Combinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291)

I. Combinación Lineal Definición: Sean v1, v2, v3, …, vn vectores en el espacio vectorial V. Entonces cualquier expresión de la forma a1v1 + a2v2 + a3v3 + … + anvn donde a1, a2, a3, …, an son escalares se llama una combinación lineal de v1, v2, v3, …, vn. En ℝ2 y ℝ3 se puede visualizar geométricamente como el las figuras6.4-6.6 de las páginas 283-284 del texto. Ejemplos(para discusión): 1) Considera los vectores (1, 0)=i y (0, 1)= j de ℝ2. Entonces todo vector de ℝ2 es combinación lineal de ellos dos. a) Sea (a, b) elemento de ℝ2, entonces (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1). b) Sea (-5, 3) elemento de ℝ2, entonces (-5, 3) = -5i + 3j=-5(1, 0) + 3(0, 1). Nota: El vector (1, 0) se puede representar con la letra i y al vector (0, 1) con la letra j. 2) Considera los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) en ℝ3. Entonces todo vector de ℝ3 es combinación lineal de estos tres vectores. Por ejemplo; el vector (5, 1, -3) = 5i + j -3k= 5(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + -3(0, 0, 1). Nota: El vector (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) se puede representar con las letras i, j, k respectivamente. 3) Considera los vectores (1, 0) y (3, 0). Entonces el vector (0, 1) NO es combinación lineal de (1, 0) y (3, 0). Observa que: (0, 1) = a (1, 0) + b(3, 0) = (a, 0) + (3b, 0) = (a + 3b, 0) Lo cual implica que 1 = 0, pero esto es imposible. 4)

  1  5      2  y   3  4  1   ya que: En ℝ3, es una combinación lineal de    7   1  5         7   2 2     3   7  4  1       .

5)

Escribe el vector (1, -2, 5) como una combinación lineal de los vectores (1, 1, 1), (1, 2, 3) y (2, -1, 1) para obtener el sistema de ecuaciones con

 7    7  7  

variables: c1 , c2 , c3. (Verifica la solución: c1 = -6, c2 =3, c3= 2). Herramienta para reducir matriz aumentada: http://www.math.purdue.edu/~dvb/matrix.html 6)

¿Será el vector (2, -5, 3) de ℝ3 una combinación lineal de los vectores (1, -3, 2), (2, -4, -1) y (1, -5, 7)? a) Halla el sistema de ecuaciones b) Verifica que No tiene solución

7)

En Pn, todo polinomio se puede expresar como una combinación lineal de los monomios 1, x, x2, x3, …, xn. Recuerda que los polinomios son de la forma anxn + an-1xn-1 + … + ax + a0.

8)

Indica si el polinomio x2 + 4x – 3 es una combinación lineal de los polinomios {x2 – 2x + 5, 2x2 – 3x, 6x – 8}.

9)

 3 1   1 1   una combinación lineal de las siguientes matrices: ¿Será la matriz 1 1   0 0   0 2  ,  .    1 0  1 1   0  1  ? (solución del sistema de ecuaciones dado para cada elemento de la matriz.)

Resumen: Para contestar los ejemplos se obtiene un sistema de ecuaciones de forma Ac = b. El sistema de ecuaciones se obtiene conforme al espacio vectorial V, por ejemplo:  Para matrices (Mmn), el sistema de ecuaciones se obtiene de una ecuación por cada elemento  Para polinomios el sistema de ecuaciones se obtiene por términos semejantes,  Para vectores, una ecuación por componente. Definición: Sean v1, v2, v3, …, vn vectores en el espacio vectorial V. Los vectores son linealmente independientes cuando la combinación lineal: c1v1 + c2v2 + c3v3 + …+ cnvn = 0, si y solo si c1=c2= c3= …= cn =0. De lo contrario si existen n escalares c1, c2, c3, …, cn ,no todos ceros, tal que c1v1 + c2v2 + c3v3 + …+ cnvn = 0, los vectores v1, v2, v3, …, vn son linealmente dependientes. (Geometría: ver figuras de páginas 297 y 298 del Texto). Procedimiento: Para determinar dependencia/independencia lineal se halla la solución en (c1,…cn) a un sistema de ecuaciones homogéneo (Ac = 0) para cada espacio vectorial. Si la solución es c1=…=cn = 0 (solución trivial) entonces el conjunto es Linealmente Independiente. El sistema de ecuaciones se obtiene conforme al espacio vectorial V, por ejemplo:

  

Para matrices (Mmn), el sistema de ecuaciones homogéneo (Ac=0) es una ecuación por cada elemento Para polinomios el sistema de ecuaciones se obtiene por términos semejantes, Para vectores, una ecuación por componente.

Ejemplos (para discusión): 2 1 0  1 1 4    1 0 1       A  , A  y A  1 2 3 10) 3 1 1   2 3 0      1 2 1 . En M23 sea Determina si A1, A2 y A3 son linealmente independientes o dependientes. Usamos la combinación lineal: c1A1 + c2A2+ c3A3 a) de la posición a12 note que c2 = 0 b) de la posición a11 note que c1 = c3 c) de a21 note que 3c1 = c3 (contradicción >