COMPETENCIA No. 1: Concepto de circunferencia y algunos de sus elementos. Material de aprendizaje Circunferencia: Es la curva, tal que la distancia de todos sus puntos a un punto fijo c (h, k) es constante. El punto C (h, k) es el centro de la circunferencia y la distancia del centro a cualquiera de su puntos P (x, y) es el radio. El radio es la distancia que va desde el centro o "p" hasta el límite de la circunferencia. Tangente: es toda recta que tiene un solo punto en común con la circunferencia, y ambas están en un mismo plano. El punto en común se llama punto de /a tangente. En una circunferencia, un radio siempre es perpendicular a la tangente en el punto tangente.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Encierre en un círculo la respuesta correcta: 1) Es la distancia que va desde el centro hasta el límite de la circunferencia: a) Tangente

b) Radio

c) Secante

2) Es toda recta que tiene un solo punto en común con la circunferencia y ambas están en un mismo plano: a) Tangente

b) Radio

c) Secante

3) Es la curva, tal que la distancia de todos sus puntos a un punto fijo c (h, k) es constante: .a) Elipses

b) Circunferencia

c) Parábola

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COMPETENCIA No. 2: Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen de la coordenada y el punto p (x, y) es el punto cualquiera de la circunferencia. Material de Aprendizaje Al sustituir la fórmula de distancia, nos queda: √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓 → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 (𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒙 − 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐 𝒄(𝒉, 𝒌) (𝑥 − ℎ)2 = (𝑥)2 − 2(𝑥)(ℎ) + (ℎ)2 = 𝑥 2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 (𝑦 − 𝑘)2 = (𝑦)2 − 2(𝑦)(𝑘) + (𝑦)2 = 𝑦 2 − 2𝑦𝑘 + 𝑘 2

ACTIVIDADES DE APRENDZAJE: 1.- Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en el origen de radio 4 cm. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = (𝟒)𝟐 → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔 2.- Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo centro se halla en el origen y que pasa por el punto A (3, 4). La distancia desde el centro al punto de p, se le llama radio. 𝑥=𝟑 𝒆 𝒚=𝟒 𝒄(𝒉, 𝒌) 𝒄(𝟎, 𝟎) ̅̅̅̅ 𝑨𝑪 = √(𝟑)𝟐 + (𝟒)𝟐 ̅̅̅̅ 𝑨𝑪 = √𝟗 + 𝟏𝟔 ̅̅̅̅ 𝑨𝑪 = √𝟐𝟓 ̅̅̅̅ 𝑨𝑪 = 𝟓 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = (𝟓)𝟐 → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 3.- Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y a tangente 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟏𝟓 = 𝟎 Distancia de un punto a una recta 𝒉 = 𝟎, 𝒌 = 𝟎; 𝑨 = 𝟑; 𝑩=𝟒

𝑪 = 𝟏𝟓

𝑨𝒙𝟏 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑪 𝒅=𝒓=| | √𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 𝟑(𝟎)+𝟒(𝟎)+𝟏𝟓

𝒅=𝒓=|

√𝟑𝟐 +𝟒𝟐

|

𝟏𝟓

𝒅 = 𝒓 = |𝟓 |

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = (𝟑)𝟐 →

𝒅=𝒓=𝟑

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗

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RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS O PROBLEMAS 1.- Determine la ecuación de un abanico de la planta generadora de electricidad ITABO II cuyo centro está en el origen y su radio es 6mts.

2.- Encuentre la ecuación de la circunferencia de un aro de bicicleta cuyo centro se halla en el origen y que pasa por el punto 𝐵(−5,3)

3.- Encontrar la ecuación de la circunferencia de un eje radical cuyo centro es el origen y que sea tangente a la recta 𝟔𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟓𝟎 = 𝟎

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Competencia No 3: Determinar la ecuación de la circunferencia conocido el centro y el radio. Material de Aprendizaje: En este punto se conoce el radio y su centro, C (h, k). Para encontrar la ecuación ordinaria se utiliza la siguiente formula: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2; donde a representa el punto del eje de la h (abscisa) y k el punto del eje de la y (ordenada). (𝑥 − ℎ)2 = (𝑥)2 − 2(𝑥)(ℎ) + (ℎ)2 = 𝑥 2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 (𝑦 − 𝑘)2 = (𝑦)2 − 2(𝑦)(𝑘) + (𝑦)2 = 𝑦 2 − 2𝑦𝑘 + 𝑘 2 Con esta ecuación se determina la ecuación general de la circunferencia que es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 ACTVIDADES DE APRENDIZAJE: Ejemplos: ¿Cuál es la ecuación que debe tener la turbina de la planta eléctrica de los Minas, si su centro es 5mts, -7mts y posee un radio de 12 metros. 𝒉 = 𝟓𝒎 , 𝒌 = −𝟕𝒎 𝒓 = 𝟏𝟐 𝒎 (𝑥 − ℎ)2 = (𝑥)2 − 2(𝑥)(ℎ) + (ℎ)2 = 𝑥 2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 (𝑦 − 𝑘)2 = (𝑦)2 − 2(𝑦)(𝑘) + (𝑦)2 = 𝑦 2 − 2𝑦𝑘 + 𝑘 2 (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 7)2 = 122 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙+𝟐𝟓 + 𝒚𝟐 + 𝟏𝟒𝒚 + 𝟒𝟗 = 𝟏𝟒𝟒

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟒𝒚 + 𝟐𝟓 + 𝟒𝟗 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟒𝒚 − 𝟕𝟓 = 𝟎 Determina la ecuación que debe tener el reloj de la Catedral Primada de América, si su punto es (4m, 2 m) y el radio es 5 m. ℎ = 4𝑚, 𝑘 = 2𝑚 , 𝑟 = 5 𝑚

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2

𝑥 2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦 2 + 4𝑦 + 4 = 25 → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟏𝟔 + 𝟒 − 𝟐𝟓 = 𝟎

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟓 = 𝟎 Lic. Genaro Zorrilla, www.edicioneszorrilla.com.do Cristo te ama y murió por ti y por mí. Página 5

Determine la ecuación de la circunferencia de la Plaza de la Bandera, Avenida 27 de Febrero con Avenida Gregorio Luperón, si su centro es (15 m y –11 m) y su radio es 25 m 𝒉 = 𝟏𝟓𝒎 , 𝒌 = −𝟏𝟏𝒎 𝒓 = 𝟐𝟓 𝒎 (𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐 𝒙𝟐 − 𝟑𝟎𝒙 + 𝟐𝟐𝟓 + 𝑦 2 + 22𝑦 + 121 = 𝟔𝟐𝟓 → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑𝟎𝒙 + 𝟐𝟐𝒚 + 𝟐𝟐𝟓 + 𝟏𝟐𝟏 − 𝟔𝟐𝟓 = 𝟎

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑𝟎𝒙 + 𝟐𝟐𝒚 − 𝟐𝟕𝟗 = 𝟎 RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS O PROBLEMAS 1. Centro en (5,1), radio 3

2. Se desea conocer la ecuación de la circunferencia para la tapa de una leche en polvo donde tiene un punto de (2,4) y un radio de 8 cm

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Competencia No. 4: Determinar la ecuación de la circunferencia conocido su centro y el punto. 𝒓 = √(𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐

Material de Aprendizaje

𝐶(ℎ, 𝑘) 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥, 𝑦) Siendo el punto que toca la circunferencia. El centro y el punto solamente se utilizan para determinar el radio, luego se procede con la ecuación general. (𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒉𝒙 + 𝒉𝟐

(𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝒚𝟐 − 𝟐𝒌𝒚 + 𝒌𝟐

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Ejemplo: Calcular la ecuación de la circunferencia de 𝐶(1,1) 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (−2, 3) 𝒓 = √(𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 𝑟 = √(−3)2 + (2)2

𝑟 = √(−2 − 1)2 + (3 − 1)2

𝑟 = √9 + 4

𝑟 = √13

(𝑥 − ℎ)2 = (𝑥)2 − 2(𝑥)(ℎ) + (ℎ)2 = 𝑥 2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 (𝑦 − 𝑘)2 = (𝑦)2 − 2(𝑦)(𝑘) + (𝑦)2 = 𝑦 2 − 2𝑦𝑘 + 𝑘 2 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = (√13)

2

𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 − 2𝑦 + 1 = 13 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 1 + 1 − 13 = 0

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎

Calcular la ecuación que debe tener la rotonda que está en la de plaza de la Bandera si su centro está en un eje coordenado a (5mts, -1.5mts) y contiene al punto (-40 m, 58.5 m). Estos valores no son reales, es una suposición. ℎ = 5𝑚, 𝑘 = −1.5 𝑚, 𝑥 = −40𝑚 𝑦 = 58.5 𝑚 𝒓 = √(𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 𝒓 = √(−𝟒𝟓)𝟐 + (𝟔𝟎)𝟐

𝒓 = √(−𝟒𝟎 − 𝟓)𝟐 + (𝟓𝟖. 𝟓 − (−𝟏. 𝟓))

𝟐

𝒓 = √𝟐𝟎𝟐𝟓 + 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒓 = √𝟓𝟔𝟐𝟓

Como resulta exacta se busca la raíz cuadrada 𝒓 = 𝟕𝟓

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(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 𝟐

(𝒙 − 𝟓)𝟐 + (𝒚 − (−𝟏. 𝟓)) = (𝟕𝟓)𝟐

(𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 1.5)2 = (75)2

𝑥 2 − 10𝑥 + 25 + 𝑦 2 + 3𝑦 + 2.25 = 5625 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 + 3𝑦 + 25 + 2.25 − 5625 = 0 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟓𝟔𝟐𝟓 = 𝟎 Calcular la ecuación que deben tener tas tapas de las botellas de refresco, si su centro está en un eje de coordenada (2.4 mm, 3 mm), y contiene al punto (3.8 mm, 4.2 mm). Estos valores no son reales, es una suposición. 𝒓 = √(𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 𝑟 = √(3.8 − 2.4)2 + (4.2 + 3)2 𝑟 = √(1.4)2 + (1.2)2 𝒓 = √𝟑. 𝟒

𝑟 = √1.96 + 1.44

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2

(𝑥 − 3.8)2 + (𝑦 − 4.2)2 = (√3.4)

2

𝑥 2 − 7.6𝑥 + 14.44 + 𝑦 2 − 8.4 + 17.64 = 3.4

𝑥 2 + 𝑦 2 − 7.6𝑥 + 8.4𝑦 + 14.44 + 17.64 − 3.4 = 0 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟕. 𝟔𝒙 − 𝟖. 𝟒𝒚 + 𝟐𝟖. 𝟔𝟖 = 𝟎 RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS O PROBLEMAS 1. Determinar la ecuación de la circunferencia que debe tener un aparato de resonancia magnética de centro (2,2), y que contiene al punto (-3,-3), para que los pacientes se encuentren cómodos.

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2. Calcular la ecuación de la circunferencia que debe tener la turbina de la planta de la Presa de Tavera, si su centro es (12 m 16 m) y contiene al punto (2.4 m, -3.2 .m).

Competencia No. 5: Hallar la ecuación de la circunferencia conocido su centro y la recta tangente. Material de Aprendizaje: El centro representa (ℎ, 𝑘)

𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 (la recta).

La ecuación es

Para determinar el radio, se debe saber que el radio es la distancia del centro a una recta tangente. 𝑨𝒙𝟏 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑪 𝒅=𝒓=| | √𝑨𝟐 + 𝑨𝟐 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia que se piensa construir en la esquina Independencia con Italia, si en su centro (4, 5) y es tangente a la avenida Italia cuya recta 3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 Datos: 𝑨 = 𝟑, 𝑩 = −𝟐, 𝑪 = 𝟏, 𝒙 = 𝟒, 𝒚 = 𝟓, 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 𝒅=𝒓=| | √𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 𝒅=𝒓=|

𝟑×𝟒+(−𝟐)𝟓+𝟏

√(𝟑)𝟐 +(−𝟐)𝟐 𝟑

𝒅=𝒓=|

√𝟏𝟑

|

𝟏𝟐−𝟏𝟎+𝟏

𝒅=𝒓=|

√𝟗+𝟒

|

|

(𝑥 − ℎ)2 = (𝑥)2 − 2(𝑥)(ℎ) + (ℎ)2 = 𝑥 2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 (𝑥 − 4)2 = (𝑥)2 − 2(𝑥)(4) + (4)2 = 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 (𝑦 − 𝑘)2 = (𝑦)2 − 2(𝑦)(𝑘) + (𝑦)2 = 𝑦 2 − 2𝑦𝑘 + 𝑘 2 Lic. Genaro Zorrilla, www.edicioneszorrilla.com.do Cristo te ama y murió por ti y por mí. Página 9

(𝑦 − 5)2 = (𝑦)2 − 2(𝑦)(5) + (5)2 = 𝑦 2 − 10𝑦 + 25

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦 2 − 10𝑦 + 25 = ( 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 10𝑦 + 41 =

𝟐

𝟑 √𝟏𝟑

9

)

𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 10𝑦 + 41 −

13

9

=0

13

𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 10𝑦 + 40.307 = 0 1. Se tiene un centro de una rotonda X y una calle que es tangente a ella, su centro (-3, 4) y su ecuación tangente 2𝑥 + 5𝑦 − 8 = 0. ¿Qué radio se necesita para esta ecuación? ¿Qué ecuación se genera? Datos: 𝑨 = 𝟐, 𝑩 = 𝟓, 𝑪 = −𝟖,

𝟐×−𝟑+(𝟓)𝟒−𝟖

𝒅=𝒓=|

√(𝟐)𝟐 +(𝟓)𝟐

|

𝒙 = 𝒉 = −𝟑, 𝒚 = 𝒌 = 𝟒, 𝑨𝒙𝟏 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑪 𝒅=𝒓=| | √𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 −𝟔+𝟐𝟎−𝟖

𝒅=𝒓=|

√𝟒+𝟐𝟓

|

𝒅=𝒓=|

𝟔

√𝟐𝟗

|

(𝑥 − ℎ)2 = (𝑥)2 − 2(𝑥)(ℎ) + (ℎ)2 = 𝑥 2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 (𝑥 − (−3))2 = (𝑥)2 + 2(𝑥)(3) + (9)2 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 (𝑦 − 𝑘)2 = (𝑦)2 − 2(𝑦)(𝑘) + (𝑦)2 = 𝑦 2 − 2𝑦𝑘 + 𝑘 2 (𝑦 − 4)2 = (𝑦)2 − 2(𝑦)(4) + (4)2 = 𝑦 2 − 8𝑦 + 16 (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 + 𝑦 2 − 8𝑦 + 16 = (

𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 − 8𝑦 + 25 −

𝟔 √𝟐𝟗

36 29

)

𝟐

𝑥 2 + 6𝑥 + 9 + 𝑦 2 − 8𝑦 + 16 =

36 29

=0

𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 − 8𝑦 + 23.758 = 0

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EVALUACIÓN FORMATIVA: 2. Se desea saber qué radio debe tener un eje de una planta eléctrica cuyo centro es de (-4, -2) y debe ser tangente una salida de piñón lineal cuya ecuación 𝑥 + 𝑦 + 3 = 0

3. ¿Qué ecuación debe tener la circunferencia para detener la bobina de una licuadora que tiene un centro (2,3) y es tangente al soporte cuya ecuación 2𝑥 − 4𝑦 + 5 = 0

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Competencia No. 6: Determinar el centro y el radio conocido la ecuación de la circunferencia. Material de Aprendizaje: La ecuación de una circunferencia con centro en (h, k) y radio r es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 𝑨 = −𝟐𝒉

𝑪 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝒓𝟐

𝑩 = −𝟐𝒌

A partir de estos datos se obtienen los siguientes resultados: 𝒉=

−𝑨 𝟐

,

𝒌=

−𝑩

𝒓𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒌𝟐 − 𝑪

𝟐

𝒓 = √𝒉𝟐 + 𝒌𝟐 − 𝑪

Si radio < 0 ha de interpretarse que no existe tal circunferencia y se dirá, en tal caso, que se trata de una circunferencia imaginaria. Si radio = 0, se trata de una circunferencia de radio nulo en el Punto (x, y). Si radio > 1, se trata de una circunferencia de radio mayor que 1. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: 1) Determinar el centro y el radio de una rotonda que se quiere construir frente al Palacio Nacional, cuya ecuación es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟑 = 𝟎 𝒉=

ℎ=

−𝑨 𝟐

,

𝒌=

−(−4)

𝒉=𝟐

2

−𝑩

𝑨 = −𝟒

𝑩=𝟔

𝒓𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒌𝟐 − 𝑪

𝟐

𝑘=

−6 2

𝑪=𝟑

𝒓 = √𝒉𝟐 + 𝒌𝟐 − 𝑪

𝒌 = −𝟑 𝒓 = √𝒉𝟐 + 𝒌𝟐 − 𝑪

𝒄(𝒉, 𝒌)

𝒉=𝟐

𝒌 = −𝟑

𝑟 = √(𝟒 + 9 − 3 𝒄(𝟐, −𝟑)

𝒓 = √𝟏𝟎

2) Determine el centro y el radio de la siguiente ecuación 4𝑥 2 + 4𝑦 2 = 36 Se divide toda la expresión entre 4 4𝑥 2 4

+

4𝑦 2 4

=

36 4

Dividiendo 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9

Como no hay termino de A y B el radio está en el origen.

𝑥2 + 𝑦2 − 9 = 0 𝒄(𝒉, 𝒌)

1. Dado las siguientes ecuaciones determinar su centro y su radio 𝒓𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒌𝟐 − 𝑪 → 𝑟 2 = 0 + 0 − (−9) → 𝑟 2 = 9 → 𝑟 = √9 → 𝒓 = 𝟑 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 − 𝟑 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 𝑨=𝟔

𝑩 = −𝟏𝟐 𝑪 = −𝟑 −𝑨 −𝑩 𝒉= 𝟐 , 𝒌= 𝟐 𝒓𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒌𝟐 − 𝑪

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ℎ=

−6 2

𝒉 = −𝟑

𝑘=

−(−12) 2

𝒌=𝟔

𝒓 = √(−𝟑)𝟐 + (𝟔)𝟐 − (−𝟑) 𝑟 = √𝟗 + 36 + 3

𝒓 = √𝟒𝟐

2) Determine el centro y el radio de la siguiente ecuación 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟓 = 𝟎 𝑨 = −𝟔 −𝑨 𝒉= 𝟐 , ℎ=

−(−6) 2

𝒉=𝟑

𝑩 = −𝟖 −𝑩 𝒌= 𝟐 𝑘=

𝑪=𝟐 𝒓 = 𝒉𝟐 + 𝒌𝟐 − 𝑪 𝟐

−(−8) 2

𝒌=𝟒

𝑪(𝒉, 𝒌)

𝒄(𝟑, 𝟒)

𝒓 = √(𝟑)𝟐 + (𝟒)𝟐 − (𝟐𝟓) 𝑟 = √𝟗 + 16 − 15

𝒓 = √𝟏𝟎

EVALUACION FORMATIVA: 1. Hallar el centro y el radio de una rotonda que se desea construir en la Padre Castellano (17) con Josefa Brea para descongestionar el transitó y se tiene una ecuación de 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟎𝒚 + 𝟏𝟓 = 𝟎

2. Hallar el centro y el radio que se necesita para crear una goma de camión, cuya ecuación se supone que es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟏𝟓𝒙 + 𝟖𝒚 − 𝟒 = 𝟎

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Competencia No. 7: Determinar la ecuación de la circunferencia conocidos dos puntos de ellos. Material de Aprendizaje. Debe saber resolver sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Debe estudiar la competencia. Determinar la ecuación de la circunferencia conocido su centro y el punto. Si acaso un día me vez pensar no interrumpa ese pensamiento, porque hasta en pensamiento, solo pienso en como agradar a Dios y como mejorar la calidad de la enseñanza en matemática en mi país y en América. (G Zorrilla) ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Hallar la ecuación de la circunferencia sabiendo que el radio es 3 y cuyo centro es el punto de intersección de las recta 𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟏𝟖 𝒚 𝒙 + 𝟑𝒚 = −𝟕 3ℎ − 4𝑘 = 18 { ℎ + 3𝑘 = −7 Resolviendo el sistema por cualquier método resulta 𝒉 = 𝟐 𝒆 𝒌 = −𝟑 ( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2  ( x  2) 2  ( y  3) 2  9 2

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − (−3)) = (3)2

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2 = (3)2

𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 + 𝒚𝟐 + 𝟗𝒚 + 𝟗 = 𝟗 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟗𝒚 + 𝟒 = 𝟎

Hallar la ecuación de la circunferencia de la avenida Luperón y 27 de febrero pasa por el punto A (-8, 5) y cuyo centro es el punto de intersección de la recta. 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = −𝟐 𝒚 𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟐𝟐 2ℎ + 4𝑘 = −2 { 4ℎ − 5𝑘 = 22 Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales el valor de 𝒉 = 𝟑 𝒙 = −𝟖 𝒆 𝒚=𝟓 𝒓 = √(−𝟖 − 𝟑)𝟐 + (𝟓 + 𝟐)𝟐

𝒓 = √(−𝟏𝟏)𝟐 + (𝟕)𝟐

𝒆

𝒌 = −𝟐

𝒓 = √𝟏𝟐𝟏 + 𝟒𝟗

𝒓 = √𝟏𝟕𝟎

(𝑥 − ℎ)2 = (𝑥)2 − 2(𝑥)(ℎ) + (ℎ)2 = 𝑥 2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 (𝑦 − 𝑘)2 = (𝑦)2 − 2(𝑦)(𝑘) + (𝑦)2 = 𝑦 2 − 2𝑦𝑘 + 𝑘 2 2

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − (−2)) = √𝟏𝟕𝟎 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 + 𝟒 = 𝟏𝟕𝟎

𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 + 𝟒 − 𝟏𝟕𝟎 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏𝟓𝟕 = 𝟎

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EVALUACIÓN FORMATIVA: 1. Hallar la ecuación de la circunferencia sabiendo que el radio es 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las recta 𝟓𝒘 + 𝟔𝒛 = 𝟐𝟎 𝒚 𝟒𝒘 − 𝟑𝒛 = −𝟐𝟑

Esto problemas son de circunferencia Ejercicios página 90-91: 2, 3, 27 y 31 “Análisis matemático Real” Francesco Semerari

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