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Funciones
Función Lineal. Si f función polinomial de la forma o , donde y son constantes reales se considera una función lineal, en esta nos la pendiente o sea la inclinación que tendrá la gráfica de la función, y nos indica la intersección de la función con el eje de las . Se utiliza el término lineal puesto que la gráfica de f es una línea recta. Análisis de la monotonía según la pendiente. Si la pendiente es positiva es decir creciente.
, la función es estrictamente
f x = 2 x+1 2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
Si la pendiente es negativa es decir decreciente.
, la función es estrictamente
f x = -3 x+2 2
1
-4
-2
2
-1
-2
122
4
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Funciones
Si la pendiente es igual a cero es decir,
, la función es constante.
fx =1 2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
Dados dos puntos utilizando la siguiente fórmula:
, podemos obtener el valor de la pendiente
Para calcular el valor de la intersección con el eje
, se aplica la fórmula:
Ejemplo. 1. Determine la ecuación de la recta que contiene a los puntos Realizamos el cálculo del valor de la pendiente.
Ahora obtenemos el valor de b utilizando la pendiente obtenida en el punto anterior, y cualquiera de los puntos dados.
Por lo tanto la ecuación de la recta es 123
.
.
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Funciones
2. Determine la ecuación de la recta que contiene a los puntos
.
Realizamos el cálculo del valor de la pendiente.
Ahora obtenemos el valor de b utilizando la pendiente obtenida en el punto anterior, y cualquiera de los puntos dados.
Por lo tanto la ecuación de la recta es
.
Práctica
Función lineal 143. La función dada por A. B. C. D.
es
biyectiva constante estrictamente creciente estrictamente decreciente
144. Si la función es A. B. C. D.
con
es una función tal que
identidad creciente constante decreciente
124
y
, entonces
Colegio Universitario Boston 145. Si una
es una función lineal , ,
Funciones con y se cumple que es entonces el criterio de es
A. B. C. D. 146. La ecuación de la recta que pasa por los puntos a
corresponde
A. B. C. D. 147. El criterio de la función lineal es
a la que pertenecen los puntos
A. B. C. D. 148. La ecuación de una recta que contiene los puntos A. B. C. D.
125
es
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Funciones e interseca al eje “y” en
149. La ecuación de la recta que contiene al punto corresponde a A. B. C. D. 150. Si es una función lineal con función es el valor de es
y
entonces la
A. B. C. D. 151. La recta que interseca el eje y en
y el eje x en
es
A. B. C. D. 152. Si de es
es una función lineal tal que
y
A. B. C. D.
126
, entonces el criterio
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Funciones
153. De acuerdo con los datos de la grafica de la función real “f”, ¿Cuál es la pendiente de la recta? y
g 1
A.
x
B.
1
2
3
C. D. 154. De acuerdo con los datos de la grafica, el criterio de la función “g” corresponde a y
A.
2 1
B.
g
-2
C.
x
D. 155. Si los puntos pertenecen al grafico de la función lineal , entonces la función se clasifica como: A. B. C. D.
Identidad Creciente Constante Decreciente
156. Si es una función creciente entonces se cumple con certeza que k pertenece al conjunto A. B. C. D. 127
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157. Considere la siguiente gráfica de la función lineal “f”. De acuerdo con los datos de la grafica de la función real “f y
I. II. III.
f
El ámbito de f es R La gráfica de f interseca al eje “y” en 2,0 f es estrictamente creciente
1
2
x -1
De ellas, ¿Cuáles son verdaderas?
A. B. C. D.
Solo la I y la II Solo la I y la III Solo la II y la III La I, la II y la III
158. El criterio de una función lineal “f”, a cuyo grafico pertenecen los puntos es A. B. C. D.
159. Si
es una función tal que
y
A. B. C. D.
128
3
entonces se cumple que:
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160. Considere la siguiente gráfica de la función lineal “f”. f
y 4
m
g
2
1 h
2
x
-2
De acuerdo con los datos de la grafica dada, de las funciones con certeza, estrictamente creciente?
, ¿Cuál es
A. B. C. D.
161. Considere la siguiente gráfica de la función lineal. De acuerdo con los datos de la grafica dada, la pendiente de la recta de la función y equivalente a A. b
B.
1
C.
a
D.
129
x
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162. Si pertenecen al grafico de una función lineal f , considere las siguientes proposiciones.
I. II.
f es estrictamente creciente. El ámbito de f es
¿Cuáles de ellas son verdaderas? A. B. C. D.
Ambas Ninguna Solo la I Solo la II
163. Si los puntos pertenecen al grafico de la función lineal , entonces la función se clasifica como: A. B. C. D.
Identidad Creciente Constante Decreciente
164. Para que la función
sea creciente se debe cumplir que:
A. B. C. D. 165. Si
y
, ¿Cuál es el valor de b?
A. B. C. D. 130
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166. Para que la función que:
, sea decreciente se debe cumplir
A. B. C. D.
167. ¿Cuál es la ecuación de la recta a cuyo grafico pertenecen los puntos ? A. B. C. D. 168. Si es: A. B. C. D.
es una función tal que
y
entonces
Identidad Creciente Decreciente Constante
169. Si
¿Cuál es el valor de
A. B. C. D.
131
?
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170. ¿Cuál es el criterio de la función lineal descrita por la siguiente gráfica? y
A. B.
2
C.
x
-4
D.
171. Si entonces
es una función lineal y es
pertenecen a la función,
A. Identidad B. Constante C. Decreciente D. Creciente 172. La ecuación de la recta que pasa por el punto pendiente a -3 es la siguiente:
y que tiene por
A. B. C. D.
173. Si los puntos pertenecen al grafico de la función lineal , entonces la función se clasifica como: A. Identidad B. Creciente C. Constante D. Decreciente
132
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Funciones
174. Para que la función
sea decreciente se debe cumplir que:
A. B. C. D.
175. La ecuación de la recta que pasa por el punto a es la siguiente:
y que tiene por pendiente
A. B. C. D.
176. Si
y
, ¿Cuál es el valor de b?
A. B. 17 C. D.
177. Para que la función que:
, sea creciente se debe cumplir
A. B. C. D.
133
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178. ¿Cuál es la ecuación de la recta a cuyo grafico pertenecen los puntos ? A. B. C. D. 179. Si
¿Cuál es el valor de m?
A. B. C. D.
Intersecciones con los Ejes
1. Intersección con el eje y Para encontrar la intersección con el eje , debemos cambiar el término que tenga a la es decir la variable independiente por cero y despejar a , en la ecuación que nos queda. Por otro lado si la ecuación de la recta es de la forma tomar el par ordenado .
, bastara con
Ejemplos. 1. Determine la intersección con el eje de las .
para la función dada por
Iniciamos eliminando el término que aporta la variable independiente y resolvemos la ecuación que nos queda planteada.
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Por lo tanto la intersección con el eje de las ordenado . 2. Determine la intersección con el eje de las .
, viene dada por el par
para la función dada por
Notemos que la función dada es de la forma constante corresponde a -8.
, donde el valor de la
Por lo tanto la intersección con el eje de las ordenado .
, viene dada por el par
Intersección con el eje x Para encontrar la intersección con el eje , debemos cambiar el término que tenga a la es decir la variable dependiente por cero y despejar a , en la ecuación que nos queda. Por otro lado si la ecuación de la recta es de la forma tomar el par ordenado
, bastara con
.
Ejemplos.
1. Determine la intersección con el eje de las .
para la función dada por
Iniciamos eliminando el término que aporta la variable dependiente y resolvemos la ecuación que nos queda planteada.
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Funciones
Por lo tanto la intersección con el eje de las ordenado .
2. Determine la intersección con el eje de las .
, viene dada por el par
para la función dada por
Notemos que la función dada es de la forma constante corresponde a y el valor de la constante
, donde el valor de la corresponde a .
Entonces Por lo tanto la intersección con el eje de las ordenado .
, viene dada por el par
Práctica Intersecciones. , interseca al eje “ ” en
180. La gráfica de la función dada por A. B. C. D.
181. Los puntos de intersección con los ejes de la recta dada por A. B. C. D. 136
, son
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182. Si la pendiente de una recta es y el punto dicha recta interseca al eje en el punto
, pertenece a ella, entonces
A. B. C. D.
, interseca al eje “x” en el punto
183. La gráfica de la función dada por A. B. C. D.
184. Si la pendiente de una recta es y el punto dicha recta interseca al eje en el punto A. B. C. D.
137
, pertenece a ella, entonces
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185. El punto de intersección de la recta definida por
con el eje “ ”
corresponde a A. B. C. D. Rectas Paralelas y Perpendiculares Rectas paralelas Dos o más rectas que pertenezcan al mismo plano se consideran paralelas si y solo si sus pendientes poseen el mismo valor, gráficamente dos rectas paralelas nunca se intersecan. En otras palabras si es de la forma y es de la forma y entonces podemos afirmar que . El símbolo significa “paralelo o paralela a”.
Ejemplo. 1. Determine si las rectas definidas por son paralelas.
y
Para determinar si las rectas son paralelas debemos conocer el valor respectivo de sus pendientes, por lo cual vamos a transformar las ecuaciones dadas a ecuaciones de la forma . a.
Por lo que
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b.
Por lo que Entonces ambas rectas son paralelas pues Gráficamente podemos ver que ambas rectas no se intersecan.
f x = 3 x+4 g x = 3 x-3
4
2
-5
5
-2
-4
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por recta dada por
y que es paralela a la
Inicialmente determinemos el valor de la pendiente de la recta dada.
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De lo anterior tenemos que la pendiente de la recta dada es , lo cual nos indica que la pendiente de la recta que buscamos también va a ser , pues como conocíamos inicialmente que ambas rectas son paralelas. Ahora averigüemos el valor de la intersección con el eje
.
Finalmente tenemos que la ecuación de la recta dada es
.
Rectas perpendiculares Dos rectas que pertenezcan al mismo plano se consideran perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es igual a , gráficamente dos rectas perpendiculares se intersecan formando entre si un ángulo de . En otras palabras si es de la forma y es de la forma y entonces podemos afirmar que . Además, si tenemos la
podemos encontrar la
con la formula:
Ejemplo. 1. Determine si las rectas definidas por perpendiculares.
y
son
Para determinar si las rectas son perpendiculares debemos conocer el valor respectivo de sus pendientes, por lo cual vamos a transformar las ecuaciones dadas a ecuaciones de la forma .
140
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a.
Por lo que b.
Por lo que Entonces ambas rectas son perpendiculares pues
, veamos
Gráficamente podemos ver que ambas rectas no se intersecan.
f x = 4 x+2 -x-1 g x = 4
4
2
-5
5
-2
-4
141
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2. Determine la ecuación de la recta que pasa por a la recta dada por
y que es perpendicular
Inicialmente determinemos el valor de la pendiente de la recta dada.
De lo anterior tenemos que la pendiente de la recta dada es , lo cual nos indica que la pendiente de la recta que buscamos también va a ser
, pues
como conocíamos inicialmente que ambas rectas son perpendiculares. Ahora averigüemos el valor de la intersección con el eje
.
Finalmente tenemos que la ecuación de la recta dada es
Intersección entre dos Rectas Por conocimientos previos sabemos que la intersección de dos rectas es un punto, el cual obtenemos al calcular la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta solución corresponde a un par ordenado de la forma , el cual se puede encontrar por los métodos estudiados en la parte de algebra recordemos entre ellos; el de reducción, igualación, entre otros.
142
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Ejemplo. 1. Determine el punto de intersección para las rectas dadas por y Resolveremos el sistema utilizando el método de reducción
Tomemos el siguiente sistema Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema
Por lo tanto y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuación del sistema obtenemos que el valor de es . Lo que nos indica que el punto de intersección de las rectas es Gráficamente tenemos: f x = 3 x-8 g x = 5 x-14
6
4
2
A : (3,00, 1,00) -5
5
-2
143
10
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Práctica Rectas Paralelas y Perpendiculares 186. Una recta paralela a la recta dada por
corresponde a
A. B. C. D. 187. La pendiente de una recta paralela con la ecuación
es
A. B. C. D. 188. La ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por
es
A. B. C. D.
+
189. La ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por A.
+
B. C. D.
+7 144
es
Colegio Universitario Boston 190. Si los puntos recta perpendicular a la “l” es
Funciones
pertenecen a la recta l entonces la pendiente de una
A. B. C. D. 191. La ecuación de una recta que contiene el punto recta dada por está dada por
y es perpendicular a la
A. B. C. D. 192. Una ecuación de la recta a la que pertenece el punto perpendicular a la recta dada por es
y es
A. B. C. D. 193. La ecuación de una recta perpendicular a la recta contiene al punto es A. B. C. D.
145
y que
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Funciones
194. Considere la siguiente gráfica.
y
l1 l2
4 2
x 2
De acuerdo con los datos de la grafica dada, si l1 ll l2, entonces la pendiente de l1 es A. B. C. D. 195. Considere la siguiente gráfica. y 4
l1
2 x -3
l2
De acuerdo con los datos de la grafica dada, si la recta l2 esta dada por ¿Cuál es el punto de intersección de las rectas ? A. B. C. D.
146
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196. Dos rectas perpendiculares se intersecan en el punto , si la ecuación de una de las recta es entonces la ecuación de la otra recta es A. B. C. D. 197. Una ecuación de la recta que contiene el punto es
y es paralela a la recta
A. B. C. D. 198. El valor de es
para que la recta
sea paralela a la recta
A. B. C. D. 199. Considere la siguiente gráfica adjunta, si define a la recta es y
entonces la ecuación que l1
2
A. B. C. D.
l2 1 -1
-6
147
3
x
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200. Las rectas definidas por entonces el valor de es igual a
y
son paralelas
A. B. C. D. 201. Considere la siguiente gráfica, De acuerdo con los datos de la gráfica, la ecuación de una recta perpendicular a la recta es y l 3
A. 2
B. 1
C. x
D.
-1
1
2
202. De acuerdo con los datos de la siguiente gráfica, ¿Cuál es una ecuación que y define a la recta l
A.
2
B. x
C. 2
D.
4 l
148
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Funciones
203. Analice las pendientes de las siguientes de rectas. I. II. III.
De estas rectas ¿cuales son perpendiculares a la recta A. B. C. D.
?
Todas Ningunas Solo la II y III Solo la I y II
204. Sean funciones lineales paralelas. Si entonces podemos afirmar que: A. B. C. D. 205. Si las funciones paralelas, entonces el valor de k es:
y
representan rectas
A. B. C. D. 206. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto la recta de que pasa por los puntos A. B. C. D.
149
y que es paralela a
Colegio Universitario Boston 207. De las rectas A. B. C. D.
Funciones
y
se puede afirmar que:
Son paralelas Son perpendiculares Son paralelas a la recta Son perpendiculares a la recta
208. Si
¿Cuáles de ellas son
perpendiculares? A. B. C. D. Ninguna 209. Para las funciones intersección de ambas es:
el valor de
en la
A. 4 B. -4 C. D.
210. En la siguiente figura están representadas las graficas de dos funciones lineales perpendiculares. El criterio f es: A. B. C. D.
150
Colegio Universitario Boston 211. Sean
Funciones
funciones lineales de paralelas. Si entonces podemos afirmar que:
A. B. C. D.
212. Si las funciones rectas paralelas, entonces el valor de k es:
representan
A. B. C. D. 213. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto la recta de que pasa por los puntos
y que es paralela a
A. B. C. D.
214. Si
¿Cuáles de ellas son
perpendiculares? A. B. C. D. Ninguna
151
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Funciones
215. Dada la siguiente grafica. y
2 x 4 -3
¿Cuál es la ecuación de la recta que interseca al eje y en A.
+2
B.
+4
?
C. D.
+1
216. De las rectas
y
se puede afirmar que:
A. Son paralelas B. Son perpendiculares C. Son paralelas a la recta D. Son perpendiculares a la recta
217. Halle la ecuación de la recta que pasa por (-1,5) y es perpendicular a la recta . A.
+7=0
B. 3 x — 2 y — 7 0 C. 3 x — 2 y + 13 = 0 D. 2 x + 3 y + 17 = 0 152
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218. Analice las pendientes de las siguientes de rectas. I. II. III.
De estas rectas ¿cuales son paralelas a la recta A. B. C. D.
?
Todas Ningunas Solo la II y III Solo la I y II
219. ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a
, pasa por
?
A. B. C. D. 220. La recta que pasa por por la ecuación:
es perpendicular a la está representada
A. B. C. D. 221. Las rectas dadas por
se intersecan en el punto:
A. B. C. D.
153
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222. Las rectas definidas por punto:
se intersecan en el
A. B. C. D.
223. Considere las siguientes ecuaciones, correspondientes a dos rectas.
¿Cuál es el punto de intersección de esas rectas? A. B. C. D.
Función Inversa Si es una función tal que define al dominio de la función y define al codominio de la función, y además se considera una función biyectiva, es decir donde el codominio y el ámbito son iguales y que además todo elemento del ámbito se relaciona únicamente con un elemento del dominio. Entonces se define a la inversa de como la función que relaciona los elementos de ámbito de con los elementos del dominio de . La inversa de una función se denota por Si
,
entonces
154
,
. .
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Funciones
Ejemplos. 1. Si
es una función biyectiva, Si
denota la función inversa de . entonces
.
f
f
3
1
12
12
3
Por otra parte: Si
entonces
Si
entonces
Si
entonces
Por lo que el gráfico de una función y el de su inversa corresponden a y
2. Si es una función lineal biyectiva y entonces determine la ecuación de la inversa de .
155
son elementos de f
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Funciones
Como nos indica el ejercicio los pares ordenados pertenecen al grafico de la función por lo que inicialmente los convertiremos a pares de la inversa.
Realizamos el cálculo del valor de la pendiente.
Ahora obtenemos el valor de b utilizando la pendiente obtenida en el punto anterior, y cualquiera de los puntos dados.
Por lo tanto la ecuación de la inversa es 3. Si
es biyectiva tal que
. , entonces calcule el valor de
.
En este caso como podemos ver se nos da el criterio de la función para que calculemos la imagen la inversa. En este caso el elemento
representa a una
imagen de la función, por lo cual basta con igualar la ecuación de
Por lo tanto 4. Si
a .
.
es una función biyectiva tal que
, entonces determine el
criterio de la inversa. En este caso como podemos ver se nos da el criterio de la función para que calculemos el criterio de la inversa. Platearemos inicialmente la ecuación de la función de la siguiente forma:
156
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Funciones
Como sabemos la función inversa plantea una relación entre el ámbito por esto es válido intercambiar la variable dependiente con la independiente.
Y finalmente despejamos la variable independiente.
Por lo tanto el criterio de la inversa es
.
Práctica 224. Si los puntos entonces la pendiente de
pertenecen al grafico de la función lineal corresponde a
A. B. C. D. 225. Si
es una función dada por
inversa de
, la pendiente de la gráfica de la función
es
A. B. C. D.
157
Colegio Universitario Boston
Funciones
226. Si los puntos pertenecen al gráfico de la función lineal entonces el criterio de la función inversa de es A. B. C. D.
es una función biyectiva con dominio R , entonces el criterio
227. Si de
es A. B. C. D.
228. Si
entonces la función inversa de
corresponde a
A. B. C. D. 229. Si
es una función y
entonces la función inversa de
A. B. C. D.
158
es
Colegio Universitario Boston 230. Si
Funciones
entonces la preimagen de
en
corresponde a
A. B. C. D.
231. Si
y
es la inversa de
entonces
corresponde a
A. B. C. D.
232. Si es una función dada por corresponde a
entonces
A. 6 B. C. D. 233. Si
es una función dada por
entonces
A. B. C. D.
159
es
Colegio Universitario Boston
Funciones
234. De acuerdo con los datos de la grafica de la función inversa de afirmar que y A.
3
B.
2
, se puede f
C.
1
x 1
D.
235. De acuerdo con los datos de la grafica de la función inversa de criterio de la función inversa? y
, ¿Cuál es el
A. 4
B.
f 2
C.
x
D.
236. Si los puntos entonces la pendiente de
pertenecen al grafico de la función corresponde a:
A. B. C. D.
237. Si
es una función biyectiva tal que
a: A. B. C. D. 160
; entonces
es igual
Colegio Universitario Boston 238. Si
Funciones
es biyectiva, entonces la inversa de la función
esta dad por:
A. B. C. D.
239. Si la función f es biyectiva tal que
, entonces
es igual a:
A. B. C. D.
240. Si los puntos de es :
pertenecen al grafico de f , entonces la pendiente
A. B. C. D.
241. Si
entonces la pendiente de
A. B. C. D.
161
es igual a:
Colegio Universitario Boston
Funciones
242. La inversa de la función dada por
, corresponde a:
A. B. C. D. 243. Si la función f es biyectiva tal que
, entonces
es igual
a: A. B. C. D. 244. Si los puntos criterio de es :
pertenecen al grafico de f , entonces la el
A. B. C. D.
245. Si es una función lineal tal que criterio de es:
y
A. B. C. D.
162
entonces el
Colegio Universitario Boston 246. La función inversa de
Funciones está dada por:
A. B. C. D.
a
247. Si la función f es biyectiva tal que es:
A.
, entonces la grafica de
B.
y
y
3
x
x -3
C.
D.
y
y
3
x
x
-3
163
Colegio Universitario Boston 248. Si
Funciones
, entonces la preimagen de – en
corresponde a:
A. B. C. D.
249. Si
, entonces la preimagen de –
en
corresponde a:
A. B. C. D. 250. Si los puntos y entonces la pendiente de
pertenecen al gráfico de una función lineal f corresponde a:
A. B. C. D.
251. Si los puntos entonces:
pertenecen al gráfico de la función lineal f,
A. B. C. D.
164
Colegio Universitario Boston 252. Si
Funciones
, entonces f 1 ( 1) es igual a:
A. B. C. D.
253. Si f es una función lineal tal que
, entonces:
A. B. C. D.
Función Cuadrática Si f función polinomial de la forma , con constantes reales y , se considera una función cuadrática. Se utiliza el término cuadrática pues la variable independiente de mayor exponente se encuentra elevada al cuadrado. Gráficamente una función cuadrática dibuja a una parábola. Al realizar el estudio de una función cuadrática debemos considerar sus diferentes características, las cuales analizaremos a continuación.
Concavidad. Esta característica define la forma en que la grafica de la función abrirá, esta forma quedara establecida por el valor de la constante . Por lo cual si el valor de es positivo, la grafica de la función será cóncava hacia arriba es decir que abrirá hacia arriba y si el valor de es negativo la gráfica de la función será cóncava hacia abajo es decir que abrirá hacia abajo.
165
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Funciones
Veamos esto gráficamente. a. Si es positivo es decir . Como se puede observar en la gráfica la parábola abre hacia arriba.
6
f x = 2 x2+5 x+3 4
2
-5
5
-2
b. Si
es negativo es decir
.
Como se puede observar en la gráfica la parábola abre hacia abajo.
3
2
f x = -3 x2+5 x -2
-6
-4
1
-2
2
-1
-2
-3
-4
166
4
6
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Funciones
Discriminante. Un valor indispensable en el estudio de la función cuadrática es el discriminante, pues con este valor podemos enterarnos en cuantas ocasiones interseca la grafica de la función al eje , además que forma parte en el cálculo de el vértice de la función valor que estudiaremos mas adelante, el discriminante se define por la fórmula:
Intersección con los ejes. Intersección eje
.
Para realizar el cálculo de la intersección o las intersecciones de una función cuadrática con el eje , resolvemos la ecuación , donde el valor de las soluciones de la misma serán las intersecciones con el eje. Si analizamos el valor del discriminante tenemos que: a. Si b. Si c. Si
la función intersecará al eje es dos ocasiones. la función intersecará al eje en una ocasión. la función no intersecará al eje.
Ejemplos. 1. Identificamos los valores de las constantes
Realizamos el cálculo del discriminante.
Por lo tanto lo que nos indica que la función intersecará al eje en dos ocasiones. Las soluciones de la ecuación son y
167
Colegio Universitario Boston
Funciones
Por lo que las
Gráficamente se representa así: 6
4
f x = x2-x-6
-10
2
-5
5
10
-2
-4
-6
2. Identificamos los valores de las constantes
Realizamos el cálculo del discriminante.
Por lo tanto lo que nos indica que la función intersecará al eje en una ocasión. La solución de la ecuación es 1 Por lo que la
168
Colegio Universitario Boston
Funciones
Gráficamente se representa así:
6
4
2
2
f x = x -2 x +1
-5
5
-2
3. Identificamos los valores de las constantes Realizamos el cálculo del discriminante.
Por lo tanto
lo que nos indica que la función no intersecará al eje.
Gráficamente se representa así: 6
4
f x = x2+1
2
-5
5
169
Colegio Universitario Boston Intersección eje
Funciones
.
Para conocer el par ordenado donde la función interseca al eje tomar .
, basta
Ejemplos. 1. De aquí tenemos que
, por lo que la intersección con
es
.
6
4
f x = x2-x-6
-10
2
-5
5
10
-2
-4
-6
Vértice. Se define al vértice como el par ordenado que representa al punto más bajo o al punto mas alto en la gráfica de la función cuadrática, este comportamiento del vértice quedara determinado por el valor de la constante . De aquí que si el valor de es un número positivo, es decir la gráfica de la función es cóncava hacia arriba, el vértice representa al punto mínimo de la función. Pero si es un número negativo lo que significa que la gráfica de la función es cóncava hacia abajo, el vértice representa al punto máximo de la función. Para realizar el cálculo del vértice utilizamos la siguiente fórmula:
170
Colegio Universitario Boston
Funciones
Ejemplos. 1. Determine las coordenadas del vértice de la función Identificamos los valores de , ,
.
.
Realizamos el cálculo del discriminante.
Calculamos el valor de las coordenadas del vértice.
Esto nos indica que es el punto mínimo de la función puesto que el valor de Gráficamente se tendría que:
6
4
fx =
x2-4 x
+3
2
-5
5
A: (2.01, -1.00) A -2
171
.
Colegio Universitario Boston
Funciones
Eje de simetría. Es la recta vertical definida por la coordenada del vértice, la cual nos divide la gráfica de la función en dos partes iguales y la cual obtenemos con la fórmula:
Ejemplo. Para la función
, determine el eje de simetría.
Gráficamente se puede observar que partes iguales.
divide a la grafica de la parábola en dos
6
x =2
4
fx =
x2+-4 x+3
2
-5
5
A: (2.01, -1.00) A -2
Dominio. Recordemos que una función cuadrática es de tipo polinomial por lo que:
172
10
Colegio Universitario Boston
Funciones
Intervalos de monotonía y ámbito. Para realizar el estudio de la monotonía y el ámbito, debemos dividir este estudio en dos casos. a. Si
, es decir cóncava hacia arriba.
La grafica de la función será creciente en el intervalo La grafica de la función será decreciente en el intervalo El ámbito de la función será el intervalo Ejemplo. Para la función
, determine loa monotonía y el ámbito.
Realizamos el calculo de las coordenadas “x” y “y” del vértice.
y
6
x =2
4
f x = x2+-4 x+3
2
-5
5
A: (2.01, -1.00) A -2
173
10
Colegio Universitario Boston b. Si
Funciones
, es decir cóncava hacia abajo.
La grafica de la función será creciente en el intervalo La grafica de la función será creciente en el intervalo El ámbito de la función será el intervalo
Ejemplo. Para la función
, determine loa monotonía y el ámbito.
Realizamos el calculo de las coordenadas “x” y “y” del vértice.
y
6
x=3 4
fx =
h y = 3A
-x2+6 x+-5
2
-5
5
A: (3.02, 4.00) -2
174
10
Colegio Universitario Boston
Funciones
Práctica 254. Si la gráfica dada corresponde a la función cuadrática, entonces se cumple que y A. B. C. D.
y y y y
f
x
255. De acuerdo con los datos de la gráfica en la que cumple que
se
y f
A. B. C. D.
y c y y y
x
256. De acuerdo con los datos de la gráfica en la que considere las siguientes proposiciones. I. II. III.
y x f
De ellas son Verdaderas. A. B. C. D.
Solo la Solo la Solo la Solo la
I y la II II y la III I y la III III
175
Colegio Universitario Boston
Funciones
257. La gráfica de la función
interseca al eje
en los puntos
interseca al eje
en los puntos
A. B. C. D. 258. La gráfica de la función
A. B. C. D. 259. La gráfica de la función
interseca al eje
A. B. C. D.
260. La gráfica de la función
interseca al eje
A. B. C. D. 261. La gráfica de la función dada por A. B. C. D.
No interseca al eje No interseca al Interseca al eje en dos puntos Interseca al eje en dos puntos
176
en
en
Colegio Universitario Boston
Funciones
262. El eje de simetría de la función
es la recta con ecuación
A. B. C. D. 263. En la gráfica de la función dada por
el vértice corresponde a
A. B. C. D.
264. El Vértice de la función dada por
es
A. B. C. D. 265. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función “f” es estrictamente creciente es y
A. B.
1 x
C. f
D. -1
177
Colegio Universitario Boston
Funciones
266. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función “ ” es estrictamente decreciente es y 6
f
A. -3
B.
3 x
C. D.
267. De acuerdo con los datos de la gráfica, es verdadero que la función “ ” es y 5
A. Creciente en
f
B. Creciente en
2
-3
C. Decreciente en
x
D. Decreciente en
268. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función “ ” es estrictamente creciente es y
B. C.
4
f
A. -3
-1
D.
178
x
Colegio Universitario Boston
Funciones
269. Para la función dada por proposiciones. I.
considere las siguientes
es creciente en el intervalo
II. La gráfica de
interseca al eje x en
De ellas son Verdaderas. A. B. C. D.
Solo la I Solo la II Ambas Ninguna
270. Un intervalo en donde la función dada por en
es decreciente
A. B. C. D.
271. Un intervalo en el cual la función es estrictamente creciente es
dada por
A. B. C. D.
179
Colegio Universitario Boston
Funciones
272. Un intervalo en el que la función corresponde a
es decreciente
A. B. C. D.
273. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función “f” es y 2
A.
f
B. C.
1
-1
x
D.
274. Dada la gráfica de la función “f” podemos afirmar que el ámbito o rango de “f” es y A. f
B. 1
C.
x 0
D.
180
Colegio Universitario Boston
Funciones
275. El ámbito de la función
con dominio
corresponde a
A. B. C. D.
276. Si
, el ámbito de “ ” corresponde a
A. B. C. D. 277. El ámbito de la función dada por
corresponde a
A. B. C. D.
278. Si “f” es una función dada por , se cumple que
, entonces para todo
A. B. C. D.
181
Colegio Universitario Boston
Funciones
279. La función , con toda que pertenezca al conjunto:
, es estrictamente decreciente para
A. B. C. D.
280. El conjunto de todas las imágenes de la función es igual a: A. B. C. D. 281. El vértice de la parábola descrita por la función es el par ordenado: A. B. C. D.
282. La grafica de la función las ordenadas en el punto:
interseca al eje de
A. B. C. D.
182
Colegio Universitario Boston
Funciones
283. Si es el punto mínimo de la grafica de una función cuadrática de , entonces el ámbito de la función esta dado por:
en
A. B. C. D.
284. La función que pertenezca al siguiente conjunto:
—
, es estrictamente creciente para toda
A. B. C. D.
285. La función toda que pertenezca al conjunto:
, es estrictamente decreciente para
A. B. C. D. —
286. El ámbito de la función A. B. C. D.
183
, es igual a:
Colegio Universitario Boston
Funciones
287. El ámbito de la función
es igual a:
A. B. C. D. —
288. El ámbito de la función
—
es igual a:
A. B. C. D. 289. La función que pertenezca al conjunto:
—
—
es positiva para toda
A. B. C. D.
290. Para la función f con que pertenezca a:
—
A. B. C. D.
184
, se cumple que
para toda
Colegio Universitario Boston 291. El vértice de la función ordenado:
Funciones —
—
—
es el par
A. B.
—
C.
—
D.
—
292. El vértice de la función ordenado:
—
es el par
A. B. C. D.
—
293. El vértice de la parábola dada por la función ordenado: A.
, es el par
—
B. C. D.
— —
294. Si – es el vértice de la función entonces ¿cuál es el valor de ? A. B. C. D.
185
–
,
Colegio Universitario Boston
Funciones
295. El eje de simetría de la parábola dada por está dado por:
–
A. B. C. D. 296. La gráfica de la función es cóncava hacia arriba e interseca al eje x en dos puntos; entonces se cumple que: A.
–
B.
–
C.
–
D.
186
Colegio Universitario Boston
Funciones
Soluciones. Pregunta
Respuesta
Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta
Respuesta
1
C
26
B
51
A
76
C
2
B
27
C
52
D
77
B
3
C
28
C
53
A
78
A
4
D
29
B
54
B
79
D
5
C
30
C
55
B
80
C
6
C
31
A
56
C
81
B
7
D
32
B
57
C
82
C
8
C
33
D
58
B
83
C
9
C
34
A
59
C
84
B
10
B
35
C
60
A
85
B
11
A
36
D
61
C
86
D
12
C
37
C
62
D
87
A
13
C
38
C
63
A
88
B
14
A
39
A
64
B
89
D
15
C
40
A
65
D
90
C
16
D
41
A
66
C
91
D
17
D
42
D
67
A
92
B
18
D
43
D
68
B
93
A
19
C
44
B
69
C
94
B
20
A
45
D
70
B
95
A
21
B
46
B
71
A
96
C
22
A
47
B
72
B
97
A
23
D
48
A
73
B
98
D
24
A
49
A
74
D
99
C
25
D
50
A
75
C
100
C
187
Colegio Universitario Boston
Funciones
101
D
126
A
151
A
176
B
102
D
127
D
152
C
177
B
103
B
128
D
153
C
178
A
104
D
129
D
154
D
179
D
105
A
130
D
155
D
180
A
106
D
131
A
156
D
181
B
107
D
132
B
157
B
182
C
108
II
133
A
158
A
183
A
109
A
134
D
159
C
184
C
110
D
135
C
160
C
185
D
111
B
136
A
161
C
186
D
112
C
137
A
162
B
187
B
113
B
138
B
163
D
188
C
114
C
139
C
164
A
189
C
115
C
140
C
165
C
190
D
116
B
141
B
166
A
191
A
117
C
142
C
167
B
192
C
118
A
143
B
168
C
193
D
119
C
144
C
169
C
194
A
120
A
145
C
170
B
195
D
121
B
146
C
171
C
196
A
122
C
147
A
172
D
197
C
123
D
148
D
173
C
198
B
124
D
149
C
174
C
199
D
125
B
150
C
175
D
200
B
188
Colegio Universitario Boston
Funciones
201
D
226
D
251
D
276
C
202
B
227
B
252
B
277
B
203
D
228
A
253
C
278
D
204
D
229
A
254
A
279
D
205
B
230
C
255
C
280
D
206
D
231
C
256
C
281
A
207
B
232
B
257
B
282
D
208
C
233
B
258
A
283
B
209
A
234
B
259
B
284
C
210
B
235
D
260
A
285
D
211
D
236
A
261
B
286
A
212
A
237
C
262
D
287
D
213
B
238
B
263
C
288
C
214
A
239
C
264
C
289
A
215
C
240
A
265
A
290
A
216
B
241
B
266
D
291
B
217
D
242
B
267
A
292
C
218
B
243
B
268
C
293
B
219
A
244
D
269
A
294
B
220
A
245
D
270
B
295
A
221
A
246
A
271
B
296
C
222
C
247
A
272
C
297
223
A
248
D
273
A
298
224
A
249
C
274
D
299
225
C
250
C
275
B
300
189