Conjuntos Dra. Noemí L. Ruiz Limardo Revisado 2011 © Derechos Reservados

Objetivos de la lección • Definir y dar ejemplos de conceptos fundamentales relacionados con conjuntos – Conjunto – Elementos – Simbolismo para definir conjuntos y elementos – Conjuntos finitos e infinitos – Cardinalidad de un conjunto – Conjunto Nulo – Conjuntos iguales – Conjuntos equivalentes

Objetivos de la lección • Comprender, identificar y aplicar los conceptos fundamentales relacionados con las operaciones con conjuntos – – – – – – – –

Subconjunto Subconjuntos propios e impropios Conjunto universo Unión e intersección Disyunción Complemento Diferencia Producto cartesiano o producto cruz

Introducción al estudio de conjuntos

Introducción •

•

•

La teoría de conjuntos que conocemos hoy día la debemos principalmente al matemático alemán Georg Cantor (1845-1918). Algunas de las cosas que él demostró se contrapuso a la teoría aceptada en su época. Tuvo un largo debate sobre el concepto del infinito y trabajó el concepto de cadinalidad de un conjunto.

Introducción •

•

Los conjuntos se aplican en muchas áreas de la vida diaria ya que la mayor parte de lo que observamos a nuestro alrededor se compone de elementos de un conjunto. Hay conjuntos que son subconjunto de otros, hay conjuntos que son finitos y otros que son infinitos.

Introducción •

Necesitamos entender bien los conceptos de conjuntos para poder entender mejor el mundo que nos rodea y entender mejor otros conceptos matemáticos que se fundamentan en el conocimiento de los conjuntos.

Definiciones Básicas de Conjuntos

Definiciones 1. Conjunto- Colección o grupo de objetos que está bien definido 2. Bien definido- Se puede determinar si un elemento pertenece o no pertenece al conjunto 3. Símbolo para representar un conjunto- { } 4. Elemento- Objeto que pertenece a un conjunto 5. Símbolo para representar un elemento- є

Definiciones 6. Conjunto finito- Tiene un número limitado de elementos por lo que el proceso de contar sus elementos tiene fin. 7. Conjunto infinito- Cuando el proceso de contar los elementos nunca termina, no tiene fin. Tiene un número ilimitado de elementos.

Definiciones 8. Cardinalidad de un conjuntoNúmero de elementos de un conjunto. 9. Conjunto Nulo- Conjunto que no tiene elementos. 10. Símbolos de conjunto nulo- { } ,

Definiciones 11. Conjuntos iguales- Tienen exactamente los mismos elementos. 12. Conjuntos equivalentes- Tienen la misma cardinalidad.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Subconjunto • Un conjunto A es subconjunto de B si cada elemento de A está también en B. • Para denotar que A es subconjunto de B se usa el siguiente simbolismo: A B

Ejemplos • Si A = {a, b, c} y B = {a, b, c, d} entonces A B • ¿Será B A ? • Si C = { a, b, c, x}, ¿será C B ? • Si D = {a, b, c, d}, ¿será D B ?

Subconjunto propio • Si A es subconjunto de B y B tiene por lo menos un elemento que no está en A, entonces decimos que A es subconjunto propio de B. • En este caso, se usa el siguiente simbolismo:

A

B

Subconjunto impropio • A es un subconjunto impropio de B si A = B. • No hay un símbolo especial para subconjunto impropio. • Cuando se sabe que A es subconjunto de B, pero no se desea clasificar en propio o impropio, se utiliza el símbolo de subconjunto: A B

Ejemplos • A = {a, b, c} , B = {a, b, c, d} • C = { a, b, c, x}, D = {a, b, c, d }

A B B

A

C

B

D

B

Ejercicio • Haz una lista de todos los posibles subconjuntos de cada conjunto • A = {a, b, c} • B = {a, b, c, d} • C = { 1, 2 } • D ={5} • E={ } • Observa que hay un patrón que relaciona el número de elementos en un conjunto con los posibles subconjuntos. ¿Cuál es el patrón?

Conjunto Universo • El conjunto Universo de ciertos conjunto dados, es el conjunto que contiene todos los posibles subconjuntos de los conjuntos en cuestión. • Para denotar el conjunto Universo se utiliza la letra U mayúscula. • Todo conjunto es subconjunto de sí mismo y el conjunto nulo es subconjunto de todo conjunto.

Ejemplos • A = {maestros de matemáticas en escuela X} B = {maestros de inglés en escuela X} ¿Cuál es el conjunto Universo? • U = {maestros de la escuela X} • A = {números enteros positivos}, B = {números enteros negativos}, C = {0}, ¿cuál es el Universo? • U = {números enteros}

Unión de Conjuntos • La unión del conjunto A con el conjunto B, denotado A U B, es el conjunto de todos los elementos que están en A ó en B , ó en ambos.

Ejemplos • A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b} A U B = {1, 2, 4, 6, a, b, c} • C = {1, 3, 5} D = {2, 4} C U D = {1, 2, 3, 4, 5}

Intersección • La intersección de A y B, denotado A B es el conjunto de todos los elementos de A que también están en B. • O sea, los elementos que tienen A y B en común.

Ejemplos • A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b} A B = {a, b} • C = {1, 3, 5} D = {2, 4} C D=

Conjuntos disyuntos • Dos conjuntos A y B son disyuntos si no tienen ningún elemento en común entre sí. • Esto es: A B

Ejemplos • A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b} A y B no son disyuntos. • C = {1, 3, 5} D = {2, 4} C y D son disyuntos.

Complemento de un Conjunto • El complemento de un conjunto A, denotado A´, es el conjunto de todos los elementos del conjunto Universo que no están en el conjunto A.

Ejemplos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 4, 6, 8, 9} A´= {2, 3, 5, 7, 10} U = {hombres} A = {hombres que tienen pelo} A´= {hombres calvos} U = {personas} A = {varones} A´= {hembras}

Ejemplos • U = {vocales} • Halla A´ = { }

A = { a, e, i, o, u}

• U = {vocales} A = { } • Halla A´ = {vocales}

Diferencia • La diferencia entre el conjunto A y el conjunto B, denotado A – B, es el conjunto de todos los elementos de A que no están en B.

Ejemplos A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b} A – B = {c} B – A = {1, 2, 4, 6} C = {1, 3, 5} D = {2, 4} C–D= C D–C= D C = {1, 3, 5} E = {1, 3, 5} C–E=

Par ordenado • Un par ordenado es cuando se escriben dos elementos en un orden específico usando la siguiente notación: (primer elemento, segundo elemento)

Ejemplos • • • • •

(a, b) (b, a) (1, 3) (2, 4) ¿Es (a, b) = (b, a) ?

Producto Cartesiano • El producto cartesiano de dos conjuntos A y B , denotado A x B, es el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar tomando el primer elemento del primer conjunto A y el segundo elemento del segundo conjunto B.

Ejemplos • • • • • • •

C = {6, 8, 9} Halla C x D Halla D x C C = {6, 8, 9} Halla C x F E = {∆, O} Halla E x E

D = {x, y, z}

F = {w, x, y, z}

Diagramas de Venn • Desarrollados por John Venn (18341923) • Se utilizan para ilustrar conjuntos y resolver problemas de lógica. • Se representa el Universo con un rectángulo y los conjuntos con regiones circulares. • Se sombrea el área que se desea ilustrar.

Ejercicio • Ilustrar en diagrama de Venn – Un conjunto – Complemento de un conjunto – Dos conjuntos donde uno es subconjunto del otro (propio e impropio) – Unión de dos conjuntos – Intersección de dos conjuntos – Diferencia de dos conjuntos

Ejercicio • Ilustrar en diagrama de Venn – Unión de tres conjuntos – Intersección de tres conjuntos – Complemento de la unión – Complemento de la intersección – Diferencia de conjuntos

Fin de la lección