Lección 3: Introducción a la Factorización y Factorización por Factor Común y Agrupación Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 ©

Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: • Conocerán el significado de los términos fundamentales relacionados con la factorización • Factorizarán polinomios por el método de Factor Común • Aplicarán la estrategia de Agrupación para factorizar polinomios por Factor Común • Resolverán problemas donde se aplique la factorización por factor común y la estrategia de agrupación

Introducción a la Factorización

Introducción • La factorización es uno de los procesos fundamentales del álgebra. • Su relevancia es tan importante como lo son las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.

Introducción • La factorización es el reverso de la multiplicación (proceso al revés de la multiplicación). – En la multiplicación se multiplican dos o más factores para obtener un producto. – En la factorización se descompone un producto en factores. – Si multiplicamos dos factores obtenemos un producto. – Si factorizamos un producto obtenemos los factores.

Introducción • En la matemática básica factorizamos números enteros. • En álgebra factorizamos polinomios. • Para entender la factorización de polinomios, en esta lección repasaremos conceptos de la matemática básica relacionados con la factorización de enteros.

Introducción • En esta lección conoceremos el significado de la factorización y estudiaremos cómo se factorizan polinomios por uno de los métodos que es Factor Común. • También, conoceremos cómo se aplica la Estrategia de Agrupación para factorizar polinomios por Factor Común.

Definición de Términos Fundamentales

Repaso de Propiedades de Multiplicación • Se dice que un número es divisible por otro si el residuo de la división es igual a cero. • Por ejemplo: – Sabemos que 12 es divisible por 4 ya que el residuo al dividir 12 ÷ 4 es cero. – Sabemos que 7 no es divisible por 2 ya que el residuo al dividir 7 ÷ 2 no es cero.

Residuo

3 4 12 -12 0

3 2 7 - 6 1

Residuo

Repaso de Propiedades de Multiplicación • En general, si un número “n” es divisible por otro número “d”, decimos que “d” es un factor de “n”, y que “n” es un múltiplo de “d”. • Veamos el siguiente diagrama: Sean “n”, “d” y “q” números naturales y, n es divisible por d, entonces: n=d∙q Múltiplo de d y q (producto)

Factor de n

Factor de n

Definiciones • Factores- Son números que se multiplican. • Ejemplos: 12 = 3 . 4 12 = 6 . 2 12 = 12 . 1 3 y 4, 2 y 6, 12 y 1, son factores de 12 • Factorizar- Es el proceso de descomponer un número como un producto de factores. • Cuando se expresa el 12 como un producto de sus factores, hemos factorizado el 12. • Si expresamos un número como producto de sus factores, decimos que hemos factorizado el número.

Definiciones • Número primo- Número natural mayor que 1 que tiene como únicos factores a él mismo y a 1. • Ejemplos de números primos: Número

Únicos factores

2

2y1

5

5y1

17

17 y 1

Piensa en otros ejemplos de números primos.

Definiciones • Número compuesto- Número que no es primo, o sea, que tiene otros factores además de él mismo y 1. • Ejemplos de Números Compuestos: Número

Factores

12

6y2

4y3

12 y 1

16

4y4

8y2

16 y 1

Piensa en otros ejemplos de números compuestos.

Conjunto de los Números Primos { 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29, 31, …} Observa que: • El conjunto es infinito. • El número primo menor es 2. • El único número primo que es par es 2, los demás son impares. • No todos los impares son primos, por ejemplo, el 9 es impar pero no es primo. • Si el número es primo, no es compuesto, y viceversa, si es compuesto, no es primo.

Reflexión • Existen números naturales a los cuales llamamos números primos ya que sus únicos factores son el 1 y el propio número. • Por ejemplo: – Se dice que 3 es un número primo ya que solo podemos factorizarlo de esta manera: 3 = 3 ∙ 1.

• Existen los números compuestos, los cuales tienen otros factores además del uno y del propio número. • Por ejemplo: – El 6 es un numero compuesto ya que 6 = 2 ∙ 3, donde observamos que 2 y 3 son factores de 6 diferentes de 1 y del propio 6.

Teorema Fundamental de la Aritmética • Existe un teorema fundamental de los números que le da gran importancia a los números primos: • Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo número natural compuesto se puede expresar como un producto único de números primos.

Reflexión • El teorema anterior nos dice que la factorización como producto de números primos es única (excepto por el orden de los factores). • Por ejemplo: Tratemos de factorizar el número 24 de dos formas diferentes: FORMA A 24 = 4 2 x 2

x

6 2x3

24 = 2 x 2 x 2 x 3

24 = 23 x 3

FORMA B 24 = 8

x

3

4x2 2 x2

24 = 2 x 2 x 2 x 3 24 = 23 x 3

• Observa que el resultado final de ambas factorizaciones fue el mismo. Por lo tanto, se confirma que la factorización prima de un número compuesto es única.

Reflexión • Los polinomios son expresiones algebraicas que representan números. Las operaciones que se realicen con polinomios son similares a las que se realizan con números. • Por ejemplo: Si concluimos que un polinomio es divisible por otro debido a que el residuo de la división resultó ser igual a cero, entonces también se concluye que el divisor es factor del dividendo.

Reflexión • Así también, las propiedades y teoremas que apliquen a números también son aplicables a polinomios. • Por lo tanto, el Teorema Fundamental de la Aritmética también es aplicable a los polinomios. – Es decir, si podemos expresar un polinomio como producto de factores diferentes a uno y al propio polinomio, entonces esta factorización es única. – Esto es, no podemos factorizar el mismo polinomio de dos maneras diferentes.

Reflexión • Factorizar un polinomio es descomponer el mismo como un producto dos o más factores que también son polinomios. • De la misma manera que existen números primos, también existen polinomios primos. – Esto es, polinomios cuyos únicos factores son él mismo y 1. – Estos son polinomios que no se pueden factorizar más.

Factorización de Polinomios

Definiciones • Factorización prima de un polinomio- Es el proceso mediante el cual se descompone un polinomio como el producto de polinomios primos.

• Polinomio primo- Polinomio cuyos únicos factores son él mismo y 1.

Para factorizar un polinomio… • Se aplican diferentes métodos. • Cada método dependerá de las características del polinomio. • Dependiendo como sea el polinomio, será el método que aplique.

Métodos de Factorización de Polinomios

Métodos de Factorización de Polinomios • • • •

Factor Común Trinomios Cuadráticos Diferencia de Cuadrados Suma o Diferencia de Cubos También, está la estrategia de Agrupación, que aunque no es un método en sí mismo, es una estrategia que ayuda a factorizar polinomios por los diferentes métodos.

Reflexión • En las próximas pantallas de esta lección ilustraremos el método de Factor Común. • En las lecciones subsiguientes conoceremos los otros métodos. • Antes de ilustrar el método de Factor Común, repasaremos algunos ejemplos de multiplicación de polinomios que están relacionados con el método de Factor Común. • Esto te permitirá descubrir la relación entre la multiplicación y la factorización por este método, para facilitar la comprensión del proceso de factorización.

Multiplicación de un Monomio por Polinomio que no es Monomio • En la lección de Multiplicación de Polinomios estudiamos cómo se multiplica un monomio por un polinomio que no es monomio. • Ejemplo: 3 ( x + 8 ) = 3x + 24 Se aplica la propiedad distributiva al multiplicar el monomio 3 por cada término del polinomio (x + 8).

Otro Ejemplo de Multiplicación de un Monomio por Polinomio • Multiplica: 2x2 (y2 - 9y + 3 ) = ( 2x2 . y2 ) + (2x2 . -9y) + (2x2 . 3) = 2x2y2 - 18x2y + 6x2 • Observa que el resultado es un polinomio en el cual cada término comparte un factor en común. • ¿Cuál es el factor común en el polinomio del resultado?

• El factor común es el monomio 2x2 por el cual multiplicamos.

¿Cómo haríamos si queremos ir al revés? O sea, si tenemos el polinomio: 2x2y2 - 18x2y + 6x2 y queremos escribirlo como un producto: 2x2 (y2 - 9y + 3 ) ¿Cuál sería el proceso? Veamos el proceso en la próxima pantalla.

Proceso para aplicar el Método de Factor Común

Proceso para factorizar por Factor Común Primero: Descomponemos en factores cada término del polinomio : constantes y variables.

Segundo: Miramos si hay algún factor que sea común a todos los términos. Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del paréntesis y los escribimos una sola vez. Cuarto: Encerramos en paréntesis los factores que no sean comunes . Veamos el proceso en la próxima pantalla.

Proceso para factorizar por Factor Común • Factoriza: 2x2y2 - 18x2y + 6x2 = ( 2 . x2 . y2 ) + ( 2 . -9 . x2 . y) + ( 2 . 3 . x2)

= 2x2 (y2 - 9y + 3 ) • Primero: Descomponemos en factores cada término del polinomio: constantes y variables.

• Segundo: Miramos si hay algún factor que sea común a todos los términos, en este caso el 2 y x2. • Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del paréntesis, en este caso el 2 y x2, (los escribimos una sola vez). • Cuarto: Encerramos en paréntesis los factores que no sean comunes, en este caso: y2 - 9y + 3.

Otros Ejemplos de Factorización por Factor Común

Ejemplo 1 • Factoriza: 12x2 – 6x = (2 . 6 . x . x) + (6 . -1 . x) = 6x (2x – 1) • Primero: Descomponemos en factores cada término del polinomio: constantes y variables.

• Segundo: Miramos si hay algún factor que sea común a todos los términos, en este caso el 6 y x. • Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del paréntesis, en este caso el 6 y x, (los escribimos una sola vez). • Cuarto: Encerramos en paréntesis los factores que no sean comunes, en este caso: 2x – 1.

Ejemplo 2 • Factoriza: 9x – 3y = (3 . 3 . x) + (3 . -1 . y) = 3 (3x – y) • Primero: Descomponemos en factores cada término del polinomio: constantes y variables.

• Segundo: Miramos si hay algún factor que sea común a todos los términos, en este caso el 3. • Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del paréntesis, en este caso el 3. • Cuarto: Encerramos en paréntesis los factores que no sean comunes, en este caso: 3x – y.

Ejemplo 3 • Factoriza: 8x2 + 5x3 - 3x4 = (2 . 2 . 2 . x . x) + (5 . 1 . x . x . x) + (-3 . 1 . x . x . x . x) = x2 (8 + 5x – 3x2) • Primero: Descomponemos en factores cada término del polinomio: constantes y variables.

• Segundo: Miramos si hay algún factor que sea común a todos los términos, en este caso el x2. • Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del paréntesis, en este caso el x2. • Cuarto: Encerramos en paréntesis los factores que no sean comunes, en este caso: 8 + 5x – 3x2.

Ejemplo 4 • Factoriza: 30a2 + 45a3b2 + 75a4b = (15 . 2 . a . a) + (15 . 3 . a . a . a . b . b) + (15 . 5 . a . a . a . a . b)

= 15a2 (2 + 3ab2 + 5a2b) • Observa que cuando hay factor común en las variables el factor común es la potencia menor.

Ejemplo 5 • Factoriza: 4x2 + 15y – 6x = (2 . 2 . x . x) + (3 . 5 . y) + (-3 . 2 . x) = 4x2 + 15y – 6x • Observa que no hay ningún factor que sea común a los tres términos.

• Para que sea factor común tiene que estar en todos los términos. • Este polinomio no factoriza más. Sus únicos factores son él mismo y 1. • Este es un ejemplo de polinomio primo.

Ejercicios de Práctica de Factorización por Factor Común

Instrucciones • En tu libreta, factoriza los polinomios que aparecen en la próxima pantalla por el método de Factor Común. • Si el polinomio es primo, indícalo. • Después de factorizar, haz clic para ver resultados. • Recuerda que puedes saber si la factorización es correcta multiplicando los factores. Al multiplicar todos los factores se obtiene el polinomio original.

Factoriza por Factor Común 15x4 – 5x3 + 20x2 =

5x2 (3x2 – x + 4)

20x2y3 + 6xy4 - 12x3y5 = 2xy3 (10x + 3xy – 6x2y2) m2 + n2 =

No se puede factorizar más, es un polinomio primo.

-36p7q9 + 12p5q12 - 8p4q15 = 4p4q9(-9p3 + 3pq3 – 2q6)

Reflexión A veces: • El factor común es un término negativo. • Por ejemplo: -3t - 18 = = (-3 . t) + (-3 . 6) • El factor común es -3. • Factorizando -3t - 18 sacando el factor común -3 tenemos: -3t – 18 = -3(t + 6) • Observa que al sacar el factor común negativo, el signo dentro del paréntesis es positivo. • Recuerda que al multiplicar el monomio -3 por el polinomio (t + 6) nos tiene que dar como resultado el polinomio: -3t – 18.

Otro ejemplo Factoriza por factor común sacando un factor negativo: - 12x + 18 Para que halla el mismo = (-6 . 2 . x) + (-3 . -6) factor común (-6) tenemos que factorizar el • El factor común es -6. positivo 18 como (-3 . -6). Por tanto, observa que el • Factorizando el -6 tenemos: 3 es negativo - 12x + 18 = -6 (2x - 3) • Observa que al sacar el factor común negativo , el signo dentro del paréntesis tiene qe ser negativo para que al multiplicar el monomio -6 por el polinomio (2x - 3) nos dé como resultado el polinomio: -12x + 18.

Factoriza por Factor Común sacando un factor negativo y haz clic para ver resultados -5t - 10 = -5 (t + 2) -20x – 4 = -4 (5x + 1) -8m + 40 = -8 (m - 5) -2x2 + 2x - 24 = -2 (x2 – x + 12)

A veces … • El factor común no es un monomio. • Podría ser un binomio o cualquier otro tipo de polinomio. • Como por ejemplo: 3x (5x – 2) + 4 (5x – 2)

¿Cómo se factoriza esta clase de polinomios? • Factoriza: 3x (5x – 2) + 4 (5x – 2) = • Observa que el factor común es el binomio: (5x – 2) • En este caso sacamos el factor común (5x – 2) y lo escribimos una sola vez. Luego encerramos en paréntesis lo que queda (3x + 4). • Veamos: 3x (5x – 2) + 4 (5x – 2) = (5x – 2) (3x + 4)

Factoriza por Factor Común y haz clic para ver resultados 2x(3x – 7) + 4(3x – 7) = (3x – 7) (2x + 4) 9(2y + 5) + x(2y + 5) = (2y + 5) (9 + x) (2x – 1)(3x – 4) - (2x – 1)(x + 3) = (2x – 1) [(3x - 4) – (x + 3)] = (2x – 1) [(3x - 4 – x – 3)] Simplificando se obtiene:

(2x – 1) (2x – 7)

¿Qué características tiene que tener el polinomio para que se pueda factorizar por el método de factor común? • El polinomio tiene que tener por lo menos un factor que sea común a todos los términos del polinomio. • El polinomio puede ser binomio, trinomio o cualquier tipo de polinomio.

Estrategia de Agrupación

A veces … • Tenemos un polinomio de 4 términos donde algunos de los términos tienen un factor común, pero no todos tienen el mismo. • Por ejemplo: ax + ay + bx + by

¿Qué hacemos para factorizar el polinomio en este caso? ax + ay + bx + by  Buscamos agrupar términos que tengan algún factor común.  Por ejemplo: (ax + ay) + (bx + by) ó (ax + bx) + (ay + by)

¿Qué hacemos para factorizar el polinomio en este caso? ax + ay + bx + by  Observa que si agrupamos así: (ax + ay) + (bx + by)  En el primer grupo el factor común es a y en el segundo grupo el factor común es b. a(x + y) + b(x + y)  Luego de sacar este factor común, podemos ahora factorizar nuevamente ya que tienen en común el factor (x + y): (x + y) (a + b)

Reflexión • ¿Cuándo aplicamos la estrategia de Agrupación? • Cuando tenemos un polinomio de 4 términos y no se puede factorizar por ningún método. • En la factorización por agrupación se factoriza dos veces. • La primera vez, para hacer que se pueda seguir factorizando, aunque todavía esa vez no está totalmente factorizado. Hay sumas y restas entre medio. • La segunda vez queda totalmente factorizado el polinomio porque no hay sumas y restas entre medio.

Reflexión • Aunque en estos momentos el único método que conocemos es el de Factor Común, en realidad cuando aplicamos la estrategia de agrupación buscamos poder factorizar nuevamente por cualquiera de los métodos que estudiaremos más adelante. • En esta lección todos los ejercicios que veremos se agruparán para poder factorizarse por factor común. • Más adelante, cuando conozcamos todos los métodos, agruparemos para factorizar por cualquiera de los métodos.

Proceso para Factorizar por Agrupación Pasos a seguir: • Ver si el polinomio tiene 4 términos y no se puede factorizar por factor común. • Agrupar los términos de manera que se pueda factorizar por alguno de los métodos de factorización. • Factorizar por el método que se pueda. (Primera vez que se factoriza) • Ver si después de factorizado la primera vez, se puede volver a factorizar. Factorizarlo por segunda vez. • El polinomio debe quedar completamente factorizado. Sabemos que está completamente factorizado cuando todos los términos están expresados como un producto o multiplicación de polinomios primos.

Ejercicio de Práctica Factorización por Agrupación

Instrucciones • Factoriza los polinomios a continuación en tu libreta. • Después de hacer los ejercicios, haz clic para ver las respuestas.

Factoriza por Agrupación ac + ad + bc + bd = (c + d) (a + b) xy + xz + wy + wz = (y + z) (x + w) ax - x + a - 1 = ax - x - a + 1 =

(a - 1) (x + 1) (a - 1) (x - 1)

Factoriza por Agrupación y3 - 8y 2 + y - 8 =

(y - 8) (y2 + 1)

2x3 + 4x2y - 3xy - 6y2 = (x + 2y) (2x2 – 3y) 8x2 + 6xy - 12xy - 9y 2 = (4x + 3y) (2x – 3y) 16r3 - 4r2s2 - 4rs + s3 =

(4r -s2) (4r2 – s)

Aplicaciones de la Factorización en la Solución de Problemas

Problema 1 • Supón que en un juego de pelota se lanza al aire hacia arriba una bola con una velocidad inicial de 64 pies por segundos. La altura en pies h después de t segundos está dada por la expresión -16t2 + 64t. A) Halla una expresión equivalente factorizando por factor común un factor negativo. B) Determina la altura de la pelota cuando t = 1.

Solución del Problema 1 A) Halla una expresión equivalente factorizando por factor común un factor negativo. Factorizamos sacando como factor común a -16t: -16t2 + 64t = -16t (t – 4) B) Determina la altura de la pelota cuando t = 1. Sustituimos t + 1 en la expresión -16t2 + 64t: -16t2 + 64t -16 (1)2 + 64 (1) -16 (1) + 64 (1) -16 + 64 48 La altura es 48 pies

Problema 2 • Un traje se redujo 10% de su precio regular. Luego, se redujo el precio espeial un 10% adicional. Halla una expresión equivalente al precio final del vestido en forma factorizada.

Solución al Problema 2

• Si el precio original era x, la expresión que representa el precio después de la primera reducción es: x – 0.10x • Recuerda que reducir implica restar. • Recuerda que 10%, para propósitos de cómputos matemáticos, hay que convertirlo a decimal.

• La segunda reducción de precio sería: 0.10(x – 0.10x ) • Después de la segunda reducción el precio sería: (x – 0.10x ) - 0.10(x – 0.10x ) • Factorizando la expresión anterior tenemos que el precio final Recuerda que el coeficiente invisible que está delante del paréntesis es 1. será: (x – 0.10x ) - 0.10(x – 0.10x ) = (x – 0.10x )(1 - 0.10) = 0.90 (x – 0.10x ) El binomio (x – 0.10x) es un factor común

Problema 3

h

r

• Un granero es una estructura cilíndrica donde se almacena productos agrícolas. El área de la superficie del granero con altura h y radio r, incluyendo el área de la base, está dada por el polinomio 2πrh + πr2. Halla una expresión equivalente aplicando la factorización del polinomio.

Solución al Problema 3

h

r

• Para hallar una expresión equivalente aplicando la factorización del polinomio 2πrh + πr2, factorizamos por factor común: 2πrh + πr2 πr (2h + r) La expresión πr (2h + r) es equivalente a 2πrh + πr2.

Problema 4 • En cada figura a continuación, A representa el área de la figura. Halla una expresión polinómica en forma factorizada que represente la diferencia en las áreas de ambas figuras. A = 6x(2x + 1)

A = 5(2x + 1)

Solución al Problema 4 • Para hallar la diferencia entre las áreas de las dos figuras tenemos que restar las áreas. La expresión polinómica que representa la resta del área mayor menos el área menor es: 6x(2x + 1) – 5(2x + 1) • Luego, factorizamos la expresión por factor común. Observa que (2x + 1) es un factor común a ambos términos. La expresión factorizada es: (2x + 1) (6x – 5)

A = 6x(2x + 1)

A = 5(2x + 1)

Ejercicios de Práctica

Instrucciones • Resuelve los ejercicios a continuación en tu libreta. • Sigue las instrucciones que aparecen en cada pantalla. • Después de hacer los ejercicios, verifica los resultados en la sección final donde aparecen las Contestaciones a los Ejercicios de Práctica.

Ejercicio 1 • Factoriza los siguientes polinomios: 6a2 + 3a x3 + 9x2 4x2y – 12xy2 3y2 – 3y – 9 10a4 + 15a2 – 25a 3x + 2y – 8

Ejercicio 2 • Factoriza los siguientes polinomios sacando un factor negativo: -5x – 45 -6a – 84 -3y2 + 24y -7x2 + 56y -2x2 + 16x – 20 -3x + 2y

Ejercicio 3 • Factoriza los siguientes polinomios: a(b – 2) + c(b – 2) (x – 2) (x + 5) + (x – 2) (x + 8) (2x + 1) (3x + 8) + (2x – 1) (4x + 5) a2 (x – y) + 3a(x – y) (m – 4)(m + 3) – (m – 4)(m – 3)

Ejercicio 4 • Factoriza los siguientes polinomios: ac + ad + bc + bd b3 – b2 + 2b – 2 y3 – 8y2 + y – 8 24x3 – 36x2 + 72x – 108 a 4 – a3 + a 2 + a

Ejercicio 5 • El precio de una cortadora de grama aumentó 15% de su precio regular. Luego, con el especial de verano el precio anterior se redujo un 20%. Halla una expresión equivalente al precio final de la cortadora de grama en forma factorizada.

Ejercicio 6 • En cada figura a continuación, A representa el área de la figura. Halla una expresión polinómica en forma factorizada que represente la diferencia en las áreas de ambas figuras.

A = 7x(3x + 4)

A = 2(3x + 4)

Contestación a los Ejercicios de Práctica

Contestación a Ejercicio 1 3a( 2a + 1) x2(x+ 9) 4xy(x – 3y) 3(y2 – y – 3) 5a(2a3 + 3a – 5) Polinomio primo

Contestación a Ejercicio 2 -5(x + 9) -6(a + 14) -3y(y – 8) -7(x2 – 8y) -2(x2 – 8x + 10) -1(3x – 2y)

Contestación a Ejercicio 3 (b – 2)(a + c) (x – 2) [(x + 5) + (x + 8)] = (x – 2) (2x + 13) Polinomio primo (x – y) (a2 + 3a) (m – 4)[(m + 3) – (m – 3)] = 6(m – 4)

Contestación a Ejercicio 4 (a + b) (c + d) (b2 + 2) (b – 1) (y2 + 1) (y – 8) 12( x2 + 3) (2x – 3 ) a ( a3 – a2 + a + 1)

Contestación a Ejercicio 5 • Una expresión equivalente al precio final de la cortadora de grama sería: (x + 0.15x) – 0.20(x + 0.15x) • Factorizando tenemos: 0.80(x + 0.15x)

Contestación a Ejercicio 6 • La expresión polinómica que representa la diferencia entre ambas figuras es: 7x(3x + 4) – 2(3x + 4) • La expresión factorizada es: (3x + 4) (7x – 2)

A = 7x(3x + 4)

A = 2(3x + 4)