UDB Física

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

Cátedra FÍSICA I

Facultad Regional Rosario

Capitulo Nº 11: EQUILIBRIO Y ELASTICIDAD

Condiciones de Equilibrio: Primera condición de equilibrio: Una partícula está en equilibrio -es decir, no tiene aceleración- en un marco de referencia inercial si la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre ella es cero. La expresión equivalente para un cuerpo extendido es que el centro de masa del cuerpo tiene aceleración cero cuando la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo es cero, en términos de vectores y componentes:

∑F=0 ∑Fx=0

∑Fy=0

Segunda condición de equilibrio: Un cuerpo rígido en equilibrio no debe tener tendencia a comenzar a girar alrededor de ningún punto, por lo tanto la suma de los momentos debidos a todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo debe ser cero.

∑=0 En este capítulo, aplicaremos las dos condiciones de equilibrio a situaciones en las que un cuerpo rígido está en reposo (sin traslación ni rotación). Se dice que tal cuerpo está en equilibrio estático. Sin embargo, las mismas condiciones son válidas para un cuerpo rígido en movimiento traslacional uniforme (sin rotación), como un avión que vuela con rapidez, dirección y altura constantes. Un cuerpo así está en equilibrio pero no estático. Para estar en equilibrio estático, un cuerpo en reposo debe satisfacer ambas condiciones del equilibrio: no tener la tendencia a acelerar ni empezar a girar. Ejemplos: a) Condiciones de equilibrio: Se cumple la Primera Condición: Fuerza total = 0, así que un cuerpo en reposo no tiene la tendencia a empezar a moverse. Se cumple la Segunda Condición: El Momento total alrededor del eje = 0, así que un cuerpo en reposo no tiene la tendencia a empezar a moverse. 1

Capítulo N°11: Equilíbrio y Elasticidad

Este cuerpo está en equilibrio Estático b) Condiciones de equilibrio: 2F NO se cumple la Primera Condición: Hay una fuerza neta hacia arriba, así que un cuerpo en reposo empezara a moverse hacia arriba.

F r

r/2

Se cumple la Segunda Condición: El Momento total alrededor del eje = 0, así que un cuerpo en reposo no tiene la tendencia a empezar a moverse.

Este cuerpo tiene la tendencia a acelerar, pero no tiene una tendencia a empezar a girar. c) Condiciones de equilibrio: Se cumple la Primera Condición: Fuerza total = 0, así que un cuerpo en reposo no tiene la tendencia a empezar a moverse como un todo. No se cumple la Segunda Condición: Hay un Momento total en sentido horario alrededor del eje, así que un cuerpo en reposo no tiene la tendencia a empezar a girar en sentido horario. Este cuerpo no tiene la tendencia a acelerar, pero tiene tendencia a empezar a girar. Ejemplo Nº 1: Un tablero de 80 N que tiene una longitud de 12 m está apoyado en dos soportes, cada uno de los cuales dista 1,0 m del extremo del tablero. Se coloca un bloque de 300 N sobre el tablero a 3,0 m de un extremo, como se indica en la Figura 1. Hallar la fuerza ejercida por cada soporte sobre el tablero.

3,0 m

P = 80 N 1,0 m

10 m

PC = 300 N 1,0 m

Figura 1

A = 0 80 N . 5,0 m + 300 N . 8,0 m - RB . 10 m = 0 400 Nm + 2400 Nm = RB . 10 m RB = 280N B = 0 - 80 N . 5,0 m - 300 N . 2,0 m + RA . 10 m = 0 RA . 10 m = 400 Nm + 600 Nm RA = 100 N Verificación FY = 0 RA + RB - P - PC = 0 100 N + 280 N - 80 N - 300 N = 0 2

Capítulo N°11: Equilíbrio y Elasticidad

Ejemplo Nº 2: Una tabla uniforme de longitud L = 6,0 m y masa M =90 kg descansa sobre dos caballetes separados entre sí por una distancia d = 2,0 m y equidistantes del centro (Figura 2). Un albañil trata de pararse a 0,80 m del extremo derecho de la tabla. ¿Qué masa máxima puede tener el albañil para que la tabla no gire?

2,0 m

0,80 m

6,0 m

El caso límite para que la tabla no gire es que la Reacción en el caballete de la izquierda sea nula. B = 0 mal . g . 1,2 m - M . g . 1,0 m = 0 mal . 1,2 m = M . 1,0 m mal = 90 kg . 1,0 m / 1,2 m mbail = 75 kg

Figura 2 Pal

RA Ejemplo Nº 3: Un bloque de 500 g, suspendido de una varilla uniforme de 1,0 N de peso y 1,0 m de longitud. La varilla se cuelga del techo con una cuerda vertical en cada extremo como muestra la Figura 3, quedando horizontal. Calcula la tensión en las cuerdas A y B. Siendo  = 36,87o y  =53,13o PV = 1,00 N PB = m . g = 4,9 N

A

1,2 mb 0,80 m

2,0 m

2,0 m

0,20

P

RB

0,60 m 

0,20

B

 D

C

m= 50 g

C Fx = 0 D TD . cos - TC cos = 0  TD . 0,800 - TC . 0,600 = 0  TD = TC . 0,600/ 0,800 TD = 0,750 .TC PB  Fy = 0 TD . sen° + TC . sen- P = 0 0,750 .TC . 0,600 + TC . 0,800= P 0,750 .TC . 0,600 + TC . 0,800= P 1,25 .TC = 4,9 N TC = 3,92 N  TCy = TC . sen = 3,92 N . 0,600 = 2,352 N TD = 2,94 N  TDy = TD . sen = 2,94 N . 0,800 = 2,352 N

Figura 3

A = 0 TCy . 0,20 m + TDy . 0,80 m + 1,0 N . 0,50 m - FB . 1,0 m = 0 2,352 N . 0,20 m + 2,352 N . 0,80 m + 1,0 N . 0,50 m = FB . 1,0 m 2,852 N . m = FB . 1,0 m FB = 2,852 N FA = FB = 2,9 N

3

Capítulo N°11: Equilíbrio y Elasticidad

Elasticidad El salto BUNGEE utiliza una larga cuerda elástica que se estira hasta que llega a una longitud máxima que es proporcional al peso del saltador. La elasticidad de la cuerda determina la amplitud de las vibraciones resultantes. Si se excede el límite elástico de la cuerda, ésta se romperá. Un cuerpo elástico es aquel que regresa a su forma original después de una deformación. Un cuerpo inelástico es aquel que no regresa a su forma original después de una deformación. Una colisión elástica no pierde energía. La deformación en la colisión se restaura por completo. En una colisión inelástica se pierde energía. La deformación puede ser permanente.

Un resorte elástico Un resorte es un ejemplo de un cuerpo elástico que se puede deformar al estirarse. Una fuerza restauradora, F, actúa en la dirección opuesta al desplazamiento del cuerpo en oscilación. F = -k . x

Ley de Hooke Cuando un resorte se estira, hay una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento. F = -k . x La constante de resorte k es una propiedad del resorte dada por: K = F x La constante de resorte k es una medida de la elasticidad del resorte.

Esfuerzo y deformación Esfuerzo: se refiere a la causa de una deformación. Deformación: se refiere al efecto. La fuerza descendente F causa el desplazamiento x. Por tanto:  El esfuerzo es la fuerza.  La deformación es la elongación. 4

Capítulo N°11: Equilíbrio y Elasticidad

Tipos de esfuerzos

Un esfuerzo de compresión ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas se dirigen una hacia la otra.

Un esfuerzo de tracción ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas se dirigen alejándose mutuamente.

Esfuerzo y deformación longitudinales

Para alambres, varillas y barras, existe un esfuerzo longitudinal F/A que produce un cambio en longitud por unidad de longitud. En tales casos:

Esfuerzo = F A

Deformación = L . L

Ejemplo Nº 4: Un alambre de acero de 10,0 m de largo y 2,00 mm de diámetro se une al techo de un extremo y del otro se fija un de 200 N como puede observarse en la Figura 4. ¿Cuál es el esfuerzo aplicado? El área del alambre: A =  .d2/4 = 3,14 .10-6 m2 Esfuerzo = F = 200 N A 3,14 .10-6 m2

=

6,37 . 107 Pa Figura 4

5

Capítulo N°11: Equilíbrio y Elasticidad

Ejemplo Nº 5: Un alambre de acero de 10 m se estira 3,08 mm debido a la carga de 200 N (Ver Figura 4) ¿Cuál es la deformación longitudinal? Dado: L = 10 m; DL = 3,08 mm Deformación = L . = 0,00308 m L 10 m Deformación longitudinal = 3,1 .10-4

El límite elástico El límite elástico es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede experimentar sin quedar deformado permanentemente. Si el esfuerzo supera el límite elástico, la longitud final será mayor que los 2,0 m iniciales.

Resistencia a la rotura La resistencia a la rotura es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede experimentar sin romperse. Si el esfuerzo supera la resistencia a la rotura, ¿la cuerda se rompe? Ejemplo Nº 6: El límite elástico del acero de la barra de la figuras es 2,48 x 108 Pa. ¿Cuál es el peso máximo que puede soportar sin superar el límite elástico? (Ver Figura 4) Recuerde: A = 3,14 . 10-6 m2 Esfuerzo = F = 2,48 . 108 Pa A F = (2,48 . 108 Pa) A F = (2,48 . 108 Pa)(3,14 . 10-6 m2) F = 0,78 KN Ejemplo Nº 7: La resistencia a la rotura para el acero es 4089 . 108 Pa. ¿Cuál es el peso máximo que puede soportar sin romper el alambre? (Ver Figura 4) A = 3,14 x 10-6 m2 Esfuerzo = F = 4,89 . 108 Pa A F = (4,89 . 108 Pa) . A F = (4,89 . 108 Pa) . (3,14 . 10-6 m2) F = 1,54 KN

6

Capítulo N°11: Equilíbrio y Elasticidad

El módulo de elasticidad Siempre que el límite elástico no se supere, una deformación elástica (deformación) es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada por unidad de área (esfuerzo). Modulo de elasticidad =

Esfuerzo . Deformación

Ejemplo Nº 8: En el Ejemplo 4, el esfuerzo aplicado al alambre de acero fue 6,37 x 10 7 Pa y la deformación fue 3,08 x 10-4. Calcular el módulo de elasticidad para el acero (Ver Figura 4)

Modulo de elasticidad =

Esfuerzo = 6,37 x 107 Pa Deformación 3,08 x 10-4

Módulo = 2,07 x 1011 Pa Este módulo de elasticidad longitudinal se llama Módulo de Young (Y)

Módulo de Young Para materiales cuya longitud es mucho mayor que el ancho o espesor, se tiene preocupación por el módulo longitudinal de elasticidad, o módulo de Young (Y). Modulo de Young =

Y=

Esfuerzo . Deformación

F/A . = F . L . L/L A . L

Unidad: Pa

Ejemplo Nº 9: El módulo de Young para el latón es 8,96 x 1011 Pa. Un peso de 120 N se une a un alambre de latón de 8,0 m de largo; encuentre el aumento en longitud. El diámetro es 1,50 mm. (Ver Figura 5) Primero calcular el área del alambre: A = p . d2/4 = p . (1,50 . 10-4 m)2/4 A = 1,77 x 10-6 m2 Y = F/A . = F . L . L/L A . L L = F . L A.Y L =

120 N . 8,0 m 1,77 x 10 m2 A . 8,96 x 1011 Pa

.

-6

ΔL=0,61 mm

Figura 5

7

Capítulo N°11: Equilíbrio y Elasticidad

Elasticidad volumétrica No todas las deformaciones son lineales. A veces un esfuerzo aplicado F/A resulta en una disminución del volumen. En tales casos, existe un módulo volumétrico B de elasticidad. B=

Esfuerzo volumétrico = - F /A Deformación volumétrica V/V

Las unidades siguen siendo pascales (Pa) pues la deformación es adimensional.

El límite elástico: El límite elástico es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede experimentar sin quedar permanentemente deformado

La resistencia a la rotura La resistencia a la rotura es el mayor estrés que un cuerpo puede experimentar sin romperse.

Problemas Propuestos: 1) El bloque de la Figura 6 de 30 kg es arrastrada sobre una superficie horizontal con rapidez constante por una fuerza F. El coeficiente de fricción cinética es de 0,35. a) Calcule la magnitud de F. b) Determine el valor de h con el cual el boque apenas comenzará a volcarse. 2) Dos vigas uniformes idénticas que pesan 260 N cada una están unidas por un extremo con una bisagra sin fricción. Una barra horizontal ligera unida a los puntos medios de las barras mantiene un ángulo de 53° entre las vigas, las cuales cuelgan del techo mediante alambres verticales, formando una "V", como muestra la Figura 7. a) ¿Qué fuerza ejerce la barra horizontal sobre cada viga? b) ¿La barra está sometida a tensión o a compresión? c) ¿Qué fuerza (magnitud y dirección) ejerce la bisagra A sobre cada viga? 3) Dos amigos suben un tramo de escalera cargando una caja de 200 kg. La caja mide 1,20 m de longitud y 0,50 m de altura, y el centro de gravedad está en su centro. Las escaleras forman un ángulo de 45° respecto al piso. La caja también se carga inclinada 45°, de modo que su base está paralela a la pendiente de las escaleras (como muestra la Figura 8). Si la fuerza que cada persona aplica es vertical, a) ¿Qué magnitud tiene cada fuerza? b) ¿Es mejor ser la persona de: arriba o la de abajo?

0, 50 m

0, 25 m

F 

CM

h

Figura 6

 = 53o A Figura 7

200 kg

45o

8

Figura 8 Capítulo N°11: Equilíbrio y Elasticidad

4) Una viga uniforme de 250 kg se sostiene con un cable unido al techo, como muestra la Figura 9. El extremo inferior de la viga descansa en el piso. a) Calcule la tensión en el cable. b) ¿Qué coeficiente de fricción estática mínimo debe haber entre la viga y el piso para que la viga permanezca en esta posición?

160o

40o 5) Un pequeño dado de 12 Kg, sujeta al extremo de un alambre de aluminio con longitud no estirada de 0,50 m, se gira en un círculo vertical con rapidez angular constante de 120 rpm. El área Figura 9 transversal del alambre es de 0,014 cm2. Calcula el alargamiento del alambre cuando el dado está: a) En el punto más bajo del círculo; b) En el punto más alto de su trayectoria. Obs.: Módulo de Young del Aluminio: 0,70 x 1011 N/m2  6) La ley de Hooke para esfuerzos de tensión puede escribirse como Fx = K . x, donde x es el cambio de longitud del objeto respecto de su longitud de equilibrio y k es la constante elástica. ¿Cuánto vale la constante elástica de una varilla de longitud lo, área transversal A y módulo de Young Y? 7) Un alambre metálico de 3,50 m de longitud y 0,70 mm de diámetro se sometió a esta prueba: se colgó de él un cuerpo de 20,0 N de peso para tensarlo, y se leyó en una escala la posición del extremo inferior del alambre después de agregar una carga de peso variable, obteniéndose los resultados de la tabla siguiente: Carga agregada (N)

Lectura en la escala (cm)

0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0

3,02 3,07 3,12 3,17 3,22 3,27 3,32 4,27

a) Calcular el valor del módulo de Young b) El límite proporcional se observó cuando la escala marcaba 3,34 cm. Determinar el esfuerzo en ese punto. 8) Del problema anterior grafique el aumento de longitud en función de la carga agregada. 9) Una varilla de 1,05 m de longitud con peso despreciable Figura 10 está sostenida en sus extremos por alambres A y B de igual longitud. El área transversal de A es de 2,0 mm2, y la de B, 4,0 mm2. El módulo de Young del alambre A es de 1,80 x 1011 N/m2; el de B es de 1,20 x 1011 N/m2 ¿En qué punto de la varilla debe colgarse una carga P a fin de producir: a) Esfuerzos iguales en A y B b) Deformaciones iguales en A y B

9

A

B 1,05 m

P

Figura 10

Capítulo N°11: Equilíbrio y Elasticidad

10) Una barra de longitud L, sección A y módulo de Young Y se halla sometida a una tensión F. Siendo E el esfuerzo y D la deformación, deduce la expresión de la energía potencial elástica por unidad de volumen de la barra en función de E y D. 11) El juego de la Figura 11 consiste en pequeños aviones unidos a varillas de acero de 15,0 m de longitud y área transversal de 8,00 cm2, a) ¿Cuánto se estira la varilla cuando el juego está en reposo? (Suponga que cada avión con dos personas en él, pesa 1900 N en total). b) En movimiento, el juego tiene una rapidez angular máxima de 7,50 rpm. ¿Cuánto se estira la varilla entonces? Obs.: Módulo de Young del Acero: 2,00 x 1011 N/m2 12) La resistencia a la compresión de nuestros huesos es importante en la vida diaria. El módulo de Young de los huesos es cerca de 1,4 x 1010 Figura 11 N/m2. Los huesos sólo pueden sufrir un cambio de longitud del 1% antes de romperse, ¿Qué fuerza máxima puede aplicarse a un hueso con área transversal mínima de 3 cm2? (Esto corresponde aproximadamente a la tibia, en su punto más angosto.) 13) Una varilla de latón de 1,40 m de longitud y área transversal de 2,00 cm2 se sujeta por un extremo al extremo de una varilla de níquel de longitud L y sección de 1,00 cm2. La varilla compuesta se somete a fuerzas iguales y opuestas de 4 x 104 N en sus extremos. a) Calcula la longitud L de la varilla de níquel si el alargamiento de ambas varillas es el mismo, b) ¿Qué esfuerzo se aplica a cada varilla? Obs.: Módulo de Young del Latón: 9,00 x 1010 N/m2 Módulo de Young del Níquel: 2,10 x 1011 N/m2 14) En el problema anterior verifica que la deformación que sufre la varilla de latón es de 0,22 % y la de níquel 0,19 % 15) Se cuelga una lámpara del extremo de un alambre vertical de aluminio. La lámpara estira el alambre 0,180 mm, y el esfuerzo es proporcional a la deformación. Determina cuánto se habría estirado el alambre a) ¿Si tuviera el doble de longitud? b) ¿Si tuviera la misma longitud pero el doble de diámetro? 16) Una barra con área transversal A se somete a fuerzas de F tensión F iguales y opuestas en sus extremos. Considere un plano que atraviesa la barra formando un ángulo con el plano perpendicular a la barra, como puede apreciarse en la  Figura 12. Verifica que: a) El esfuerzo de tensión (normal) hay en este plano es Figura 12 2 igual a F . cos /A b) El esfuerzo de corte (tangencial) hay en el plano es igual a F . cossen/A c) Para elesfuerzo de tensión es máximo.

F A

17) Un contrabandista produce etanol (alcohol etílico) puro durante la noche y lo almacena en un tanque de acero inoxidable cilíndrico de 0,30 m de diámetro con un pistón hermético en la parte superior. El volumen total del tanque es de 250 litros .En un intento por meter un poco más en el tanque, el contrabandista apila 1420 kg de lingotes de plomo sobre el pistón. ¿Qué volumen adicional de etanol puede meter el contrabandista en el tanque? (Suponga que la pared del tanque es perfectamente rígida) 10

Capítulo N°11: Equilíbrio y Elasticidad

Obs.: Coeficiente compresibilidad cúbica del alcohol K = 110 x 10 -11 m2/N B: Módulo de Volumen

R E S P UE S T A S D E L O S P R O B L E M A S 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

0,11 KN y 0,36 m 130 N y 130 N 588 N y 1,33 KN 2,7 KN y 19 a) 0,54 cm b) 0,42 cm K . lo/A a) 182 . 1013 N/m2 b) 2,08 . 1010 N/m2 a) A 0,70 metros del punto A b) A 0,60 metros del punto A ½.E.D a) 0,0178 cm b) 0,0168 cm 42 KN a) 1,63 m b) EL = 2,00 . 108 N/m2 EN = 4,00 . 108 N/m2 0,22% y 0,19% a) 0,36 mm b) 0,045 mm a) F . cos2/A b) F . cossen/A 0,050 litros

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Capítulo N°11: Equilíbrio y Elasticidad