COORDENADAS POLARES INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA DE ENVIGADO FACULTAD DE INGENIERÍAS ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS ÁREA DE CALCULO INTEGRAL ENVIGADO, OCTUBRE 28 2004 INTRODUCCIÓN En el desarrollo de nuestro plan de estudios, se han tratado diversidad de temas que han requerido el uso de planos para el óptimo adelanto de las temáticas tratadas (coordenadas cartesianas). Ahora, dentro de este trabajo se observara una nueva clase de coordenadas, Coordenadas Polares. Se consignara entonces para el buen entendimiento de este tema: teoría básica, algunos ejemplos, graficas ilustrativas, aplicaciones de este tipo de coordenadas y por último se plantearan varios ejercicios para su posterior desarrollo. COORDENADAS POLARES Para construir el sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto o, llamado el polo o el origen, y trazamos desde o un rayo inicial llamado el eje polar. Entonces se puede asignar a cada punto en el plano unas coordenadas polares (r,0), como sigue. r =distancia dirigida de 0a P

=ángulo dirigido, en sentido antihorario, del eje polar al segmento 0P

Acontinuacion se muestran tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Observemos que, en le sistema, es conveniente localizar los puntos respecto a un reticulo de circunferencias concentricas y rectas radiales que pasan por el polo.

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En coordinas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. Esto no ocurre en coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, ) y (r,2+)representan un mismo punto. A si mismo como r es una distancia dirigida, las coordenadas (r, ) y (−r,+) representan un mismo punto. En general, el punto (r, ) se puede expresar como: (r, ) = (r, +2n) o como: (r, ) = (−r,+(2n+1)) siendo n un entero. Además, el polo esta representado por (0, ),donde es cualquier ángulo. CAMBIO DE COORDENADAS Para establecer la relación entre las coordenadas polares y las rectangulares, hagamos coincidir el eje polar con el semieje x positivo y el polo con el origen, puesto que (x, y)esta sobre una circunferencia de radio r, se sigue que r =x +y . Ademas para r >0, la definición de las funciones trigonometricas implica que: tg = , cos = y sen =

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El lector puede comprobar que si r<0,se verifican las mismas relaciones. Cambio de coordenadas Las coordenadas polares (r, ) de un punto estan relacionados con sus coordenadas rectangulares (x, y) por: • x = r cos 2. tg =

y = r sen r =x +y Ejemplo1 Cambio de coordenadas polares a rectangulares. • Para el punto c = (2, ), x = r cos =2 cos =−2 e y = r sen =2 sen =0 Así pues, las coordenadas rectangulares son (x, y)=(−2,0). • Para el punto (r, )=( , ), X=

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cos = e sen =

Por tanto, las coordenadas (x, y)= ,

Ejemplo 2 Cambio de coordenadas rectangulares a polares • Para el punto del segmento cuadrante (x. y)=(−1,1) tg = = −1

Dado que se ha escogido en el mismo cuadrante que (x, y), debemos tomar un valor de r positivo. r=

=

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= Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es (r, )= • Como el punto (x, y)= (0,2) esta en el eje y positivo, elegimos = y r=2, de modo que un conjunto de coordenadas polares es (r, )=2, ).

GRAFICAS EN POLARES Una forma de representar la grafica de una ecuación en polares consiste en pasar de coordenadas rectangulares y después dibujar la grafica de la ecuación rectangular. • Ejemplo 3 REPRESEN TACION GRAFICA DE ECUACIONES POLARES Describir la grafica de una de las siguientes ecuaciones en polares. Verificar cada descripción pasando a una ecuación rectangular. a) r = 2 b) = c) r = sec Solución

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• La grafica de la ecuación polar r=2 esta formada por todos lo puntos que distan 2 unidades del polo. En otras palabras, la grafica es una circunferencia de radio 2 centrada en el origen, podemos confirmarlo usando la relación r =x +y para obtener la ecuación rectangular.

x +y =2 Ecuación rectangular. • La grafica de la ecuación polar = contiene todos los puntos de la semirrecta radial que forma un ángulo de con el semieje x positivo. Podemos confirmarlo usando la relación tg = para obtener la ecuación rectangular y= 6

Ecuación rectangular. • La grafica de la ecuación polar r = sec no es evidente por simple inspección, por lo que podemos comenzar por pasarla a forma rectangular usando la relacion r cos = x. r = sec Ecuación polar r cos =1 x = 1 Ecuación rectangular Deducimos que la grafica es una recta vertical. NOTA: Un método para representar a mano la grafica de r = 2 cos 3 consiste en confeccionar una tabla de valores. 0 r

2

0

−2

0

2

Extendiendo la tabla y marcando los puntos, se obtendrá la curva del ejemplo 4. • Ejemplo 4. REPRESENTACION DE UNA GRAFICA EN POLARES Representar la grafica de r = 2 cos 3 Solución: Comenzamos por escribir la ecuación en forma parametrica. X = 2 cos 3 cos e y = 2 cos 3 sen Para dibujar la curva se puede se puede hacer variar de 0 a , si se intenta reproducir esta grafica encontrara que, al hacer variar de 0 a 2 lo que ocurre realmente es que la curva se recorre dos veces.

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0

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PENDIENTE Y RECTAS TANGENTES Para determinar la pendiente de una recta tangente a una grafica en polares, consideremos una funcion derivable r = f ( ) . Para pasar a polares, utilizamos las ecuaciones X = r cos =f( ) cos e y = r sen =f( ) sen Teorema : Si f es una derivable de , la pendiente de la recta tangente a la grafica de r =f ( ) en el punto r= es.

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Siempre que en ( r, ). Apartir de este teorema podemos hacer las siguientes observaciones. 1. Las soluciones de =0 conducen a tangentes horizontales siempre que

2. las soluciones de conducen a tangentes verticales, siempre

si y , no se puede extraer ninguna conclusión sobre las rectas tangentes.

• Ejemplo 5. Rectas tangentes horizontales Hallar las tangentes horizontales y verticales de r =sen ,0

Solucion: primero escribimos la ecuación en forma parametrica X = r cos =sen cos e y = r sen 10

= sen sen = sen

Luego derivamos x e y con respecto a e igualamos a 0 cada derivada.

Por tanto la siguiente grafica posee tangentes verticales en )y ( ), y tangentes horizontales en (0,0) y (1, ). Tangentes horizontales y verticales de r = sen .

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