COMPLEJO EDUCATIVO CANTON TUTULTEPEQUE GUION DE CLASE Profesor Responsable: Santos Jonathan Tzun Meléndez. UNIDAD 3. MIDAMOS Y CONSTRUYAMOS TRIANGULOS. Objetivo de unidad: Construir soluciones a situaciones problemáticas del aula y del entorno utilizando los triángulos, con sus teoremas y rectas notables, valorando la opinión de los demás. CONTENIDOS CONCEPTUALES

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Teorema de Pitágoras

Metodología: Para el abordaje de la siguiente temática se plantean actividades orientadas bajo las fases didácticas de Van Hile en el estudio de la geometría. Se detalla el objetivo de cada fase y las actividades a desarrollar.

CONTENIDOS PROCEDIMENTALES 

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Deducción, explicación y utilización del teorema de Pitágoras. Demostración del teorema de Pitágoras. Resolución de problemas aplicando el teorema de Pitágoras.

Indicadores de logro.  Deduce, explica y utiliza el teorema de Pitágoras.  Demuestra el teorema de Pitágoras.  Resuelve problemas aplicando el teorema de Pitágoras. Saberes previos.  Concepto de triangulo y clasificación según sus lados y ángulos.  Teorema de suma de ángulos internos y externos de un triángulo.  Rectas y puntos notables de un triángulo.  Criterios de Congruencia y semejanza de triángulos.

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Actividad Bienvenida y asistencia Fase 1. Información. Diagnóstico del cálculo de áreas. Identificación de triángulos rectángulos. Fase 2. orientación Dirigida. Deducción del teorema de Pitágoras. Calculo de lados de un triángulo rectángulo (reciproco del teorema) Fase 3. Explicitación. Aplicación del Teorema de Pitágoras a situaciones reales de la vida diaria. (identificación espacial) Fase 4. orientación libre. Identificación de triángulos rectángulos y aplicación del teorema de Pitágoras. Fase 5. Integración. Aplicación del teorema a otras áreas. Demostración y Generalización del Teorema. Consolidación. Tiempo Hora Clase

CONTENIDOS ACTITUDINALES   

Seguridad al deducir, explicar y utilizar el teorema de Pitágoras. Dominio en la generalización y demostración del Teorema de Pitágoras. Cooperación con sus compañeros en la resolución de problemas aplicando el teorema de Pitágoras.

Material de Apoyo  Guía de trabajo.  Geoplanos.  Papel cuadriculado.  Marcadores, regla, compas y otros.

Objetivo: que el alumno sea capaz de:  Deducir, explicar y utilizar el teorema de Pitágoras.  Demostrar el teorema de Pitágoras.  Resolver problemas aplicando el teorema de Pitágoras.

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Grado: 8º grado. Asignatura: Matemática Tiempo: 4 horas clase. Periodo: _____________

Evaluación: Resolución de problemas dentro del salón de clases en el cuaderno de trabajo.  Orden y aseo 10%  Puntualidad 5%  Desarrollo correcto 75%  Integración a equipos de trabajo. 10%

Tiempo 5 min 30 min 60 min

60 min

30 min 45 min

Actividad Diagnostica: Entra al siguiente link http://rolandotzun.wordpress.com/ Lee la información que ahí se almacena y cópiala en tu cuaderno.

Fase 1. Información. Se explora mediante test, entrevistas, graficas o exposiciones realizadas por los alumnos. Con ello se busca que expliciten la información que tienen en su estructura cognitiva acerca del concepto objeto de estudio. ACTIVIDAD 1. Diagnostico en el cálculo de áreas. a) Utilizando el Geoplano y papel cuadriculado construye las siguientes figuras que se modelan en la imagen.

b) Responde a las siguientes interrogantes:  ¿Cuál es el área de la figura A y figura F? Explica cuál ha sido la técnica que has utilizado para calcular el área  ¿Qué tipo de figura es A? ¿Qué tipo de figura es F?  ¿Existe una forma general de calcular el área de los triángulos? Explique.  ¿Cuál es el área de la figura B, figura D y figura E y figura F?  ¿Qué tipo de figura es B? ¿Qué tipo de figura es D? ¿Qué tipo de figura es E? ¿Qué tipo de figura es F?  ¿Existe una forma general de calcular el área de los cuadriláteros? Explique.

ACTIVIDAD 2. Identificación de triángulos rectángulos. a) Utilizando el Geoplano y utilizando papel cuadriculado construya las siguientes figuras.

b) Partiendo de lo anterior, responde a las siguientes interrogantes:  ¿Cómo se llaman las figuras construidas?  ¿Cuál es la característica en común que tienen todas las figuras?  Calcula el área de cada figura.  Construye en tu Geoplano 6 triángulos del mismo tipo en diferentes posiciones y rotaciones.  ¿siguen siendo rectángulos?

Formalización:  Un triángulo rectángulo es un polígono cerrado de tres lados en donde un ángulo mide 90º.  Al ángulo de 90º también se le llama “ángulo recto”.  El lado que se opone al ángulo de recto se llama hipotenusa.  Los lados del triángulo que forman el ángulo de recto se llaman Catetos.  En todo triangulo rectángulo la hipotenusa es mayor que los catetos.  Para calcular el área de un triángulo rectángulo, basta dividir por 2 el producto de los catetos.

c)

Ahora que lo sabes realiza lo siguiente:  Con las figuras construidas en el inciso “a” identifica en cada una de ellas la hipotenusa y los catetos.  Explica cuál ha sido el criterio que has seguido para identificar la hipotenusa y los catetos en cada figura.

Fase 2. Orientación dirigida. El profesor propone actividades en las que el concepto se relacione con situaciones de la vida diaria y anima a los alumnos para que encuentren sus propias relaciones, las compartan y discutan con sus compañeros. Actividad 3. Deducción del teorema de Pitágoras. a) Utilizando tu Geoplano y papel cuadriculado, realiza lo siguiente:      

Construye un triángulo rectángulo. Un cateto debe medir una longitud 3 y el otro cateto una longitud 4. Ahora mide la longitud de la hipotenusa. ¿Cuál es su valor? Construye un cuadrado sobre el cateto de lado 3. ¿Cuál es el área de este cuadrado? Construye un cuadrado sobre el cateto de lado 4 ¿Cuál es el área de es cuadrado? Construye un cuadrado sobre la hipotenusa ¿Cuál es el área de este cuadrado? ¿Qué relación observas entre las áreas de los cuadrados?

a) Utilizando el Geoplano y papel cuadriculado realiza lo siguiente:      

Construye un triángulo rectángulo. Un cateto debe medir 5 y el otro cateto 12. Ahora mide la longitud de la hipotenusa. ¿Cuál es su valor? Construye un cuadrado sobre el cateto de lado 5. ¿Cuál es el área de este cuadrado? Construye un cuadrado sobre el cateto de lado 12 ¿Cuál es el área de es cuadrado? Construye un cuadrado sobre la hipotenusa ¿Cuál es el área de este cuadrado? ¿Qué relación observas entre las áreas de los cuadrados?

“Observación: El área del cuadrado que se construye sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los catetos” b) Partiendo de lo mostrado anteriormente:     

Construye un triángulo rectángulo cualquiera. A un cateto le pondremos longitud “a”. Construye el cuadrado sobre el cateto “a” ¿Cuál es el área de este cuadrado? Al otro cateto le pondremos longitud “b”. Construye el cuadrado sobre el cateto “b”. ¿Cuál es el área de este cuadrado? A la hipotenusa le pondremos longitud “c”. Construye un cuadrado sobre la hipotenusa “c” ¿Cuál es el área de este cuadrado? A partir de lo mostrado anteriormente ¿Cuál es la relación que debe existir entre el área del cuadrado que esta sobre la hipotenusa y el área de los cuadrados que están sobre los catetos?

Formalización: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 De esto se pueden deducir tres cosas: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 1) 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 El cuadrado de un cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto. 2) 𝑎2 = 𝑐 2 − 𝑏 2 3) 𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎2

Actividad 4. Calculando longitudes de triángulos rectángulos. Reciproco del Teorema de Pitágoras. c) Observa la siguiente figura:    

¿Cuál es el valor del lado de cada cuadrado en la figura 1? ¿Cuál es el valor de los lados del triángulo? ¿Cuál es el valor del lado de cada cuadrado en la figura 2? ¿Cuál es el valor de los lados del triángulo? ¿Cuál es el valor del lado de cada cuadrado en la figura 3? ¿Cuál es el valor de los lados del triángulo? En todas las figuras ¿son los triángulos rectángulos? ¿Por qué?

Formalización. También podemos calcular la longitud de los lados de los cuadrados extrayendo la raíz cuadrada de sus áreas. Y por consecuencia conoceremos los lados del triángulo rectángulo. 1) 𝑎2 = 𝑐 2 − 𝑏 2 ⟹ 𝑎 = √𝑐 2 − 𝑏 2 2) 𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎2 ⟹ 𝑏 = √𝑐 2 − 𝑎2 3) 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ⟹ 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏 2 Debe tenerse en cuenta que las longitudes de los lados de los cuadrados no siempre son números enteros. En consecuencia, no todos los lados de los triángulos rectángulos son enteros.

d) Observa la siguiente figura:    

¿Cuál es el valor del lado de cada cuadrado en la figura 1? ¿Cuál es el valor de los lados del triángulo? ¿Cuál es el valor del lado de cada cuadrado en la figura 2? ¿Cuál es el valor de los lados del triángulo? ¿Cuál es el valor del lado de cada cuadrado en la figura 3? ¿Cuál es el valor de los lados del triángulo? En todas las figuras ¿son los triángulos rectángulos? ¿Por qué?

Fase 3. Explicitación. Los alumnos aplican el concepto para resolver problemas que correspondan a situaciones reales en diferentes contextos. Actividad 4. Aplicando Teorema de Pitágoras en la solución de problemas a situaciones reales.

Problema 1.

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¿Cuántos metros se desplego una escalera telescópica del carro de bomberos, si el edificio tiene una altura de 8 m y el carro se ubicó a 6 m del edificio?

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Problema 2. Queremos subir a una terraza situada a 4 metro de altura utilizando una escalera que tiene 5,8 m de longitud. ¿Cuál será la distancia máxima desde la pared a la que podremos situar la base de la escalera? La posición de la escalera está representada en la figura siguiente:

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¿Qué figura geométrica puedes observar en la imagen? ¿Tiene alguna relación la altura del edificio, la distancia del auto al edificio y la longitud de la escalera? ¿Puedes aplicar lo visto anteriormente para encontrar el valor del largo de la escalera?

¿Qué figura geométrica puedes observar en la imagen? ¿Tiene alguna relación la altura de la escalera, la longitud de la escalera y la distancia de la base de la escalera a la pared? ¿Puedes aplicar lo visto anteriormente para encontrar el valor de la distancia de la base de la escalera hasta la base de la pared?

Problema 3. Un albañil termino de azulejar la pared de una cocina pero, al verla, duda de que sea exactamente vertical. Para asegurarse, mide la distancia AB y determina que es igual a 69 centímetros. ¿Está bien construida la pared?

Problema 4. La longitud reglamentaria de una mesa de ping-pong es de 2,74m. Se sabe que la diagonal es, aproximadamente, de 3,14m., ¿Cuál es el valor del ancho reglamentario de una mesa de ping-pong?

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¿Qué figura geométrica puedes observar en la imagen? ¿Tiene alguna relación los datos que proporciona el problema? ¿Qué condición debe cumplirse para que la pared este bien construida? ¿Es el triángulo rectángulo? Explique.

¿Qué figura geométrica puedes observar en la imagen? ¿Tiene alguna relación los datos que proporciona el problema? ¿Puedes encontrar el valor del ancho de la mesa? Explique.

Fase 4. Orientación libre. Se completa la red de relaciones que se comenzó a formar en las fases anteriores y se adquiere el lenguaje propio del siguiente nivel de razonamiento. Partiendo del concepto estudiado y de sus propios intereses los alumnos deben formular y solucionar sus propios problemas. Actividad 5. Identificando triangulo rectángulos y aplicando Teorema de Pitágoras. a) POR CUENTA PROPIA. Con ayuda de tu Geoplano y utilizando los conocimientos adquiridos en las actividades anteriores, construye las siguientes figuras y realiza lo siguiente:  Calcule el valor de los lados de cada figura.  Calcule su perímetro.

b) POR CUENTA PROPIA. Resuelva los problemas que a continuación se presentan. Utiliza los conceptos aprendidos.

Problema 1 Una mosca está en el vértice de un como de cartulina. El radio de la base mide 15 cm y la altura es de 40 cm ¿Cuál es la mayor distancia que puede recorrer la mosca, en línea recta, partiendo del vértice?

Problema 2 Para afianzar una antena de 24 m de altura, se van a tender, desde su extremo superior, cuatro tirantes que se amarraran, en tierra, a 1º m de la base de la torre ¿Cuántos metros de cable se necesitan para los tirantes?

Fase 5. Integración. El concepto estudiado se reorganiza y adquiere un nuevo significado. Se hace explıcita la nueva red ACTIVIDAD 6. GENERALIZACION DEL TEOREMA DE PITAGORAS. A) Utilizando tu Geoplano, papel cuadriculado, regla y compas realiza lo siguiente:  Construye un triángulo rectángulo cuyos lados midan 3, 4 y 5.  Ubica el punto medio de cada lado  Construye un semicírculo en cada lado (en punto medio será el centro y el radio será la distancia del centro al extremo de cada lado.  Calcule el área de cada semicírculo.  ¿Qué relación existe entre el área del semicírculo que se construye sobre la hipotenusa y los semicírculos que se construyen sobre los catetos?  ¿Se cumple el teorema de Pitágoras?

B) Utilizando tu Geoplano, papel cuadriculado, regla y compas realiza lo siguiente:  Construye un triángulo rectángulo cuyos lados midan 3, 4 y 5.  Construye un triángulo equilátero en cada lado del triángulo.  Calcule el área de cada triangulo  ¿Qué relación existe entre el área del triángulo que se construye sobre la hipotenusa y los triángulos que se construyen sobre los catetos?  ¿Se cumple el teorema de Pitágoras?

C) A partir de lo anterior responde a las interrogantes.  ¿Qué se puede deducir de lo anterior?  ¿Qué relación existe entre el área de la figura que se construye en la hipotenusa y el área de las figuras que se construyen sobre los catetos? Explique.  ¿Son semejantes las figuras que se construyen sobre cada lado del triángulo rectángulo? Explique  ¿Se cumple el Teorema de Pitágoras si las figuras que se construyen sobre los lados del triángulo rectángulo fueran NO SEMEJANTES una de la otra? Explique Teorema: En un triángulo Rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

A continuación se demuestra el Teorema de Pitágoras:

Demostración Algebraica del Teorema de Pitágoras. Supongamos que existe un cuadrado, en el cual, cada lado se divide en segmentos de longitud a y b de forma regular, tal como se ilustra en la figura. A partir de ello, se construyen los cuatro triangulo que son congruentes porque sus tres lados, respectivamente, son iguales.

Por definición, la longitud de cada lado del cuadrado grande será 𝑎 + 𝑏, por tanto, el área del cuadrado grande será: 𝐴1 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) Observe que los lados del cuadrado que se encuentra ubicado al centro de la figura (y está inclinado) tienen longitud "𝑐". Esto implica que el área de este cuadrado será: 𝐴2 = 𝑐 2 Observe que también hay cuatro triángulos rectángulos. Ya dijimos que esos los tres triángulos son congruentes porque sus lados respectivos son iguales. Eso implica que cada triangulo tiene un área de: 1 𝐴∆= 𝑎𝑏 2 Pero como son cuatro triángulos, entonces al sumar el área de estos cuatro triángulos tenemos que: 4𝐴∆= 2𝑎𝑏 Ahora bien, El área del cuadrado grande es igual al área del cuadrado inclinado y los 4 triángulos. Esto lo escribimos así: (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 Ahora, vamos a operar a ver si nos sale el teorema de Pitágoras: Empezamos con: (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 Desarrollamos

Restamos "2ab" de los dos lados:

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2

¡HECHO! Ahora vemos por qué funciona el teorema de Pitágoras, o con otras palabras, vemos la demostración del teorema de Pitágoras.

ACTIVIDAD 7. CONSOLIDACIÓN DE CONCEPTOS. Utilizando los conceptos aprendidos en clase, desarrolle cada uno de los siguientes problemas de forma ordenada y dejando constancia de su trabajo.