a 15. 2) Hallar dos ángulos complementarios cuya diferencia sea igual a 23. 3) Encontrar tres ángulos suplementarios, de manera que el primero de ellos sea el doble del segundo y el triple del tercero. 4) Las medidas de dos ángulos complementarios son 3x 10 y 2x 10 respectivamente, ¿Cuál es el valor de cada ángulo?. 5) Dos ángulos suplementarios miden 2x 15 y x 30 . Encontrar el valor de cada ángulo. 6) Si dos ángulos son opuestos por su vértice y suplementarios, ¿Cuánto miden los ángulos? 7) Tres ángulos suplementarios miden x 5 , 2x 15 y 3x 20 , Obtenga la medida de cada ángulo. Respuesta al inciso 7) Como los ángulos son suplementarios la suma de ellos es igual a
180 , es decir x 5 2 x 15 3x 20 180 6 x 180 x 30 Por lo tanto, los ángulos miden 35º ; 75º y 70º.
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UNIDAD II
17) De acuerdo a la figura Sabemos que, l ll m. Obtenga lo que se pide en cada inciso. 1) 5 7 x 11 y 2 8x 4 Encontrar el valor de " x "
Respuesta al inciso 1) Como los ángulos son alternos internos, se tiene que, Resolviendo la ecuación:
7 x 11 8x 4 11 4 8 x 7 x 7 x Por tanto: x 7
2) 7 3x 5 y 4 5x 15 ; Encontrar el valor de x l
3) 3 3x 40 y 6 5x ; Encontrar el valor de x .
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CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
UNIDAD II
4) 3 10x y 4 5x 30 ; encontrar el valor de x
5) 2 3x 40 y 6 7x ; Encontrar el valor de " x " .
6) Encontrar el valor de " x " y de " z " .
Respuesta al inciso 6) Como se tienen dos ángulos correspondientes, se puede decir que, 2 x z 10 Además se tienen dos ángulos alternos internos, luego tenemos, 2x 3x 20 Ahora resolvemos este sistema de ecuaciones. De la segunda ecuación x 20 y al sustituir en la primera ecuación tenemos que 40 z 10 , es decir, 30 z . Por lo tanto, los valores pedidos son: x 20 ; z 30 .
7) Considerando que: AB ll CD y CF AB, hallar el valor de " x " y " z " .
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CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
UNIDAD II
8) Dados 1 6n 2 , 2 2n 7 y 3 5n 3 . Obtener las medidas de los ángulos.
Respuesta al inciso 8) Como la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a ecuación: 6n 2 2n 7 5n 3 180
180 se desprende la siguiente
13n 180 2 7 3 13n 182 n 14
Por lo tanto las medidas de los ángulos son:
1 6 14 2 86 ; 2 2 14 7 21 ; 3 5 14 3 73
12) Hallar la medida de los ángulos que aparecen en cada figura
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
EJERCICIOS DE LA UNIDAD III CONGRUENCIA Y SEMEJANZA 1) En las siguientes figuras aparecen dos triángulos que son congruentes, escriba el criterio de congruencia que lo justifica.
2) Hallar el valor de " x " y " z " , en cada par de triángulos congruentes.
Respuesta: Como los triángulos son congruentes, los lados respectivos tienen medidas iguales, es decir, x 12 14 , luego x 14 12 2 . Además z 8 10 , luego z 10 8 18 . Por tanto, los valores pedidos son: x 2 y z 18
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
3) Hallar el valor de x y z , si el segmento AB es paralelo al segmento CD.
4) Realice lo que se pide. Demuestre que c d , si a b
Demuestre que b d 180 , si a b .
Demostración: Supóngase que a b . Se tiene que c b 180 por suplementarios. d a 180 por suplementarios. De lo anterior se tiene que c b d a 180 es decir, c a d a , ya que a b . Luego c d . Con lo cual queda demostrado.
5) En las figuras anteriores del ejercicio 4). Considere que: a 2x 10 y c x 20 . Determine lo que miden los ángulos a y c. 6) Considere a b y c 110 . Determine la medida de todos los ángulos interiores del triángulo.
Considere que: a=2x-10° y c x 20 . Determine lo que miden los ángulos a y c. Considere a 33 y c 133 Determine la medida de todos los ángulos interiores del triángulo.
7) Obtener la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos regulares de acuerdo al número de lados. a) b) c) d) e) f) g)
n 5 lados n 6 lados n 7 lados n 8 lados n 9 lados n 10 lados n 37 lados
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
Respuesta al inciso c) La suma de los ángulos interiores de un polígono con n – lados está dada por la expresión S n 2 180 .
Luego cuando se tiene un polígono de
n 7 lados, la suma de sus ángulos interiores es S 7 2 180 S 5180 S 90
Por lo tanto, la suma de los ángulos interiores de un polígono de
7 lados, es igual a 900º.
8) Calcular el número de lados de cada polígono regular cuyo ángulo interior mide: a) b) c) d) e) f)
120º 135º 144º 150º 160º 178.2°
Respuesta al inciso c) La medida de un ángulo interior para polígonos regulares está dada por:
Medida del ángulo
n 2180 ,donde " n " es el número de lados del polígono n
Luego como sabemos que el ángulo interior mide 144 entonces:
n 2 180 144
n 180n 360 144n 180n 144n 360 36n 360 n
despejamos a n:
360 10 36
Por los tanto, cuando el ángulo interior mide 144°, el polígono tiene 10 lados.
9) Obtenga para cada polígono regular la medida de su ángulo exterior.
10) En los siguientes polígonos regulares determine la medida del ángulo DHE
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
Respuesta a la primera figura, el triangulo DHE es isósceles y el ángulo DEH 5 2180 3180 540 108 mide 108°, ya que, 5 5 5 2 x 108 180 2 x 180 108 Luego entonces, 2 x 72 x 36 Por lo tanto, la medida del ángulo DHE es de 36°
11) Obtener la suma de los ángulos exteriores de cada polígono regular de: a) n 10 lados b) n 5 lados c) n 7 lados
12) Demuestra que ABC inscrito en una semicircunferencia es un triángulo rectángulo.
13) Demuestre que la medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados (ver figura). Demostrar que AOB 12 ACB
14) Hacer las siguientes conversiones. De notación decimal a Grados Minutos Segundos a) (23.24°) b) (98.125)° c) (123.5015)° d) (221.155)°
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
Respuesta al inciso a) 23.24 =
UNIDAD III
2314'24" ; recuerde que 1 60' y que 1' 60" .
Ya que, 0.24 0.24 60 ' 14.4 ' 14 ' 0.4 ' .
0.4 ' 0.4 60 '' 24 '' De notación Grados Minutos Segundos a notación decimal. a) b) c) d) e) f)
13° 15’ 30’’ 46° 45’ 20’’ 124° 40’ 35’’ 156° 55’ 15’’ 245° 34’ 05’’ 67° 15’
Respuesta al inciso d) 156 55' 15" 156.92417 , ya que:
55 55' ' 0.92 60 15 15" " 0.00417 ; luego 55' 15" 0.92417 3600
De grados a radianes y viceversa según el caso. (Recuerda que radianes=180° y que 1
180
radianes) Grados Radianes 45° 75° 2 3 150° 5 4
280°
7 3 10 3
500° 14) Encuentre el valor positivo de x en cada proporción dada. i) x : 5 20 : x
ii) 2x : x 7 3: 5
15) Los triángulos que aparecen en las figuras respectivas son semejantes, obtenga el valor de x e y
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
Respuesta: Para el primer caso, como los triángulos son semejantes sus lados respectivos son proporcionales. Luego entonces, y+3 y 3 1512
4 10 y3 6 y3 15
Por lo tanto,
x 2 10 x-2 12 15 x28
4
10
x 10
y 3 ; x 10
16) Para calcular el ancho de un cerro se realizan una serie de mediciones como se muestra en la figura. ¿Cuánto mide el ancho del cerro?
17) Obtener la altura del árbol de acuerdo a la figura.
18) Para medir el ancho de una barranca se realizan las mediciones (metros) que se muestran en la figura, determine el ancho en la posición señalada.
19) Aplique el teorema de Pitágoras para resolver los siguientes ejercicios. 34
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
En cada figura obtenga el valor que falta.
En cada figura encuentra el valor de x y determina la medida de los lados faltantes.
Respuesta a la primera figura: x 2 y 2 100 ; usando el teorema de Pitágoras. 2 x 2 100 x 2 50 x 50 El valor correcto es x 50
Por lo tanto, el valor correcto es x 50 ya que se están manejando longitudes y no tiene sentido el valor negativo para estos casos.
20) Una torre se encuentra sujeta por 4 cables, si la torre mide 30m. de alto y la distancia de la base de dicha torre a donde está sujeto cada cable mide 10m . Encuentre la longitud total de los cables.
21) Obtenga la altura de cada triángulo Isósceles, el Perímetro, el Área y compare los perímetros de los tres triángulos mediante cocientes. De igual manera sus Áreas. Anote sus comentarios y observaciones.
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
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PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
UNIDAD IV
UNIDAD IV PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES 1) Se tiene un triángulo equilátero cuya altura mide 8cm . Obtener su perímetro y su área correspondiente.
Respuesta Por el Teorema de Pitágoras.
x
x 8 x/2
x2 64 x 2 4 x2 64 x 2 4 3x 2 64 4 256 x2 3
; sacando raiz cuadrada;
Luego, el área del triángulo es
2)
A
9.248 36.95cm2
x 9.24
2
Hallar el área del triángulo equilátero cuyos lados miden 10cm .
3) En la figura las rectas “l” y “m” son paralelas, anote la afirmación que sea verdadera. D
a) El área del triángulo ABC es mayor que el área del triángulo ABD ( b) El área del triángulo ABC es igual que el áreal del triángulo ABD ( c) El área del triángulo ABC es menor que el área del triángulo ABD (
) ) )
4) Obtenga el área del triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 15cm . y su lado desigual mide 6cm .
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PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
5)
UNIDAD IV
Determine el perímetro y el área del siguiente triángulo rectángulo.
6) En cada una de las regiones sombreadas el cuadrado mide 12 cm. Obtenga el área respectiva.
Respuesta al inciso 9)
Asombreada Ac.grande Ac. pequeño 2 Acir . pequeño Asom. 122 62 2 (3)2 144 36 18 108 18 51.45 cm 2
Por lo tan to, Asom. 51.45 cm 2
7) El símbolo internacional del acero se representa con tres “estrellas” como la que se muestra en la figura. Obtenga el perímetro y el área de la estrella, considerando que el cuadrado mide 20 cm.
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PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
8)
UNIDAD IV
Calcule en la pirámide de la siguiente figura: a) El perímetro de la cara 1 b) El área de la cara 1 c) El perímetro de la cara 2 d) El área de la cara 2 e) El volumen de la pirámide
9) Obtener el área total y el volumen de la siguiente pirámide sabiendo que las cuatro aristas laterales miden 12 cm.
Respuesta: Se tienen que obtener las alturas de las caras laterales , para obtener el área total. h1 122 52 144 25 119 h2 122 32 144 9 135
Así el área total es AT = AB + 2A L1 + 2AL2 AT 60
2(10) 119 2(6) 135 60 10 119 6 135 238.8 cm2 2 2
Luego el área total es aprox. igual a 238.8 cm
2
Para el volumen se requiere la altura de la pirámide. h
135
2
52 135 25
h 110
Luego V 31 (60)( 110) 209.76 cm3
10) Una cisterna tiene forma de prisma recto de base cuadrada. Sus dimensiones interiores son de 3 m x 3 m x 5 m. a) ¿Cuál es la capacidad de esta cisterna? b) Se desea pintar la base inferior y las caras laterales de la cisterna, ¿Cuántos metros cuadrados se pintarán?
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PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
UNIDAD IV
11) Un tanque en forma de cilindro circular recto está colocado sobre el piso
horizontal. Si la altura del cilindro es de 9 m y su diámetro de 3 m. ¿Cuántos m 3 de liquido contendrá?, si el liquido solo tiene una profundidad de 1.5 m ¿cuántos m 3 tendrá el tanque?
12) Hallar el Área lateral y volumen del cono circular recto, si su radio mide 4 cm. y su generatriz mide 15 cm.
13) Una bodega tiene forma de un Paralelepípedo ( Prisma rectangular recto ), con dimensiones de 10 m de largo, 8 m de ancho y 5 m de altura. ¿Cuál es el volumen o capacidad de dicha bodega? Si se quieren almacenar cajas de medio metro de largo, por medio metro de ancho y un cuarto de metro ( 0. 25 m ) de alto, ¿Cuántas cajas cabrán en la bodega?
14) En el ejercicio anterior supóngase que las dimensiones de las cajas son de un cuarto de metro de largo, por un cuarto de metro de ancho y por un cuarto de metro de alto. ¿Cuántas cajas cabrán en la bodega?.
15) La base de un prisma recto es un hexágono, cuyos lados miden 2 cm. Si la altura del prisma es de 10 cm. a) b) c) d)
Obtenga el área de la base El área de una cara lateral El área total del prisma El volumen de dicho prisma.
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PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
UNIDAD IV
Respuesta al ejercicio 15) a) El área de la base es pxa donde a es la apotema del hexágono 2
El perímetro es 12 cm. La apotema se obtiene usando el teorema de Pitágoras, de acuerdo a la figura a 22 12 4 1 3 Luego, Abase
12 3 6 3 10.39 cm 2 2
b) Área de una cara lateral; Al 2 10 20cm 2 c) Área total AT 2Ab 6Al 12 3 6 20 120 12 3 140.785 cm2
d) Volumen del prisma ; Vprisma Ab h 6 3 10 60 3 103.923 cm3
16) En la siguiente tabla aparecen algunos valores de un cilindro circular recto. Complete la tabla justificando su respuesta.
Radio (m )
Altura ( m )
r=4
h = 10
Área de la base ( m2 )
Área total ( m2 )
Volumen ( m3 )
80
r=5
900
h=9 h = 16
49
1200
r = 10
170
r=5
36
288 96
r = 12
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PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
UNIDAD IV
Respuesta al tercer renglón:
Ya que: Como el volumen de un cilindro circular recto esta dado por Vcilindro r 2 h luego r 2
Asi
; r 2 (9) 900
900 100, de lo anterior se tiene que r 10 , es decir , el radio de la base es igual a 10 m. 9
Abase r 2
;
Abase (10)2 100
Atotal 2 r 2 Alateral Atotal 2 (10)2 2 (10)(9) 200 180 380
17) En la siguiente tabla aparecen algunos valores de un cono circular recto. Complete la tabla justificando su respuesta. Radio ( m )
Altura ( m )
Generatriz (m )
r=3
h=4 h=8 h = 10
g = 10
Área de la 2 base ( m )
144
g = 15 r = 12
2
3
Área lateral(m ) Volumen ( m )
120
240
r = 15
675
Respuesta al primer renglón:
Ya que la generatriz es g h2 r 2
; g 42 33 25 5
El área de la base es Ab (3)2 9 El área lateral es Al rg
;
Al (3)(5) 15
El volumen del cono es Vcono r 2h 1 3
; Vcono 31 (3)2 (4) 12
18) Calcular el volumen de cada uno de los siguientes cuerpos.
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PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
UNIDAD IV
19) Se ha construido una pirámide de base cuadrada cuya altura es de 10 m y los lados del cuadrado miden 5 m. Se quiere pintar sus caras laterales. Si pintar un metro cuadrado cuesta $310, ¿Cuánto costará pintar toda la superficie lateral?
20) Un prisma de base cuadrada (Paralelepípedo) tiene medidas como las mostradas en la figura. a) Obtenga el valor adecuado de x. b) Calcule el área total de las cuatro caras laterales. c) Obtenga el área total. d) Determine el volumen.
Respuesta al ejercicio 20) a) Aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene que: x 2 ( x 2)2 ( x 4)2 resolviendo para " x " x 2 x 2 4 x 4 x 2 8 x 16 x 4 x 12 0 2
( x 6)( x 2) 0 ; Luego
agrupando factorizando x 6 0, es decir , x 6 x 2 0, es decir , x 2
El valor correcto para x es 6, ya que, representa una longitud, es decir, x = 6. b) El área de total de las cuatro caras es Al =4(6) (8)=192. c) El área total es At = 2 (6)2 + 192 = 264. d) El volumen total es Vt = 36 (8) = 288.
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
UNIDAD V
UNIDAD V ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA 1)
Escriba en forma simbólica las seis razones trigonométricas de acuerdo a la siguiente figura.
2) Para cada inciso obtenga las razones trigonométricas que faltan. 3 5
i ) sen
ii ) cos
;
1 2
iii ) tan
;
5 6
10 7 11 ; v) cot ; vi ) csc y 7 2 3 3) Escriba las siguientes cuatro razones trigonométricas en términos de las razones Seno y Coseno, según el caso. iv) sec x
tan x
cot x
;
;
sec x
;
csc x
4) Complete correctamente las tres identidades pitagóricas. sen 2 ______ ______ tan 2 ______ sec 2 cs c 2 1 ________
5) Utilice sólo identidades trigonométricas para obtener las razones que faltan en cada inciso. i) sen 0.3451
;
ii) cos 0.125
;
iii) tan 2.250
Respuesta al inciso i) Como sen 0.3451, entonces (sen )2 0.1191 Luego usamos la identidad (sen )2 (cos )2 1 (cos )2 1 (sen )2
; (cos )2 1 0.1191 0.8809
luego cos 0.9386
Por lo tanto, tan
sen 0.3451 cos 0.9386 0.3677 ; cot 2.7198 cos 0.9386 sen 0.3451
sec
1 1 1 1 1.0654 ; csc 2.8977 cos 0.9386 sen 0.3451
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
UNIDAD V
6) Sin el uso de calculadora o tablas construya las seis razones trigonométricas para los ángulos de 30o, 60o y 45o. (apóyese en las siguientes figuras)
7) En un triángulo equilátero su altura mide 12 cm., ¿Cuánto mide su perímetro?, ¿Cuánto mide su área?
8) Si los lados congruentes de un triángulo isósceles miden 15 cm. y los ángulos congruentes miden 30o, ¿Cuánto mide su área? Respuesta al ejercicio 8)
9) Una diagonal de un cuadrado mide 20 cm., ¿Cuánto mide su perímetro?,¿cuánto mide su área?
10) Un poste de 16 m de altura esta sujetado con tres cables y forman ángulos de 60o con respecto al suelo. (Ver figura) Encuentre la longitud total de los cables.
11) El ángulo de elevación del sol, en un determinado momento, es de 42o y un poste proyecta una sombra de 12 m sobre el suelo. Calcula la altura del poste.
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
UNIDAD V
12) Un avión inicia su aterrizaje con un ángulo de depresión de 8° a una velocidad constante de 110 m / seg. Si se tarda en tocar la pista 45 seg. desde que inicio su descenso. ¿Qué altura tenía?
Respuesta al inciso 12) La distancia que recorre el avión durante ese tiempo es de 4950 m, ya que d = v t.
sin 8
h h 4950sin 8 688.91 4950
Por lo tanto, su altura es de 688.91 m aprox.
13) Un avión despega con un ángulo de elevación de 9° a una velocidad constante de 120 m/seg., ¿Qué altura tendrá después de 8 segundos?
14) Un cable esta sujetado en sus extremos por dos torres (ver figura), el ángulo de elevación es de 25°. Si una torre mide 10 m y la otra mide 30 m, ¿Cuánto mide el cable?
15) El ángulo de depresión desde un faro hacia una embarcación que se aproxima al muelle es de 18°. Si la altura del faro es de 35 m, ¿A que distancia se encuentra la embarcación del faro?
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
UNIDAD V
16) El ángulo de elevación de un globo cambia de 35° a 43°, como se muestra en la figura. ¿Qué distancia avanza el globo en dicho cambio?.
17) Un parque de diversiones cuenta con un tobogán gigante como se muestra en la figura. Calcule la longitud total del recorrido en el tobogán.
60 m
18) La escalera de un carro de bomberos tiene una longitud máxima de 20 m y su
ángulo máximo de elevación es de 70o, si la parte inferior de dicha escalera esta sobre el carro a una altura de 2 m, ¿Cuál será la altura máxima que alcanza la escalera desde el suelo?.
19) Una escalera de 10 m de longitud esta recargada sobre un edificio y alcanza una altura de 8 m, hallar la medida del ángulo que se forma entre la escalera y el piso.
20) Dos cables sujetan un globo, el cual alcanza una altura de 75 m, si uno de los
cables forma un ángulo de 70o y el otro cable forma un ángulo de 65o con respecto al suelo, ¿Cuánto mide cada cable?
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
UNIDAD V
21) Un árbol proyecta una sombra a cierta hora del día de 15 m formando un ángulo de 50o. ¿Cuál es la altura del árbol
22) Usando la calculadora complete la siguiente tabla y dibuje las gráficas en el mismo plano para estos valores. (Modificar la escala de la variable x ) cos x x ( grados ) sen x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0o 90o 180o 110 120 130 140 150 160 170 180 De acuerdo a la tabla (gráfica) decide cuales igualdades son verdaderas (v) ó cuales son falsas (f). a) sen 180o x sen x ______
b) cos 180o x cos x c) sen 180o x sen x d ) cos 180o x cos x
_____
______ ______
23) Utilice la ley de los senos para obtener las medidas que faltan en triángulo.
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
UNIDAD V
La ley de los senos establece que:
a b c 8 12 sen A sen 65° B sen C B
Respuesta a la primera figura: Usando la ley de Senos. 12 8 o sen 65 sen B
sen B
8 sen 65o 7.25046 0.604205 12 12
Aplicando la funcion inversa del seno se tiene que :
B sen 1(0.604205) 37.17o
Luego la medida del angulo C es : C 1800 65o 37.17o 77.83o
Finalmente
c 12 sen 77.83o sen 65o º
c
12 (sen 77.83o ) 12.94 sen 65o
º
Por lo tanto, B = 37.17 ; C = 77.83 y c = 12.94
24) Aplique la ley de los cósenos para obtener las medidas que faltan en cada triángulo.
Respuesta a la primer figura: La ley de los cósenos establece que.
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cos C
a 2 b 2 c 2 256 144 100 0.05 A cos 1 0.05 92.87 2bc 240 2 2 2 b a c 144 256 100 cos B 0.6625 B cos 1 0.6625 48.51 2ac 320 c 2 a 2 b 2 100 256 144 cos C 0.7813 C cos 1 0.7813 38.62 2ab 384 cos A
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
UNIDAD V
25) Dos personas que se encuentran separadas 1500 m observan un objeto volador
no identificado, si los ángulos de elevación son de 50 o y 65o. Hallar la altura del objeto volador.
26) Un terreno tiene forma triangular, sus lados miden 12 m , 25 m y 20 m respectivamente. Hallar las medidas de los tres ángulos interiores del terreno.
27) De acuerdo con los datos de la siguiente figura, ¿cuántos metros vale x?
50
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