Complejidad sin Matematicas

Geofisica

MacroEconomía Biología

Dante R. Chialvo Email: [email protected]

Ecología

Psicologia

Meteorología

Northwestern University. Chicago, IL, USA. www.chialvo.net 1

● Motivación y elementos de redes ● Conceptos básicos ● Ejemplos de redes complejas

2

Algunas referencias y sitios.

1.

Simplemente Google por: Complex Networks o Redes Complejas!

2.

Ricard Sole :

http://complex.upf.es/

3.

Albert Diaz-Guilera:

http://www.ffn.ub.es/~albert

4.

Albert Barabasi:

http://www.nd.edu/~alb/

5.

D. J. Watts, and S. Strogaz, Nature 393, 440–442 (1998).

6.

A. L. Barabási, and R. Albert, Science 286, 509–512 (1999).

7.

S. H. Strogatz, Nature 410, 268–276 (2001).

8.

A. L. Barabási, and R. Albert, Review of Modern Physics 74, 47–97 (2002).

9.

S. Dorogovtsev, and J. F. F. Mendes, Advances in Physics 51, 1079–1187 (2002).

10.

M. E. J. Newman, SIAM Review 45, 167–256 (2003).

11.

S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, and D.-U. Hwang, Physics Reports 424, 175–308 (2006).

12. 13. 14. 15. 16.

S. Bornholdt, and H. G. Schuster, editors, Handbook of Graphs and Networks - From the Genome to the Internet,WileyVCH, Berlin, 2002. R. Pastor-Satorras, M. Rubí, and A. Díaz-Guilera, editors, Statistical Mechanics of Complex Networks, Springer, 2003.D. J. Watts y S. H. Strogatz (1998). “Collective Dynamics of ‘Small World’ Networks” Nature Vol. 393. Sporns O, Chialvo DR, Kaiser M, and Hilgetag CC. Organization, Development and Function of Complex Brain Networks. Trends in Cognitive Sciences, 8 (9): 387-433 (2004). Sole et al, Selection, Tinkering, and Emergence in Complex Networks, Complexity vol. 8(1), 20-33 (2003)

3

Una red compleja es el esqueleto de un sistema complejo

Vista de Satelite

New York

Vista del usuario

New York 4

Que impulsó el estudio de redes complejas?

„

„

„

La incapacidad de las redes aleatorias de capturar algunas características básicas de las redes complejas. Los avances recientes en computación y obtención de datos de sistemas reales produjo gran cantidad de información en diferentes sistemas complejos. Esto reveló una discordancia seria entre lo que se creia y lo que actualmente se veia en redes “reales”. La red, en muchos casos, es una “forma comprimida” del sistema complejo, y entonces sintetiza y disminuye el monto de informacion a estudiar.

5

Milgram

„

El psicólogo S. Milgram (Yale U.) realizó un experimento que partía seleccionando 300 personas al azar en USA (Boston y Omaha), debidamente instruídos para enviar una carta a única persona “objetivo” en Boston. Estos diseminadores disponían de ciertas guías acerca de la persona objetivo, tal como su localización geográfica y ocupación. Con base en esta información, los diseminadores debieron mandar una carta a una persona que ellos conocían y que se ajustaba lo mejor posible a esta información. Este proceso se repitió hasta que las cartas eventualmente llegaron finalmente a la persona objetivo.

6

Milgram

„

„

„

Milgram publicó los resultados (Psychology Today) diciendo que 60 de las 300 cartas llegaron a la persona correcta y que pasaron, en promedio, por seis conjuntos de manos hasta llegar a la persona correcta. (note que solo el 1/5 llego) La conclusión de Milgram fue que las personas están mucho más cercanas entre si de lo que uno podria imaginar. Esta experiencia generó un hito en lo que ahora se conoce como propiedad de mundos pequeños o los seis grados de separación o los seis grados de Kevin Bacon que veremos en un momento en detalle.

7

Milgram

„

Después del experimento de Milgram, pasaron muchos años antes de continuar con ese tipo de trabajos, principalmente por las limitaciones en cuanto al manejo de grandes cantidades de información.

8

Que es una red?

„

„ „ „

Describen amplia variedad de sistemas naturales, tecnológicos y sociales. Se representan por medio de grafos dirigidos o no-dirigidos. Tenemos nodos y enlaces. Un enlace (i,j) conecta los nodos i y j Cada nodo tiene un número de enlaces conectados que se lo llama grado del nodo.

enlace

Nodo con grado=2 9

Hay muchos modos de conectarse

Pinochet

10

Como caracterizar la red

„

Grado del nodo: k(n)

k( ) = 4 Friendship

11

„

Clustering Coefficient: C(n)

Friendship

12

„

Clustering Coefficient: C(n)

„

Numero de conecciones: 2

Friendship

13

„

Clustering Coefficient: C(n)

„

Numero de conecciones: 2

„

Friendship

Numero total posible: ½·kn·(kn-1) = ½·(4·3) = 6

14

„

„ „

„

Clustering Coefficient: C(n)

Numero de conecciones : 2 Numero total posible: ½·kn·(kn-1) = ½·(4·3) = 6 Cn = 2 / 6 = 0.333

15

„

„ „

Friendship „

Clustering Coefficient: C(n)

Numero de conecciones: 2 Numero total posible: ½·kn·(kn-1) = ½·(4·3) = 6 Cn = 2 / 6 = 0.333

Dice cuan buena es la conectividad con el vecindario 16

„

Distancia (pathlength)

Friendship

17

„

Distancia (pathlength)

j

Friendship

i

18

„

Distancia (pathlength)

j

Friendship

i

19

„

Distancia (pathlength)

j

Friendship

i

20

Matriz de distancia todos a todos: Lij = Largo de la via mas corta

„

3

Lij =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

1

1

2

2

2

3

3

4

2

1

2

1

1

1

2

2

3

4

3

1

1

2

2

2

1

3

2

3

4

2

1 2

2

1

2

1

2

3

5

2

1

2

1

2

1

1

2

3

6

2

2

1

2

1

2

2

2

0

7

3

2

3

1

1

2

2

1

2

8

3

3

2

2

2

1

1

2

1

9

4

4

3

3

3

2

2

1

2

2 1

3 2

1 0

1 2

21

Modelos de redes aleatorias

Modelo de WATTS - STROGATZ

„

Grado?

„

Clustering?

„

Distancia (Pathlength)?

Modelos de redes aleatorias

Modelo de WATTS - STROGATZ

Reconectar un enlace con probabilidad p

Modelos de redes aleatorias

Modelo de WATTS - STROGATZ

Modelos de redes aleatorias

Modelo de WATTS - STROGATZ

Medir L y C en cada caso

„

SMALL - WORLD = „ Clustering alto „ Distancia corta

Watts, Strogatz. Nature 393/4, 1998

Modelos de redes aleatorias

Grilla Regular

Red Small-World

Aleatorio

Distribucion de Grado 26

Mirando el grado de las redes en la Naturaleza se ve que estas no son homogeneas, son no uniformes

Homogeneas

Scale-free γ

P(k) ~ k -

En redes aleatorias la mayoria de los nodos estan enlazados por mas o menos el mismo numero de nodos, mientras que en redes scalefree ( o libres de escala) hay unos pocos muy bien conectados (hubs) 27 Libre de escala (o scale-free) “mucho de poco y poco de mucho”

Ejemplos de redes scale-free

semantica actores

www

internet

proteina

metabolica

28

Como se originan las redes no uniformes (libres de escala)

“El rico se vuelve mas rico, al final unos pocos tienen mucho y muchos poco”

“Complex networks: Statics and Dynamics” Diaz-Guilera, (2006)

29

Resumiendo

Homogeneas

The “few well connected”

No Uniforme

Aleatoria zDistancia

De pequeño mundo

minima promedio: L (distancia mas corta entre dos nodos) zClustering:

C(k) (cuantos de tus enlaces estan tambien mutualmente enlazados)

Es de pequeño mundo si z C >> Crand z L ~ Lrand

30

Algunos consecuencias importantes de la no-uniformidad

La red de carreteras es uniforme

Las consecuencias de borrar un nodo (ciudad o aeropuerto) es muy diferente en cada caso

La red de aerolineas es NO uniforme

Red robusta al daño aleatorio pero fragil al daño selectivo 31

Nature July 27, 2000

32

Acerca de expresiones Populares de Redes de Small Worlds

„

1 PE-0

1

„

1

“¿A cuántos saludos estás tú de Bill Clinton?” “Seis grados de separacion”

2

2 3

„

“Los números de Kevin Bacon y de Paul Erdös”

33

El oraculo

„

„

Tres estudiantes inventaron el juego “Los seis grados de Kevin Bacon” y es posible jugarlo on-line en una página de CS-D de Virginia U. (o los 4 grados de KB) ( http://oracleofbacon.org/) El grafo para el oráculo de Bacon es provisto por la base de datos de películas de Virginia U.

34

El oraculo

•The Oracle says: alfredo alcon has a Bacon number of 3. •Alfredo Alcon was in Jandro (1965) with Luis Induni •Luis Induni was in Bianco, il giallo, il nero, Il (1975) with Eli Wallach •Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin Bacon •The Oracle says: Palito Ortega has a Bacon number of 3. •Palito Ortega was in Amor en el aire (1967) with Cris Huerta •Cris Huerta was in Bianco, il giallo, il nero, Il (1975) with Eli Wallach •Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin Bacon 35

La Topología de Redes Reales: Números de Erdös

„

Números de Erdös Erdös (1919-1996), el matemático actualmente con más publicaciones y con más co-autores es el origen de una red y tiene número de Erdös 0, sus co-autores tienen número 1, los co-autores de éstos tiene número 2, y así sucesivamente. Veamos la distribución de los números de Erdös considerando solamente aquellos autores que han colaborado y que además están a una distancia finita de Erdös. Existen (a la fecha del estudio) 268.000 de estos autores.

36

La Topología de Redes Reales: Números de Erdös Número de Erdös

Media:4.65 Media:4.65 Mediana Mediana: :55 Dante DanteChialvo Chialvo tiene tienenúmero número44

Número de Autores

0

1

1

504

2

6593

3

33605

4

83642

5

87760

6

40014

7

11591

8

3146

9

819

10

244

11

68

12

23

13

5 37

38

Un poupurri incompleto y desactualizado de redes

Ejemplos (con referencias) de redes complejas se pueden ver accediendo a la WWW red: http://www.visualcomplexity.com/vc/

39

Internet

Internet es una red compleja donde los nodos son computadoras y routers y los enlaces comunican computadoras.

40

Internet

41

Internet

42

La WWW WWW es una red virtual compleja donde los nodos son las páginas web y las enlaces son los hyperlinks. Se pueden establecer a nivel de dominios y de páginas.

www.chialvo.net

www.ucm.es

www.ucla.edu/~dchialvo/

43

Redes Lingüísticas

„

„

„

Redes Lingüísticas : palabras son nodos y los enlaces conectan palabras consecutivas o casi consecutivas en un texto. En otras redes lingüísticas los nodos son palabras pero las enlaces son los sinónimos, antónimos, etc. En otras redes los enlaces puedenser las asociaciones libres evocadas por una palabra (perfume Æ flor; futbol Æ Madrid, etc).

44

45

Redes Metabólicas „

los nodos son substratos y los enlaces las reacciones entre los substratos.

http://www.expasy.ch/cgi-bin/show_thumbnails.pl

46

Redes Metabólicas

47

Redes Metabólicas

E. Almaas, B. Kovacs, T. Vicsek, Z.N. Oltvai and A.-L. Barabási Global organization of metabolic fluxes 48 in the bacterium Escherichia coli. Nature 427, 839-843 (2004).

Proteoma Interacciones entre proteínas : los nodos son proteínas y los enlaces conectan aquellas proteínas que a través de experimentos se demuestra su interacción

Una motivación es determinar patrones mas típicos de interacción en salud y enfermedad, interferir y manipularlos en aplicaciones de diagnostico y tratamiento, diseños de nuevas drogas etc. 49

Redes de genes Nature 408 307 (2000)

…“One way to understand the p53 network is to compare it to the Internet.The cell, like the Internet, appears to be a ‘scale-free network’.”

50

Redes Sociales

„

Red Social: Es un conjunto de personas, cada una de ellas conocida para un subconjunto de las restantes. Se puede definir en diferentes contextos particulares, como por ejemplo, la Universidad Complutense, o generales; por ejemplo, el mundo entero.

Una motivación para su estudio es conocer los patrones de interacción humana, y otra puede ser investigar implicaciones para la difusión de información, dinámica de formación de opiniones , contagio de ideas o enfermedades. 51

Red de amistades (niños de escuela)

Amarillo- Raza Blanca Verde – Afroamericanos Rosa - Otros http://www-personal.umich.edu/~mejn/networks/

52

Red Social:

53

„

Collaborativas (co-autoría de papers) donde los nodos son

científicos y los enlaces representan co-autoría en un paper. El ejemplo más famoso de este tipo de red es en torno al matemático Paul Erdös (número de Erdös).

54

„

Citaciones en artículos científicos donde los nodos son artículos

publicados y un enlace apunta a una referencia de un artículo publicado. (no debería tener ciclos dirigidos) (Physical Review Letters 1975-94, ISI) „

Actores de cine (y/o TV) donde los nodos son los actores y una

enlace representa una participación conjunta de actores en una película.

55

Ejemplos de Redes Complejas

„

„

„

Llamadas Telefónicas (larga distancia). Los nodos son números

telefónicos y las aristas son arcos dirigidos del nodo origen al nodo destino de la llamada.(duró el experimento un día - USA)

Redes Ecológicas en las cuales los nodos son especies y Los

enlaces representan relaciones tipo predador-presa entre las especies. [se estudiaron 7 webs de comida]

Contactos sexuales humanos. Los nodos son personas y las enlaces

conectan dos personas que se han relacionado sexualmente. (Experimento conducido en Suecia )

56

Sex-web Nodos: Personas Enlaces: relation sexual

4781 Suecos; 18-74; 59% respondio. Liljeros et al. Nature 2001 57

Food Web (red troficas) Nodes: trophic species Links: trophic interactions R.J. Williams, N.D. Martinez Nature (2000)

R. Sole (cond-mat/0011195)

58

Ejemplos de Redes Complejas

„

„

Redes Neuronales en las cuales los nodos son

neuronas y los enlaces son sinapsis o correlaciones entre (grupos de) neuronas. [C elegans, Corteza Cerebral, Fmri]

Redes de Potencia donde los nodos son generadores,

transformadores y subestaciones, y los enlaces son líneas de transmisión de alto voltaje. [Western USA ] Otras Redes

„ „

Circuitos Electrónicos Evolución Viral 59

Mapa del sistema nervioso del C. Elegans

60

Nature July 27, 2000

61

La Topología de Redes Reales: varios casos

Red

n



l

WWW

153127

35.21

3.1

Internet domain

3015-6209

Actores

225226

61

3.65

2.99

0.79

0.00027

Medline coautoría

1520251

18.1

4.6

4.91

0.066

1.1·10-5

NCSTRL coautoría

11994

3.59

9.7

7.34

0.496

3·10-4

Neurosc. coautoría

209293

11.5

6

5.01

0.76

5.5·10-5

7.35

2.9

3.04

0.32

0.026

70.13

2.67

3.03

0.437

0.0001

E. Coli grafo sub Co-ocurr. palabras

282 460902

3.52-4.11

lrand

3.7-3.76

3.35 6.36-6.18

C

Crand

0.1078

0.00023

0.18-0.3

0.001

62

La Topología de Redes Reales: varios casos

Net

n



γout

γin

lreal

lrand

2.72

2.1

16

8.85

4

6.3

WWW

2·108

WWW site

26000

Internet domain

30154389

3.423.76

2.1-2.2

2.1-2.2

Internet router

3888

2.57

2.48

2.48

12.15

9.75

Coauth. Math.

70975

3.9

2.5

2.5

9.5

8.2

Phone Call

53·106

3.16

2.1

2.1

Co-ocur words

460902

70.13

2.7

2.7

7.5

1.94

63