Función cuadrática Matemática

3º Año Cód. 1306- 16

Prof. María del Luján Martínez Prof. Carla Nápoli Prof. Jorgelina Osés

Dpto. de Matemática

FUNCIÓN CUADRÁTICA Toda función polinómica de la forma: f ( x)  a2 x 2  a1x  a0

con a 2  0 se denomina

función cuadrática o función de segundo grado, cuyo dominio es  En particular, llamaremos a los coeficientes a2 = a; a1 = b y a0 = c. Resulta entonces: f (x)  ax 2  bx  c

siendo ax 2 el término cuadrático, bx el término lineal y c el término independiente Estudiamos la función f ( x)  x 2 , su gráfica es una parábola, ahora analizaremos las 2

1  gráficas de otras expresiones como h( x)  x  4 , t ( x)   x   , etc. que como ya 3  2

sabes tienen sus gráficas por los corrimientos realizados a f ( x)  x 2 . Sea g ( x)   x  3  1 , la cual podemos 2

graficar con las herramientas

que ya

conocemos. Importante Forma Canónica de la función cuadrática

f  x   a  x  h  k 2

a R

a0

h R

k R

R a 0 k R h

R

Notemos que la gráfica tiene la particularidad de ser simétrica respecto de un eje paralelo al eje y, llamado eje de simetría. Importante Trabajando g(x) algebraicamente obtienes: g ( x)  x 2  6 x  10

Forma Polinómica de la función cuadrática f ( x )  ax 2  bx  c

Siendo

a,b, c  R y a  0

a  1 b  6 c  10

POLITECNICO

1

Función cuadrática Matemática Queremos determinar para las funciones cuadráticas algunos elementos importantes, que nos permitirán comprender su comportamiento para luego graficarlas.  Determinación de las coordenadas del vértice de una función cuadrática. El vértice ( x v ; y v ) , es el punto de intersección de la parábola y su eje de simetría. Consideraremos x p y xq  Dom( f ) , las abscisas de dos puntos cualesquiera de la parábola, tal que f ( x p )  f ( xq ) La abscisa del vértice será de la forma xv 

x p  xq 2

(*), dado que el mismo se encuentra

sobre el eje de simetría. Como f ( x p )  f ( xq ) , entonces: ax p  bx p  c  ax q  bx q  c 2

2

0  a( x q  x p )  b( x q  x p ) 2

2

0  a( x q  x p )(x q  x p )  b( x q  x p )



0  ( x q  x p ) a( x q  x p )  b

de donde:

x q  xp  0



x q  xp

(x q  xp )  





a( x q  x p )  b  0 b a

(**)

reemplazando en (*) por (**), se tiene x v  

b y para obtener y v 2a

f  xv  .

Entonces las coordenadas del vértice son:  b  v   ; f  xv    2a 

Considerando nuevamente la función g ( x)  x 2  6 x  10 resulta:

2



el vértice de esta parábola es v (3 ; 1)



el eje de simetría es x = 3

POLITECNICO

bastará evaluar

 Relación entre los coeficientes “a”,”b” y “c” de una función cuadrática y “h” y “k” de la expresión canónica. f ( x)  a  x  h   k 2

f ( x)  a  x 2  2xh  h2   k f ( x)  ax 2 2ah x  ah2  k b

resulta que :

c

 2ah  b  h  

b (1) 2a 2

b2 4ac  b2  b  ah2  k  c  k  c  a     k  c   4a 4a  2a 

Sabiendo que x v  

b y de (1) concluimos xv  h . 2a

Evaluando f (h) se obtiene que f (h)  k , entonces el vértice de la parábola es v(h; k ) que se determina inmediatamente cuando la función cuadrática esta dada en la forma canónica.  En la expresión de la función cuadrática, el coeficiente a, tiene importancia para poder establecer la concavidad de la parábola. 

Si a>0, las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba (cóncava hacia arriba) y se puede observar que la ordenada del vértice es el menor valor del conjunto Imagen (mínimo)



Si a