COLEGIO COLMBO BRITÁNICO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS GEOMETRÍA NOVENO GRADO PROFESORES: RAÚL MARTÍNEZ, JAVIER MURILLO Y JESÚS VARGAS CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

Cuando tenemos dos segmentos

AB y CD congruentes es porque tienen la misma longitud AB = CD y

AB  CD , cuando dos ángulos  ABC y  DEF son congruentes es porque tienen la misma medida m ABC  m DEF y escribimos  ABC   DEF , cuando dos triángulos son congruentes es escribimos

porque sus ángulos internos y sus lados son congruentes. Por ejemplo los triángulos siguientes son congruentes y la representación simbólica se debe hacer reconociendo los vértices correspondientes, es decir como los vértices correspondientes son A con F, B con E y C con D, entonces escribimos  ABC   FED . No es correcto escribir  ABC   EFD porque el vértice A no es correspondiente con el E, ni tampoco el vértice B es correspondiente con el F. Ejercicios 1. 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, luego explique su respuesta con ejemplos y construcciones. (a) (b) (c) (d) (e)

Si dos triángulos tienen sus ángulos internos congruentes, entonces son congruentes. AAA Si dos triángulos tienen el mismo perímetro, entonces son congruentes. Si dos triángulos tienen la misma área, entonces son congruentes. Si dos triángulos tienen sus lados congruentes, entonces son congruentes. LLL Si de dos triángulos se conoce que tienen dos lados congruentes y un ángulo intermedio congruente, entonces son congruentes. LAL (f) Si de dos triángulos se conoce que tienen dos ángulos congruentes y un lado intermedio congruente, entonces son congruentes. ALA (g) Si de dos triángulos se conoce que tienen dos ángulos congruentes y un lado a continuación congruente, entonces son congruentes. AAL (h) Si de dos triángulos se conoce que tienen dos lados congruentes y un ángulo a continuación congruente, entonces son congruentes. LLA 2. Construye el triángulo ABC tal que AB = 5 cm, AC = 7 cm y BC = 8 cm. Pero en tres posiciones

AB como base, (b) AC como base y (c) BC como base. 3. Construye el triángulo ABC tal que AB = 4 cm, m ABC = 60o y AC = 6 cm. Pero en dos posiciones diferentes: (a)

diferentes: (a)

AB como base, y (b) AC como base.

Ahora nos ocuparemos de la semejanza. Al lado tenemos una máquina antigua que en el dibujo tiene unas dimensiones de 3.5 cm de alto y 3 cm de ancho, si en la realidad tiene una altura de 2 m. ¿Cuál será su ancho? Para resolver esta clase de problemas usamos la proporcionalidad, es decir la igualdad de razones

ancho en la realidad ancho en la foto x 3   , esto es , entonces x = 1.71 m. altrura en la realidad altura en la foto 200 3.5 Es decir el ancho de la máquina sería 171.4 cm, y al convertir a metros resulta aproximadamente 1.71 m. Cuando dos triángulos son semejantes es porque sus ángulos internos son congruentes. Por ejemplo los triángulos siguientes son semejantes y la representación simbólica se debe hacer reconociendo los vértices correspondientes, es decir como los vértices correspondientes son A con F, B con E y C con D, entonces escribimos  ABC ~  FED . Resultan las siguientes igualdades:

AC AB AC CB AB CB    , , FD FE FD DE FE DE Ejercicios 1. 1. En el diagrama adjunto se pueden extraer pares de triángulos que son semejantes. Use la notación  ABC ~  FED para identificar los triángulos semejantes.

2.

En el diagrama adjunto calcule los valores en centímetro de x, y, z.

3. Dado que el diagrama adjunto CD // AB , explique porqué los triángulos ABE y CED son semejantes.

4. (a) En cada uno de los diagramas adjuntos calcule el valor de x. (los dos triángulos son isósceles) (b) Calcule el área de los dos triángulos.

5. Se quiere calcular la altura de un poste de la energía. Aprovechando el sol de las 11 de la maña se mide la sombra del poste y es de 4 m, luego se comprueba que Mario tiene una estatura de 1.6 m, por último se mide la sombra de Mario y es 0.4 m. (a) Elabora un diagrama del problema, (b) calcule la altura del poste.

6. Se elabora el siguiente diagrama para calcular la altura de la pared más alta del salón de clase.

7. Los triángulos adjuntos son semejantes, calcule las longitudes de los lados señalados con letras.

8. Los dos paralelogramos siguientes son semejantes. Se conoce la base del paralelogramo pequeño y el área. Encuentre: (a) la altura del paralelogramo pequeño. (b) La base y la altura del paralelogramo grande.

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN LOS TRIÁNGULOS En todo triangulo encontramos las siguientes líneas y puntos especiales:

Bisectriz es la semirrecta que divide un ángulo en dos ángulos congruentes y tiene por origen el vértice del ángulo. Las bisectrices de un triangulo se cortan en un punto o llamado incentro.

Altura de un triangulo es un segmento que va de un vértice a la recta que contiene el lado opuesto ó a su prolongación y es perpendicular a ésta. Las aturas de un triángulo se cortan en un punto o llamado ortocentro.

Mediana de un triangulo es un segmento que va de un vértice del triangulo al punto medio del lado opuesto. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado Baricentro.

Mediatriz de un triángulo, en una recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triángulo. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro.

POLIEDRO: Es un cuerpo limitado por polígonos, llamados caras, de manera que el plano de cada cara deja a un mismo lado la figura. Los poliedros pueden ser regulares si sus caras son polígonos regulares iguales. Únicamente existen cinco sólidos regulares, el tetraedro que tiene cuatro caras, cada cara es un triángulos equilátero, el cubo o hexaedro que tiene seis caras cuadradas, el octaedro que tiene ocho caras, cada cara es un triángulo equilátero, el dodecaedro que tiene doce caras, cada cara es un pentágono regular y el icosaedro que tiene veinte caras, cada cara es un triángulo equilátero.

PRISMAS: Un tipo más general de cuerpo es un prisma. Las bases inferior y superior del prisma son polígonos (triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc) paralelos e idénticos (congruentes). La caras laterales son paralelogramos. Varios objetos que conocemos en la vida cotidiana tienen forma de prismas, entre ellos, las columnas de algunos edificios y el libro de matemáticas. El prisma es recto si las caras laterales son perpendiculares a las bases. En caso contrario es oblicuo. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. Las caras laterales de un prisma oblicuo son en general, paralelogramos. PARALELEPÍPEDO recto rectangular ya que todas sus caras opuestas son rectangulares y paralelas. Sus caras laterales son verticales y forman ángulos rectos con las bases. Las esquinas se llaman vértices y los segmentos de rectas donde se encuentran dos caras adyacentes se llaman aristas.

PIRÁMIDE: Consideremos ahora un polígono plano cualquiera que llamaremos base de la pirámide y un punto afuera del plano que llamaremos ápice. El cuerpo que se obtiene al unir cada uno de los vértices del polígono con el ápice se llama pirámide. Algunos objetos que conocemos en la vida cotidiana tienen forma de pirámides: las pirámides de México y de Egipto, algunos techos de carruseles, entre otros, tienen forma de pirámide. VOLUMEN El volumen de un cuerpo es un número que indica la cantidad de espacio que él ocupa. Este número se acompaña por una unidad de medida pertinente que permite dimensionar el volumen medido. VOLUMEN EN CUERPOS POLIÉDRICOS REGULARES El volumen de un cuerpo regular es un número que se obtiene comparando el volumen del cuerpo con la unidad. Consideraremos a la unidad como un cubo de arista uno y por definición su volumen será 1. Entonces, la medida del volumen de un cuerpo será igual al número de cubos unitarios que contenga. VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO Un paralelepípedo es un cuerpo de seis caras pudiendo ser dos de ellas cuadradas y el resto rectangular (caras laterales). Si las caras laterales son perpendiculares a la altura del cuerpo entonces le denomina paralelepípedo recto, en caso contrario se trata de un paralelepípedo oblicuo. El volumen del paralelepípedo recto se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes a un vértice. Por ejemplo, si las aristas de un paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen es: V = 2x3x6 = 36 cm2 Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a través de la fórmula: V= a.b.c CILINDROS Consideremos un prisma recto que tiene como base un polígono regular. A medida que se aumenta el número de lados del polígono regular, el número de caras laterales del prisma aumenta de la misma manera y el polígono se parece cada vez más a una circunferencia. Muchos objetos que conocemos en la vida cotidiana tienen forma de cilindros: las monedas, las latas de refrescos, las columnas de algunos edificios, algunas chimeneas, tienen forma de cilindros entre muchas otras. Cuando la base del prisma es una circunferencia, entonces el prisma se llama cilindro circular, como el que se ilustra más adelante.

VOLUMEN DE UN CILINDRO Un cilindro recto, de base circular, es un cuerpo formado por dos caras circulares paralelas, como base, cuyos centros pertenecen a un segmento de recta perpendicular a ambos círculos, y por una superficie que las rodea por su borde, como muestra en la figura. El volumen de un cilindro recto de base circular de radio r y altura h se obtiene multiplicando el área de la circunferencia por la altura h. Sabemos que el área de un círculo de radio r es:

A  r2

El volumen del cilindro cuya base es el círculo descrito anteriormente se obtiene multiplicando el área de dicho círculo por la altura del cilindro, es decir: V   r h 2

AREA LATERAL Y TOTAL DEL CILINDRO Es el área de la superficie cilíndrica que lo limita. Para calcularla procedemos de la siguiente manera: Como el cilindro está formado por dos caras paralelas (dos círculos) y un rectángulo (la parte que lo envuelve), encontramos el área de los dos círculos y le sumamos el área del rectángulo, como muestra la figura. Luego, el área de la superficie de un cilindro es: A  2 r 2  2 r h CONOS La figura adjunta muestra un cono recto de radio r y altura h. La base del cono es un círculo, cuya área es:

V

r 2 h 3

El volumen del cono recto corresponde a la tercera parte del producto entre el área de su base y su altura. LA ESFERA: Esfera, el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. El centro y el radio de la esfera son los del semicírculo que la genera (Ver figura). Superficie y Volumen La superficie de una esfera de radio, r, es S = 4·π·r2 El volumen de una esfera de radio, r, es V = 4·π·r3/3

Ejercicios 2. Calcule el área total y el volumen, todas las unidades son cms.

(a)

2

(b)

(c) 4

4

3 2

6

5 6

(d)

(e)

(f)

D

6

2

3

3

3

6

Ejercicios 3. Calcule el área total y el volumen de los siguientes sólidos en términos de x.

(a) 2x x 8x (b)

(c)

(d)

x

3x 6x

4x x